10 класс математика Решение текстовых задач

МБОУ«Бурнашевская средняя общеобразовательная школа”
Апастовского муниципального района Республики Татарстан
«Рассмотрено»
Руководитель ШМО
_________/Замалиева А.А./
Протокол № ____
от« 27»августа 2014 г.
.«Согласовано»
Зам. директора по УВР
МБОУ«Бурнашевская средняя
общеобразовательная школа”
________/Гаптрахманова Р.Г./
подпись
«Утверждено»
Директор МБОУ«Бурнашевская
средняя общеобразовательная
школа
___________/ Вилданова Д.Х./
подпись
« 27» августа 2014г.
Приказ № 61 от
« 29 » августа 2014г.
Рабочая программа
по элективному курсу «Текстовые задачи»
математика , 10 класс
учителя математики высшей квалификационной категории
Гаптрахмановой Розы Галятдиновны
Рассмотрено на заседании
педагогического совета
Протокол
№ 1 от « 28» 08. 2014 г.
2014 – 2015 учебный год
2
Пояснительная записка.
Решение задач занимает в математическом образовании огромное
место. Поэтому обучению решения задач в школьном курсе математики
уделяется много внимания, но до сих пор, пожалуй, единственным
методом такого обучения были показ способов решения определенных
видов задач и практика по овладению ими. Для того чтобы научиться
решать задачи надо не просто увеличить количество решенных задач, а
необходимо научиться плавному подходу к задаче, при котором задача
выступает как объект тщательного изучения, а ее решение - как объект
конструирования и изобретения.
Содержание этого курса расширяет и углубляет знания учащихся
по решению текстовых задач. Задачи позволяют применять знания,
полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые
возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами
развития мыслительной деятельности.
Анализ результатов проведения ЕГЭ с момента его существования
говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу,
составляет в среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод,
что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения
текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой
увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на
уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла
необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела
элементарной математики.
Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся,
желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать
правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно
подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы. Он поможет
3
школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению
текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не
рассматриваются в рамках школьной программы.
Полный минимум знаний, необходимых для решения всех типов
текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения в
школе, поэтому представленный элективный курс «Текстовые задачи»
рекомендуется вводить с 10-го класса.
Программа курса имеет практическую направленность.
Задачи, используемые на уроках, подобраны с учетом нарастания
уровня сложности, их количество не создает учебных перегрузок для
школьников. Содержание программы способствует интеллектуальному,
творческому, эмоциональному развитию школьников; предусматривает
формирование устойчивого интереса к предмету, развитие и выявление
математических способностей, ориентацию на профессии, связанные с
математикой, выбор профиля дальнейшего обучения.
Большое внимание уделяется самостоятельной работе школьников.
Цели курса.
1.
Сформировать у обучающихся умение решать разнообразные
текстовые задачи алгебраическим методом.
2.
Развивать исследовательскую и познавательную деятельность
школьников.
3.
Познакомить обучающихся с материалами ГИА (9 кл.), ЕГЭ
(11 кл.).
4.
Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.
5.
Помочь школьникам осознать степень интереса к предмету и
оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей
перспективы (выбор профиля обучения).
Курс рассчитан на 1 час в неделю, всего 17 часов.
Структура курса
4
1.
Методы
решения
текстовых
задач:
арифметический,
алгебраический.
2.
Задачи на движение (по прямой, по реке, по окружности).
3.
Задачи на работу и наполнение резервуара.
4.
Задачи на смеси и сплавы.
5.
Задачи на проценты (обобщение знаний).
6.
Разные задачи.
Требования к математической подготовке обучающихся.
В результате изучения курса обучающиеся должны уметь:
1. Опорные знания:
решать

линейные,
квадратные,
дробно-рациональные
уравнения;

знать
определения
понятий:
%,
концентрация,
производительность труда.
2. Решать текстовые задачи повышенного уровня сложности,
существенно превышающего обязательный:

на движение (по прямой, по реке, по окружности);

на работу и наполнение резервуара;

на смеси и сплавы;

на проценты.
3. Работать с алгебраической моделью:

работать с алгебраической моделью (уравнением), в которой
содержится несколько переменных.
Формы организации учебных занятий
Формы
проведения
занятий
включают
в
себя
лекции,
самостоятельные работы, практикумы по решению текстовых задач.
Основной тип занятий комбинированный урок. Каждая тема курса
начинается с постановки задачи и изучения теоретического материала.
После изучения теоретического материала выполняются практические
задания для его закрепления.
5
Учебно-тематический план. (34 часов).
№
Тема занятия
Кол-во
занятия
1
Форма занятия
часов
Методы решения текстовых задач: 1
Лекция
арифметический, алгебраический.
2
Задачи на движение по прямой
1
Теоретический
семинар
3
Решение задач на движение
2
Практикум
4
Задачи на движение по реке
1
Теоретический
семинар
5
Решение задач на движение по реке
6
Задачи на движение по окружности. 1
2
Практикум
Теоретический
семинар
7
Решение задач на движение по 2
Практикум
окружности.
8
Задачи на работу
1
Теоретический
семинар
9
Решение
задач
на
совместную 2
Практикум
работу
10
Задачи на наполнение резервуара
1
Теоретический
семинар
11
Решение
задач
на
наполнение 2
Практикум
резервуара
12
Задачи на смеси и сплавы
1
Теоретический
семинар
13
Решение задач на смеси и сплавы
2
Практикум
14
Задачи на проценты
1
Теоретический
семинар
15
Решение задач на проценты
2
Практикум
6
16
17
Разные задачи. Комбинированные 4
Теоретический
задачи
семинар
Итоговое занятие.
2
Контрольная работа
1
Содержание курса
Тема 1. Методы решения текстовых задач: арифметический,
алгебраический.
На
первом
занятии
рассматриваются
арифметический,
алгебраический и комбинированный методы решения текстовых задач.
Тема 2. Задачи на движение.
Равномерное движение по прямой. Движение по течению реки и
против течения реки. Скорость, время, расстояние. Рассматриваются
основные закономерности, зависимости между величинами при решении
задач на движение по прямой, по окружности, по реке. Решение задач на
движение с помощью составления уравнений, проверка соответствия
найденного решения условию задач.
Тема 3. Задачи на работу, на совместную работу.
Рассматриваются основные закономерности, зависимости между
величинами при решении задач на работу (производительность труда, т.е.
работа в единицу времени, время, затраченное на работу, вся работа).
Решение задач на совместную работу, на наполнение резервуара.
Тема 4. Задачи на смеси и сплавы, задачи на проценты.
Рассматриваются основные закономерности, зависимости между
величинами при решении задач на смеси и сплавы. Понятие процентной
концентрации вещества в растворе, решение задач методом составления
уравнений. Нахождение процента от числа, числа по его проценту,
процентное отношение.
Тема 5. Разные задачи, задачи с геометрическим содержанием.
7
Перевод условия задачи на язык уравнений с целью нахождения
неизвестной величины. Использование основных геометрических формул
при решении задач.
В конце изучения курса проводится контрольная работа.
Методические рекомендации.
Занятие 1. Методы решения текстовых задач.
Для решения текстовых задач применяются три основных метода:
арифметический, алгебраический и комбинированный.
I. Арифметический метод.
Первым этапом решения задач арифметическим методом является
разбор условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения
задачи сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.
Вторым этапом является решение задачи по составленному плану.
Этот этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в
большинстве случаев носит тренировочный характер.
Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения
задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при
решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения
задачи в процессе развития логического мышления учащихся.
При решении текстовых задач арифметическим методом у учащихся
вырабатываются определённые умения и навыки, которые в процессе
дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.
II. Алгебраический метод
Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод
решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения
уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы
неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое
решение задачи бывает очень сложным.
8
При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная
деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на
разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по
условию задачи.
Вторым этапом является решение составленного уравнения или
системы уравнений, неравенства или системы неравенств.
Третьим важным этапом решения задач является проверка решения
задачи, которая проводится по условию задачи.
III. Комбинированный метод.
Этот метод получается в результате включения в алгебраический
метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин
определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений,
неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметическим
методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.
Алгебраический метод решения текстовых задач.
Текстовые
задачи
-
традиционный
трудный
материал
для
значительной части школьников. Причина затруднений, состоит в том, что
учитель старается обучить решению каждого типа задач в отдельности, а
не сформировать у ученика способность анализировать любую задачу, вне
зависимости от ее разновидности.
Эту проблему помогают решить семь вопросов, которые дают
верное направление решению любой задачи. Причем, если задача простая,
то некоторые вопросы упрощаются или вовсе опускаются. Разберем
несколько типов задач. Большинство из них заимствованы из «Сборника
заданий для проведения письменного экзамен по алгебре за курс основной
школы» (М.:Дрофа,2002) и из учебно-методического пособия «Алгебра, 9
класс. Подготовка к итоговой аттестации
-2009» под редакцией
Ф.Ф.Лысенко (издательство «Легион», Ростов-на- Дону-2008)
Прочитав задачу, ученик начинает отвечать на вопросы, постепенно
оформляя на черновике краткое условие задачи в виде таблицы.
9
Вопросы к задаче (в скобках даны комментарии к ним):
1. О каком процессе в задаче идет речь? Какими величинами
характеризуется этот процесс? (Их количество определяет число столбиков
в будущей таблице.)
2. Сколько процессов в задаче? (Их количество равно числу строчек
в таблице.)
3. Какие величины известны и что нужно найти? (Таблица
заполняется данными задачи)
4. Как связаны величины
в задаче? (Выписываются формулы и
уясняются связи величин в таблице)
5. Какую величину удобно обозначить, например, буквой х?
(Анализируется, удобно ли за х взять величину, о которой спрашивается в
задаче, или лучше какую-либо другую. Затем остальные неизвестные
величины выражаются через х, каждой из них соответствует пустая клетка
в таблице)
6. Какое условие нужно использовать для составления уравнения?
(Это то условие, которое не использовалось для выражения неизвестных
через х. Ученик записывает условие составления уравнения и само
уравнение)
7. Легко ли решить полученное уравнение? (Отвечая на этот вопрос,
ученик должен подумать, не следует ли ввести буквенное обозначение в
другую строчку и для составления уравнения использовать другую связь
между величинами)
Занятие 2. Задачи на движение
Цель урока: показать способ решения задач и выработать у
учащихся навыки решения задач на движение с помощью составления
уравнений, умения проверять соответствие найденного решения условию
задачи.
Актуализация опорных знаний:
Какими величинами характеризуется процесс движения? (s, v, t)
10
Как связаны эти величины? (s = vt)
Задача 1. Два туриста выехали одновременно из села А и
направились разными дорогами в село В. Первый должен был проехать 30
км, а второй -20 км. Скорость движения первого туриста была на 3 км/ч.
больше скорости второго. Однако второй турист прибыл в село В на 20
мин. раньше первого. Сколько времени был в дороге каждый турист?
В этом курсе мы впервые встречаемся с задачей «на движение»,
поэтому разберем решение, повторяя вопросы 1-7.
1. О каком процессе в задаче идет речь? Какими величинами
характеризуется этот процесс?
В
этой
задаче
речь
идет
о
процессе
движения,
который
характеризуется тремя величинами: s - путь (км), v - скорость (км/ч), t время (ч) (минуты нужно перевести в часы). Значит, в таблице будет 3
столбца.
2. Сколько процессов в задаче?
В задаче говорится о двух процессах движения: о движении 1
туриста и о движении 2 туриста.
3.Что известно и что нужно найти?
Известны путь каждого туриста и разность их скоростей. Неизвестно
время движения каждого туриста.(Все это запишем в таблице)
v
t
s
1 турист.
х+3
30
х3
30
2 турист
х
20
х
20
4. Как связаны величины в задаче?
1
3
1
3
s= v t, v1 –v2 =3, t1 –t2= , так как 20 мин = ч.
5.Какую величину удобно обозначить буквой х?
11
Обозначим через х скорость движения 2 туриста, тогда все известные
зависимости между величинами можно выразить так, как в таблице.
6.Какое условие нужно использовать для составления уравнения.
В таблице осталась неиспользованной разность между временем
движения 1 туриста и временем движения 2 туриста. Эта разность и нужна
для составления уравнения.
20 1
30
= .
х3
х
3
Учитывая ОДЗ левой части полученного уравнения ( х≠-3 и х≠0) ,
переходим к квадратному :
х2 – 27 х + 180 =0.
Отсюда х1=12 и х2=15. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. В таком
случае остается открытым вопрос: какая же скорость была у 2 туриста: 15
км/ч или 12 км/ч. Оба ответа удовлетворяют условию задачи, значит,
нужно рассмотреть два случая.
а) Скорость 2 туриста 15 км/ч, тогда t1
=
20
1
30
2
1
 1 (ч) и t2=
15
3
15  3
3
(ч);
б) Скорость 2 туриста 12 км/ч, тогда t1
=
20
2
30
 1 (ч);
 2 (ч) и t2=
12
3
12  3
2
3
Ответ: а) время движения первого туриста составило 1 ч, а время
1
3
движения второго- 1 ч;
б) время движения первого туриста составило 2ч, а время движения
2
3
второго- 1 ч.
Перед тем как преобразовывать уравнение
20
1
30
= , полезно
х3
х
3
остановиться на последнем вопросе:
7.Легко ли решить полученное уравнение?
В
данном
случае
ответ
утвердителен,
поскольку
получено
стандартное уравнение. Но если бы учащиеся приняли за х время
12
движения 1 туриста, т.е. то, о чем спрашивается в задаче, то получили бы
следующее:
30
х
20
= 3.
1
х
3
Здесь знаменатель одной из дробей содержит дробь, что могло бы
привести к дополнительным трудностям при преобразованиях.
Задача 2. Велосипедист должен был проехать 48 км, чтобы успеть к
поезду. Однако он задержался с выездом на 48 мин. Чтобы приехать на
станцию вовремя, он ехал со скоростью, на 3км/ч большей, чем
планировал первоначально. С какой скоростью ехал велосипедист?
Почитав задачу, ученик отвечает на все те же вопросы 1-7 примерно
так.
1) В задаче идет речь о процессе движения, который характеризуется
тремя величинами: s - путь (км), v - скорость (км/ч), t - время (ч).
2) В задаче речь идет о двух процессах движения: по планированию и
фактически.
3) Постепенно заполняется таблица
По
v
t
s
х-3
48
х3
48
х
48
х
48
планированию
Фактически
4
5
Однако велосипедист задержался на старте на 48 мин. (48 мин= ч.), но он
приехал к поезду без опозданий, т.о.
48 4
48
=
+ ; ОДЗ: х  3, х  0.
х
5
х3
48∙ 5х = 48∙ 5(х-3) + 4х (х-3); Отсюда х1= -12 и х2=15. х= -12 не является
решением задачи, т.к. по смыслу задачи скорость является величиной
положительной.
Ответ: велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч.
13
Занятие 3. Решение задач на движение по прямой.
Цель урока: Закрепить умение применять дробно-рациональные
уравнения при решении задач на движение по прямой, совершенствовать
навыки составления уравнения по условию задачи,
Задачи для прорешивания и самостоятельной работы.
1.Составить таблицу и уравнение для решения задач 1-3, решите задачу 3.
Задача 1. Расстояние из А в В длиной 60 км мотоциклист проехал по
шоссе, а обратно возвратился по проселочной дороге, которая короче
первой на 5 км, уменьшив скорость на 10 км/ч. С какой скоростью ехал
мотоциклист из А в В, если известно, что на путь по проселочной дороге
он затратил на 6 мин больше, чем путь по шоссе?
Задача 2. Из пункта А в пункт В , расстояние между которыми 25
км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Во время пути
автомобиль сделал остановку на 2 мин, но в пункт в приехал на 3 мин
раньше автобуса. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно,
что скорость автобуса в 1,2 раза меньше скорости автомобиля.
Задача 3. Поезд отправился от станции А по направлению к станции
В. Проехав 600км, что составило 2/3 пути, он был задержан на 60 минут.
Машинист, увеличив скорость на 25 км/ч, привел его на станцию В без
опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда.
Занятие 4. Задачи на движение по реке.
Цель урока: показать способ решения задач и выработать у
учащихся навыки решения задач на движение по реке с помощью
составления уравнений.
Задача 1.Лодка проплыла по течению реки на 11 км больше, чем
против течения, затратив на весь путь 3ч. Зная, что скорость лодки в
стоячей воде равна 5км/час, а скорость течения – 2 км/ч, определите,
сколько всего километров проплыла лодка?
Попробуем
обозначить
буквой
х
расстояние
в
пройденное лодкой против течения реки. Выразите через х :
километрах,
14
1) расстояние в километрах пройденное лодкой по течению реки;
2) скорость лодки по течению и против течения реки;
vпо течению = vсобственная + v теч .реки
vпротив течения = vсобственная - v теч .реки
3) время движения лодки по течению реки и против течения реки.
Этими данными заполняется таблица.
v
По течению 7
реки.
Против
3
течения
t
s
х  11
7
х+11
х
3
х
На весь путь лодка затратила 3ч .Составим уравнение:
х  11 х
+ = 3.
7
3
3(х+11) +7х= 63; х=3.Вычисляем весь путь лодки х+х+11 =3+3+11=17.
Ответ: лодка проплыла 17 км.
Задача 2. Катер проплывает 8 км против течения реки и еще 30 км
по течению реки за то же время, за которое плот может проплыть по этой
реке 4 км. Скорость катера в стоячей воде равна 18км/ч. Найдите скорость
течения реки.
v
t
s
Катер по течению
18+х
30
18  х
30
Катер против течения
18-х
8
18  х
8
Плот (в стоячей воде)
х
4
х
4
По условию задачи известно, что общее время движения катера равно
времени движения плота, тогда
30
8
4
+
= .
18  х 18  х
х
15
30
8
4
+
= ;
18  х 18  х
х
15
4
2
+
= ;
18  х 18  х
х
15 х(18  х)  4 х(18  х)  2(18  х)(18  х), 270 х  15 х 2  72 х  4 х 2  648  2 х 2 ,


 х(18  х)(18  х)  0;
 х(18  х)(18  х)  0;
 11х 2  342 х  648  2 х 2 , 9 х 2  342 х  648  0,  х 2  38 х  72  0,



 х(18  х)(18  х)  0;
 х(18  х)(18  х)  0;  х(18  х)(18  х)  0;
Получаем корни х1=2 и х2=36. Оба корня соответствуют ОДЗ, но
х=36 не удовлетворяет условию задачи, т.к. в этом случае скорость
движения катера против течения реки будет отрицательна.
Ответ: скорость течения реки равна 2км/ч.
Занятие 5. Решение задач на движение по реке.
Цель урока: Закрепить умение решать задачи на движение по реке с
помощью уравнений.
Задачи для прорешивания и самостоятельной работы.
Задача
1. Лодка прошла 20 км по течению реки и 16 км против
течения, затратив столько времени, сколько ей необходимо, чтобы пройти
39 км в стоячей воде. Найти собственную скорость лодки, если скорость
течения равна 3 км/ч.
Задача 2. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по
реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против
течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь
путь, равно 4ч.
Задача3. Моторная лодка плывет от А до В по реке 4 суток, а от В до
А -5 суток. Во сколько раз скорость движения моторной лодки по течению
больше скорости течения реки?
Занятие 6. Задачи на движение по окружности.
16
Цель урока: показать способ решения задач и выработать у
учащихся навыки решения задач на движение по окружности с помощью
составления уравнений.
Задача 1. Длина окружности переднего колеса кареты равна 3м, а
заднего 4,5м. Какое расстояние проехала карета, если переднее колесо
сделало 20 оборотов больше заднего?
Количество
Длина колеса
Расстояние
оборотов
Переднее колесо
х+20
3
3(х+20)
Заднее колесо
х
4,5
4,5х
Т.к. оба колеса принадлежат одной карете, то колеса проехали одинаковый
путь, т.е. 3(х+20)= 4,5х; х=40; 4,5х=180.
Ответ: карета проехала расстояние в 180метров.
Задача 2. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник
проходил круг на 2 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на
круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?
Количество
Время
кругов за час
прохождения
одного
1час в минутах
круга
(мин)
Первый лыжник
60
х
х
60
Второй лыжник
60
х2
х+2
60
По условию задачи следует, что
60
х
-
60
60
больше
на 1 круг, значит,
х
х2
60 х  120  60 х  х 2  2 х,
60
=1; 
х2
 х( х  2)  0
 х 2  2 х  1 2 00,

 х( х  2)  0;
Получаем
корни х1=10 и х2=-12. Оба корня соответствуют ОДЗ, но х=-12 не
17
удовлетворяет условию задачи, т.к. время выражается положительным
числом. Если х=10, то х+2=12.
Ответ: первый лыжник проходит круг за 10 минут, а второй за 12 минут.
Занятие №7. Решение задач на движение по окружности.
Цель урока: проверить умение решать задачи с помощью
уравнений.
Задачи для прорешивания, и самостоятельной работы.
Задача 1.Длина окружности переднего колеса повозки на 1,6 м
меньше длины окружности заднего. Какое расстояние проехала повозка,
если переднее колесо сделало 300 оборотов, а заднее 200 оборотов.
Ответ: расстояние, пройденное повозкой, равно 960 метров.
Задача 2. На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один
из картов проходил круг на 5 мин медленнее другого и через час отстал от
него ровно на круг. За сколько минут каждый карт проходил круг?
Ответ: один карт проходит круг за 15 минут, а второй за20 минут.
Занятие 8. Задачи на работу.
Цель урока: Учить решать задачи на работу с помощью составления
уравнений, закрепить навыки решения рациональных уравнений .
Задача 1. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле
за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось
по плану, и потому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было
вспахано? Найдите площадь поля?
Речь
идет
о
процессе
работы.
Он
характеризуется
тремя
величинами: вся работа (А) – это измеряемая в гектарах площадь поля;
работа в единицу времени, т.е. производительность труда (N), и время (t) –
число дней , затраченное на работу. В задаче упомянуты два процесса
работы: по плану и фактический.
Значит в таблице нужны 3 столбца (А, N, t) и 2 строки. А= N*t
По
N
t
х
14
А
14х
18
плану
Факти
х+5
12
12(х+5)
чески
По условию площадь поля: 14х (га) и 12(х+5) (га), в обоих случаях
одинакова, поэтому можно составить уравнение: 14х=12(х+5), отсюда
х=30. Производительность по плану составляет 30 га/день. Тогда площадь
поля 14*30=420(га.)
Ответ: площадь поля равна 420 га.
Задача 2. Завод по плану должен был изготовить 180 станков к
определенному сроку. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод
выполнил задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод
выполнил план?
Проведя анализ задачи, составим таблицу
N(
шт.
)
день
t (дни)
А (шт.)
По
х
180
х
180
Факти
х+2
180
х2
180
плану
чески
Завод выполнил задание на 1 день раньше срока, поэтому можно
составить уравнение
180
180
= 1 / х (х+2). ОДЗ: х≠0, х≠ -2
х
х2
180(х+2) -180х = х (х+2),
180х+360 -180х= х2 +2х,
х2 +2х – 360 =0,, по обратной теореме Виета
 х1  х2  2
Значит х1= -20, х2=18. х=-20 не удовлетворяет условию

х

х


360
 1 2
задачи. Завод выполнил план за
180
180
=
=9 дней
х  2 18  2
19
Ответ: завод выполнил план за 9 дней.
Задачи «на работу» сложны тем, что в них абстрактное понятие
работа приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче
работа выражалась в виде площади вспаханной земли, в следующей задаче
работа стала более зримой, т.е. представилась количеством выполненной
продукции. В третьей задаче работа выступает в весьма непривычном
образе - как масса перевезенного груза.
Задача 3. Вместо одной грузовой машины, в связи с ее занятостью
на другой работе, для перевозки груза массой 45 т взяли другую машину,
грузоподъемность которой на 2 т меньше первой. Поэтому было сделано
на 6 рейсов больше, чем предполагалось. Какой грузоподъемности машина
была намечена для перевозки груза?
Отвечая на все те же стандартные вопросы ученик уясняет, что речь
идет о процессе работы, который в данной задаче характеризуется тремя
величинами.1) М(т) - масса всего перевозимого груза;
2) m (т/рейс)-грузоподъемность машины, т.е. масса, которую машина
может перевести за 1 рейс.
3) k (рейс)-число рейсов машины.
1
m
k (рейс)
х
45
х
45
х-2
45
х2
45
машина
2
машина
М (т)
Разность между числом рейсов второй и первой машины равна 6
рейсам. Следовательно, можно составить уравнение:
45
45
= 6.
х2
х
Решая это уравнение, получим х1=5 и х2=-3. но, х=-3 не
удовлетворяет условию задачи: х>0.
20
Ответ:
для
перевозки
груза
была
намечена
машина
грузоподъемностью 5 т.
Занятие 9. Решение задач на совместную работу.
Цель урока: выработать у учащихся навыки решения задач на
совместную работу с помощью уравнений.
В отличие от всех предыдущих задач, в которых сравнивались два
процесса, действовавшие автономно, рассмотрим задачу на совместную
работу, т.е. выделяемые процессы в ней как то связаны.
Задача
1.
На
двух
копировальных
машинах,
работающих
одновременно, можно сделать копию документа за 10 мин. За какое время
можно выполнить эту работу на каждой машине по отдельности, если
известно, что на первой ее можно сделать на 15 мин быстрее, чем на
второй?
Пусть первая копировальная машина сделает всю работу за х мин,
тогда вторая машина справится с этой работой за (х+15) мин. Всю работу
примем за единицу.
А
N
t
Первая машина
1
х  15
х+15
1
Вторая машина
1
х
х
1
Совместно
1
10
10
1
Составим уравнение и решим его,
1
1
1
+ = .
х  15 х
10
Ответ: первая машина может выполнить всю работу за 15 минут, а
вторая –за 30 минут.
Задача 2.Два каменщика выложили стену за 14 дней, причем второй
присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что
первому каменщику на выполнение всей работы потребовалось бы на 6
21
дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену
каждый каменщик, работая отдельно.
Ответ: первый каменщик может построить стену за 28 дней, а второй
за 22 дня.
Занятие 10. Задачи на наполнение резервуара.
Цель урока: показать способ решения задач и выработать у
учащихся навыки решения задач на наполнение резервуара с помощью
составления уравнений.
Задача 1. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими
одновременно, за 2 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первая
труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем
вторая7
Итак, о какой работе идет речь? О работе по наполнению бассейна,
объем которого обозначим через V условных единиц. Через t обозначим
число часов, необходимых для заполнения бассейна. N – работа в единицу
времени.
N
t
V
1 труба
1
х
х
1
2 труба
1
х3
х+3
1
2
1
1 и 2 труба 1
вместе
2
Ученики должны хорошо понимать, что совместная работа,
выполненная за 1 ч., равна сумме работ 1 и 2 трубы за тот же час, иначе
говоря,
Nсовм. =
N1+ N2. Но нельзя то же самое сказать о времени
совместной работы, которое будет меньше времени работы каждой трубы
в отдельности (tсовм. < t1+ t2). Так как за 1 ч. обе трубы вместе заполняют
(
1
1
+
)
х
х3
часть бассейна, а по условию это
1
часть, значит, можно
2
22
составить уравнение:
1
1
1
+
= . Получаем корни х1=3 и х2=-2. Оба
х
х3
2
корня соответствует ОДЗ, но х=-2 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 1 труба наполняет бассейн за 3 ч.
Задача 2. Первый насос должен наполнить бассейн объемом 360 м3,
а второй объемом – 480 м3. Первый насос перекачивал ежечасно на 10 м3
воды меньше, чем второй, и работал на 2ч дольше, чем второй. Какой
объем воды перекачивает каждый насос за час?
N
t
V
1 насос
х-10
360
х  10
360
2 насос
х
480
х
480
360 480
=2 / х (х-10). ОДЗ: х≠0, х≠ 10
х  10 х
360х – 480х+4800= 2х2 -20х;
2х2 +100х - 4800 =0;
х2 +50х -2400 =0;
х1=-80 и х2=30 Оба корня соответствуют ОДЗ, но х=-80 не
удовлетворяет условию задачи. Если х=30, то х-10=20.
Ответ: первый насос перекачивает ежечасно 20 м3, второй насос - 30
м3.
Занятие 11. Решение задач на наполнение резервуара.
Цель урока: Закрепить умение решать задачи на наполнение
резервуара с помощью уравнений.
Задачи для прорешивания, и самостоятельной работы.
23
Задача 1. Два крана, работая одновременно, наполняют бассейн за 6
часов. За сколько часов наполнит этот бассейн первый кран, если известно,
что он наполняет бассейн на 5 часов дольше, чем второй?
Ответ: 15ч.
Задача 2. Из первого крана вода течет со скоростью 5 литров в
минуту, а из второго – со скоростью 7 литров в минуту. Известно, что для
того, чтобы набрать два ведра из первого крана, нужно вдвое больше
времени, чем для того, чтобы набрать первое ведро из второго крана. Во
сколько раз объем первого ведра больше объема второго ведра?
Ответ:7/3.
Задача 3. Одна из труб может наполнить водой бак на 10 мин
быстрее другой. За какое время может наполнить этот бак каждая труба,
если при совместном действии этих труб в течение 8 мин было заполнено
2/3 бака?
Ответ: первая труба может заполнить бак за 20 минут, а вторая труба
– за 30 минут.
Занятие 12. Задачи на сплавы и смеси.
Цель урока: показать способ решения задач и выработать у
учащихся навыки решения задач на сплавы и смеси.
Решение
понятиями
задач
указанного
типа
требует чёткого владения
«пропорция», «процент» и их свойствами.
При рассмотрении задач на смеси, растворы, сплавы нужно иметь
в
виду, что
математическое
описание
этих
задач
строится
на
предположении:

никаких
химических
процессов,
влияющих
на
количественные соотношения задачи, не происходит;

в качестве неизвестных чаще бывает
удобно
выбирать
либо «часть», либо «долю»; при исследовании смеси, раствора, сплава
важно держать в памяти две характеристики: общее
количество
24
данного вещества в смеси и
количество
данного
вещества в
1единице смеси, то есть «часть» и «долю»;

все соизмеримые
величины
должны быть выражены в
одних единицах измерения;

при решении
желательно
избегать
работы
с
процентами: от процентов вещества в данной смеси всегда можно
перейти к его абсолютному количеству, то есть дробному выражению
доли.
Задача 1. При смешивании первого раствора соли, концентрация
которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого
48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были
взяты первый и второй растворы.
Масса
Концентрация Количество
соли
Первый
х
40
0,4х
у
48
0,48у
42
0,42 (х+у)
раствор
Второй
раствор
Раствор после х+у
смешивания
Составляем уравнение 0,4х+0,48у = 0,42 (х+у);
40х+48у= 42х+42у;
х=3у; Отсюда:
х 3
 . Ответ: в отношении 3:1.
у 1
Задача 2. Имеется 300г 20% -го раствора серной кислоты. Сколько
граммов воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 16%-ный
раствор серной кислоты.
Решение:
Находим массу серной кислоты в растворе, 300 ∙0,2=60г
25
Составим пропорцию:
60г- 16%
х г-100%, 60:х=16:100; х=375.
375-300=75
Ответ: 75г.
Задача 3.Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен, с
15 кг цинка. В результате процентное содержание меди в сплаве
понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какой могла быть
первоначальная масса сплава?
Пусть х кг- масса меди в сплаве.
Масса
Процентное содержание меди
Первоначальный х+5
х
∙100%
х5
сплав
Новый сплав
х+20
х
∙100%
х  20
По условию содержание меди понизилось на 30%. Составим и решим
уравнение:
х
х
10 х
10 х
∙100 ∙100 =30, х>0; .
=3; х1=5 и х2= 20. Оба числа
х5
х  20
х  5 х  20
удовлетворяют условию х>0. Первоначальная масса сплава могла быть
либо 10кг, либо 25 кг.
Занятие 13. Решение задач на смеси и сплавы.
Задачи для прорешивания, и самостоятельной работы.
Задача1. При смешивании двух растворов одной и той же кислоты с
концентрациями
40%
и
70%
соответственно
получили
раствор,
содержащей 60% кислоты. В каком отношении были взяты первый и
второй растворы?
Ответ: 1:2.
26
Задача 2. В лаборатории имеется 2 кг раствора, содержащего 28%
некоторой кислоты, и 4 кг раствора. содержащего 36% этой же
кислоты. Найдите наибольшее количество 30% раствора кислоты,
который может получить из этих растворов.
2
3
Ответ:2 .
Задача3. В сплаве меди с оловом уменьшили массу меди на 25%, а
массу олова увеличили на 15%. В результате сплав стал весить на 20%
меньше, чем исходный. Сколько процентов составляла масса олова от
исходного сплава?
Ответ: 12,5%.
Занятие 14. Решение задач на проценты.
При решении задач на проценты необходимо уметь находить
процент от числа, число по его проценту, процентное отношение.
Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты –
проценты, начисляемые на процентные деньги.
Задача 1. В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год
число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в
результате общее число учащихся стало равным 1720. Сколько учащихся
было в каждой школе первоначально?
Решение: Пусть х- число учащихся первой школы. Найдем 10% от х.
Получим, что на 0,1х увеличилось число учащихся первой школы.
Аналогичным образом, на 0,2∙ (1500-х) увеличилось число учащихся
второй школы.
Было
Число
Увеличилось Стало
учащихся
первой х
0,1х
х+0,1х
учащихся
первой 1500-х
0,2∙ (1500-х)
(1500-х)+0,2∙(1500-
школы
Число
школы
х)
27
х+0,1х+(1500-х)+0,2∙ (1500-х)=1720;
1,1х + 1500– х + 300 -0,2х =1720;
0,1х=80;
х=800, 1500-х = 1500-800=700
Ответ: в первой школе первоначально было 800 учащихся, во второй -700
учащихся.
Задача 2. Цена товара была дважды снижена на одно и то же число
процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если
его первоначальная стоимость 2000р, а окончательная 1805р?
Пусть цена товара была снижена дважды на х%.
Первоначальная стоимость 2000р.
После первого снижения цены стоимость товара (2000-20х )р., т.к. 1% 0,01, а х % -0,01х.
После второго снижения цены стоимость товара (2000-20х -0.01х
(2000-20х)р, что по условию задачи равно 1805 р..
Составим уравнение и решим его:
(2000-20х -0.01х (2000-20х)=1805;
0,2 х2 -40х +195 =0; 2х
2
- 400х +1950=0; х
2
- 200х +975=0; Получаем
корни х1=5 и х2=195. х2=195 не удовлетворяет смыслу задачи, т.к.
снижение цены не может превосходить 100%.
Ответ: каждый раз цена товара снижалась на 5%.
Задача 3. Хлебопекарня увеличила выпуск продукции на 50%.На
сколько процентов увеличится прибыль пекарни, если отпускная цена ее
продукции возросла на 10%, а ее себестоимость для пекарни, которая до
этого составляло
3
отпускной цены, увеличилось на 20%.
4
Выпуск
Отпускная Себе
продукции цена
стоимость
Прибыль
Вся
(на
прибыль
отпускной
цене)
28
Первоначально х
у
3
у
4
После
1,1у
3
у∙1,2у=0,9у 1,1у4
1,5х
изменений
3
4
1
4
у - у= у
ху
4
0,3 ху
0,9у=0,2у
Прибыль увеличилась на 0,3 ху-0,25 ху=0,05ху, что в процентах составило
0,05 ху  4
 100%  20%
ху
Ответ: 20%.
Занятие 15. Решение задач на проценты.
Задачи для прорешивания, и самостоятельной работы.
Задача 1. В пансионате в прошлом году отдыхало 1100 мужчин и
женщин. В этом году число отдыхающих мужчин уменьшилось на 20%, а
число женщин увеличилось на 30%. Сколько мужчин и женщин отдыхало
в пансионате в этом году, если известно, что всего в этом году отдыхало
1130 человек?
Ответ: в этом году в пансионате отдыхали 650 женщин и 480
мужчин.
Задача 2.Студент купил две книги за 130 рублей. Если бы первая
книга стоила на 20% дороже, а вторая – на 25% дешевле, то их цены были
бы одинаковы. Сколько рублей стоит вторая книга?
Ответ: 80р.
Задача 3. Торговая база поставила магазину кафельную плитку по
оптовой цене, которая на 25% больше цены изготовителя. Магазин
продавал эту плитку по цене, которая на 15% больше оптовой. Но в конце
месяца снизил цену на 10%. Сколько рублей по отношению к цене
изготовителя переплачивает покупатель за 1м2 плитки. Покупая её в конце
месяца по цене 1035 рублей за 1м2 ?
Ответ: 235р.
Занятие 16 . Разные задачи.
29
Задача
1.Для
сада
выделен
прямоугольный
участок
земли
определенной площади. Длина изгороди, которой будет обнесен сад,
окажется меньшей, если прямоугольный участок заменить квадратным той
же площади. Для этого надо длину участка уменьшить на 40 м, а ширину
увеличить на 30м. Какова сторона квадратного участка?
Пусть сторона квадратного участка равна х м.
Длина
Ширина
Площадь
Прямоугольный участок
х+40
х-30
(х+40)(х-30)
Квадратный участок
х
х
х2
По условию задачи прямоугольный и квадратный участки равновелики,
(х+40)(х-30) = х2;;
х2+40х -30х -1200= х2;
10х=1200;
х=120.
Ответ: сторона квадратного участка равна 120 метрам.
Задача 2.В прямоугольной крышке, размеры которой 15 см и 30см,
надо вырезать прямоугольное отверстие площадью 100см2 так, чтобы его
края были на одинаковом расстоянии от краев крышки. На каком
расстоянии от края крышки должен быть край отверстия?
Пусть края отверстия находятся на расстоянии х см от краев крышки.
Длина
Ширина
Площадь
Прямоугольная крышка
30
15
450
Прямоугольное
30-2х
15-2х
(30-2х)(15-2х)
отверстие
Отверстие имеет форму прямоугольника и площадь, равную 100см2 .
Составим и решим уравнение:
(15-2х)(30-2х)=100, отсюда получаем х=5.
Ответ: края отверстия должны отстоять от краев крышки на расстоянии 5
см.
30
Задачи для прорешивания, и самостоятельной работы.
Задача 3.Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого
на 10 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со
стороной 5 см и сделали коробку. Объем коробки 100см3. Найдите размеры
жести.
Задача 4. Коробка без крышки имеет форму прямоугольного
параллелепипеда с квадратным основанием. Площадь дна коробка на 176
см2 больше площади поверхности её боковых сторон. Высота коробки10см.
Найдите площадь дна коробки.
Занятие 17. Итоговый урок. Контрольная работа.
Задача 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 210см, а
его гипотенуза 37см. Найти периметр этого треугольника.
Задача 2. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24км от А,
одновременно отправились
прибыл в пункт В на 4
бы
велосипедист
пешеход и
часа
велосипедист. Велосипедист
раньше пешехода. Известно, что если
ехал с меньшей на 4 км/ч
на путь из А в В он затратил
бы
вдвое
скоростью,
меньше
то
времени,
чем пешеход. Найти скорость пешехода.
Задача 3. Масса
первого
сплава на 3кг больше массы
второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй – 40%
цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20%
цинка. Определите массу нового сплава.
31
Список используемой литературы для учителя
1. Алгебра 9 класс: сборник заданий для проведения письменного
экзамена по алгебре за курс основной школы. Текст./ Л.В.Кузнецова и др.
- М.: Дрофа, 2002. – 192 с.
2. Кузнецова
Л.В.
Государственная
итоговая
аттестация
выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра.2010/ФИПИ. Текст./ Л.В.
Кузнецова, С.Б. Суворова и др. - М.: Интеллект-Центр, 2010. – 128 с.
3. Кузнецова
Л.В.
Сборник
заданий
для
подготовки
к
государственной итоговой аттестации в 9 классе. Алгебра. Текст./ Л.В.
Кузнецова, С.Б. Суворова и др. - М.: «Просвещение», 2009. – 405 с.
4. Лахова Н.В. Решение текстовых задач в средних классах. Текст./
Н.В. Лахова // Математика в школе . - 1998. - №3. -С.17-23.
5. Лысенко
Ф.Ф.:
учебно-методическое
пособие.
Текст./
Ф.Ф.Лысенко. - Ростов -на -Дону: Легион, 2008. - 256 с.
6. Лысенко Ф.Ф.: учебно-тренировочные тесты. Математика ЕГЭ2009. Текст./ Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009. - 336 с.
Список используемой литературы для ученика
2. Кузнецова Л.В. Государственная итоговая аттестация выпускников
9 классов в новой форме. Алгебра.2010/ФИПИ. Текст./ Л.В. Кузнецова,
С.Б. Суворова и др. - М.: Интеллект-Центр, 2010. – 128 с.
3.
Кузнецова
Л.В.
Сборник
заданий
для
подготовки
к
государственной итоговой аттестации в 9 классе. Алгебра. Текст./ Л.В.
Кузнецова, С.Б. Суворова и др. - М.: «Просвещение», 2009. – 405 с.
4. Лысенко Ф.Ф.: учебно-тренировочные тесты. Математика ЕГЭ2009-2012. Текст./ Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009. 336 с.