N - LessonPaths

1. АЛГЕБРЫ
Пусть М некоторое множество. Функция  : М п  М называется n-арной
алгебраической операцией. При n = 0,1,2,3 - нульарная, унарная, бинарная,
тернарная операции. Обозначим Ω - совокупность алгебраических операций.
Ω = 1 ,  2 ,.... Пара A=(М; Ω) называется алгеброй. Множество М – носитель
алгебры; совокупность операций Ω – сигнатура алгебры. Вектор арностей алгебры
называется её типом.
Пара A' = ( M  , Ω) называется подалгеброй алгебры A = (М; Ω), если М´  М и
если множество М´ замкнуто относительно любой операции  j   , то есть
 j (Мn )  М.
Две алгебры: A  М; 1 , 2 ,...,р ,... и B  М; 1 ,  2 ,..., g ,... - называются однотипными, если можно установить такое взаимно однозначное соответствие между
системами  А   1 , 2 ,..., р ,... и  В   1 ,  2 ,...,  g ,..., при котором любая
операция  j   А и соответствующая ей операция  j   В будут n – арными
операциями с одним и тем же n.
Пусть
A  K; 1 , 2 ,...,р ,... и
B  М; 1 ,  2 ,..., g ,... - алгебры одного
типа. Отображение Г: К  М , удовлетворяющее условию
Г i а j1 ,...,а j  i     i Г a j1 , Г a j2 ,...,Г a j i  ,
 i  1,...,р;  а j r  К, (i) - арность операций  i и  i , называется гомоморфизмом
алгебры A в алгебру B. В таком случае пишут Г: A  B. Взаимно однозначный гомоморфизм алгебры A в алгебру B называется изоморфизмом алгебры A на алгебру B. Мощности носителей изоморфных алгебр равны. Если алгебра A совпадает с алгеброй B, то изоморфизм А на A называется автоморфизмом.
Теорема. Если Г: A  B – изоморфизм, то Г 1 : B  A тоже изоморфизм.
Примеры, упражнения, задачи
1. На множестве N р  0,1,2,..., р  1 определены операции:  - сложение по
модулю р и  - умножение по модулю р: m  n = k, k – остаток от деления числа
m+n на р; m  n = r, r – остаток от деления числа m·n на р. Очевидно, что
A  N р ; ,  - алгебра. Определить тип этой алгебры. Составить таблицу
алгебраических операций при р = 5.
2. М – произвольное множество,  (М) – множество всех подмножеств
множества М. A  М ; ,  , __  - алгебра (булева алгебра множеств над М или
булеан). Если М  М , то

A  М;, ,
___
 - подалгебра алгебры A.
3. F – множество функций на  ,   , имеющих производную любого порядка;
d
 d 
- операция дифференцирования. A   F;  - алгебра. Показать, что
dx
 dx 
d 

A   Fэ ;  - подалгебра алгебры A, где Fэ - множество элементарных функций.
 dx 
Определить тип алгебры A.
4. Пусть К  , , , - множество поворотов квадрата вокруг его центра против

3
хода часовой стрелки на углы   0,   ,   ,    . º - бинарная операция
2
2
композиции поворотов (последовательное выполнение поворотов). Задать
операцию º - таблицей. Определить подалгебру алгебры A  К; .
Решение. A  К; , где К  ,  - подалгебра алгебры A, что следует из
таблицы операций в алгебре A  К; .
 α β γ δ
α α β γ δ
β β γ δ α
γ γ δ α β
δ δ α β γ
5. В трехмерном евклидовом пространстве R 3 задана операция векторного
произведения [ , ] (называемая ещё коммутированием). Операция коммутирования
удовлетворяет условиям:
1) х, 1 у1   2 у 2   1 х, у1    2 х, у (билинейность);
2) х, у  у, х  (антисимметричность);
3) х, у, z   у, z , х   z, х , у  0 (тождество Якоби).
Показать, что A  R 3 ; [ , ] - алгебра, она называется алгеброй Ли. Строго говоря,
алгебра Ли – это линейное пространство над полем комплексных чисел со
свойствами 1) - 3).
6. F – множество дифференцируемых функций f: R  R . Положим
f  g  f g  fg . A  F; - алгебра.
Пусть Маt n (K ) = {A, B, C, …} - совокупность всех квадратных матриц n- го
порядка, вещественных, если К=R (R- множество вещественных чисел), и комплексных, если
К=С (C– множество комплексных чисел). Рассмотрим
подмножества множества Маt n (K ) :
GL(n, К) - невырожденные матрицы, det A  0;
О(n, К) - ортогональные матрицы, АТ  А  Е, det A  1;
SO(n ) - вещественные ортогональные матрицы, det A  1;
2
U(n, C) - унитарные матрицы, А   А  Е, А   а ij - сопряженная матрица;
SU(n, C) - унимодулярные матрицы, А   А  Е, det A  1 ;
Обозначим trA   a ii - след матрицы А (сумма диагональных элементов);
E n - единичная матрица с порядком n;
0 
En 
 Ep
 0
.
 ;
J 2 n  
J p ,q  

0

E

E
0
q


n


На множестве Маt n (K ) введем бинарную операцию [ , ] коммутирования
матриц А, В  А  В  В  А и унарную операцию  ,  А  А,   K .
A  Маt n (К ); ,,  - алгебра с одной бинарной и с одной унарной операцией.
7. Показать, что множество  n всех вещественных и комплексных матриц
порядка n, n  2,3,... со следом 0 является подалгеброй алгебры  .
Решение. Рассмотрим случай, когда n = 2. Следует показать, что множество  1
замкнуто относительно операций [,] и  . Пусть матрицы А, В 2 , trA  trB  0
a в 
e f 
, В  
. Вычислим А; В  А  В  В  А , где a, b, c, e, f, g –
A  
с

а
g

e




комплексные числа. Имеем равенства:
а в   e f   e f  а в 
А, В  
  
  
  
 
с

а
g

e
g

e
с

а

 
 
 

 2eв  2af 
 ае  вg af  вe   ea  fc eв  fa   вg  fc
  
  
.
 
ce

ag
сf

ae
ga

ec
gв

ea
2
ce

2
ag
cf

gв

 
 

След матрицы А, В равен tr А, В  вg  fc  cf  gв  0. Далее для всякой мат а в   а в 
рицы А  2 и числа  найдём   А .   
  
 . След матрицы
с

а

с


а

 

  А , очевидно, также равен нулю. Следовательно,  2 - подалгебра алгебры А.
8. Показать, что множество В 3 кососимметричных матриц Х 3-го порядка,
элементами которых являются комплексные числа, является подалгеброй алгебры А.
Решение. Пусть Х и Y - матрицы из данного множества.
а в
x y
 0
 0




Х    а 0 с , Y    x 0 z , a , в, с, х, у, z - комплексные числа.
  в  с 0
  y  z 0




Нужно показать, что   Х и Х, Y - кососимметричные матрицы. Первое,
очевидно, покажем второе.
3
а в  0
х у  0
х у  0
а в
 0

 
 
 

Х, Y    а 0 с     х 0 z     х 0 z     а 0 с  
  в  с 0   у  z 0    у  z 0    в  с 0

 
 
 

 вх
аz    ах  ву
 су
хс 
  ах  ву

 

   су
 ах  сz
 ау     вz
 ха  сz
 хв  
 сх
 вх
 ву  сz   аz
 ау
 ву  сz 

су  вz аz  xc 
 0


  вz  су
0
 ау  вх ,
 сх  аz ау  вх

0


т.е. Х, Y - кососимметричная матрица. Следовательно, В 3 - подалгебра алгебры А.
9. Показать, что множество С 2 канонических комплексных матриц Х второго
порядка (матриц, удовлетворяющих условию Х Т J 2  J 2 X  0 ) является подалгеброй алгебры А.
a в
Решение. Пусть X  
 . Так как Х Т J 2  J 2 X  0 , найдем условия на числа
 c d
a, в, с, d.
а

с
а

в
Т
в
0
  
d
1
с
0
  
d
1
  c а  с

  

d
в

  а
1  0
 
0    1
1  0

0    1
1  а

0   с
1  a

0   c
в 0

d   0
в 0

d   0
0
,
0 
0
,
0 
d   0
d  а   0 0
  
 
,
 в   а  d
0   0 0 
а в 
 . Ясно,
поэтому а   d. Таким образом, матрицы из С1 имеют вид: Х  
с  а
что матрица   Х удовлетворяет условию Х Т J 2  J 2 X  0 . Покажем, что коммутатор X, Y также удовлетворяет этому условию. Имеем равенства:
4
X, Y  XY  YX  
а в   х у   х e  а в 
  
  
  
 
с  а  z  х  z  x с  а
 вz  cy 2аy  2вх   вz  cy 2сх  2аz   0 1 
.


 
су  вz   2ay  2вх су  вz    1 0 
 2cx  2az
 0 1   вz  су 2ау  2вх   0 0 
  

.
 
су  вz   0 0 
  1 0   2сх  2аz
Следовательно, множество C 2 является подалгеброй алгебры А.
2. ПОЛУГРУППЫ И МОНОИДЫ
Полугруппа – это алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией 
(умножением). Пишут а  в, а 2 , а 3 и т.д. В общем случае эта операция некоммутативна.
Если а  в  в  а, то полугруппа называется абелевой. Если в полугруппе
существует элемент e, такой, что для любого элемента a: а  e  е  а , то элемент e
называется единицей полугруппы. Полугруппа с единицей называется моноидом.
Множество M 0  M называется порождающим подмножеством полугруппы
P  (M; ) , если любой элемент полугруппы можно представить как произведение
некоторого числа элементов множества М0. Полугруппа, порожденная элементами
а, в, с, ... обозначается  а , в, с,...  .
Полугруппа, все элементы которой являются степенями одного элемента
(полугруппа, порожденная одним элементом) называется циклической. В любой
полугруппе степени элемента a определяются рекурсией: а n 1  a n a . В моноиде
a 0  e.
Примеры, упражнения, задачи
1. Образует ли множество неотрицательных вещественных чисел
R  x : х  0 полугруппу, моноид по сложению и умножению?
Решение. Для любых х, у, z  R  относительно операций сложения и умножения неотрицательных чисел выполняются равенства:
x  ( y  z )  ( x  y )  z,
x ( yz)  ( xy )z,
x  y  y  x,
xy  yx,
x  0  x,
1x  x.

Следовательно, R - абелев моноид по сложению и умножению.

5
2. Образует ли множество положительных чисел R  \ 0  {x : x  0} полугруппу,
моноид по сложению и умножению?
Решение. Используя пример 1, заключаем, что (R  \ 0; ) - абелева полугруппа, но не моноид; (R  \ 0; ) - абелев моноид.
3. Показать, что совокупность всех отображений множества X в себя образует
подгруппу с единицей относительно операции композиции ◦ отображений, определяемой равенством (f  g)( x )  f g x  .
Решение. Пусть f , g, h - отображения множества X в себя. Проверим ассоциативность операции композиции  .
f  g  h x  f g  h x   f ghx ,
f  g   h x  f  g   hx   f ghx ,
отсюда следует, что для любого элемента x  X выполняется равенство
f  g  h x  f  g   h x . Значит, операция  ассоциативна. Следовательно, совокупность отображений множества Х в себя есть полугруппа. Обозначим I
тождественное отображение, т. Е. такое отображение, что для любого x: Ix  x .
Тогда для любого отображения f: f  I  I  f . Следовательно, совокупность отображений Х в себя является моноидом. Заметим, что обратное отображение в общем
случае может не существовать.
4.Пусть множество Х  0,1 и на Х заданы четыре отображения: f1 , f 2 , f 3 , f 4 .
f1 (0)  0;
f 2 (0)  1; f 3 (0)  0;
f 4 (0)  1;
f1 (1)  1;
f 2 (1)  0; f 3 (1)  0;
f 4 (1)  1.
Проверить, что множество F  f1 , f 2 , f 3 , f 4  вместе с операцией ◦ композиции
отображений образует моноид. Композиция ◦ отображений f и g определяется
так: f  g ( x )  f gx  .
Решение. Следует проверить ассоциативность операции ◦ для любых трех
отображений, взятых в любом порядке. Например,
f1  f 2  f 3 0  f1 f 2  f 3 0  f1 f 2 f 3 0  f1 f 2 0  f1 1  1,
f1  f 2   f 3 0  f1  f 2 f 3 0  f1  f 2 0  f1 f 2 0  f1 (1)  1.
и т.п. Очевидно, что отображение f1 - тождественное. Поэтому (F;  ) – моноид.
1 2 3 
1 2 3
,   
 относительно
5. Показать, что подстановки   
1
2
2
3
3
2




операции ◦ «умножения подстановок» не образуют полугруппу. Какие подстановки следует добавить, чтобы множество подстановок стало полугруппой, моноидом?
 1 2 3
 1 2 3
 ,     

Решение. Произведения подстановок     
 3 3 3
 2 2 2
6
не совпадает с  и  . Поэтому ,;   даже не алгебра. Полугруппа получается,
если добавить подстановки    2 ,     ,      . Если же ещё добавить
1 2 3 
тождественную подстановку ε = 
 , то получится моноид. Подстановки
1 2 3 
 и  являются образующими полугруппы P  (, , , , ; ) .
6. Показать, что неотрицательные целые числа образуют относительно операции
сложения циклический моноид с «единицей», равной числу «нуль» и образующим
элементом 1, а относительно операции умножения нециклический моноид с
единицей, равной числу 1.
7. На множестве Х  а, в, с таблицей задана бинарная операция  :
*
а
в
с
а
в
с
а
с
а
в
с
в
с
а
в
Показать, что Х, - абелев моноид. Найти единичный элемент.
Решение. Проверим ассоциативность операции  . Используя таблицу, находим:
а  в  с   а  в  с; а  в   с  с  с  с. Другие равенства проверяются аналогично. Так как а  с  с  а  в  с  с  в  с  с  е , то элемент с единичный.
Следовательно, (X;  ) – моноид, а так как a  b = b  a, a  c = c  a, c  b = b  c, то
(X;  ) – абелев моноид.
8. Проверить, является ли множество Х с бинарной операцией * полугруппой.
Найти, если это возможно, единицу полугруппы. Предполагаются выполненными
обычные свойства арифметики.
а)
X
N
х*у
x -y
б)
Z
xy-1 или (х+у)-1
в)
г)
N
R+
max (x,y)
д)
R+\{0}
x
y
х2  у2
7
Решение. а) Проверим ассоциативность операции  .
х  ( у  z )  x  ( y  z )  x  ( y  z )  x  y  z,
( x  y ) z  ( x  y )  z  ( x  y )  z  x  y  z,
т. е. x  ( y  z)  ( x  y)  z, следовательно, ( N;) не является полугруппой.
г) Так как для любых x, y, z R 
(x  y)  z =
x 2  y2  z =
x 2  y2  z2 ,
x  (y  z) = x  y 2  z 2 = x 2  y 2  z 2 , x  0 = x, то множество R  с операцией 
является полугруппой с единицей равной числу 0, т. е. моноидом.
3. ГРУППЫ. ПОДГРУППЫ
Группой G называется моноид, в котором для каждого элемента а существует
элемент а 1 (обратный элемент), удовлетворяющий условию а  а 1  а 1  а  е .
Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента а (группа
порождена элементом а), называется циклической.
В определении группы могут использоваться как мультипликативная, так и аддитивная терминология и запись. В первом случае групповая операция записывается как  или вообще опускается ab = ab и называется «умножением». Во втором
случае групповая операция называется «сложением», сумма записывается через a +
b, обратный элемент к a обозначается –a и называется противоположным, единица
группы обозначается 0 и называется нулем.
Коммутативная группа, т. е. группа, в которой a  b = b  a, называется абелевой.
В абелевых группах принята аддитивная запись.
Число элементов группы называется ее порядком. Группа конечна, если ее
порядок - конечное число, и бесконечна, если число ее элементов бесконечно.
Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента (группа
порождена одним элементом), называется циклической. Степени элемента a
определяются так: a 0  e , a n 1  a n  a .
Пусть G  (M;) - группа. Группа G   ( M ; ) называется подгруппой группы
G, если M  M и операции  и  совпадают на множестве M  .
Приведем некоторые результаты по теории групп.
Теорема 1. Обратный элемент в группе единственен.
Теорема 2. В группе выполняются следующие соотношения:
1) (a  b) 1  b 1  a 1 ; 2) a  b = a  c  b = c; 3) b  a = c  a  b = c; 4) (a 1 ) 1 = a.
Теорема 3. В группе однозначно разрешимо уравнение a  x = b (решение
x = a 1  b ).
8
Теорема 4. В любой циклической группе a m  a n  a m  a n .
Теорема 5. Циклическая группа всегда абелева.
Примеры, упражнения, задачи
1.Многочисленные примеры групп и подгрупп дают подмножества
вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Определить,
образуют ли следующие множества чисел группу по сложению и умножению.
1.1. Все вещественные числа.
1.2. Вещественные числа, отличные от нуля.
1.3. Положительные вещественные числа.
1.4. Неотрицательные вещественные числа.
1.5. Комплексные числа.
1.6. Целые положительные степени двойки.
1.7. Все целые степени двойки.
1.8. Числа вида а  iв, где а и в целые числа.
1.9. Числа вида а  iв, где а и в рациональные числа.
1.10. Целые числа.
1.11. Рациональные числа.
1.12. Рациональные числа, отличные от нуля.
1.13. Положительные рациональные числа.
1.14. Отрицательные числа.
1.15. Число нуль.
1 2 3 .....n 
 - подстановка n-й степени
2. Группа подстановок. Пусть   
 p1 p 2 p 3 ....p n 
(взаимнооднозначное преобразование конечного множества в себя). Рассмотрим
множество P подстановок n-й степени. Определим операцию умножения  подстановок n-й степени. Если  и  - две подстановки степени n, то    - результат
последовательного выполнения подстановок  и  . Легко убедиться в том, что
умножение подстановок ассоциативная, но не коммутативная операция:
1 2 3 .....n 
  (   )  (  )   ,        . Подстановка   
 называется
1 2 3 .... n 
тождественной подстановкой. Очевидно, что произведение любой подстановки
 на тождественную подстановку  , а также произведение  на  равно  :
         . Назовем обратной для подстановки  такую подстановку  1 той
же степени, что    1   1     . Легко видно, что обратной для подстановки
1 2 3 .....n 
 p p p ....p n 
 является подстановка  1   1 2 3
 . Таким образом,
  
p
p
p
....
p
1
2
3
.....
n
n 
 1 2 3


9
структура (P;  ) является некоммутативной группой с порядком n!. Она называется
симметрической группой n-го порядка.
Теорема 6 (Кэли). Любая конечная группа изоморфна группе подстановок.
3. Доказать, что множество векторов на плоскости (в пространстве) образует
группу относительно операции сложения векторов.
4. Взаимнооднозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М. Определим композицию  преобразований f и g
множества М равенством (f  g)( x )  f (g( x )) для любого x  M . Показать, что
G  (M; ) - группа (группа преобразований).
5. Преобразование f евклидовой плоскости R 2 называется движением, если оно
сохраняет расстояние между любыми двумя точками плоскости. В декартовых
координатах любое движение может быть записано в виде
 х   cos  sin    x   a 
   
      ,

у
sin

cos

  
 y   в
где ( х, у) - произвольная точка плоскости, а ( х , у ) - точка, в которую переходит
точка (x,y) в результате движения f;  - угол поворота.
Показать:
а) множество всех движений плоскости образует группу;
б) подмножество всех движений f , оставляющих на месте начало координат,
составляет подгруппу;
в) подмножество всех движений, для которых   0 образует подгруппу (группа
параллельных переносов).
6. Перечислить все группы преобразований множества из трех элементов.
7. Показать, что линейные функции f (x)  ax  в, а  0 , образуют группу
относительно операции композиции  .
Решение. Пусть f ( x)  ax  в и g( x )  cx  d ,
тогда (f  g)( x)  f (g(x))  ag(x)  в  a (cx  d)  в  (ac)x  (в  ad) .
а) Покажем ассоциативность операции  :
(ах  в)  сx  d   ex  f   (ax  в)  (cx  d)  (ex  f )  (eac) x  (eв  ead  ef ) .
б) Покажем существование единичного элемента. Пусть i( x)  kx   - единичный элемент, тогда должно выполняться равенство
(ax  в)  kx     (ak ) x  (в  а)  ax  в , отсюда ak  a и в  al  в , это равенство возможно при k  1 и l  0 , т. е. единичный элемент i( x )  x .
10
в) Для каждого элемента f = ax + b покажем существование обратного
элемента: (ax  b)  (ux  v)  (au ) x  b  av  x , если au  1, и b  а  0;
в
отсюда u  a 1 и v   , т. е. если a  0 , то обратное преобразование существует и
а
1
в
f 1 ( x )  (ax  в) 1  х  , если a  0 .
а
а
8. Доказать, что монотонно возрастающие непрерывные функции с условием
f (0)  0, f (1)  1, образуют группу относительно операции композиции.
у
1
у0
х
0
х0 1
Решение. Пусть f и g - функции, обладающие свойствами: 1) f (0)  0, f (1)  1 ;
2) f ( x 1 )  f ( x 2 ), 0  x 1  x 2  1; 3)  y 0  0,1  x 0 [0,1] , такое, что f ( x 0 )  y 0 , а
f  g - их композиция, (f  g)( x)  f (g( x)). Покажем прежде всего, что f  g допустимая функция, т. е. также удовлетворяет свойствам 1) – 3).
Так как при 0  х  1 g ( x ) удовлетворяет неравенству 0  g( x )  1, то значение
f (g( x )) определено и заключено между 0 и 1. Следовательно, функция f  g - задана
на [0,1]. Проверим выполнение свойств 1) – 3).
1. (f  g)(0)  f (g(0))  f (0)  0; (f  g)(1)  f (g(1))  f (1)  1.
2. Пусть 0  х 1  x 2  1. Так как g ( x 1 )  g ( x 2 ) , то 0  f (g( x 1 ))  f (g( x 2 ))  1.
3. Пусть 0    1. Тогда существует число   0,1 такое, что   f () . Для
  0,1 существует   0,1 , такое, что   g() . Следовательно, для   0,1 существует   0,1, такое, что   f (g()).
Таким образом, f  g - допустимая функция. Покажем, что функции f со
свойствами 1) – 3) образуют группу. Действительно,
а) выполняется свойство ассоциативности операции  :
(f  g)( h ())  f (g(h  )  f  g  h   ;
б) существует единичный элемент e: е( х )  х;
в) для каждой функции существует обратная функция.
Пусть f ( x )  y . Определим функцию g( y) равенством g( y)  x . Так определенная функция g - допустимая функция. Действительно, так как 0  x  1, то
0  y  1 и 0  g( y)  1 , поэтому g(x) определена на [0,1]. Пусть 0  y1  y 2  1 .
Покажем, что 0  g( y1 )  gy 2   1. По свойству 3) существуют такие х 1 и х 2 , что
y1  f ( x 1 ), y 2  f ( x 2 ), x 1 , x  0,1. Если x 1  x 2 , то y1  y 2 . Если же x 1  x 2 , то
11
f x 1   f ( x 2 ) . Равенство х 1  х 2 и неравенство х 1  х 2 противоречат условию
f x 1   f ( x 2 ) . Следовательно, х 1  х 2 . Но x 1  g( y1 ) и х 2  g( y 2 ) , поэтому
g( y1 )  g( y 2 ) . Наконец, пусть 0  х 0  1 , тогда для числа y 0  f x 0  с одной
стороны 0  y 0  1 , а с другой - х 0  g( y 0 ) .
Осталось показать, что g - обратная функция к функции f. Пусть 0  х 0  1 .
Тогда (g  f )( x 0 )  g(f ( x 0 ))  x 0 , т.е. g  f  e . С другой стороны существует y 0 ,
такое, что y 0  f ( x 0 ) , откуда (f  g)( y 0 )  f (g( y 0 )  f ( x 0 )  y 0 , т. е. f  g  e .
9. Пусть Z – множество целых чисел; R   x : x  0 - множество положительных вещественных чисел: h - бинарная операция возведения в степень:
h (а , в)  а b . Являются ли ( Z; h ) и (R  ; h ) группами?
Ответ: Z; h  не является группой, так как множество Z не замкнуто
относительно операции h. R  ; h  не является группой, так как операция h не ассоциативна.
Например, hh (2,2),3  h (2 2 ,3)  4 3 ; h2, h (2,3  2 h ( 2,3)  2 2  28  4 4.
3
10. Задана группа G  (M;*) с групповой операцией *. М   М - подмножество
множества М. Убедиться, что G   (M ; ) с групповой операцией  является
подгруппой.
G   (M; )
Группа G  (M;*)
1. Группа
отличных
от
нуля а) Множество положительных веществещественных чисел с операцией венных чисел с операцией умножения.
умножения.
б) Множество рациональных чисел,
отличных от нуля, с операцией умножения.
в) Числа  1с операцией умножения.
2. Группа отличных от нуля комплекс- Множество отличных от нуля вещестных чисел с операцией умножения.
венных чисел с операцией умножения.
3. Группа рациональных чисел с опера- а) Множество целых чисел с операцицией сложения.
ей сложения.
б) Множество рациональных чисел с
Р
операцией сложения (числа вида , q q
нечетное).
11. Найти подгруппу аддитивной группы целых чисел, порожденную числом 2.
Ответ: 2   2,4,6,8,....
12
4. КОЛЬЦА. ТЕЛА. ПОЛЯ
Определение 1. Кольцом называется алгебра R  (M; ; ) с двумя бинарными
операциями + и , которые удовлетворяют следующим условиям.
1. Операция + определяет на R структуру абелевой группы.
2. Операция  связана с операцией + законами дистрибутивности:
а  в  с   а  в  а  с, а  в   с  а  с  в  с .
Если операция  ассоциативна (коммутативна), то кольцо называется
ассоциативным (коммутативным). Кольцо R называется кольцом с единицей,
если существует единица относительно операции .
Теорема 1. В кольце выполняются следующие соотношения:
1. 0a = a0 = 0; 2. a(-b) = (-a) b = - (ab); 3. (-a) (-b) = ab.
Определение 2. В кольце R  (M; ; ) ненулевые элементы a и в называются делителями нуля, если a  в  0 .
Определение 3. Ассоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля
называется областью целостности.
Определение 4. Кольцо с единицей, в котором для любого отличного от нуля
элемента существует обратный, называется телом.
Если кольцо является телом, то оно не содержит делителей нуля. Ненулевые
элементы тела образуют группу относительно операции умножения.
Определение 5. Тело с коммутативным умножением называется полем.
Теорема 2. В поле выполняются следующие соотношения:
1. (-a) = a(-1); 2. – (a +b) = (-a) +(b); 3. a  0  (a -1 ) 1  a; 4. ab = 0 
 a = 0 или b = 0.
Примеры, упражнения, задачи
1.Множества комплексных, вещественных, рациональных, целых, четных чисел
обычными операциями сложения и умножения чисел образуют кольца
(комплексных, вещественных и т.д. чисел).
Рассмотрим, например, множество С комплексных чисел. Сумма комплексных
чисел z1  a i  iв1 , z 2  a 2  iв 2 , i   1 есть комплексное число
z  z1  z 2  (a 1  a 2 )  i(в1  в 2 ) . Очевидно, операция сложения комплексных чисел
ассоциативна и коммутативна: z1  (z 2  z 3 )  (z1  z 2 )  z 3 ; z1  z 2  z 2  z1 .
Число z 0  0 обладает свойством: z  z 0  z 0  z  z для любого комплексного
числа z . Для любого z  C существует комплексное число  z  a  iв , такое, что
z  (z)  0 . Таким образом, (C; ) - абелева группа (аддитивная группа комплек13
сных чисел). Операция умножения  комплексных чисел, определяемая правилом
z1  z 2  (a 1  iв1 )(a 2  iв 2 )  (a 1a 2  в1в 2 )  i(a 1в 2  в1a 2 ) , дистрибутивна относительно операции сложения слева и справа, так как z1  (z 2  z 3 )  z1  z 2  z1  z 3 и
(z1  z 2 )  z 3  z1  z 3  z 2  z 3 . Следовательно, (C; ; ) - кольцо (комплексных чисел).
Это ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей (е  1) .
2. Множества многочленов с комплексными, вещественными рациональными,
целочисленными коэффициентами с обычными операциями сложения и
умножения многочленов образуют кольца.
Рассмотрим, например, множество Р многочленов Pn ( x )  a 0 x n  a 1x n 1  ...
...  a n 1 x  a n , n  0,1,2,... с вещественными коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 ,..., а n .
Сумма двух многочленов Pn ( x ) и Pm ( x ) есть также многочлен Pn ( x )  Pm ( x ) .
Операция сложения многочленов ассоциативна и коммутативна. Многочлен
e(x)  0 обладает свойством Pn ( x )  e( x )  Pn ( x ) . Для любого многочлена Pn ( x )
существует многочлен  Pn ( x )  a 0 x n  a 0 x n 1  ...  a n 1 x  a n , такой, что
Pn ( x )  (Pn ( x ))  0  e( x ). Следовательно, структура (P; ) - абелева группа.
Операция  умножения двух многочленов – это естественная операция умножения
«скобки на скобку». Ясно, что эта операция дистрибутивна относительно операции
сложения слева и справа. Следовательно, (P; ; ) - кольцо (многочленов). Это
также ассоциативно - коммутативное кольцо с единицей.
3. Множество Mat n (k ) квадратных матриц n -го порядка, элементами которых
являются комплексные ( K  C ) или вещественные ( K  R ) числа с обычными
операциями сложения и умножения матриц образуют ассоциативно –
некоммутативное кольцо с единицей. Единицей кольца является единичная
матрица n -го порядка.
4. В кольце Mat n (k ) квадратных матриц порядка n с элементами из кольца K
(см. пример 3) матрицы А  a ij , a 11  a  0, a ij  0 для остальных i и j ;
B  b ij , b nn  a  0, b ij  0 для остальных i и j - являются делителями нуля,
так как A  B  O, O – нуль-матрица.
5. Кольцо целых чисел с обычными операциями сложения и умножения Z;;
является областью целостности. Действительно, кольцо Z;; ассоциативнокоммутативное кольцо и для любых целых чисел m и n , отличных от нуля,
mn  0.
6. Множества комплексных, вещественных, рациональных чисел с обычными
операциями сложения и умножения образуют тело. Кольцо целых чисел не является телом.
14
7. Числа вида а  b 5 , где а и b - рациональные числа, образуют тело.
Соотношения а  5b  с  5d  a  c  b  d  5 ;  a  5b   a   5 (b)

 



и 0  0  0  5 показывают, что числа вида
а  b 5 образуют группу по
сложению. Рассмотрим теперь произведение двух таких чисел:
(а  d 5 )(с  d 5 )  ac  ad 5  bс 5  5bd  (ac  5bd )  (ad  bс) 5 .
Так как числа ас  5bd и ad  bс рациональны, то произведение имеет такой же
вид, что и сомножители. Отсюда следует, что числа вида а  в 5 с рациональными а и в образуют кольцо. Остается показать, что для чисел вида а  b 5 ,
отличных от нуля, всегда существуют обратные числа (также представимые в виде
а  b 2 с рациональными а и b). Как показывает прямая проверка число
а
b
 2
 5 является обратным к числу а  b 5 . Здесь а 2  5b 2  0 ,
2
2
2
а  5b
а  5b
а
иначе это бы означало, что 5  - рациональное число.
b
8. Множества комплексных, вещественных, рациональных чисел с обычными
операциями сложения и умножения образуют поле.
9. Операции
 и


0
1
2
на множестве N 3   0,1,2 определены в таблицах
0 1 2
 0 1 2
0 0 0
0 0 1 2
0 1 2
1 1 2 0
0 2 1
2 2 0 1
Покажем, что N 3 ;; - поле.
 определяет структуры абелевой группы.
На множестве N 3 операция
Действительно, из таблицы видно, что а  b является элементом множества N 3
для любых а и b, равных 0, 1, 2, причем а  b  b  а . Непосредственно из
таблицы следует, что операция  ассоциативна. Например, 2  (2  1)  2  2  1 и
(2  2)  1  1  1  1. Число 0 является нулевым элементом относительно операции
 . Элементы 0,1,2 являются обратными к элементам 0,1,2 соответственно.
Следовательно, ( N 3 ;) - абелева группа. Далее, операция  связана с операцией
 законами дистрибутивности. Это проверяется непосредственно. Например,
2  (2  1)  2  2  1 и 2  2  1, 2  1  0, 2  2  2  1  0  1 . Следовательно,
N 3 ;; - кольцо. Из таблицы для операции  0  0  0, 1  0  1, 2  0  2 ,
поэтому элемент 0 является единичным элементом относительно операции
умножения.
15
10. Показать, что кортежи длиной 2 (т.е. упорядоченные пары а , b вещественных чисел) с операциями а, b  с, d  a  c, b  d , а, b  c, d  ac, bd образуют
кольцо.
11. Доказать, что следующие подмножества множества Mat n (k ) являются
кольцами: а) диагональные матрицы; б) треугольные матрицы.
12*. Показать, что в кольце N p ;;, N p  0,1, 2,..., p  1,  и  - сложение и
умножение по модулю p , делителями нуля являются те элементы, которые имеют
общие нетривиальные множители с p .
13*. Доказать, что кольцо N p ;;, N p  0,1, 2,..., p  1, ,  и  - сложение и
умножение по модулю р является областью целостности в том и только в том
случае, если р - простое число.
14. Является ли множество всех квадратных матриц, n -го порядка кольцом относительно сложения по модулю 2?
15. Показать, что кольцо многочленов не содержит делителей нуля. Показать,
что многочлены с целочисленными коэффициентами образуют область целостности.
16. Доказать, что числа а  i 5b образуют область целостности, а и b - целые
числа.
17. Показать, что N 4 ;,  с операциями

0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
*
0
1
2
3
не является полем.
16
0
0
1
2
3
1
0
1
2
3
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
18. Является ли N 4 ;, * с операциями
 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 0 3 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1 0
полем?
*
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
3
1
3
0
3
1
2
19*. Показать, что взаимнооднозначное отображение а  b 2  а  b 3 не является изоморфизмом полей Q 2  a  b 2; a, b  Q и Q 3  a  b 3; а, b  Q ,
Q - множество рациональных чисел.
  

  

20. Пусть E = {0, 1}. Определим операции  и  следующим образом: 0  0 = 0,
0  1 = 1, 1  0 = 1, 1  1 = 0, 0  0 = 0, 0  1 = 0, 1  0 = 0, 1  1 =1.
Тогда P = (E;  ,  ) является полем. Оно называется двоичной арифметикой.
21. На множестве пар комплексных чисел заданы следующие операции:
(a, в)  (c, d)  (a  c, в  d); (a, в)  (c, d)  (ac  вd, ad  вc) . Доказать, что при этом
получается некоммутативное тело (d и c означают числа, комплексно сопряженные с числами d и c) .
5. ЧАСТИЧНО И ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
Бинарное отношение на множестве М называется отношением частичной
упорядоченности, если оно удовлетворяет условиям: рефлексивности; транзитивности и антисимметричности. Для записи частичной упорядоченности употребляется символ  . Если а  b, а и b М , то говорят: а меньше или равно b, а предшествует b.
Если а  b и а  b, то пишут а < b ( а меньше в; а строго предшествует b).
Бинарное отношение < уже не будет рефлексивным. Отношение  означает, что
а  b тогда и только тогда, когда b  а.
Пусть на множестве М задано отношение частичного порядка  . Элементы
а, b  М называются сравнимыми, если а  b или
b  а. Не любые два
элемента частично упорядоченного множества сравнимы. Тривиальный пример
несравнимых элементов: если а  b тогда и только тогда, когда а = b, то
различные элементы из М будут несравнимы. Частично упорядоченное
множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно
упорядоченным (совершенно упорядоченным).
17
Пусть между частично упорядоченными множествами М и М ' установлено
взаимно однозначное соответствие φ, а   а , а  М, а   М . Если из а  b следует
а   в  и обратно, то соответствие  называется изоморфизмом, а сами
множества М и М  изоморфными частично упорядоченными множествами.
Пусть Х;   - частично упорядоченное множество. Элемент а  Х называется
наименьшим элементом множества Х, если а  х для всех х  Х , если же для всех
х  Х а  х , то элемент а называется наибольшим элементом множества Х. В
любом частично упорядоченном множестве может существовать не более одного
наименьшего (наибольшего) элемента.
Простейшим примером частично упорядоченного множества, в котором
не существует наименьшего (наибольшего) элемента, является множество
вещественных чисел R с обычным отношением порядка:  (меньше или равно).
Пусть Х;   - частично упорядоченное множество. Элемент а  Х называется
минимальным элементом множества Х, если не существует ни одного элемента
х  Х , такого, что х < а. Это равносильно условию: из х  а следует х=а. Элемент
а  Х называется максимальным элементом множества Х, если не существует ни
одного элемента х  Х , такого, что а  х (из а  х следует х =а).
Множество Х может содержать много различных минимальных элементов, но
может также не иметь ни одного такого элемента.
Если частично упорядоченное множество имеет наименьший (наибольший)
элемент, то он является единственным минимальным (максимальным) элементом.
Следующие определения вводятся для подмножества М множества Х.
Пусть Х;   есть частично упорядоченное множество и М  Х - подмножество
множества Х. Элемент а  Х называется верхней (нижней) гранью множества М,
если для любого элемента х  М имеет место х  а а  х  . Множество М может
иметь много верхних (нижних) границ. Например, если Х=R и М  0,1 , тогда
любое а<0 – нижняя грань множества М, а любое a >1- верхняя грань множества M. Элемент a  М называется точной верхней гранью множества М, если a верхняя грань и a  а для любой другой верхней грани a множества М. Элемент
а  М называется точной нижней гранью множества М, если а - нижняя грань и
а  а для любой другой нижней грани a множества М. Точная верхняя (нижняя)
грань множества М обозначается sup M (inf M) (супремум и инфимум множества
M). Множество М имеет не более одной точной верхней (нижней) грани.
Частично упорядоченное множество Х;   называется вполне упорядоченным,
если каждое его непустое подмножество содержит наименьший элемент. Каждое
вполне упорядоченное множество Х;   является линейно упорядоченным.
Примером линейно упорядоченного множества, но не вполне упорядоченного
множества, является отрезок 0,1 . Наименьший элемент этого множества – число
0, но его подмножество 0,1 не имеет наименьшего элемента.
Существует способ наглядного представления конечного частично упорядоченного множества, который называется диаграммой Хассе. Каждый элемент a  A
обозначают прямоугольником, и любую пару прямоугольников, соответствующих
18
элементам a  A и b  A, соединяют стрелкой, идущей из прямоугольникa a в
прямоугольник b , тогда и только тогда, когда a  b (a  b), и не существует с  A,
такого, что a  c  b и элемент с отличен и от a, и от b.
Пусть B = {a, b, c}, A – булеан над B, и отношение порядка – нестрогое
включение «  ». Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества (A, )
приведена на следующем рисунке.
{a,b,c}}
{a,b}
{a,c}
{b,c}
{b}
{c}
{a}

Здесь булеан над множеством B = {a, b, c} обладает наименьшим элементом –
это пустое множество  , наибольшим элементом – это само множество B. На
диаграмме Хассе видно, что  предшествует любому элементу булеана, и любой
элемент булеана предшествует элементу {a, b, c}.
Рассмотрим теперь подмножество диаграммы Хассе, представленной в
предыдущем примере:
{a,b}
{a,c}
{b,c}
{b}
{a}
{c}
Это диаграмма частично упорядоченного множества
M = < {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a,c}},  >, которое является подмножеством
булеана множества {a, b, c}, M  A. Множество M не имеет наименьшего и
наибольшего элементов, но имеет три минимальных ({a}, {b}, {c}) и три
максимальных ({a, b}, {b, c}, {a,c}) элемента. Точной нижней гранью множества
M является элемент   A, а точной верхней гранью – элемент {a, b, c}  A.
19
Примеры, упражнения, задачи
1. Множество S всех подмножеств некоторого данного множества М с
отношением  - частично упорядочено.
2. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке 0,1 , с
отношением f  g, означающим, что f(t)  g(t), t 0,1 - частично упорядочено.
Здесь несравнимыми являются, например, функции со свойствами: f(t)  g(t),
t 0, t 0  и f(t)  g(t), t [t 0, 1] .
3. Множество натуральных чисел N с отношением m  n, если m делится нацело
на n, частично упорядочено. Например, числа m =7 и n =3 несравнимы.
4. На Rn определим отношение х  у, х = х 1 ,...х n  , у = у1,...у n , если хi  уi ,
для всех i=1,2,…n и, если хотя бы для одного i хi<yi. Rn с таким отношением
порядка является частично упорядоченным множеством. Например, элементы
(1, 2, 3) и (2, 3, 1) несравнимы.
5. Множество N натуральных, Q рациональных, R 1 вещественных чисел с
естественным отношением  являются линейно упорядоченными множествами.
6. Множество слов в словаре с лексикографическим упорядочением является
линейно упорядоченным множеством.
7. Множество  всех подмножеств некоторого множества М имеет единственный минимальный элемент – это пустое подмножество  .
8. Множество  всех непустых подмножеств некоторого множества М не имеет
наименьшего элемента; само множество М является наибольшим элементом и
максимальным элементом; любое подмножество, состоящее из одного элемента,
является минимальным элементом.
9. Если М конечное частично упорядоченное множество, то оно имеет
единственный наибольший (наименьший) элемент, который является
и
максимальным (минимальным) элементом.
10. Если М – бесконечное частично упорядоченное множество, то множество
всех его бесконечных подмножеств не имеет минимального элемента.
11. Промежуток 0,1 не имеет наименьшего
элемент равный единице.
20
элемента и имеет наибольший
12.Доказать, что если отношение φ на множестве Х есть отношение частичной
упорядоченности, то обратное отношение φ -1 также является отношением частичной упорядоченности.
Доказательство. По условию отношение φ:
1) рефлексивно: х  Х, x x;
2) транзитивно: из x y и с y z следует x z;
3) антисимметрично: из x y и y x следует х  у . Нужно доказать, что отношение  1 также рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.
По определению отношения  1 выполняется тогда и только тогда, когда y x.
Пусть  рефлексивно, то есть x x; но тогда и x 1 x , следовательно,  1
рефлексивно.
Пусть x 1 y и y 1 x. Это означает, что y x и x y, но  антисимметрично,
поэтому y = x, следовательно,  1 антисимметрично.
Пусть x 1 y и y 1 z . Это означает, что y x и z y, но φ транзитивно и
поэтому z y, т. е. y 1 z, следовательно, φ –1 – транзитивно. Поэтому φ –1 является
отношением частичного порядка.
13. Доказать: если f есть изоморфизм между частично упорядоченными
множествами Х;   и (X;   ), то х у равносильно f(x)   f(y).
13. Пусть Х – множество всех квадратов, лежащих внутри некоторого
прямоугольника с длинами сторон a и b, не являющегося квадратом. Каковы
максимальные элементы этого множества относительно включения?
Решение. По определению максимального элемента, максимальным элементом будет квадрат K из множества Х квадратов, если не существует ни одного
квадрата L, такого, что K  L (или из того, что K  L следует K = L). Поэтому
максимальными элементами будут квадраты со стороной min (a,b).
15. Доказать, что для линейно упорядоченного множества Х понятия
наименьшего (наибольшего) и минимального (максимального) элементов совпадают.
Доказательство. Пусть а – минимальный элемент, тогда из x  а следует, что
х=а. Поэтому  x  a а  х , так как любые элементы сравнимы (линейная
упорядоченность), но это означает, что а – наименьший элемент. Обратное
очевидно. Если частично упорядоченное множество имеет наименьший элемент а;
а  х х  Х ,то ни для одного х не выполняется х < a.
21
17. Показать, что каждое конечное
обладает максимальным элементом.
частично упорядоченное
множество
18. Показать, что в конечном множестве имеется наименьший элемент тогда и
только тогда, когда у него есть ровно один минимальный элемент.
19. Пусть на множестве N2=NN
отношение  задано условием:
m, n  m1 , n1 , если m  m1 и n  n 1 . Показать, что а) отношение φ является
частичным упорядочением;
б) в частично упорядоченном множестве N 2 ; 
любое непустое подмножество обладает минимальным элементом.
20. Пусть на множестве N отношение  задано следующим образом: m  n ,
если n делится на m . Это отношение  является отношением частичного порядка.
Sup(m, n)  m  n  Н.О.К(m, n); inf( m, n)  m  n  Н.О.Д.(m, n). Например,
912=3, 912=36.
6. РЕШЁТКИ
Решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором для
любых двух элементов a и b существует супремум а  в  supа , в и инфимум
а  в  inf а, в.
Таким образом, решетка R  ; , , - это алгебраическая система с одним
бинарным отношением  и двумя бинарными операциями , .
Примеры, упражнения, задачи
1. Любое вполне упорядоченное множество (например, множество целых чисел)
превращается в решетку, если в нем принять а  в  min( а, в) и а  в  max( а, в) .
2. Множество  всех подмножеств любого множества М частично упорядочено
по включению: А  В тогда и только тогда, когда А  В . Тогда  ; , ,  –
решетка.
3. Пусть В n - множество двоичных векторов (кортежей длиной n ). В В n введем
отношение порядка  , полагая x  y , если x i  y i для всех i  1,..., n; x i и y i
равны 0 или 1. Отношение  является отношением частичного порядка (оно
рефлексивно антисимметрично, транзитивно). Если определить sup(x, y) как
кортеж длиной n, в котором единицы стоят на тех местах, где они стоят либо в X
либо в Y , а inf( x, y) определить как кортеж длиной n, в котором единицы стоят
на тех местах, где они стоят в Х и Y , то В n превращается в решетку.
Показать, что и множество всех подмножеств любого конечного множества A n
находятся во взаимно однозначном соответствии и это соответствие является
изоморфизмом соответствующих решеток.
22
4. Пусть F - множество всех вещественных функций из  в R . Определим
отношение f  g следующим образом: f ( x)  g(x) для всех x   . f  g, f  g
означают, что f  g  maxf ( x ), g( x )и f  g  min f ( x ), g( x ), x   . Показать, что
F; ;, - решетка.
5. Пусть G - любая группа, L(G ) - множество всех подгрупп S, T,...группы G .
На L(G ) определим отношение ; S  T означает, что S  T . Показать, что
L(G) является частично упорядоченным множеством. Если определить  и  как
S  T  S  T, S  T  S  T (пересечение и объединение подгрупп – подгруппа –
показать), то (L(G); ,,) - решетка.
23
24