Основы теории колец - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Директор Института
_______________________ /Ф.И.О./
__________ _____________ 201__г.
Валицкас А.И.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
Направление подготовки 05.01.00.62 “Педагогическое образование”,
профиль подготовки:
“Математика”
форма обучения: заочная
Тюменский государственный университет
2014
Содержание
2
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины ………………………………………………………..
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы …………………...
1.3. Компетенции обучающегося ………………..……………………………………...
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине …………………..
Структура и трудоёмкость дисциплины …………………………………….................
3
Содержание дисциплины ………………………………………………………………...
4
5
6
Планы практических занятий …………………………………………………………...
Лабораторный практикум ………………………………………………………………..
Примерная тематика курсовых работ ………………………………………………….
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины …………………………………………………………………….
Контрольные материалы промежуточной аттестации……………………………….
1
7
8
9
10
11
12
13
2
2
3
4
4
6
Er
ror
!
Bo
ok
ma
rk
not
def
ine
d.
7
7
7
8
8
Er
ror
!
Bo
ok
Образовательные технологии …………………………………………………………… ma
rk
not
def
ine
d.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………... 11
Перечень информационных технологий и справочных систем ……………………….. 12
Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………… 12
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины …………... 13
1. Пояснительная записка
1.1 Цели и задачи дисциплины. Изучение спецкурсов по математике
предполагает расширение и углубление знаний студентов, оно направлено на
обеспечение, как высокого теоретического уровня выпускников, так и умения
применить полученные знания на практике.
Целью настоящего спецкурса является ознакомление студентов с основными понятиями, методами и классическими результатами теории колец, полученными в начале нашего века. Это должно восполнить пробелы, создающиеся из-за
недостатка времени при изучении теории колец в стандартном курсе алгебры, и
повысить квалификацию подготавливаемых специалистов.
Изложение концентрируется вокруг трёх классических теорем теории колец, определявших в свое время развитие этой области алгебры: теоремы Фробениуса (описывающей все конечномерные тела над полем действительных чисел),
теоремы Веддербёрна (о коммутативности конечных тел) и теоремы Оре (о
вложении в тела колец с большими односторонними идеалами). Все три упомянутых результата так или иначе связаны с телами – “некоммутативными полями”,
играющими фундаментальную роль не только в алгебре, но и в проективной геометрии.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и
упражнений для самостоятельной работы, связанных с тематикой спецкурса.
Программа спецкурса рассчитана на один семестр. В неделю проводится по
3 часа лекций; предполагается проведение одной контрольной работы и зачёта в
конце семестра.
В результате изучения дисциплины “Основы теории колец” у студентов
формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:
 научно-исследовательская и научно-изыскательская:
–
применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;
2
–
решение математических проблем, соответствующих направленности
(профилю) образования, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
–
подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии
по тематике проводимых исследований;
–
участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и
подготовка
публикаций
по
результатам
проводимых
научно-
исследовательских работ.
 производственно-технологическая:
–
использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;
–
применение численных методов решения базовых математических задач
и классических задач естествознания в практической деятельности;
–
сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники.

педагогическая деятельность:
–
преподавание физико-математических дисциплин и информатики в образовательных организациях общего образования и среднего профессионального образования;
–
разработка методического обеспечения учебного процесса в образовательных организациях общего образования и среднего профессионального образования.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы. Дисциплина “Основы теории колец” является дисциплиной по выбору Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ПО) по направлению 05.01.00.62 “Педагогическое образование”.
3
Дисциплина “Основы теории колец” базируется на знаниях, полученных в
рамках школьного курса математики и соответствующих дисциплин, изучаемых в
вузе.
В ходе изучения дисциплины студенты должны усвоить основные понятия
и методы теории колец. Освоение дисциплины предусматривает приобретение
навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями и монографиями.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Модуль 1
Модуль 2
+
+
Алгебра многочленов
Теория чисел
Ряды
+
+
Модуль 3
Модуль 4
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы. В результате освоения ОП выпускник
должен обладать следующими компетенциями:
– способен использовать знания о современной естественнонаучной картине
мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Студент, изучивший дисциплину, должен
знать:

и понимать, что теория колец является одной из ведущих и бурно развивающихся ветвей современной алгебры, знать её роль в математике;
4
 и понимать фундаментальную роль теории линейных уравнений над телами,
лежащую в основе многих теоретико-кольцевых конструкций, связанных с
телами;
 и понимать роль модельных примеров в овладении любой математической
теорией (на примере колец матриц, многочленов, косых многочленов, рядов
Лорана, кватернионов), отражающих существенные свойства абстрактных
объектов и позволяющих хорошо иллюстрировать понятийный аппарат;
 основные понятия теории колец и их конкретные интерпретации: кольцо,
поле, тело, (линейная) алгебра над полем, конечномерная алгебра, идеал,
фактор-кольцо, тело частных, гомоморфизм, изоморфизм и др.;
уметь:
 приводить примеры использования теоретико-кольцевых методов в различных разделах математики;
 работать с научной литературой, развивать навыки расшифровки приводимых в книгах сжатых доказательств;
 подбирать примеры и контрпримеры объектов с заданными свойствами, иллюстрирующих и проясняющих смысл излагаемых вопросов;
 решать простейшие задачи, вводящие в круг проблем того или иного фрагмента теории.
владеть:
 методами решения рассмотренных при изучении дисциплины задач;
 навыками применения современного математического инструментария для
решения задач математики и информатики;
 методикой построения, анализа и применения математических моделей для
прикладных задач математики и информатики.
Приводимый ниже перечень примерных контрольных работ и дополнительных упражнений по спецкурсу позволяет более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения знаниях, умениях и навыках.
5
2. Структура и трудоёмкость дисциплины
Курс: II . Форма промежуточной аттестации: экзамен на II курсе и контрольная работа. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единиц, 108 академических часов, из них 10 часов аудиторных занятий, 89 часов
самостоятельной работы студентов.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего
часов
Семестры
III
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Общая трудоемкость 3
зач. ед. 108 час
Вид промежуточной аттестации
10
–
4
6
10
–
4
6
89
89
3
108
3
108
экзамен, КР
3. Содержание дисциплины
МОДУЛЬ 1: Основные понятия теории колец
Кольца, поля, тела, (линейной) алгебры над полем и их простейшие свойства. Важнейшие кольцевые конструкции: матрицы, многочлены и косые многочлены, ряды и ряды Лорана, групповые алгебры, прямые суммы и прямые произведения колец, идеалы, гомоморфизмы и факторкольца. Линейная алгебра над телами (обзор): правые и левые векторные пространства, базис,
размерность, элементарные преобразования систем векторов, ранг матрицы.
МОДУЛЬ 2: Алгебры с делением над полем R
Конечномерные тела как конечномерные алгебры без делителей нуля. Алгебра кватернионов.
Теорема Фробениуса о строении конечномерных тел над полем R.
МОДУЛЬ 3: Алгебры Конечные поля и тела
Поле разложения произвольного многочлена и алгебраическое замыкание поля Zp. Существование конечных полей и их основные свойства. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Группа автоморфизмов конечного поля. Теорема Веддербёрна о коммутативности конечного тела.
МОДУЛЬ 4 Теорема Оре о вложении колец в тела
6
Формулировка задачи о вложении колец в тела и подходы к ее решению. Кольца с односторонними условиями Оре и доказательство теоремы Оре.
4. Планы практических занятий
Таблица 3.
№
Модуль
1
Модуль 1:
Основные
понятия
теории
колец
2
Модуль 2:
Теория
сравнений
3
Модуль 3:
Арифметические
приложения
теории
сравнений
План практического занятия
Семестр IV
Кольца, поля, тела, (линейной) алгебры над полем и их простейшие свойства. Важнейшие кольцевые конструкции:
матрицы, многочлены и косые многочлены, ряды и ряды
Лорана, групповые алгебры, прямые суммы и прямые произведения колец, идеалы, гомоморфизмы и фактор-кольца.
Линейная алгебра над телами (обзор): правые и левые векторные пространства, базис, размерность, элементарные
преобразования систем векторов, ранг матрицы.
Конечномерные тела как конечномерные алгебры без делителей нуля. Алгебра кватернионов. Теорема Фробениуса о
строении конечномерных тел над полем R.
Поле разложения произвольного многочлена и алгебраическое замыкание поля Zp. Существование конечных полей и
их основные свойства. Цикличность мультипликативной
группы конечного поля. Группа автоморфизмов конечного
поля. Теорема Веддербёрна о коммутативности конечного
тела.
5. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
6. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
7
7. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины
Примерный список задач для контрольной работы
(в контрольное задание включается 3 задачи по разным темам)
Вариант 1
a b
  M(2, C) | a, b  C}
1. Является ли кольцом следующее множество R = { 
0 0
относительно стандартных операций сложения и умножения в M(2, C) ?
2. Решить уравнение x(2–3i+j–2k) = 1 + i + j + k в теле кватернионов.
3. Постройте алгебраическое расширение поля Z2 с помощью многочлена f(x) =
x2+x+1. Будет ли оно изоморфно полю F4 из четырёх элементов ?
Вариант 2
1. Является ли кольцом следующее множество
R = {a0+a1x+…+anxn Z[x] |
n
a
i 0
i
= 0}
относительно стандартных операций сложения и умножения в Z[x] ?
2. Решить уравнение (2–3i+j–2k)x = 1 + i + j + k в теле кватернионов.
3. Постройте алгебраическое расширение поля Z2 с помощью многочлена f(x) =
x2+1. Будет ли оно изоморфно полю F4 из четырёх элементов ?
8. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций
УПРАЖНЕНИЯ К СПЕЦКУРСУ “ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ”
Двоечник Вовочка говорит, что в любой полугруппе элемент aba обратим
тогда и только тогда, когда обратимы оба элемента a и b.
Согласны ли Вы с Вовочкой ?
2. На экзамене по алгебре профессор Зверюгин задал студенту Разгильдяйкину
вопрос на засыпку: можно ли в определении тела D аксиомы существования
1.
8
двусторонней единицы и двустороннего обратного элемента заменить соответственно на аксиомы существования левой единицы ( e  D
 x
D ex = x) и левого обратного ( x  D\{0}  y  D yx = e) ? Напишите
шпаргалку для Разгильдяйкина.
3. “Папаша” Мюллер почти разоблачил Штирлица, найдя в его бумагах записку
с формулировкой сверхсекретной теоремы: если бинарная алгебраическая
операция вычитания “-” на множестве A удовлетворяет свойствам a – (a –
b) = b, (a – b) – c = (a – c) – b для любых элементов a, b, c из A, то A является абелевой группой относительно операции сложения “+”, заданной правилом a + b = a – ((a – a) – b) . Через три дня Штирлиц должен либо представить доказательство теоремы, либо признаться в шпионаже. Как бы Вы
рассуждали на месте Штирлица ?
4. Буратино искал золотые сольдо на поле комплексных чисел. Вместо них он
нашёл конечное подкольцо. Какое именно кольцо нашёл Буратино ?
5. Учёный Усложнякин наконец-то закончил труд своей жизни – 253 страничную
книгу, в которой доказывается, что для любого множества U множество всех
его подмножеств B(U) является кольцом относительно следующих операций:
A  B = A \ B  B \ A, A  B = A  B . Сколько лишних страниц в его книге ?
6. Шерлок Холмс, вызванный в Клуб Любителей Колец по делу об убийстве, задержал двух подозреваемых, один из которых всегда лжёт, а другой не лжёт
никогда. На месте убийства преступник забыл записку: если p - характеристика кольца с единицей 1, то для любого его элемента r выполняется равенство (1 + r)p = 1 + rp . Помогите Холмсу разоблачить убийцу.
7. Cтаруха Шапокляк смутно припоминает, что (с точностью до изоморфизма)
существует лишь две одномерные алгебры над полем, но какие именно вспомнить не может. Крокодил Гена с Чебурашкой институтов не кончали, но берутся ей помочь. А Вы ?
8. Зелюк, глюкотавший как мумзик в мове, сказал Алисе, что хливкий шорёк сдал
ему в аренду все двумерные алгебры над полем (с точностью до изоморфизма), попросив, передать Бармаглоту те из них, которые являются телами.
Cколько алгебр досталось зелюку и Бармаглоту ?
9. Успокойте Громозеку, разбушевавшегося не на шутку оттого, что не понимает
- почему ни для одного из известных ему полей Q, R, C, Zp мультипликативная группа не изоморфна аддитивной.
10. Болванщик из Страны Чудес сказал Алисе, что кольцо является телом в том и
только том случае, когда все его элементы, кроме одного, обратимы относительно операции x oy = x + y – xy. Как Вы думаете, это было до того как он
сошёл с ума, или после ?
11. Царевна Несмеяна решила, что засмеётся лишь тогда, когда увидит трёхмерную алгебру с делением над произвольным полем. Когда засмеётся Несмеяна ?
12. Двоечник Вовочка, увидев на столе у Знайкина книгу Усложнякина, тут же
сообразил, что в кольце B(U) любой элемент x удовлетворяет соотношениям
x  x = x и x  x = 0. Это навело Знайкина на мысль о том, что любое кольцо,
9
в котором выполнены эти тождества является подкольцом в B(U) при подходящем U . Как оценит их открытия профессор Зверюгин ?
13. Студент Разгильдяйкин записал на лекции, что некоторая группа стала кольцом относительно той же операции умножения и определённой на ней подходящей операции сложения. Остальную часть лекции Разгильдяйкин проспал.
Сможет ли он восстановить, какая именно это была группа и как на ней определено сложение ?
14. Шерлок Холмс, вызванный в Клуб Любителей Колец по делу о краже, выяснил, что из уникальной коллекции представителей изоморфных полей исчезло
поле комплексных чисел. Не могли бы Вы посоветовать – как на время, пока
Холмс ищет вора, восстановить пропажу, воспользовавшись имеющимся в
наличии кольцом матриц второго порядка над полем R и его элементом
 0 1

 ?
 1 0 
15. Cтаруха Шапокляк обещает Чебурашке 1.000.000 $ , если он найдёт в кольце
степенных рядов R = tF[[t]] без свободного члена над полем F такой идеал
I, что R / I – поле. Крокодил Гена предлагает ему вместо всего этого ящик
апельсинов. Что выбрать Чебурашке ?
16. Папа Карло нашёл в чулане старое засаленное кольцо Zn со стёршимся от
старости номером n, в котором оказалось 263252 обратимыx элементов. Буратино сразу определил n . Как он это сделал ?
17. Штирлиц спешил на встречу со своим агентом и мучительно вспоминал пароль: “Если некоторая степень произвольной матрицы второго порядка над
полем равна нулю, то уже … этой матрицы равен нулю”. Он помнил, что
должно получиться истинное утверждение, а вылетевшая из головы степень –
наименьшая из возможных. Какое слово забыл Штирлиц ? Как переформулировать пароль для матриц n-го порядка ?
18. Громозека продолжает волноваться: теперь его мучают вопросы изоморфизмов колец F[t] и F[[t]] , F[[t]] и F((t)) , F[(t)] и F(t). Птица Говорун,
отличающаяся умом и сообразительностью, считает, что во всех случаях изоморфизма нет. Почему ?
19. Учёный Усложнякин, сделал внеочередное открытие: если в алгебре над R
квадрат каждого элемента нулевой, то произведение любых её элементов равно нулю. Сколько строк займёт Ваше доказательство ?
Примерные контрольные вопросы к экзамену по дисциплине
“Основы теории колец”
1. Что такое кольцо, поле, группа, линейная алгебра ? Примеры.
2. Что называется левым, правым, двусторонним идеалами кольца ? Сколько таких идеалов
может быть в теле ?
3. Что такое характеристика кольца ? Приведите примеры полей нулевой и ненулевой характеристики.
4. Какова характеристика подполя поля характеристики р ?
10
5. Что такое тело кватернионов ?
6. Какова характеристика тела кватернионов ?
7. Что называется кольцом косых многочленов ? Приведите конкретный пример некоммутативного кольца косых многочленов.
8. Сформулируйте критерий того, чтобы конечномерная алгебра над полем являлась телом.
9. Дайте определение левого векторного пространства над телом.
10. Какие примеры некоммутативных тел Вы знаете.
Алгебры с делением над полем R
11. Какие конечномерные алгебры с делением над R, являющиеся полями, Вы знаете ?
12. Сформулируйте теорему Фробениуса.
13. Уравнению какого вида удовлетворяет каждый элемент конечномерной алгебры с делением
над полем R ?
14. Верно ли, что каждый элемент алгебры с делением над полем R удовлетворяет уравнению
вида х2 + bx + c, где b, c  R ?
15. Верно ли, что любая алгебра с делением над полем R является либо полем действительных
чисел R , либо полем комплексных чисел C, либо телом кватернионов K ?
Конечные поля и тела
16. Какие из указанных чисел могут быть равны количеству элементов конечного поля: 2, 4, 5,
12, 29, 44, 58 ?
17. Приведите примеры полей из четырёх элементов.
18. Верно ли, что любые конечные поля изоморфны ?
19. Верно ли, что любые конечные поля из девяти элементов изоморфны ?
20. Что можно сказать о мультипликативной группе конечного поля ?
21. Сформулируйте теорему Веддербёрна о конечных телах.
22. Верно ли что любое конечное кольцо коммутативно ?
Теорема Оре о вложении колец в тела
23. Можно ли вложить в тело алгебру всех nn матриц над полем ?
24. Сформулируйте теорему Оре о классическом теле частных кольца.
25. Верно ли, что классическое тело частных коммутативного кольца является полем ?
26. Верно ли, что подкольцо кольца с условием Оре само удовлетворяет условию Оре ?
27. Приведите несколько примеров колец, удовлетворяющих условию Оре.
28. Приведите пример кольца, не удовлетворяющего условию Оре.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2008.
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 20012004.
11
б) дополнительная
4. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
5. Артин Э. Геометрическая алгебра. – М.: Наука, 1969.
6. Джекобсон Н. Теория колец. – М.: Иностр. лит. – 1947.
в) периодические издания:
г) мультимедийные средства:
д) Интернет-ресурсы:
1.
Теория чисел // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцо
11. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного обеспечения и информационных справочных
систем (при необходимости)
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий может использоваться следующее программное обеспечение:
 Microsoft Word.
 Microsoft Excel.
 Microsoft PowerPoint.
12. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный класс, оснащённый средствами мультимедиа и компьютерами: микропроцессор не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ не меньше 512 МБ, операционная система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или
Delphi.
12
13. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина изучается на II курсе. Форма промежуточной аттестации: экзамен на II курсе и контрольная работа. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единиц, 108 академических часов, из них 10 часов аудиторных занятий, 89 часов самостоятельной работы студентов.
Ниже приводятся краткие рекомендации по изучению каждого из разделов
программы. Основная трудность изучения предложенного материала, на наш
взгляд, состоит в его абстрактности и в отсутствии хорошей литературы по данным темам. Спецкурс призван показать, как можно, обходясь минимальными
средствами, фактически не выходя за рамки стандартных понятий и методов, изучаемых в основном курсе алгебры, получать нетривиальные результаты, имеющие
большое научное значение.
1.
Первый раздел “Основные понятия теории колец” является вводным, в
нём напоминаются основные определения теории колец из основного
курса алгебры, приводятся многочисленные примеры колец и описываются основные кольцевые конструкции, позволяющие из известных колец строить новые кольца. Важно, чтобы студенты при изучении данного раздела хорошо овладели базовыми понятиями теории колец (группа,
кольцо, поле, тело, подкольцо, подполе, подгруппа, подтело, идеал, гомоморфизм) и научились работать с ними на конкретных примерах.
Необходимо, чтобы студенты прочувствовали родство известных им
методов линейной алгебры над полями и аналогичных методов над телами. В процессе изучения данного раздела студенты могут выступать
с мини-докладами, иллюстрируя материал специально подобранными
примерами и упражнениями.
2.
Второй раздел “Алгебры с делением над полем R ” посвящен доказательству теоремы Фробениуса, описывающей конечномерные алгебры
13
с делением над R. Здесь используются такие важные понятия стандартного курса алгебры как конечномерные векторные пространства, линейные алгебры над полем, алгебраические элементы, применяется
классификация неприводимых многочленов над R и C. Данный раздел позволяет продемонстрировать мощь весьма стандартных теоретико-кольцевых методов, по сути, не выходящих за рамки стандартного
курса алгебры, для доказательства нетривиального и красивого математического результата.
3.
Материал третьего раздела “Конечные поля и тела” показывает применение понятия алгебраического расширения поля для решения задачи о
классификации конечных полей и доказательства классической теоремы
Веддербёрна о коммутативности конечных тел. Представляется методически оправданным обойтись без общей конструкции алгебраического замыкания поля, которая требует использования метода трансфинитной индукции, изучение которого увело бы далеко в сторону. Предложенное доказательство теоремы Веддербёрна нестандартно: оно, в отличие от доказательств, излагаемых в литературе, оперирует только
элементарными фактами теории алгебраических чисел.
4.
В четвертом разделе “Теорема Оре о вложении колец в тела” даётся
понятие классического тела частных произвольного кольца и доказывается критерий Оре существования такого тела частных. По сути дела –
это ещё одна кольцевая конструкция, обобщающая известную из стандартного курса алгебры конструкцию поля частных коммутативной области целостности.
14