ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ВВЕДЕНИЕ движения и механического взаимодействия материальных тел.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика есть наука об общих законах механического
движения и механического взаимодействия материальных тел.
Механическим движением называется изменение с течением времени
взаимного положения материальных тел в пространстве. Материальной точкой
называют материальное тело, размеры которого достаточно малы и которое
можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. В
теоретической механике тела рассматривают как недеформируемые или
абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело,
расстояние между двумя точками которого остается постоянным.
Состояние равновесия или движения тела зависит от механических
взаимодействий его с другими телами. Величина, являющаяся мерой
механического воздействия на материальную частицу со стороны других
материальных тел, учитывающая величину и направление этого воздействия,
называется в механике силой. Сила – величина векторная. Ее действие на тело
определяется: 1) модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения
силы. Силу, как и другие векторные величины, будем обозначать буквой с
чертой над нею ( например, F ), а модуль силы – той же буквой, но без черты
над нею ( F ).
Системой сил называют совокупность сил, действующих на тело. Если
систему сил, действующих на тело, можно заменить другой системой, не
изменяя при этом состояния покоя или движения тела, то такие две системы
называются эквивалентными. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта
сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила, равная
равнодействующей по модулю, противоположная ей по направлению и
действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.
Для
измерения
механических
величин
будем
использовать
Международную систему единиц СИ, в которой основными единицами
2
измерения являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей
измерения силы является ньютон (1Н = 1 кг · м / с2).
Теоретическая механика делится на три части – статику, кинематику и
динамику. Статика – раздел теоретической механики, в котором излагается
учение о силах и об условиях равновесия материальных тел под действием сил.
Кинематика изучает общие геометрические свойства движения тел. В динамике
изучается движение материальных тел под действием сил.
Раздел первый
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава 1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ.
СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ
В статике рассматриваются, в основном, две задачи: 1) преобразование
сложных систем сил к более простому виду; 2) определение условий
равновесия систем сил, действующих на твердое тело.
§1. Аксиомы статики
При изучении статики будем исходить из общих положений, называемых
аксиомами статики, справедливость которых проверяется на опыте.
1. Аксиома равновесия двух сил. Если на твердое тело действуют две
силы, то тело может находиться в равновесии только в том случае, когда эти
силы равны по модулю ( F1 = F2 ) и направлены по одной прямой в
противоположные стороны (рис. 1 ).
Рис. 1
3
2. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной
нулю. Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней
прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.
Следствие: действие силы на твердое тело не изменится, если перенести
точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Пусть на тело действует сила F (рис. 2). Приложим на линии действия
силы в произвольной точке B две уравновешенные силы F1 и F 2 такие, что
F1  F и F2  F . От этого действие силы F на тело не изменится. Но силы F и
F 2 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена.
В результате на тело будет действовать только одна сила F1  F , но
приложенная в точке В (т.е. сила – вектор скользящий).
Рис. 2
3. Аксиома параллелограмма сил: две силы, приложенные к телу в одной
точке,
имеют
равнодействующую,
приложенную
в
той
же
точке
и
изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как
на сторонах ( рис. 3).
Вектор R называется геометрической суммой векторов F1 и F 2 :
R  F1  F2 .
Рис. 3
4
4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия: всякой силе
действия есть равная, но противоположная сила противодействия.
Заметим, что силы в рассматриваемом случае приложенные к разным
телам и поэтому не образуют уравновешенную систему сил.
5. Аксиома
затвердевания:
равновесие
деформируемого
тела,
находящегося под действием сил, не нарушится, если тело считать абсолютно
твердым.
Например, равновесие цепи не нарушится, если звенья считать
сваренными друг с другом.
6. Аксиома связей. Связями называют материальные тела или точки,
которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого тела (точки).
Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить
силой, реакцией связей (или системой сил) (рис. 4, а и б).
Рис. 4
§ 2. Связи и их реакции
Тело, которое может совершать любые перемещения в пространстве
называют свободным. Все то, что ограничивает перемещения тела в
пространстве, называют связью (см. также § 1). Сила, с которой связь действует
на тело, называется реакцией связи. Рассмотрим, как направлены реакции
некоторых основных видов связей.
5
1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой называют
поверхность, трением о которую данного тела можно пренебречь. Реакция N
гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности в точке касания
тела и приложена в этой точке (рис. 5, а). Когда одна из соприкасающихся
поверхностей является точкой (рис. 5, б), то реакция направлена по нормали к
другой поверхности.
Рис. 5
2. Нить. Реакция T натянутой нерастяжимой нити направлена вдоль нити
к точке ее подвеса (рис. 6).
Рис. 6
3. Цилиндрический шарнир (подшипник) осуществляет такое соединение
двух тел (тело AB и неподвижная опора D), при котором одно тело может
вращаться по отношению к другому вокруг общей оси, называемой осью
шарнира (например, как две половины ножниц) (рис. 7). Реакция
R
цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости Axy.
Для силы R в этом случае наперед неизвестны ни ее модуль R, ни направление
(угол ).
6
Рис. 7
4. Невесомый стержень, прикрепленный в точках A и B шарнирами,
является связью для какого-нибудь тела (рис. 8, а). Реакция N прямолинейного
стержня направлена вдоль оси стержня. Если связью является криволинейный
стержень (рис. 8, б), то его реакция тоже направлена вдоль прямой AB,
соединяющей шарниры A и B (на рис. 8, а направление реакции соответствует
случаю, когда стержень сжат, а на рис. 8, б – когда растянут).
Рис. 8
При решении задач реакции связей обычно являются подлежащими
определению неизвестные.
§ 3. Геометрический способ сложения сил.
Равнодействующая сходящихся сил
Величину, равную геометрической сумме сил системы, называют
главным вектором этой системы сил.
1. Сложение системы сил. Геометрическая сумма R двух сил F1 и F 2
находится по правилу параллелограмма (рис. 9, а) или построением силового
треугольника (рис. 9, б). Если угол между силами равен , то модуль R и углы ,
, которые сила R образует со слагаемыми силами, определяются по формулам:
7
R  F12  F22  2F1F2 cos  ,
(1)
F1
F
R
.
 2 
sin  sin  sin 
(2)
Рис. 9
Геометрическая сумма трех сил, не лежащих в одной плоскости,
изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах.
Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется
или последовательным сложением сил по правилу параллелограмма, или
построением силового многоугольника. Для нахождения суммы сил F1 , F 2 , F3 ,
…, F n (рис. 10, а) вторым способом откладываем от произвольной точки О
(рис. 10, б) силу F1 , из конца вектора F1 откладываем силу F 2 и т.д.; из конца
предпоследнего вектора – силу F n . Соединяя начало первого вектора с концом
последнего, получим вектор R , изображающий геометрическую сумму или
главный вектор слагаемых сил:
R  F1  F2  ...  Fn
или
Рис. 10
R   Fk .
(3)
8
2. Равнодействующая сходящихся сил. Силы, линии действия которых
пересекаются в одной точке, называются сходящимися. Рассмотрим систему
сходящихся сил (рис. 10, а). Так как сила является вектором скользящим, то
система сходящихся сил эквивалентна системе сил, приложенной в одной точке
( на рис. 10, а в точке A).
Последовательно применяя закон параллелограмма сил, придем к выводу,
что
система
сходящихся
сил
имеет
равнодействующую,
равную
геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложена в точке
пересечения их линий действия.
Следовательно, система сил F1 , F 2 , F3 , …, F n имеет равнодействующую,
равную их главному вектору R и приложенную в точке A ( или в любой другой
точке, лежащей на линии действия силы R , проведенной через точку A).
§ 4. Проекция силы на ось и плоскость.
Аналитический способ сложения сил
Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная
произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным
направлением оси ( рис. 11).
Fx = Fcos , Qx = Qcos1 = – Qcos ,
Px = 0.
(4)
Рис. 11
Проекцией силы F на плоскость Oxy называется вектор Fxy , заключенный
между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 12).
9
Рис. 12
В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее
найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем
найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось (рис. 12):
Fx = Fxycos = Fcoscos ,
Fy = Fxysin = Fcossin .
(5)
Силу F можно построить, если известны модуль F этой силы, углы , , ,
которые сила образует с координатными осями и координаты x, y, z точки
приложения.
Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями
Fx = X , Fy = Y , Fz = Z на координатные оси. Зная проекции, можно определить
модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями по
формулам
F  X 2  Y 2  Z2 ,
cos = X / F ,
cos = Y / F ,
cos = Z / F .
(6)
Если R есть главный вектор системы сил F1 , F 2 , F3 , …, F n , т.е.
R   F k , то проекциями вектора R на оси координат будут:
R x  X1  X 2  ...  X n   X , R y  Y1  Y2  ...  Yn   Y ,
R z  Z1  Z2  ...  Zn   Z
Зная Rx, Ry, Rz, по формулам (6) находим модуль главного вектора и его
направляющие косинусы:
10
R  R 2x  R 2y  R 2z ,
cos = Rx / R ,
cos = Ry / R ,
cos = Rz / R .
(7)
Формулы (7) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.
Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы
принимают вид:
Rx  X ,
Ry  Y,
R  R 2x  R 2y ,
cos = Rx / R ,
cos = Ry / R .
(8)
Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения
аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции
этих сил на координатные оси.
Задача 1. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 13, а ),
если дано: F = 17,32 Н, T = 10 Н, P = 24 ,  = 300,  = 600.
Решение
Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси:
Fx = Fcos = 17,32·0,866 = 15 Н, Tx = – Tcos = – 10·0,5 = – 5 Н, Px = 0,
Fy = – Fsin = 17,32·0,5 = – 8,66 Н, Ty = – Tsin = 10·0,866 = 8,66 Н,
Py = – P = –24 Н.
Тогда по формулам (8)
Rx = 15 – 5 = 10 Н ,
Ry = – 8,66 + 8,66 – 24 = – 24 Н .
Следовательно
R  10 2   24   26 Н ; cos = 5 / 13 , cos = – 12 / 13 .
2
Окончательно R = 26 Н,  = 67020,  = 157020.
Для решения задачи геометрическим методом выберем соответствующий
масштаб (например, в 1см – 10 Н) и построим из сил P , F , T , силовой
многоугольник (рис. 13, б). Его замыкающая ad определяет в данном масштабе
модуль и направление R . Если, например, при измерении получим ad ≈ 2,5 см,
то R ≈ 25 Н с погрешностью по отношению к точному решению около 4 %.
11
Рис. 13
§5. Равновесие системы сходящихся сил
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно,
чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были
равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять силы, можно
выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое
условие
равновесия.
Для
равновесия
системы
сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник,
построенный из этих сил, был замкнутым.
2. Аналитические условия равновесия. Модуль главного вектора системы
сил определяется первой формулой (7):
R  R 2x  R 2y  R 2z .
Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R
обратится в нуль только тогда, когда одновременно Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0, т.е.
когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам
X  0, Y  0, Z  0.
(9)
Равенства (9) выражают условия равновесия в аналитической форме: для
равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и
достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны
нулю.
12
Если сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют
плоскую систему сходящихся сил. В этом случае получим только два условия
равновесия:
X  0, Y  0.
(10)
3. Теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под
действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии
действия сил пересекаются в одной точке.
Для доказательства теоремы сначала рассмотрим две силы, например F1 и
F 2 . Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке А (рис. 14).
Заменим их равнодействующей R . Тогда на тело будут действовать две силы:
сила R и сила F3 , приложенная в какой-то точке В тела. Так как тело
находится в равновесии, то согласно первой аксиоме, силы R и F3 направлены
вдоль прямой АВ. Следовательно, линия действия силы F3 тоже проходит
через точку А, что и требовалось доказать.
Пример. Рассмотрим брус АВ, закрепленный в точке А шарниром и
опирающийся на выступ D (рис. 15).На этот брус действуют три силы: сила
тяжести P , реакция N D выступа и реакция R A шарнира. Так как брус
находится в равновесии, то линии действия сил должны пересекаться в одной
точке. Линии действия сил P и N D известны и они пересекаются в точке К.
Следовательно, линия действия реакции R A тоже должна пройти через точку
К, т. е. должна быть направлена вдоль прямой АК.
Рис. 14
Рис. 15
13
Задача 2. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом
наклона  (рис. 16, а). Определить значение горизонтальной силы F , которую
надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при
этом равна сила давления Q груза на плоскость.
Решение. Искомые силы действуют на разные тела: сила F на груз, сила
Q – на плоскость. Для решения задачи вместо силы Q будем искать реакцию
плоскости N . Q   N , Q = N. Тогда заданная сила P и искомые силы F и N
будут действовать на одно и то же тело на груз. Рассмотрим равновесие груза.
Геометрический способ. При равновесии треугольник, построенный из
сил P , F и N , должен быть замкнутым. Построение треугольника начнем с
заданной силы. От произвольной точки a в выбранном масштабе откладываем
силу P (рис. 16, б). Через начало и конец этой силы проводим прямые,
параллельные направлениям сил F и N . Точка пересечения этих прямых дает
третью вершину c замкнутого силового треугольника abc, в котором стороны
bc и ac равны в выбранном масштабе силам N и F . Направление сил
определяется правилом стрелок: так как равнодействующая равна нулю, то при
обходе треугольника острия стрелок нигде не должны встречаться в одной
точке. Модули искомых сил можно найти из треугольника abc путем
численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не
надо). Замечая, что  bac = 900,  abc =  получим F = Ptg ,
(F / P = tg , P / N = cos).
Рис. 16
N = P / cos
14
Аналитический способ. Так как система сходящихся сил является
плоской, то для нее надо составить два условия равновесия (10)
X  0,
Y  0.
Для этого сначала проводим координатные оси. Затем вычисляем
проекции сил P , F и N на оси x и y и составляем уравнения, получим:
P sin   F cos   0 ,
 P cos   F sin  N  0 .
Решая эти уравнения, найдем:
sin 
FP
 Ptg ,
cos 
sin 2 
P
.
N  P cos   P

cos  cos 
Глава 2
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА. ПАРА СИЛ
§6. Момент силы относительно центра (или точки)
При рассмотрении пространственной системы сил применяется понятие
момента силы относительно центра (или точки).
Определение. Моментом силы F относительно центра О называется

приложенный в центре О вектор mO F , модуль которого равен произведению
модуля F силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости,
проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся
повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис. 17). Плечом
h силы F относительно центра О называют длину отрезка перпендикуляра,
опущенного из точки О на линию действия силы.
Согласно этому определению

m O F  F  h  2 пл. OAB ,
(11)
где пл.OAB  AB  h 2  Fh 2 .
Измеряется момент силы в ньютон-метрах (Н·м).
15
Рис. 17

Для нахождения формулы, которая выражает вектор mO F , рассмотрим
векторное произведение OA F . По определению

OA  F  2 пл. OAB  m O F
Направлен вектор OA F перпендикулярно плоскости OAB в ту сторону,
откуда кратчайшее совмещение OA с F (если их отложить от одной точки)
видно происходящим против хода часовой стрелки, т.е. так же, как вектор

mO F . Следовательно, векторы OA F и F выражают одну и ту же величину.
Отсюда

mO F  OA  F
или

mO F  r  F ,
(12)
где r  OA – радиус-вектор точки А, проведенной из центра О.

Момент силы mO F имеет следующие свойства:
1) момент силы относительно центра не изменится при переносе точки
приложения силы вдоль ее линии действия;
2) момент силы относительно центра О равен нулю или когда сила равна
нулю, или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно
нулю).
§7. Алгебраический момент силы относительно центра
При
рассмотрении
плоской
системы
сил
используется
понятие
алгебраического момента силы относительно центра. Когда все силы системы
лежат в одной плоскости, их моменты относительно любого центра О
находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т.е.
направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной
16
символике можно направления этих моментов отличить одно от другого знаком
и рассматривать момент силы F относительно центра О как алгебраическую
величину. Условимся такой момент называть алгебраическим и обозначать

символом m O F . Алгебраический момент силы F относительно центра О равен
взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее плечо, т.е.

mO F  Fh .
(13)
При этом момент считается положительным, когда сила стремится
повернуть
тело
вокруг
центра
О
против
хода
часовой
стрелки,
и
отрицательным – когда по ходу часовой стрелки. Так для сил, изображенных на

рис. 18: m O P  Ph1 ,
 
mO Q  Qh 2 .
Рис. 18
§8. Пара сил. Момент пары
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и
направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно
твердое тело (рис. 19, а).
Рис. 19
17
/
Система сил F , F , образующих пару, не находится в равновесии (эти
силы не направлены вдоль одной прямой (аксиома 1)). В то же время пара сил
/
не имеет равнодействующей поскольку R  F  F  0 . Поэтому свойства пары
сил, как нового самостоятельного элемента статики, должны быть рассмотрены
отдельно.
Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется
плоскостью пары. Расстояние d между линиями действия сил пары называется
плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому
вращательному моменту пары.
Определение: моментом пары сил называется вектор m , модуль которого
равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который
направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара
видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б),
т.е.

m  m A F  AB  F .
В отличие от момента силы вектор пары является свободным вектором, т.е. его
можно переносить в любую точку тела.
Моменту пары можно дать другое выражение: момент пары равен сумме
моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, т.е.


/
m  mO F  mO F .
Рис. 20
(14)
18
Для доказательства проведем из произвольной точки О (рис. 20) радиусы
векторы r A  OA и r B  OB . Тогда согласно формуле (12), учтя еще, что
/
F  F , получим

F  m
mO F  r B  F ,
mO

/
F  r
/
O
/
mO F  r A  F  r A  F и, следовательно
B

 r A  F  AB  F ,
где r B  r A  AB .
Так как AB  F  m , то справедливость равенства (14) доказана. Отсюда, в
частности, следует уже отмеченный выше результат

m  AB  F  mA F
или

/
m  mB F ,
(15)
т.е. момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки
приложения другой силы. Отметим еще, что модуль момента пары
m = Fd .
(16)
Из формулы (14) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые
моменты, эквивалентны.
Из формулы (14) следует еще, что если на тело действует несколько пар с
моментами m1 , m 2 , …, m n то сумма моментов всех сил, образующих эти пары,
относительно любого центра будет равна m1  m 2  m n , а следовательно, вся
совокупность этих пар эквивалентна одной паре с моментом
m   mk .
(17)
Этот результат выражает теорему о сложении пар.
§ 9. Алгебраический момент пары сил
Поскольку момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно
точки приложения другой силы (15)

m  AB  F  mA F
или

/
m  mB F ,
19
то для пар, лежащих в одной плоскости, момент пары можно рассматривать как
алгебраическую величину и обозначать символом m. При этом алгебраический
момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля
одной из сил пары на плечо пары:
m  Fd .
(18)
Правило знаков здесь такое же, как и для алгебраического момента силы:
алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара сил стремится
вращать тело против часовой стрелки, и знак минус, если пара сил стремится
вращать тело по часовой стрелке. Так, для изображенной на рис. 21, а пары F ,
/
/
F , момент m1  Fd1 , а для пары P , P , момент m 2   Pd 2 . Поскольку пара сил
характеризуется только ее моментом, то на рисунках пару изображают часто
просто дуговой стрелкой (рис. 21, б).
Рис. 21
Глава 3. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЦЕНТРУ.
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
§10. Теорема о параллельном переносе силы
В задачах на равновесие тел сила может быть перенесена в любую точку
на линии ее действия.
Теорема: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не
изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую
20
другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту
переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.
Пусть на твердое тело действует сила F , приложенная в точке А (рис. 22).
Действие этой силы не изменится, если в любой точке В тела приложить две
/
//
/
//
уравновешенные силы F и F , такие, что F  F , F  F .
/
Полученная система трех сил и представляет собой силу F , равную F , но
//
приложенную в точке В, и пару F , F с моментом

m  mB F .
(19)
Рис. 22
Последнее равенство следует из формулы (15). Таким образом, теорема
доказана.
§11. Приведение произвольной системы сил к центру
Теорема о приведении системы сил: любая система сил, действующих на
абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О
заменяется одной силой R , равной главному вектору системы сил и
приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом m O , равным
главному моменту системы сил относительно центра О (рис. 23, б).
Пусть на твердое тело действует произвольная система сил F1 , F 2 , …, F n
(рис. 23, а). Выберем точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой,
21
доказанной в §10, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом
соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил
/
/
/
F1  F1 , F 2  F 2 , …, Fn  Fn ,
(20)
приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле
(19) равны:
 
 
 
m1  mO F1 , , m2  mO F2 , …, mn  mO Fn .
(21)
Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R ,
приложенной в точке О. При этом R   F k или, согласно равенствам. (20)
/
R   Fk .
(22)
Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов
этих пар. В результате система пар заменяется одной парой, момент которой
M O   m k или, согласно равенствам (21)
 
M O   m O Fk .
(23)
Как известно величина R равная геометрической сумме всех сил,
называется
главным
вектором
системы
сил;
величина
MO ,
равная
геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется
главным моментом системы сил относительно этого центра.
Таким образом, теорема доказана.
Рис. 23
22
Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей данной
системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.
Отметим, что значение R от выбора центра О не зависит. Значение же
M O при изменении центра О может изменится вследствие изменения значений
моментов отдельных сил.
Рассмотрим в заключение частные случаи: 1) если для данной системы
сил R  0 , а MO  0 , то она приводится к одной паре сил с моментом M O . В
этом случае значение M O не зависит от выбора центра О, так как иначе
получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не
эквивалентными друг другу парами, что не возможно; 2) если для данной
системы сил R  0 , а MO  0 , то она приводится к одной силе т.е.
равнодействующей, равной R и приложенной в центре О.
§12. Условия равновесия системы сил.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и
достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент
относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись
условия
R  0,
MO  0 ,
(24)
где О – любой центр, так как при R  0 значение M O от выбора центра О не
зависит.
Условия (24) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них
не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к
равнодействующей (когда R  0 ), или к паре сил (когда
MO  0 ) и,
следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (24)
являются и достаточными, потому что при R  0 система сил может
приводится только к паре с моментом M O , а так как MO  0 , то имеет место
равновесие.
23
Теорема Вариньона: если данная система сил имеет равнодействующую,
то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме
моментов сил системы относительно того же центра.
Пусть система сил F1 , F 2 , …, F n приводится к равнодействующей R ,
линия действия которой проходит через некоторую точку С (рис. 24).
/
Приложим в этой точке силу R  R . Тогда система сил F1 , F 2 , …, F n , R
/
будет находиться в равновесии и для нее должно выполнятся условие MO  0 ,
т. е. для данных сил должно быть
 m O Fk   m O R
/
 0 .
/
Но так как R  R и обе силы направлены вдоль одной и той же прямой, то
 
 
/
m O R  m O R .
  в предыдущее равенство, найдем из него, что
Подставляя это значение mO R
/
 
 
m O R   m O Fk .
(25)
Тем самим теорема доказана.
Рис. 24
§13. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
Результат, полученный в §11, справедлив и в частном случае плоской
системы сил. Плоская система сил тоже приводится к силе, равной R и
24
приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре сил с моментом M O ,
но сила и пара лежат в данном случае в одной плоскости – в плоскости
действия сил (рис. 25, а, где пара изображена дуговой стрелкой). Значения
главного вектора R и главного момента M O даются формулами (22) и (23); при
этом вектор R можно определить или геометрически построением силового
многоугольника (§ 3), или аналитически по формулам (8) из § 4.
Рис. 25
Таким образом, для плоской системы сил
R x   Xk ,
R y   Yk ,
 
M O   m O Fk ,
(26)
где все моменты в равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая.
Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская
система сил, не находящаяся в равновесии.
1. Если для данной системы сил R  0 , а M O  0 , то она приводится к
одной паре с моментом M O . Как показано в §11, значение M O в этом случае не
зависит от выбора центра О.
2. Если для данной системы сил R  0 , то она приводится к одной силе,
т.е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:
а) R  0 , M O  0 . В этом случае система приводится к равнодействующей
R , проходящей через центр О;
25
б) R  0 , M O  0 . В этом случае пару с моментом m O можно изобразить
/
/
//
//
двумя силами R и R , беря R  R , а R  R (рис. 25, б). При этом, если
d = OC – плечо пары, то должно быть
Rd  M O .
(27)
//
Отбросив теперь силы R и R , как уравновешенные, найдем, что вся
/
система сил заменяется равнодействующей R  R , проходящей через точку С.
Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC = d
( OC  R ) должно удовлетворять равенству (27); 2) знак момента относительно
 
/
/
центра О силы R , приложенной в точке С, т.е. знак m O R , должен совпадать
со знаком MO.
Таким образом, плоская система сил, не находящаяся в равновесии, может
быть окончательно приведена или к одной силе, т.е. к равнодействующей
(когда R  0 ), или к паре сил (когда R  0 ).
§ 14. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил
Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил
даются равенствами
R  0,
MO  0 ,
выражаемыми формулами (24). Найдем вытекающие отсюда аналитические
условия равновесия плоской системы сил.
1. Основная форма условий равновесия. Так как вектор R равен нулю,
когда равны нулю его проекции Rx и Ry, то для равновесия должны
выполняться равенства Rx = 0, Ry = 0 и MO = 0, где в данном случае MO –
алгебраический момент, а О – любая точка в плоскости сил. Но из формул (26)
следует, что предыдущие равенства будут выполнены, когда действующие
силы удовлетворяют условиям:
 X  0 ,  Y  0 ,  m O F k   0 .
(28)
26
Формулы (28) выражают следующие аналитические условия равновесия:
для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно,
чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей и сумма их
моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил,
были равны нулю. Одновременно равенства (28) выражают условия равновесия
твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил.
2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной
плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов сил
относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Оx,
не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:
 m A F k   0 ,  m B Fk   0 ,  X  0 .
(29)
Необходимость условий очевидна, так как если любое из них не
выполняется, то или R  0 ; или M A  0 ( M B  0 ) и равновесия не будет. Докажем
их достаточность. Если для данной системы сил выполняются только первые два
из условий (35), то для нее MA = 0 и MB = 0. Такая система может не находится в
равновесии, а иметь равнодействующую R , одновременно проходящую через
точки А и В (рис. 26). Но по третьему условию должно быть
 X  0 . Так как ось
Оx проведена не перпендикулярно к АВ, то последнее условие может быть
выполнено, только когда R  0 , т.е. когда имеет место равновесие.
Рис. 26
3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для
равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно,
27
чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В
и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
 m A F k   0 ,  m B Fk   0 ,  m С Fk   0 .
(30)
Необходимость условий очевидна. Достаточность условий (30) следует из
того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система
сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводится к
равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В и С, что
невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при
выполнении условий (30) имеет место равновесие.
4. Равновесие плоской системы параллельных сил. В случае, когда силы
параллельны друг другу, можно направить ось Оx перпендикулярно силам, а
ось Оy параллельно им (рис. 27). Тогда проекция каждой из сил на ось Оx будет
равна нулю и первое из равенств (28) обратится в тождество вида 0  0 . В
результате для параллельных сил останется два условия равновесия:
 Y  0 ,  m O F k   0 .
(31)
где Оy параллельна силам.
Другая форма условий равновесия для параллельных сил, получающаяся
из равенств (29), имеет вид:
 m A F k   0 ,  m B Fk   0 .
При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.
Рис. 27
(32)
28
§15. Решение задач
Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с
помощью которых закрепляются балки и мостовые фермы.
В технике обычно встречаются три типа опорных закреплений (кроме
рассмотренных в § 2):
1. Подвижная шарнирная опора (рис. 28, опора А). Реакция N A такой
опоры направлена по нормали к поверхности на которую опираются катки
подвижной опоры.
2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 28, опора В). Реакция R B такой
опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в
плоскости чертежа. При решении задач будем реакцию R B изображать ее
составляющими X B и Y B по направлениям координатных осей. Модуль R B
определим по формуле R B  X 2B  YB2 .
3. Жесткая заделка (рис. 29, а). Рассматривая заделанный конец балки и
стену как одно целое, жесткую заделку изображают так, как показано на
рис. 29, б. В этом случае на балку в ее поперечном сечении действует со
стороны заделанного конца система распределенных сил (реакций). Считая эти
силы приведенными к центру А сечения, можно их заменить одной силой R A и
парой с неизвестным моментом mA (рис. 29, а). Силу R A можно изобразить ее
составляющими X A , Y A (рис. 29, б).
Таким образом, для нахождения реакции жесткой заделки надо
определить три неизвестные величины XA, YA, mA.
Рис. 28
Рис. 29
29
Отметим также, что в инженерных расчетах часто приходится встречаться
с нагрузками, распределенными вдоль поверхности по тому или иному закону.
Рассмотрим некоторые примеры распределенных сил.
Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью
q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка.
Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м).
а) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 30, а).
Для такой системы интенсивность q имеет постоянное значение. При расчетах
эту систему сил можно заменить равнодействующей Q . По модулю
Q = aq .
(33)
Приложена сила Q в середине отрезка АВ.
б) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону
(рис. 30, б). Для этих сил интенсивность q является величиной переменной,
растущей от нуля до максимального значения qm. Модуль равнодействующей
Q в этом случае определяется по формуле
Q = 0,5aqm .
(34)
Приложена сила Q на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольника АВС.
Рис. 30
Задача 3. Определить реакции неподвижной шарнирной опоры А и
подвижной опоры В балки (рис. 31), на которую действуют активные силы:
одна известная сосредоточенная сила F = 5 кН, приложенная в точке С под
углом 600, и одна пара сил с моментом m = 8 кНм.
30
Рис. 31
Решение.
1) Выбираем
объект
исследования,
т.е.
рассматриваем
равновесие балки АВС. 2) Изобразим внешние силы, действующие на балку:
силу F , пару сил с моментом m и реакции связей X A , Y A , Y B (реакцию
неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими). В
результате
имеем
произвольную
плоскую
систему
сил.
3) Проведем
координатные оси x, y и составляем условия равновесия (28). Для вычисления
момента силы F , иногда, удобно разложить ее на составляющие F1 и F 2 ,
модули которых равняются F1 = F cos600 = 2,5 кН, F2 = F cos300 = 4,33 кН. Тогда
получим:
 X  X A  F1  0 ,  Y  YA  YB  F2  0 ,
 m A Fk   YB  3  m  F2  5  0 .
Решая эту систему уравнений, найдем:
XA = F1 = 2,5 кН,
YB = (m + F2∙5)/3 = 9,88 кН, YA = F2 – YB = – 5,55 кН.
Знак минус реакции YA показывает, что эта реакция направлена вертикально
вниз.
Для проверки составим уравнение моментов относительно нового центра,
например, относительно точки В:
 m B Fk   YA  3  m  F2  2  0 ,
5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.
31
Задача 4. Определить реакции заделки консольной балки (рис. 32), на
которую
действуют
активные
силы:
сосредоточенная
сила
F = 6 кН,
приложенная в точке С под углом 450, равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 3 кНм.
Рис. 32
Решение.
1) Выбираем
объект
исследования,
т.е.
рассматриваем
равновесие балки АВС. 2) Изобразим внешние силы, действующие на балку:
силу F , равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q, пару сил с
моментом m и реакции заделки, т.е. три неизвестные величины XA, YA, mA
(реакцию жесткой заделки изображаем двумя ее составляющими XA, YA, а пару
– неизвестным моментом mA, как на рис. 29). Силу F разложим на две
составляющие F1 и F 2 , модули которых равняются F1 = F2 = F cos450 = 4,24 кН,
а распределенную нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой
Q с модулем равным
Q = 3∙q = 6 кН.
Сила Q приложена в середине отрезка АВ. В результате имеем произвольную
плоскую систему сил. 3) Проведем координатные оси x, y и составляем
уравнения равновесия (2):
 X  X A  F1  0 ,  Y  YA  Q  F2  0 ,
 m A Fk   m A  Q  1,5  m  F2  5  0 .
32
Решая эти уравнения, найдем:
XA = F1 = 4,24 кН, YA = Q – F2 = 1,76 кН, mA = Q∙1,5 + m – F2∙5 = – 9,2 кНм.
Для проверки составим уравнение моментов относительно точки С:
 m C Fk   m A  Q  3,5  m  YA  5  0 ,
– 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.
Задача 5. Определить реакции опор А, В, С и усилие в промежуточном
шарнире D составной конструкции (рис. 33), на которую действуют активные
силы: сосредоточенная сила F = 4 кН, приложенная в точке Е под углом 450,
равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с
моментом m = 10 кНм.
Рис. 33
Решение. Один из способов решения задач об определении реакции опор
составной конструкции состоит в том, что конструкцию расчленяют на
отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел в отдельности.
Воспользуемся этим способом и разобьем конструкцию на две части: левую AD
и правую DC. В результате приходим к задаче о равновесии двух тел. Силовые
схемы задачи показаны на рис. 7,8. Для упрощения вычислений разложим силу
F
на
составляющие
F1
и
F2 ,
модули
которых
равны
F1 = F2 = F cos450 = 2,83 кН, а распределенную нагрузку интенсивностью q
заменим сосредоточенной силой Q с модулем равным Q = 10 кН. Сила Q
приложена в середине отрезка BD.
33
Рис. 34
Рис. 35
Анализ приведенных силовых схем показывает, что они включают шесть
неизвестных величин: XA, YA, YB, XD, YD, YC.
Так как на рис. 34,35 имеются плоские системы уравновешенных сил, то
для них можно записать условия равновесия (28) в виде шести линейных
алгебраических уравнений:
Левая часть
Правая часть
 X  X A  F1  X D  0 ,
 X  X D  0 ,
 Y  YA  F2  YB  Q  YD  0 ,
 Y  YC  YD  0 ,
 m A F k   YB 10  F2  8  Q 12,5  YD 15  0 ,  mD Fk   YC  5  m  0 .
Поскольку составленная система шести уравнений зависит от шести
неизвестных XA, YA, YB, XD, YD, YC, то она является замкнутой.
Решая систему, найдем:
XA = – 2,83 кН, YA = – 0,93 кН, YB = 11,76 кН, YC = 2 кН, XD = 0, YD = 2 кН.
Для проверки составим уравнение моментов относительно точки D:
 mD Fk   F2  7  YA 15  YB  5  Q  2,5  m  YC  5 
= 2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.
§16. Равновесие при наличии трения скольжения
Трение между двумя соприкасающимися телами происходит прежде
всего вследствие шероховатости их поверхностей и наличия сцепления у
прижатых к друг другу тел. При покое тела увеличение силы, стремящейся
34
привести тело в движение, вызывает увеличение силы трения от нуля до
известного предела Fпр, больше которого сила трения быть не может. Этот
предел называют силой трения скольжения при начале движения.
Fтр  Fпр .
Как
показывает
опыт,
(35)
максимальное
значение
силы
трения
пропорционально нормальному давлению:
Fтр = f N.
(36)
Под нормальным давлением понимают составляющую полного давления,
перпендикулярную соприкасающимся плоскостям. Так, если тело весом G
лежит на плоскости, составляющей угол  с плоскостью горизонта С (рис. 36),
то нормальное давление N = G cos. При постепенном увеличении угла
уменьшается сила нормального давления (а, следовательно, и сила трения) и
увеличивается составляющая веса, направленная вдоль наклонной плоскости
G sin. При некотором угле  = тр тело не сможет больше удерживаться
трением на наклонной плоскости и начнет сползать вниз. Этот угол называют
углом трения, тангенс его равен коэффициенту трения для данной пары
трущихся материалов (тела и плоскости)
tgтр = f.
(37)
Этот же угол называют углом естественного ската, потому что сыпучее
тело, лежащее на горизонтальной плоскости, имеет форму конуса, образующие
которого наклонены под этим углом к горизонтальному основанию.
Рис. 36
35
Подсчитаем, например, сколько яровой пшеницы можно насыпать на
круглую площадку диаметром 10 м, если насыпная плотность яровой пшеницы
равна 750 кг/м3, а f = 0,75? Для этого умножим насыпную плотность яровой
1
1
пшеницы на объем конуса V  r 2 h  r 3 tg , где  – угол естественного
3
3
откоса (tg = f), и получим ответ (98000 кг).
Задача 6. Каким должен быть вес тела 1, для того чтобы началось
скольжение вверх по наклонной плоскости (рис. 37), если сила F = 90 H, а
коэффициент трения скольжения f = 0,3?
Рис. 37
Решение. Рассмотрим равновесие тела. На тело действуют силы P , F , N
и Fтр . Составляя условия равновесия в проекциях на оси x и y, получим:
F  P sin   Fтр  0 ,
Из
последнего
N  P cos  0 .
уравнения
N  P cos  .
Тогда
Fтр  f  N  fP cos .
Подставляя это значение Fтр в первое уравнение и решая его, найдем
окончательно
P
F
90

 118 Н.
sin  0,5  0,3  0,866
Глава 4
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§17. Центр параллельных сил
Понятие о центре параллельных сил используется при определении
положений центров тяжести тел.
36
В случае системы двух параллельных и одинаково направленных сил F1 и
F 2 , приложенных в точках A1 и A2 (рис. 38), их равнодействующая R и ее
модуль определяются, очевидно, формулами
R = F1 + F 2 ,
R = F1+F2.
Линия действия равнодействующей параллельна слагаемым силам и тоже
проходит через точку С, лежащую на прямой A1A2. Положение точки С найдем
с
помощью
теоремы
mC R   mC F1   mC F2 
Вариньона.
или
Согласно
этой
теореме
0 = F1∙h1 – F2∙h2 = F1∙A1C cos – F2∙A2C cos,
откуда
F1∙A1C = F2∙A2C .
(38)
Рис. 38
Если силы F1 и F 2 повернуть около точек A1 и A2 в одну и ту же сторону
и на один и тот же угол, то образуются две новые параллельные силы F1/ и F2/ ,
имеющие те же модули F1, F2; следовательно, для сил F1/ , F2/ равенство (38)
сохранится и линия действия их равнодействующей R / тоже пройдет через
точку С. Такая точка называется центром параллельных сил F1 и F 2 .
Приведенные выше рассуждения справедливы и для системы нескольких
параллельных и одинаково направленных сил F1 , F 2 , …, F n , приложенных к
твердому телу. Равнодействующая этой системы сил R   Fk , модуль которой
равен
R   Fk ,
(39)
37
всегда будет проходить через одну и ту же точку С, положение которой по
отношению к точкам приложения сил будет неизменным.
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей
системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек
приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется
центром параллельных сил.
Координаты центра параллельных сил определяются формулами:
xC 
1
 Fk x k ,
R
yC 
1
 Fk y k ,
R
zC 
1
 Fk z k .
R
(40)
где xk, yk, zk – координаты точек приложения сил, R – определяется равенством (39).
Заметим, что формулы (39) и (40) будут справедливы и для параллельных
сил,
направленных
в
разные
стороны, если
считать
Fk
величинами
алгебраическими (для одного направления со знаком плюс, а для другого –
минус) и если при этом R ≠ 0.
§ 18. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела
Область, в каждой точке которой на помещенную туда материальную
частицу действует сила, зависящая от координат этой точки, называется
силовым полем.
Например, на каждую частицу тела, находящегося вблизи земной
поверхности, действует направленная вертикально вниз сила тяжести. Эти силы
образуют поле сил тяжести. Силы тяжести, действующие на частицы тела,
можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой
частицы постоянное значение при любых поворотах тела. Поле тяжести, в
котором выполняются эти два условия, называют однородным полем тяжести.
Равнодействующую сил тяжести p1 , p 2 ,…, p n действующих на частицы
тела, обозначим через P (рис. 39). Модуль этой силы называется весом тела и
определяется равенством
P   pk .
(41)
38
Рис. 39
При повороте тела силы p k остаются параллельными друг другу.
Следовательно, равнодействующая P сил p k будет при любых положениях
тела проходить через одну и ту же точку С, являющуюся центром
параллельных сил тяжести p k . Эта точка называется центром тяжести тела.
Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно
связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия
равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы тела, при любом
положении тела в пространстве.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются
формулами (40); следовательно,
xC 
1
 pk x k ,
P
yC 
1
 pk yk ,
P
zC 
1
 pk zk ,
P
(42)
где xk, yk, zk – координаты точек приложения сил тяжести p k .
Отметим, что центр тяжести – это точка геометрическая; она может
лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).
§19. Координаты центров тяжести однородных тел
Для однородного тела вес pk любой его части и вес Р всего тела
пропорциональны соответственно объемам vk этой части и V всего тела, т.е.
p k  Vk ,
P  V ,
где  – вес единицы объема.
Подставив эти значения Р и рk в формулы (42), получим
39
xC 
1
 vk x k ,
V
yC 
1
 vk yk ,
V
zC 
1
 vk zk .
V
(43)
Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависит только
от его геометрической формы. Поэтому точку С, координаты которой
определяются формулами (43), называют центром тяжести объема V.
Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет
собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее
xC 
1
sk x k ,
S
yC 
1
sk yk ,
S
(44)
где S – площадь пластины, sk – площади ее частей. Точку, координаты которой
определяются формулами (44), называют центром тяжести площади S.
Точно также получаются формулы для координат центра тяжести линии:
xC 
1
 kxk ,
L
yC 
1
  k yk ,
L
1
 k zk ,
L
zC 
(45)
где L – длина линии, ℓk – длина ее частей.
Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр
тяжести соответствующего объема, площади или линии.
§20. Способы определения координат центров тяжести тел
Исходя
из
полученных
выше
формул,
можно
указать
способы
определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр
симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости
симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии. Из свойств
симметрии следует, что центр тяжести однородного круглого кольца, круглой
или прямоугольной пластины, прямоугольного параллелепипеда, шара лежит в
геометрическом центре (центре симметрии) этих тел.
2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей,
для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты
центра тяжести тела можно вычислить по формулам (42) – (45).
3. Дополнение. Этот способ применяется к телам, имеющим вырезы, если
центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.
40
4. Интегрирование. Тело разбивают на произвольно малые объемы Δvk,
для которых формулы (49) принимают вид
xC 
1
 x k vk ,
V
yC 
1
 yk vk ,
V
zC 
1
 zk vk .
V
(46)
где xk, yk, zk – координаты некоторой точки, лежащей внутри объема Δvk. Затем
в равенствах (46) переходят к пределу, устремляя все Δvk к нулю. Тогда суммы
обращаются в интегралы и формулы (46) дают в пределе
xC 
1
xdv ,
V V 
yC 
1
ydv ,
V V 
zC 
1
zdv .
V V 
(47)
Аналогично для координат центров тяжести площадей и линий получаем:
xC 
1
xds ,
S S 
xC 
1
xd ,
L L 
yC 
1
yds .
S S 
(48)
и
yC 
1
yd ,
L L 
zC 
1
zd .
L L 
(49)
5. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел
сложной
конфигурации
(самолет,
тепловоз
и
т.п.)
определяют
экспериментально.
§21. Центры тяжести некоторых однородных тел
1. Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу AB радиуса R с
центральным углом AOB  2 . В силу симметрии центр тяжести дуги лежит
на оси Оx (рис. 40). Найдем координату xC по формулам (49). Для этого
выделим на дуге AB элемент MM/ длиной dℓ = Rd. Координата x элемента
MM/ будет x = R cos. Подставляя эти значения x и dℓ в первую формулу (49),
получим
B
1
R2
x C   xd 
LA
L

 cosd  2

R2
sin  ,
L
где L – длина дуги AB, равная R∙2. Отсюда находим, что центр тяжести дуги
окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном
41
xC = (Rsin)/,
(50)
где угол  измеряется в радианах.
Рис. 40
Приведем без доказательства еще два результата.
2. Центр тяжести площади кругового сектора ОАВ радиуса R с
центральным углом 2 (рис. 41) лежит на его оси симметрии на расстоянии от
центра О, равном
xC 
2 R sin 
.
3 
Рис. 41
(51)
Рис. 42
3. Центр тяжести С объема полушара лежит на оси Оx (оси симметрии,
рис. 42), а его координата
xC = OC = 3R/8,
где R – радиус полушара.
(52)