Абстрактная и компьютерная графика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор
доцент С.М. Юшаев
______________________
«_____»__________201__г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине «Абстрактная и компьютерная алгебра»
для направления подготовки
050100 «Педагогическое образование»
по профилю
«Информатика»
Квалификация (степень) выпускника - бакалавр
Форма обучения
Очная
Грозный- 2011 г.
Компьютерная алгебра является одной из областей математики и информатики,
особенно активно развивающейся в последние годы. Усилия специалистов в этой области
направлены как на разработку новых алгоритмов, так и на создание систем компьютерной
алгебры, которые все шире используются и в научных исследованиях, и в практических
приложениях. Полученные результаты находят отражение не только в периодической
печати, но и в монографиях, опубликованных в последние годы. Термин компьютерная
алгебра (или символьные и алгебраические вычисления) объясняется способностью
компьютеров манипулировать математическими выражениями, заданными символьно, а
не численно, подобно тому, как это делается в алгебре при помощи карандаша и бумаги.
Начиная с 1960 г. было разработано много программных систем, предназначенных для
различного рода символьных вычислений; эффективность и возможности этих систем
постоянно возрастают и в будущем можно ожидать расширения их использования.
Операции над полиномами и рациональными функциями составляют основу любой
системы символьных преобразований, поэтому исследования в этой области включают в
себя развитие и анализ эффективных алгоритмов для разложения на множители,
вычисления наибольших общих делителей и отделения вещественных корней полиномов.
Компьютерная алгебра включает в себя большое количество различных тем, а поскольку
она до настоящего времени находится в стадии развития, к имеющемуся списку тем
постоянно добавляются новые.
1. Цель дисциплины: формирование систематизированных знаний в области абстрактной
и компьютерной алгебры.
2. Место дисциплины в структуре ООП:
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла (3.2.12).
Для освоения дисциплины студенты используют знания, умения и виды деятельности,
сформированные в процессе изучения дисциплин «Основы математической обработки
информации», «Алгебра и геометрия», «Математический анализ и дифференциальные
уравнения».
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих специальных
компетенций:
- готов применять знания теоретической информатики, фундаментальной и прикладной
математики для анализа и синтеза информационных систем и процессов (СК-1);
- способен использовать математический аппарат, методологию программирования и
современные компьютерные технологии для решения практических задач получения,
хранения, обработки и передачи информации (СК-2);
- владеет современными формализованными математическими, информационнологическими и логико-семантическими моделями и методами представления, сбора и
обработки информации (СК-3);
- способен реализовывать аналитические и технологические решении в области
программного обеспечения и компьютерной обработки информации (СК-4);
- готов к обеспечению компьютерной и технологической поддержки деятельности
обучающихся в учебно-воспитательном процессе и внеурочной работе (СК-5);
- способен использовать современные информационные и коммуникационные технологии
для создания, формирования и администрирования электронных образовательных
ресурсов (СК-6);
- умеет анализировать и проводить квалифицированную экспертную оценку качества
электронных образовательных ресурсов и программно-технологического обеспечения для
их внедрения в учебно-образовательный процесс (СК-7).
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные структуры абстрактной алгебры: группы, кольца и поля;
- построение алгебраической
коммутативными кольцам;
теории
на
примере
теории
многочленов
уметь:
- использовать методы решения основных типов задач компьютерной алгебры;
владеть:
- представлением о связи алгебры со школьным курсом математики.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы.
Всего
Вид учебной работы
Аудиторные занятия:
семестры
часов/зач.ед.
6
45/1,25
45/1,25
15/0,4
15/0,4
30/0,85
30/0,85
63/1,75
63/1,75
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Курсовой проект / курсовая работа
Расчетно-графические работы (РГР)
Самостоятельная работа
В том числе:
Реферат
над
Доклад
Коллоквиум
Вид отчетности (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
дисциплины
ВСЕГО в часах
зачет
зачет
108
108
36
Практические занятия (семинары)
36
Самостоятельная работа
58
Курсовые работы, рефераты
+
3.
Содержание дисциплины
№
Раздел дисциплины
Лекции
ПЗ/С
ЛР
1.
Группы, кольца, идеалы, фактор кольца
6
8
2.
Кольцо целых чисел. Теория делимости в кольце целых чисел.
8
4
4
3.
Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости .
8
4
4
4.
Алгебраические методы в теории кодирования и защиты информации.
8
4
4
5.
Поля. Расширения полей. Алгебраические и конечные расширения.
6
4
4.
Содержание разделов дисциплины
1.
ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ИДЕАЛЫ, ФАКТОР-КОЛЬЦА
Определение бинарной алгебраической операции. Алгебраические структуры с одной бинарной
операцией. Понятие группы. Примеры и свойства групп. Подгруппы. Нормальные подгруппы и
фактор-группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы. Алгебраические структуры с двумя
бинарными алгебраическими операциями. Понятие кольца. Примеры и свойства колец.
Подкольца. Идеалы кольца. Фактор-кольца.
2.
КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с
остатком. Кольцо классов вычетов. НОД, НОК: Алгоритм Евклида и теорема Ламе; расширенный
алгоритм Евклида; Алгоритм Евклида и цепные дроби. Простые числа. Разложение целых чисел на
множители; разложение больших целых чисел на множители. Точные вычисления, использующие
модулярную арифметику. Представление больших целых чисел в памяти компьютера. Извлечение
корней из больших целых чисел. Проверка свойств больших целых чисел.
3.
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
Построение кольца многочленов над полем. Отношение делимости многочленов. Теорема о
делении с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера, формула Тейлора. Корни многочлена,
теорема Безу. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида и его следствия. Взаимно простые
многочлены. Приводимые и неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые
множители, единственность разложения. Понятие о многочленах от нескольких переменных.
4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ И ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ
Информация слов и теоремы кодирования. Неравномерное кодирование слов. Действие группы
на множестве. Группировка наблюдений. Нахождение числа орбит. Сжатие по Фитингофу. Коды
исправляющие ошибки. Симметричные и асимметричные криптосистемы.
5.
ПОЛЯ. РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Определение алгебраических и трансцендентных чисел над полем. Конечные расширения поля.
Конечные поля.
5. Учебно-методическое обеспеченье дисциплины
5.1. Рекомендуемая литература
1.
Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями /Пер. с англ. -М.: Мир, 1994.
2.
Бухштаб А.А. Теория чисел. -М.: Учпедгиз, I960.
3.
Гоппа В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации. – М.: Наука. Физматлит, 1995.
4. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра: системы и алгоритмы
алгебраических вычислений. –М.: Мир, 1991.
5.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. -М.: "Высшая школа", 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. -М.:
"Просвещение", 1993.
7.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -М.: Наука, 1975.
8. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия, алгоритмы. Введение в вычислительные
аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры: Пер. с англ. - М.: Мир, 2000.
9. Нечаев В.И. Элементы криптографии (Основы теории защиты информации): учебное пособие
для университетов и педвузов. /Под.ред. В.А. Садовничего. - М.: Высш. шк., 1999.
10. Норден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями): Пер. с
франц. - М.: Мир, 1999.
11. Окунев Л.Л. Высшая алгебра. -М.: Просвещение, 1966.
12. Окунев Л.Л. Сборник задач по высшей алгебре. -М.: "Просвещение", 1966.
13. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. -М.: Наука, 1986.
14. Шниперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. -Минск, "Высш. шк.", 1982.
15. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. -М.: Физматгиз, 1961.
16. Кнут Д. Искусство программирования, т. 2. Получисленные алгоритмы, 3-е изд. /Пер. с англ. :
Уч. пос. –М.: Издательский дом «Вильямс», 2000
17. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. –М.: МЦНМО, 1999.
5.2. Средства обеспечения дисциплины
1.
Персональные компьютеры IBM PC (модели не ниже 386) или Pentium.
2.
Математические пакеты; среда программирования.
5.3.Примерный перечень лабораторных работ
1. Дроби. Наибольший общий делитель. Анализ алгоритма Евклида. Модулярная арифметика.
Решение линейных диофантовых уравнений. Китайская теорема об остатках. Степени элемента.
Проверка чисел на простоту. Разложение на простые множители. Представление больших целых
чисел в памяти компьютера. Операции над большими целыми числами. Извлечение корня из
больших целых чисел.
2.
Компьютерное моделирование рациональной арифметики.
3. Полиномиальная арифметика: представление полиномов в виде списков; сложение,
умножение и деление полиномов; разложение полиномов на множители; вычисление степеней;
вычисление полиномов.
4.
Реализация алгоритмов кодирования и декодирования информации.
5.4. Перечень примерных вопросов и заданий для самостоятельной работы
1.
Кольцо Z/nZ
2.
Модули конечного типа над кольцом главных идеалов.
3.
Квадратичные вычеты.
4.
Вычисление образа и ядра матрицы.
5.
Инварианты конечных групп.
5.5. Примерная тематика рефератов, курсовых работ
1.
Алгоритмы символьных преобразований.
2.
Отделение и аппроксимация вещественных корней полиномиальных уравнений.
3.
Системы криптографии с открытым ключом.
5.6. Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
1.
Группы. Примеры.
2.
Подгруппы. Нормальные делители.
3.
Фактор группы. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы.
4.
Кольца. Примеры.
5.
Поля. Примеры.
6.
НОД, НОК: Алгоритм Евклида и теорема Ламе.
7. Простые числа. Разложение целых чисел на множители; разложение больших целых чисел на
множители.
8.
Представление больших целых чисел в памяти компьютера.
9.
Построение кольца многочленов над полем. Отношение делимости многочленов.
10. Теорема о делении многочленов с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера, формула
Тейлора.
11. Разложение на неприводимые множители, единственность разложения.
12. Компьютерное представление полиномов. Алгоритмы операций над полиномами.
13. Информация слов и теоремы кодирования. Неравномерное кодирование слов.
14. Алгоритмы кодирования и декодирования информации.
15. Определение алгебраических и трансцендентных чисел над полем.
16. Конечные расширения поля. Конечные поля.
Программа составлена в соответствии с государственными требованиями к обязательному
минимуму содержания основной образовательной программы по специальности 030100 "Информатика"
Программу составили:
Московский педагогический государственный университет
д.ф.-м.н., профессор
А.Н. Красильников
к.п.н., профессор
С.А. Жданов
Борисоглебский государственны педагогический институт
к.п.н., доцент
Н.Н. Иванова
Программа одобрена на заседании Учебно-методического совета по информатике протокол № 3
от 23 ноября 2000 года.