Линейные операции над векторами

Занятие 5
Линейные операции над
векторами
5.1
Сложение векторов. Умножение векторов на числа
Закрепленным вектором называется направленный отрезок,
определенный двумя точками A и B. Точка A называется началом, а точка B – концом вектора. Закрепленный вектор обо−
−
→
значается AB и изображается в виде отрезка со стрелкой. Длина
−
−→
вектора называется его модулем, |AB| = AB.
Закрепленный вектор характеризуется: 1) длиной, 2) направлением, 3) точкой приложения (т.е. его началом).
−→
Вектор AA называется нуль-вектором. Он имеет нулевую
длину и не имеет направления или, если угодно, можно считать,
что он имеет произвольное направление.
Свободным вектором (или в дальнейшем просто вектором)
называется множество закрепленных векторов, которые имеют
одинаковую длину и направление. Свободные векторы мы будем
обозначать строчными латинскими буквами: ~a, ~b, . . . .
Таким образом, в определении свободного вектора мы отвлекаемся от точки приложения закрепленного вектора и не разли46
чаем закрепленные векторы, получающиеся друг из друга па−−
→
раллельным переносом. Запись ~a = AB означает, что закреп−
−
→
ленный вектор AB является представителем свободного вектора ~a . В этом случае мы будем говорить также, что вектор ~a
отложен от точки A .
Сложение векторов определяется по одному из правил:
правилу параллелограмма или правилу треугольника:
Таким образом, для любых трех точек A, B, C имеется равенство
−
−
→ −−→ −→
AB + BC = AC .
Правило треугольника легко обобщается на случай любого
числа векторов и называется правилом многоугольника. Чтобы
сложить n векторов ~a1 ,~a2 , . . . ,~an , отложим вектор a1 от некото−−−→
рой точки A0 , ~a1 = A0 A1 , отложим вектор a2 от конца вектора
−−−→
−−−−−→
−−−→
~a1 , ~a2 = A1 A2 , и т.д. . . . ,~an = An−1 An . Тогда вектор A0 An , соединяющий начало первого вектора и конец последнего, равен
сумме ~a1 + . . . + ~an :
47
В частности, отсюда следует, что для трех векторов (в пространстве) правило параллелограмма превращается в правило
параллелепипеда: чтобы сложить три вектора ~a, ~b, ~c, нужно отложить их от одной точки A и построить на этих векторах параллелепипед. Тогда диагональ параллелепипеда, выходящая из
точки A, дает сумму ~a + ~b + ~c.
Вычитание – это операция, обратная к сложению. Разностью
векторов ~a − ~b называется такой вектор ~x, что ~b + ~x = ~a. Отсюда
вытекает правило вычитания векторов. Отложим векторы ~a и
~b от одной и той же точки O. Тогда вектор, соединяющий конец
вектора ~b с концом вектора ~a, равен ~a − ~b:
Умножение вектора на число. Произведением вектора ~a
на число λ называется вектор λ~a, у которого
1) длина |λ~a| = |λ||~
½ a| ;
λ~a ↑↑ ~a , если λ > 0;
2) направление:
λ~a ↑↓ ~a , если λ < 0.
Множество векторов (на прямой, на плоскости или) в пространстве образуют векторное пространство. Это означает, что
операции сложения векторов и умножения их на числа обладают следующими свойствами:
1. a + b = b + a.
2. (a + b) + c = a + (b + c).
3. Существует элемент 0 ∈ L такой, что a + 0 = a для любого
a. Элемент 0 называется нулевым элементом.
4. Для каждого a существует элемент −a такой, что a+(−a) =
0.
48
5.
6.
7.
8.
1 · a = a.
λ(µa) = (λµ)a.
(λ + µ)a = λa + µa.
λ(a + b) = λa + λb.
Задача 5.1. По данным векторам ~a и ~b построить векторы: a)
− 2~b; b) 4~a + ~b; c) 2(~a + ~b); d) 34 (~a + 2~b) − 14 (~a − 2~b) − ~a − ~b.
1
a
3~
Задача 5.2. a) Пусть M — середина отрезка AB, O — произ−−→
−→ −−→
вольная точка. Доказать, что OM = 12 (OA+ OB. b) Пусть точка
M – точка пересечения медиан треугольника ABC, P – произ−−→
−→ −−→
вольная точка пространства. Доказать, что OM = 13 (OA+ OB +
−−→
OC).
−−→
−−→ −−→
−−→
♥ b) Воспользуемся равенствами OM = OB + BM = OC +
−−→
−→ −−→
−−→
−−→ −−→
CM = OA + AM . Сложив их, получим 3OM = (OB + OC +
−→
−−→ −−→ −−→
OA)+(BM + CM + AM ). По свойству точки пересечения медиан
−−→
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→
треугольника BM = 23 BB1 , CM = 23 CC1 , AM = 23 AA1 , где AA1 ,
−−→
BB1 и CC1 — медианы треугольника ABC Поскольку AA1 =
−−
→ −→ −−→ −
−→ −−→ −−→ −−→ −→
AB +AC , BB = BA+BC , CC = CB +CA , то
2
1
2
1
2
→ −→ −−
→ −−→ −−→ −→ ´
³ −−
−−→ −−→ −−→ −→ 2 AB + AC + BA + BC + CB + CA
=
3OM = OB+OC+OA+
3
2
−−→ −−→ −→
→
−
= OB + OC + OA + 23 0 , откуда следует требуемое. ♠
−
−
→
−−→
−−→
Задача 5.3. Пусть AB = ~a + 2~b, BC = −4~a − ~b, CD = −5~a − 3~b,
где ~a и ~b некоторые векторы. Доказать, что ABCD — трапеция.
5.2
Линейная зависимость векторов
Линейной комбинацией векторов ~a1 , . . . ,~ak с коэффициентами
λ1 , . . . , λk называется вектор
~a = λ1~a1 + . . . + λk~ak .
49
Векторы ~a1 , . . . ,~ak называются линейно зависимыми (сокращенно л.з.), если существуют числа λ1 , . . . , λk , не все равные
нулю, такие, что
λ1~a1 + . . . + λk~ak = ~0.
Если это не так, то векторы называются линейно независимыми
(сокращенно л.н.з.), т.е. векторы ~a 1 , . . . ,~ak линейно независимы,
если равенство λ1~a1 + . . . + λk~ak = ~0 возможно только в случае
λ1 = . . . = λk = 0.
Задача 5.4. Проверить, что:
a) если среди векторов ~a1 , . . . ,~ak имеется нулевой вектор ~0, то
эти векторы линейно зависимы;
b) если часть из векторов ~a1 , . . . ,~ak л.з., то и все эти векторы
л.з.
На практике удобно пользоваться следующим эквивалентным
определением:
Векторы ~a1 , . . . ,~ak называются линейно зависимыми, если
один из этих векторов можно выразить в виде линейной комбинации остальных.
Понятие линейной зависимости связано с геометрией расположения векторов. Векторы называются коллинеарными (от слова
line – прямая), если они параллельны одной и той же прямой, т.е.
если их отложить от одной точки, то они будут лежать на одной
прямой. Или проще: коллинеарные векторы – это параллельные
между собой векторы. Векторы называются компланарными (от
слова plane – плоскость), если они параллельны одной и той же
плоскости, т.е. если их отложить от одной точки, то они будут
лежать в одной плоскости. Нетрудно доказать, что:
Два вектора ~a и ~b коллинеарны ⇐⇒ ~a и ~b л.з.
Три вектора ~a, ~b и ~c компланарны ⇐⇒ ~a, ~b, ~c л.з.
5.3
Базис и система координат
Базис векторного пространства — это система линейно независимых векторов этого пространства, через которые любой вектор
50
пространства может быть представлен (и единственным образом) в виде их линейной комбинации.
На прямой базис состоит из одного вектора ~e 6= ~0. Базисный
вектор ~e играет роль масштабного вектора, с помощью которого
мы "измеряем"все остальные векторы.
На плоскости базис состоит из двух линейно независимых векторов. Любой вектор ~a на плоскости можно и единственным образом выразить через базис в виде линейной комбинации:
~a = X1~e1 + X2~e2 .
Числа (коэффициенты) X1 и X2 называются координатами вектора ~a относительно базиса (или в базисе) ~e 1 , ~e2 .
В пространстве базис состоит из трех линейно независимых
векторов ~e1 , ~e2 , ~e3 . Любой вектор ~a в пространстве можно и единственным образом выразить через базис в виде линейной комбинации:
~a = X1~e1 + X2~e2 + X3~e3 .
Числа (коэффициенты) X1 , X2 , X3 называются координатами
вектора ~a относительно базиса (или в базисе) ~e 1 , ~e2 , ~e3 . Координаты вектора ~a записывают так: ~a(X 1 , X2 , X3 ) или ~a =
(X1 , X2 , X3 ).
Если в некотором базисе векторы ~a и ~b имеют координаты
~a = (X1 , X2 , X3 ), ~b = (Y1 , Y2 , Y3 ), то:
1) ~a + ~b = (X1 + Y1 , X2 + Y2 , X3 + Y3 ),
т.е. координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат.
2) λ~a = (λX1 , λX2 , λX3 ),
т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Из пункта 2) следует условие параллельности векторов:
два вектора параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцианальны:
51
~a k ~b
⇐⇒
X1
X2
X3
=
=
.
Y1
Y2
Y3
Задача 5.5. Определить, при каких значениях α и β векторы
~a = −2~i + 3~j + β~k и ~b = α~i − 6~j + 2~k будут коллинеарны.
Ответ: α = 4, β = −1.
Задача 5.6. Дан базис ~e1 , ~e2 . Построить векторы ~a = 2~e1 , ~b =
3~e1 + 3~e2 и ~c = 2~e1 + 6~e2 . Разложить геометрически вектор ~c по
векторам ~a и ~b.
Задача 5.7. Даны три вектора ~e1 , ~e2 и ~a (даны их координаты
относительно некоторого базиса). 1. Проверить, что векторы ~e 1
и ~e2 образуют базис (не коллинеарны). 2. Найти координаты
вектора ~a = (X1 ; X2 ) в базисе ~e1 , ~e2 .
a) ~e1 = (3; −1), ~e2 = (−2; 5), ~a = (4; 3); b) ~e1 = (1; 2),
~e2 = (2; −3), ~a = (9; 4).
Ответ: a) ~a = 2~e1 + ~e2 = (2; 1); b) ~a = 5~e1 + 2~e2 = (5; 2).
Задача 5.8. Даны четыре вектора ~e1 , ~e2 , ~e3 и ~a (даны их координаты относительно некоторого базиса). 1. Проверить образуют ли три первых вектора базис. 2. Найти координаты вектора
~a = (X1 , X2 , X3 ) в базисе ~e1 , ~e2 , ~e3 .
a) ~e1 = (1; 2; 3), ~e2 = (1; 1; 0), ~e3 = (1; 0; 1), ~a = (2; 1; −1); b)
~e1 = (2; 3; 1), ~e2 = (5; 7; 0), ~e3 = (3; −2; 4), ~a = (4; 12; −3)
♥ a) 1. Векторы ~e1 , ~e2 , ~e3 образуют базис тогда и только тогда, когда определитель |A| матрицы, составленной из координат этих векторов, не равен нулю (это следует из правила Крамера, см. решение второй части задачи; по другому мы обоснуем это с помощью смешанного произведения векторов в занятии 8). Так как |A| = −4 6= 0, то векторы ~e 1 , ~e2 , ~e3 образуют
базис. 2. Требуется выразить вектор ~a в виде линейной комбинации векторов ~e1 , ~e2 , ~e3 , т.е. найти такие числа X1 , X2 , X3 , что
X1~e1 + X2~e2 + X3~e3 = ~a. Записывая векторы в виде столбцов их
координат, получаем равенство:
52


 
  

1
1
1
2
X1  2  + X 2  1  + X 3  0  =  1  .
3
0
1
−1
Приравнивая первые, вторые и третьи координаты в левой и
правой частях этого равенства, получаем следующую систему
трех линейных уравнений:

 X1 + X2 + X3 = 2,
2X1 + X2
= 1,

3X1 +
X3 = −1.
Решая эту систему, найдем X1 = − 12 , X2 = 2, X3 = 12 . ♠
Ответ: a) ~a = − 12 ~e1 + 2~e2 + 12 ~e3 = (− 12 ; 2; 12 ); b) ~a = ~e1 +
~e2 − ~e3 = (1; 1; −1).
Система координат. Координаты точки.
Система координат (в пространстве) состоит из базиса ~e 1 , ~e2 , ~e3
и точки O, которая называется началом координат. Координатами точки M в системе координат (O; ~e 1 , ~e2 , ~e3 ) называются
−−→
координаты её радиус-вектора OM в базисе ~e1 , ~e2 , ~e3 .
Таким образом, точка M имеет координаты x 1 , x2 , x3 ,
M (x1 , x2 , x3 ), если
−−→
OM = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 .
Выражение координат вектора через координаты его конца
и начала: координаты вектора, соединяющего две точки равны
разностям соответствующих координат его конца и начала, т.е.
−−−−→
если ~a = M1 M2 , M1 (x1 , x2 , x3 ), M2 (y1 , y2 , y3 ), то координаты
вектора ~a(X1 , X2 , X3 ) равны
X1 = y 1 − x 1 , X 2 = y 2 − x 2 , X 3 = y 3 − x 3 .
Задача 5.9. Показать, что точки A(3; −5), B(−2; −7), C(18; 1)
лежат на одной прямой.
53
Задача 5.10. Определить начало M1 вектора ~a(2; −3; −1), если
его конец совпадает с точкой M2 (1; −1; 2).
Ответ: M1 (−1; 2; 3).
Задача 5.11. Даны три последовательные вершины A(3; −4; 7),
B(−5; 3; −2), C(1; 2; −3) параллелограмма ABCD. Найти его
четвертую вершину D.
Ответ: D(9; −5; 6).
Деление отрезка в данном отношении.
Точка C на прямой AB делит отрезок AB в отношении λ,
если
−−→
−→
AC = λCB
Если A = (x1 , x2 , x3 ), B = (y1 , y2 , y3 ) и точка C делит отрезок
AB в отношении λ, то координаты точки C(z 1 , z2 , z3 ) равны
z1 =
x1 + λy1
x2 + λy2
x3 + λy3
, z2 =
, z3 =
.
1+λ
1+λ
1+λ
В частности, координаты середины отрезка равны средним
арифметическим его концов:
z1 =
x1 + y 1
x2 + y 2
x3 + y 3
, z2 =
, z3 =
.
2
2
2
Контрольные вопросы
1. Что такое закрепленные и свободные векторы?
2. Дайте определение операций сложения векторов и умножения вектора на число.
3. Как сложить несколько векторов (правило многоугольника)?
4. Что такое линейно зависимые (линейно независимые) векторы?
54
5. Что такое базис и координаты вектора?
6. Что такое система координат и координаты точки?
7. Как найти координаты вектора, зная координаты его конца
и начала?
8. Как (по координатам) узнать являются ли векторы параллельными?
9. Что значит, что точка C делит отрезок AB в отношении λ?
Как найти координаты точки C, зная координаты точек A и B?
Дополнительные вопросы и задачи
D1. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы ~a и ~b, чтобы имело место соотношение |~a + ~b| = |~a − ~b|?
Ответ: Параллелограмм построенный на векторах ~a и ~b должен быть прямоугольником.
D2. В пространстве заданы треугольники ABC и A 0 B 0 C 0 ; точки M и M 0 — точки пересечения их медиан. Выразить вектор
−−−→0
−−→ −−→ −−→
M M через векторы AA0 BB 0 CC 0 .
−−→ −−→ −−→
−−−→
Ответ: M M 0 = 13 (AA0 + BB 0 + CC 0 ).
D.3. Доказать, что для любых заданных векторов ~a, ~b и ~c
векторы ~a + ~b, ~b + ~c, ~c − ~a компланарны.
55
Занятие 6
Прямоугольная система
координат
6.1
Длина вектора и расстояние между точками
Система координат (O; ~e1 , ~e2 , ~e3 ) называется прямоугольной , если:
1) базисные векторы имеют единичную длину,
|~e1 | = |~e2 | = |~e3 | = 1;
2) базисные векторы попарно ортогональны,
~e1 ⊥ ~e2 ⊥ ~e3 ⊥ ~e1 .
Базисные векторы при этом обычно обозначают ~i, ~j, ~k, и называют базисными ортами, а координаты обозначают x, y, z. Оси
координат называют: Ox — осью абсцисс, Oy — осью ординат,
Oz — осью аппликат.
56
Длина вектора ~a = (X, Y, Z) равна корню из суммы квадратов
его координат:
p
|~a| = X 2 + Y 2 + Z 2 .
Расстояние между точками A(x1 , y1 , z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) равно
p
AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
6.2
Величина проекции вектора на ось и
направляющие косинусы
Ось — это прямая, на которой выбрано направление. Пусть направление на оси l задается единичным вектором ~e.
−−
→
Проекцией вектора ~a = AB на ось l называется вектор ~a0 =
−−→
A0 B 0 , где A0 и B 0 ортогональные проекции точек A и B на прямую l. Величиной проекции вектора ~a на ось l называется координата вектора ~a0 на прямой l относительно базисного вектора
~e, т.е. такое число пр l~a (или пр~e~a ), что a~0 = прl~a · ~e.
Таким образом, мы различаем проекцию вектора на ось и величину проекции вектора на ось: первое — это вектор, а второе
— число.
Величина проекции вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е.
прl~a = |~a| · cos ϕ, где ϕ = ∠(~e,~a).
Пусть α, β, γ — углы, которые вектор ~a = (X, Y, Z) составляет с осями координат. Косинусы этих углов, cos α, cos β, cos γ,
называются направляющими косинусами вектора ~a.
57
Из определений следует, что координаты вектора ~a равны величинам проекций этого вектора на оси координат. Поэтому
X = прOx~a = |~a|·cos α , Y = прOy~a = |~a|·cos β , Z = прOz~a = |~a|·cos γ .
Отсюда можно найти направляющие косинусы вектора ~a.
Вектор ~a0 = ~a , имеющий единичную длину и такое же на|~a|
правление, как и вектор ~a, называется ортом вектора ~a.
Вектор ~a0 имеет координаты (cos α, cos β, cos γ). Так как |~a 0 | =
1, то получаем соотношение между направляющими косинусами:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Задача 6.1. Построить точки A(3; 1; −2), B(−2; 1; 2), C(−3; −2; 1),
D(1; 0; −2) в прямоугольной системе координат.
Задача 6.2. Доказать, что треугольник с вершинами A(3; −1; 2),
B(0; −4; 2) и C(−3; 2; 1) равнобедренный.
Задача 6.3. Даны вершины треугольника A(2; −1; 4), B(3; 2; −6)
и C(−5; 0; 2). Вычислить длину медианы AD.
Ответ: AD = 7.
Задача 6.4. Найти орт вектора ~a:
a) ~a = (6; −2; −3); b) ~a = (3; 4; −12).
3 4
Ответ: a) ~a0 = ( 67 ; − 27 ; − 37 ); b) ~a0 = ( 13
; 13 ; − 12
13 ).
Задача 6.5. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:
58
a) α = 450 ; β = 600 ; γ = 600 ; b) α = 450 ; β = 1350 ; γ = 600 .
Ответ: a) да; b) нет.
Контрольные вопросы
1. Какая система координат называется прямоугольной?
2. Как найти длину вектора (расстояние между точками)?
3. Что такое проекция вектора на ось и величина проекции
вектора на ось?
4. Чему равна величина проекции вектора на ось?
5. Чему равна величина проекции вектора на оси координат?
5. Что такое направляющие косинусы вектора и как они связаны с его координатами?
Дополнительные вопросы и задачи
D1. Дана точка M (x, y, z). Найти координаты точки, симметричной точке M : 1) относительно начала координат: 2) относительно плоскости Oxy; 3) относительно оси Oz.
D2. Даны вершины треугольника A(1; 2; −1), B(2; −1; 3) и
C(−4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы BD.
D3. Вектор составляет с осями Ox и Oz углы α = 120 0 и
γ = 450 . Какой угол он составляет с осью Oy?
59
Занятие 7
Скалярное, векторное и
смешанное произведения
векторов
7.1
Скалярное произведение
Определение. Скалярным произведением векторов ~a и ~b называется число (~a, ~b) (или ~a · ~b), равное произведению длин этих
векторов и косинуса угла ϕ = ∠(~a, ~b) между ними:
(~a, ~b) = |~a| · |~b| · cos ϕ.
Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного вектора на величину проекции другого вектора на
направление первого вектора:
(~a, ~b) = |~a| · пр~a~b = |~b| · пр~b~a.
Из определения следует, что (~a, ~b) = 0, если либо ~a = ~0, либо ~b = ~0, либо cos ϕ = 0, т.е. ϕ = π2 , т.е. ~a ⊥ ~b. Поэтому для
ненулевых векторов
(~a, ~b) = 0 ⇐⇒ ~a ⊥ ~b .
60
Скалярный квадрат вектора, т.е. скалярное произведение вектора на себя, равен квадрату его модуля: (~a,~a) = |~a| · |~a| · cos 0 =
|~a|2 .
Свойства скалярного произведения.
1. (~a, ~b) = (~b,~a);
2. (λ~a, ~b) = λ(~a, ~b);
3. (~a1 + ~a2 , ~b) = (~a1 , ~b) + (~a2 , ~b).
Первое свойство называется симметричностью (или коммутативностью) скалярного произведения; второе и третье свойства
— линейность скалярного произведения по первому сомножителю. Из симметричности и линейности по первому сомножителю
следует линейность по второму сомножителю.
Вычисление скалярного произведения в координатах:
если ~a = (X1 , Y1 , Z1 ), ~b = (X2 , Y2 , Z2 ), то
(~a, ~b) = X1 X2 + Y1 Y2 + Z1 Z2 ,
т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Применение скалярного произведения. Основное применение скалярного произведения состоит в вычислении углов
между векторами:
cos ϕ =
(~a, ~b)
X1 X2 + Y 1 Y2 + Z 1 Z2
p
=p 2
.
~
X1 + Y12 + Z12 X22 + Y22 + Z22
|~a||b|
Отсюда, в частности, получаем условие перпендикулярности
двух векторов:
~a ⊥ ~b ⇐⇒ (~a, ~b) = 0 ⇐⇒ X1 X2 + Y1 Y2 + Z1 Z2 = 0.
Кроме того, с помощью скалярного произведения можно найти величину проекции одного вектора на другой вектор (= на
~
ось, определяемую другим вектором) : пр~a~b = (~a,b) .
|~a|
Задача 7.1. Вычислить скалярное произведение векторов (~a, ~b),
где ~a = (1; 2; 3), ~b = (−1; 1; 4). Вычислить косинус угла между
этими векторами.
61
♥ (~a, ~b) = 1 · (−1) + 2 · 1 + 3 · 4 = 13.
Для вычисления угла используем
скалярное
√
√ произведение.
2
2
2
Найдем
√ длины векторов: |~a| = 1 + 2 + 3 = 14; аналогично
|~b| = 18. Получаем:
cos ϕ =
13
13
(~a, ~b)
=√ √ = √ .
14 18
6 7
|~a||~b|
♠
√ .
Ответ: (~a, ~b) = 13; cos ϕ = 613
7
Задача 7.2. Даны вершины четырехугольника A(1; −2; 2),
B(1; 4; 0), C(−4; 1; 1), D(−5; −5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
♥ Чтобы доказать перпендикулярность AC и BD, достаточно
−→ −−→
−→
показать, что (AC, BD) = 0. Координаты этих векторов: AC =
−−→
−→ −−→
(−5; 3; −1), BD = (−6; −9; 3). Следовательно, ( AC, BD) = (−5) ·
(−6) + 3 · (−9) + (−1) · 3 = 0. ♠
Задача 7.3. a) Даны вершины треугольника ABC:
a) A(1; 2), B(0; 5), C(6; 1);
b) A(1; 2; 3), B(0; 5; 2), C(6; 1; 1).
Найти косинус внутреннего угла A.
Ответ: a) − √108√26 ; b) − √116√30 .
Задача 7.4. a) Даны длины векторов ~a и ~b и угол ϕ между
ними:
2
a) |~a| = 3, |~b| = 4, ϕ = π;
3
π
b) |~a| = 2, |~b| = 1, ϕ = .
3
Найти: a) (2~a + 3~b,~a + 3~b); b) (2~a − ~b, 3~a + 2~b).
♥ a) (2~a + 3~b,~a + 3~b) = (2~a,~a) + 6(~a, ~b) + 3(~b,~a) + 9(~b, ~b) = 2|~a|2 +
¡ ¢
2
2
9(~a; ~b)+9|~b| = 2|~a|2 +9|~a||~b| cos ϕ+9|~b| = 18+9·3·4· − 1 +9·16 =
2
108. ♠
Ответ: a) 108; b) 23.
62
7.2
Векторное произведение
Определение. Векторным произведением вектора ~a на вектор
~b называется вектор ~c, который обозначается [~a, ~b] (или ~a × ~b )
и который определяется условиями:
1) его длина равна произведению длин этих векторов и синуса
угла ϕ = ∠(~a, ~b) между ними:
|~c| = |~a| · |~b| · sin ϕ;
2) его направление характеризуется тем, что:
21 ) ~c ⊥ ~a и ~c ⊥ ~b,
22 ) векторы ~a, ~b, ~c образуют правую тройку. Это значит, что
если отложить эти векторы от одной точки и смотреть из конца
третьего вектора ~c, то кратчайший поворот от первого вектора
~a ко второму вектору ~b будет осуществляться против часовой
стрелки.
В физике для определения направления вектора [~a, ~b] используют также правило буравчика и правило правой руки.
Пример. [~i, ~j] = ~k. Действительно, |[~i, ~j]| = |~i||~j| sin π2 = 1. По
определению |~k| = 1, ~k ⊥ ~i, ~k ⊥ ~j и векторы ~i, ~j, ~k образуют правую тройку. Мы видим, что векторы [~i, ~j] и ~k имеют одинаковую
длину и направление, а поэтому совпадают.
Если ~a k ~b, то ∠(~a, ~b) = 0 либо ∠(~a, ~b) = π, и поэтому [~a, ~b] = ~0.
В частности, для любого вектора ~a имеем [~a,~a] = ~0.
Из геометрии известно, что площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними.
Отсюда следует геометрический смысл модуля векторного произведения: длина векторного произведения двух векторов равна
площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.
|[~a, ~b]| = |~a||~b| sin ϕ = S~a~b .
Свойства векторного произведения.
1. [~a, ~b] = −[~b,~a];
2. [λ~a, ~b] = λ[~a, ~b];
3. [~a1 + ~a2 , ~b] = [~a1 , ~b] + [~a2 , ~b].
63
Свойство 1. называется кососимметричностью (или антикоммутативностью) векторного произведения; свойства 2. и 3. – линейность векторного произведения по первому сомножителю.
Из кососимметричности и линейности по первому сомножителю следует линейность по второму сомножителю.
Вычисление векторного произведения в координатах:
если ~a = (X1 , Y1 , Z1 ) , ~b = (X2 , Y2 , Z2 ) , то
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ Y1 Z1 ¯
¯ X1 Z1 ¯
¯ X1 Y1 ¯
~
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ~k.
~
~
[~a, b] = ¯
i−¯
j+¯
Y2 Z2 ¯
X2 Z2 ¯
X2 Y2 ¯
Для запоминания этой формулы полезно использовать символический определитель и переписать ее в виде
¯
¯
¯ ~ı
~ ~k ¯¯
¯
[~a, ~b] = ¯¯ X1 Y1 Z1 ¯¯ .
¯ X2 Y2 Z2 ¯
Разлагая определитель по первой строке, мы получим выражение вектора [~a, ~b] через базисные векторы ~ı, ~, ~k. Коэффициенты
перед базисными векторами и есть координаты вектора [~a, ~b].
Применение векторного произведения. Векторное произведение применяется для вычисления площадей параллелограммов и треугольников.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах ~a и ~b,
равна
s¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ Y1 Z1 ¯2 ¯ X1 Z1 ¯2 ¯ X1 Y1 ¯2
¯ +¯
¯
¯
¯
S~a~b = |[~a, ~b]| = ¯¯
¯ X2 Z2 ¯ + ¯ X2 Y2 ¯ .
Y2 Z2 ¯
Если ~a = (X1 , Y1 ), ~b = (X2 , Y2 ) — векторы на плоскости, то их
можно рассматривать как частный случай векторов в пространстве, у которых третьи координаты равны нулю, Z 1 = Z2 = 0.
Тогда предыдущая
формула превращается в формулу (напом√
ним, что a2 = |a| )
64
S~a~b
¯¯
¯¯¯
¯¯
¯¯ X1 Y1 ¯¯¯
= ¯¯
¯.
¯ X2 Y2 ¯ ¯
Уточним эту формулу. Если ~a = (X1 , Y1 , 0), ~b = (X2 , Y2 , 0),
то вектор [~a, ~b] имеет не нулевой¯ только третью
координату (на¯
¯ X1 Y1 ¯
¯ ~k. Отсюда легко слеправлен вдоль оси Oz): [~a, ~b] = ¯¯
X2 Y2 ¯
дует геометрический смысл определителей второго порядка:
¯
¯
¯ X1 Y1 ¯
¯
¯
¯ X2 Y2 ¯ = ±S~a~b ,
т.е. определитель второго порядка равен площади параллелограмма, построенного на векторах ~a, ~b, координаты которых стоят в строках определителя, причем площадь берется со знаком
плюс, если кратчайший поворот от вектора ~a к вектору ~b совершается против часовой стрелки (= векторы ~a, ~b, ~k образуют
правую тройку), и площадь берется со знаком минус, если — по
часовой стрелке.
Площадь треугольника 4ABC равна половине площади па−
−
→ −→
раллелограмма, построенного на векторах AB и AC:
1 −−
→ −→
S4ABC = |[AB, AC]|.
2
Задача 7.5. a) Даны векторы ~a и ~b:
a)~a = (3; −1; −2), ~b = (1; 2; −1);
b)~a = (−1; 1; 2), ~b = (−2; 3; −1).
Найти векторное произведение [~a, ~b].
♥ a)
¯
¯
¯ ~ı ~
~k ¯
¯
¯ ¯
¯ −1 −2 ¯ ¯ 3 −2
¯
¯
~
¯
¯
¯
¯−~·¯
[~a, b] = ¯ 3 −1 −2 ¯ = ~ı·¯
2 −1 ¯ ¯ 1 −1
¯ 1 2 −1 ¯
= 5~ı + ~ + 7~k = (5; 1; 7). ♠
65
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯+~k·¯ 3 −1 ¯ =
¯
¯ 1 2 ¯
Ответ: a [~a, ~b] = (5; 1; 7); b) [~a, ~b] = (−7; −5; −1).
Задача 7.6. Даны точки A, B, C:
a)A(1; 2; 0), B(3; 0; −3), C(5; 2; 6);
b)A(10; 4; 12), B(2; 4; 0), C(6; 0; −6).
Вычислить площадь треугольника ABC и найти длину высоты
CH.
♥ a) Площадь треугольника найдем как половину модуля век−
−→
−→
торного произведение векторов AB = (2; −2; −3) и AC =
(4; 0; 6), на которых построен треугольник ABC. Поскольку век−−
→ −→
торное произведение
AB и¯ AC равно
¯
~k ¯
¯ ~ı ~
¯
¯
−−
→ −→
¯
[AB, AC] = ¯ 2 −2 −3 ¯¯ = −12~ı − 24~ + 8~k = (−12; −24; 8) =
¯ 4 0
6 ¯
4(−3; −6; 2), то площадь треугольника равна
S=
1 −−
1 p
→ −→
|[AB; AC]| = · 4 (−3)2 + (−6)2 + 22 = 14.
2
2
2S
Далее, 12 |AB| · |CH| = S, отсюда |CH| = |AB|
, |AB| =
p
√
2
2
2
(3 − 1) + (0 − 2) + (−3 − 0) = 17. Получаем |CH| = √2817 .
♠
Ответ: a) S = 14, |CH| = √2817 ; b) S = 56, |CH| = √5617 .
Задача 7.7. Даны точки A, B, C:
a) A(1; 2), B(3; 0), C(5; 2);
b) A(2; 2), B(0; 6), C(2; 10).
Вычислить площадь треугольника ABC.
♥ a) Площадь треугольника найдем как половину площади
−
−→
параллелограмма, построенного на векторах AB = (2; −2) и
−→
AC = (4; 0). Вычисляем определитель, построенный из координат векторов:
¯
¯
¯ 2 −2 ¯
¯
¯
¯ 4 0 ¯ = 8.
Таким образом, S4ABC =
Ответ: a) 4; b) 8.
1
2
· |8| = 4.
66
♠
Задача 7.8. Даны длины векторов ~a и ~b и угол ϕ = ∠(~a, ~b)
между ними:
π
a) |~a| = 1, |~b| = 2, ϕ = ;
3
π
b) |~a| = 2, |~b| = 3, ϕ = .
6
Вычислить a) : |[~a + ~b; 2~a − ~b]|; b) |[2~a + ~b; 2~a − 3~b]|.
♥ a) Имеем [~a + ~b; 2~a − ~b] = 2[~a;~a] + 2[~b;~a] − [~a; ~b] − [~b; ~b] = 2~0 −
~b]. Отсюда |[~a + ~b; 2~a − ~b]| = | − 3[~a; ~b]| =
2[~a; ~b] − [~a; ~b] − ~0 = −3[~a;√
3|[~a; ~b]| = 3|~a||~b|√sin ϕ = 3 3. ♠
Ответ: a) 3 3; b) 24.
Контрольные вопросы
1. Что такое скалярное произведение? Как оно вычисляется в
координатах? Где применяется скалярное произведение?
2. Что такое векторное произведение? Как оно вычисляется в
координатах? Где применяется векторное произведение?
3. Какой геометрический смысл имеет модуль векторного произведения?
4. Какой геометрический смысл имеет определитель второго
порядка?
Дополнительные вопросы и задачи
D1. Найти основание H высоты AH в треугольнике ABC,
A(1; 2), B(3; 0), C(5; 1).
2
Ответ: H( 11
5 ; − 5 ).
−−→
−−→
Указание. Пусть BH = tBC. Тогда из условия перпендику−−→ −−→
лярности AH и BC, (AH, BC) = 0, можно получить уравнение
−−→
относительно неизвестного t. Вычислив t, находим вектор BH,
а затем точку H.
D2. Вычислить работу силы F~ = 2~ı + 2~ + ~k при перемещении материальной точки из положения A(−1; 2; 0) в положение
B(2; 1; 3).
Ответ: 4.
67
Указание. Работа силы F~ вдоль пути l из точки A в точку B
−−→
есть скалярное произведение (F~ , AB).
D3. a) Найти вектор, перпендикулярный вектору ~v = (3; 4).
b) Найти вектор, перпендикулярный к каждому из двух данных
векторов ~v1 = (1; 2; 3) и ~v2 = (1; 0; 0). Задачу b) решить двумя
способами: с помощью скалярного произведения и с помощью
векторного произведения.
Ответ: a) (4t; −3t), t ∈ R - любое. b) (0; 3t; −2t), t ∈ R любое.
~ Доказать,
D4. Даны четыре произвольных вектора ~a, ~b, ~c, d.
~
~
~
~
что векторы [~a; d], [b; d] и [~c; d] компланарны.
D5. Доказать, что длины векторов ~a и ~b равны, если векторы
~a + ~b и ~a − ~b перпендикулярны.
√
D6. Найти величину проекции вектора ~a = ( 2; −3; −5) на
ось, составляющую с координатными осями Ox и Oz углы α =
45◦ и γ = 60◦ , а с осью Oy — острый угол β.
Ответ: −3.
D7. Найти угол между биссектрисами углов Oxy и Oyz.
Ответ: 60◦ .
D8. Каков геометрический смысл равенства |~a +~b|2 +|~a −~b|2 =
2(|~a|2 + |~b|2 )?
D9. Показать, что [~a − ~b,~a + ~b] = 2[~a, ~b]; выяснить геометрический смысл этого равенства.
D10. Векторы ~a, ~b, ~c удовлетворяют условию ~a + ~b + ~c = ~0.
Доказать, что [~a, ~b] = [~b, ~c] = [~c,~a].
D11. Дано: [~a, ~c] = [~b, ~c], где ~c 6= 0. Можно ли отсюда заключить, что ~a = ~b?
D12. Существуют ли векторы ~a и ~b такие, что [~a, ~b] = [~b,~a]?
D13∗ . Даны векторы ~a 6= 0, ~b 6= 0. Можно ли подобрать вектор
~x так, что ~a = [~b, ~x]?
Ответ: Да, если ~a ⊥ ~b; нет, если ~b = ~0,~a 6= ~0 или ~a 6⊥ ~b.
68
Занятие 8
Скалярное, векторное и
смешанное произведения
векторов (продолжение)
8.1
Смешанное произведение
Определение. Смешанным произведением трех векторов ~a, ~b и
~c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор:
h~a, ~b, ~ci = ([~a, ~b], ~c).
Геометрически смешанное произведение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах ~a, ~b, ~c, со знаком
h~a, ~b, ~ci = ±V ,
где знак плюс берется в случае, если векторы ~a, ~b, ~c образуют
правую тройку, а знак минус — если левую.
Отсюда получается условие компланарности векторов:
векторы ~a, ~b, ~c компланарны ⇐⇒ h~a, ~b, ~ci = 0.
Вычисление смешанного произведения в координатах:
69
если ~a = (X1 , Y1 , Z1 ), ~b = (X2 , Y2 , Z2 ), ~c = (X3 , Y3 , Z3 ), то
¯
¯
¯ X1 Y1 Z1 ¯
¯
¯
h~a, ~b, ~ci = ¯¯ X2 Y2 Z2 ¯¯ ,
¯ X3 Y3 Z3 ¯
т.е. смешанное произведение равно определителю, строки которого составлены из координат векторов ~a, ~b, ~c.
Свойства смешанного произведения.
1. Кососимметричность. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак:
h~a, ~b, ~ci = −h~b,~a, ~ci = h~b, ~c,~ai = . . .
Полилинейность, т.е. линейность по каждому сомножителю:
2. hλ~a, ~b, ~ci = h~a, λ~b, ~ci = h~a, ~b, λ~ci = λh~a, ~b, ~ci;
3. h~a1 + ~a2 , ~b, ~ci = h~a1 , ~b, ~ci + h~a2 , ~b, ~ci,
h~a, ~b1 + ~b2 , ~ci = . . . , h~a, ~b, ~c1 + ~c2 i = . . . .
Эти свойства следуют из соответствующих свойств определителя, так как смешанное произведение в координатах выражается в виде определителя.
Применение смешанного произведения. Смешанное произведение применяется для вычисления объемов.
Объем V параллелепипеда, построенного на векторах ~a =
(X1 , Y1 , Z1 ), ~b = (X2 , Y2 , Z2 ), ~c = (X3 , Y3 , Z3 ), равен модулю смешанного произведения:
V = |h~a, ~b, ~ci|.
В частности, мы получаем необходимое и достаточное условие компланарности векторов: векторы~a, ~b, ~c компланарны ⇐⇒
h~a, ~b, ~ci = 0, то есть определитель в строках (или столбцах) которого стоят координаты этих векторов, равен нулю.
Объем тетраэдра ABCD равен 16 объема параллелепипеда:
70
VABCD =
1
1 1
1
1 −−
→ −→ −−→
S4ABC · h = · S · h = V = |hAB, AC, ADi|.
3
3 2
6
6
Задача 8.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на
векторах ~u = (1; 2; 3), ~v = (1; 0; 0) и w
~ = (0; 1; 0).
♥ V = |h~u, ~v , wi|;
~
¯
¯
¯ 1 2 3 ¯
¯
¯
h~u, ~v , wi
~ = ¯¯ 1 0 0 ¯¯ = 3;
¯ 0 1 0 ¯
V = |3| = 3. ♠
Ответ: 3.
Задача 8.2. Доказать, что векторы ~u = (1; 2; 3), ~v = (1, 1, 2) и
w
~ = (−2, −1, −3) компланарны.
Указание. Нужно проверить, что h~u, ~v , wi
~ = 0.
Задача 8.3. Даны точки A, B, C, D:
a) A(2; −1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; −1), D(4; 1; 3);
b) A(2; 4; −2), B(8; 10; 10), C(−2; 6; 4), D(6; 2; 8).
Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в
этих точках, а также вычислить длину высоты тетраэдра, проведенной из вершины A.
♥ a) Объем тетраэдра ABCD равен 16 объема параллелепипеда:
−−
→ −→ −−→
Vтетр = 16 |hAB, AC, ADi|.
¯
¯
¯ 2 −1 1 ¯
¯
¯
−−→ −→ −−→
4 ¯¯ = −18.
hAB, AC, ADi = ¯¯ 5 5
¯ 3 2 −1 ¯
Следовательно, Vтетр = 16 | − 18| = 3 (куб. ед.).
Найдем теперь длину h высоты из вершины A. V ABCD =
−→ −−→ −−→
3VABCD
1
1 −
S
3 BCD · h ⇒ h = SBCD . Имеем SBCD = 2 |[BC, BD]|, BC =
−−→
(−2; −3; −5), BD = (−1; −4; −1). Найдем векторное произведение:
71
¯
¯ ~ı
~k
~
¯
−−→ −−→
¯
[BC, BD] = ¯ −2 −3 −5
¯ −1 −4 −1
¯
¯
¯
¯ = −17~ı + 3~ + 5~k = (−17; 3; 5).
¯
¯
p
−−→ −−→
Длина |[BC, BD]| = 12 (−17)2 + 32 + 52 =
h = 3VSABCD
= 1 √9323 , h = √18
.♠
BCD
323
2
Ответ: a) V = 3, h =
√18 ;
323
b) V = 24, h =
1
2
√
323. Получаем
√144 .
323
Контрольные вопросы
1. Что такое смешанное произведение векторов? Как оно вычисляется в координатах? Где применяется смешанное произведение?
2. Какой геометрический смысл имеет смешанное произведение?
Дополнительные вопросы и задачи
D1. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в
точках A(2; 1; −1), B(3; 0; 1), C(2; −1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.
Ответ: D(0; 8; 0) или D(0; −7; 0).
D2. Доказать тождество: h~a + ~c; ~b;~a + ~bi = −h~a; ~b; ~ci.
D3. Векторы ~a, ~b и ~c удовлетворяют условию [~a, ~b] + [~b, ~c] +
[~c,~a] = ~0. Доказать, что эти векторы компланарны.
D4. Показать, что объем параллелепипеда, построенного на
диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному
объему данного параллелепипеда.
D5. Доказать (геометрически), что при любых векторах ~a, ~b и
~c векторы ~a − ~b, ~b −~c, ~c −~a компланарны. Каков геометрический
смысл этого факта?
72