Теория чисел - Факультет математики и ИТ МГУ им. Н.П.Огарева

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет
им. Н.П. Огарёва»
П Р И Н Я Т О
Учёным советом факультета математики
и информационных технологий
“27” сентября 2012 г.
Протокол №8
Рабочая программа дисциплины
“ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ”
основной образовательной программы
высшего профессионального образования
по направлению подготовки
010200.62 – Математика и компьютерные науки
(бакалавриат)
профили подготовки
Математический анализ и приложения
Математические методы в экономике и финансах
Трудоемкость дисциплины – 4 зачетные единицы (144 часа)
Саранск 2012
2
1. Цели освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины «Теория чисел» являются:
1. Освоение методов исследования и решения уравнений в целых числах.
2. Изучение свойств простых чисел.
3. Изучение структуры колец классов вычетов по натуральному модулю и методов решения сравнений.
4. Изучение арифметики в полях алгебраических чисел, ее применений к решению уравнений в целых чисел.
5. Изучение приближений действительных чисел рациональными дробями и методов построения наилучших приближений.
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы.
Дисциплина «Теория чисел» относится к вариативной части цикла профессинальных дисциплин для подготовки бакалавров по направлению «Математика и
коипьютерные науки»
Она является продолжением базовых профессиональных курсов «Алгебры и геометрии», «Математического анализа» и «Теории функций комплексного переменного". С методической точки зрения она хорошо иллюстрирует общие теоремы и конструкции этих
базовых дисциплин на примерах исследования свойств конкретных объектов – целых чисел. Знания, полученные после изучения этой дисциплины, позволяют ориентироваться в
различных направлениях практической деятельности, связанных с дискретной математикой, защитой информации, компьютерными науками. В качестве входных знаний необходимы основы алгебры, действительного и комплексного анализа.
Межпредметные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1
2
3
1
2.
3.
Наименование дисциплины
Требования к «входным» («выходным») знаниям,
умениям и готовностям обучающегося
Обеспечиваемые дисциплины
«Алгебра и геометрия»
Умение решать системы линейных уравнений, знать
определения основных алгебраических структур:
групп, колец, полей, в частности, кольца целых чисел. Знание определения сравнения, свойств сравнений, кольца классов вычетов, свойств классов вычетов.
«Математический анализ»
Знание следующих разделов: 1) предел функции; 2)
дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных; 3) первообразная и неопределенный интеграл; 4) определенный интеграл; 5) теория рядов.
«Теория
функций
ком- Знание разделов: дифференцирование, интегрироваплексного переменного»
ние, теория рядов.
Последующие дисциплины
«Дискретная математика»
Умение решать сравнения, знание алгоритма Евклида, китайской теоремы об остатках, функции Эйлера,
теоремы Ферма.
«Защита информации»
Знание алгоритма Евклида, определения колец и полей классов вычетов, примеров конечных полей.
Умение решать сравнения и системы сравнений.
«Криптография»
Знание простых чисел и их свойств. Уметь раскладывать целые числа на простые множители (канониче3
4.
«Численные методы»
ское разложение целых чисел). Переводить целые
числа из одной системы счисления в другую.
Умение решать задачи на приближения действительных чисел рациональными дробями. Знание методов
построения наилучших приближений.
3. Требования к результатам освоения дисциплины.
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Название компетенции
Общекультурные компетенции (ОК)
способность применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук
значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы
способность и постоянная готовность совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственных интересов и приоритетов
умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать
научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме
фундаментальная подготовка в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности
значительные навыки самостоятельной работы с компьютером, программирования, использования методов обработки информации и численных методов
решения базовых задач
базовые знания в областях информатики и современных информационных технологий, навыки использования программных средств и навыками работы в
компьютерных сетях, умение создавать базы данных и использовать ресурсы
Интернета
способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников
знание иностранного языка
Профессиональные компетенции (ПК)
Научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность
умение определять общие формы, закономерности, инструментальные средства
отдельной предметной области
умение понять поставленную задачу
умение формулировать результат
умение строго доказать утверждение
умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат
умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата
умение грамотно пользоваться языком предметной области
умение ориентироваться в постановках задач
знание корректных постановок классических задач
понимание корректности постановок задач
навыки самостоятельного построения алгоритма и его анализа
понимание того, что фундаментальное знание является основой компьютерных
наук
4
Индекс
ОК-6
ОК-7
ОК-8
ОК-9
ОК-10
ОК-11
ОК-12
ОК-13
ОК-14
ОК-16
ПК-1
ПК-2
ПК-3
ПК-4
ПК-5
ПК-6
ПК-7
ПК-8
ПК-9
ПК-10
ПК-11
ПК-12
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
глубокое понимание сути точности фундаментального знания
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах
умение извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных
библиотек, реферативных журналов, сети Интернет
Производственно-технологическая деятельность
владение проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний
умение увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно представить и интерпретировать результат
Организационно-управленческая деятельность
умение самостоятельно математически и физически корректно ставить естественнонаучные и инженерно-физические задачи и организовывать их решение
в рамках небольших коллективов
Педагогическая деятельность
умение точно представить математические знания в устной форме
ПК-13
ПК-16
ПК-17
ПК-21
ПК-22
ПК-25
ПК-27
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать свойства простых и составных чисел, законы распределения простых чисел в натуральном ряде, свойства колец классов вычетов по натуральным модулям, основные свойства алгебраических расширений поля рациональных чисел и конечных полей,
свойства арифметических функций.
2) уметь: решать линейные и квадратичные уравнения от нескольких переменных,
системы линейных уравнений в целых числах. Устанавливать разрешимость и находить
решения алгебраических сравнений и систем сравнений, показательных сравнений. Находить системы первообразных корней. Вычислять значения арифметических функций.
Строить рациональные приближения к действительным числам.
3) Владеть: современными теоретико-числовыми алгоритмами.
4. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины «Теории чисел» широко используются активные и интерактивные формы проведения занятий. Удельный вес таких занятий составляет не менее
30% аудиторных занятий.
В учебном процессе используются следующие формы проведения занятий:
– теоретические лекции с изложением определений основных математических
понятий, изучаемых в рамках дисциплины, подробным описанием и доказательством
наиболее важных свойств этих математических понятий и их взаимосвязей друг с другом;
– практические занятия с более подробным изучением основных свойств математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, выяснением их взаимосвязей друг с
другом в примерах и задачах;
– индивидуальные и коллективные консультации с активным участием обучающихся по наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины и по задачам
повышенной сложности;
– индивидуальные коллоквиумы по наиболее сложным частям теоретического
материала дисциплины;
– самостоятельная работа по доказательству некоторых свойств некоторых математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, с целью развития самостоятельного мышления.
5
5. Структура учебной дисциплины.
№
п/
п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Раздел дисциплины
Семестр
Теория делимости в кольце целых чисел
Простые и составные числа.
Основная теорема арифметики.
Мультипликативные функции
и их примеры.
Цепные дроби.
3
Нед Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
естудентов и трудоемкость (в
ля
часах)
семес ЛекПракт Самост Все
тра ции
заняработа го
тия
1,2 4
4
8
16
3
3,4
4
4
8
16
Индивидуальная работа
№1
3
5
2
2
4
8
Коллоквиум
3
6,7,
8
6
6
12
24
Контрольная
работа
Теория сравнений.
Решение сравнений.
3
9,
10
1113
4
4
8
16
6
6
12
24
Первообразные
корни и индексы.
Двучленные
сравнения.
Показательные
сравнения. Сравнения 2-ой степени.
Символ Лежандра. Закон
взаимности.
3
14,
15
4
4
8
16
Домашние
задания
Индивидуальная работа
№2
Домашнее
задание
3
16
2
2
4
8
Домашнее
задание
3
17,
18
4
4
8
16
Индивидуальная работа
№3
3
6
Формы текущего контроля успеваемости
(по неделям
семестра)
Домашнее
задания
5.1. Содержание учебной дисциплины. Объем дисциплины и виды учебных занятий.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.
Распределение дисциплины по семестрам:
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
в том числе:
Лекции
Всего
часов
144
Семестры
3
144
36
36
36
36
72
72
2
1
1
1
2
1
1
1
144
4
144
4
Практические занятия
Семинары
Лабораторные работы
Самостоятельная работа (всего)
Виды текущего контроля успеваемости
Индивидуальные лабораторные работы
Коллоквиумы
Виды промежуточной аттестации
Зачеты
Экзамены
Общая трудоемкость в часах:
В зач. единицах
5.2. Содержание разделов учебной дисциплины.
№
п/п
1
2
Наименование раздела дисциплины
Содержание раздела
Формы текущего контроля
успеваемости
Теория делимости в
Делимость целых чисел, свойства
кольце целых чисел делимости. Теорема о делении с Домашние задаостатком. Общий делитель, наибольния
ший общий делитель (НОД). Алгоритм Евклида. Нахождение НОД с
помощью алгоритма Евклида. Теорема о линейном разложении НОД.
Наименьшее общее кратное (НОК),
свойства НОК. Теорема о связи НОД
и НОК. Взаимно простые числа, свойства взаимно простых чисел.
Простые и состав- Простые и составные числа, свойства Индивидуальная
ные числа. Основная простых чисел. Основная теорема
работа №1
теорема арифмети- арифметики. Каноническое
ки.
разложение натуральных чисел.
Теорема Евклида. Теорема об
интервалах. Решето Эратосфена.
Важнейщие функции в теории чисел:
[x] и {x} их свойства.
7
3
4
5
6
7
8
9
Мультипликативные Мультипликативные функции и их
Коллоквиум
функции и их при- свойства. Примеры мультипликативмеры.
ных функций: число делителей данного числа, сумма делителей, функция
Мебиуса, функция Эйлера.
Цепные дроби.
Цепные дроби. Разложение рациоКонтрольная
нальных чисел в цепную дробь. Подработа
ходящие дроби, вычисление подходящих дробей, переход от цепной
дроби к неправильной. Свойства подходящих дробей. Полное и неполное
частные подходящих дробей. Разложение иррациональных чисел в цепную дробь. Периодичность бесконечной цепной дроби. Лемма о дискриминанте. Теорема Лагранжа. Приближение иррациональных чисел
подходящими дробями.
Теория сравнений.
Сравнения, свойства сравнений.
Классы вычетов по данному модулю,
свойства классов вычетов. Кольцо
классов вычетов. Делители нуля в Домашние задакольце классов вычетов. Полная и
ния
приведенная система вычетов. Мультипликативная группа обратимых
элементов. Теорема Эйлера и малая
теорема Ферма. Тождество Гаусса.
Решение сравнений.
Сравнения первой степени и их
решение. Неопределенные уравнения. Индивидуальная
Системы сравнений. Решение систем
работа №2
сравнений. Китайская теорема об
остатках. Теорема Вильсона. Сравнения высшей степени по простому модулю. Сравнения по составному модулю. Показатель класса.
Первообразные кор- Первообразные корни, теоремы о су- Домашние задани и индексы. Дву- ществовании первообразных корней.
ния
членные сравнения. Индексы, таблицы индексов. Теоремы
о первообразных корнях и индексах.
Двучленные сравнения по простому
модулю. Вычет n-ой степени по простому модулю. Теорема о числе классов вычетов.
Показательные
Корень n-ой степени из а . Показа- Домашние задасравнения. Сравне- тельные сравнения. Сравнения 2-ой
ния
ния 2-ой степени.
степени по простому модулю. Критерий Эйлера. Теорема о числе квадратичных вычетов. Примеры.
Символ Лежандра.
Символ Лежандра, свойства симво- Индивидуальная
Закон взаимности.
ла Лежандра. Критерий Эйлера. Закон
работа № 3
взаимности. Символ Якоби, свойства
символа Якоби.
8
5.3. Разделы учебной дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
№
п/п
1
2
3
4
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
«Дискретная
математика»
«Защита
информации»
«Криптография»
«Численные методы»
Разделы дисциплины “Теория чисел ”, необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5,6
7
8
9
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.4. Разделы учебной дисциплины и виды занятий.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наименование
раздела дисциплины
Теория делимости в кольце целых чисел
Простые и составные числа. Основная
теорема арифметики.
Мультипликативные функции и их примеры.
Цепные дроби.
Теория сравнений.
Решение сравнений.
Первообразные корни и индексы. Двучленные сравнения.
Показательные сравнения. Сравнения 2ой степени.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Лекции
4
4
Практ.
занятия
4
4
Самост.
работа
8
8
Всего
часов
16
16
2
2
4
8
6
4
6
4
6
4
6
4
12
8
12
8
24
16
24
16
2
2
4
8
4
4
8
16
6. Лабораторный практикум.
Лабораторные работы по дисциплине “Теория чисел” не предусмотрены.
7. Практические занятия (семинары).
№ Номер раздела
п/п дисциплины
1
1
2
3
2
Наименование практических занятий (семинаров)
Трудоемкость
(в часах)
Делимость целых чисел, свойства делимости. Теорема
2
о делении с остатком. Общий делитель, наибольший общий делитель (НОД), их свойства.
Алгоритм Евклида. Нахождение НОД с помощью ал2
горитма Евклида. Наименьшее общее кратное (НОК),
свойства НОК. Теорема о связи НОД и НОК. Взаимно
простые числа, свойства взаимно простых чисел.
Простые и составные числа, их свойства. Разложение
2
чисел на простые множители. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение натуральных чисел.
Бесконечность множества простых чисел (теорема Ев9
4
5
3
6
4
7
8
9
5
10
11
6
12
13
14
7
15
клида). Решето Эратосфена. Важнейщие функции в теории чисел: [x] и {x} их свойства.
Мультипликативные функции и их свойства. Примеры
мультипликативных функций: число делителей данного
числа, сумма делителей, функция Мебиуса, функция Эйлера.
Цепные дроби. Разложение рациональных и чисел в
цепные дроби. Подходящие дроби, свойства подходящих
дробей.
Бесконечные цепные дроби. Квадратичная иррациональность. Периодичность бесконечной цепной дроби.
Лемма о дискриминанте.
Теорема Лагранжа. Приближение иррациональных
чисел подходящими дробями. Наилучшие приближения
действительных чисел.
Сравнения, свойства сравнений. Классы вычетов по данному модулю. Свойства классов вычетов. Кольцо классов вычетов.
Полная и приведенная система вычетов. Мультипликативная группа обратимых элементов.
Теорема Эйлера и малая теорема Ферма. Тождество
Гаусса.
Сравнения первой степени и их решение. Неопределенные уравнения.
Системы сравнений. Решение систем сравнений. Китайская теорема об остатках. Теорема Вильсона.
Сравнения высшей степени по простому модулю.
Сравнения по составному модулю. Показатель класса.
Первообразные корни, теоремы о существовании первообразных корней. Индексы, таблицы индексов.
Теоремы о первообразных корнях и индексах. Двучленные сравнения по простому модулю. Вычет n-ой
степени по простому модулю. Теорема о числе классов
вычетов.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
8
Корень n-ой степени из а . Показательные сравнения.
Сравнения 2-ой степени по простому модулю. Примеры.
2
17
9
Символ Лежандра, свойства символа Лежандра. Критерий Эйлера.
Закон взаимности. Символ Якоби, свойства символа
Якоби..
2
18
2
8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
8.1. Вопросы к зачету по дисциплине “Теория чисел ”.
1. Делимость целых чисел, свойства делимости.
2. Теорема о делении с остатком. Общий делитель, наибольший общий
делитель (НОД).
3. Алгоритм Евклида. Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида. Теорема о линейном разложении НОД.
4. Наименьшее общее кратное (НОК), свойства НОК. Теорема о связи
НОД и НОК.
10
5. Взаимно простые числа, свойства взаимно простых чисел.
6. Простые и составные числа, свойства простых чисел.
7. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение натуральных чисел.
8. Теорема Евклида. Теорема об интервалах.
9. Решето Эратосфена. Примеры.
10. Мультипликативные функции и их свойства.
11. Примеры мультипликативных функций: число делителей данного
числа.
12. Примеры мультипликативных функций: сумма делителей.
13. Функция Мебиуса, свойства функции Мебиуса.
14. Функция Эйлера, свойства функции Эйлера.
15. Цепные дроби. Разложение рациональных чисел в цепную дробь.
Подходящие дроби, вычисление подходящих дробей, переход от
цепной дроби к неправильной.
16. Свойства подходящих дробей. Полное и неполное частные подходящих дробей.
17. Разложение иррациональных чисел в цепную дробь. Периодичность
бесконечной цепной дроби.
18. Лемма о дискриминанте. Теорема Лагранжа. Приближение иррациональных чисел подходящими дробями.
19. Сравнения, свойства сравнений.
20. Классы вычетов по данному модулю, свойства классов вычетов.
21. Кольцо классов вычетов. Делители нуля в кольце классов вычетов.
22. Полная и приведенная система вычетов.
23. Мультипликативная группа обратимых элементов.
24. Теорема Эйлера и малая теорема Ферма.
25. Тождество Гаусса.
26. Сравнения первой степени и их решение. Неопределенные уравнения.
27. Системы сравнений. Решение систем сравнений.
28. Китайская теорема об остатках.
29. Теорема Вильсона.
30. Сравнения высшей степени по простому модулю.
31. Сравнения по составному модулю. Показатель класса.
32. Первообразные корни, теоремы о существовании первообразных
корней.
33. Индексы, таблицы индексов. Теоремы о первообразных корнях и индексах.
34. Двучленные сравнения по простому модулю.
35. Вычет n-ой степени по простому модулю. Теорема о числе классов
вычетов.
36. Корень n-ой степени из а . Показательные сравнения.
37. Сравнения 2-ой степени по простому модулю.
38. Критерий Эйлера.
39. Теорема о числе квадратичных вычетов. Примеры.
40. Символ Лежандра, свойства символа Лежандра.
41. Закон взаимности.
42. Символ Якоби, свойства символа Якоби.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
а) Основная литература.
11
1. Алгебра и теория чисел. Учебное пособие под редакцией Н.Я.Виленкина. М.:
изд.-во «Просвещение. 1984. – 192 с.
2. Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник – практикум по теории чисел. –
М.: изд.-во «Просвещение. 1972. – 80 с.
3. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. – М.: Наука. 1985. – 504 с.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: изд-во «Просвещение». 1960.. – 576 с.
5. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука. 1981. – 178 с.
6. Кочева А.А. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. – М.: «Просвещение». 1984.– 41 с.
7. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: «Просвещение». 1970.
– 128 с.
8. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. – М., Изд. «Академия». 2008. . – 265 с.
9. Просветов Г.И. Теория чисел: Задачи и решения. – М. «Альфа Пресс. 2010. . –
72 с.
10. Серпинский В. 250 задач по теории чисел. – М.: «Просвещение». 1988. – 160 с.
11. Сизый С.В. Лекции по теории чисел. . – М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 2008. –
192 с.
б) Дополнительная литература.
1. Айерланд К., Роузен М. Введение в современную теорию чисел. – М.: Мир. 1987.
– 416 с.
2. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. «Введение в теорию чисел».
– М., Изд. «Академия». 2008. – 152 с.
3. Манин Ю.И., Панчишкин А.А. Введение в теорию чисел. – М.: ВИНИТИ 1990. –
135 с.
4.Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1961. – 112 с.
в) Учебно-методические материалы.
Программа-путеводитель по курсу «Алгебра и теория чисел». Составитель
В.С.Пясецкий. - Изд-во МГУ им. Н.П. Огарева, 1989. – 80 с.
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Мультимедийная техника (ПЭВМ с проектором) для демонстрации презентаций.
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки бакалавров 010400.62 «Прикладная
математика, теоретическая информатика и кибернетика»
Программа одобрена на заседании учебно-методической комиссии факультета математики и информационных технологий от “20” сентября 2012 г., протокол № 6.
12