Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Тобольский педагогический институт им. Д.И. Менделеева (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Тюменский государственный университет» в г. Тобольске
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики, информатики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по учебной работе и
международной деятельности
_________________________ Вертянкина Н.В.
“07”
сентября
Учебно-методический комплекс дисциплины
«АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ И
БАЗИСЫ ГРЁБНЕРА-ШИРШОВА»
Код и направление подготовки
020301 – «Математика и компьютерные науки»
Профиль подготовки
«Математическое и компьютерное моделирование»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Тобольск
2015
2015 г.
Стр.2 из 37
Содержание
Приложение I
Приложение II
Приложение III
Приложение IV
Приложение V
Приложение VI
Приложение VII
Рабочая программа дисциплины
Планы лекций……………………………………………………..…
Планы практических занятий..………………………………….……
Литература………………………………..…………..……………....
Планы практик……………………………………………….……...
Темы самостоятельной работы студентов….…………………….
Текущий и итоговый контроль……………………………………
Методические указания для обучающихся……………….................
5
26
27
28
30
31
33
36
Стр.3 из 37
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Тобольский педагогический институт им. Д.И. Менделеева (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Тюменский государственный университет» в г. Тобольске
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики, информатики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по учебной работе и
международной деятельности
_________________________ Вертянкина Н.В.
“ 07 ”
сентября
2015 г.
Рабочая программа учебной дисциплины
«АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ И
БАЗИСЫ ГРЁБНЕРА-ШИРШОВА»
Код и направление подготовки
020301 – «Математика и компьютерные науки»
Профиль подготовки
«Математическое и компьютерное моделирование»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Дневное
Программу составил:
к.-ф.-м.н., доцент А.И. Валицкас
Тобольск
2015
Стр.4 из 37
СОДЕРЖАНИЕ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Цели и задачи освоения дисциплины ……………………………………………………
Место дисциплины в структуре ООП ВПО …………………………………………….
Требования к результатам освоения содержания дисциплины ………………………...
Структура и содержание дисциплины …………………………………………………...
4.1 Структура дисциплины …………………………………………………………….
4.2 Содержание разделов дисциплины ……………………………………………….
Образовательные технологии ……………………………………………………………
Самостоятельная работа студентов ………………………………………………………
Компетентностно-ориентированные оценочные средства ……………………………..
7.1 Оценочные средства диагностирующего контроля ……………………………...
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология
7.2
оценивания работы студентов …………………………….....................................
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации ………………………………
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………….
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………………………
Методические указания для обучающихся………………................................................
6
8
9
10
11
11
12
13
13
13
13
17
20
22
22
Стр.5 из 37
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова” призвана дополнить и углубить знания студентов, полученные ими при изучении
курса фундаментальной и компьютерной алгебры.
Цель дисциплины “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова”
триедина:
 овладение студентами математическим аппаратом алгебры многочленов, некоторыми фундаментальными теоретическими положениями абстрактной алгебры;
 формирование алгебраической культуры;
 осознание ими прикладного характера математики в целом и абстрактной алгебры в частности.
Вместе с тем, изучение дисциплины преследует и следующие цели:
 обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих
многочлены и алгебраические базисы в качестве математического аппарата;
 владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
 освоение методологии построения математических моделей;
 пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач алгебраическими методами;
 сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;
 знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития.
Стр.6 из 37
Дисциплина
“Алгебра
многочленов
и
базисы
Грёбнера-Ширшова”
должна решать следующие задачи:
 вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по
алгебраическим методам решения математических задач;
 давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;
 предлагать строгие формальные доказательства основных результатов,
развивая культуру мышления студентов;
 демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории,
открывающую дорогу многим приложениям;
 учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке многочленов;
 демонстрировать применение алгебраических методов для решения некоторых практических задач;
 пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать
некоторые типовые задачи;
 обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.
В результате изучения дисциплины “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова” у студентов формируются навыки в следующих основных видах
деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:
 научно-исследовательская и научно-изыскательская:
применение методов математического и алгоритмического моделирования при анализе прикладных проблем;
использование базовых математических задач и математических методов в научных исследованиях;
контекстная обработка общенаучной и научно-технической информации, приведение её к проблемно-задачной форме, анализ и синтез информации.
Стр.7 из 37
 производственно-технологическая:
применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;
использование технологий и компьютерных систем управления объектами.
 организационно-управленческая:
применение
математических
методов
экономики,
актуарно-
финансового анализа и защиты информации;
участие в организации научно-технических работ, контроле, принятии
решений и определении перспектив.

преподавательская:
преподавание физико-математических дисциплин и информатики в
образовательных и средних образовательных учреждениях при специализированной переподготовке.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОП ВПО
Дисциплина “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова” относится к дисциплинам по выбору вариативной части учебного цикла дисциплин
Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 02.03.01 “Математика и
компьютерные науки” (бакалавриат).
Дисциплина базируется на знаниях и навыках работы с многочленами, полученных в рамках школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования а также на вузовском курсе линейной алгебры.
Содержание дисциплины “Алгебра многочленов и базисы ГрёбнераШиршова” тесно связано с другими курсами, входящими в ОП бакалавра прикладной математики и компьютерных наук.
Стр.8 из 37
 с фундаментальной и компьютерной алгеброй;
 с аналитической геометрией;
 с дискретной математикой, включая комбинаторику, теорию графов и
теорию кодирования;
 с некоторыми дисциплинами информатики, например, с “Вычислительными методами”.
При этом изучение дисциплины “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова” должно не только создать базу для изучения вышеперечисленных
предметов и решения прикладных задач, но обеспечить, в первую очередь, понимание фундаментального характера изучаемой теории.
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического
цикла ФГОС ВПО дисциплина “Алгебра многочленов и базисы ГрёбнераШиршова” обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций бакалавра математики и компьютерных наук.

готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры,
аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии,
дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1);

способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постановок классических задач математики (ПК-2).
В результате освоения содержания дисциплины “Алгебра многочленов и
базисы Грёбнера-Ширшова” студент должен:
Стр.9 из 37
ЗНАТЬ

некоторые классические алгебраические структуры – кольца, поля, векторные пространства, алгебры;

основные понятия и результаты об алгебре многочленов;

основные алгебраические конструкции – подпространство, подалгебра,
идеал, фактор-пространство, фактор-алгебра, линейный базис, базис
Грёбнера-Ширшова;

возможные сферы приложений алгебраических абстракций, необходимых
для
успешного
изучения
математических
и
теоретико-
информационных дисциплин, решения задач, возникающих в информатике и других профессиональных сферах.
УМЕТЬ

применять методы алгебры для решения математических задач, построения и анализа моделей в прикладных задачах математики и информатики;

решать задачи вычислительного и теоретического характера, связанные
с многочленами и базисами алгебр.
ВЛАДЕТЬ

навыками применения современного математического инструментария
для решения задач математики и информатики;

методикой построения, анализа и применения математических моделей
для прикладных задач математики и информатики.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единиц (108 часов), из них 113,94 часа – контактная работа с преподавателем. Дисциплина изучается в VIII семестре, формы контроля: зачёт в VIII семестре.
Стр.10 из 37
4. 1. Структура дисциплины
Таблица 1
№
I
II
III
IV
Наименование раздела
дисциплины
Основные алгебраические структуры
Алгебра многочленов
Метод композиций
Некоторые применения базисов
Грёбнера-Ширшова
Итого
Семестр
VIII
Виды учебной работы
(в академических часах)
аудиторные занятия
СР
ЛК
ПЗ
ЛБ
2
4
10
4
4
8
8
16
20
4
10
18
14
30
–
64
4. 2. Содержание разделов дисциплины
Таблица 2
№
I
II
III
IV
Наименование
раздела
Содержание раздела
(дидактические единицы)
Группы, кольца, поля.
Основные
алгебраиче- Векторные пространства и их базисы.
Алгебры, идеалы и фактор-алгебры.
ские структуры
Базисы фактор-пространств и фактор-алгебр.
Многочлены от одного переменного.
Линейное разложение НОД.
Схема Горнера и её применения.
Алгебра многочленов
Многочлены от нескольких переменных.
Работа программиста с многочленами.
Словарный порядок на мономах.
Понятие композиции.
Замыкание относительно композиций.
Метод композиций
Базисы Грёбнера-Ширшова.
Некоторые применения
Уравнения и системы уравнений.
базисов
ГрёбнераНахождение базисов некоторых алгебр.
Ширшова
Стр.11 из 37
5. Образовательные технологии
Таблица 3
№
занятия
№
раздела
1
I
2
3
4
5-6
II
7
8
9
10
11
III
12-13
14-15
16
17-19
IV
20
21-22
Тема занятия
Виды образовательных
технологий
Группы, кольца, поля.
Векторные пространства и их
базисы.
Алгебры, идеалы и
информационная лекция
фактор-алгебры. Базисы фактор-пространств
и
факторалгебр
Векторные пространства, алгебпрактическое занятие
ры и их базисы
Фактор-пространства, факторпрактическое занятие
алгебры и их базисы
Многочлены от одного переменного. Линейное разложение
информационная лекция
НОД. Схема Горнера и её
применения.
Многочлены от одного переменного. Схема Горнера.
практическое занятие
Линейное разложение НОД.
Многочлены от нескольких переменных. Работа программиинформационная лекция
ста с многочленами. Словарный порядок на мономах.
Многочлены от нескольких переменных.
Лексикографичепрактическое занятие
ский порядок на мономах
Понятие композиции. Замыкаинформационная лекция
ние относительно композиций
Вычисление композиций мнопрактическое занятие
гочленов
Базисы Грёбнера-Ширшова
информационная лекция
Идеалы.
Замыкание относипрактическое занятие
тельно композиций
Построение базисов Грёбнерапрактическое занятие
Ширшова
Уравнения и системы уравнепроблемная лекция
ний
Некоторые применения базисов
Грёбнера-Ширшова:
системы
практическое занятие
уравнений
Нахождение базисов некотопроблемная лекция
рых алгебр
Некоторые применения базисов
Грёбнера-Ширшова:
системы практическое занятие
уравнений
Кол-во
часов
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
4
2
6
2
4
Стр.12 из 37
6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4
Наименование
раздела дисциплины
№
I
II
III
IV
Вид самостоятельной работы
Основные алгебраические
структуры
Алгебра многочленов
Метод композиций
Некоторые
применения
базисов
ГрёбнераШиршова
Итого:
Трудоёмкость
(в академических часах)
чтение текста; конспектирование текста;
работа с конспектом лекции; выполнение
домашних заданий; решение задач и
упражнений по образцу; составление
плана и тезисов ответа; ответы на контрольные вопросы; изучение дополнительных тем занятий; решение вариативных задач и
упражнений;
учебноисследовательская работа
10
16
20
18
64
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
Оценочные средства диагностирующего контроля не предусмотрены.
7.2. Оценочные средства текущего контроля:
модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов
7.2. Оценочные средства текущего контроля:
модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов
10
Всего
6
6
4
25
6
3
25
6
6
итоговый
контроль
контрольная
работа
домашние
задания
Модуль 1
6
6
Модуль 2
6
Модуль 3
6
6
индивидуальные
задания
Всего
3
Письменные
работы
работа на
занатиях
Всего
самостоятельная
работа
№ Темы
коллоквиумы
Устный
опрос
Итого
количество баллов
Таблица 5.
30
20
Итого
10
9
18
12
18
13
20
100
Стр.13 из 37
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
Таблица 6
Виды работ
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
Максимальное количество баллов
Модуль 1 Модуль 2 Модуль 3
Итого
10
10
10
30
4
4
4
12
6
6
6
18
15
15
20
50
25
25
30
80
20
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
Таблица 7
№
Наименование
раздела
дисциплины
Максимальное
количество
баллов
Работа на лекциях, семестр VIII
Формы оцениваемой работы
Модуль
(аттестация)
Основные алгебра3
1
ические структуры
Алгебра
много2
3
2
членов
посещение лекций
3 Метод композиций
3
2
Некоторые приме4 нения
базисов
3
3
Грёбнера-Ширшова
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях, семестр VIII
Основные алгебра1
2
1-2
ические структуры
посещение практических заняАлгебра
много2
4
2
тий, выполнение учебных инчленов
дивидуальных и групповых за2 Метод композиций
4
2
даний, выполнение аудиторной
Некоторые примесамостоятельной работы
3 нения
базисов
8
3
Грёбнера-Ширшова
1
Стр.14 из 37
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
Таблица 8
Наименование
№
раздела (темы)
дисциплины
Основные алгеб1 раические структуры
Алгебра
много2
членов
Метод компози3
ций
Некоторые
применения базисов
4
ГрёбнераШиршова
Максимальное
количество
баллов
Модуль
(аттестация)
дополнительной литературы);
10
1
работа с конспектом лекции (обработка текста);
решение задач и
10
2
14
2
16
3
Формы оцениваемой работы
чтение текста (учебника, первоисточника,
упражнений по образцу; изучение
дополнительных тем занятий; решение вариативных задач и упражнений; ответы на контрольные вопросы; выполнение домашних заданий;
учебно-исследовательская работа;
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
посещение занятий, контрольные вопросы по изучаемым темам, выполнение
контрольных работ
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
1. В любом ли векторном пространстве есть базис ?
2. Что такое линейная оболочка системы векторов ? Как определить, принадлежит ли данный вектор линейной оболочке заданной системы векторов в арифметическом векторном пространстве ?
3. Как найти базис подпространства арифметического векторного пространства, зная систему его образующих ?
4. Что такое размерность векторного пространства ?
5. Что такое фактор-пространство векторного пространства ?
6. Как найти базис фактор-пространства, если задан базис всего пространства
и базис подпространства, по которому происходит факторизация ?
7. Какими формулами задаются операции сложения, умножения многочленов, умножения многочлена на скаляр (выражения коэффициентов результата через коэффициенты аргументов) ?
8. Запишите формулу для возведения многочлена в квадрат (выражения коэффициентов результата через коэффициенты исходного многочлена).
Стр.15 из 37
9. Какие структуры данных используют для работы с многочленами от одного переменного ?
10. Какие структуры данных используют для работы с разреженными многочленами от одного переменного ?
11. Какие многочлены обратимы ?
12. Всегда ли в кольце многочленов есть единица по умножению ?
13. Всегда ли в алгебре многочленов над полем есть единица по умножению ?
14. Как выполнять операции сложения, умножения и умножения на скаляры
многочленов от нескольких переменных ?
15. Какие структуры данных используют для работы с многочленами от многих переменных ?
16. Как определяется лексикографический порядок на мономах от нескольких
переменных ?
17. Что такое композиция двух многочленов ?
18. Приведите пример многочленов, композиция которых нулевая.
19. Что можно сказать о степени композиции ?
20. Приведите пример многочленов, композиция которых равна единице.
21. Какая система многочленов называется замкнутой относительно композиций ?
22. Приведите пример системы многочленов, замкнутой относительно композиций.
23. Приведите пример процесса замыкания системы многочленов относительно композиций.
24. Приведите пример системы многочленов, не замкнутой относительно композиций.
25. Всегда ли замкнута ли относительно композиций система из одного многочлена ?
26. Всегда ли замкнута ли относительно композиций система из одного многочлена второй степени ? А третьей степени ?
27. Что такое базис Грёбнера-Ширшова ?
28. Приведите пример нахождения базиса Грёбнера-Ширшова.
29. Всегда ли базис Грёбнера-Ширшова конечен ?
30. Приведите пример решения системы алгебраических уравнений с использованием базиса Грёбнера-Ширшова.
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
Таблица 9
Вид аттестации
Допуск к
аттестации
Зачёт
40 баллов
61 балл
Экзамен
(соответствие рейтинговых баллов и академических оценок)
Удовл.
Хорошо
Отлично
61-72 баллов
73-86 баллов
87-100 баллов
Стр.16 из 37
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
индивидуальное собеседование, зачёт
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ
1. Определения группы, кольца, поля, векторного пространства и алгебры над
полем.
2. Что такое линейно зависимая (независимая) система векторов векторного
пространства ?
3. Что такое базис векторного пространства.
4. Как найти линейную оболочку, ранг и базис конечной системы векторов ?
5. Что такое подпространство векторного пространства ?
6. Как найти базис подпространства ?
7. Что такое фактор-пространство векторного пространства ?
8. Как найти базис фактор-пространства ?
9. Что такое многочлены от одного и нескольких переменных ?
10. Что такое наибольший общий делитель многочленов ?
11. Как найти НОД двух многочленов от одного переменного ?
12. Что такое линейное разложение НОД ?
13. Как найти линейное разложение НОД двух многочленов от одного переменного ?
14. Схема Горнера и её применение.
15. Словарный (лексикографический) порядок на мономах и его основные свойства.
16. Что такое композиция двух многочленов от нескольких переменных ?
17. Лемма Ширшова о композиции.
18. Какая система многочленов называется замкнутой относительно композиций ?
19. Лемма Ширшова о композиции.
20. Алгоритм Бухбергера замыкания относительно композиций.
21. Что такое базис Грёбнера-Ширшова ?
22. Как применяются базисы Грёбнера-Ширшова при решении систем уравнений
?
23. Как применяются базисы Грёбнера-Ширшова для нахождения базисов некоторых алгебр ?
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ЗАЧЁТА
1. Найдите базис векторного пространства
2  x  y  z  0
}.
 xz 0
W = {(x; y; z)  R3 | 
2. Найдите линейную оболочку системы векторов
Стр.17 из 37
  1
 
v =   1 ,
  1
 
3.
  1
 
 0 ,
 1 
 
 2 
 
 1 ,
  1
 
 2
 
 1 .
0 
 
4
 
Определите, принадлежит ли вектор  3  линейной оболочке системы век 1
 
торов предыдущего задания ?
4.
 ( 1;  1; 2; 0 ) 


 ( 1; 1; 0; 0 ) 
Найдите базис подпространства с системой образующих u = 
.
( 0 ; 0 ; 2; 0 ) 


 ( 1; 1; 1; 1 ) 
5. Найдите базис фактор-пространства R4 / (v1 , v2), где v1 = (1; 1; 1; 1), v2 =
(1; –1; 1; –1).
6. Перемножьте f(x) = x3 – 2x + 1 на g(x) = 2x2 – 3x + 5.
7. Разделите f(x) = x3 – 2x + 1 на x + 1 по схеме Горнера.
8. Вычислите значение многочлена f(x) = x4 – 3x2 + 4x – 5 в точке x = 2 по
схеме Горнера.
9. Упорядочите мономы многочлена 3xy2z – y3z2 + xyz + 2x – 1 по возрастанию в лексикографическом порядке.
10. Вычислите композиции [xy, y], [xy, yz + x], [x2z + y, yz + x].
11. Замкнута ли система xy, yz + 3, 2x относительно композиций ?
12. Замкнута ли система xy – 1, yx – 1 относительно композиций ?
13. Замкните относительно композиций систему многочленов
xz – y, yz – x, xy – z.
14. Найдите базис Грёбнера-Ширшова системы
x3yz–xz2, xy2z–xyz, x2y2–z.
x 2  y 2  1  0
15. Решите систему алгебраических уравнений  2
с исполь9
2
 x  2  x  y  y  4  0
зованием базиса Грёбнера-Ширшова.
Стр.18 из 37
7.3.3. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования
в процессе освоения образовательной программы
(выдержка из матрицы компетенций):
ПК-2
+
+
+
+
+
Алгебра многочленов и базисы
Грёбнера-Ширшова
Элементы многомерной
геометрии
Теоретические
оновы информатики
Дифференциальные уравнения
+
+
Теория линейных операторов
+
+
Теория чисел
+
+
Теория игр и методы принятия
решений
+
Основы системного анализа
+
Системы дифференциальных
уравнений
+
Дискретная математика и математическая логика
Аналитическая
геометрия
Дифференциальная геометрия и
топология
Фундаментальная и
компьютерная алгебра
+
Стохастический анализ
+
Компьютерная геометрия и
геометрическое моделирование
ОПК-1
Математический
анализ*
Математические основы
информатики
Таблица 10
+
+
+
+
+
+
+
+
7.3.4. Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 11.
Знает: что такое результат
решения задачи, основные
методы решения типовых
задач курса
Знает: что такое результат задачи, методы доказательства теорем, методы решения задач с использованием изученных
понятий в нестандартном
виде
Умеет: решать типовые
задачи, находить способ
конструирования объектов,
иллюстрирующих
данное понятие или свойство,
сформулировать
результат задачи самостоятельно
Умеет: сформулировать
результат задачи самостоятельно, решать нестандартные задачи
Оценочные
средства
Умеет:
приводить
примеры и контпримеры,
сформулировать
результат по образцу.
повышенный
(отлично)
91-100 баллов
самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания
Знает: основные понятия, классические факты,
утверждения и
приёмы, имеет представление о результате
решения задачи
базовый
(хорошо)
76-90 баллов
лекции, практические занятия
ОПК-1: готовность использовать фундаментальные знания в области математики в
будущей профессиональной деятельности
минимальный
(удовл.)
61-75 баллов
Виды
занятий
Код
компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Стр.19 из 37
базовый
(хорошо)
76-90 баллов
Знает: основные понятия методы и приёмы
математического моделирования стандартных
естественнонаучных
задач
Умеет: решать станУмеет: решать про- дартные задачи матемастейшие стандартные тического моделировазадачи математиче- ния, соотносить резульского моделирования таты с исходными условиями
Знает: простейшие
понятия и приёмы
математического моделирования
Владеет: общими и
Владеет: приёмами специальными приемарешения простейших ми решения основных
модельных задач
задач и анализа полученных результатов
повышенный
(отлично)
91-100 баллов
Знает: основные понятия методы и приёмы математического
моделирования естественнонаучных
нестандартных задач
Умеет: решать нестандартные
задачи
математического моделирования, анализировать
полученные
результаты
Владеет: общими и
специальными приемами решения нестандартных задач и анализа полученных результатов
Оценочные
средства
минимальный
(удовл.)
61-75 баллов
самостоятельные работы, контрольные работы, домашние задания
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Виды занятий
Владеет: навыком выделения результата задачи
самостоятельно, имеет
представление о значении дисциплины в математике, анализирует решение математических
задач, выделяет методы
рассуждения
лекции, практические занятия
ставить естественнонаучные задачи
ПК-2: способность математически корректно
Код
компетенции
Владеет:
приемами
решения задач, иллюстрирующих теорию,
навыком
выделения
результата задачи по
образцу.
Владеет: общими и специальными приемами решения основных задач
курса, основанными на
соответствующих методах,
навыком выделения результата задачи самостоятельно
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1.
Валицкас А.И. Конспект лекций по дисциплине “Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры: Базисы Грёбнера-Ширшова” // Рукопись. – Тобольск, 2010.
2.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
3.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 20012004.
4.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
Стр.20 из 37
5.
Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. – М.: Издательский центр “Академия”, 2004.
6.
Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика
(основание информатики). – Ростов-на-Дону: “Феникс”, 2002.
б) дополнительная литература:
7.
Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.: Мир,
1994.
8.
Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
9.
Бокуть Л.А. Ассоциативные кольца, I (кольцевые конструкции). – Новосибирск, издательство НГУ, 1977.
10. Бокуть Л.А. Ассоциативные кольца, II (категории модулей, вложения в тела). – Новосибирск, издательство НГУ, 1981.
11. Кон П.М. Универсальная алгебра. – М.: Мир, 1968.
12. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.
13. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
14. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: теория и
практика. – М.: Мир, 1980.
15. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Пер. с
англ. / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса. – М.: Мир, 1986.
в) периодические издания:
г) мультимедийные средства:
д) Интернет-ресурсы:
1.
Базис Грёбнера // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. –
Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Базис_Грёбнера
Стр.21 из 37
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный класс с компьютерами: микропроцессор не ниже Pentium IV,
объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ не меньше 512 МБ, операционная
система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или Delphi.
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова” является
дисциплиной по выбору и изучается во VIII-м семестре IV-го курса. На её изучение отведено 3 зачётных единицы (108 часов), из них аудиторных – 54 часа:
14 часов лекций и 30 часов практических занятий. На самостоятельную работу
студентов выделено 64 часа. Форма итогового контроля: зачёт.
Цель дисциплины “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова”
триедина:
 овладение студентами математическим аппаратом алгебры многочленов, некоторыми фундаментальными теоретическими положениями абстрактной алгебры;
 формирование алгебраической культуры;
 осознание ими прикладного характера математики в целом и абстрактной алгебры в частности.
Вместе с тем, изучение дисциплины преследует и следующие цели:
 обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих
многочлены и алгебраические базисы в качестве математического аппарата;
 владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
 освоение методологии построения математических моделей;
 пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач алгебраическими методами;
Стр.22 из 37
 сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;
 знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития.
Некоторые разделы учебной программы могут быть вынесены на самостоятельное изучение (по желанию преподавателя), а некоторые могут быть прочитаны в обзорном порядке. Кроме того, отдельные вопросы программы могут быть
изучены в других дисциплинах (например, в математическом анализе, некоторых
дисциплинах информатики).
Объём самостоятельной работы студентов – 64 часа. Особое внимание следует уделить самостоятельному решению задач, т.к. не решая задачи, невозможно
сознательно усвоить теоретический материал. Что касается теоретических разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с
одной стороны, домашней контрольной работой, а с другой – вопросами зачёта.
Рекомендуется выполнять все домашние задания. Кроме того, предусмотрены нестандартные задачи, решая которые студент развивает свое мышление и более
глубоко усваивает материал.
Отчётность по дисциплине – зачёт в VIII семестре.
Стр.23 из 37
10. Паспорт рабочей программы дисциплины
Разработчик(и): Валицкас Алексей Игоревич, к. ф.-м. н, доцент
ФИО, ученая степень, должность
Программа одобрена на заседании кафедры математики, ТиМОМ
от «13» января 2010 г. , протокол № 8
Согласовано:
Зав. кафедрой ______________________
«___» ________________г.
Согласовано:
Специалист по УМР _________________
«___» ________________г.
Стр.24 из 37
Ф СТО ТГСПА 7.3-03-01-2012
Форма аннотации рабочей программы дисциплины
Аннотация рабочей программы дисциплины
Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова
(наименование дисциплины)
1. Цель дисциплины: на основе изучения фундаментальных понятий алгебры формирование
цельного представления о математике и применение теоретических знаний о базисах ГрёбнераШиршова для решения практических задач.
2. Место дисциплины в структуре ООП:
Дисциплина относится к вариативной части профессионального учебного цикла
3.Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование и развитие компетенций: (коды)
ОПК-1, ПК-2.
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать: некоторые классические алгебраические структуры – кольца, поля, векторные пространства, алгебры; основные понятия и результаты об алгебре многочленов;
основные
алгебраические конструкции – подпространство, подалгебра, идеал, фактор-пространство, фактор-алгебра, линейный базис, базис Грёбнера-Ширшова;
возможные сферы приложений
алгебраических абстракций, необходимых для успешного изучения математических и теоретико-информационных дисциплин, решения задач, возникающих в информатике и других профессиональных сферах.
уметь: применять методы алгебры для решения математических задач, построения и анализа
моделей в прикладных задачах математики и информатики; решать задачи вычислительного и
теоретического характера, связанные с многочленами и базисами алгебр.
владеть: методами решения рассмотренных при изучении дисциплины задач; навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики; методикой построения, анализа и применения математических моделей для прикладных задач математики и информатики.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачётных единицы (108 часов).
5. Семестры: VIII
6. Основные разделы дисциплины:
1. Основные алгебраические структуры, 2. Алгебра многочленов, 3. Метод композиций, 4.
Некоторые применения базисов Грёбнера-Ширшова.
7. Разработчик(и):
Валицкас А.И., к. ф.-м. н., доцент
ФИО, ученая степень, должность
Стр.25 из 37
Приложение I
Планы лекций
№
1
2
3
4
5
6-7
Раздел
I. Основные алгебраические
структуры
II. Алгебра
многочленов
III. Метод композиций
IV. Некоторые
применения базисов ГрёбнераШиршова
План лекции
Группы, кольца, поля. Векторные пространства и их базисы. Алгебры, идеалы и фактор-алгебры. Базисы факторпространств и фактор-алгебр.
Многочлены от одного переменного. Линейное разложение
НОД. Схема Горнера и её применения.
Многочлены от нескольких переменных. Работа программиста с многочленами. Словарный порядок на мономах.
Понятие композиции. Замыкание порождающих идеала относительно композиций.
Базисы Грёбнера-Ширшова.
Уравнения и системы уравнений.
Нахождение базисов некоторых алгебр.
Стр.26 из 37
Приложение II
Планы практических занятий
№
1
2
Раздел
I. Основные
алгебраические
структуры
3-4
6
7
8-9
10-11
12-13
14-15
II. Алгебра
многочленов
III. Метод
композиций
IV. Некоторые
применения
базисов
ГрёбнераШиршова
План практического занятия
Векторные пространства, алгебры и их базисы
Фактор-пространства, фактор-алгебры и их базисы
Многочлены от одного переменного. Схема Горнера.
Линейное разложение НОД
Многочлены от нескольких переменных. Работа программиста с многочленами. Лексикографический порядок на
мономах
Вычисление композиций многочленов
Идеалы. Замыкание относительно композиций
Построение базисов Грёбнера-Ширшова
Некоторые применения базисов Грёбнера-Ширшова: системы уравнений
Некоторые применения базисов Грёбнера-Ширшова:
базисы алгебр
Стр.27 из 37
Приложение III
Литература
а) основная литература:
1.
Валицкас А.И. Конспект лекций по дисциплине “Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры: Базисы Грёбнера-Ширшова” // Рукопись. – Тобольск, 2010.
2.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
3.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 20012004.
4.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
5.
Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. – М.: Издательский центр “Академия”, 2004.
6.
Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика
(основание информатики). – Ростов-на-Дону: “Феникс”, 2002.
б) дополнительная литература:
7.
Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.: Мир,
1994.
8.
Бокуть Л.А. Ассоциативные кольца, I (кольцевые конструкции). – Новосибирск, издательство НГУ, 1977.
9.
Бокуть Л.А. Ассоциативные кольца, II (категории модулей, вложения в тела). – Новосибирск, издательство НГУ, 1981.
10. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
11. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.
12. Кон П.М. Универсальная алгебра. – М.: Мир, 1968.
13. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
14. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: теория и
практика. – М.: Мир, 1980.
Стр.28 из 37
15. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Пер. с
англ. / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса. – М.: Мир, 1986.
в) периодические издания:
г) мультимедийные средства:
д) Интернет-ресурсы:
1. Алгебра Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Базис_Грёбнера
Стр.29 из 37
Приложение IV
Планы практик
Практики по дисциплине не предусмотрены.
Стр.30 из 37
Приложение V
Темы самостоятельной работы студентов
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
1. В любом ли векторном пространстве есть базис ?
2. Что такое линейная оболочка системы векторов ? Как определить, принадлежит ли данный вектор линейной оболочке заданной системы векторов в арифметическом векторном пространстве ?
3. Как найти базис подпространства арифметического векторного пространства, зная систему его образующих ?
4. Что такое размерность векторного пространства ?
5. Что такое фактор-пространство векторного пространства ?
6. Как найти базис фактор-пространства, если задан базис всего пространства
и базис подпространства, по которому происходит факторизация ?
7. Какими формулами задаются операции сложения, умножения многочленов, умножения многочлена на скаляр (выражения коэффициентов результата через коэффициенты аргументов) ?
8. Запишите формулу для возведения многочлена в квадрат (выражения коэффициентов результата через коэффициенты исходного многочлена).
9. Какие структуры данных используют для работы с многочленами от одного переменного ?
10. Какие структуры данных используют для работы с разреженными многочленами от одного переменного ?
11. Какие многочлены обратимы ?
12. Всегда ли в кольце многочленов есть единица по умножению ?
13. Всегда ли в алгебре многочленов над полем есть единица по умножению ?
14. Как выполнять операции сложения, умножения и умножения на скаляры
многочленов от нескольких переменных ?
15. Какие структуры данных используют для работы с многочленами от многих переменных ?
16. Как определяется лексикографический порядок на мономах от нескольких
переменных ?
17. Что такое композиция двух многочленов ?
18. Приведите пример многочленов, композиция которых нулевая.
19. Что можно сказать о степени композиции ?
20. Приведите пример многочленов, композиция которых равна единице.
21. Какая система многочленов называется замкнутой относительно композиций ?
22. Приведите пример системы многочленов, замкнутой относительно композиций.
23. Приведите пример процесса замыкания системы многочленов относительно композиций.
Стр.31 из 37
24. Приведите пример системы многочленов, не замкнутой относительно композиций.
25. Всегда ли замкнута ли относительно композиций система из одного многочлена ?
26. Всегда ли замкнута ли относительно композиций система из одного многочлена второй степени ? А третьей степени ?
27. Что такое базис Грёбнера-Ширшова ?
28. Приведите пример нахождения базиса Грёбнера-Ширшова.
29. Всегда ли базис Грёбнера-Ширшова конечен ?
30. Приведите пример решения системы алгебраических уравнений с использованием базиса Грёбнера-Ширшова.
Стр.32 из 37
Приложение VI
Текущий и итоговый контроль
ПРИМЕРНЫЕ ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ
1. Группы, кольца, поля. Примеры.
2. Базисы фактор-пространств и фактор-алгебр.
3. Схема Горнера и её применения.
4. Лексикографический порядок на мономах.
5. Вычисление композиций многочленов.
6. Замыкание относительно композиций.
7. Уравнения и системы уравнений.
8. Нахождение базисов некоторых алгебр.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ
1. Определения группы, кольца, поля, векторного пространства и алгебры над
полем.
2. Что такое линейно зависимая (независимая) система векторов векторного
пространства ?
3. Что такое базис векторного пространства.
4. Как найти линейную оболочку, ранг и базис конечной системы векторов ?
5. Что такое подпространство векторного пространства ?
6. Как найти базис подпространства ?
7. Что такое фактор-пространство векторного пространства ?
8. Как найти базис фактор-пространства ?
9. Что такое многочлены от одного и нескольких переменных ?
10. Что такое наибольший общий делитель многочленов ?
11. Как найти НОД двух многочленов от одного переменного ?
12. Что такое линейное разложение НОД ?
13. Как найти линейное разложение НОД двух многочленов от одного переменного ?
14. Схема Горнера и её применение.
15. Словарный (лексикографический) порядок на мономах и его основные свойства.
16. Что такое композиция двух многочленов от нескольких переменных ?
17. Лемма Ширшова о композиции.
18. Какая система многочленов называется замкнутой относительно композиций ?
19. Лемма Ширшова о композиции.
20. Алгоритм Бухбергера замыкания относительно композиций.
21. Что такое базис Грёбнера-Ширшова ?
Стр.33 из 37
22. Как применяются базисы Грёбнера-Ширшова при решении систем уравнений
?
23. Как применяются базисы Грёбнера-Ширшова для нахождения базисов некоторых алгебр ?
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ЗАЧЁТА
1. Найдите базис векторного пространства
2  x  y  z  0
}.
 xz 0
W = {(x; y; z)  R3 | 
2. Найдите линейную оболочку системы векторов
  1
 
v =   1 ,
  1
 
3.
  1
 
 0 ,
 1 
 
 2 
 
 1 ,
  1
 
 2
 
 1 .
0 
 
4
 
Определите, принадлежит ли вектор  3  линейной оболочке системы век 1
 
торов предыдущего задания ?
4. Найдите базис подпространства с системой образующих
 ( 1;  1; 2; 0 ) 


 ( 1; 1; 0; 0 ) 
u= 
.
( 0 ; 0 ; 2; 0 ) 


(
1
;
1
;
1
;
1
)


5. Найдите базис фактор-пространства R4 / (v1 , v2), где v1 = (1; 1; 1; 1), v2 =
(1; –1; 1; –1).
6. Перемножьте f(x) = x3 – 2x + 1 на g(x) = 2x2 – 3x + 5.
7. Разделите f(x) = x3 – 2x + 1 на x + 1 по схеме Горнера.
8. Вычислите значение многочлена f(x) = x4 – 3x2 + 4x – 5 в точке
x=2
по схеме Горнера.
9. Упорядочите мономы многочлена 3xy2z – y3z2 + xyz + 2x – 1 по возрастанию в лексикографическом порядке.
10. Вычислите композиции [xy, y], [xy, yz + x], [x2z + y, yz + x].
11. Замкнута ли система xy, yz + 3, 2x относительно композиций ?
12. Замкнута ли система xy – 1, yx – 1 относительно композиций ?
13. Замкните относительно композиций систему многочленов
xz – y, yz – x, xy – z.
14. Найдите базис Грёбнера-Ширшова системы
x3yz–xz2, xy2z–xyz, x2y2–z.
Стр.34 из 37
x 2  y 2  1  0
15. Решите систему алгебраических уравнений  2
с исполь9
2
x

2

x

y

y


0

4
зованием базиса Грёбнера-Ширшова.
Стр.35 из 37
Приложение VII
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова” является
дисциплиной по выбору и изучается во VIII-м семестре IV-го курса. На её изучение отведено 3 зачётных единицы (108 часов), из них аудиторных – 54 часа:
14 часов лекций и 30 часов практических занятий. На самостоятельную работу
студентов выделено 64 часа. Форма итогового контроля: зачёт.
Цель дисциплины “Алгебра многочленов и базисы Грёбнера-Ширшова”
триедина:
 овладение студентами математическим аппаратом алгебры многочленов, некоторыми фундаментальными теоретическими положениями абстрактной алгебры;
 формирование алгебраической культуры;
 осознание ими прикладного характера математики в целом и абстрактной алгебры в частности.
Вместе с тем, изучение дисциплины преследует и следующие цели:
 обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих
многочлены и алгебраические базисы в качестве математического аппарата;
 владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
 освоение методологии построения математических моделей;
 пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач алгебраическими методами;
 сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;
 знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития.
Некоторые разделы учебной программы могут быть вынесены на самостоятельное изучение (по желанию преподавателя), а некоторые могут быть прочитаны в обзорном порядке. Кроме того, отдельные вопросы программы могут быть
изучены в других дисциплинах (например, в математическом анализе, некоторых
дисциплинах информатики).
Объём самостоятельной работы студентов – 64 часа. Особое внимание следует уделить самостоятельному решению задач, т.к. не решая задачи, невозможно
сознательно усвоить теоретический материал. Что касается теоретических разделов, выносимых на самостоятельное изучение, то их усвоение контролируется с
одной стороны, домашней контрольной работой, а с другой – вопросами зачёта.
Рекомендуется выполнять все домашние задания. Кроме того, предусмотрены неСтр.36 из 37
стандартные задачи, решая которые студент развивает свое мышление и более
глубоко усваивает материал.
Отчётность по дисциплине – зачёт в VIII семестре.
Стр.37 из 37