1. Организационно-методический раздел. 1.1 Название курса

1.
Организационно-методический раздел.
1.1 Название курса.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Направление - математика
Раздел - общие математические и естественно-научные дисциплины
Семестр(ы) - 2
1.2 Цели и задачи курса.
Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов
первого курса отделения прикладной инфоматики факультета информационных технологий
Новосибирского государственного университета.
Основной целью освоения курса является изучение студентами основных понятий и
результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, а также освоение практических
методов решения задач.
Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:
1) изучение теоретической части курса в соответствии с программой;
2) ознакомление с основными методам решения задач;
3) сдача экзамена и зачета.
1.3 Требования к уровню освоения содержания курса.
По окончании изучения указанного курса студент должен
- иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других разделов
математики;
- знать содержание программы курса, определения, формулировки теорем и их
доказательства;
- иметь навыки решения задач.
1.4
Формы контроля
Итоговый контроль.
Для контроля усвоения дисциплины учебным планом
предусмотрены зачет и экзамен в конце каждого семестра.
Текущий контроль. Предусмотрено проведение контрольной работы в середине
каждого семестра.
2
Содержание дисциплины.
2.1 Новизна.
Курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" является новым по отбору изучаемого
материала. Курс характеризуется математической строгостью изложения, при этом
достаточное внимание уделяется применениям изучаемых понятий и методов в
вычислительной математике и информатике.
2.2 Тематический план курса.
Наименование разделов
и тем
Лекции
Группы, кольца, поля
Матрицы и системы
линейных уравнений
Векторные пространства
Евклидовы и унитарные
пространства.
Аффинные пространства
Кривые и поверхности
второго порядка
Итого по курсу:
4
8
Количество
Семинары Лабораторные работы
4
0
16
0
часов
Самостоятельная работа
0
0
Всего
часов
8
24
8
8
16
16
0
0
0
0
24
24
4
12
0
0
16
32
64
0
0
96
2.3 Содержание отдельных разделов и тем.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
2.3.1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ
Общее понятие группы, кольца, поля: аксиоматика и примеры. Группы подстановок:
разложение в произведение независимых циклов, четные и нечетные подстановки. Кольца и
поля вычетов по модулю n, кольцо матриц. Подгруппы, подкольца и подполя.
2.3.2. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Квадратные и прямоугольные матрицы и действия над ними. Трансвекции и
диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Определитель квадратной матрицы.
Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель
произведения двух квадратных матриц.
Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы и ее вычисление. Формулы
Крамера. Запись системы линейных уравнений в матричной форме. Системы линейных
уравнений с обратимой матрицей. Критерий совместности системы линейных уравнений.
Эквивалентные системы. Однородная система с квадратной матрицей. Фундаментальная
система решений однородной системы. Связь между решениями систем AX=B и AX=0.
Общее решение совместной системы.
2.3.3. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Геометрические векторы на плоскости и в пространстве, операции сложения векторов
и умножения на скаляры, их основные свойства. Арифметическое векторное пространство.
Определение (абстрактного) векторного пространства: аксиоматика, примеры. Линейная
комбинация, линейная зависимость и независимость систем векторов. Теорема о замене. Базы
и размерность пространства, координаты вектора и изоморфизмы векторных пространств.
Подпространства векторного пространства: определение, примеры, линейные оболочки и
ранг системы векторов. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей, прямые
суммы. Проекция вектора на подпространство и ее свойства.
2.3.4. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Скалярное произведение геометрических векторов и его основные свойства.
Определение (абстрактного) евклидова и унитарного векторного пространства, примеры.
Длина вектора и угол между векторами, неравенство Коши-Буняковского, неравенство
трегольника. Ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации ГрамаШмидта. Ортогональные разложения пространства. Векторное и смешанное произведение
векторов, объем параллелепипеда.
Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Собственные числа и
собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен.
Понятие аффинного пространства. Подпространства: прямые и гиперплоскости.
Системы координат и формулы перехода. Метризованные аффинные пространства.
Расстояние от точки до гиперплоскости. Изометрические преобразования.
2.3.5. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение квадратичной формы, матрица формы, ранг формы, закон изменения при
невырожденной замене переменных, приведение к каноническому виду методом выделения
полных квадратов. Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения и свойства
(эллипс, гипербола, парабола). Пространственные поверхности второго порядка, их
канонические уравнения и свойства.
2.4
Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной
работы.
Не предусмотрено.
2.5 Темы рефератов (курсовых работ).
Не предусмотрено.
2.6
Образцы вопросов для подготовки к экзамену (дифференцированному зачету,
зачету).
1. Определение (абстрактного) векторного пространства: аксиоматика, примеры.
Арифметическое векторное пространство.
2. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость систем
векторов. Теорема о замене.
3. Базы и размерность пространства, координаты вектора и изоморфизмы
векторных пространств. Формула замены координат при переходе к новому
базису.
4. Подпространства векторного пространства: определение, примеры, линейные
оболочки и ранг системы векторов.
5. Сумма и пересечение подпространств, связь их размерностей, прямые суммы.
6. Квадратные и прямоугольные матрицы и действия над ними. Запись системы
линейных уравнений в матричной форме.
7. Подстановки. Разложение в произведение независимых циклов. Четные и
нечетные подстановки.
8. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения.
9. Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы. Формулы Крамера.
Системы линейных уравнений с обратимой матрицей.
10. Критерий совместности системы линейных уравнений.
11. Теоремы Фредгольма.
12. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений
однородной системы.
13. Связь между решениями систем Ax=b и Ax=0. Общее решение совместной
системы.
14. Скалярное произведение векторов и его основные свойства. Определение
(абстрактного) евклидова векторного пространства. Длина вектора и угол
между векторами.
15. Неравенство Коши-Буняковского.
16. Неравенство Минковского.
17. Ортогональные и ортонормированные системы векторов, процесс
ортогонализации Грама-Шмидта.
18. Матрица Грама и ее связь с матрицей перехода к новому базису.
19. Понятие аффинного пространства: определение и примеры.
20. Аффинное
подпространство.
Параметрическое
задание
аффинных
подпространств. Прямая и гиперплоскость.
21. Системы координат в аффинных пространствах. Формулы перехода.
22. Уравнение гиперплоскости.
23. Метризованные аффинные пространства: основные свойства расстояния.
24. Прямоугольные системы координат. Матрица Грама и метод ортогонализации
Грама-Шмидта.
25. Формула расстояния между точками в прямоугольной системе координат.
26. Ортогональная проекция точки на аффинное подпространство. Расстояние от
точки до подпространства.
27. Формула расстояния от точки до гиперплоскости.
28. Ориентация базисов векторного пространства.
29. Смешанное и векторное произведения, их основные свойства. Объем
параллелепипеда.
30. Аффинные отображения и преобразования. Задание аффинного отображения
формулами в системах координат.
31. Изометрические аффинные преобразования метризованных
аффинных
пространств.
32. Описание изометрических преобразований плоскости (с доказательством) и
пространства (без доказательства).
33. Понятие собственного вектора и собственного числа линейного
преобразования. Характеристический многочлен и характеристические числа
линейного преобразования: независимость от выбора базиса.
34. Кривые второго порядка. Переход от общего уравнения к каноническому.
Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.
35. Эллипс. Фокальное, директориальное и оптическое свойства эллипса,
уравнение касательной.
36. Гипербола. Фокальное, директориальное и оптическое свойства гиперболы,
уравнение касательной.
37. Парабола. Директориальное и оптическое свойства параболы, уравнение
касательной.
38. Поверхности второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, конус,
эллиптический и гиперболический параболоид. Прямолинейные образующие.
2.7
Список основной и дополнительной литературы.
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Наука,
1987.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре, М.: Наука, 1984.
4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1970.
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука, 1971.
6. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия, М.: Наука, 1968.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. Часть 2. Линейная
алгебра. М., ФМЛ, 2000.
8. Кострикин А.И. (ред.) Сборник задач по алгебре, М.: Факториал, 1995.
9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.
10. Фаддев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, С.-П.: Лань, 1998.
11. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров Л.А. Сборник задач по аналитической
геометрии и линейной алгебре, М.: ФМЛ, 2001.
Для изучения дисциплин, которые предусматривают использование нормативноправовых актов, указывать источник опубликования.
Не предусмотрено.
2.8
Программу составил
к.ф.-м.н.
А.И. Стукачев