Методические указания и задания для самостоятельного

Физика, 10 класс
Горбанева Лариса Валерьевна
ст. преподаватель кафедры физики ДВГГУ
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ К ДВИЖЕНИЮ ТЕЛА
(МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ) ПО ОКРУЖНОСТИ
Решение задач на динамику движения тела по окружности
принципиально ничем не отличается от решения задач на динамику
поступательного движения.
Если тело (материальная точка) движется по окружности, то оно всегда
движется с ускорением, так как нормальное, или центростремительное
ускорение
характеризует
изменение
скорости
по
направлению.
Центростремительное ускорение можно определить, зная линейную скорость
движения или угловую скорость вращения:
 4 2 
V2
2
2 2
aц 
или mц   R   2  R  4 n R ,
R
T 
где R – радиус окружности, ω – угловая скорость, с которой движется
материальная точка по окружности, Т – период вращения, n – число оборотов в
единицу времени (частота обращения).
С точки зрения динамики, если тело движется с ускорением, то можно
утверждать, что на тело действуют силы, сумма векторов которых не равна
нулю. Это можно записать с помощью второго закона Ньютона для
движущегося (по окружности) тела:
F
i
 ma
или
F1  F2  F3  ...  ma . Это уравнение почти всегда следует
спроектировать
на
радиальное
(нормальное)
касательное (тангенциальное) направления:
F
in
и
на
 man
или F1x  F2 x  F3 x  man , где an – центростремительное
(нормальное) ускорение. Центростремительное (нормальное) ускорение
отвечает за изменение скорости только по направлению. Название
центростремительное ускорение понятно: это ускорение всегда направлено к
центру вращения. Эта терминология порождает массовое заблуждение.
Почему-то считают, что существует некая особая центростремительная сила.
Т.е. есть сила тяжести, сила трения, сила нормальной реакции опоры и т.д., а
еще есть центростремительная сила. Нет никакой особой центростремительной
силы!
mV 2
Запись F 
– это просто то, чему равна алгебраическая сумма
R
проекций всех сил на радиальное направление при вращательном движении.
Рекомендация
не
пользоваться
такими
обозначениями,
как
центростремительная сила и центростремительное ускорение.
При решении задач на динамику поступательного движения, а также и
при решении задач на динамику движения тела по окружности рекомендуется
придерживаться следующего плана:
1. Выяснить, с какими телами взаимодействует движущееся тело, и,
сделав схематический чертёж, заменить действие этих тел силами. Выяснить
также по какой траектории будет двигаться тело, и определить центр
окружности.
2. Выбрать систему координат. Ориентация осей координат выбирается
так, чтобы система уравнений выглядела наиболее просто. Рекомендуется
начало координат выбрать в центре движущегося тела, ось Х направить по
ускорению, ось Y – по реакции опоры.
3. Записать второй закон Ньютона для рассматриваемого тела в
векторном виде.
4. Переписать векторные уравнения Ньютона в проекциях на оси
координат для получения алгебраической системы уравнений со скалярными
величинами.
5. Полученную
систему
уравнений
дополнить
уравнениями,
вытекающими из текста задачи. Это могут быть законы, описывающие силы
(закон Гука, закон сухого трения), определения физических величин и т.д. Если
число линейно независимых уравнений равно числу неизвестных в них, то эта
система имеет единственное решение.
6. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестных в
общем виде и проверить размерность искомой величины.
7. Сделать числовой расчёт.
8. Если в задаче рассматривается движение нескольких тел, необходимо
записать 2 закон Ньютона для каждого из них и учесть кинематические и
динамические связи между ними.
Еще раз подчеркнем, что движение тела по окружности совершается не в
результате действия на тело каких-то специальных сил, а в результате
реального взаимодействия тела с другими телами (с нитью, с Землей и т.д.).
Главное, чтобы результирующая сила имела проекцию на радиус,
соединяющий тело и центр окружности, отличную от нуля.
Прежде чем спроектировать силы, действующие на тело, на радиус,
соединяющий материальную точку с центром окружности, по которой оно
движется надо выяснить, по какой траектории будет двигаться тело и
определить центр окружности.
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Человек стоит неподвижно на краю круглой горизонтальной
платформы, вращающейся вокруг вертикальной оси. Определите линейную
скорость человека при вращении платформы, если радиус ее 4м, а
коэффициент трения равен 0,1.
Решение.
1. Выяснить, с какими телами взаимодействует движущееся тело.
Человек, стоящий на платформе взаимодействует с Землей и платформой. На
человека действуют силы тяжести, сила реакции опоры и
сила трения. Человек движется по окружности с центром
совпадающим с центром платформы. Составим рисунок.
2. Выберем систему координат. Ось Х направим по
ускорению, ось Y – по реакции опоры.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде: Fтр  N  mg  m a ц .
4. Перепишем векторные уравнения Ньютона в проекциях на оси
координат для получения алгебраической системы уравнений со скалярными
величинами.
OX: Fтр  maц или учитывая, что Fтр
mV 2
 N получим: N 
R
OY: N – mg=0 или N=mg
Решить полученную систему уравнений относительно неизвестных в
общем виде получаем: V  gR .
Сделаем числовой расчёт: V  0,1 4 10  2 м / с .
Пример 2. На диске ВА, равномерно вращающегося вокруг вертикальной
оси ОО, укреплен на вертикальной стойке, отстоящей от доски вращения на
расстоянии d=5см, отвес. Какова частота вращения доски, если нить отвеса
длиной 8 см отклонилась от вертикали на угол 30°.
Решение.
Изобразим на рисунке все силы, действующие на отвес. Запишем второй
закон Ньютона: T  mg  maц .
Спроецируем это уравнение на выбранные оси.
mV 2
.
Rd
На ось OY: T cos   mg .
Учитывая, что V  2 ( R  d )n , где n – частота
вращения, запишем систему уравнений:
На ось ОХ: T sin  

m(2 ( R  d )n) 2
T sin  

Rd

T
cos


mg

Разделив первое уравнение на второе получаем:
2

2 ( R  d )n 
tg 
Выразим из этого уравнение частоту вращения: n 
g (R  d )
.
gtg
.
Rd
Найдем R через длину нити отвеса: R  l sin  .
n
Тогда
n
g  t
.
l s   id
n
g
Подставив
численные
данные:
10  0,577
 8 Гц .
0,08  0,5  0,05
Пример 3. Акробат на подвешенной к куполу цирка веревке длиной l
движется равномерно в горизонтальной плоскости по окружности. При этом
угол отклонения веревки от вертикали α. Найти натяжение веревки и число
оборотов за минуту. Масса акробата m.
Решение.
Будем рассматривать движение акробата относительно точки подвеса.
Возьмем систему координат, как показано на рисунке.
На акробата действуют две силы: сила тяжести
mg
и
сила
натяжения
веревки
Fн.
Их
равнодействующая
удерживает
акробата
на
окружности и равна центростремительной силе.
Запишем
основной
закон
динамики:


Fн  mg  ma .
Основной закон динамики в проекциях на оси
координат X и Y примет вид:
V2
Fн sin α  m
На ось X:
.
R
mg  Fн cos α  0
На ось Y:
Из второго уравнения определим силу натяжения: Fн 
mg
.
cos α
Используя первое уравнение, определим частоту вращения. Определим
скорость через частоту вращения: V=2πRn. Радиус окружности определим из
треугольника АВО: R=lsinα.
F
.
4 2 ml
Пример 4. Мотоциклист движется по наклонному треку со скоростью
V. Чему должен быть равен радиус окружности, по которой движется
мотоциклист, если мотоцикл перпендикулярен треку? Угол наклона трека – α.
Решение. На мотоциклиста действуют две силы, которые обеспечивают
нормальное ускорение – N и mg.
Подставляя выражение для V, R определим частоту: n 
Запишем второй закон Ньютона: N  mg  maц .
Спроецируем его на выбранные оси:
mV 2
На ось ОХ: N sin  
.
R
На ось OY: N cos   mg  0 .
Решая совместно эти уравнения,
получаем:
V2
tg 
.
gR
V2
Тогда R 
.
gtg
Пример 5. Масса автомобиля с грузом 3т, а скорость его движения
20м/с. Чему будет равна сила давления автомобиля в верхней точке выпуклого
(вогнутого) моста, радиус кривизны которого 50м?
Решение. На автомобиль в верхней точке как
выпуклого моста так и вогнутого моста действуют две силы,
которые обеспечивают нормальное ускорение – N и mg.
Направление этих сил одинаково, но изменение скорости
происходит по различным направлениям, поэтому
нормальное ускорение направлено в случае выпуклого моста
вниз (к центру), а в случае вогнутого моста вверх (тоже к центру). Поэтому
второй закон Ньютона в векторном виде не отличается как для первого, так и
для второго случая: N  mg  maц .
Сила давления автомобиля численно равна силе реакции опоры: P  N .
Спроецируем уравнение второго закона Ньютона в
случае движения по выпуклому мосту на ось OY:
mg  N  maц .
Тогда сила давления автомобиля в верхней точке
движения
по
выпуклому
мосту:
P  N  mg 
mV 2
.
R
Подставив численные данные P=6кН.
Спроецируем уравнение второго закона Ньютона в случае движения по
вогнутому мосту на ось OY: N  mg  maц . Тогда сила давления автомобиля в
верхней точке движения по вогнутому мосту: P  N  mg 
mV 2
. Подставив
R
численные данные P=54кН.
Одним из примеров движения тела по окружности является движение
спутников вокруг Земли. Это движение с постоянной по величине скоростью,
тогда полное ускорение тела равно нормальному ускорению. Спутники
движутся под действием одной единственной силы – силы тяготения. Тогда
основной закон динамики можно записать в следующем виде:
FT  ma .
В
GmM З mV 2

скалярном виде это уравнение выглядит следующим образом:
r2
r
4 2
m 2
GmM З
T

или
, где r – расстояние спутника от центра Земли, Т – период
2
r
r
обращения спутника вокруг Земли.
Пример 6. На экваторе воображаемой планеты тела
весят меньше, чем на полюсе. Определить среднюю
плотность вещества планеты, если период ее вращения
вокруг оси T=1ч27,5мин.
На полюсе на тело действуют две силы: сила
тяготения и сила реакции опоры. Так как тело неподвижно,
то сумма сил равна нулю: FT  N n  0 . В проекциях на ось:
FT  N n или
планеты.
GmM
 N n , где m – масса тела, М – масса планеты, r – радиус
r2
Вес тела равен по величине силе реакции опоры: Рn  N n , тогда
Pn 
GmM
.
r2
На экваторе эти же силы должны обеспечить движение тела с угловой
2
скоростью, равной угловой скорости вращения планеты: FT  N n  m r . В
2
проекциях на ось: FT  N  m r .
Вес тела на экваторе также равен по величине силе реакции опоры:
GmM
GmM m4 2 r
2
 m r или Pэ 

Рэ  N э , тогда Pэ  FT  m r 
.
r2
r2
T2
GmM
Pn
r2

2

По условию задачи P
GmM m4 2 r .
э

r2
T2
1
2

Произведя преобразования:
4 2 r 3 .
1
GMT 2
M
M


Учитывая, что плотность планеты
получаем:
4 3
V
r
3
1
6
2
3 , откуда   GT 2 .
1
GT 2 
Подставив численные данные и выразив период в секундах
6  3,14
4 кг

1
,
03

10
(Т = 1 ч 27,5 мин = 5250 с) получаем:  
.
6,67  10 11 (5,25  103 ) 2
м3
2
Задания для самостоятельного решения.
Ф.10.1. Какую минимальную скорость должен иметь самолет, делающий
петлю Нестерова, в верхней точке траектории, радиус кривизны которой R,
чтобы летчик не повис на ремнях, которыми он пристегнут к
пилотскому креслу.
Ф.10.2. Определить угол между вертикальной осью
канонического маятника и нитью, если тело движется с постоянной
угловой скоростью ω.
Ф.10.3. Тело скатывается с вершины гладкой сферической
поверхности радиуса R. Найдите, на какой высоте, считая от вершины, тело
оторвется от поверхности. Считать, что трение отсутствует.
Ф.10.4. Найти максимальную разность между силами натяжения нити при
вращении в вертикальной плоскости шарика массой
m на невесомой нити.
Ф.10.5. Тело массой m=0,1кг соскальзывает
без трения по наклонной плоскости, переходящей в
цилиндрическую
поверхность
радиусом
R.
Определить силы давления тела на поверхность
цилиндра FА и FВ в случае, когда тело
соскальзывает с высоты H=3R.
Ф.10.6. Вычислить линейную скорость искусственного спутника Земли
на высоте 1700км, если его орбиту можно приблизительно считать круговой.
Принять RЗ=6400км.
Ф.10.7. Шарик массой 100г, подвешенный на нерастяжимой нити длиной
40см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения
нити в момент, когда она образует с вертикалью угол 60°. Скорость шарика в
этот момент 2м/с.
Ф.10.8. Определите вес мальчика массой 40кг в
положениях А и В, если R1=20м, V1=10м/с, R2=10м,
V2=5м/с.
Ф.10.9. На конце стержня длиной 80 см
укреплен шар. Стержень вращается в вертикальной плоскости с периодом 0,5с.
Во сколько раз сила давления шара на стержень в низшей точке траектории
больше, чем в высшей.
Ф.10.10. Самолет делает «мертвую петлю» радиусом 100м и движется по
ней со скоростью 252км/ч. С какой силой летчик массой 80 кг будет давить на
сиденье самолета а) в верхней б) нижней точке петли.
Ф.10.11. Каков радиус закругления, по которому
движется поезд, если предельная скорость на этом участке
дороги 54 км/ч. Внешний рельс выше внутреннего на
h=7,5см. Расстояние между рельсами принять равным 1,5м.
Ф.10.12. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге
со скоростью 72км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100м. На сколько при
этом он должен наклониться в сторону поворота, чтобы не упасть на повороте.
Ф.10.13.
Цилиндр
радиусом
0,5м, расположенный
вертикально, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой
скоростью 9с-1. На внутренней поверхности цилиндра находится
небольшое тело, вращающееся вместе с цилиндром. При какой
минимальной величине коэффициента трения скольжения между
телом и поверхностью цилиндра тело не будет скользить вниз.
Ф.10.14. Коэффициент трения скольжения между шинами автомобиля и
асфальтом 0,4. Определите радиус закругления на повороте, если автомобиль
проходит его со скоростью 28м/с.