Алгебра высказываний - Электронные Образовательные Ресурсы

Тема: «Алгебра высказываний»
Цели урока:
1. Образовательные
 Получить представление об алгебре высказываний.
 Введение понятия сложного высказывания.
 Познакомить учащихся с основными логическими операциями.
 Построение таблиц истинности сложных высказываний.
2. Развивающие
 Развитие познавательной деятельности.
 Развитие умения анализировать, делать обобщающие выводы.
3. Воспитательные
 Понимание связей между другими учащимися, культурой поведения.
10 класс (информационно-технологический профиль)
Тип урока: комбинированный
Продолжительность занятия: 2 академических часа.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Что изучает логика? Какими основными понятиями оперирует
логика?
3. Откуда произошла алгебра высказываний? Сообщение учащегося.
4. Как получаются сложные высказывания? Логические операции.
5. Готовимся к ЕГЭ. Закрепление знаний.
ХОД УРОКА
Организационный момент.
Актуализация.
Фронтальный опрос «Что такое логика? Основные понятия логики».
Вопросы для повторения:
1. Что изучает логика? Какими основными понятиями оперирует логика?
Ответ: Логика - это наука о формах и способах мышления. Мышление всегда
осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются
понятие, суждение(высказывание) и умозаключение.
2. Что такое «понятие» с точки зрения логики? Приведите примеры.
Ответ: Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные,
существенные признаки объекта.
3. Какие две стороны можно выделить в понятии?
Ответ: Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание
понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы
раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и
достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов.
I.
II.
1
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которые оно
распространяется.
4. Что такое высказывание? Какие виды высказываний Вы знаете
(Привести примеры общих, частных и единичных высказываний).
Ответ: Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме
высказываний (суждений, утверждений).
5. Из данных предложений выберите те, которые являются
высказываниями, и обоснуйте свой выбор.
 Наполеон был французским императором.
 Чему равно расстояние от Земли до Марса?
 Внимание! Посмотрите направо.
 Электрон – элементарная частица.
 Не нарушайте правил дорожного движения!
 Полярная звезда находится в созвездии малой медведицы.
 Не все то золото, что блестит.
6. Объясните, почему формулировка любой теоремы является
высказыванием.
7. Какие из приведенных примеров являются частными высказываниями,
а какие общими?
 Не все книги содержат полезную информацию.
 Кошка является домашним животным.
 Некоторые ученики двоечники.
 Все ананасы приятны на вкус.
 Многие растения обладают целебными свойствами.
 Любой неразумный человек ходит на руках.
 А – первая буква в алфавите.
8. В приведенных предложениях вместо многоточий поставьте по
смыслу подходящие по смыслу слова «необходимо», «достаточно»,
«необходимо и достаточно». Помните, что получившиеся
высказывания должны быть истинными.
 Для того, чтобы число делилось на 4, … чтобы оно было четным.
 Для того, чтобы число делилось на 3, … чтобы оно делилось на 9.
 Для того, чтобы число делилось на 10, … чтобы оно оканчивалось
нулем.
 Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, … чтобы каждое из
них равнялось нулю.
 Для того, чтобы сумма двух чисел была четным числом, … чтобы
каждое из этих чисел было четным числом.
 Чтобы четырехугольник был квадратом, … чтобы все его стороны
были равны.
9. Посредством чего выводятся новые знания о предметах?
Какого вида умозаключения вы знаете?
10.Приведите примеры дедуктивных, индуктивных умозаключений и по
аналогии.
2
III. Формирование новых знаний.
Небольшое сообщение учащегося о том, как и когда возникла алгебра
высказываний.
Учащийся. Алгебра высказываний или алгебра логики является частью,
разделом бурно развивающейся сегодня науки – дискретной математики.
Алгебра логики изучает свойства функций, у которых и аргументы, и значения
принадлежат одному множеству {0;1}.
Отцом алгебры логики по праву считается английский математик 19
столетия Джордж Буль. Алгебра в широком смысле слова – наука об общих
операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться
не только над числами, но и над высказываниями.
Долгое время алгебра логики была известна достаточно узкому классу
специалистов. Прошло более ста лет со времени создания алгебры логики,
прежде чем в 1938 году американский математик и инженер Клод Шеннон
показал, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных
процессов и функционирования электронных схем.
Учитель. Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением
высказываний. С помощью высказываний мы устанавливаем свойства,
взаимосвязи с объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно
отображает эту связь, в противном случае оно ложно.
Определение. Высказывание называется простым, если никакая его часть
не является высказыванием.
Употребляемые в обычной речи связки «и», «или», «не», «если …, то…»,
«тогда и только тогда, когда…» и т.п. позволяют из уже заданных
высказываний строить новые сложные высказывания. Это и есть логические
операции, подобно сложению, умножению в обычной алгебре.
Истинность или ложность полученных т.о. высказываний зависит от
истинности или ложности исходных высказываний и соответствующей
трактовки связок как логических операций над высказываниями.
Для обозначения истинности, как правило, используются знаки «И» и «1»,
а для обозначения ложности – символы «Л» и «0».
Логическая операция может быть описана таблицей истинности,
указывающей какие значения принимает сложное высказывание при всех
возможных значениях простых высказываний.
Рассмотрим логические операции.
1. Конъюнкция.
Определение. Высказывание, составленное из двух и более
высказываний путем объединения их связкой «И», называется
конъюнкцией или логическим умножением.
Вопрос: Когда же новое высказывание, построенное таким образом, будет
истинным?
Здесь можно порассуждать с ребятами, взяв в качестве простых
высказываний очевидные А={2*2=4} и В={2*2=5} и др. Делаем вывод:
3
Высказывая конъюнкцию, мы утверждаем, что выполняются оба этих
события, о которых идет речь.
Например, сообщая { Петровы поехали на дачу и взяли с собой собаку }
мы выражаем в одном высказывании свое убеждение, что произошли оба этих
события.
Формулируем правило.
Правило. Составное высказывание, образованное с помощью
конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него
простые высказывания.
Обозначение. А  В, А&В, А*В, А and В.
Таблица истинности.
А
В А&В
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Задание. Приведите примеры конъюнкции.
Пример. Рассмотрим два высказывания А={ Завтра будет мороз}, и
В={ Завтра будет идти снег}. Новое высказывание А&В истинно лишь в
случае, когда будут истинны оба этих высказывания.
В русском языке конъюнкции также соответствуют, кроме союза «и»,
связки «а» и «но».
2. Дизъюнкция.
Определение. Высказывание, составленное из двух и более
высказываний путем объединения их связкой «ИЛИ», называется
дизъюнкцией или логическим сложением.
Аналогично, рассуждаем на предмет истинности сложного высказывания,
построенного с помощью «или», на примерах, очевидных для ребят. Делаем
вывод:
В высказываниях, содержащих связку «ИЛИ», указывается на
существование двух или нескольких возможных событий, из которых хотя бы
одно должно быть осуществлено.
Например, сообщая { Толя пьет чай или читает книгу } мы выражаем в
одном высказывании свое убеждение, что произошло хотя бы одно из этих
событий.
Формулируем правило.
Правило. Составное высказывание, образованное с помощью
дизъюнкции, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно, входящих в него
простых высказывания.
Обозначение. А  В, А+В, А or В.
Таблица истинности.
А
В А В
0
0
0
0
1
1
4
1
0
1
1
1
1
Задание. Приведите примеры.
Пример. Пусть А={Колумб был в Индии}, и В={Колумб был в Египте}.
Высказывание А  В будет истинно как в случае, если Колумб был в
Индии, но не был в Египте, так и в случае, если он был в Египте, но не был в
Индии. Но это высказывание будет ложно, т.к. он не был ни в Индии, ни в
Египте.
3. Исключающее «ИЛИ».
Союз «или» может применяться в речи и в другом, исключающем смысле.
Тогда он соответствует другому высказыванию – разделительной или строгой
дизъюнкции.
Определение. Высказывание, составленное из двух и более
высказываний путем объединения их связкой «ЛИБО», называется
разделительной дизъюнкцией (строгой), исключающим «или», сложением
по модулю 2.
В отличие от обычной дизъюнкции мы утверждаем, что произойдет одно
событие из двух.
Например, { Толя пьет чай или молоко }, { Коля сидит на трибуне А или на
трибуне Б}.
Формулируем правило.
Правило. Строгая или разделительная дизъюнкция – логическая
операция, которая ставит в соответствие двум высказываниям новое
высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда ровно одно из
высказываний истинно.
Обозначение. А  В.
Таблица истинности.
А
В А В
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Задание. Приведите примеры.
Пример. Пусть А={ Кошка охотится за мышами }, В={ Кошка спит на
диване}. Новое высказывание А  В будет истинны в двух случаях, когда кошка
охотится за мышами или когда кошка мирно спит. Это высказывание будет
ложным, если кошка не делает ни того, ни другого, ровно как и в случае, когда
предполагается, что оба события будут происходить одновременно.
4. Инверсия.
Определение. Отрицание (инверсия) – логическая операция, которая
каждому элементарному высказыванию ставит в соответствие новое
высказывание, значение которого противоположно исходному.
В русском языке для построения отрицания используется связка «неверно,
что».
5
Вопрос: Когда же новое высказывание, построенное таким образом, будет
истинным?
Инверсия обращает истинное высказывание в ложное, а ложное в
истинное.
Задание. Приведите примеры.
Пример. Отрицанием высказывания { У меня дома есть компьютер} будет
высказывание {Неверно, что у меня дома есть компьютер} или, что то же самое
{У меня дома нет компьютера}.
Обозначение. ¬А
Таблица истинности.
А ¬А
0
1
1
0
Примеры.
1. Отрицанием высказывания (Я не знаю татарского языка) будет
высказывание (Неверно, что я не знаю татарского языка) или (Я знаю татарский
язык).
2. Отрицанием высказывания {Все юноши 11-х классов — отличники)
является высказывание {Неверно, что все юноши 11-х классов — отличники)
или {Не все юноши 11-х классов — отличники) или другими словами,
{Некоторые юноши 11-х классов — не отличники).
На первый взгляд кажется, что построить отрицание к заданному
высказыванию достаточно просто. Однако это не так.
Пример 1. Высказывание {Все юноши 11-х классов — не отличники) не
является отрицанием высказывания (Все юноши 11-х классов — отличники).
Объясняется это следующим образом. Высказывание {Все юноши 11-х классов
— отличники) ложно. Отрицанием к ложному высказыванию должно быть
высказывание, являющееся истинным. Но высказывание (Все юноши 11-х
классов не отличники) не является истинным, так как среди
одиннадцатиклассников есть как отличники, так и не отличники.
Пример 2. Для высказывания (На стоянке стоят красные «Жигули»}
следующие предложения отрицаниями являться не будут:
1) (На стоянке стоят не красные «Жигули»);
2) (На стоянке стоит белый «Мерседес»);
З) {Красные «Жигули» стоят не на стоянке).
Разобраться в этом примере предлагается самостоятельно. Класс делится
на группы, внутри группы обсуждается этот пример, затем спикеры
высказывают свое мнение от имени группы.
Проанализировав приведенные примеры, можно вывести полезное
правило.
Правило построения отрицания к простому высказыванию:
При построении отрицания к простому высказыванию либо используется
речевой оборот «неверно, что», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к
сказуемому добавляется частица «не», при этом слово «все» заменяется на
«некоторые» и наоборот.
Задание. Постройте отрицание для высказываний:
6





Все ребята умеют плавать.
Невозможно создать вечный двигатель.
Каждый человек – художник.
Человек все может.
Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».
5. Импликация.
Предложение, образованное из двух предложений, объединенных связкой
«если ..., то ...», в грамматике называется условным предложением, а в логике
такое высказывание называется импликацией.
Импликацию мы используем тогда, когда хотим показать, что некоторое
событие зависит от другого события. Например, пусть человек сказал: «Если
завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять». Здесь А = {Завтра будет
хорошая погода) и В= {Я пойду гулять). Ясно, что человек окажется лжецом
лишь в том случае, если погода действительно окажется хорошей, а гулять он
не пойдет. Если же погода будет плохой, то независимо от того, пойдет он
гулять или нет, во лжи его нельзя обвинить: обещание пойти гулять он давал
лишь при условии, что погода будет хорошей.
Определение. Импликация — логическая операция, ставящая в
соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание,
являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (посылка) — истинно,
а следствие (заключение) — ложно.
Обозначение. А→В, А  В .
Логическая операция импликация задается следующей таблицей
истинности:
А→В
А
В
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Мы видим, что импликация заведомо истинна, если условие А ложно.
другими словами, из неверного условия может следовать все, что угодно.
Например, высказывание {Если 4 > 7, то крокодилы летают) является
истинным.
Подавляющее число зависимостей между событиями можно описать с
помощью импликации.
Пример 1. Истинным высказыванием {Если на каникулах мы поедем в
Петербург, то посетим Исаакиевский собор} мы утверждаем, что в случае
приезда на каникулах в Петербург Исаакиевский собор мы посетим
обязательно.
В соответствии с определением импликации истинны следующие
высказывания:
 {Если 2 х 2 = 4, то через Казань протекает Волга}.
 {Если через Казань протекает Темза, то 2*2=4}
7
Следующие две импликации являются ЛОЖНЫМИ, так как в них посылки
истинны, а заключения ложны:
 {Если 2 х 2 = 4, то через Казань протекает Темза)}.
 {Если через Казань протекает Волга, то Луна сделана из теста}.
Импликация, образованная из высказываний А и В может быть записана на
естественном языке при помощи следующих предложений: «Если А, ТО В»,
«Из А следует В», «А влечет В».
Может показаться странным, что высказывание «Если А, то В» всегда
истинно, если посылка (высказывание А) ложна. Но для математика это вполне
естественно. В самом деле, исходя из ложной ПОСЫЛКИ, МОЖНО путем
верных рассуждений получить как истинное, так и ложное утверждение.
Большинство математических теорем являются импликациями.
Задание. Приведите примеры таких теорем.
1.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая
принадлежат плоскости.
2.
Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
6. Эквивалентность.
Высказывание, образованное из двух высказываний при помощи связки
«тогда и только тогда, когда», в логике называется эквивалентностью.
Эквивалентность используется в тех случаях, когда необходимо выразить
взаимную обусловленность. Например, сообщая: «Я получу паспорт тогда и
только тогда, когда мне исполнится 14 лет», человек утверждает не только то,
что после того, как ему исполнится 14 лет, он получит паспорт, но и то, что
паспорт он сможет получить только после того, как ему исполнится 14 лет.
Определение. Эквивалентность — логическая операция, ставящая в
соответствие двум элементарным высказываниям новое, являющееся
истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания
одновременно истинны или одновременно ложны.
Обозначение. А↔В, А  В
Логическая операция эквивалентность задается следующей таблицей
истинности:
А
В АВ
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Примеры.
Рассмотрим возможные значения сложного высказывания, являющегося
эквивалентностью: «Учитель утверждает, что 5 в четверти ученику он поставит
тогда и только тогда, когда ученик получит 5 на зачете».
1) Ученик получил 5 на зачете и 5 в четверти, т. Е. учитель выполнил свое
обещание, следовательно, высказывание является истинным.
8
2) Ученик не получил на зачете 5, и учитель не поставил ему 5 в четверти,
т. Е. учитель свое обещание сдержал, высказывание является истинным.
З) Ученик не получил на зачете 5, но учитель поставил ему 5 в четверти, т.
Е. учитель свое обещание не сдержал, высказывание является ложным.
4) Ученик получил на зачете 5, но учитель не поставил ему 5 в четверти, т.
Е. учитель свое обещание не сдержал, высказывание является ложным.
В математических теоремах эквивалентность выражается связкой
«необходимо и достаточно».
Задание. Приведите примеры теорем, где используется эквивалентность.
Пример. Внутренние накрест лежащие углы, равны или сумма
внутренних односторонних углов равна 180°, тогда и только тогда,
когда прямые параллельны.
7. Приоритет операций.
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы
(логического выражения), в которую войдут символы, обозначающие
высказывания и их отрицания, соединенные знаками логических операций.
Старшинство операций:
1. Инверсия
2. Конъюнкция
3. Дизъюнкция
4. Импликация
5. Эквивалентность
Задание. Расставить порядок действий логического выражения
f  (a  b) & (a  b) .
IV. Закрепление изученного.
Следующие задания выполняются самостоятельно, затем идет обсуждение
решения.
Задания для учащихся:
1. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое их
них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое
составное высказывание.
а) Число 376 четное и трехзначное.
б) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
в) Новый год мы встретим на даче либо на Красной площади.
г) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
д) Если 14 октября будет солнечным, то зима будет теп
лой.
е) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
ж) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а
также писали самостоятельную работу.
з) Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь день
гулял.
и) Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то число делится на
3.
9
к) Число делится на З тогда и только тогда, когда сумма цифр числа
делится на 3.
2. Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные
логические союзы (связки), с помощью которых в естественном языке строятся
сложные высказывания. Заполните правую колонку таблицы названиями
наиболее подходящих логических операций.
В естественном языке
В логике
И
Или
Неверно, что
Хотя
Только и только в том случае
Но
А
Если, то…
Однако
Тогда и только тогда
Либо…, либо
Необходимо и достаточно
Обсуждение
3. Являются ли отрицаниями друг друга следующие пары предложений?
Обсуждение.
а) Он — мой друг. Он — мой враг.
б) Большой дом. Небольшой дом.
в) Большой дом. Маленький дом.
г) Х> 2. Х < 2.
4. Пусть р = {Ане нравятся уроки математики}, а q = {Ане нравятся уроки
химии}. Выразите следующие формулы на естественном языке.
Комментирование.
Далее идет работа групповая работа по карточкам.
К-1
Определите значения логических переменных a,b,c,d, если:
1. а и (Марс – планета) – истинное высказывание;
2. b и (Марс – планета) – ложное высказывание;
3. c или (Солнце – спутник Земли) – истинное высказывание;
4. d или (Солнце – спутник Земли) – ложное высказывание.
К-2
10
Определите значения логических переменных a,b,c,d, если:
1. а или (1 литр молока дороже 1 кг сливочного масла) – истинно;
2. b и (1 литр молока дороже 1 кг сливочного масла) – ложно;
3. c или (масло дороже творога) – истинно;
4. d и (масло дороже творога) – ложное высказывание.
К-3
Пусть а= «эта ночь звездная», а b = «эта ночь холодная». Выразите следующие
формулы на обычном языке:
1. а и b;
2. а и не b ;
3. не а и не b;
Затем идет обсуждение выполненных заданий.
Дополнительное задание – задания из ЕГЭ
А10. При каких значениях переменных логическое выражение
¬(М = N) v ¬(М <Р) принимает значение «Ложь»?
1) M=1; N=1; P=0
2) M=-1; N=-1; P=0
3) M=1; N=1; P=0
4) M=0; N=0; P=-1
Ответ: 2.
А11. Для какого имени истинно высказывание:
¬(Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)?
1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР
Решение. Поскольку истинным должно быть отрицание импликации, то
это возможно только в одном случае: если из истины следует ложь. Этому
условию отвечает только имя Антон: первая буква имени — А, а четвертая
буква — не согласная. Значение импликации в скобках — ложь, тогда
отрицание импликации истина. Ответ З.
А12. Из двух высказываний «дядя Федор и кот Матроскии не любят
Молоко» и «Кот Матроскин не любит Молоко одно ложно, а другое истинно.
Кто из них не любит молоко?
1) Оба не любят молоко.
2) Оба любят Молоко.
З) Кот Матроскин любит Молоко, а дядя Федор нет.
4) дядя Федор любит молоко, а Кот Матроскин — нет.
Ответ: 4.
А14. Василий сказал: «Я — отличник», а Николай сказал:
«Я отличник». Известно, что Василий и Николай друзья, и если говорят
правду, то оба, если лгут, то тоже оба. Известно также, что каждый из них либо
отличник, либо хорошист. Выясните, кто из них отличник, а кто хорошист.
1) Оба мальчика отличники.
11
V.
VI.
2) Оба мальчика хорошисты.
3) Василий отличник, а Николай хорошист.
4) Николай отличник, а Василий хорошист.
Ответ: 2.
Домашнее задание.
Учебник: Угринович, 10-11 кл., п.3.2 (с.125-129), упр. 3.1.
Придумать примеры для каждой логической операции.
Итоги урока.
Вопросы для подведения итога урока:
 Что нового вы узнали сегодня на уроке?
 Как мы можем получить сложные высказывания из нескольких
простых?
 Какие логические операции вы теперь знаете?
 Отчего зависит истинность сложного высказывания?
Литература:
1.
2.
3.
Математические основы информатики. Элективный курс: учебное пособие/
Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. – М.:БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2005.
Информатика. Задачник-практикум в 2т./под ред. Семакина И.Г., Хеннера
Е.К. – М.:Лаборатория базовых знаний, 2001.
Готовимся к ЕГЭ по информатике. Элективный курс: учебное
пособие/Н.Н.Самылкина, С.В. Русаков, А.П. Шестаков, С.В. Баданина. –
М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
12