МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный педагогический университет» (ФГБОУ ВПО «ОмГПУ») _______________________________________________________________ «Утверждаю» Проректор по научной работе __________________ И.П.Геращенко «24» марта 2015 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ АСПИРАНТОВ 01.06.01 Математика и механика (код, шифр, наименование направления подготовки) математическая логика, алгебра и теория чисел (направленность, профиль) Составитель(и): д.ф.-м.н., профессор кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Л.М.Мартынов к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Д.В.Соломатин Программа рекомендована кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии Протокол №___ от ___ марта 2014г. Зав.кафедрой __________/ А.Н.Зубков (подпись)(расшифровка подписи) Омск, 2014 2 I. Пояснительная записка Вступительный экзамен проводится в устной форме, оценки выставляются по пятибальной шкале. В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел. Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Основные компетенции, освоение которых осуществляется в ходе вступительного экзамена определяются содержанием. II. Основное содержание (по разделам, темам) Тема 1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиения на классы, фактор-множество. Тема 2. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Изоморфизм групп. Циклические группы и их описание. Смежные классы группы по подгруппе и их свойства. Теорема Лагранжа. Понятия нормального делителя и фактор-группы. Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная теорема о гомоморфизмах. Тема 3. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Изоморфизм колец. Понятие делимости в коммутативном кольце и его свойства. Делители нуля и единицы. Понятие ассоциированных элементов и его свойства. Простые и составные элементы. Факториальные кольца. Идеалы колец и операции над ними. Кольца главных идеалов (существование НОДа элементов, обрыв возрастающих цепочек главных идеалов и факториальность в таких кольцах). Сравнения по идеалу и его свойства. Факторкольцо по идеалу. Гомоморфизмы колец. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная теорема о гомоморфизмах колец. 3 Поля частных. Существование поля частных для области целостности. Евклидовы кольца и их свойства. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Тема 4. Кольцо целых чисел. Характеристическое свойство целых чисел. Существование и единственность системы целых чисел. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Кано- ническое разложение составного числа и его единственность. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной. Приложение теоремы сравнений к выводу признаков делимости. Превращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины десятичной дроби. Тема 5. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Характеристическое свойство рациональных чисел. Существование и единственность системы рациональных чисел. Упорядоченное поле. Система действительных чисел. Характеристическое свойство действительных чисел. Существование (идея док-ва) и единственность системы действительных чисел. Поле комплексных чисел. Характеристическое свойство комплексных чисел. Существование и единственность системы комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Система кватернионов и алгебра Кэли (октав). Линейные алгебры конечной размерности и обобщенная теорема Фробениуса. Понятие алгебраического и трансцендентного числа. Аннулирующий и минимальный многочлены алгебраического числа. Существование и единственность минимального многочлена. Степень алгебраического числа. 4 Тема 6. Понятие простого расширения поля. Строение простого и простого алгебраического расширения. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Понятие конечного расширения поля. Теорема о конечной возрастающей цепочки конечных расширений. Конечность простого алгебраического расширения. Понятие составного расширения и его минимальность. Строение составного расширения. Понятие составного алгебраического расширения и связь этого понятия с понятием конечного расширения. Алгебраичность всех элементов составного алгебраического расширения. Теорема о том, что множество всех алгебраических чисел есть поле. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. Вопрос о конечномерности поля алгебраических чисел над полем. Тема 7. Понятие выражения в радикалах и его свойства. Область рациональности уравнения. Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах. Понятие пифагорова расширения, его свойства и связь с понятием выражения в квадратных радикалах. Разрешимость кубических уравнений в квадратных радикалах. Примеры задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах: о квадратуре круга, удвоение куба и трисекции угла. Числа, допускающие построение циркулем и линейкой. Признаки разрешимости и неразрешимости задач на построение. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Операции над матрицами и их свойства. Ранг матрицы, его вычисление. Обратимость квадратной матрицы. Практические способы нахождения обратной матрицы. Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителей. Основные методы вычисления определителей. Условие равенства нулю определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Правило разложения определителя по строке. 5 Тема 8. Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерии совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных и по правилу Крамера. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств. Евклидовы пространства. Скалярное произведение в векторном пространстве. Понятие евклидова пространства. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Норма вектора и угол между векторами. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизмы евклидовых пространств. Тема 9. Линейные операторы. Задание линейного оператора с помощью отображения базиса. Матрица линейного оператора. Операции над линейными операторами. Изоморфизм линейных алгебр матриц и операторов. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и их свойства. Необходимые и достаточные условия существования собственных векторов. Характеристическое уравнение линейного оператора и его независимость от базиса. Возможность приведения матриц линейного оператора к диагональному виду. Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. 6 Тема 10. Многочлены над полем рациональных чисел. Нахождение рациональных корней. Примитивные многочлены и лемма Гаусса о них. Связь между приводимостью многочленов над областью целостности и над его полем частных. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна. Симметрические многочлены и их свойства. Основная теорема о симметрических многочленах, ее следствие и приложение к освобождению от иррациональности в знаменателе дроби. III. Вопросы и экзаменационные задания Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиения на классы, фактор-множество. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Изоморфизм групп. Циклические группы и их описание. Смежные классы группы по подгруппе и их свойства. Теорема Лагранжа. Понятия нормального делителя и фактор-группы. Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная теорема о гомоморфизмах. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Изоморфизм колец. Понятие делимости в коммутативном кольце и его свойства. Делители нуля и единицы. Понятие ассоциированных элементов и его свойства. Простые и составные элементы. Факториальные кольца. Идеалы колец и операции над ними. Кольца главных идеалов (существование НОДа элементов, обрыв возрастающих цепочек главных идеалов и факториальность в таких кольцах). Сравнения по идеалу и его свойства. Факторкольцо по идеалу. Гомоморфизмы колец. Ядро гомоморфизма и его свойства. Основная теорема о гомоморфизмах колец. 7 Поля частных. Существование поля частных для области целостности. Евклидовы кольца и их свойства. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Кольцо целых чисел. Характеристическое свойство целых чисел. Существование и единственность системы целых чисел. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Кано- ническое разложение составного числа и его единственность. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной. Приложение теоремы сравнений к выводу признаков делимости. Превращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины десятичной дроби. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Характеристическое свойство рациональных чисел. Существование и единственность системы рациональных чисел. Упорядоченное поле. Система действительных чисел. Характеристическое свойство действительных чисел. Существование (идея док-ва) и единственность системы действительных чисел. Поле комплексных чисел. Характеристическое свойство комплексных чисел. Существование и единственность системы комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Система кватернионов и алгебра Кэли (октав). Линейные алгебры конечной размерности и обобщенная теорема Фробениуса. Понятие алгебраического и трансцендентного числа. Аннулирующий и минимальный многочлены алгебраического числа. Существование и единственность минимального многочлена. Степень алгебраического числа. 8 Понятие простого расширения поля. Строение простого и простого алгебраического расширения. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Понятие конечного расширения поля. Теорема о конечной возрастающей цепочки конечных расширений. Конечность простого алгебраического расширения. Понятие составного расширения и его минимальность. Строение составного расширения. Понятие составного алгебраического расширения и связь этого понятия с понятием конечного расширения. Алгебраичность всех элементов составного алгебраического расширения. Теорема о том, что множество всех алгебраических чисел есть поле. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. Вопрос о конечномерности поля алгебраических чисел над полем. Понятие выражения в радикалах и его свойства. Область рациональности уравнения. Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах. Понятие пифагорова расширения, его свойства и связь с понятием выражения в квадратных радикалах. Разрешимость кубических уравнений в квадратных радикалах. Примеры задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах: о квадратуре круга, удвоение куба и трисекции угла. Числа, допускающие построение циркулем и линейкой. Признаки разрешимости и неразрешимости задач на построение. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Операции над матрицами и их свойства. Ранг матрицы, его вычисление. Обратимость квадратной матрицы. Практические способы нахождения обратной матрицы. Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителей. Основные методы вычисления определителей. Условие равенства нулю определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Правило разложения определителя по строке. 9 Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Следствие системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерии совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных и по правилу Крамера. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств. Евклидовы пространства. Скалярное произведение в векторном пространстве. Понятие евклидова пространства. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Норма вектора и угол между векторами. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизмы евклидовых пространств. Линейные операторы. Задание линейного оператора с помощью отображения базиса. Матрица линейного оператора. Операции над линейными операторами. Изоморфизм линейных алгебр матриц и операторов. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и их свойства. Необходимые и достаточные условия существования собственных векторов. Характеристическое уравнение линейного оператора и его независимость от базиса. Возможность приведения матриц линейного оператора к диагональному виду. Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. 10 Многочлены над полем рациональных чисел. Нахождение рациональных корней. Примитивные многочлены и лемма Гаусса о них. Связь между приводимостью многочленов над областью целостности и над его полем частных. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна. Симметрические многочлены и их свойства. Основная теорема о симметрических многочленах, ее следствие и приложение к освобождению от иррациональности в знаменателе дроби. IV. Список литературы для подготовки а) источники 1. Ф.Л.Варпаховский, А.С.Солодовников. Алгебра (элементы теории множеств, линейные уравнения) М.: Просвещение, 1981. 2. Ф.Л.Варпаховский, А.С.Солодовников. Алгебра (группы, кольца, поля и т.д.) М.; Просвещение, 1978. 3. Н.Я.Виленкин. Алгебра и теория чисел. Ч.З. М.; Просвещение. 1974. 4. Э.Б.Винберг. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. 5. Л.А.Калужнин. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973. 6. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. Основы теории групп. М.: Наука, 1972. 7. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. М.: Физматгиз, 2000. 8. Л.Я.Куликов. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. 9. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1962. 10. Е.С.Ляпин, А.Е.Евсеев. Алгебра и теория чисел. Ч.2 М.; Просвещение, 1978. 11. Л.М.Мартынов. Элементы алгебры и теории чисел. Омск: СибАДИ, 2004. 12. Ш.Х.Михелович. Теория чисел. М.: Высшая школа, 1967. 13. В.И.Нечаев. Числовые системы. М.; Просвещение, 1975. 14. Л.Я.Окунев. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966. 15. М.И.Редьков. Кольца и идеалы. Омск, ОГПИ, 1973. 16. М.И.Редьков Элементы теории полей. Омск, ОГПИ, 1975. 17. М.И. Редьков. Числовые системы (Методические рекомендации к изучению курса "Числовые системы"). Ч. 1. Омск: ОГПИ, 1984. 18. М.И.Редьков. Системы действительных и комплексных чисел (Методические рекомендации к изучению курса "Числовые системы").Ч. 2, Омск: ОГПИ, 1984. 11 б) основная литература А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2013. в) дополнительная литература М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. Основы теории групп. СПб.: Лань, 2009. Ю.Н.Смолин. Числовые системы. СПб.; Лань, 2009. Л.Я.Окунев. Высшая алгебра. СПб.; Лань, 2009. г) программное обеспечение и Интернет-ресурсы http://google.ru