44.03.05_po_matematikaiinformatika_geometriya_1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«____» ___________ 20____ г.
Рабочая программа дисциплины
Геометрия
Направление подготовки
44.03.05 Педагогическое образование
(с двумя профилями подготовки)
Профили подготовки
Математика и информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .......................................................... 3
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ....................................................................................................... 3
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В
ПРОЦЕССЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................... 4
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ .............................. 4
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................... 8
4.1. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................................. 8
4.2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................... 9
4.3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ .................................................................... 11
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ
ОСВОЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ ......................................................................... 15
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ .......................................... 15
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ. ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................. 15
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ........................... 15
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ......................................... 17
7. ДАННЫЕ ДЛЯ УЧЕТА УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТОВ В БАРС ... 25
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................. 32
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ ................................................................................... 32
Основная литература .............................................................................. 32
Дополнительная литература .................................................................. 32
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ ........................................................................................ 33
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ........................................................................ 34
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................. 34
2
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Геометрия» является формирование систематизированных знаний в области геометрии и ее основных методов.
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла (Б3.В6).
Для освоения дисциплины «Геометрия» студенты используют знания,
умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения математике, геометрии в общеобразовательной школе. Она является, наряду с дисциплинами «Алгебра», «Математический анализ» и др. фундаментом высшего математического и профессионального образования бакалавра по направлению «Педагогическое образование».
Среди специальных математических дисциплин в подготовке учителя
математики и информатики геометрия занимает важное место в развитии
абстрактного мышления и пространственного воображения студентов, столь
необходимых им в будущей профессиональной деятельности. Важность во
многом определяется современным пониманием предмета геометрии,
строгостью его изложения, глубиной и шириной геометрического материала,
приложениями в различных областях знаний. Курс геометрии должен
обеспечить развитие у будущего учителя достаточно широкого взгляда на
геометрию и вооружить его конкретными знаниями, дающими ему
возможность преподавать геометрию в средней школе и квалифицированно
вести факультативные и элективные курсы.
Геометрия – одна из самых сложных и трудоемких дисциплин в
процессе подготовки учителя математики, некоторые ее разделы продолжают
и углубляют школьный курс, другие служат расширению кругозора,
развивают навыки самостоятельного поиска ответов на возникающие
вопросы.
Данная дисциплина имеет очень важное общеобразовательное мировоззренческое значение и содержит объем знаний, необходимых будущему
учителю математики и информатики. Изучение дисциплины «Геометрия»
является необходимой основой для последующего освоения дисциплин
«Элементарна математика», дисциплины базовой части профессионального
цикла «Методика обучения и воспитания (по профилю «математика и информатика»)», а также для успешного прохождения педагогической практики.
3
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
а) общекультурных (ОК):
- владения культурой мышления, способности к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения
(ОК-1);
- способности использовать знания в современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и
экспериментального исследования (ОК 4);
- способности логически верно выстраивать устную и письменную речь
(ОК-6);
б) общепрофессиональных (ОПК):
- осознания социальную значимость своей будущей профессии, обладания
мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);
- владения основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
- способности нести ответственность за результаты своей профессиональной
деятельности (ОПК-4);
в) специальных (СК):
- способности ориентироваться в основных фактах, идеях и методах математики и информатики, использовать научный язык, методологию программирования, современные компьютерные технологии, применять знания
при решении практических задач (СК-1);
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
•Знать: основные понятия и строгие доказательства фактов основных
разделов курса геометрии;
1. В области векторной алгебры: понятия направленных отрезков, векторов, свойства операций над векторами, понятия и свойства линейно зависимых и независимых систем векторов, координат векторов, понятия базиса, ортогонального и ортонормированного базисов, скалярное произведение векторов и его свойства, понятия векторного пространства и подпространства.
2. По разделу «Метод координат на плоскости»: понятия аффинной системы координат на плоскости, ориентации плоскости и угла; формулы
4
преобразования аффинных и прямоугольных координат на плоскости; понятие полярной системы координат, формулы связи между полярными и
прямоугольными координатами.
3. По разделу «Прямая на плоскости»: способы задания прямой на плоскости, виды уравнений прямой; формулу для вычисления расстояния от точки до прямой; взаимное расположение двух прямых; понятия пучков пересекающихся и параллельных прямых, их уравнения; формулу для вычисления угла между двумя прямыми.
4. По разделу «Линии второго порядка»: виды и определения линий второго порядка, их свойства и канонические уравнения, уравнения в полярных координатах; построение эллипса, гиперболы и параболы с помощью
циркуля и линейки; приведение общего уравнения линии второго порядка
к каноническому виду; классификацию линий второго порядка, понятия
центра, асимптоты, касательной, диаметра линии второго порядка, их
уравнения.
5. По разделу «Преобразования плоскости»: определения и различные виды - движений плоскости, подобия, гомотетии, аффинных преобразований; общие формулы движения, подобия и аффинных преобразований;
понятия инвариантные точки и инвариантные прямые; классификацию
движений. подобий, аффинных преобразований.
6. По разделу «Метод координат в пространстве»: понятия аффинной,
прямоугольной систем координат в пространстве, формулы их преобразования; понятия ориентированного пространства, ориентированных реперов, их свойства; определения и свойства векторного и смешанного произведений векторов.
7. По разделу «Плоскости и прямые в пространстве»: способы задания
плоскости в пространстве, виды уравнений; формулы для вычисления расстояния от точки до плоскости и угла между двумя пересекающимися
плоскостями; взаимное расположение плоскостей, пучки плоскостей; способы задания прямой в пространстве, виды уравнений; взаимное расположение прямых, прямой и плоскости; формулы для вычисления угла между
двумя прямыми, между прямой и плоскостью.
8. По разделу «Поверхности второго порядка»: понятия поверхности, алгебраической поверхности, поверхности второго порядка; сущность метода сечений; цилиндрические, конические поверхности второго порядка, их
виды, уравнения; понятие конического сечения; эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, их уравнения, свойства, построение; понятие прямолинейных образующих поверхностей второго порядка.
9. По разделу «Аффинное и Евклидово n-мерное пространство»: понятие
аффинного n-мерного пространства; определение k-мерной плоскости в nмерном аффинном пространстве и уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве; аффинные преобразования.
5
10.По разделу «Квадратичные формы и квадрики»: понятие билинейной
формы, квадратичной формы и квадрики; способы приведения квадратичной формы к каноническому или нормальному виду; классификацию
квадрик.
11.По разделу «Методы изображений»: свойства параллельного проектирования; изображения плоских фигур: треугольника, параллелограмма, трапеции, окружности, произвольного многоугольника; изображения пространственных фигур: многогранников, сферы, конуса, цилиндра; основные аксонометрии; теорему Польке-Шварца; понятие о позиционных и
метрических задачах; понятие о методе Монжа и перспективе.
12. По разделу «Понятие проективного пространства»: понятие проективного пространства; модели проективной плоскости; проективные координаты и уравнение прямой в проективных координатах; сущность принципа двойственности; теорему Дезарга; сложное отношение четырех точек
прямой и их свойства; проективные преобразования.
13. По разделу «Основные факты проективной геометрии»: понятие полного четырехвершинника и его свойства; линии второго порядка на проективной плоскости и их свойства; прямые и обратные теоремы Штейнера, Паскаля, Брианшона, а также двойственные им теоремы.
14.По разделу «Исторический обзор обоснований геомтерии. «Начала»
Евклида: исторический обзор развития геометрии как науки; аксиоматику
Евклида и Лобачевского; систему аксиом Гильберта, знать аксиоматику
Вейля и определение основных понятий в данной аксиоматике.
15.По разделу «Общие вопросы аксиоматики»: понятие математической
структуры, интерпретации аксиом; сущность аксиоматического метода;
непротиворечивость, независимость и полноту системы аксиом.
•Уметь: применять теоретические знания к решению геометрических
задач по курсу;
1. В области векторной алгебры: выполнять операции над векторами; выяснять линейную зависимость или независимость систем векторов; вычислять скалярное произведение векторов и углы между векторами; вычислять расстояния между точками, делить отрезок в данном отношении.
2. По разделу «Метод координат на плоскости»: строить точки в аффинной, прямоугольной и полярной системах координат на плоскости, использовать формулы преобразования аффинных и прямоугольных координат на плоскости, формулы связи между полярными и прямоугольными
координатами при решении задач.
3. По разделу «Прямая на плоскости»: составлять уравнения прямой на
плоскости в различных видах в аффинной и прямоугольной системах координат; вычислять расстояние от точки до прямой, угол между прямыми;
выяснять взаимное расположение двух прямых.
6
4. По разделу «Линии второго порядка»: выводить канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы; строить их с помощью циркуля и линейки; приводить общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду; составлять уравнения асимптоты, касательной, диаметра линии второго порядка.
5. По разделу «Преобразования плскости»: строить образы фигур при различных преобразованиях плоскости; приводить примеры преобразований;
получать координатные задания преобразований; классифицировать преобразования.
6. По разделу «Метод координат в пространстве»: вычислять векторное и
смешанное произведения векторов, находить с их помощью площадь треугольника и объем параллелепипеда.
7. По разделу «Плоскости и прямые в пространстве»: составлять различные уравнения плоскости в пространстве, выяснять взаимное расположение плоскостей, вычислять расстояние от точки до плоскости и угол между двумя пересекающимися плоскостями; составлять различные уравнения прямой в пространстве, выяснять взаимное расположение прямых,
прямой и плоскости; вычислять углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.
8. По разделу «Поверхности второго порядка»: распознавать поверхности
по их уравнениям, исследовать поверхности методом сечений; составлять
уравнения поверхностей, их прямолинейных образующих.
9. По разделу «Аффинное и Евклидово n-мерное пространство»: составлять уравнение k-мерных плоскостей; выяснять взаимное расположение
многомерных плоскостей; решать метрические задачи в многомерных евклидовых пространствах.
10. По разделу «Квадратичные фрмы и квадрики»: уметь приводить
квадратичную форму и квадрику к каноническому или нормальному виду;
классифицировать квадрики.
11.По разделу «Методы изображений»: применять свойства параллельного
проектирования при изображении плоских фигур: треугольника, параллелограмма, трапеции, окружности, произвольного многоугольника, а также
при изображении пространственных фигур: многогранников, сферы, конуса, цилиндра; решать позиционные и метрические задачи на полных
изображениях.
12. По разделу «Понятие проективного пространства»: уметь стоить точки на моделях проективной плоскости; составлять уравнение прямой в
проективных координатах; применять принцип двойственности при формулировке утверждений; применять теорему Дезарга к решению задач;
вычислять сложное отношение четырех точек прямой в проективных координатах и с помощью свойств.
13.По разделу «Основные факты проективной геометрии»: применять
свойства полного четырехвершинника к построению четвертой гармони7
ческой точки; решать задачи с помощью теорем Паскаля, Брианшона, а
также двойственных им теорем.
14.По разделу «Исторический обзор обоснований геометрии. «Начала»
Евклида: уметь доказывать теорема на основе аксиоматики Евклида, Лобачевского и Гильберта, Вейля.
15.По разделу «Общие вопросы аксиоматики»: доказывать непротиворечивость, независимость и полноту системы аксиом; приводить примеры.
•Владеть:

различными приемами использования идеологии курса геометрии к
доказательству теорем и решению задач школьного курса;

техникой применения векторной алгебры к решению геометрических
задач, в частности, задач школьного курса геометрии;

теорией и практикой аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, в частности, решением задач на прямую и плоскость в пространстве, на линии второго порядка на плоскости, на поверхности второго порядка в пространстве, на преобразование плоскости и пространства;

теорией и практикой элементов аффинной и евклидовой геометрии
плоскостей, в частности, методов изображений на плоскости плоских и пространственных фигур, и их применения к решению задач школьного курса
геометрии;

теорией и практикой элементов проективной геометрии и их применения к решению задач школьного курса геометрии;

теорией и практикой элементов многомерной аффинной и евклидовой
геометрий;

теорией и практикой оснований геометрии, т.е. основ аксиоматического построения геометрии, включая модель Г. Вейля трехмерного евклидова
пространства;

теорией и практикой элементов геометрии плоскости Лобачевского
вплоть до построения и анализа модели Кэли-Клейна плоскости Лобачевского включительно.
Приобрести опыт:
 ознакомительного и изучающего чтения специальной литературы;
 решения геометрических задач различного уровня сложности;
 применять методы решения геометрических задач в не стандартных ситуациях.
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 15 зачетных единиц, 504
часов. из них 99 часа – экзамен, 252 часа аудиторной работы и 153 часа само8
стоятельной работы студентов. Дисциплина «Геометрия» изучается на 1 и 2
курсах, с 1 по 4 семестры. В 3 семестре предусмотрен зачет, в 1, 2 и 4 –
экзамен.
4.2. Структура дисциплины
№
п/п
Раздел дисциплины
Се
мес
тр
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)/ из них в интерактивной форме (иф)
1
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЫ
1
1-3
Всего Л/иф ПЗ/иф СРС
24
6
6/2
12
2
МЕТОД
1
КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ
4-6
24
8/2
4
12
3
ПРЯМАЯ
НА 1
ПЛОСКОСТИ
7-10
32
6/2
10/2
16
4
ЛИНИИ
ВТОРОГО
ПОРЯДКА.
1
11-17
52
12/2
14/4
26
5
ПРЕОБРАЗОВАН
ИЯ ПЛОСКОСТИ
1
17-18
12
4
2
6
24-26
36
180
16
6
1
Всего
1
ПРЕОБРАЗОВАН 2
ИЯ ПЛОСКОСТИ
Формы текущего
контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
выполнение
домашних работ
выполнение
домашних работ Самостоятельная работа
№1
выполнение
домашних работ. Самостоятельная работа
№2
Контрольная
работа № 1
выполнение
домашних работ. Самостоятельная работа
№3, 4. Контрольная работа № 2,
экзамен
36
4
36
6/2
72
6
выполнение
домашних работ Самостоятельная работа
№1
9
7
МЕТОД
2
КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ
26-28
12
6/2
2
4
8
ПЛОСКОСТИ И 2
ПРЯМЫЕ
В
ПРОСТРАНСТВЕ
28-32
27
6
10/2
11
9
ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО
ПОРЯДКА
2
32-34
13
6/2
2
5
10
АФФИННОЕ И 2
ЕВКЛИДОВО NМЕРНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
34-39
36
10/2
12/4
14
11
КВАДРАТИЧНЫ 2
Е ФОРМЫ И
КВАДРИКИ
40-41
13
4
4
5
1-9
27
144
34
36
8
36
18/4
45
8
9-18
38
10/2
18/4
10
24-32
72
28
18
4
36
20/6
18
4
12
13
14
ВСЕГО
МЕТОДЫ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
2
2
3
ПОНЯТИЕ
3
ПРОЕКТИВНОГО
ПРОСТРАНСТВА
ВСЕГО
ОСНОВНЫЕ
ФАКТЫ
ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
3
3
3
выполнение
домашних работ Самостоятельная работа
№2
выполнение
домашних работ. Самостоятельная работа
№ 3 Контрольная работа № 3
выполнение
домашних работ
выполнение
домашних работ. Контрольная работа № 4
выполнение
домашних работ. Индивидуальные
задания,
экзамен
выполнение
домашних работ. Самостоятельная работа.
Домашняя контрольная работа № 5
выполнение
домашних работ. Контрольная работа № 6
зачет
выполнение
домашних работ. Контрольная работа № 7
10
15
16
17
18
ИСТОРИЧЕСКИ
4
Й
ОБЗОР
ОБОСНОВАНИЙ
ГЕОМЕТРИИ.
«НАЧАЛА»
ЕВКЛИДА.
ЭЛЕМЕНТЫ
ГЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГ
О
ОБЩИЕ
4
ВОПРОСЫ
АКСИОМАТИКИ
ОБОСНОВАНИЕ
ЕВКЛИДОВОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ДЛИНА,
4
ПЛОШАДЬ
И
ОБЪЕМ
32-37
20
6/2
10/2
4
Выступление
на
практических занятиях
38-39
8
4
2
2
Выступление
на
практических занятиях
39-40
8
2
2
4
НЕЕВКЛИДОВЫ
ГЕОМЕТРИИ
41-42
8
2
2
4
36
108
540
Выступление
на
практических занятиях
Выступление
на
практических занятиях
Экзамен.
18
118
36
134
18
216
ВСЕГО
Итого
4
4
4.3. Содержание дисциплины
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Направленные отрезки. Эквиполлентные направленные отрезки. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора. Ортонормированный базис.
Скалярное произведение векторов. Геометрический смысл координат вектора
в ортонормированном базисе. Векторные подпространства.
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Аффинная система координат на плоскости. Деление отрезка в данном
отношении. Ориентация плоскости. Ориентированный угол. Площадь ориентированного треугольника. Формулы преобразования аффинной и прямоугольной систем координат. Полярная система координат.
11
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Способы задания прямой на плоскости, виды уравнений. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Ах+Ву+С. Расстояние
от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых. Пучки прямых.
Угол между двумя прямыми.
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Эллипс, вывод канонического уравнения, свойства, построение с помощью циркуля и линейки. Гипербола, вывод канонического уравнения,
свойства, построение с помощью циркуля и линейки. Парабола, вывод канонического уравнения, свойства, построение с помощью циркуля и линейки.
Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Общее
уравнение линии второго порядка, приведение его к каноническому виду.
Классификация линий второго порядка. Центр линии второго порядка. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
Асимптоты. Касательная к линии второго порядка. Диаметры линии второго
порядка. Главные направления, главные диаметры.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
Движения плоскости. Примеры движений. Общие формулы движения.
Инвариантные точки, инвариантные прямые. Классификация движений.
Группа преобразований множества. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Композиция осевых симметрий. Группа симметрий геометрической
фигуры. Подобие, гомотетия. Группа подобий и ее подгруппы. Аффинные
преобразования. Группа аффинных преобразований. Примеры аффинных
преобразований. Аффинная эквивалентность фигур.
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Аффинная система координат в пространстве. Прямоугольная система
координат. Ориентация пространства. Преобразование аффинных и прямоугольных координат в пространстве. Векторное произведение векторов, алгебраические свойства. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Геометрический смысл векторного произведения векторов. Смешанное произведение векторов, свойства. Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Способы задания плоскости в пространстве, виды уравнений. Общее
уравнение плоскости. Условие перпендикулярности вектора и плоскости.
Особенности расположения плоскости по отношению к системе координат в
зависимости от вида общего уравнения. Расстояние от точки до плоскости.
Угол между плоскостями. Геометрический смысл знака многочлена
Ах+Ву+Сz+D. Взаимное расположение плоскостей. Пучки плоскостей. Прямая в пространстве, способы задания прямой, виды уравнений. Взаимное
12
расположение прямых. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и
плоскостью.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА
Движения пространства. Инвариантные точки, прямые и плоскости.
Преобразование подобия пространства. Аффинные преобразования пространства.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Понятие поверхности второго порядка. Метод сечений. Цилиндрические поверхности второго порядка, их виды, уравнения. Конические поверхности второго порядка, их виды, уравнения. Конические сечения. Понятие
поверхности вращения. Эллипсоид вращения, эллипсоид, свойства, уравнения. Однополостный гиперболоид вращения, однополостный гиперболоид,
свойства, уравнения. Двуполостный гиперболоид вращения, двуполостный
гиперболоид, свойства, уравнения. Эллиптический параболоид вращения, эллиптический параболоид, свойства, уравнения. Гиперболический параболоид, свойства, уравнение. Прямолинейные образующие поверхностей второго
порядка.
АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО N-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Векторное n-мерное пространство. Евклидово n-мерное пространство.
Аффинное n-мерное пространство. k-мерные плоскости в n-мерном аффинном пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Евклидово n-мерное
пространство (определение, длина отрезка). Прямоугольная система координат. Вычислительные формулы.). Гиперплоскость в Еn. Аффинные преобразования, подобия и движения в n-мерных пространствах. Группы преобразований. Классификация движений трехмерного евклидова пространства.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И КВАДРИКИ
Билинейные формы. Квадратичная форма и ее связь с билинейной
формой. Приведение квадратичной формы к каноническому или нормальному виду. Закон инерции. Положительно определенные формы. Квадрики в
аффинном пространстве. Центр. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду. Классификация квадрик. Квадрики в трехмерном евклидовом
пространстве.
МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Центральное проектирование. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Ортогональное проектирование. Изображение окружности и сферы.
Аксонометрия. Теорема Польке-Шварца. Изображение прямых и плоскостей. Позиционные и метрические задачи.
13
Полные и неполные изображения, их применение при изучении стереометрии.
Понятие о Методе Монжа
Краткие сведения о перспективе.
ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Проективные координаты. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
Проективные преобразования. Группа проективных преобразований. Предмет проективной геометрии.
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Сложное отношение и
его инвариантность при проективных
преобразованиях. Гармоническая четверка точек. Построение четвертой
гармонической. Линии второго порядка на проективной плоскости.
Канонические уравнения линии второго порядка в проективных координатах,
проективная классификация линий второго порядка. Полюс и поляра.
Понятие о полярном соответствии. Конструктивные задачи. Приложения к
решению задач школьного курса.
Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой. Евклидова геометрия с проективной точки зрения.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ОБОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА
Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида. Критика системы Евклида.
V постулат Н.И. Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского. Система аксиом Гильберта.
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АКСИОМАТИКИ
Понятие о математической структуре. Изоморфизм. Понятие об интепретации аксиом. Непротиворечивость, независимость, полнота системы аксиом. Примеры.
ОБОСНОВАНИЕ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ПО ВЕЙЛЮ
Непротиворечивость и полнота системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Опредление прямых, плоскостей, лучей, отрезков, углов. Примеры доказательства некоторых теорем.
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Основные факты геометрии Лобачевского. Параллельные прямые и их
свойства. Расходящиеся прямые и их свойства. Угол параллельности.
Окружность, эквидистанта, орицикл. Понятие о взаимном расположении
прямых и прямой и плоскости в пространстве Лобачевского.
14
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Учебная работа по дисциплине «Геометрия» проводится в форме лекций,
практических занятий и самостоятельной работы студентов, причем в
интерактивной форме проводится не менее 20% аудиторных занятий.
Контроль за качеством знаний осуществляется с помощью самостоятельных
работ, обязательных контрольных работ, на зачетах, коллоквиумах и
семестровых экзаменах. Самостоятельная работа студентов предполагает
изучение лекционного материала, учебной литературы, самостоятельное
доказательство указанных преподавателем теорем, выполнение домашних
заданий, написание курсовой работы.
Традиционные образовательные технологии:
– лекции:
– практические занятия;
Активные и интерактивные формы занятий:
– проблемная лекция;
– занятия в форме дискуссий;
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт,
произведена замена текста аудиозаписью, использованы звуковые средства
воспроизведения информации.
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Использование информационных ресурсов, доступных в информационно-телекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в
п. 8 настоящей программы).
 Использование Microsoft Office для создания комплексных электронных документов.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
К самостоятельной работе студентов относится: детальная проработка
лекций, учебной литературы, самостоятельное доказательство указанных
преподавателем теорем, выполнение домашних и индивидуальных заданий,
выполнение контрольных работ.
15
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используется рейтинговая и информационно-измерительная система оценки
знаний.
Система текущего контроля включает:
 контроль общего посещения;
 контроль активности студента на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий;
 контроль промежуточных знаний, умений, навыков усвоенных в данном
курсе в форме самостоятельных работ
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
письменной контрольной работы
Работа на практических занятиях оценивается преподавателем (по
пятибалльной шкале) по итогам подготовки и выполнения студентами
практических заданий, активности работы в группе и самостоятельной
работе. Пропуск практических занятий предполагает отработку по
пропущенным темам. Форма отработки определяется преподавателем,
ведущим занятие.
Преподаватель контролирует и оценивает выполнение домашних
заданий, самостоятельных и контрольных работ, активность на практических
и лекционных занятиях проблемного характера. Все виды контроля находят
количественное отражение в текущем и итоговом рейтинге студента по
дисциплине. Контрольная работа проводится на практическом занятии после
изучении темы или раздела и предназначена для оценки знаний, умений и
навыков, приобретенных в процессе теоретических и практических занятий
по данной дисциплине. Планируется 7 контрольных работ при освоении
модуля.
Оценка за контрольную работу, тест выставляется в соответствии со
следующими критериями:
 оценка «отлично» (5 баллов) - 80-100% правильно решенных заданий;
 оценка «хорошо» (4 балла) - 65-79% правильно решенных заданий;
 оценка «удовлетворительно» (3 балла) - 50 -64% правильно решенных
заданий;
 оценка «неудовлетворительно» - 49% и менее правильно решенных
заданий.
На практическом занятии со студентами очной формы обучения подробно рассматриваются типовые примеры по указанной теме, обсуждается ход
решения, анализируются возможные варианты.
16
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
Контрольная работа №1
ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
1. Даны точки А(-2,1); В(4,3). На оси ординат найти такую точку М, чтобы
угол АМВ был прямым.
2. Доказать, что АВС – равнобедренный, и составить уравнение его оси
симметрии, если А(3,5), В(- 4,1); С(2,-3).
3. Даны уравнения двух сторон прямоугольника:
(ВС): х-2у=0, (АД): х-2у+15=0 и уравнение его диагонали (ВD): 7х+у-15=0.
Найти вершины прямоугольника.
4. Определить угол между прямыми 1: 5х-у+7=0, 2: 3х+2у-1=0
5. Найти площадь правильного треугольника, если известны одна из его
вершин А(1,3) и уравнение стороны ВС: 3х+4у-10=0.
Контрольная работа № 2
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Через фокус F1 эллипса
x2 y2

 1 проведена хорда, параллельная оси Оу.
25 16
Определить длину этой хорды.
2. Найти угол между асимптотами гиперболы, у которой эксцентриситет
  2.
3. Привести уравнение к каноническому виду и изобразить соответствующую
линию
в
канонической
системе
координат:
11x 2  24 xy  4 y 2  14 x  48 y  25  0.
Контрольная работа № 3
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Даны вершины А(4,0,2), В(0,5,1), С(4,-1,3), А1(3,-1,5) параллелепипеда
АВСDA1B1C1D1.Составить уравнение грани ВСС1В1.
2. Даны координаты вершин А(1,0,-2), В(2,1,-1), С(0,2,-3), D(-1,-2,1) тетраэдра АВСD в прямоугольной системе координат. Найти координаты точки D1,
симметричной вершине D относительно плоскости АВС.
 х  1  2t ,
 x  6  3t ,


3. Определить взаимное расположение прямых  1 :  y  7  t , и  2 :  y  1  2t ,
 z  2  t.
 z  3  4t


17
4. Дан параллелепипед, определенный условиями задачи 1. Составить уравнения диагоналей А1С и В1D, найти угол между ними и угол между диагональю А1С и плоскостью ВСС1В1.
Контрольная работа № 4
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Составить параметрическое и общее уравнение плоскости наименьшей
размерности, проходящей через точки А(0, 1, 4, 1), В(2, -2, 5, 0), С(1, 4, 2, 5),
Д(3, 1, 3, 4), Е(5, -2, 4, 3).
 х1  2 х2  4 х3  3х4  2,
и
2 х1  3х2  7 х3  6 х4  6.
2. Выяснить взаимное расположение плоскостей П1: 
4 х1  7 х2  х3  12,
 х1  х2  х3  х4  1.
П2: 
3. Найти расстояние от точки М(8, 11, -6, 9) до плоскости П:
2 х1  3х2  х3  х4  0,

 х1  2 х2  х3  3х4  4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Контрольная работа № 5
МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Дано изображение ромба с острым углом 600. Построить изображение точек касания сторон ромба с окружностью, вписанной в него (без использования перспективно аффинного преобразования).
Дано изображение треугольника, у которого в оригинале стороны относятся как 2:3:4. Построить изображение центра вписанной в треугольник
окружности. (задача решается с использованием перспективно-аффинного
преобразования)
Построить изображение сечения пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, лежащими на боковых гранях.
Построить сечение пятиугольной пирамиды плоскостью, заданной тремя
точками две – на боковых ребрах, одна на стороне основания.
Изобразить сечение конуса плоскостью, проходящей через середину его
высоты под углом 450 к плоскости основания. Известно, что высота конуса равна диаметру его основания.
Изобразить линию пересечения данных поверхностей, куба и конуса с
общей плоскостью оснований.
Контрольная работа № 6
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Найти координаты точки пересечения прямых (АВ) и (СД), если известны
точки А(0,1,1), В(1,2,5), С(1,1,2), Д(1,1,3), заданные в проективной системе координат.
18
2. На прямой заданы своими аффинными координатами точки А(1), В(-2),
С(-1). Построениями одной линейкой найти четвертую гармоническую
точку. Найти ее аффинную координату.
3. Дан полный четырехвершинник MNPQ. На стороне MN указать гармоническую четверку точек и проверить это вычислениями в координатах, задав самостоятельно проективный репер из точек 4-вершинника.
4. Дан четырехугольник АВСД, не имеющий параллельных сторон, вписанный в линию 2 порядка, и касательная а в точке А. Построить касательную в точке В.
Контрольная работа № 7
ОВАЛЬНЫЕ ЛИНИИ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
1. В эллипс вписан 4-угольник АВСД, причем известна касательная к эллипсу в точке А. Через точку С проходит секущая. Найти вторую точку пересечения ее с эллипсом, не используя его самого.
2. Овальная линия 2 порядка определена четырьмя касательными и
точкой на одной из них. Построить еще одну точку линии, не лежащую на
данных касательных
3.Трапеция АВСД разделена отрезком [МР] параллельным основаниям
трапеции, на две трапеции. При этом (ЕК) (АВ), где Е = (АД)(ВС),
К= (АР)(МС). Доказать, что прямые (ВМ) и (РД) пересекаются в точке, принадлежащей (ЕК).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
1 СЕМЕСТР
1. Направленные отрезки (определение, длина, направленность). Эквиполлентные направленные отрезки (определение, признак, свойства отношения).
2. Векторы (определение, лемма о равенстве векторов, направленность, коллинеарность, длина).
3. Сложение и вычитание векторов (определение, существование и единственность, правила треугольника и параллелограмма, свойства).
4. Произведение вектора на число (определение, лемма, теорема (свойства)).
5. Коллинеарные и компланарные векторы (определения, теоремы).
6. Линейно зависимые и независимые системы векторов (определения, свойства).
7. Трехмерное векторное пространство, его базис (определение, теорема о
разложении вектора по трем некомпланарным векторам, следствия).
8. Координаты вектора (определение, теорема, признак коллинеарности векторов в координатной форме).
9. Ортонормированный базис. Геометрический смысл координат вектора в
ортонормированном базисе.
10.Скалярное произведение векторов (определение, теорема о выражении
скалярного произведения через координаты векторов, следствия).
19
11.Скалярное произведение векторов (определение, свойства скалярного
произведения).
12.Векторные подпространства.
13.Аффинная система координат на плоскости (определения, координаты
точки, координаты вектора, ортонормированный репер, длина вектора).
14.Деление отрезка в данном отношении.
15.Ориентация плоскости. Ориентированный угол (определения, утверждение о сумме двух направленных углов, координаты произвольного вектора в
ортонормированном репере, задача о вычислении угла между двумя векторами в ортонормированном репере).
16.Формулы преобразования аффинных координат.
17.Формулы преобразования прямоугольных координат.
18.Полярная система координат. Формулы перехода от полярной системы
координат к прямоугольной и обратно. Обобщенная полярная система координат.
19.Способы задания прямой на плоскости. Виды уравнений прямой.
20.Общее уравнение прямой. Особенности расположения прямой относительно системы координат. Геометрический смысл знака трехчлена
Ах+Ву+С.
21.Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
22.Взаимное расположение двух прямых. Угол между двумя прямыми.
23.Пучки прямых.
24.Эллипс. Определение, вывод канонического уравнения. Построение с помощью циркуля и линейки.
25.Свойства эллипса. Зависимость его формы от эксцентриситета. Построение эллипса с помощью циркуля и линейки. Параметрические уравнения эллипса.
26.Гипербола. Определение, вывод канонического уравнения. Построение
гиперболы с помощью циркуля и линейки.
27.Свойства гиперболы. Зависимость её формы от эксцентриситета. Построение гиперболы с помощью циркуля и линейки.
28.Определение гиперболы. Асимптоты гиперболы. Расположение ветвей
гиперболы относительно её асимптот. Построение гиперболы с помощью
циркуля и линейки.
29.Парабола. Определение, вывод канонического уравнения. Свойства. Построение параболы с помощью циркуля и линейки.
30.Директрисы эллипса. Директориальное свойство эллипса (теорема).
31.Директрисы гиперболы. Директориальное свойство гиперболы (теорема).
32.Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
33.Общее уравнение линии второго порядка. Приведение его к каноническому виду (аффинный поворот).
34.Общее уравнение линии второго порядка. Приведение его к каноническому виду (параллельный перенос).
35.Классификация линий второго порядка.
20
36.Центр линии второго порядка.
37.Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления.
38.Асимптота (определение, теорема), наличие асимптот у линий различных
типов.
39.Касательная к линии второго порядка.
40.Диаметры линии второго порядка.
41.Сопряженные направления, сопряженные диаметры.
42.Главные направления, главные диаметры.
2 СЕМЕСТР
1. Ориентация пространства. Свойства ориентированных реперов.
2. Векторное произведение векторов. Алгебраические свойства.
3. Векторное произведение векторов. Геометрический смысл.
4. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых
векторов.
5. Смешанное произведение векторов. Свойства.
6. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл.
7. Способы задания плоскости, виды уравнений.
8. Расстояние от точки до плоскости.
9. Угол между плоскостями.
10.Геометрический смысл знака многочлена Ах+Ву+Сz+D.
11.Взаимное расположение двух плоскостей.
12.Пучки плоскостей.
13.Способы задания прямой в пространстве, виды уравнений.
14.Взаимное расположение прямых.
15.Взаимное расположение прямой и плоскости.
16.Угол между двумя прямыми.
17.Угол между прямой и плоскостью.
18.Определение поверхности.
19.Определение алгебраической поверхности.
20.Определение поверхности второго порядка.
21.Сущность метода сечений.
22.Теорема, на которой основан метод сечений.
23.Понятие цилиндрической поверхности.
24.Виды цилиндрических поверхностей.
25.Понятие конической поверхности.
26.Определение конического сечения.
27.Понятие поверхности вращения.
28.Эллипсоид вращения. Эллипсоид.
29.Однополостный гиперболоид вращения. Однополостный гиперболоид.
30.Двуполостный гиперболоид вращения. Двуполостный гиперболоид.
31.Эллиптический параболоид вращения. Эллиптический параболоид.
32.Гиперболический параболоид.
33.Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
21
34. Определение n-мерного векторного пространства. Аксиомы сложения,
умножения вектора на скаляр, аксиомы размерности.
35. Определение n-мерного векторного евклидова пространства: аксиомы
скалярного произведения. Модуль вектора, ортогональность векторов, угол
между векторами.
36. Определение n-мерного аффинного пространства: аксиомы откладывания вектора от точки. Некоторые простейшие следствия 10-50.
37. Аффинная система координат. Преобразование координат.
38. Определение k-мерной плоскости. Параметрические и общие уравнения
плоскости. Их взаимосвязь.
39. Взаимное расположение двух многомерных плоскостей.
40. Определение гиперплоскости. Взаимное расположение двух гиперплоскостей.
41. Определение n-мерного точечно-векторного евклидова пространства.
Определение и свойства расстояния. Гиперплоскость в En. Ортогональные
многомерные плоскости.
42. Аффинные преобразования в An. Группа аффинных преобразований.
Некоторые виды аффинных преобразований.
43. Движения в n-мерном евклидовом пространстве. Группа движений.
Классификация движений в E3.
44. Определение билинейной формы. Матрица билинейной формы. Симметрические и положительно определенные билинейные формы. Примеры.
45. Определение квадратичной формы. Примеры. Взаимосвязь симметрической билинейной формы и квадратичной формы.
46. Приведение квадратичной формы к каноническому или нормальному
виду. Примеры.
47. Закон инерции квадратичной формы.
48. Положительно-определенные квадратичные формы.
49. Определение квадрики в An. Центр квадрики. Условия существования
центра. Примеры.
50. Цилиндрические и конические квадрики.
51. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду. Классификация
квадрик.
52. Классификация квадрик в пространстве A3.
3 СЕМЕСТР
1. Понятие полного изображения.
2. Свойства параллельного проектирования плоскости на плоскость.
3. Изображение треугольника при параллельном проектировании.
4. Изображение четырехугольников при параллельном проектировании.
5. Изображение произвольного многоугольника при параллельном проектировании.
6. Изображение окружности при параллельном проектировании.
7. Теорема об изображении окружности в ортогональной проекции.
8. Теорема об изображении квадрата в ортогональной проекции.
22
9. Теорема об изображении треугольника в ортогональной проекции.
10. Теорема об изображении четырехугольника в ортогональной проекции.
11. Теорема Польке-Шварца.
12. Теорема Польке.
13. Проекция пространственной фигуры: куб, параллелепипед.
14. Проекция пространственной фигуры: призма, пирамида.
15. Проекция пространственной фигуры: цилиндр, конус.
16. Изображение сферы в ортогональной проекции.
17. Аксонометрия. Некоторые задачи: изображение точек, прямых, плоскостей.
18. Полные и неполные изображения. Коэффициент неполноты.
19. Позиционные задачи. Связь между полным изображением и аксонометрией.
20. Метрические задачи.
21. Понятие о методе Монжа. Некоторые задачи.
22. Понятие о перспективе.
4 СЕМЕСТР
1. Определение центрального проектирования плоскости на плоскость.
Свойства.
2. Определение проективного пространства.
3. Модели проективной прямой.
4. Модели проективной плоскости.
5. Проективные координаты на прямой.
6. Проективные координаты на плоскости.
7. Уравнение прямой на проективной плоскости.
8. Принцип двойственности на проективной плоскости (примеры).
9. Прямая теорема Дезарга.
10. Обратная теорема Дезарга.
11. Использование прямой и обратной теорем Дезарга в задачах на построение одной линейкой.
12. Определение сложного отношения 4-х точек прямой. Выражение сложного отношения в проективных координатах на прямой для собственных точек.
13. Определение сложного отношения 4-х точек прямой. Выражение сложного отношения в проективных координатах на расширенной плоскости.
14. Алгебраические свойства сложного отношения 1о–5о.
15. Инвариантность сложного отношения 4-х точек при центральном проектировании прямой на прямую.
16. Геометрический смысл сложного отношения четырех точек расширенной прямой.
17. Сложное отношение 4-х прямых пучка.
18. Выражение сложного отношения 4-х точек в проективных координатах
на плоскости. Связь проективных координат на плоскости и на прямой.
19. Гармоническая четверка точек на прямой.
23
20. Понятие полного четырехвершинника. Гармоническая четверка точек на
диагонали полного четырехвершинника.
21. Понятие полного четырехвершинника. Гармоническая четверка точек
на стороне полного четырехвершинника.
22. Построение 4-ой гармонической точки.
23. Использование гармонических свойств полного четырехвершинника в
задачах на построение.
24. Перспективное отображение прямой на прямую. Существование и единственность проективного отображения прямой на прямую.
25. Признак перспективности проективного отображения прямой на прямую.
26. Представление проективного отображения прямой на прямую в виде
композиции двух перспективных отображений.
27. Проективные и перспективные отображения пучков. Двойственные
определения и теоремы.
28. Проективные преобразования прямой, определение, задание, построение
образов точек.
29. Инволюция: определение, признак инволюция, виды.
30. Проективные отображения и преобразования плоскостей, определение,
свойства.
31. Основная теорема о задании проективного преобразования. Теорема
1.Теорема 2.
32. Гомология как пример проективного преобразования плоскости.
33. Линии второго порядка на проективной плоскости.
34. Приведение уравнения линий второго порядка к каноническому виду и
их классификация.
35. Модели действительной овальной линии.
36. Гармоническая сопряженность точек. Теорема.
37. Определение поляры и ее геометрический смысл.
38. Полюсы, полярное соответствие, закон взаимности.
39. Приближенные построения поляр и полюсов.
40. Точное построение поляр и полюсов.
41. Использование теории поляр и полюсов в теории изображения.
42. Теорема Штейнера.
43. Обратная теорема Штейнера.
44. Теорема Паскаля.
45. Обратная теорема Паскаля. Применение к решению задач.
46. Особые случаи прямой и обратной теоремы Паскаля.
47. Задачи на построение, связанные с овальной линией.
48. Двойственные теоремы. Теорема Штейнера.
49. Двойственные теоремы. Теорема Брианшона.
50. Применение теоремы Брианшона к решению задач.
51. Особые случаи теоремы Брианшона.
52. Аффинная геометрия на плоскости с точки зрения проективной.
24
53. Евклидова геометрия на плоскости с точки зрения проективной.
54. Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида.
55. Критика геометрической системы Евклида.
56. Проблема пятого постулата, эквивалентность его аксиоме параллельных.
57. Эквивалентность аксиомы параллельных теореме о сумме углов треугольника.
58. Предложения эквивалентные пятому постулату Евклида. Исследователи
геометрии Евклида – Саккери, Ламберт, Лежандр.
59. Н.И. Лобачевский и его геометрия.
60. Аксиомы 1 группы системы Гильберта и следствия их них.
61. Аксиомы 2 группы системы Гильберта. Следствия.
62. Аксиомы 3 группы системы Гильберта. Примеры доказательства теорем.
63. Аксиома параллельности Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому.
64. Треугольники и четырехугольники геометрии Лобачевского.
65. Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского. Окружность, эквидистанта, орицикл.
66. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского.
67. Понятие математической структуры. Примеры.
68. Интерпретации системы аксиом. Изоморфизм интерпретаций. Примеры.
69. Требования, предъявляемые к системе аксиом: непротиворечивость, независимость, полнота.
70. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.
71. Непротиворечивость и полнота систем аксиом Вейля.
72. Определение в схеме Вейля основных понятий системы Гильберта.
73. Аксиоматическое построение школьного курса геометрии.
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС
Таблица максимальных баллов по видам учебной деятельности.
1
Семестр
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
2
3
4
5
6
7
8
9
Автома- Другие
ЛабоПрактиче- Самостоя- тизиро- виды
раторПромежуточЛекции
ские заня- тельная ванное учебной
Итого
ные
ная аттестация
тия
работа тестиро- деятельзанятия
вание
ности
7
0
8
40
0
5
40
100
7
0
13
35
0
5
40
100
9
0
20
26
0
5
40
100
20
20
5
40
100
15
25
Программа оценивания учебной деятельности студента
1 СЕМЕСТР
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 5 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом лекций, выраженное в процентах,
умножается на 5 баллов. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 5 баллов;
 активность студента за семестр на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий, оценивается от 0
до 2 баллов.
Лабораторные занятия
Не предусмотрены.
Практические занятия
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 8 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом практических занятий, выраженное в
процентах, умножается на 2 балла. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 2 баллов;
 активность студента за семестр на практических занятиях, включая активность при работе у доски, опросах, дискуссиях, оценивается от 0 до 3
баллов;
 активность при выполнении домашних заданий оценивается за семестр от
0 до 3 баллов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа № 1 (от 0 до 4 баллов).
Самостоятельная работа № 2 (от 0 до 4 баллов).
Контрольная работа №1 (от 0 до 12 баллов).
Самостоятельная работа № 3 (от 0 до 4 баллов).
Самостоятельная работа № 4 (от 0 до 4 баллов).
Практическая работа (от 0 до 3 баллов).
Контрольная работа №2 (от 0 до 9 баллов).
Критерии оценивания:
процент выполненных заданий каждой контрольной работы или теста
умножается на максимальное количество баллов за контрольную работу
или самостоятельную работу.
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Дополнительно
Виды учебной деятельности, не вошедшие в предыдущие колонки таблицы (от 0 до 5 баллов).
26
Критерии оценивания:
оценивается успешность проведения исследовательской работы в рамках
дисциплины, участие в олимпиадах по математическим дисциплинам.
Промежуточная аттестация
Критерии оценивания:
35-40 баллов – ответ на «отлично»;
25-34 баллов – ответ на «хорошо»;
15-24 баллов – ответ на «удовлетворительно»;
0-14 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за 1семестр по дисциплине «Геометрия» составляет
100 баллов.
Пересчет полученной студентом суммы баллов по дисциплине в экзамен
Количество баллов
От 100 до 85 баллов
От 65 до 84 баллов
От 40 до 64 баллов
От 0 до 39 баллов
Оценка за экзамен
5 отлично
4 хорошо
3 удовлетворительно
2 неудовлетворительно
2 СЕМЕСТР
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 7 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом лекций, выраженное в процентах,
умножается на 7 баллов. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 7 баллов;
 активность студента за семестр на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий, оценивается от 0
до 3 баллов.
Лабораторные занятия
Не предусмотрены.
Практические занятия
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 13 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом практических занятий, выраженное в
процентах, умножается на 2 балла. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 2 баллов;
 активность студента за семестр на практических занятиях, включая активность при работе у доски, опросах, дискуссиях, оценивается от 0 до 2
баллов;
27
 активность при выполнении домашних заданий оценивается за семестр от
0 до 9 баллов.
2.
3.
4.
5.
6.
Самостоятельная работа
1. Самостоятельная работа № 1 (от 0 до 5 баллов).
Самостоятельная работа № 2 (от 0 до 4 баллов).
Самостоятельная работа № 3 (от 0 до 4 баллов).
Контрольная работа №3 (от 0 до 10 баллов).
Контрольная работа № 4 (от 0 до 10 баллов),
Индивидуальное задание (от 0до 2 баллов).
Критерии оценивания:
процент выполненных заданий каждой контрольной или самостоятельной
работы умножается на максимальное количество баллов за контрольную
работу или самостоятельную работу.
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Дополнительно
Виды учебной деятельности, не вошедшие в предыдущие колонки таблицы (от 0 до 5 баллов).
Критерии оценивания:
оценивается успешность проведения исследовательской работы в рамках
дисциплины, участие в олимпиадах по математическим дисциплинам.
Промежуточная аттестация
Критерии оценивания:
35-40 баллов – ответ на «отлично»;
25-34 баллов – ответ на «хорошо»;
15-24 баллов – ответ на «удовлетворительно»;
0-14 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за 2 семестр по дисциплине «Геометрия» составляет
100 баллов.
Пересчет полученной студентом суммы баллов по дисциплине в экзамен
Количество баллов
От 100 до 85 баллов
От 65 до 84 баллов
От 40 до 64 баллов
От 0 до 39 баллов
Оценка за экзамен
5 отлично
4 хорошо
3 удовлетворительно
2 неудовлетворительно
28
3 СЕМЕСТР
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 9 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом лекций, выраженное в процентах,
умножается на5 баллов. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 5 баллов;
 активность студента за семестр на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий, оценивается от 0
до 4 баллов.
Лабораторные занятия
Не предусмотрены.
Практические занятия
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 20 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом практических занятий, выраженное в
процентах, умножается на 2 балла. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 2 баллов;
 активность студента за семестр на практических занятиях, включая активность при работе у доски, опросах, дискуссиях, оценивается от 0 до 3
баллов;
 активность при выполнении домашних заданий оценивается за семестр от
0 до 15 баллов.
Самостоятельная работа
1.
2.
3.
Самостоятельная работа (от 0 до 4 баллов)
Домашняя контрольная работа №5 (от 0 до 12 баллов).
Контрольная работа № 6 (от 0 до 10 баллов),
Критерии оценивания:
процент выполненных заданий каждой работы умножается на максимальное количество баллов за контрольную или самостоятельную работу.
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Дополнительно
Виды учебной деятельности, не вошедшие в предыдущие колонки таблицы (от 0 до 5 баллов).
Критерии оценивания:
29
оценивается успешность проведения исследовательской работы в рамках
дисциплины, участие в олимпиадах по математическим дисциплинам.
Промежуточная аттестация
Критерии оценивания:
решение задач на зачете оценивается от 0 до 40 баллов; процент выполненных заданий умножается на 40.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за 3 семестр по дисциплине «Геометрия» составляет
100 баллов.
Пересчет полученной студентом суммы баллов по дисциплине в зачет
50 баллов и более
меньше 50 баллов
«зачтено» (при недифференцированной оценке)
«не зачтено»
4 СЕМЕСТР
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 15 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом лекций, выраженное в процентах,
умножается на 10 баллов. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 10 баллов;
 активность студента за семестр на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий, оценивается от 0
до 5 баллов.
Лабораторные занятия
Не предусмотрены.
Практические занятия
Посещаемость, опрос, активность и др. за один семестр – от 0 до 20 баллов.
Критерии оценивания:
 количество посещенных студентом практических занятий, выраженное в
процентах, умножается на 5 баллов. Таким образом, посещаемость за семестр оценивается от 0 до 5 баллов;
 активность студента за семестр на практических занятиях, включая активность при работе у доски, опросах, дискуссиях, оценивается от 0 до 3
баллов;
 активность при выполнении домашних заданий оценивается за семестр от
0 до 12 баллов.
30
Самостоятельная работа
1. Контрольная работа № 7 (от 0 до 20 баллов).
Критерии оценивания:
процент выполненных заданий каждой контрольной работы умножается на
максимальное количество баллов за контрольную работу.
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Другие виды учебной деятельности
Виды учебной деятельности, не вошедшие в предыдущие колонки таблицы
(от 0 до 5 баллов).
Критерии оценивания:
оценивается успешность проведения исследовательской работы в рамках
дисциплины, участие в олимпиадах по математическим дисциплинам.
Промежуточная аттестация
Критерии оценивания:
35-40 баллов – ответ на «отлично»;
25-34 баллов – ответ на «хорошо»;
15-24 баллов – ответ на «удовлетворительно»;
0-14 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за 4 семестр по дисциплине «Геометрия» составляет
100 баллов.
Пересчет полученной студентом суммы баллов по дисциплине в экзамен
Количество баллов
От 100 до 85 баллов
От 65 до 84 баллов
От 40 до 64 баллов
От 0 до 39 баллов
Оценка за экзамен
5 отлично
4 хорошо
3 удовлетворительно
2 неудовлетворительно
31
8. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Александров, А Д Геометрия: учебник [Текст] / А Д Александров. - СанктПетербург : БХВ-Петербург, 2010. - 612 с. - Режим доступа:
http://znanium.com/go.php?id=350711– Загл. с экрана.
2. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии [Электронный
ресурс] : учеб. пособие / Д. В. Клетеник. - Москва : Лань, 2011. - 224 с. Режим доступа:
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=2044– Загл. с
экрана.
Дополнительная литература
1. Аналитическая геометрия. Практические занятия. Часть 1 [Текст]: Учебно-методическое пособие/ Сост. Ю.И. Михайлов, О.А. Задкова, Е.Ю.
Павлова, Н.А. Синельникова. – Балашов: Изд-во «Николаев», 2003. – 92 с.
2. Аргунов, Б.И. Задачник-практикум по геометрии. Часть 1 [Текст]: Учеб.
пособие для студ.- заоч. I курса физ.-мат. ф-тов пед. ин-тов/ Б.И. Аргунов,
И.Н. Демидова, В.Н. Литвиненко. — М.: Просвещение, 1979. — 127 с.
3. Атанасян, Л.С. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1 [Текст]: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов./ Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. — М.:
Просвещение, 1986. — 336 с.
4. Атанасян, Л.С. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 2 [Текст]: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов./ Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. — М.:
Просвещение, 1987. — 336 с.
5. Атанасян, Л.С. Задачник-практикум по геометрии [Текст]: учеб. пособие
для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Л.С. Атанасян, М.М. Цаленко. – М.:
Просвещение, 1994. – 192 с.
6. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов
физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I. [Текст] / Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. —
М.: Просвещение, 1973. — 256 с.
7. Базылев, В.Т. Геометрия. Ч. 1 [Текст]: Учеб. пособие для студентов I курса физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов/ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая. — М.: Просвещение, 1974. —351 с.
8. Базылев, В.Т. Геометрия. Ч. 2. [Текст]: Учеб. пособие для студентов I
курса физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов/ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П.
Иваницкая. — М.: Просвещение, 1975. —367 с.
32
9. Задачник-практикум по геометрии. Ч.3 [Текст]: учеб. пособие для студ.заоч. 2 курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, И.В. Парнасский,
О.Е. Парнасская, М.М. Цаленко. – М.: Просвещение, 1979. – 112 с.
10. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Учеб. пособие [Текст] / Под ред. Н.В. Ефимова. — М.: Наука, Глав. ред. физ-мат.
лит-ры, 1980. — 240 с.
11. Костырев, Г.Е. Методы изображений. Методическое пособие [Текст]/ Г.Е.
Костырев, В.А. Макорта. – Балашов, 1992. - 64 с.
12. Панкратов, А.П. Начертательная геометрия [Текст] / А.П. Панкратов. –
М.: Учпедгиз, 1963. – 195с.
13. Парнасский, И.В. Многомерные пространства. квадратичные формы и
квадрики [Текст]: учеб. пособие по геометрии для студ. физ.-мат. фак.
пед. ин-тов / И.В. Парнасский, О.Е. Парнасская. – М.: Просвещений, 1978.
– 128 с.
14. Певзнер, С.Л. Задачник- практикум по проективной геометрии [Текст]:
учеб. пособие / С.Л. Певзнер, М.М. Цаленко. – М.: Просвещение, 1982. –
80 с.
15. Подольский, В.А. Сборник задач по математике для техниковпрограммистов [Текст]: Учеб. пособие для техникумов/ В.А. Подольский,
А.М. Суходский. — М.: Высш. шк., 1978. — 352 с.
16. Сборник задач по геометрии [Текст]: Учеб. пособие для студентов мат. и
физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая и
др.; Под ред. В.Т. Базылева. — М.: Просвещение, 1980. — 238 с.
17. Фурлетова, О.А. Аналитическая геометрия. Ч. 2 [Текст]: учеб. методич.
пособие для студентов математич. и физ.-математич. специальностей пед.
высш. учеб. заведений / О.А. Фурлетова, Е.Ю. Павлова. – Балашов: Николаев, 2009. – 56 с.
18. Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
Учеб. пособие. [Текст] / О.Н. Цубербиллер. — М.: Наука, 1968. — 336 с.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Интернет-ресурсы
eLIBRARY.RU [Электронный ресурс]: научная электронная библиотека.
– URL: http://www.elibrary.ru
ibooks.ru [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. –
URL: http://ibooks.ru
Znanium.com [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система.
– URL: http://znanium.com
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный
ресурс]. – URL: http://scool-collection.edu.ru
Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства
образования и науки РФ [Электронный ресурс]. – URL:
http://window.edu.ru
Издательство «Лань» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная
система. – URL: http://e.lanbook.com/
33
7. Издательство
«Юрайт»
[Электронный
ресурс]:
электроннобиблиотечная система. – URL: http://biblio-online.ru
8. Издательство МЦНМО [Электронный ресурс]. – URL:
www.mccme.ru/free-books . Свободно распространяемые книги.
9. Математическая библиотека [Электронный ресурс]. – URL:
www.math.ru/lib .Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии
брошюр, сборников. В библиотеке представлены не только книги по
математике, но и по физике и истории науки.
10. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. –
URL: http://www.exponenta.ru Содержит материалы по работе с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.,
методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
11. Руконт [Электронный ресурс]: межотраслевая электронная библиотека.
– URL: http://rucont.ru
12. Электронная библиотека БИ СГУ [Электронный ресурс]. – URL:
http://www.bfsgu.ru/elbibl
13. Электронная библиотека СГУ
[Электронный ресурс]. – URL:
http://library.sgu.ru/
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Программа для создания презентаций Micsrosoft PowerPoint for Windows.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Библиотека с информационными ресурсами на бумажных и электронных носителях.
 Стандартно оборудованная лекционная аудитория для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска, компьютер, обычная доска, пластиковая доска.
 Офисная оргтехника.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)» и профилям подготовки «Математика и информатика» (квалификация (степень) «бакалавр»)
и требованиями приказа Министерства образования и науки РФ № 1367 от
19.12.2013 г. о порядке организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным программам высшего образования — про34
граммам бакалавриата, программам специалитета, программам магистратуры.
Программа разработана в 20___ г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № ___ от «______» ________________ 20_____ года)
Программа актуализирована в 20___ г. (одобрена на заседании
кафедры математики, протокол № ___ от «______» ________________
20_____ года).
Автор:
к.пед. н. доцент
Зав.кафедрой математики
к.ф.-м. н. доцент
Фурлетова О.А.
Ляшко М.А.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где разрабатывалась программа)
Кертанова В.В.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где реализуется программа)
Кертанова В.В.
35