Algebra_i_teorija_chisel - Владимирский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ
АЛЕКСАНДРА ГРИГОРЬЕВИЧА И НИКОЛАЯ ГРИГОРЬЕВИЧА СТОЛЕТОВЫХ»
«УТВЕРЖДАЮ»
Первый проректор
_________________ В.Г. Прокошев
«______»_________________2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Направление подготовки - «010500 - Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
Профиль подготовки - «информационные системы и базы данных; технологии
разработки программного обеспечения; системное администрирование»
Квалификация (степень) выпускника - Бакалавр
Форма обучения - очная
Трудоем-кость
Семестр
зач.
ед,час.
1
4/144
2
3/108
3
4/144
Итого
13/468
Лек- Практич. Лаборат.
ций, занятий, работ,
час.
час.
час.
20
18
20
58
36
36
36
108
Владимир, 2011
СРС,
час.
Форма промежуточного контроля
(экз./зачет)
88
54
88
230
экзамен
диф. зачет
экзамен
2/72
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются: получение базовых
знаний по алгебре: комплексные числа и многочлены, матричная алгебра и решение систем линейных
уравнений, конечномерные линейные пространства, линейные операторы и
функционалы,
канонический вид линейных операторов (жорданова форма, симметрические,
ортогональные
и унитарные операторы), билинейные формы, метрические линейные пространства, классификация квадрик, группы преобразований и классификация движений, основы тензорной алгебры, основные структуры современной алгебры
(группы, кольца, поля), прикладные вопросы алгебры: теория неотрицательных
матриц. При освоении дисциплины вырабатывается общематематическая культура: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями, применять полученные знания для решения алгебраических задач и задач, связанных с приложениями алгебраических методов. Получаемые знания лежат в основе математического образования, необходимы для понимания и освоения всех курсов математики, компьютерных наук и их приложений.
Цели изучения дисциплины:
 познакомить студентов с кругом задач классической и современной алгебры;
 прояснить роль алгебраических понятий во взаимосвязи с другими математическими дисциплинами;
 сформировать у студентов элементы математической культуры, которые
смогут обеспечить ясное понимание смысла и значения разделов математики, изучаемых в школе;
Задачи изучения дисциплины:
 научить студентов проявлять самостоятельность и творческий подход в
овладении математическими дисциплинами;
 научить студентов оперировать с классическими понятиями алгебры: решать алгебраические уравнения и системы уравнений, решать задачи,
связанные с линейной зависимостью и линейной независимостью системы векторов, задачи, связанные с приводимостью и неприводимостью
многочленов над различными числовыми полями;
 на примере темы «Группы. Кольца. Поля» познакомить студентов с разделами современной алгебры и рассмотреть некоторые задачи из этих
разделов.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина относится к профессиональному циклу. С курса алгебры и
теории чисел начинается математическое образование. Ее изучение основывается на таких математических понятиях, как множество, многочлен, функция,
рассматриваемых в школьном курсе математики, и продолжает развитие идей и
методов данного курса. Поэтому для успешного усвоения курса «Алгебра»
необходимо знание основных формул, изучаемых в школьной алгебре, свойств
элементарных функций, умение решать квадратные уравнения, знание основных значений тригонометрических функций.
Курс «Алгебра» имеет связи с различными математическими дисциплинами. Знания, полученные в этом курсе, используются в аналитической геометрии, математическом анализе, функциональном анализе, дифференциальной
геометрии и топологии, дифференциальных уравнениях, дискретной математике и математической логике, теории чисел, методах оптимизации и др. Так раздел «Линейные векторные пространства» тесно связан с курсом «Геометрия»,
который дает для данного раздела многочисленные примеры. В свою очередь
геометрия активно использует понятия
линейно-зависимой и линейнонезависимой системы векторов, которые изучаются в курсе алгебры. Умение
оперировать комплексными числами и знание тригонометрической формы
комплексного числа необходимы для изучения курса «Теория функций комплексного переменного». Понятие группы, кольца, поля, а также понятия гомоморфизма и изоморфизма алгебраических систем активно используются в курсе
«Числовые системы».
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
ОК-1,2,6,7,9,10,13,14,15, ПК-2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
должен демонстрировать:
навыки межличностных отношений (ОК 1);
работу в команде (ОК 2);
исследовательские навыки (ОК 6);
способность учиться (ОК 7);
умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научнотехническую информацию (ОК 9);
фундаментальную подготовку по основам профессиональных знаний (ОК
10);
базовые знания в различных областях (ОК 13);
способность к анализу и синтезу (ОК 14);
способность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК
15);
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
должен демонстрировать:
умение понять поставленную задачу (ПК 2);
умение формулировать результат (ПК 3);
умение строго доказать математическое утверждение (ПК 4);
умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать математически точный результат (ПК 5);
умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата
(ПК 6);
умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК 7);
умение ориентироваться в постановках задач (ПК 8);
знание корректных постановок классических задач (ПК 9);
понимание корректности постановок задач (ПК 10);
понимание того, что фундаментальное математическое знание является
основой компьютерных наук (ПК 12);
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК 16);
В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен:
1) Знать: основные понятия и результаты по алгебре (теория матриц, системы
линейных уравнений, теория многочленов, линейные пространства и линейная
зависимость, собственные векторы и собственные значения, канонический вид
матриц линейных операторов, свойства билинейных функций, классификацию
квадрик, основы теории групп колец, представлений конечных групп, основы
теории решения задач неотрицательных матриц.). Студенты должны знать логические связи между ними.
2) Уметь: решать системы линейных уравнений, вычислять определители, исследовать свойства многочленов, находить собственные векторы и собственные
значения, канонический вид матриц линейных операторов, классифицировать
квадрики, основные свойства групп, колец, классифицировать представления
конечных групп.
3) Владеть: методами линейной алгебры, теории многочленов, аппаратом теории групп и их представлений]
1
Делимость целых
чисел, НОД и его
свойства
1
2
2
6
2
Алгоритм Евклида
1
2
2
6
3
Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными
1
2
2
6
4
Простые числа и
"основная" теорема
арифметики.
1
2
2
6
5
Разложение чисел в
цепные дроби
1
2
2
6
6
Теоретико-числовые
функции
1
1
2
6
Объем
учебной
работы, с
применением
интерактивных
методов(в
часах
/ %)
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра) ,
форма промежуточной аттестации (по
семестрам)
КП / КР
СРС
Лабораторные
Контрольные
работы
работы, коллоквиумы
Лекции
(тема дисциплины)
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость
(в часах)
Практические
занятия
№
п/п
Семинары
Семестр
Раздел
Неделя семестра
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
«Алгебра и теория чисел»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 13 зачетных единиц, 468
часов.
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
7
Кольцо классов вычетов. Полная и приведенная системы
вычетов
8
Сравнения в кольце
целых чисел; их
свойства
1
2
4
8
9
Функция Эйлера.
Теоремы Эйлера и
Ферма
1
1
4
6
Сравнения первой
10 степени с одной переменной
1
1
4
8
Построение поля
комплексных чисел.
Геометрическое ис11
толкование действий
с комплексными
числами.
1
2
6
8
Возведение в степень
12 и из влечение корня.
Корни из единицы.
13
14
15
16
Всего за 1 семестр
Прямоугольные матрицы. Элементарные
преобразования. Метод Гаусса. Решение
квадратных систем
линейных уравнений
с двумя и тремя неизвестными.
Определители 2-го и
3-го порядка. Определители n-го порядка, их свойства и вычисление
Разложение определителя по строке (по
столбцу). Миноры и
алгебраические дополнения.
Правило Крамера
1
1
2
2
1
2
6
2
4
6
20
36
78
2
6
10
2
6
12
2
2
4
10
2
2
4
10
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Экзамен
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
для решения системы n линейны уравнений с n неизвестными.
Алгебра матриц.
Теорема об определителе произведения
17
матриц. Обратная
матрица и еѐ свойства
Определение группы. Простейшие
свойства групп. Под18 группа. Циклические
подгруппы. Смежные классы. Фактор
группа.
19 Кольца. Поля
Всего за 2 семестр
Кольцо многочленов
от одной переменной. Алгоритм деления с остатком.
Наибольший общий
20
делитель, алгоритм
Евклида. Взаимно
простые многочлены. Неприводимые
многочлены
Корни многочленов.
Основная теорема
алгебры (без доказательства). Много21 члены 3 и 4 степени.
Многочлены неприводимые над полей
комплексных и вещественных чисел.
Кольцо многочленов
от нескольких переменных. Симметри22
ческие многочлены.
Основная теорема о
симметрических
задания,
контрольная
2
2
2
3
4
4
6
6
12
10
2
4
10
18
36
74
4
4
10
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Диф. зачет
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
3
3
4
4
8
6
12
12
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
многочленах
Определение линейного отображения.
Примеры. Ядро и образ отображения.
Матрица и ранг ли23
нейного отображения. Использование
матриц для записи
линейного отображения.
Действия над линейными отображениями. Алгебра операторов. Изменение
24
матрицы линейного
отображения при переходе к новому базису
Линейные операторы. Собственные
25 векторы и собственные значения линейного оператора
Квадратичныеформы. Закон инерции.
Критерий Сильвест26
ра. Положительные
определѐнности
квадратичной формы
Всего за 3 семестр
Всего
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
3
2
4
10
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
3
3
3
2
2
4
4
10
12
2
6
12
20
58
36
108
78
230
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Проверка
домашнего
задания,
контрольная
Экзамен
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
активные и интерактивные формы, лекции, практические занятия, контрольные
работы, коллоквиумы, зачеты и экзамены, компьютеры. В течение семестра
студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В
каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах). Зачет выставляется после решения всех задач контрольных работ и самостоятельного
выполнения индивидуального задания.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Контрольные, коллоквиумы оцениваются по пятибалльной системе. Экзамены
оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо,
отлично. На практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. На кафедре создана программа, генерирующая индивидуальные задания по материалам 1, 2, 3 семестров.
1 семестр
Вопросы для контроля и самоконтроля
1. Теорема о делении с остатком.
2. НОД целых чисел.
3. Алгоритм Евклида.
4. Свойства НОДа целых чисел.
5. Взаимно простые числа и их свойства.
6. Наименьшее общее кратное и его свойства.
7. Простые числа. Свойства простых чисел.
8. Решето Эратосфена.
9. Основные теоремы арифметики.
10.Каноническое разложение натурального числа.
11.Сравнения. Свойства сравнений.
12.Полная система вычетов.
13.Признак полной системы вычетов.
14.Приведенная система вычетов.
15.Признак приведенной системы вычетов.
16.Функция Эйлера.
17.Теорема Эйлера.
18.Способы решения сравнений первой степени с одним неизвестным.
19.Применение непрерывных дробей к решению сравнений первой степени.
20.Признаки делимости. Признак Паскаля.
Вопросы коллоквиумов
Тема: Простые числа. Делимость. Арифметические функции. Цепные
дроби.
1. Понятие делимости. Свойства делимости.
2. Теорема о деление с остатком.
3. НОД двух и нескольких чисел. Алгоритм Евклида.
4. Основные свойства НОД двух и нескольких чисел.
5. НОК двух и нескольких чисел и его свойства. Связь НОД и НОК.
6. Простые числа. Критерий определения простоты числа.
7. Теорема Евклида о бесконечном множестве простых чисел. Разложение
на простые множители.
8. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа.
9. Решето Эратосфена.
10.Числовые функции. Функции [x], {x}. Их свойства и графики. Теорема о
вычислении показателя степени простого числа p в каноническом разложении n!
11.Мультипликативные функции и их свойства.
12.Суммы, распространенные на делители числа.
13.Функция Эйлера. Мультипликативность функции Эйлера. Формула для
вычисления (m).
14.Установление признаков делимости.
15.Определение длины периода, получающегося при обращении обыкновенной дроби в десятичную.
16.Разложение в правильную цепную дробь (конечную) рационального числа. Теорема о существовании и единственности значения цепной дроби
для рационального числа.
17.Подходящие дроби конечных цепных дробей, их свойства.
18.Бесконечные цепные дроби. Разложение иррационального числа в бесконечную цепную дробь. Теоремы о том, что разложения иррациональных
чисел исчерпывают все возможные бесконечные цепные дроби.
19.Подходящие дроби бесконечных цепных дробей, их свойства.
20.Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности.
Тема: Теория сравнений.
1. Сравнения и их основные свойства.
2. Классы по данному модулю. Разбиение множества целых чисел на классы. Сложение и умножение классов. Кольцо классов.
3. Системы вычетов. Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов.
4. Первая теорема о вычетах линейной формы.
5. Приведенная система вычетов. Признак приведенной системы вычетов.
6. Вторая теорема о вычетах линейной формы.
7. Теоремы Эйлера и Ферма.
8. Сравнения первой степени с неизвестной величиной. Критерий разрешимости и число решений. Решение методом подбора.
9. Решение сравнений первой степени при помощи теоремы Эйлера.
10.Системы сравнений первой степени. Общий случай. Случай попарно простых модулей.
11.Сравнения n-ой степени по простому модулю. Сведение к наиболее простому виду (теоремы о равносильности сравнений). Теорема о максимальном числе решений. Теорема Вильсона.
12.Сравнения по составному модулю: Приведение сравнения по составному
модулю к системе сравнений по модулям попарно простым.
13.Общие сведения о двучленных сравнениях второй степени. Число решений.
14.Сравнения n-ой степени. Сравнения n-ой степени по простому модулю.
Теоремы о равносильности сравнений. Теорема о числе решений сравнения. Теорема Вильсона.
15.Теорема о существовании и числе классов, принадлежащих показателю
по простому модулю.
16.Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю.
17.Применение индексов к решению сравнений. Критерий разрешимости
двучленного сравнения по простому модулю.
18.Квадратичные вычеты. Число квадратичных вычетов. Критерий Эйлера.
19.Символ Лежандра. Свойства.
20.Закон взаимности нечетных простых чисел
Темы контрольных работ для студентов
1. Отношение делимости в кольце целых чисел. НОД и НОК целых чисел. Простые числа.
2. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Решение сравнений первой степени с одним неизвестным.
2-3 семестры
Варианты контрольных работ:
Контрольная работа № 1.
1. Решить систему линейных уравнений.
2. Найти обратную матрицу.
3. Вычислить определитель n-го порядка.
4. Найти наибольших общий делитель многочленов.
5. Разложить многочлен по степеням одночлена.
6. Найти все корни заданной степени из указанного комплексного числа.
7. Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.
8. Представить заданный симметрический многочлен в виде многочлена от
элементарных симметрических многочленов.
Контрольная работа № 2.
1. Привести квадратичную функцию к диагональному виду.
2. Найти ортонормированный базис для симметрического (унитарного) оператора.
3. Найти канонический базис матрицы ортогонального оператора.
4. Найти каноническую форму уравнения квадрики.
Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и теория чисел» 1-ый семестр.
I
1. Элементарные преобразования матриц.
2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
3. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители
второго
порядка.
4. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
5. Система трѐх линейных уравнений с тремя неизвестными. Формулы Крамера.
6. Построение определителя n-го порядка.
7. Свойства определителя n-го порядка относительно строк.
8. Критерий единственности решения системы n уравнений с n неизвестными.
9. Основная теорема для определителей.
10. Теорема о разложении определителя по произвольному столбцу.
11. Свойства определителя относительно столбцов.
12. Теорема об умножении на «чужие» алгебраические дополнения.
13. Теорема Крамера.
14. Теорема об определителе с углом нулей.
15. Сложение матриц и умножение их на число.
16. Умножение матриц.
17. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования.
*18. Ранг матрицы.
19. Теорема об определителе произведения матриц.
20. Обращение матриц.
21. Решение матричных уравнений. Формулы Крамера.
II
1. Группоид, полугруппа, моноид.
2. Группа и подгруппа.
3. Кольцо и подкольцо.
4. Поле и подполе.
5. Построение поля комплексных чисел.
6. Алгебраическая форма комплексного числа.
7. Тригонометрическая форма комплексного числа.
8. Извлечение корня из комплексного числа.
9. Корни n-ой степени из единицы.
10. Первообразные корни.
11. Построение кольца многочленов от одной переменной.
12. Алгоритм деления с остатком.
13. Алгоритм Евклида.
14. Наибольший общий делитель многочленов.
15. Взаимно простые многочлены.
16. Теорема Безу. Схема Горнера.
17. Формулы Виета. Каноническое разложение многочлена в C[x] и R[x].
18. Кольцо многочленов от n переменных.
19. Симметрические многочлены.
20. Основная теорема о симметрических многочленах.
21. Неприводимые многочлены. Критерий Эйзенштейна неприводимости в
Z[x].
22. Рациональные дроби.
Вопросы к экзамену по курсу «Линейная алгебра» 2-ой семестр.
I
1. Определение линейного пространства. Примеры.
2. Линейная зависимость и независимость векторов.
3. Теорема о числе элементов базиса и теорема о дополнении до базиса.
4. Координаты вектора. Изменение координат вектора при изменении базиса
пространства.
5. Подпространства.
6. Размерность суммы подпространств.
7. Ранг матрицы. Ранг системы векторов.
8. Прямая сумма подпространств.
9. Линейные отображения. Примеры. Ранг линейного отображения.
10. Матрица линейного отображения. Примеры. Запись линейного отображения
с помощью матриц.
11. Сумма отображений и произведение отображения на число.
12. Произведение отображений.
13. Изменение матрицы линейного отображения при переходе к новому базису.
14. Ранг произведения матриц.
15. Однородная система линейных уравнений. Связь с неоднородной.
16. Изоморфизмы линейных пространств.
17. Автоморфизмы линейного пространства. Матрица обратного оператора.
18. Инвариантные подпространства.
19. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
20. Свойства характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.
21. Условие диагонализируемости матрицы линейного оператора.
II
1. Определение евклидова и унитарного пространств.
2. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Расстояние.
3. Ортогональность. Процесс Грама-Шмидта.
4. Ортонормированный базис и его свойства.
5. Ортогональные дополнения.
6. Изоморфизм унитарных пространств.
7. Сопряжѐнное пространство.
8. Сопряжѐнный оператор.
9. Нормальный оператор. Теорема о каноническом виде нормального оператора.
10. Теорема об инвариантном подпространстве линейного оператора в евклидовом пространстве.
*11. Теорема о каноническом виде матрицы нормального оператора в евклидовом пространстве.
12. Унитарный (ортогональный) оператор.
13. Самосопряжѐнный оператор.
14. Кососимметрический оператор.
15. Билинейные формы.
16. Конгруэнтность билинейных форм.
17. Квадратичные формы. Методы приведения.
18. Закон инерции квадратичных форм.
19. Положительно определѐнные квадратичные формы. Критерий Сильвестера.
20. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому
виду.
21. Инварианты уравнения кривой второго порядка.
22. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
а) основная литература:
1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М.: Физ.-мат.
лит., 2000.
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. М.: Физ.мат. лит., 2000.
3. Михалев А.В., Михалев А.А., Начала алгебры, часть 1: [учеб.пособие]. М.:
Интернет-Ун-т
Информ. Технологий, 2005. (Основы информатики и математики).
б) дополнительная литература:
1. Сборник задач по алгебре. Под. ред. А. И. Кострикина. М: МАИК НАУКА,
2001.
2. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре, М., любой год издания.
3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С., Сборник задач по высшей алгебре, М., любой
год издания.
4. Артамонов В.А., Латышев В.Н. Линейная алгебра и выпуклая геометрия. М.;
Изд-во "Факториал Пресс". 2004.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
http://mech.math.msu.su/department/algebra
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению
_____________________________и профилю подготовки ___________________
Рабочую программу составил доц. Куранова Н.Ю.
Рецензент (ы) _________________________
Программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры алгебры и теории чисел
протокол № __2____ от 28 сентября 2011 года.
Заведующий кафедрой проф. Журавлев В.Г.
Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании учебнометодической
комиссии
направления_____________________________________________________________
протокол № ________от ___________ года.
Председатель
комиссии_______________________________________________________
Программа переутверждена:
На 2011учебный год.
__________года.
Протокол заседания кафедры № ________от
Заведующий кафедрой__________________
На 2012 учебный год.
__________года.
Протокол заседания кафедры № ________от
Заведующий кафедрой__________________