DOC, 126 Кб - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины спецкурс
«С*-алгебры и компактные квантовые группы»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
для направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Пирковский А.Ю., pirkosha@gmail.
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин ____________________
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________ 2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман _____________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра, специализации
Математика, утвержденным в 2014 г

Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» являются:
Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных
методах теории C*-алгебр, теории представлений компактных групп и компактных
квантовых групп;
 Углублённое изучение некоторых конкретных тем и методов, в частности, теории
гильбертовых C*-модулей, мультипликаторов C*-алгебр, двойственности Таннаки-Крейна (в
классическом и квантовом случаях);
 Изучение конкретных примеров C*-алгебр и компактных квантовых групп (групповые C*алгебры, алгебра Тёплица, алгебра вращения, квантовая SU_2, свободная квантовая
ортогональная группа).


Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:



Получить общее представление о предмете «С*-алгебры и компактные квантовые группы»,
изучить базисные понятия и основные методы;
Изучить основные методы, принципы и математические структуры, используемые в теории
C*-алгебр и компактных квантовых групп, в частности, гельфандовскую теорию
коммутативных банаховых алгебр, ГНС-конструкцию, унитарные представления и
копредставления,
гильбертовы
C*-модули,
алгебры
мультиплкаторов,
теорию
двойственности Таннаки-Крейна;
Быть готовым использовать основные принципы и методы теории C*-алгебр и компактных
квантовых групп в последующей профессиональной деятельности в качестве научных
сотрудников, преподавателей вузов.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
умение
формулировать результат
умение строго доказать
утверждение
ПК-3
Правильно формулирует
собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
ПК-4
Оценивает строгость и
корректность научных текстов по
теории C*-алгебр и компактных
квантовых групп
Владеет профессиональной
лексикой в области теории C*алгебр и компактных квантовых
групп
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
понимание корректности
постановок задач
ПК-7
ПК-10
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение
курсовых и дипломных
работ).
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и
математической культуры в
процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с
преподавателями во время
консультаций.
Распознает и воспроизводит
названия основных
математических структур,
возникающих при изучении данной
дисциплины, умеет корректно
формулировать утверждения и их
доказательства
Компетенция достигается в
процессе накопления опыта
работы по данной теме и
общения с преподавателями.
Понимает постановки проблем
Продумывание базовых
понятий курса
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
математических методов,
применяемых при формулировке и
решении задач
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Код по
ФГОС/
НИУ
Компетенция
выделение главных
смысловых аспектов в
доказательствах

Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Понимает и воспроизводит
ключевые идеи, методы и
конструкции теории C*-алгебр и
компактных квантовых групп
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Продумывание ключевых
моментов лекций
ПК-16
Обосновывает и оценивает
мотивировки и логические ходы
доказательств основных
результатов теории C*-алгебр и
компактных квантовых групп
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с
преподавателем
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин
и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления подготовки
«Математика»
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

базовые курсы алгебры и математического анализа (1 и 2 годы бакалавриата);

базовый курс общей и метрической топологии (1 год бакалавриата);

курс функционального анализа (3-4 годы бакалавриата).
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
свободное владение основными понятиями линейной алгебры, теории колец, теории
групп, действительного, комплексного и функционального анализа. Желательно также знакомство
с основами теории представлений конечных групп.

Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
Практиче
Лекци Семин
ские
и
ары
занятия
Самостоятельная
работа
1
Банаховы алгебры
22
10
12
2
C*-алгебры
28
12
16
3
Компактные группы
18
8
10
4
Компактные квантовые группы
Итого:
22
10
12
90
40
50
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Форма контроля
Параметры **
1 2 3 4
Контрольная
работа
Экзамен
8
Письменная работа 80 минут
Письменный экзамен 180 мин
X
1 экзамен
1 контрольная работа

Критерии оценки знаний, навыков
На экзамене студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания,
полученные в курсе, к задачам, связанным с использованием техники С*-алгебр и C*-модулей,
теории представлений компактных групп, теории локально компактных квантовых групп и их
представлений, теории двойственности Таннаки-Крейна в классическом и квантовом контекстах.
Большое значение придается знакомству с конкретными примерами объектов, изученных в курсе
(групповые C*-алгебры, алгебра Тёплица, алгебра вращения, квантовая SU_2, свободная квантовая
ортогональная группа).
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Порядок формирования оценок по дисциплине
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Онакопленная= Отекущий = Оконтр.работа
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Орезульт = 0.2* Онакопл +0.8 *·Озач
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета: в пользу студента.

Образовательные технологии
На лекции обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки разбираемой темы,
даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры. Студентам на дом даются
задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для усвоения пройденного
материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень общего понимания
предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи предваряют
(продолжают) тематику лекций.


Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерный список задач.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
1. Опишите все замкнутые идеалы в алгебре C(X), где X – компактное топологическое
пространство.
2. Опишите максимальный спектр и преобразование Гельфанда алгебры C^n[a,b] и
дисковой алгебры A(D).
3. Пусть G – дискретная абелева группа. Постройте гомеоморфизм между ее
двойственной по Понтрягину группой и максимальным спектром алгебры l^1(G).
4. С помощью гельфандовской теории коммутативных банаховых алгебр докажите
следующую теорему Винера: если f – не обращающаяся в нуль непрерывная функция
на окружности, ряд Фурье которой сходится абсолютно, то ряд Фурье функции 1/f
также сходится абсолютно.
5. Пусть X – топологическое пространство. Обозначим через βX максимальный спектр
алгебры C_b(X). Докажите, что βX вместе с отображением из X в βX,
сопоставляющим каждой точке вычисляющий функционал в этой точке, является
стоун-чеховской компактификаций X. Докажите, что образ X плотен в βX, и что
построенное отображение из X в βX является гомеоморфизмом на свой образ тогда и
только тогда, когда X вполне регулярно.
6. Для коммутативной алгебры A обозначим через Max_+(A) пространство ее
максимальных модулярных идеалов, дополненное одной точкой A. Докажите, что
отображение из Max(A_+) в Max_+(A), сопоставляющее каждому максимальному
идеалу в A_+ его пересечение с A, является биекцией. Докажите, что если A –
банахова алгебра, то это отображение – гомеоморфизм.
7. Докажите, что банаховы *-алгебры C^n[a,b], A(D) и l^1(G) (где G – дискретная
группа, содержащая более одного элемента) не являются C*-алгебрами.
8. Докажите, что на алгебре C^n[a,b] (или A(D)) не существует нормы и инволюции,
превращающих ее в C*-алгебру.
9. Пусть G – дискретная группа. Докажите, что левое регулярное представление G в
пространстве l^2(G) единственным образом продолжается до непрерывного *гомоморфизма из l^1(G) в C*_r(G). Докажите, что этот гомоморфизм инъективен и
имеет плотный образ. Докажите, что в случае абелевой G он может быть
отождествлен с преобразованием Фурье.
10. Докажите, что алгебра Тёплица на пространстве Харди (т.е. C*-алгебра, порожденная
правым сдвигом) совпадает с C*-алгеброй, порожденной всеми операторами Тёплица
с непрерывными символами.
11. Докажите, что множество компактных операторов в пространстве Харди содержится
в алгебре Тёплица и является коммутаторным идеалом последней.
12. Докажите, что факторалгебра алгебры Тёплица по идеалу компактных операторов
изоморфна алгебре непрерывных функций на окружности.
13. Докажите, что расширение Тёплица 0 -> K(H) -> T -> C(T) -> 0 не расщепляется.
14. Верно ли, что спектр каждого самосопряженного элемента в какой-либо из алгебр
C^n[a,b], A(D) и l^1(Z) лежит в R?
15. Верно ли, что спектральный радиус каждого самосопряженного элемента какой-либо
из алгебр C^n[a,b], A(D) и l^1(Z) равен его норме?
16. Пусть A и B – унитальные C*-алгебры и φ - *-гомоморфизм из A в B. Докажите, что
для любого нормального элемента a из A и любой непрерывной функции f на спектре
a справедливо равенство φ(f(a))=f(φ(a)).
17. Пусть X – компактное топологическое пространство и a – элемент алгебры C(X).
Задайте непрерывное исчисление от a явной формулой.
18. Пусть (X,μ) – пространство с мерой, φ – ограниченная измеримая функция на X, T –
оператор умножения на φ в пространстве L^2(X,μ). Задайте непрерывное исчисление
от T явной формулой.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
19. Докажите, что любой элемент унитальной C*-алгебры является линейной
комбинацией четырех унитарных элементов.
20. Докажите, что идеал в C^1[0,1], состоящий из всех функций f, удовлетворяющих
условию f(0)=0, не обладает аппроксимативной единицей.
21. Пусть X – локально компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что алгебра C_0(X) обладает секвенциальной аппроксимативной единицей
тогда и только тогда, когда X σ-компактно.
22. Пусть H – гильбертово пространство. Докажите, что алгебра K(H) обладает
секвенциальной аппроксимативной единицей тогда и только тогда, когда H
сепарабельно.
23. Докажите, что сепарабельная C*-алгебра обладает секвенциальной аппроксимативной
единицей.

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Банаховы алгебры. Основные примеры банаховых алгебр (алгебры функций,
операторные алгебры, групповые L1-алгебры дискретных групп). Унитизация.
Унитизация алгебры C_0(X) и одноточечная компактификация пространства X.
2. Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра. Теорема об отображении
спектра для многочленов. Неунитальный спектр.
3. Свойства мультипликативной группы банаховой алгебры. Компактность и непустота
спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.
4. Максимальный спектр и пространство характеров унитальной коммутативной
алгебры. Автоматическая непрерывность характеров банаховой алгебры. Замкнутость
максимальных идеалов в унитальной банаховой алгебре. Биекция между
пространством характеров и максимальным спектром унитальной коммутативной
банаховой алгебры. Гельфандова топология на максимальном спектре. Компактность
максимального спектра (унитальный случай).
5. Преобразование Гельфанда. Примеры: максимальный спектр и преобразование
Гельфанда алгебр C(X), C_b(X) (стоун-чеховская компактификация) и l^1(G)
(двойственная по Понтрягину группа и преобразование Фурье). Функуториальные
свойства преобразования Гельфанда. Преобразование Гельфанда в неунитальном
случае.
6. Банаховы *-алгебры. C*-алгебры. Примеры: алгебры непрерывных функций, алгебры
операторов, приведенные групповые C*-алгебры дискретных групп, алгебра
иррационального вращения, алгебра Тёплица. Произведения и унитизации C*-алгебр.
7. Спектры унитарных и самосопряженных элементов в C*-алгебрах. Спектральный
радиус нормального элемента. Спектральная инвариантность C*-подалгебр. Первая
(коммутативная) теорема Гельфанда-Наймарка. Категорная интерпретация теоремы
Гельфанда-Наймарка.
8. Непрерывное функциональное исчисление в C*-алгебрах. Положительные элементы
и порядковая структура в C*-алгебрах. Сходимость направленностей в
топологических пространствах.
9. Аппроксимативные единицы в C*-алгебрах. Факторалгебры С*-алгебр.
Положительные функционалы на C*-алгебрах.
10. ГНС-конструкция. Продолжение положительных функционалов. Вторая теорема
Гельфанда-Наймарка.
11. Тензорные произведения C*-алгебр.
12. Гильбертовы C*-модули. Алгебры мультипликаторов.
13. Компактные группы. Мера Хаара. Унитарные представления.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «С*-алгебры и компактные квантовые группы» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
14. Конечномерность унитарных представлений компактной группы. Разложение
унитарных представлений на неприводимые. Теорема Петера-Вейля.
15. Соотношения ортогональности для матричных элементов неприводимых
представлений компактной группы. Преобразование Фурье и его обратное. Теорема
Планшереля.
16. Двойственность Таннаки-Крейна для компактных групп.
17. Компактные квантовые группы. Определения и примеры (квантовая SU(n), квантовая
SO(n), свободная унитарная и свободная ортогональная квантовые группы). Описание
коммутативных компактных квантовых групп.
18. Унитарные копредставления компактных квантовых групп. Разложение на
неприводимые. Соотношения ортогональности.
19. Подалгебра Хопфа матричных элементов конечномерных копредставлений.
Cпаривания с квантовыми обертывающими алгебрами.
20. Двойственность Таннаки-Крейна для компактных квантовых групп.


Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовые учебники
1. Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997.
2. B. Blackadar. Operator algebras. Springer, 2006.
3. A. Robert. An introduction to the representation theory of compact and locally compact groups.
Cambridge, 1983.
4. М. А. Наймарк. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.
5. S. Neshveyev, L. Tuset. Compact quantum groups and their representation categories. SMF, 2013.
6. T. Timmermann. An invitation to quantum groups and duality. EMS, 2008.
9.2 Дополнительная литература
1. K. R. Davidson. C*-algebras by example. AMS, 1996.
2. Ж. Диксмье. C*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974.
3. R. V. Kadison and J. R. Ringrose. Fundamentals of the theory of operator algebras. Academic
Press, 1983 (Vol. 1), 1986 (Vol. 2).
4. M. Takesaki. Theory of operator algebras. Springer, 2002 (vol. I), 2003 (vols. II and III).
5. А. Я. Хелемский. Банаховы и полинормированные алгебры. М.: Наука, 1989.
6. J. M. G. Fell, R. S. Doran. Representations of *-algebras, locally compact groups, and Banach *algebraic bundles. Academic Press, 1988.
7. G. B. Folland. A course in abstract harmonic analysis. CRC Press, 1995.
8. A. Deitmar, S. Echterhoff. Principles of harmonic analysis. Springer, 2009.
9. K. H. Hofmann, S. Morris. The structure of compact groups. De Gruyter, 2006.
10. A. Joyal, R. Street. An introduction to Tannaka duality and quantum groups. Lecture Notes in
Math. 1488, 411-492. Springer, 1991.
11. Д. П. Желобенко. Основные структуры и методы теории представлений. М.: МЦНМО, 2004.
12. A. Klimyk, K. Schmüdgen. Quantum groups and their representations. Springer, 1997.
13. S. L. Woronowicz. Twisted SU(2) group. An example of a non-commutative differential calculus.
Publ. RIMS, Kyoto Univ. 23 (1987), 117-181.
14. S. L. Woronowicz. Compact matrix pseudogroups. Commun. Math. Phys. 111 (1987), 613-665.
15. S. L. Woronowicz. Tannaka-Krein duality for compact matrix pseudogroups. Twisted SU(N)
groups. Invent. Math. 93 (1988), 35-76.
16. S. L. Woronowicz. Compact quantum groups. In: "Symétries quantiques" (Les Houches, 1995),
845-884, North-Holland, 1998.