Алгебра и геометрия - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
КУТРУНОВ В.Н.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
10.03.01 « Информационная безопасность»
профиль подготовки: «Безопасность распределенных систем».
Очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2014
2
Кутрунов В.Н. АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 10.03.01 «Информационная безопасность»,
профиль подготовки: «Безопасность распределенных систем». Форма обучения - очная.
Тюмень, 2014. 68 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрОП ВПО.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Алгебра и
геометрия, [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru , свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Кутрунов В.Н., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1.Цели и задачи дисциплины

Целями освоения дисциплины «Алгебра и геометрия» являются: получение
базовых знаний по алгебре и геометрии: ознакомить студентов с фундаментальными
понятиями и методами линейной алгебры: теорией матриц, линейных уравнений,
неравенств, линейных пространств и линейных операторов;

дать введение в задачи и методы общей алгебры: теории групп, колец, полей и
алгебр;

дать понятие о задачах и методах теории вещественных и комплексных чисел, а
также теории многочленов;

развить у студентов аналитическое мышление и общую математическую
культуру;

привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную
литературу в области математики.

применять полученные знания для решения алгебраических и геометрических
задач в различных приложениях.
Получаемые знания лежат в основе математического образования, необходимы для
понимания и освоения всех курсов математики, компьютерных наук и их приложений,
естественным образом связанных с профессиональной деятельностью в области
информационной безопасности, насыщенной компьютерными технологиями с глубоким
проникновением в них методов математики.
Задачи изучения дисциплины: изучить материал дисциплины; усвоить основные
понятия; приобрести навыки самостоятельного анализа фактов, навыки постановки и
решения задач алгебры и геометрии с целью перенесения соответствующих методов в
область информационной безопасности.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина входит в базовую часть Б2. Математический и естественнонаучный
цикл.
С курса высшей алгебры и аналитической геометрии начинается математическое
образование. Знания, полученные в этом курсе, используются в математическом анализе,
основах информационной безопасности, теории вероятностей и математической
статистике, управлении информационными ресурсами, криптографических методах
защиты информации, в алгоритмах компьютерной обработки данных и других
математических и компьютерных дисциплинах.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
4
1
Математический анализ
+
+
+
2
Теория вероятностей и
математическая статистика
Физика
+
+
+
+
+
+
+
+
3
Основы информационной
безопасности
Криптографические
протоколы
Управление
информационными рисками
Криптографические методы
защиты информации
Эллиптические кривые и
защита информации
Структуры и алгоритмы
компьютерной обработки
данных
4
5
6
7
8
9
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2 семестр
1.1
1
2
3
4
5
6
Теория вероятностей и
математическая статистика
Основы информационной
безопасности
Криптографические
протоколы
Криптографические методы
защиты информации
Эллиптические кривые и
защита информации
Структуры и алгоритмы
компьютерной обработки
данных
+
1.2
1.3
2.1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2.2
2.3
+
+
+
3.1
3.2
+
+
+
+
Дисциплина «Алгебра и геометрия» базируется на математических знаниях
студентов, полученных в рамках школьной программы.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы
В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими
общекультурными компетенциями (ОК):
5
способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и
выбору путей её достижения, владеть культурой мышления (ОК-8);
способностью критически оценивать свои достоинства и недостатки, определять
пути и выбрать средства развития достоинств и устранения недостатков (ОК-12).
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями
(ПК):
способностью использовать основные естественнонаучные законы, применять
математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК-1).
1.4.Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать основные понятия алгебры и аналитической геометрии, определения и
свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы
их доказательства, возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном
моделировании объектов и явлений.
Уметь решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
алгебры и геометрии трехмерного евклидова (аффинного) пространства и проективной
плоскости, доказывать утверждения.
Владеть математическим аппаратом алгебры и аналитической геометрии,
аналитическими методами исследования объектов.
2.Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр второй. Форма промежуточной аттестации – зачет.
Семестр третий Форма промежуточной аттестации – экзамен. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 академических часа, из них 151,25
выделенных на контактную работу с преподавателем, 100,75 часа, выделенных на
самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия(всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Всего
часов
151,25
144
72
72
7,25
100,75
252
7
Таблица 2.
Семестры
2
3
74,6
72
36
36
2,6
33,4
108
3
зачет
76,65
72
36
36
4,65
67,35
144
4
экзамен
6
3.Тематический план.
Таблица 3.
№
Виды учебной работы
и самостоятельная
работа, в час.
3
4
5
6
7
8
10
1-2
4
4
4
12
1
0-11
1.2 Определители
3-4
4
4
4
12
1
0-11
1.3 Системы линейных
алгебраических
уравнений.
5-6
4
4
4
12
1
0-11
12
12
12
36
3
0-33
Всего
Модуль 2
ая работа *
2
Семестр 2
Модуль 1
1.1 Матрицы.
1
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
Лекции*
Итого
Из них
количество
в
баллов
интерактивн
ой
форме
недели семестра
Тема
Итого
часов
по
теме
2.1
Векторная алгебра.
Скалярное и
векторное
произведения в
векторной алгебре
7-8
4
4
4
12
1
0-11
2.2
Системы координат.
Скалярное и
векторное
произведения в
координатной форме.
910
4
4
4
12
1
0-11
2.3
Преобразование
координат. Системы
координат
1112
4
4
4
12
1
0-11
7
специального типа.
Всего
12
12
12
36
3
0-33
Модуль 3
3.1
Прямая на плоскости
и плоскость в
пространстве
1315
6
6
4
16
1
0-14
3.2
Частные случаи
16линий и поверхностей 17
второго порядка.
Эллипс парабола и
гипербола
4
4
4
12
1
0-10
2
2
4
8
Всего *
12
12
12
36
2
0-34
Итого семестр
36
36
36
108
8
0-100
4
4
1-2
4
4
8
16
1
0-11
1.2 Поле комплексных
чисел
3-4
4
4
8
16
1
0-11
1.3 Кольцо многочленов
5-6
4
4
8
16
1
0-11
12
12
24
48
3
0-33
3.3 Общая теория линий
и поверхностей
второго порядка
18
0-10
2 *(часов, баллов)
Из них часов в
интерактивной форме
8
Семестр 3
n Модуль 1
1.1 Элементы общей
алгебры.
Группы, кольца, поля.
Всего
Модуль 2
8
2.1 Линейное векторное
пространство
7-8
4
4
8
16
1
0-11
2.2 Линейное
пространство над
произвольным полем
910
4
4
8
16
1
0-11
2.3 Евклидовы и
унитарные
пространства
1112
4
4
8
16
1
0-11
12
12
24
48
3
0-33
Всего
Модуль 3
3.1 Линейные операторы
и функционалы
1315
6
6
10
22
1
0-14
3.2 Билинейные и
квадратичные формы
1618
6
6
14
26
1
0-20
Всего*
12
12
24
48
2
0-34
Итого семестр 3*
(часов, баллов):
36
36
72
144
8
0-100
Из них часов в
интерактивной форме
4
4
8
Итого за второй и
72
72
72
252
16
третий семестр*
*- учетом иных видов работ
4.Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
№ темы
колло
квиум
ы
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
Письменные
работы
Устный опрос
-
-
Итого
количество
баллов
собеседов
ание
ответ на
семинаре
контрольная
работа
0-3
0-3
0-3
0-9
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
0 - 11
0 - 11
0 - 11
0 - 33
0-3
0-3
0-4
0-4
0-4
0-4
0 - 11
0 - 11
9
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
3.3.
Всего
Итого
семестр 2
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
семестр 3
5
5
0-5
-
-
0-6
0-6
0-6
0-3
0-9
0-4
0-12
0-4
0-12
0 - 11
0 - 33
0-4
0-2
0-1
0-7
0-25
0-5
0-4
0-2
0-11
0-35
0-5
0-4
0-2
0-11
0-35
0-14
0-10
0-10
0-34
0 - 100
0-3
0-3
0-3
0-9
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
0 - 11
0 - 11
0 - 11
0 - 33
0-3
0-3
0-3
0-9
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
0 - 11
0 - 11
0 - 11
0 - 33
0-4
0-4
0-8
0-26
0-5
0-5
0-10
0-34
0-5
0-5
0-10
0-34
0-14
0-20
0-34
0 - 100
5.Содержание дисциплины.
В этом разделе материал структурирован на достаточно мелкие порции, так что
каждый пронумерованный пункт одновременно является и вопросом для подготовки к
зачету и экзамену.
Семестр 2
Модуль 1
1.1 Матрицы.
1. Матрицы. Определение, основные понятия и обозначения.
2. Равные матрицы. Противоположные матрицы. Операция сложения матриц и ее
свойства. Вычитание матриц.
3. Операция произведения матриц на число и ее свойства.
4. Операция произведения матриц и ее свойства.
5. Операция транспонирования матриц и ее свойства.
6. Матрицы специального вида.
7. Элементарные преобразования матриц и матрицы, соответствующие элементарным
преобразованиям. Трапецевидная матрица. Основные теоремы об элементарных
преобразованиях матриц.
1.2. Определители.
10
8. Основное определение определителя. Вычисление определителя треугольной
матрицы по определению.
9. Свойства определителя и доказательство одного из них.
10. Понятие минора и его алгебраического дополнения.
11. Теорема Лапласа о разложении определителя по минорам произвольных k строк
(столбцов). Частный случай разложения определителя по произвольной строке
(столбцу).
12. Теоремы о вычислении определителя квазидиагональной матрицы и определителя
произведения матриц.
13. Вычисление определителя методом Гаусса.
14. Доказательство теоремы о «фальшивом » разложении определителя.
15. Понятие об обратной, вырожденной и присоединенной матрицах. Свойства
обратной матрицы.
16. Критерий обратимости матрицы и ее вычисление с помощью присоединенной
матрицы (доказательство теоремы).
17. Теорема о приведении невырожденной матрицы к единичной матрице.
18. Решение систем алгебраических уравнений с невырожденной матрицей методом
обратной матрицы и методом Жордана.
19. Понятие о ранге матрицы.
20. Теоремы о ранге матрицы. Теоремы о преобразованиях матрицы, не меняющих ее
ранг.
21. Теоретическая основа метода Гаусса вычисления ранга.
22. Понятие об эквивалентных матрицах и о необходимом и достаточном условии их
эквивалентности.
1.3. Системы линейных алгебраических уравнений.
23. Система линейных алгебраических уравнений. Основные понятия и формы записи.
Эквивалентные преобразования системы уравнений.
24. Теорема об умножении системы Ax  b на невырожденную матрицу.
25. Произвольная невырожденная матрица как произведение матриц элементарных
преобразований.
26. Решение систем уравнений с невырожденной матрицей методом Крамера.
27. Алгебраические системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера- Капели.
28. Однородные алгебраические системы.
29. Главные и свободные неизвестные алгебраической системы общего вида и техника
получения всех решений.
30. Общее решение системы уравнений.
31. Метод Гаусса исследования и решения системы линейных уравнений.
Направленные отрезки. Равенство направленных отрезков.
Модуль 2
2.1. Векторная алгебра. Скалярное и векторное произведения в векторной алгебре.
32. Направленные отрезки. Равенство направленных отрезков. Отношение отрезков.
33. Понятие свободного вектора. Сложение векторов.
34. Умножение вектора на число.
35. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
36. Угол и направленный угол (на плоскости) между векторами. Скалярное и
векторное произведения векторов в векторной алгебре.
2.2. Системы координат. Скалярное и векторное произведения в координатной
форме.
11
37. Координаты на прямой.
38. Базис и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в
координатах.
39. Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном
отношении.
40. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками.
41. Ортонормированные базисы и реперы.
42. Скалярное и векторное произведения векторов в координатной форме.
2.3 Преобразование координат. Системы координат специального типа.
43. Преобразования координат при повороте или сдвиге декартовой системы
координат.
44. Полярные координаты на плоскости.
45. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.
Модуль 3
3.1 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве.
46. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой
и плоскости.
47. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных.
48. Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных.
49. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости. Пучки прямых на
плоскости и плоскостей в пространстве.
50. Разбиение плоскости и пространства соответственно прямой и плоскостью.
51. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой.
52. Угол между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.
3.2. Частные случаи линий и поверхностей второго порядка. Эллипс, парабола и
гипербола.
53. Канонические уравнения эллипса.
54. Канонические уравнения параболы.
55. Канонические уравнения гиперболы.
56. Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к каноническому
виду.
57. Виды линий второго порядка.
3.3. Общая теория линий и поверхностей второго порядка.
58. Алгебраические линии и поверхности.
59. Распадающиеся линии и поверхности.
60. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения.
61. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.
62. Прямолинейные образующие поверхностей.
Семестр 3
Модуль 1
1.1. Элементы общей алгебры. Группы, кольца, поля.
63. Декартово произведение множеств.
64. Понятие алгебраической операции (внутренней композиции). Коммутативные и
ассоциативные алгебраические операции. Нейтральный и симметричный элементы
относительно алгебраической операции и теоремы об их единственности.
Определение операции, обратной к алгебраической. Дистрибутивные
алгебраические операции.
65. Определение группы и общепринятые обозначения группы. Абелевы группы.
12
66. Мультипликативное и аддитивное задание группы. Сходство и различие в
основной терминологии.
67. Перестановки и мультипликативная группа подстановок.
68. Аддитивная группа вычетов.
69. Понятие о инъективном, сюръективном и биективном отображениях. Определение
изоморфизма групп.
70. Определение кольца. Анализ аксиом кольца. Свойства кольца относительно
алгебраической операции сложения, относительно алгебраической операции
умножения. Аксиома дистрибутивности.
71. Коммутативное кольцо и кольцо с единицей. Свойства кольца. Понятие о
делителях нуля. Изоморфизм колец.
72. Кольцо вычетов.
73. Определение поля, свойства поля.
74. Примеры полей.
1.2. Поле комплексных чисел.
75. Равенство, сумма и произведение комплексных чисел.
76. Представление комплексных чисел через мнимую единицу.
77. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства.
78. Комплексная плоскость и сложение комплексных чисел на плоскости.
79. Комплексные числа в тригонометрической форме. Модуль и аргумент
комплексного числа. Свойства аргумента. Равенство комплексных чисел, заданных
в тригонометрической форме.
80. Неравенство треугольника на комплексной плоскости.
81. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
82. Формула Муавра возведения комплексных чисел в целую степень.
83. Вычисление корней из комплексного числа. О возведении комплексного числа в
рациональную степень.
1.3. Кольцо многочленов.
84. Кольцо многочленов.
85. Деление многочленов с остатком; теорема Безу.
86. Корни многочлена, их кратность. Формулы Виета связи корней и коэффициентов
многочлена.
87. Наибольший общий делитель многочленов и алгоритм Евклида его нахождения.
Модуль 2
2.1. Линейное векторное пространство.
88. Определение вещественного линейного пространства (векторное пространство),
аксиомы внутреннего и внешнего законов композиции. Понятие разности
элементов (векторов) пространства.
89. Классические примеры линейных пространств.
90. Понятие о базисе линейного пространства. Теорема о необходимом и достаточном
признаке базиса. Размерность пространства.
91. Понятие о конечномерном и бесконечномерном линейных пространствах.
92. Базис и координаты вектора. Сложение векторов и умножение вектора на число в
координатной форме.
93. Два базиса n-мерного пространства и матрицы взаимного преобразования базисов.
Связь координат вектора, заданного в двух базисах. Понятие о линейном
подпространстве и линейном многообразии.
94. Тривиальные и нетривиальные линейные комбинации элементов (векторов).
Понятие линейной зависимости и независимости векторов.
2.2. Линейное пространство над произвольным полем.
13
95. Определение линейного (векторного) пространства над произвольным полем.
96. База и ранг системы векторов. Базис линейного пространства.
97. Примеры: рациональное, вещественное и комплексное пространства.
98. Пример: поле вычетов по модулю два (состоит всего из двух элементов: 0,1).
99. Определение изоморфизма пространств над общим полем.
2.3. Евклидовы и унитарные пространства.
100.
Определение евклидова и унитарного пространств. Примеры таких
пространств.
101.
Определение скалярного произведения в вещественном или комплексном
пространствах. Аксиомы скалярного произведения.
102.
Скалярное произведение в вещественном пространстве – частный случай
скалярного произведения в комплексном пространстве.
103.
Неравенство Коши-Буняковского.
104.
Неравенства треугольника.
105.
Определение матрицы Грама и ее свойства.
106.
Вычисление скалярного произведения векторов при наличии
базиса евклидова (унитарного) пространства с помощью матрицы Грама.
107.
Определение изоморфизма евклидовых (унитарных)
пространств.
108.
Ортогональные векторы. Линейная независимость системы
ортонормированных векторов. Базис евклидова (унитарного) пространства.
109.
Вычисление координат вектора в пространстве с
ортонормированным базисом. Вычисление скалярного произведения.
Модуль 3
3.1. Линейные операторы и функционалы.
110.
Определение линейного оператора, действующего из пространства V в
пространство W, заданных над общим полем. Свойства линейного пространства:
сохранение нулевого элемента, сохранение линейной комбинации и сохранение линейной
зависимости.
111.
Функционал, как частный случай линейного оператора.
112.
Примеры линейных операторов: оператор проектирования,
оператор
отражения,
нулевой
оператор,
единичный
оператор,
оператор
дифференцирования, линейный оператор-«изоморфизм линейных пространств».
113.
Теорема о связи базиса n- мерного пространства V c
произвольной системой n векторов пространства W,
устанавливаемой с помощью оператора A:V→W.
114.
Матрица Afe оператора A в паре базисов e и f и ее
однозначность.
115.
Использование матрицы Afe оператора A для преобразования
векторов из пространства V в пространство W.
116.
Связь матриц оператора A, преобразующего пространство в себя,
заданных в разных базисах.
3.2. Билинейные и квадратичные формы.
117.
Билинейные формы. Определения. Способы записи билинейной
формы в конечномерном пространстве с заданным базисом. Матрица билинейной формы.
118.
Теорема о связи матриц билинейной формы, заданной в разных
базисах.
119.
Симметричная билинейная форма и ее связь с симметричной
матрицей.
14
120.
Вырожденные и невырожденные билинейные формы.
121.
Квадратичные формы и полярные к ним формы. Связь матриц
данной квадратичной формы, заданной в разных базисах. Компактная запись
квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
122.
Канонический базис и канонический вид квадратичной формы.
Канонический вид билинейной формы.
123.
Метод Якоби получения канонической формы квадратичной
формы и условия его применения.
124.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
125. Критерий Сильвестра положительно (отрицательно) определенной квадратичной
формы.
15
6.Планы семинарских занятий.
№
Тема аудиторных семинарских занятий
ая работа*
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
Лекции
недели семестра
Модули
Виды учебной работы в
часах.
3
4
5
6
7
1.1
2
Семестр 2
Модуль 1
Матрицы.
1-2
4
4
4
1.2
Определители.
3-4
4
4
4
1.3
Системы
линейных
алгебраических
уравнений.
5-6
4
4
4
Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц. Матрицы специального
вида. Элементарные преобразования матриц. Квадратные матрицы. Алгебра квадратных
матриц.
Перестановки. Вычисление определителя с использованием его свойств. Миноры и
алгебраические дополнения. Вычисление определителя по теореме Лапласа. Вычисление
определителя методом Гаусса. Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с помощью
присоединенной матрицы. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Жордана.
Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы, в том числе, методом Гаусса. Решение систем
линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы и Крамера. Системы общего
вида, выяснение их совместности или несовместности по теореме Кронекера Капелли.
Выявление главных и свободных неизвестных системы уравнений. Приведение системы
уравнений к системе с трапецевидной матрицей методом элементарных преобразований.
Вычисление общего решения системы методом Гаусса. Однородные системы уравнений.
Представление общего решения системы уравнений через частное решение неоднородной и
общее решение однородной систем.
12
12
12
1
Всего
16
Модуль 2
2.1
Векторная
алгебра.
Скалярное и
векторное
произведения в
векторной
алгебре.
7-8
4
4
4
Понятие свободного вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Линейная
зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базис
и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах. Скалярное и
векторное произведения векторов в векторной алгебре.
2.2
Системы
координат.
Скалярное и
векторное
произведения в
координатной
форме.
9-10
4
4
4
Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении.
Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и направленный угол
(на плоскости) между векторами. Скалярное произведение векторов. Ортонормированные
базисы и реперы.
2.3
Преобразование координат.
Системы
координат
специального
типа.
11-12
4
4
4
Преобразование аффинных координат вектора и точки. Ортогональные матрицы.
Преобразование прямоугольных координат вектора и точки. Ориентации плоскости и
пространства. Ориентированные площади и объем параллелепипеда. Смешанное
произведение векторов. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические
координаты в пространстве.
17
Всего
12
12
12
Модуль 3
3.1
Прямая на
плоскости и
прямая и
плоскость в
пространстве.
13-15
6
6
4
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой и
плоскости. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных. Плоскость
и уравнение первой степени от трех переменных. Взаимное расположение двух плоскостей,
прямой и плоскости. Разбиение плоскости прямой и пространства плоскостью. Расстояния от
точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой. Угол между прямыми,
плоскостями, прямыми и плоскостями.
3.2
Частные
случаи линий и
поверхностей
второго
порядка.
Эллипс,
парабола и
гипербола.
Общая теория
линий и
поверхностей
второго
порядка.
16-17
4
4
4
Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы.
18
2
2
4
Всего
12
12
12
Итого семестр
2* (часов,
36
36
36
3.3
Алгебраические линии и поверхности. Распадающиеся линии и поверхности.
Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения. Эллипсоиды.
Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей. Приведение
многочлена второго порядка от трех переменных к каноническому виду. Виды поверхностей
второго порядка.
18
баллов)
Из них часов в
интерактивной
форме.
4
4
1-2
4
4
8
Простейшие примеры числовых множеств, образующие группы по сложению или
умножению.
Подробный разбор аддитивной группы вычетов. Примеры изоморфных групп. Простейшие
примеры числовых колец. Подробный разбор кольца вычетов. Примеры изоморфизма колец
Определение полей. Простейшие числовые поля.
Семестр 3
n
1.1
Модуль 1
Элементы
общей алгебры.
Группы,
кольца, поля.
1.2
Поле
комплексных
чисел.
3-4
4
4
8
Поле комплексных чисел. Вычисления с комплексными числами. Вычисления с
использованием тригонометрической формы. Формула Муавра. Корни комплексного числа.
1.3
Кольцо
многочленов.
5-6
4
4
8
Многочлены над произвольным полем. Операции сложения и умножения многочленов.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Корни
многочлена. Разложение многочлена в произведение n линейных множителей. Формулы
Вьета. Многочлены над полем действительных чисел и их разложение на неразложимые
множители.
12
12
24
Всего
19
Модуль 2
2.1
Линейное
векторное
пространство.
7-8
4
4
8
Геометрические векторы. Вещественное линейное пространство. Линейная зависимость и
независимость векторов. Базис и координаты. Линейное пространство и линейное
многообразие.
2.2
Линейное
пространство
над
произвольным
полем.
9-10
4
4
8
Примеры линейных пространств над произвольным полем. Примеры: рациональное,
вещественное и комплексное пространства.
Пример: поле вычетов по модулю два (состоит всего из двух элементов: 0,1).
2.3
Евклидовы и
унитарные
пространства.
11-12
4
4
8
Примеры введения скалярного произведения в вещественных и комплексных пространствах.
Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в евклидовом и унитарном пространствах.
Матрица Грама, линейная независимость векторов и базис в евклидовом и унитарном
пространствах. Изоморфизм евклидовых или унитарных пространств. Ортонормированный
базис, вычисление координат векторов. Унитарная и ортогональная матрицы.
12
12
24
Всего
Модуль 3
3.1
Линейные
операторы и
функционалы.
13-15
6
6
10
Примеры линейных операторов и функционалов. Примеры операторов, не являющихся
линейными. Вычисление матрицы различных операторов в паре базисов. Подобие матриц.
Матрицы линейных операторов в разных базисах. Обратный оператор.
3.2
Билинейные и
квадратичные
формы.
16-18
6
6
14
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Выяснение
положительной определенности квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра.
Квадратичные формы в вещественном пространстве. Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы. Квадратичные формы в комплексном
20
пространстве. Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве.
Всего
12
12
24
Итого семестр
3* (часов,
баллов)
36
36
36
72
72
108
Итого за
второй и
третий
семестр*
*- учетом иных видов работ
21
7.Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторные работы отсутствуют
8.Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы по дисциплине отсутствуют.
9.Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица 5.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Семестр 2
Модуль 1
1.1 Матрицы.
1.2
Определители
1.3
Системы
линейных
алгебраических
уравнений.
Виды СРС
обязательные
дополнительны
е
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 1
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 1
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 1
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Векторная
Индивидуальное
алгебра.
домашнее
Скалярное и
расчетное
векторное
задание 2
произведения в
векторной
алгебре
2.2
Системы
координат.
Скалярное и
векторное
произведения в
координатной
форме.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 2
Неделя
семестра
Объе Кол-во
м
баллов
часов
*
Чтение
дополнительной
литературы
1-2
4
0 - 11
Знакомство с
содержанием
электронных
источников
3-4
4
0 - 11
5-6
4
0 - 11
12
0-33
7-8
4
0 - 11
9-10
4
0 - 11
Чтение
дополнительной
литературы
2.3
Преобразование
координат.
Системы
координат
специального
типа.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 2
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Прямая на
Индивидуальное
плоскости и
домашнее
плоскость в
расчетное
пространстве
задание 3
3.2
3.3
Частные случаи
линий и
поверхностей
второго порядка.
Эллипс парабола
и гипербола
Общая теория
линий и
поверхностей
второго порядка
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 3
Всего по модулю 3:
ИТОГО семестр 2*
Семестр 3
Модуль 1
1.1 Элементы общей Индивидуальное
алгебры.
домашнее
расчетное
Группы, кольца, задание 4
поля.
4
0 - 11
12
33
13-15
4
0-14
16-18
4
0-10
4
0-10
12
36
0-34
0-100
1-2
8
0 - 11
11-12
1.2
Поле
комплексных
чисел
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 4
3-4
8
0 - 11
1.3
Кольцо
многочленов
Индивидуальное
домашнее
расчетное
5-6
8
0 - 11
23
задание 4
Всего по модулю 1:
Модуль 2
24
0-33
2.1
Линейное
векторное
пространство
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 5
7-8
8
0 - 11
2.2
Линейное
пространство
над
произвольным
полем
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 5
9-10
8
0 - 11
2.3
Евклидовы и
унитарные
пространства
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 5
11-12
8
0 - 11
24
0 - 33
13-15
10
0-14
16-18
14
0-20
24
72
0-34
0-100
Всего по
модулю 2:
Модуль 3
3.1
.
Линейные
операторы и
функционалы
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 6
3.2
.
Билинейные и
квадратичные
формы
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание 6
Всего по модулю 3:
ИТОГО семестр 3*
*- учетом иных видов работ
Чтение
дополнительной
литературы
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
24
Индекс
компетенции
ОК-12
ПК-1
История
математики
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теория вероятностей
и математическая
статистика *
3 семестр
Структуры и
алгоритмы
компьютерной
обработки данных
Физическая
культура *
+
философия *
+
Физическая
культура *
2 семестр
Аппаратные
средства
вычислительной
техники *
Алгебра и
геометрия *
Математический
анализ *
Физическая
культура *
1 семестр
Правоведение *
Алгебра и
геометрия *
История создания
ИКТ
Циклы,
дисциплины
(модули) учебного
плана ОП
Физическая
культура *
Математический
анализ*
ОК-8
Дискретная
математика *
Информатика*
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
ВЫДЕРЖКА ИЗ МАТРИЦЫ
Соответствия компетенций, составных частей образовательной программы
Циклы Б1-Б4 дисциплины (модули)
4 семестр
+
+
ОК-8
ОК-12
+
ПК-1
Б6 ГИА
+
+
+
ВКР
Производственная
практика
Учебная практика
Эллиптические
кривые и защита
информации
+
+
Б5 практика /НИР
6 семестр
Физическая
культура*
5 семестр
Безопасность
жизнедеятельности *
Индекс
компетенции
Циклы Б1-Б4 дисциплины (модули)
Физическая
культура*
Циклы,
дисциплины
(модули) учебного
плана ОП
+
+
+
+
+
+
Дисциплины базовой части отмечены знаком *
26
10.2 Описание показателей
оценивания:
и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
Таблица 6.
ОК-8
Код компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные понятия и Знает: основные понятия и
утверждения
утверждения, а также методы
доказательства стандартных
утверждений
Умеет: решать
Умеет: решать стандартные
простейшие задачи
задачи вычислительного и
вычислительного и
теоретического характера
теоретического характера линейной алгебры и
линейной алгебры и
аналитической геометрии
аналитической геометрии
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные понятия и
утверждения, а также методы
доказательства утверждений
Умеет: решать задачи
вычислительного и
теоретического характера
линейной алгебры и
аналитической геометрии
Виды занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства (тесты,
творческие
работы, проекты
и др.)
Лекции,
практические
занятия
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания
27
ОК-12
Владеет: математическим
аппаратом линейной
алгебры и аналитической
геометрии,
аналитическими методами
исследования
алгебраических и
геометрических объектов
в простейших случаях
Знает: О том, что
необходимо критически
относиться к простейшим
собственным
формулировкам
утверждений из области
алгебры и геометрии
Умеет: видеть неточности
в собственных
простейших утверждениях
из алгебры и геометрии
Владеет: методами
анализа и исправления
собственных простейших
утверждений из алгебры и
геометрии
Владеет: математическим
аппаратом линейной алгебры
и аналитической геометрии,
аналитическими методами
исследования алгебраических
и геометрических объектов в
стандартных случаях
Владеет: математическим
аппаратом линейной алгебры
и аналитической геометрии,
аналитическими методами
исследования алгебраических
и геометрических объектов
Знает: О том, что необходимо
критически относиться к
стандартным собственным
формулировкам утверждений
из области алгебры и
геометрии
Знает: О том, что необходимо
критически относиться к
собственным формулировкам
утверждений из области
алгебры и геометрии
Умеет: видеть неточности в
собственных стандартных
утверждениях из алгебры и
геометрии
Владеет: методами анализа и
исправления собственных
стандартных утверждений из
алгебры и геометрии
Умеет: видеть неточности в
собственных утверждениях из
алгебры и геометрии
Лекции,
практические
занятия
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания
Владеет: методами анализа и
исправления собственных
утверждений из алгебры и
геометрии
28
ПК-1
Знает: О необходимости
использования в
компьютерных
технологиях простейших
методов алгебры и
аналитической геометрии
Умеет: сообщать идеи,
проблемы использования
в компьютерных
технологиях простейших
методов алгебры и
аналитической геометрии,
как специалистам, так и
неспециалистам
Владеет: способами и
методами составления
сообщений об
использовании в
компьютерных
технологиях простейших
методов алгебры и
аналитической геометрии
Знает: О необходимости
использования в
компьютерных технологиях
методов алгебры и
аналитической геометрии в
стандартных ситуациях
Знает: О необходимости
использования в
компьютерных технологиях
методов алгебры и
аналитической геометрии в
любых ситуациях
Умеет: сообщать решения,
идеи, и проблемы
использования в
компьютерных технологиях
простейших методов алгебры и
аналитической геометрии как
специалистам, так и неспециалистам, используя
диапазон качественной и
количественной информации в
стандартных ситуациях
Умеет: сообщать решения,
идеи, и проблемы
использования в
компьютерных технологиях
простейших методов алгебры
и аналитической геометрии
как специалистам, так и неспециалистам, используя
диапазон качественной и
количественной информации
Владеет: способами и
методами составления
сообщений о использовании в
компьютерных технологиях
простейших методов алгебры и
аналитической геометрии в
стандартной ситуации
Владеет: способами и
методами составления
сообщений об использовании
в компьютерных технологиях
простейших методов алгебры
и аналитической геометрии в
любой ситуации
Лекции,
практические
занятия
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания
29
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Вопросы к зачету (второй семестр) и экзамену (третий семестр) к каждому семестру
расписаны выше и соответствуют номерам пунктов раздела 5- Содержание дисциплины.
 Темы коллоквиума.
Коллоквиумы запланированы в конце каждого семестра. На коллоквиум выносятся
вопросы модулей:
Во втором семестре - вопросы 3.2, 3.3 модуля 3.
В третьем семестре – вопросы 3.1, 3.2 модуля 3.
Варианты контрольных работ
Контрольная работа №1.
1. Вычислить определитель:
1
4
 1 
1

2
2
3
2
1
3
2
1
2
4  5
1  11

2  9
 
1  11
5
9
8
9
4
4
3
4
6
5 
6

7
2. Решить систему уравнений методом Крамера:
 x1  2 x2  3x3  6

 x1  4 x2  3x3  8
2 x  6 x  9 x  17
2
3
 1
3. Решить матричное уравнение:
 2 1 2
 1 1 1  1 1 1 
 3 2 4   X   3 2 2   1 1 2 



 

5 3 7
 6 3 4  1 2 3 



 

Контрольная работа №2.
1. Вычислить ранг матрицы:
 7 4
 2 0

 3 4

 8 8
 15 12

12 11
21 9
30 7
63 5
75 6
2. Решить систему линейных уравнений:
2
16
34
36
38
4 
15 
26 

21 
17 
 2 x1  x2  3 x3  7 x4  5
 6 x  3x  x  4 x  7

1
2
3
4

 4 x1  2 x2  2 x3  3 x4  2
4 x1  2 x2  14 x3  31x4  18
3. Решить систему линейных однородных уравнений:
 2 x1  x2  3 x3  5 x4  0
 x  2x  2x  x  0
 1
2
3
4

 3 x2  7 x3  7 x4  0
 x1  4 x2  12 x3  13 x4  0
4. Известны координаты вектора
Найти
координаты
a  1, 2,  3, 2  в базисе
 e1, e2 , e3, e4  .
этого
в
 e1  e2  e3  e4 , e1  e2  e3, e1  e2 , e1  .
вектора
базисе
Контрольная работа № 3.
1. Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит
параллелограмм. Найдите координаты вектора SD в базисе {SA, SB, SC}.
2. В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM.
3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
его сторон.
4. Векторы

a
и
b образуют угол  

6
. Зная, что
a  1 и b  2 , вычислить
a  3b 3a  b .
Доказать, что abc   b(ac)  a(bc) .
2
5.
6. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,0,1),
С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на
оси ординат.
Контрольная работа № 4.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой
системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
3. Углы треугольника ABC.
4. Длину высоты СН.
5. Уравнение медианы АМ.
6. Уравнение высоты СН.
7. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
31
8. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
9. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
10. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Контрольная работа №5.
1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного в некотором базисе матрицей:
 1 3 1
 3 5 1


 3 3 1 


2. Вычислить в поле комплексных чисел:
4 64
3. Найти наибольший общий делитель многочленов:
x5  2 x 4  2 x 3  3 x  2 и x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  4 .
10.4. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на
семинарах).
Коллоквиумы;
Тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины;
Промежуточная аттестация:
Тестирование по дисциплине;
Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе:
неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем
оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы, сдачи коллоквиумов и результатов
тестирования. Эта оценка характеризует уровень информированности, практических умений и
навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и
навыки, а также критерии их оценивания приведены в таблице 6.
32
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется
на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а
также решения задач, примерный уровень которых соответствует уровню задач, приведенных в
п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень знаний, приобретенных
студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания и критерии их оценивания
приведены в таблице 6.
11.Образовательные технологии.
аудиторные занятия:
 лекционные и практические занятия (коллоквиумы, семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к
каждому семинару.
активные и интерактивные формы (лекционные и семинарские занятия в
диалоговом режиме).
внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа: Индивидуальные расчетные задания по
каждому модулю с индивидуальным (интерактивным) отчетом
преподавателю в конце каждой контрольной точки.
 индивидуальные консультации.
12.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1. Основная литература:
1. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учеб. для студ. ун-тов и
тех. вузов, обуч. по спец. "Математика", "Прикл. математика и информатика"/ В.
А. Ильин, Г. Д. Ким; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 3-е изд., перераб. и
доп.. - Москва: Проспект: Изд-во МГУ, 2008. - 400 с.
2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры: учебник для студ. вузов, обуч. по спец.
«Математика», «Прикладная математика»/ А. Г. Курош. – 17-е изд., стер. – СанктПетербург: Лань, 2008.-432 с.
12.2. Дополнительная литература:
1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра: учебное пособие / В.В. Воеводин. – 4-е изд.,
стер.- Санкт-Петербург: Лань. 2008. – 416 с.
2. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия: учеб. для студентов физ. спец. и спец.
"Прикл. мат./ В. А.Ильин, Э. Г. Позняк. - 7-е изд., стер. - Москва: Физматлит,
2009. - 234 с.
3. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры. Учеб./А.И. Мальцев.-5-е изд., стер. Санкт-Петербург: Лань,2009.-480 с.
4. Клетеник , Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник . 17-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Профессия, 2009. - 200 с.
5. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре / И.В Проскуряков.- СанктПетербург: Лань, 2008. -480 с.
6. Алгебра: Сборник индивидуальных контрольных заданий по алгебре для
студентов института математики и компьютерных наук: учебно-методический
комплекс / Горечин Е.Н. [и др.], отв.ред. В.Н. Кутрунов: Тюм. гос. ун-т, Ин-т
математики и компьютерных наук, - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2014.-38 с.
33
7. Геометрия: сборник индивидуальных контрольных заданий по аналитической
геометрии : дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля
знаний и промежуточной аттестации : учебно-методический комплекс / Л. В.
Абдубакова [и др.] ; отв. ред. В. Н. Кутрунов; Тюм. гос. ун-т, Ин-т математики и
компьютерных наук. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2014. - 64 с.
12.3. Интернет – ресурсы:
Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
Научная электронная библиотека ТюмГУ elibrary.ru: http://elibrary.ru /.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
Microsoft Word.
Microsoft Excel.
Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в
частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного освоения материала дисциплины необходимо перед каждым
занятием просматривать материал предыдущего занятия, так как новый материал подаётся
с учетом достигнутых знаний. Для повторения материала достаточно изучить конспект
лекций, с целью углубленного понимания материала нужно воспользоваться
рекомендованной литературой. Перед практическими занятиями обратить внимание на
примеры , приведённые в лекционном материале.
Для подготовки к контрольной работе следует решать типовые задачи,
представленные преподавателем в учебно-методическом комплексе для текущей
контрольной работы, повторить все изученные определения.
Для подготовки к зачету или экзамену рекомендуется проработать вопросы,
рассмотренные на лекционных и практических занятиях и вопросы, представленные в
учебно-методическом комплексе, используя конспект лекций и
основную и
дополнительную литературу.
Ниже приведены образцы решения некоторых типичных задач для подготовки к
контрольным работам, а также задания для самостоятельного решения.
ЗАДАЧИ по геометрии. Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной
декартовой системе координат. Найти:
34
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.
3. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
4. Периметр треугольника ABC.
5. Углы треугольника ABC.
6. Длину высоты СН.
7. Уравнение медианы АМ.
8. Уравнение высоты СН.
9. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
10. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
11. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
12. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
ВАРИАНТЫ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
А(-5,2); В(5,7); С(1,-1).
А(-1,11); В(14,6); С(2,2).
А(4,0); В(-6,-5); С(-2,3).
А(4,-8); В(-11,-3); С(1,1).
А(-11,-10); В(13,17); С(1,1).
А(-6,5); В(4,10); С(0,2).
А(-3,11); В(12,6); С(0,5).
А(2,-3); В(-10,-8); С(-6,0).
А(4,-2); В(-11,3); С(1,7).
А(-10,9); В(14,6); С(2,0).
А(-3,3); В(7,8); С(3,0).
А(-1,9); В(14,4); С(2,0).
А(10,-4); В(0,-9); С(4,-1).
А(-1,-7); В(-16,0); С(-4,2).
А(-12,11); В(12,18); С(0,3).
А(2,9); В(12,14); С(8,6).
А(0,16); В(15,5); С(3,1).
А(1,-2); В(-9,-7); С(-5,1).
А(0,-6); В(-15,-1); С(-3,3).
А(-9,9); В(15,16); С(3,0).
А(-7,7); В(3,12); С(-1,4).
А(-2,12); В(13,7); С(1,3).
А(7,-6); В(-3,11); С(1,-3).
А(1,-5); В(-14,0); С(-2,4).
А(-4,15); В(20,22); С(8,6).
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
А(-5,8); В(5,13); С(1,5).
А(1,7); В(16,2); С(4,-2).
А(9,-5); В(-1,-10); С(3,-2).
А(4,-10); В(-11,-5); С(1,-1).
А(-13,13); В(11,20); С(-1,4).
А(1,4); В(11,9); С(7,1).
А(2,8); В(17,3); С(5,-1).
А(0,-7); В(-10,-12); С(-6,-4).
А(2,-8); В(-13,-3); С(-1,1).
А(-11,14); В(13,21); С(1,5).
А(-8,6); В(2,11); С(-2,3).
А(3,9); В(18,4); С(6,0).
А(5,-1); В(-5,-6); С(-1,2).
А(3,-7); В(-12,-2); С(0,2).
А(-5,10); В(19,17); С(7,1).
А(2,5); В(12,10); С(8,2).
А(-2,4); В(13,-1); С(1,-5).
А(8,-3); В(-2,-8); С(2,0).
А(5,-9); В(-10,-4); С(2,-3).
А(-14,12); В(10,19); С(-2,3).
А(-2,2); В(8,7); С(4,-1).
А(-2,10); В(13,5); С(1,1).
А(6,-1); В(-4,-6); С(0,2).
А(3,-9); В(-12,-4); С(0,0).
А(-4,11); В(20,18); С(8,2).
Образец решения геометрических задач.
Пусть А(-3,10); В(2,13); С(8,-2).
35
y
B
P
H
A
K
M
j
O
i
x
C
1. Составим уравнение стороны АВ треугольника АВС. Для этого используем уравнение
прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и В(x1.y1):
x  x0
y  y0

x1  x 0 y1  y 0
.
В нашем случае оно примет вид:
x  3 y  10

2  3 13  10
или
3 x  5 y  59  0.
Аналогично находятся уравнения остальных сторон треугольника АВС:
АС: 12 x  11y  74  0,
36
ВС: 15 x  6 y  108  0.
2. Составим уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ.
Поскольку прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Уравнение искомой
прямой можно составить, как уравнение прямой, проходящей через данную точку C(x0,y0)
перпендикулярно данному вектору

N ( А, В) :
A( x  x 0 )  B( y  y 0 )  0.
В нашем случае С(8,-2) и

N (3,5). Имеем:
3( x  8)  5( y  2)  0,
или
3 x  5 y  34  0.
3.Прямая l : Ax  By  C  0, лежащая на плоскости, разбивает ее на две полуплоскости с
границей l, которые задаются неравенствами:
Ax  By  C  0 или Ax  By  C  0.
Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данная полуплоскость достаточно в левую часть уравнения прямой l подставить координаты любой точки, принадлежащей
этой полуплоскости, и определить знак полученного числового выражения.
В рассматриваемом случае, треугольник АВС лежит по отношению к прямой АВ в той
полуплоскости, которой принадлежит точка С. Найдем неравенство, задающее эту полуплоскость.
Для этого в левую часть уравнения прямой АВ подставим координаты точки С:
3  8  5  (2)  59  93  0.
Таким образом, искомая полуплоскость задается неравенством:
3 x  5 y  59  0.
Аналогично получим неравенства, задающие две другие полуплоскости:
12 x  11y  74  0 и 15 x  6 y  108  0.
37
4. Длина отрезка с концами А(x0,y0) и В(x1.y1) вычисляется по формуле:
AB  ( x1  x 0 ) 2  ( y1  y 0 ) 2 .
Тогда
AB  (2  3) 2  (13  10) 2  34 .
Аналогично
AC  265иBC  261.
Таким образом, периметр треугольника АВС равен

34  265  261
5. Косинус угла между векторами
 лин. ед.


a (a1 , a 2 ) и b (b1 , b2 ) находится по формуле:
a1b1  a 2 b2
cos  
a12  a 22  b12  b22
.
Найдем косинус угла ВАС. Так как вектор с началом в точке А и концом в точке В имеет
координаты (5,3), а вектор с началом в точке А и концом в точке С имеет координаты (11,-12), то
получим:
5  11  3  (12)
cos BAC 
34  625

19
9010
.
Аналогично вычисляя, получим:
cos АВС 
15
8874
и cos ACB 
246
69165
.
6. Для нахождения длины высоты СН воспользуемся формулой, с помощью которой вычисляется расстояние от точки
C ( x 0 , y 0 ) до прямой l : Ax  By  C  0 :

Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
38
Итак, для рассматриваемой задачи:
CH 
3  8  5  (2)  59
9  25

93
34
.
7. Найдем уравнение медианы АМ. Для этого сначала вычислим координаты точки М, а
потом составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Точка М делит отрезок ВС
пополам, поэтому ее координаты равны:
x
y B  y C 11
x B  xC 8  2
 .

5 и y 
2
2
2
2
Тогда уравнение прямой АМ имеет вид:
x  3 y  10

5  3 11
 10
2
или
9 x  16 y  133  0.
8. Прямая, проходящая через точку
C ( x 0 , y 0 ) и имеющая угловой коэффициент k, зада-
ется уравнением:
y  y 0  k ( x  x 0 ).
Прямые СН и АВ перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты удовлетворяют
условию k CH  k AB  1 , а так как угловой коэффициент прямой АВ равен
коэффициент прямой СН равен
3
, то угловой
5
5
( ) . Запишем уравнение прямой СН:
3
39
5
y  2   ( x  8)
3
или
5 x  3 y  34  0.
9. Прямая ВК проходит через точки В и К. Координаты точки В известны. Чтобы найти координаты точки К достаточно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых АМ
и СН:
9 x  16 y  133  0
,

5 x  3 y  34  0
145 359
,
).
53 53
решением которой является К (
Теперь можно записать уравнение прямой ВК, так как известны координаты двух точек,
через которые она проходит.
10. Точка Р – точка пересечения биссектрисы внутреннего угла С со стороной АВ. Основание биссектрисы внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Тогда точка Р делит сторону АВ в
отношении

АС

ВС
x
265
. Найдем координаты точки Р
261
x A  x B

1 
265
261 2  265  3  261

265
261  265
1
261
3 2
и
40
y
y A  y B

1 
265
261 13  265  10  261

.
265
261  265
1
261
10  13 
Далее остается записать уравнение прямой, проходящей через точки С и Р:
x 8
2  265  3  261
261  265

8
y2
13  265  10  261
261  265
.
2
Упрощая последнее уравнение, получим:
x(5  265  12  29 )  y (2  265  11  29 )  36  265  74  29  0.
11. Прямая A1B1 симметрична прямой АВ относительно точки С. Тогда точка С является
серединой отрезков АА1 и ВВ1.
B
C
A1
A
B1
Координаты точек А, В и С известны. По формулам для вычисления координат точки, делящей
отрезок пополам, найдем координаты точек A1 и B1.
A1(19, -6) и В1(14, -17).
Далее можно записать уравнение прямой, проходящей
через две точки.
12. Точка С1, симметричная точке С, принадлежит прямой СН, и точка Н является серединой отрезка СС1.
41
C
B
H
A
C1
Поэтому найдем координаты точки Н, как точки пересечения прямых СН и АВ:
3x  5 y  59  0
,

5 x  3 y  34  0
Решив последнюю систему уравнений, получим, что Н (
 7 397
,
).
34 34
Найдем координаты точки С1:
x  2*(
7
143
)8
34
17
и
y  2*
397
431
2
.
34
17
Задачи из алгебры.
Решение задач с матрицами и определителями.
 и
  одного и того же порядка
называется матрица C  cij  порядка m  n , где cij  aij  bij i  1.. m ; j  1.. n .
1 . Суммой двух матриц A  aij
B  bij
m n
Пример 1.
 2 1 4 5 6 2  2  5 1  6 4  2  7 7 6

 
 
 

 1 3 2    3 4 1    1  3 3  4 2  1    4 7 3 .
 3 4 5 5 1 2  3  5 4  1 5  2 8 5 7
 


 
 
42
 
2 . Произведением матрицы A  aij на число  называется матрица, у которой
каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы
A на число  :
A   aij   aij  i  1..m, j  1..n.
Пример 2.
1 2   2 1  2  2   2  4
  
  
.
3
4

2

3

2

4

6

8

 
 

 2
 , имеющей m строк и k
3 . Произведением матрицы A  aij
столбцов, на матрицу
  имеющую k строк и n столбцов, называется матрица
C  cij  , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений
B  bij ,
элементов
i  ой
строки
матрицы
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j    aik bkj
A
и
j  ого столбца
i  1..m, j  1..n.
B , т. е.
матрицы
При этом число k столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы
противном случае произведение не определено.
B. В
Пример 3.
 3 2
 1  3  2  5  3  0 1  2  2  4  3  1 13 13 
1 2 3  
  
 .

   5 4   
1

3

3

5

2

0
1

2

3

4

2

1
18
16
1
3
2
 


 0 1 


Вычисление определителей.
Если в матрице зафиксировать
элементы составят матрицу порядка
k различных
k,
строк и столбцов, то на их пересечении
определитель которой называется минором
порядка этой матрицы. Если же исходная матрица квадратная и в ней вычеркнуть
k
k  ого
различных
строк и столбцов с номерами i1 ,..., ik и j1 ,..., j k , то определитель, составленный из элементов
оставшихся
nk
(1)i1 ... ik  j1 ... jk
строк и столбцов, умноженный на число
алгебраическим дополнением исходного минора
k  ого
называется
порядка.
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Зафиксируем в определителе
k строк.
Тогда сумма произведений
всех миноров k  ого порядка, лежащих в этих фиксированных строках, на их алгебраические
дополнения равна исходному определителю.
Полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка.
43
a11
a21
a12
 a11a22  a12 a21.
a22
Пример 4.
2 3
 2  5  3  4  2 .
4 5
a11a12 a13
a21a22 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 
a31a32 a33
 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33 .
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком ‹‹+››, а
какие со знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников:
Пример 5.
3  2 1
2 3
1  3  3   2   2  1  4   1  2  0   1  3  4   2   2   2 
4 0 2
 3  1  0  18  8  12  8  22.
Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим
алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке (или в
одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по следствию 1 из
теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу). Тем самым вычисление
определителя
n  ого
сводят к вычислению определителя
n 1  ого
порядка. При
необходимости процедуру повторяют.
Пример 6. Вычислить определитель
44
1 2 3 2
2 0
1 3
.
D
1 2
3
2
2 2 1
3
Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно ко
второй, третьей и четвёртой строке, получим
1 2 3 2
0 4 7 7
D
.
0 0
6
0
0  6 7 1
Распишем определитель по первому столбцу:
4 7 7
D  1   111  0 6 0 .
 6 7 1
Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим
D  6   12  2 
4 7
 228.
 6 1
Обратная матрица. Правило Крамера.
A и B  матрицы порядка n . Матрица B называется обратной для матрицы A ,
если AB  BA  E . Матрица A называется невырожденной, если A  0 .
Пусть
ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица
имеет обратную матрицу
A - невырожденная матрица, то она
A1 , где
 A11 An1 
...


A
A
 A11 ... An1 




1
A1   ...............     .............. 

 A
 A ... A 
A
A
 1n

nn
nn 
 1n
 A ... A 


Иными словами,
элемента
ij  ый
элемент
A1
равен алгебраическому дополнению
(4)
ji  го
A , деленному на A .
45
Пример 7.
Дана матрица
 3  1 0


A    2 1 1  . Её определитель A  5 , поэтому обратная матрица
 2  1 4


A1 существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A :
1 1
 5;
1 4
A13   11 3 
2 1
 0;
2 1
A21   12 1 
1 0
 4;
1 4
3 0
 12;
2 4
A23   12  3 
3 1
1;
2 1
1 0
 1;
1 1
A32   13 2 
3 0
 3 ;
2 1
A22   12  2 
A31   131 
A12   11 2 
A33   13 3 
Тогда
2 1
 10 ;
2 4
A11   111 
 A11
1 
A1    A12
5 
 A13
A21
A22
A23
Линейным уравнением от
3 1
 1.
2 1
A31 
 5 4  1
 1

A32   10 12  3 .
5
A33 
1 
0 1
n
неизвестных x1 ,..., x n называется уравнением вида
a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  b .
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

.......................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bn
(5)
46
Эта СЛУ состоит из
m
уравнений от
n
неизвестных. Матрица
 
A  aij , составленная из
коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из
b1 ,..., bm - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5)
можно записать и в матричном виде
 x1   b1 
   
 x  b 
A 2    2 


   
 x  b 
 n  n
(6)
СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных
m  n  и основная матрица ее невырожденная.
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение
x1 ,..., xn ,
которое находится по формулам



x1  1 , x2  2 ,..., xn  n



,
  определитель основной матрицы СЛУ, а  i получается из  в результате замены в
 i  го столбца на столбец из свободных членов.
где
Пример 8. Решить систему уравнений
 x  2y  z 1

2 x  y  z  1
 x  3 y  z  2.

1 2 1
Решение.   2 1 1  1;
1 3 1
1 2 1
1 1 1
1 2 1
1   1 1 1  1;  2  2  1 1  1;  3  2 1  1  0,
2 3 1
1 2 1
1 3 2
т. о.

1
x 1 
 1;

1


1
0
y  2   1; z  3   0.
 1
 1
47
Ранг матриц. Линейные пространства и системы линейных уравнений.
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом
матрицы.
ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.
Пример 1. Найти ранг матрицы
3

1
A
2

2
3 1 0 

2 2 1
.
3 3  1

1 1  1
4
2
3
2
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от
нуля.
d
3 4
 2.
1 2
Минор третьего порядка
3 4 3
d /  1 2 2  1,
2 3 3
окаймляющий
равны нулю:
d , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие d / ,
3
1
2
2
т. е. ранг матрицы
4
2
3
2
3 1
2 2
0;
3 3
1 1
3
1
2
2
4
2
3
2
3 0
2 1
 0,
3 1
1 1
A равен трём.
Ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный на утв. 1, 2: с помощью
элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду; количество её строк и
будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы
48






1 2
3
4

2 2 1
0
.
3 0
4
4

1 4  3  5 
Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно,
ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим






1 2
3
4

0  6  5  8
.
0  6  5  8

0  6  6  9 
Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам.
Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу
3
4
1 2


0

6

5

8


 0 0  1  1


ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
Системы линейных уравнений.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.
Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если они обе
не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать, что полученная
СЛУ равносильна исходной, если
из СЛУ вычеркнуть уравнение вида 0  0 ;
обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;
прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.
Переставить местами любые два уравнения.
Переименование неизвестных (с последующей перестановкой слагаемых в
уравнениях)
Преобразования назовем элементарными. Если элементарными преобразованиями
можно получить равносильную (ступенчатую) СЛУ вида (все аii отличны от нуля),





49
 a11 x1  a12 x2    a1r xr  a1r 1 xr 1    a1n xn  b1

a22/ x2    a2/ r xr  a2/ r 1 xr 1    a2 n xn  b2/





a rr/ xr  arr/ 1 xr 1    a rn/ xn  br/ .
то число r является рангом основной матрицы СЛУ и оно же равно рангу расширенной.
Следовательно, у системы есть решения и их можно находить.
Если такое приведение не возможно, то в процессе преобразования обязательно
получится хотя бы одно уравнение вида
0x1+0x2+……..0xn=p≠0
Это уравнение противоречиво по смыслу. Ноль не может равняться отличному от нуля
числу. Одновременно, это приведет и к тому, что ранг основной и ранг расширенной матрицы не
совпадут. Иначе говоря, система не может иметь решений.
Эта часть метода Гаусса носит название «прямого хода». Если решения есть, то теперь для
нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего
уравнения системы выразим
x r через x r 1 ,..., x n . Зная это выражение из предпоследнего
уравнения можно выразить
x r 1 также через x r 1 ,..., x n , и так далее. Наконец получим
систему
 x1  c1  d1r 1xr 1    d1n xn

 
x  c  d
r
rr 1xr 1    d rn xn .
 r
Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя
вместо неизвестных произвольные значения
xr 1,..., xn
и вычисляя
x1, x2 ,..., xr
можно
получить все частные решения ( x1, x2 ,..., xn ) СЛУ (*).
Пример 3. Решить систему уравнений
 x1  2 x2  5 x3  20

 x1  x2  3x3  8
3x  3x  13 x  48.
2
3
 1
Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:
50
1 2 5

1 1 3
3
3 13

20   1
 
8   0
48   0
2
5 20   1
2
5 20 
 

 3  2  12    0  3  2  12 .
 3  2  12   0
0
0
0 
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим,
следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной
 x1  2 x2  5 x3  20
,

  3x2  2 x3  12
в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной возьмём
x3 , и выразим через неё остальные, получим:
11

 x1  12  3 x3
.

2
 x2  4  x3
3

Полагая, например, x3
x1  1;
x2  2;
 3 , получим одно из частных решений системы:
x3  3.
Если все свободные члены СЛУ
b1 ,..., bm равны 0 , то СЛУ называется системой
линейных однородных уравнений (СЛОУ). Все решения однородной системы уравнений образуют
подпространство пространства Rn Базис этого подпространства называется фундаментальной
системой решений СЛОУ.
ТЕОРЕМА (о СЛОУ). Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из n  r
некоторых ее частных решений, где n  число неизвестных СЛОУ, а r  ранг ее основной
матрицы.
Пример 4. Решить систему
 x1  2 x2  2 x3  3x4  0

 2 x1  3x2  x3  5 x4  0
 x  x  3 x  8 x  0.
2
3
4
 1
Решение. Так как все свободные члены равны нулю, то будем подвергать
преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:
51
3
1  2  2 3  1  2  2

 
 1  2  2
3
.
5  11  
 2  3 1  5   0 1
0
1
5

11


 1  1 3  8  0 1
5  11

 
Мы пришли к эквивалентной системе уравнений
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  0

x2  5 x3  11x4  0.

В качестве независимых выберем две переменные, например
x3 , x4 . Выразим остальные
переменные через независимые. Получим
 x1  8 x3  19 x4

 x2  5 x3  11x4 .
Задавая независимые переменные линейно независимыми наборами из нулей си единиц (так
проще всего) получим фундаментальную систему решений:
x1
x2
x3
x4
-8
-5
1
0
19
11
0
1
Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации
фундаментальных решений, т. е. общее решение системы
x    8,5, 1, 0   19, 11, 0, 1;  ,   R.
Линейные операторы. Матрицы линейных операторов.
Отображение A : L  L называется линейным оператором, если выполнены условия:
для всех
x, y  L
и числа  :
(а) Ax  y   Ax  A y 
(б) A x   Ax  ,
Матрицей линейного оператора A в базисе e1 ,, en называется такая матрица Ae
  i  1..n ; j  1..n. , у которой i  ый
 aij
столбец есть координаты вектора A(ei ) в
базисе e1 ,, en . Т. е.,
52
 A(e1 ),
Пусть
другому
A(e2 ),  A(en )   e1
e1/ ,...,en/ 
e1/ ,...,en/
  11  12

 22

 en    21
 


 n1  n 2
e2
  1n 

  2n 
.
 

  nn 
другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса
называется такая матрица
e1 ,...,en
к
  i  1..n ; j  1..n, у которой i-ый
T   ij
/
столбец есть координаты вектора ei в базисе e ,...,en , т. е.
1
e1/
  11  12



e2/  en/  e1 e2  en  21 22
 

  n1  n 2

  1n 

  2n 
.
 

  nn 
Пример 1.
Векторы
e1/  (1, 1, 1); e2/  (1, 1, 2); e3/  (1, 2, 3); x  (6, 9, 14)
/
заданы
/
своими
/
координатами в некотором базисе e1 , e2 , e3 . Показать, что векторы e , e , e сами образуют
1 2 3
базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.
/
/
/
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к системе векторов e , e , e
1 2 3
:
1 1 1 


T  1 1 2  ,
1 2 3 


она невырожденная, значит, векторы
e1/ , e2/ , e3/
линейно независимы и могут образовывать
базис трёхмерного пространства. Тогда
T
Найдём координаты вектора
1
1  1
 1


  1  2 1 .
1 1
0 

x в базисе e1/ , e2/ , e3/ :
53
 x/   1
1  1  6   1 
 1 
 x /    1  2 1    9    2 .
 2 
0   14   3 
 x3/    1 1
 
ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть Ae и Ae ' – матрицы линейного
оператора A в базисах
e1 ,...,en
и
e1/ ,...,en/
первого базиса ко второму. Тогда
соответственно и
Ae '  T 1  Ae  T
T  матрица перехода от
(матрицы
Ae и Ae' называются
подобными).
1 2 1


Пример 2. Линейный оператор  в базисе e1 , e2 , e3 имеет матрицу Ae   3 2 1  .
1 1 0


Найти его матрицу Ae ' в базисе
e1/  (1, 1,  1);
e2/  (1,  2, 1);
e3/  (0,  1, 1).
/
/
/
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису e , e , e :
1 2 3
1
0
 1


T   1  2  1.
1 1
1 

Найдём обратную матрицу для
T:
1
1
1


T 1   0  1  1 .
1 2
3 

Тогда
54
1
1   1 2 1  1
1
1

 
 
Be '  T  Ae  T   0  1  1   3 2 1   1  2
1 2
3   1 1 0    1
1

5 2  1
1 0  8  3
 5

 
 
   4  3  1    1  2  1    6
1
 10
9
3    1
1
1  16  5

1
0

 1 
1
 3

2 .
 6 
Характеристические корни и собственные значения.
 
A   ij  квадратная матрица порядка n с действительными элементами. Пусть,
с другой стороны,   некоторое неизвестное. Тогда матрица ( A  E ), где E  единичная
матрица порядка n , называется характеристической матрицей матрицы A . Так как в матрице (
E ) по главной диагонали стоит  , все же остальные элементы равны нулю, то
Пусть
12
 11  

 22  
  21
A  E  



 n2
  n1
Многочлен

1n 


 2n 
.

 

  nn   
n  ой степени A  E называется характеристическим многочленом
матрицы A , а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными,
называются характеристическими корнями этой матрицы.
L задан линейный оператор A . Если вектор b , отличный
от нуля, переводится оператором  в вектор, пропорциональный самому b ,
Пусть в линейном пространстве
A(b)  0 b,
где
0 
оператора
некоторое действительное число, то вектор
,
а число
собственный вектор
0  собственным
b
(6)
называется собственным вектором
значением этого оператора, причем говорят, что
b относится, к собственному значению 0 .
ТЕОРЕМА (о собственных значениях). Действительные характеристические корни
линейного оператора A , если они существуют, и только они служат собственными
значениями этого оператора.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного в некотором базисе матрицей
55
 4  5 2


Ae   5  7 3 .
 6  9 4


Решение: Составим характеристическое уравнение
4
5
6
5
7
9
2
3  0.
4
Раскрывая определитель, получим уравнение
 3  2  0 ,
корни которого
оператора  .
1  0, 2  0, 3  1
являются собственными значениями линейного
Найдём собственные векторы, соответствующие собственному значению
решим систему (10), считая
1,2  0.
Для этого
0  0.
 4 x1  5 x2  2 x3  0

 5 x1  7 x2  3x3  0
 6 x  9 x  4 x  0.
2
3
 1
После преобразования получим:
 x1  2 x2  x3  0

3 x2  2 x3  0

или





1
x1  x3
3
2
x2  x3 .
3
Фундаментальная система решений имеет вид:
Собственный вектор
x1
x2
x3
1
2
3
x   0   (1, 2, 3);   0.
Аналогично, для
3  1 , получим систему линейных однородных уравнений
56
 3x1  5 x 2  2 x3  0

 5 x1  8 x 2  3x3  0
 6 x  9 x  3x  0,
2
3
 1
фундаментальным решением которой будет:
и
x1
x2
x3
1
1
1
x  1   (1, 1, 1);   0  собственный вектор, соответствующий собственному значению
3  1.
Основные алгебраические структуры. Группы, кольца, поля.
Множество
G
элементов
a, b, c, ,
в котором определён закон композиции,
называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов
определённый элемент
(обозначается
G, 
cab
a, b
множества
G
этого множества, называется аддитивной группой
), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:
a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
Существует элемент e множества G такой, что
1.
для любого элемента a этого
a

e

a
множества
(существование нейтрального (нулевого) элемента).
Для любого элемента a множества G существует противоположный элемент
 a такой, что a  (a)  e .
2.
3.
Если дополнительно
a  b  b  a (коммутативность),
4.
то группа
G
называется коммутативной или абелевой.
Пример 1. Множество Z целых чисел образует абелеву группу относительно сложения.
Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом
является целое число
0 , а обратным для a
служит целое число
a.
Пример 2. Множество положительных вещественных чисел
R образует абелеву группу
относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно. Нейтральный
элемент 1 R , а обратным элементом для числа
Множество
a  0 служит вещественное число 1
a
.
K элементов a, b, c, , в котором определены законы композиции,
называемые сложением и умножением, называется кольцом (обозначается
K , , 
), если
эти законы удовлетворяют следующим требованиям:
57
1.
2.
3.
K ,   коммутативная группа.
a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
a  (b  c)  a  b  a  c и (b  c)  a  b  a  c  a
(дистрибутивность
умножения относительно сложения).
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце имеется
a, b  K называются
делителями нуля  нейтрального элемента относительно  , если a  0 и b  0 , но a  b  0 .
единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы
Пример 4. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является
коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число 1 .
Пример 5. Множество квадратных матриц n  ого порядка относительно сложения и
умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения
и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для матриц были отмечены в
§. Нейтральным элементом по сложению является нулевая квадратная матрица порядка n ,
нейтральным элементом по умножению  единичная матрица порядка n .
Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является
обратимым, т.е. для любого
a0
существует
a 1 , такой, что aa 1  e , называется полем.
В поле содержится не менее двух элементов, так как наличие нуля и единицы
гарантируется аксиомами.
Пример 6. Множество рациональных чисел
Q
с операциями сложения и умножения
образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального
рациональный обратный элемент
b
a
a
b
, существует так же
.
Поле комплексных чисел.
В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости
C  ( x, y ) : x, y  R, каждая из которых однозначно определяется упорядоченной парой
действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим
образом:
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d );
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , cd  bc).
Множество
комплексных чисел.
C
с введёнными операциями сложения и умножения образует поле
Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь,
справедливая при любом расположении точек на плоскости:
58
a  r cos , b  r sin .
Для произвольного комплексного числа  имеем:
  a  bi  r cos   r sin  i  r cos   i sin  .
3 i.
Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа
Решение. Здесь
a  3 , b  1 . Тогда r 

3
cos 
2

sin    1
2.

 3 2  12  2 .

11

6

Решая систему, получаем
11
 . Таким образом
6
11 
 11
3  1  2 cos   i sin  .
6
6 

Формулы Муавра:
r cos  i sin  n  r n cosn   i sin n .
Пример 8. Вычислить
Решение.
1  i 
4
1  i 4 .
4

 
 
  2  cos  i sin  
4
4 
 
Пример 9. Вычислить
 2 4 cos  i sin    4.
  i.
Решение. Найдём тригонометрическую форму числа
 i  cos
i:
3
3
 i sin
2
2
.
3
3
 2k
 2k
3
3
2
2
 i sin
 cos
 i sin
Тогда   cos
2
2
2
2
.
59
При
k  0 имеем:  0  cos
При
k  1: 1  cos
3
3
2
2
 i sin

i
.
4
4
2
2
7
7
2
2
 i sin

i
.
4
4
2
2
Пример 10. Вычислить 
38.
Решение. В тригонометрической форме
8  8  cos 0  i sin 0 .
2k
2k 

  3 8cos0  i sin 0  2 cos
 i sin
.

3
3 
k  0 :  0  2cos 0  i sin 0   2 ;
2
2 

 i sin
k  1: 1  2 cos
 3 i;
3
3 

4
4 

 i sin
k  2 :  2  2 cos
   3 i.
3
3 

Кольца многочленов.
P  произвольное поле. Через P x  обозначим множество многочленов от x с
коэффициентами из P . Многочлен имеет вид:
Пусть
f x   a0  a1x    an 1x n 1  an x n .
Множество
C x  с операциями сложения и умножения, определяемыми приведением
подобных (сложение многочленов) и раскрытием скобок ( умножение многочленов) образует
коммутативное кольцо с единицей, но не поле. Это же утверждение будет справедливо для
многочленов над произвольным полем.
Пример 11. Найти наибольший общий делитель многочленов:
f x   x 4  3x 3  x 2  4 x  3; g x   3x 3  10 x 2  2 x  3.
Решение. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, мы
можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на
любое не равное нулю число, причём, не только начиная какое-либо из последовательных
делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, понятно, к искажению
частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой
степени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего общего делителя допускается.
60
Делим
f  x  на g  x  , предварительно умножив f  x  на 3:
3
2
3x 4  9 x 3  3x 2  12 x  9 3x  10 x  2 x  3
3x 4  10 x 3  2 x 2  3x
x 1
 x3  5x 2  9 x  9
(умножаем на 3)
3x 3  15 x 2  27 x  27
3x 3  10 x 2  2 x  3
5 x 2  25 x  30
Степень остатка стала меньше степени делителя, таким образом, после сокращения на
5 получим первый остаток r1
x   x 2  5x  6 . Делим на него многочлен g x  :
2
3x 3  10 x 2  2 x  3 x  5 x  6
3x 3  15 x 2  18 x
3x  5
 5 x 2  16 x  3
 5 x 2  25 x  30
9 x  27
Вторым остатком, после сокращения на 9, будет
r2  x   x  3 . Очевидно, что
r1  x   r2  x  x  2  , т. е. последним остатком, отличным от нуля будет r2  x   x  3 . Он и
будет искомым наибольшим делителем:
 f x , g x   x  3.
Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в соответствующих
пространствах.
Будем говорить, что в
n  мерном
действительном линейном пространстве
определено скалярное умножение, если всякой паре векторов
действительное число, обозначаемое символом
векторов
a
пространства
I.
и
b,
a, b
Ln
поставлено в соответствие
a, b  и называемое скалярным произведением
причем выполняются следующие условия (здесь
a, b, c 
любые в е к т о р ы
Ln ,   любое действительное число):
a, b   b, a ,
61
II. a  b, c   a, c   b, c ,
III.
a, b    a, b ,
IV.
Если
a   , то скалярный квадрат вектора a
строго положителен,
a, a   0.
Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода
от любой линейно независимой системы из
k
векторов a1 , a2 ,, ak евклидова пространства
En к ортогональной системе, также состоящей из k ненулевых лекторов; эти векторы будут
обозначены через b1 , b2 ,, bk .
Положим b1  a1 , т. е. первый вектор системы ( a1 , a2 ,, ak ) войдёт и в строящуюся нами
ортогональную систему. Положим, далее,
b2  1b1  a2 .
 a1 а векторы a1 и a 2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от нуля при
любом числе 1 . Подберем это число из условии, что вектор b2 должен быть ортогонален к
Так как b1
вектору b1 :
0  b1 , b2   b1 , 1b1  a2   1 b1, b1   b1, a2 ,
откуда, ввиду IV,
b , a 
1   1 2 .
b1, b1 
Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов
дополнительно предположим, что для всякого
комбинацией векторов
i, 1  i  l ,
вектор
b1, b2 ,, bl ;
bi является линейной
a1 , a2 ,, ai . Это предположение будет выполняться тогда и для
вектора bl 1 если он будет выбран в виде
bl 1  1b1   2b2     l bl  al 1.
bl 1 будет при этом отличен от нуля, так как система ( a1, a2 ,, ak ) линейно
независимая, а вектор al 1 не входит в записи векторов b1 , b2 ,, bl . Коэффициенты
Вектор
 i , i  1, 2,, l ,
векторам bi ,
подберем из условия, что вектор
bl 1 должен быть ортогонален ко всем
i  1, 2,, l :
62
0  bi , bl 1   bi , 1b1   2b2     l bl  al 1  
 1bi , b1    2 bi , b2      l bi , bl   bi , al 1 ;
отсюда, так как векторы b1 , b2 ,, bl ортогональны между собой,
 i bi , bi   bi , al 1   0,
т. е.
b , a 
 i   i l 1 , i  1, 2,, l.
bi , bi 
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему b1 , b2 ,, bk .
Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства
En , мы
получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т. е., так как эта система по
доказанному линейно независима, ортогональный базис.
Назовем вектор
b, b   1.
Если
b
нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, т. е.
a   , откуда a, a   0 , то нормированием вектора a
b
Вектор
называется переход к вектору
1
a.
a, a 
b будет нормированным, так как

b, b  

1
a,
a, a 
 
1
a   
a, a   
2
1 
a, a   1.
a, a  
Пример 1. Привести систему векторов
a1  2,  1, 2; a2  1, 1, 4; a3  6,  3,  3
к ортонормированному виду.
Решение.
Применим
к
указанным
b1  a1  2,  1, 2 . Вектор b2 ищем в виде
векторам
процесс
ортогонализации.
b , a  9
b2  a2  kb1, где k   1 2    1.
Подставляя
значения,
b1, b1  9
b2   1, 2, 2 .
b3  a3  1b1   2b2 .
Далее
ищем
получим
Здесь
63
b , a  9
b , a   18
1   1 3    1,  2   2 3  
 2.
b , b  9
b , b 
9
1 1
2
После подстановки, имеем:
2
b3  6,  3,  3  2,  1, 2  2   1, 2, 2  2, 2,  1.
Осталось нормировать систему b1 , b2 , b3 .
c1 
1
1
2 1 2
b1  2,  1, 2   ,  , ,
3
b1, b1 
3 3 3
c2 
1
1
 1 2 2
b2   1, 2, 2    , , ,
3
b2 , b2 
 3 3 3
c3 
1
1
 2 2 1
b3  2, 2,  1   , ,  .
3
b3 , b3 
 3 3 3
Итак, c1 , c2 , c3
 искомая ортонормированная система.
Линейные функции.
Рассмотрим произвольное линейное пространство
 : L  P называется линейной функцией, если
L над полем P . Отображение
  x   y     x     y  , x, y  L è  ,   P.
Линейная функция является частным случаем линейного оператора.
Сопряжённые операторы.
Оператор 

 y   a y называется сопряжённым к  , т. е.
  x  , y    x ,    y   .
 задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов
f1  1,1, 0  матрицей
Пример 1. Линейный оператор
f1  1, 2,1 ,
f1  1,1, 2  ,
 1 1 3
A   0 5 1  .
 2 7 3 


Найти матрицу сопряжённого оператора

в том же базисе, считая, что координаты векторов
базиса даны в некотором ортонормированном базисе.
64
f1, f 2 , f3 заданы в некотором ортонормированном
базисе e1, e2 , e3 . Матрица перехода от e1, e2 , e3 к f1, f 2 , f3 будет
Решение. Координаты векторов
1 1 1
T   2 1 1  .
1 2 0


Значит,
Откуда
A  T 1BT , где B  матрица того же оператора в ортонормированном базисе.
B  T A T 1 .
Находим
 2 2 0 
1
T 1   1 1 1  .
2

 3 1 1 
Тогда
 1 1 1  1 1 3   2 2 0   2 3 7 
 1  1 1 1    6 4 6  .
B   2 1 1 
0
5

1

 
 

 1 2 0  2 7 3  2  3 1 1   6 5 5 


 
 

Матрица сопряжённого оператора

будет по предыдущей теореме сопряжено
транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто
транспонированной.
 2 6 6
B  B   3 4 5  .
 7 6 5



Возвращаемся к исходному базису

A T
 2 2 0  2 6 6  1 1 1 
1
 2 1 1  
B T   1 1 1 

3

4

5



2
 7 6 5  1 2 0 
3

1

1




 36 37 15 
  30 30 14  .
 26 27
9 

1 
65
Нормальные операторы.
Линейный оператор  унитарного пространства U называется нормальным, если
      ,
т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.
ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора

U найдётся ортонормированный базис, составленный
собственных векторов оператора  . Матрица  имеет в этом базисе диагональный вид.
в унитарном пространстве
из
Унитарные операторы.
Линейный оператор

унитарного пространства
U
называется унитарным, если он
сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
x, y U  x, y     x  ,   y  .
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет
1
скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что A  A , т. е.
транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а
его матрицу  ортогональной.
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора
подходящем ортонормированном базисе
элементами, равными по модулю единице.
является
диагональной,
с

в
диагональными
Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадратичной формой
f
от
n
неизвестных
x1, x2 ,..., xn называется сумма, каждое
слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух
разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в
зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же могут быль любыми
комплексными числами.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
f  x1x2  x2 x3  x3 x1
Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала
невырожденное линейное преобразование
x1  y1  y2 , x2  y1  y2 , x3  y3
с матрицей
66
 1 1 0 
A   1 1 0  ,
0 0 1


после чего получим:
f  y12  y22  2 y1 y3 .
Теперь коэффициент при
y12
отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно
выделить квадрат одного неизвестного. Полагая
z1  y1  y3 , z2  y2 , z3  y3 ,
т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу
 1 0 1 
B   0 1 0  ,
0 0 1


мы приведем
f
к каноническому виду
f  z12  z22  z32 .
Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому
виду, будет иметь своей матрицей произведение
 1 1 1
AB   1 1 1 .
 0 0 1


Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как
определитель равен 2 ) линейное преобразование
x1  z1  z2  z3 ,
x2  z1  z2  z3 ,
x3  z3
превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.
Приведение квадратичной формы к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием
может быть приведена к каноническому виду.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
f  x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  4 x2 x3
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
67
1 2 2
A   2 1 2  ,
2 2 1


Найдём её характеристический многочлен:
1 
2
2
2
A  E  2 1 
2      1    5  .
2
2 1 
Таким образом, матрица A имеет двукратный корень 1 и простой корень
Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
5.
f   y12  y22  5 y32 .
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого
найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям
1,2  1; 3  5 , т. е. решим системы линейных однородных уравнений  A   E 0
каждого  .
При 1,2  1 имеем
для
 x1  x2  x3  0

 x1  x2  x3  0 .
x  x  x  0
 1 2 3
Откуда
x1   x2  x3 , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор
решений будет:
b1   1,1, 0  ,
b2   1, 0,1 .
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
c1   1,1, 0  ,
 1 1 
c2    ,  ,1 .
 2 2 
При 3
 5 имеем
4 x1  2 x2  2 x3  0

 2 x1  4 x2  2 x3  0 .
 2x  2x  4x  0
2
3
 1
Данная система эквивалентна следующей:
68
 x1  x2  2 x3  0
,

x2  x3  0

решением которой будет
c3  1,1,1 .
Остаётся нормировать систему c1, c2 , c3 :
 1 1

d1   
,
, 0 ,
2 2 

 1
1
2
d2   
,
,
,
6
6
3


 1 1 1 
d3  
,
,
.
 3 3 3
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
y1  
1
1
x1 
x2 ,
2
2
1
1
2
x1 
x2 
x3 ,
6
6
3
1
1
1
y3 
x1 
x2 
x3.
3
3
3
 
y2  
Для того чтобы найти матрицу преобразования
Q,
нужно выразить переменные
x1, x2 , x3 через y1, y2 , y3 , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования    . А так
как
Q 1  Q ,
то достаточно транспонировать матрицу преобразования
  .
Окончательно
имеем:
1
1
1
y1 
y2 
y3 ,
2
6
3
1
1
1
x2 
y1 
y2 
y3 , .
2
6
3
x1  
x3 
2
1
y2 
y3.
3
3
69