математика менеджмент Анисимоваx

Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 38.03.02 «Менеджмент».
Программа разработана в соответствии с:

образовательным стандартом федерального государственного автономного
образовательного учреждения Высшего профессионального образования «Национального
исследовательского университета «Высшая Школа Экономики», в отношении которого
установлена категория «Национальный исследовательский университет» на направлению
38.03.02 Менеджмент, подготовки бакалавра;
рабочим учебным планом университета по направлению 38.03.02 «Менеджмент»
подготовки бакалавра, утвержденным в 2014 году.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математика» являются изучение разделов «Линейная
алгебра» и Математический анализ», позволяющие студенту ориентироваться в таких
дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных
решений», «Математические модели в экономике». Курс " Математика» будет использоваться
в теории и приложениях многомерного математического анализа, , математической
экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и
применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и
исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным
прикладным аппаратом для изучения студентами математической компоненты своего
профессионального образования. Учебная дисциплина направлена на привитие студентам
целостного взгляда на математику, на её идеологию и методологию исследования, на историко гносеологический генезис важнейших математических понятий, на потенциальные
теоретические возможности математики и на практические трудности её применения,
связанные, например, с возможной неадекватностью математических моделей реальности, с
частой недостаточностью реальных данных, с различными ресурсными ограничениями и др.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные понятия линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии,
теорию пределов, теорию постановки и решения основных задач дифференциального
и интегрального исчисления, теорию функций многих переменных.
 Уметь применить аппарат линейной алгебры и математического анализа в задачах
формирования экономических моделей и решении прикладных задач, используемых
в курсах «Математические модели в экономике» и «Теория вероятностей и
математическая статистика».
 Иметь навыки в исследовании систем линейных уравнений, дифференцировании и
интегрировании функции одной переменной.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Владеет культурой
Дескрипторы – основные признаки
Код по
освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ОК-5
Имеет основательную
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Лекции, практические
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
теоретическую математическую
подготовку.
Владеет терминологическим
аппаратом дисциплины.
Имеет представление о
функциональных возможностях
наиболее распространенных
методов дифференцирования и
интегрирования.
Владеет аппаратом теории
матриц. Владеет методами
решения систем алгебраических
уравнений.
Имеет представление о виде и
свойствах геометрических
образов функций одной и
нескольких переменных
Способен использовать
ПК-22 Распознает типы (классы) задач,
основные методы
применяет для них адекватные
финансового
методы решения.
менеджмента для
Владеет методами
принятия решений по
исследования математических
финансированию,
моделей.
формированию
Обосновывает полученные
дивидендной политики и
результаты решения задачи.
структуре капитала,
стоимостной оценке
активов, управления
оборотным капиталом
Способен оценивать
ПК-23 Распознает типы (классы) задач,
влияние
применяет для них адекватные
инвестиционных
методы решения.
решений и решений по
Владеет методами
финансированию на рост
исследования математических
ценности (стоимости)
моделей.
компании
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Способен принимать
ПК-29 Применяет современные
решения с
информационные технологии
использованием
для решения задач и проверки
корпоративных
полученного результата.
информационных
систем
мышления, умеет
логически верно,
аргументированно и ясно
строить устную и
письменную речь
Способен оценивать
воздействие
макроэкономической
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
ПК-30 Распознает типы (классы) задач, Лекции, практические
применяет для них адекватные
занятия.
методы решения.
Самостоятельная работа
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Компетенция
среды на
функционирование
организаций и органов
государственного и
муниципального
управления
Способен анализировать
поведение потребителей
экономических благ и
формирование спроса
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Владеет методами
исследования математических
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
ПК-32 Распознает типы (классы) задач,
применяет для них адекватные
методы решения.
Владеет методами
исследования математических
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Умеет применять
ПК-35 Распознает типы (классы) задач,
количественные и
применяет для них адекватные
качественные методы
методы решения.
анализа при принятии
Владеет методами
управленческих решений
исследования математических
и строить экономические,
моделей.
финансовые и
Обосновывает полученные
организационнорезультаты решения задачи.
управленческие модели
Способен выбирать
ПК-36 Распознает типы (классы) задач,
математические модели
применяет для них адекватные
организационных систем,
методы решения.
анализировать их
Владеет методами
адекватность, проводить
исследования математических
адаптацию моделей к
моделей.
конкретным задачам
Обосновывает полученные
управления
результаты решения задачи.
Способен проводить
ПК-43 Распознает типы (классы) задач,
анализ рыночных и
применяет для них адекватные
специфических рисков,
методы решения.
использовать его
Владеет методами
результаты для принятия
исследования математических
управленческих решений
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Способен проводить
ПК-44 Распознает типы (классы) задач,
оценку инвестиционных
применяет для них адекватные
проектов при различных
методы решения.
условиях инвестирования
Владеет методами
и финансирования
исследования математических
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
НИУ
Способен обосновывать
решения в сфере
управления оборотным
капиталом и выбора
источников
финансирования
ПК-45
Владеет техниками
финансового
планирования
ПК-46
Владеет правилами
ПК-54
постановки проблемы,
формулирования и
проверки научных
гипотез, использует
методы моделирования в
научных исследованиях,
знает основные
источники социальноэкономической
информации: базы
данных, журналы,
конференции
Владеет методами
ПК-55
количественного и
качественного анализа и
моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования
Способен осуществлять ПК-56
сбор, анализ и обработку
данных, необходимых для
решения поставленных
исследовательских задач
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Оценивает корректность
решения задачи.
Распознает типы (классы) задач,
применяет для них адекватные
методы решения.
Владеет методами
исследования математических
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Оценивает корректность
решения задачи.
Представляет связи между
различными математическими
объектами и методами.
Владеет методами
исследования математических
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Оценивает корректность
решения задачи.
Представляет связи между
различными математическими
объектами и методами.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Оценивает корректность
решения задачи.
Владеет методами
исследования математических
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Оценивает корректность
решения задачи.
Владеет методами
исследования математических
моделей.
Обосновывает полученные
результаты решения задачи.
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
НИУ
Способен выбрать
ПК-57
инструментальные
средства для обработки
информации в
соответствии с
поставленной научной
задачей,
проанализировать
результаты расчетов и
обосновать полученные
выводы
Способен анализировать ПК-58
и интерпретировать
финансовую,
бухгалтерскую и иную
информацию,
содержащуюся в
отчетности предприятий
различных форм
собственности,
организаций, ведомств и
т.д. и использовать ее в
научной работе
Способен анализировать ПК-59
и интерпретировать
данные отечественной и
зарубежной статистики о
социальноэкономических процессах
и явлениях, выявлять
закономерности
изменения социальноэкономических
показателей
4
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Оценивает корректность
решения задачи.
Применяет современные
информационные технологии
для решения задач и проверки
полученного результата
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Умеет работать с учебным
материалом (конспектами
лекций, учебниками, учебными
пособиями, сборниками задач и
др.).
Воспроизводит
демонстрационные примеры,
применяет изученный метод
для решения аналогичных
заданий.
Интерпретирует полученные
результаты
Умеет работать с учебным
материалом (конспектами
лекций, учебниками, учебными
пособиями, сборниками задач и
др.).
Воспроизводит
демонстрационные примеры,
применяет изученный метод
для решения аналогичных
заданий.
Интерпретирует полученные
результаты
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Лекции, практические
занятия.
Самостоятельная работа
по предложенной
преподавателем методике.
Чтение дополнительной
литературы.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 Теория вероятностей и математическая статистика
 Моделирование в менеджменте.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
5
Тематический план учебной дисциплины
Аудиторные часы
№
Всего
часов
Название раздела
Лекции
Самост
оятельна
я
Семина Практич.
работа
ры
занятия
Первый и второй модули. Раздел 1. «Линейная алгебра»
1
2
3
4
5
6
Алгебра матриц
Определители квадратных матриц
Системы линейных уравнений
Векторная алгебра
Элементы аналитической геометрии
Квадратичные формы
10
10
20
24
24
6
2
2
4
6
4
2
2
2
4
6
6
6
6
12
12
14
4
. Раздел 2 «Математический анализ»
Элементы теории множеств. Числовые
множества.
Числовые функции и их свойства
Предел и непрерывность
Производная и дифференциал функции
одной независимой переменной
Исследование дифференцируемых
функции одной переменной
10
2
2
6
8
28
24
2
8
6
2
8
6
4
12
12
22
6
6
10
12
Интегральное исчисление функции одной
переменной
28
8
8
12
13
Функции нескольких переменных
14
4
4
6
Итого
228
56
56
116
7
8
9
10
11
6
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Итоговы
й
Форма
контроля
Контрольная
работа
Экзамен
1
6
8
2
6,
8
+
1 год
3
Параметры **
4
письменная работа 80
минут
письменный экзамен 80
минут
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Критерии оценки знаний, навыков
При формировании оценки текущего контроля студент должен продемонстрировать
следующие знания и умения:
6.1
Контрольная работа №1: исследование систем с параметрами, решение квадратных
систем, исследование систем с помощью метода Гаусса, задачи векторной алгебры, кривые
второго порядка.
Контрольная работа №2:задачи по аналитической геометрии с использованием операций
над векторами, поверхности второго порядка.
Контрольная работа №3: вычисление пределов, используя различные методы раскрытия
неопределённостей; дифференцирование сложной функции; нахождение производных и
дифференциалов высших порядков.
Контрольная работа №4: нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
одной переменной, умение брать интегралы с помощью основных методов интегрирования;
вычислять площади плоских фигур.
При формировании оценки промежуточного контроля студенту необходимо
продемонстрировать знания понятия квадратичной формы , функции многих переменных и
умения находить частные производные.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти бальной шкале.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях:
учитывая активность студентов при работе, правильность решения задач на семинаре,
успешное решение небольших самостоятельных работ по теме семинара, не требующих
дополнительных знаний. Также, при выставлении оценки, учитывается посещаемость
семинаров студентами. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях
преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной
шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным
или итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: учитывая правильность
выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарах. Оценки за
самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость.
Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется
перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
Форма итогового контроля за первый и второй модули  письменный экзамен в виде теста.
Результирующая оценка по этой дисциплине::
Q1накопительная оценка за 1-й модуль=0,4Ок.р.1+0.4Ок.р.2.+0,2Осам.раб
Q2накопительная оценка за 2-й модуль =0,4Ок.р.3+0,4Ок.р.4+0,2Осам.раб.
Q3 итоговая накопительная оценка по курсу=0,5(О1+О2)
О4-оценка экзамена
Qитоговая оценка = 0.6·Q4+ 0.4·Q3
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Результат, полученный после округления этой величины до целого значения,
выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале по учебной дисциплине
"Линейная алгебра и математический анализ" в экзаменационную ведомость (оценкам 1, 2, 3 в
10-балльной системе соответствует оценка «неудовлетворительно» в пятибалльной системе,
оценкам 4, 5 – «удовлетворительно», оценкам 6, 7 – «хорошо», оценкам 8, 9, 10 – «отлично»).
7 Содержание дисциплины
1. Раздел 1. Линейная алгебра.
Количество часов – лекции –20 , , практические занятия – 20; самостоятельная работа –
54.
Тема 1.Алгебра матриц.
Матрицы и их основные виды. Диагональная и единичная матрицы. Треугольная
матрица.
Операции над матрицами. Сложение и умножение матриц на скаляр.
Транспонирование матриц. Умножение матриц. Свойства операций. Обратная матрица.
Тема 2.Определители квадратных матриц.
Понятие об определителе «n-го» порядка. Вычисление определителей 2 и 3
порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы. Свойства
определителей. Разложение матрицы по строке (столбцу).Простейшие матричные
уравнения.
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы, совместная и
несовместная системы. Исследование систем. Теорема Крамера . Решение систем с
помощью обратной матрицы. Минор «к» порядка матрицы. Ранг матрицы. Базисные
строки и столбцы. Расширенная матрица системы. Теорема Кронекера-Капелли . Метод
Гаусса. Исследование однородных систем.
Тема 4. Векторная алгебра.
Векторное пространство. Геометрическая интерпретация вектора. Линейные
операции над векторами и их свойства. Коллинеарные вектора . Компланарные вектора.
Единичные орты. Скалярное произведение векторов и его свойства. Евклидово
пространство. Длина (норма) вектора. Угол между векторами. .Линейная комбинация
системы векторов. Линейно зависимая система векторов. Линейно независимая система
векторов и её свойства. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису.
Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение векторов и его
свойства.
Тема 5. Элементы аналитической геометрии.
Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой. Расстояние от точки до
прямой. Взаимное положение прямых. Угол между прямыми. Основные задачи, связанные
с построением уравнения прямой.
Плоскость в пространстве. Различные уравнения плоскости. Угол между
плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от
точки в пространстве до плоскости.
Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой в пространстве. Угол между
прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и
плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
Построение кривых второго порядка по заданным уравнениям.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Алгебраические поверхности 2-го порядка и их уравнения (сфера, эллипсоид,
параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические и конические поверхности).
Тема 6. Квадратичные формы.
Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительная
(отрицательная) и знакопеременная квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду.
Тематика семинарских и практических занятий.
Тема 1.Алгебра матриц.
Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц. Умножение
матриц. Простейшие матричные уравнения.
Тема 2.Определители квадратных матриц.
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка. Решение уравнений и неравенств, в
задании которых используется определитель. Вычисление определителей 4-го порядка с
использованием свойств определителя. Нахождение обратной матрицы.
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
Исследование систем двух уравнений, содержащих параметры. Решение
квадратных систем по формулам Крамера. Решение квадратных систем с помощью
обратной матрицы. Решение и исследование систем по методу Гаусса. Нахождение
общего и частного решения. Исследование однородных систем.
Тема 4. Векторная алгебра.
Линейные операции над векторами. Необходимо и достаточное условие
коллинеарности векторов. Единичные вектора. Скалярное произведение векторов.
Нахождение длины вектора, полученного линейным преобразованием векторов.
Нахождение угла между векторами. Нахождение проекции вектора на направление
другого вектора.
Векторное произведение. Вычисление площадей треугольника и параллелограмма.
Смешанное произведение. Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда.
Тема 5. Элементы аналитической геометрии.
Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой. Взаимное положение прямых..
Основные задачи, связанные с построением уравнения прямой.
Плоскость в пространстве. Различные уравнения плоскости. Условия
параллельности и перпендикулярности плоскостей. Прямая в пространстве. Различные
уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости.
Уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
Построение кривых второго порядка по заданным уравнениям.
Алгебраические поверхности 2-го порядка и их уравнения (сфера, эллипсоид,
параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические и конические поверхности).
Тема 6. Квадратичные формы.
Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительная
(отрицательная) и знакопеременная квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду.
Раздел 2. Математический анализ.
Количество часов – лекции –36 , ,практические занятия- 36, самостоятельная работа —62
Тема 7. Элементы теории множеств. Числовые множества.
Понятие множества. Алгебра множеств. Основные числовые множества. Модуль
вещественного числа и его свойства.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Тема 8. Числовые функции и их свойства.
Определение функции как отображение множеств. Числовые функции и их свойства.
Обзор элементарных функций.
Тема 9. Предел и непрерывность.
Числовая последовательность. Окрестность и  - окрестность точки. Предел
числовой последовательности. Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечно
большие и бесконечно малые функции. Связь между функцией, её пределом и
бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах. Типы неопределённостей.
Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы.
Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных. Непрерывность
функции в точке, свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Тема 10. Производная и дифференциал функции одной переменной.
Определение производной её механический смысл. Связи между непрерывностью и
дифференцируемостью функций. Производная суммы, разности, произведения и
частного. Производная сложной и обратной функций. Производные основных
элементарных функций. Геометрический смысл производной. Производная и
дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.
Тема 11. Исследование дифференцируемых функций.
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.
Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и
наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика функции, точки
перегиба. Полное исследование функции и построение её графика.
Тем12. Интегральное исчисление функции одной независимой переменной.
Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых
интегралов. Основные методы интегрирования. Определённый интеграл как предел
интегральной суммы. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определённого интеграла.
Вычисление определённого интеграла. Несобственные интегралы. Геометрические и
физические приложения определённого интеграла.
.
Тема 13. Функция нескольких переменных.
Функции двух переменных: основные понятия и свойства. Частные производные первого
порядка и их геометрическое истолкование. Частные производные высших порядков.
Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Дифференциалы высших
порядков.
Тематика семинарских и практических занятий.
Тема 7. Элементы теории множеств. Числовые множества.
Понятие множества. Алгебра множеств. Основные числовые множества. Модуль
вещественного числа и его свойства.
Тема 8. Числовые функции и их свойства.
Определение функции как отображение множеств. Числовые функции и их свойства.
Обзор элементарных функций. Преобразование графиков.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Тема 9. Предел и непрерывность.
Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии и их
свойства. Окрестность и  - окрестность точки. Предел числовой последовательности.
Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые
функции. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией. Основные
теоремы о пределах. Типы неопределённостей. Признаки существования предела.
Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции,
таблица эквивалентных. Непрерывность функции в точке, свойства функций,
непрерывных в точке. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на
отрезке.
Тема 10. Производная и дифференциал функции одной переменной.
Определение производной её механический смысл. Связи между непрерывностью и
дифференцируемостью функций. Производная суммы, разности, произведения и
частного. Производная сложной и обратной функций. Производные основных
элементарных функций. Геометрический смысл производной. Производная и
дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.
Тема 11. Исследование дифференцируемых функций.
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.
Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и
наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика функции, точки
перегиба. Полное исследование функции и построение её графика.
Тем12. Интегральное исчисление функции одной независимой переменной.
Первообразная функции и её свойства. Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных неопределённых интегралов. Основные методы интегрирования..
Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Интегралы с переменным
верхнем пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства
определённого интеграла. Вычисление определённого интеграла. Несобственные
интегралы. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
.
Тема 13. Функция нескольких переменных.
Функции двух переменных: основные понятия и свойства. Частные производные первого
порядка и их геометрическое истолкование. Частные производные высших порядков.
Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Дифференциалы высших
порядков.
8
Образовательные технологии
Используются классические образовательные технологии
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Текущий контроль состоит из 4 контрольных работ. Примерные виды заданий
контрольных будут следующими:
9.1
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Контрольная работа №1
1.При каких значениях параметра «с» система линейных уравнений имеет бесконечное
множество решений:
2х + (с − 2)𝑦 = 3
{
9 − 𝑐2
(𝑐 − 3)𝑥 + 24,375𝑦 =
3
2.Решить систему уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью
обратной матрицы.
2х − 3у + 𝑧 = 0
{−𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 3
5𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 13
3.Исследовать систему, используя метод Гаусса.
4𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 1
{ 𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = −2
6𝑥 − 9𝑦 + 5𝑧 = −3
Задание4.
Дано: ABCDA1B1C1D1 прямоугольный параллелепипед со сторонами a,b,c (параметры
будут заданы).
Найти: 1) угол между плоскостями (ABD1)и (BDD1);
2)точка М середина BC1; найти расстояние от точки М
до плоскости ABD1;
3)угол между прямыми (AB1)и(B1D);
4)объём тетраэдра MAB1D1
Контрольная работа №2.
Задание 1.
Выяснить (объяснить), какие прямые (плоскости) параллельны, а какие
перпендикулярны.
1)(L1): 2x-3y+5=0; (L2): -x+1,5y+6=0; (L3): 3x+2y-10=0; (L4): 9x+6y+5=0
𝑥−2
𝑦+5
𝑧−3
𝑥
𝑦−1
𝑧+1
𝑥+1
𝑦−2
𝑧+1
2)(L1): 1 = 0 = −2 ;(L2): 2 = 0 = −3 ; (L3): 10 = 1 = 5 ;
𝑥+1
𝑦
𝑧−2
(L4): 6 = 5 = 3 ;
3)(P1): 3x-5y+z+3=0; (P2): 9x-15y+3z+1=0; (P3): 2x+2y+4z+5=0; (P4): x+y+2z-3=0
Задание 2.
1)Найти расстояние от точки О (начала координат) до прямой: 2х-у+5=0;
2)Найти расстояние между прямыми:
𝑥
𝑦
2𝑥
2𝑦
(L1): √3 − √6 + 3 = 0; (L2): √3 − √6 + 5 = 0;
3)Найти расстояние между плоскостями:
√5
√3
𝑧
(P1): √5x+√3y+z-2=0; (P2): 3 𝑥 + 3 𝑦 + 3 − 3 = 0.
Задание 3.
Определить взаимное положение прямой и плоскости (параллельны, перпендикулярны
или другое расположение).
𝑥−5
𝑦+1
𝑧
1)(P): 3x-2y+z-5=0; (L): −2 = 4 = 14;
2) (P): 2x+5z+8=0; (L):
Задание 4.
𝑥−1
2
=
𝑦+1
0
=
𝑧+2
5
.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Построить:
𝑥+2
𝑦−1
𝑧+3
𝑥+3
𝑦−4
𝑧−1
1)Прямые: (L1): 0 = 2 = 0 ; (L2): 1 = 0 = 0
2)Плоскости: (P1): 2x+3y=6; (P2): 5x-2y=10.
Задание 5.
Построить тело, ограниченное поверхностями:
1)у2=4z; x=0; z=2; x=4; 2)y-2=√𝑥 2 + 𝑧 2 ; y=6; 3)x2+z2=9; y=0; y=4;
4)x-1=y2+z2; x=5.
Задание 6.
Доказать, что система векторов(𝑒⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒3 ) образует О.Н.Б. (ортонормированный базис) в
пространстве R3.
Найти координаты вектора а⃗ в этом базисе:
1
1
1
1)𝑒⃗⃗⃗1 = √21(4;-2;1)T; ⃗⃗⃗
𝑒2 = √20 (0; 2; 4)T; ⃗⃗⃗
𝑒3 =
(5; 8; −4)T; 𝑎 = (1; −3; 4)T;
1
1
2) ⃗⃗⃗
𝑒1 = √13(2;0;-3)T; ⃗⃗⃗
𝑒2 = √38 (3; 5; 2)T; ⃗⃗⃗
𝑒3 =
√105
1
√494
(15; −13; 10)T; 𝑎 = (4; −3; 0)T.
Контрольная работа №3
Задание 1.
Вычислить пределы (любым удобным способом)
1) lim
√2x+3−1
x→−1 √4x+5−√5x+6
2) lim
ln сtg2x
x→0+0
Задание 2.
Найти значение дифференциала функции
x
у=((cos 2)2
1
−
x2 +5x+1 (3x+5)
)
x→∞ x2 +4
; 3) lim (
1/arcsin3x
x
(sin 2)2 )1+(tg2x)2
π
1
в точке х0=4 , ∆х= .
√2
Задание 3.
. Найти: 1)точку (точки) касания М0(х0;у0); 2)уравнение касательной в точке
М0(х0;у0);3)уравнение нормали в точке М0(х0;у0); 4)построить схему графика.
у=ех+1 − 2 ; касательная перпендикулярна прямой 0,5х+0,5у+1=0.
Задание 4
. Найти промежутки монотонности и экстремумы. Показать схему графика.
х4
х2
У= 4 − 25 ∙ 2 − 2
Задание 5
. Найти наибольшее М и наименьшее т значения функции на заданном интервале
у=32х -6∙3х +8 ; х∈[0; 2]
Контрольная работа №4
1задание:
1) ∫
𝑥 3 +2𝑥 2 +2𝑥+1
𝑥 2 +𝑥+1
2𝑡𝑔𝑥/4
𝑑𝑥; 2) ∫ 1+(𝑡𝑔𝑥/4)2 𝑑𝑥;
2 задание:
𝑒 3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 +4𝑥+2
π
1) ∫
dx; 2) ∫02 (cos x)2dx;
√1−𝑥 2
3 задание:
1
𝑥
1) ∫ (sin 𝑥)2 dx; 2) ∫0 x ∙ ex dx;
4 задание:
e
∞ dx
1) ∫1 (ln x)2 dx; 2) ∫0 1+x2
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
5 задание (геометрическая вероятность)
Дано: область 𝛔⋐ D, где D квадрат, заданный условием:{
|х| ≤ 4
; область 𝛔 ограничена
|у| ≤ 4
2
параболами:{
у = 4 − 3 х2
х2
у= 3
D, попадёт в область 𝛔.
9.2
. Найти вероятность того, что случайная точка, брошенная в область
Вопросы для оценки качества освоения раздела « Линейная алгебра»
Примерный перечень вопросов к экзамену для самопроверки студентов.
Задание1.
1)При каких значениях параметров α и β векторы 𝑎⃑ и 𝑏⃗⃑ коллинеарны?
⃗ ; 𝑏⃗ = −4𝑖 + 3𝑗 − 2𝜇𝑘
⃗;
𝑎 = 2𝑖 − 5𝛼𝑗 + 4𝑘
2)При каком значении параметра α векторы 𝑎 и 𝑏⃗ ортогональны?
⃗ ; 𝑏⃗ = 3𝑖 − 𝛼𝑗 + 4𝑘
⃗.
𝑎 = 2𝛼𝑖 − 𝑗 + 5𝑘
Задание2.
Какую « тройку» левую или правую , образуют вектора 𝑎, 𝑏⃗, 𝑐 , где
⃗ ; 2)𝑎 = 𝑘
⃗ ; 𝑏⃗ = 𝑖; 𝑐 = −𝑗
1)𝑎 = −𝑗; 𝑏⃗ = −𝑖; 𝑐 = 𝑘
Задание3.
1)Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 𝑎 и 𝑏⃗ , где
𝑎 = 4𝑝 − 3𝑞 ; 𝑏⃗ = 4𝑝 + 3𝑞 ; 𝑝𝑞 ; 𝑝 = 2; 𝑞  = 1
2)Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах 𝑎 ; 𝑏⃗; 𝑐 , где
𝑎 = 2𝑝 + 5𝑞 ; 𝑏⃗ = 2𝑝 − 5𝑞 ; 𝑐 𝑎; 𝑐 𝑏⃗; 𝑝𝑞 ; 𝑝 = 4; 𝑞  = 2; 𝑐  = 3.
Задание 4.
Выяснить (объяснить), какие прямые (плоскости) параллельны, а какие
перпендикулярны.
1)(L1): 2x-3y+5=0; (L2): -x+1,5y+6=0; (L3): 3x+2y-10=0; (L4): 9x+6y+5=0
𝑥−2
𝑦+5
𝑧−3
𝑥
𝑦−1
𝑧+1
𝑥+1
𝑦−2
𝑧+1
2)(L1): 1 = 0 = −2 ;(L2): 2 = 0 = −3 ; (L3): 10 = 1 = 5 ;
𝑥+1
𝑦
𝑧−2
(L4): 6 = 5 = 3 ;
3)(P1): 3x-5y+z+3=0; (P2): 9x-15y+3z+1=0; (P3): 2x+2y+4z+5=0; (P4): x+y+2z-3=0
Задание 5.
1)Найти расстояние от точки О (начала координат) до прямой: 2х-у+5=0;
2)Найти расстояние между прямыми:
𝑥
𝑦
2𝑥
2𝑦
(L1): √3 − √6 + 3 = 0; (L2): √3 − √6 + 5 = 0;
3)Найти расстояние между плоскостями:
√5
√3
𝑧
(P1): √5x+√3y+z-2=0; (P2): 3 𝑥 + 3 𝑦 + 3 − 3 = 0.
Задание 6.
Определить взаимное положение прямой и плоскости (параллельны, перпендикулярны
или другое расположение).
𝑥−5
𝑦+1
𝑧
1)(P): 3x-2y+z-5=0; (L): −2 = 4 = 14;
2) (P): 2x+5z+8=0; (L):
Задание 7.
Построить:
𝑥−1
2
=
𝑦+1
0
=
𝑧+2
5
.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
𝑥+2
𝑦−1
𝑧+3
𝑥+3
1)Прямые: (L1): 0 = 2 = 0 ; (L2): 1 =
2)Плоскости: (P1): 2x+3y=6; (P2): 5x-2y=10.
Задание 8.
Указать тип кривой и построить:
1)(у+2)2=-6(х-1); 2)
4)9х2-16у2=0
(х−2)2
25
+
(у+1)2
16
= 1;3)
𝑦−4
(х+3)2
16
0
−
=
𝑧−1
0
(у−2)2
4
= 1;
Задание 9.
Построить тело, ограниченное поверхностями:
1)у2=4z; x=0; z=2; x=4; 2)y-2=√𝑥 2 + 𝑧 2 ; y=6; 3)x2+z2=9; y=0; y=4;
4)x-1=y2+z2; x=5.
Задание 10.
Доказать, что система векторов(𝑒⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒3 ) образует О.Н.Б. (ортонормированный базис) в
пространстве R3.
Найти координаты вектора а⃗ в этом базисе:
1
1
1
1)𝑒⃗⃗⃗1 = √21(4;-2;1)T; ⃗⃗⃗
𝑒2 = √20 (0; 2; 4)T; ⃗⃗⃗
𝑒3 =
(5; 8; −4)T; 𝑎 = (1; −3; 4)T;
1
T
1
T
2) ⃗⃗⃗
𝑒1 = √13(2;0;-3) ; ⃗⃗⃗
𝑒2 = √38 (3; 5; 2) ; ⃗⃗⃗
𝑒3 =
√105
1
√494
(15; −13; 10)T; 𝑎 = (4; −3; 0)T.
8.2. Вопросы для оценки качества освоения раздела «Математический анализ.»
Формулировки определений и теорем:
1. ε — окрестность точки. Бесконечные точки.
2. Предел последовательности и его единственность.
3. Предел функции. Свойства пределов.
4. Односторонние пределы. Примеры.
5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
6. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
7. Основные теоремы о пределах.
8. Типы неопределённостей. Примеры.
9. Первый и второй замечательные пределы.
10. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Примеры.
11. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
12. Производная функции, ее геометрический смысл.
13. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Примеры.
14. Основные правила дифференцирования.
15. Таблица производных. Примеры.
16. Производные высших порядков. Примеры.
17. Дифференциал функции. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших
порядков. Примеры.
18. Теорема Ферма
19. Теорема Роля.
20. Теорема Лагранжа.
21. Теорема Коши.
22. Правило Лопиталя. Примеры.
23. Необходимые и достаточные условия монотонности функции на промежутке.
24. Определение экстремума функции. Необходимые условия существования
экстремума.
25. Достаточные условия существования экстремума.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
26. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.
Примеры.
27. Понятие первообразной и неопределенного интеграла и их свойства. Таблица
неопределённых интегралов.
28. Основные методы интегрирования. Внесение функции под знак дифференциала.
Примеры.
29. Метод интегрирования по частям. Основные типы интегралов, вычисляемые с
помощью формулы интегрирования по частям. Примеры.
30. Метод замены переменной, основные подстановки. Примеры.
31. Понятие определенного интеграла.
32. Свойства-равенства определённого интеграла.
33. Свойства-неравенства определённого интеграла.
34. Геометрический смысл определенного интеграла.
35. Теорема о среднем.
36. Формула Ньютона-Лейбница.
37. Замена переменной в определенном интеграле.
38. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
39. Несобственный интеграл I -го и II-го рода.
40. Определение функций двух переменных. Область определения, область значений,
геометрический образ.
41. Частные производные функции двух переменных, их геометрический смысл.
42. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных.
Частные дифференциалы.
43. Частные производные и дифференциалы высших порядков (определение).
Символическая запись полных дифференциалов.
Доказательства:
1. Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции.
2. Основные теоремы о пределах (теорема о пределе алгебраической суммы функций,
теорема о пределе произведения функций).
1. Теорема о пределе промежуточной функции.
2. Первый замечательный предел.
3. Уравнение касательной к графику функции.
4. Производная алгебраической суммы функций.
5. Производная произведения функций.
6. Производная частного функций.
7. Таблица производных.
8. Теорема Лагранжа.
9. Правило Лопиталя для
0
 0  .
10. Необходимое условие монотонности функции.
11. Достаточное условие монотонности функции.
12. Площадь криволинейной трапеции.
13. Свойства-равенства определённого интеграла.
14. Свойства-неравенства определённого интеграла.
15. Формула Ньютона-Лейбница.
16. Теорема о среднем.
Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 38.03.02 «Менеджмент». Образовательная
программа «Менеджмент» подготовки бакалавра
Примеры заданий итогового контроля
По желанию автора программы, приводятся примеры билетов с вопросами и задачами,
заданий для зачета или экзамена, тренировочные тесты по дисциплине.
9.3
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
1. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата. Учебник [Электронный
ресурс].  М.: НИЦ ИНФРА, 2013. – Режим доступа: http://znanium.com/, свободный.
10.2 Дополнительная литература
2. Ячменев Л.Т. Высшая математика. Учебник [Электронный ресурс].  М.: НИЦ ИНФРА,
2013. – Режим доступа: http://znanium.com/, свободный.
3. Шершнев В.Г. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебно-методическое
пособие [Электронный ресурс].  М.: НИЦ ИНФРА, 2013. – Режим доступа:
http://znanium.com/, свободный.
4. Общий курс высшей математики для экономистов /под ред. В.И. Ермакова [Электронный
ресурс]. - М.: ИНФРА-М, 2010 - . Режим доступа: http://znanium.com/, свободный.
5. .Н.П.Анисимова. Е.А.Ванина. Практикум (адаптационный курс по математике) НИУ ВШЭ
2014.
6. .О.В.Панневиц, А.С.Рыбакин Математический анализ (примеры и задачи) НИУ ВШЭ 2013.
10.3 Дополнительная литература
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 280с.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 224 с.
7. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании.  М.:Дело, 2003. – 688 с.
10.4Справочники, словари, энциклопедии
Справочник по высшей математике / Выгодский М.Я. - М.: АСТ: Астрель, 2006. – 991
[1]с.: ил.
10.5Программные средства
При решении задач возможно использование среды MS Excel, пакетов компьютерной
математики.
10.6Дистанционная поддержка дисциплины
При изучении дисциплины возможно
использование
системы LMS. Урок
«Математика». Материал урока содержит лекции, темы практических занятий, тесты по
дисциплине.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
При чтении лекций возможно использование проектора.