Алгебра матриц Основные понятия

Алгебра матриц
Основные понятия
Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная
некоторыми математическими объектами, называется m  n – матрицей.
Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу,
называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые
скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя
индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы.
Например, матрица
 а11 а12

 а 21 a 22

... ...

 am1 am 2

... а1n 

... a 2 n 
... ... 

... amn 
.
В сокращенной записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2,…m;
j=1,2,…,n (кратко i  1, m , j  1, n . ). Произведение m  n называют размером матрицы.
Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и
равно n:
 а11 а12

 а 21 a 22

... ...

 an1 an 2

... а1n 

... a 2 n 
... ... 

... ann 
.
Упорядоченный набор элементов а11,а22,…,аnn называется
главной диагональю, в свою
очередь, а1n,а2,n-1,…,аn1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы
аij  0, i  j
aij  
aij  0, i  j ,
которой удовлетворяют условию:
называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:
 а11 0

 0 a 22

... ...

0
0

... 0 

... 0 
... ... 

... ann 
Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной
диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если
все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О.
Матрицы имеют вид:
1

0
Е 
...

0

0
1
...
0
...
...
...
...
0

0
;
... 

1 
0

0
О
...

0

0
0
...
0
...
...
...
...
0

0
...

0 
.
Линейные операции над матрицами
Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров m  n называется
матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.
 a11  b11 a12  b12 ... a1n  b1n 


...
...
... 
 ...
С  А В  
am1  bm1 am 2  bm 2.. ... amn  bmn 






.
.
Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на
одинаковых местах. Например,
 2 3 1   2 4 3   0 7 4

  
  
.

1
0
4
6
5

3
5
5
1





 =C
A+B=
Определение. Произведение матрицы А на число  называется матрица
получаемая умножением всех элементов матрицы А на число .
 а11 а12

 а 21 a 22
  
...
...

 am1 am 2

А=( аij),
... а1n 

... a 2 n 
.
... ... 

... amn 
 3 7  2
15 35  10 

.
5 А  
А  
10 20 5 
 2 4 1  и =5, то
Например, если
Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.
Рассмотренные операции называются линейными.
Отметим некоторые свойства операций.
Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; , - действительные числа.
А+В = В+А – коммутативность сложения.
(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.
Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.
Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются
от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.
(А) = ()А = (А).
7. (А+В) = А+В.
6. (+)А = А+А.
8. 1* А = А.
9. 0 * А = 0.
Умножение матриц
В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма
своеобразная операция.
Определение. Произведением матрицы А=(аij)
размера m  k и прямоугольной
матрицы B=(bij) размера k  n называется прямоугольная матрица С=(сij) размера m  n ,
такая что cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj; i  1, m , j  1, n .
Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом
столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на
соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.
 b1 j 
 
 b2 j 
cij  ( ai1ai 2  aik ) 

 
 bkj 
 .
Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк
матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:
n
k
m
А
k
*
n
В
=
С=АВ
m
Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.
Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.
2 3
6 7
 В  

А  
4
5
8
9



.
1.
,
 2  6  3  8 2  7  3  9   36 41
  
.
АВ  
 4  6  5  8 4  7  5  9   64 73 
 6  2  7  4 6  3  7  5   40 53 
  
.
ВА  
 8  2  9  4 8  3  9  5   52 69 
АВ  ВА .
7
 6


9
5 1 4  В   8

А  
  2  1
0
2
3

.

,
2.
 5  6  1 8  4  ( 2 ) 5  7  1 9  4  ( 1)   30 40 
  
.
АВ  
0

6

2

8

3

(

2
)
0

7

2

9

3

(

1
)
10
15

 

6 1  7  2
6  4  7  3   30 20 45 
 65  70

 

ВА   8  5  9  0
8 1  9  2
8  4  9  3    40 26 59 .
  2  5  ( 1)  0  2 1  ( 1)  2  2  4  ( 1)  3    10  4  11

 

АВ  ВА .
Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще
говоря, не выполняется, т.е. АВ  ВА. В частном случае коммутативным законом обладает
произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого
же порядка, т.е. АЕ  ЕА.
2 1 1 
3 4 5 
 В  

А  
0 3 2 ,
6 7 8 .
3.
Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.
 2 0 4


 3 0 1 В   6 1 5 .

А  
 7 8 9


1 2 0  ,
 3  ( 2 )  0  6  1 7 3  0  0 1  1 8 3  4  0  5  1 9 
.
АВ  
1 ( 2 )  2  6  0  7 1 0  2 1  0  8 1 4  2  5  0  9 
 1 8 21

АВ  
10
2
14

 , ВА – не существует.
Получим
Свойства умножения матриц.
Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц
определены),  - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств
действительных чисел имеют место следующие свойства:
(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.
(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.
А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.
(АВ) = (А)В = А(В).
ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.
Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство
3.
Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент iой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число
аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin(bnj+cnj) =
(аi1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).
Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца
матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС.
Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.
Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:
 0 1


3 1  2  В   2 2 
 6 1 3 0


А  
С  


 1 5  ,
0 2 4  ,
 2 1 0 4 .
Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:
 1 5
7 3




А    2 3 В  0 4
 1 1 3 2 
 1 1  С   2 0 5 0 
 2 6

,

,

.
 1 1 2 


А  1 3 1
0 2 3

.
Упражнение 3. Найти матрицу А3, если
Вырожденные и невырожденные матрицы
Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и
невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.
4 3

А  
5
4

 , А = 16-15 = 1  0; А – невырожденная матрица.
Пример.
2 3

А  
 4 6  , А = 12-12 = 0; А – вырожденная матрица.
Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда
хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.
АВ
Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е.
=0. Тогда, в силу того, что
определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых
А  В  0.
матриц, имеем
Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является
вырожденной.
Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е.
АВ  А  В  0
А
АВ
, т.к.
=0; итак,
=0; АВ - вырожденная матрица.
А
=0. Найдем
Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.
Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А
такого же размера, если
АВ = ВА = Е.
(1)
1 2 
1 2 
 В  

А  
1
1
1

1



.
Пример.
,
1 2   1 2   1 0 
  1 2 1 2   1 0 

  
  Е ; ВА  

  
  Е .
АВ  
1 1  1  1  0 1 
 1  11 1   0 1 
В – матрица обратная к А.
Теорема. Если
однозначно.
для данной матрицы обратная существует, то она определяется
Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что
АХ = ХА = Е
АУ = УА = Е
(3)
(2)
Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу
ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е.
Х=
У. Теорема доказана.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А
невырожденная.
Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А-1, т.е.
А 
-1
-1 
-1
-1
-1
А = А А = Е. Тогда, А  А = А  А =Е=1, т.е. А  0 и А   0;
А–
невырожденная.
Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n
 а11

 а21
А 


 аn1

a12
a22

an 2




a1n 

a2 n 


ann  ,
так что ее определитель   0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических
дополнений к элементам матрицы А:
 A11 A 21

 A12 A 22

А 
 

 A1n A 2 n

 A n1 

 A n2 
 

 A nn  ,
ее называют присоединенной к матрице А.
Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой
строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А*, для i  1, n .
Найдем произведения матриц АА* и А*А. Обозначим АА* через С, тогда по
определению произведения матриц имеем: Сij = аi1А 1j + а i2А 2j + … + а inАnj;  = 1, n: j = 1, n.
При  = j получим сумму произведений элементов  - ой строки на алгебраические
дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом
Сij = |А| =  - это элементы главной диагонали матрицы С. При   j, т.е. для элементов Сij
вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой
строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак,
 0  0


0   0
C 
   


 0 0  

 = АА*
Аналогично доказывается, что произведение А на А* равно той же матрице С. Таким
образом, имеем А*А = АА* = С. Отсюда следует, что
1
  1 1

  А А  А А    С  Е .
 



1 
А  А 1
1
1

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять
, то А  А  А  А  Е .
Итак, обратная матрица существует и имеет вид:
 А11

 
 А12
А 1   

 А1n

 
A 21

A 22


A2n

A n1 

 
A n2 

 
 
A nn 


 .

Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:
 1 2 5


А  1 3 9
 0 1 3


Находим  = |А| = -1  0, А
элементов матрицы А:
1
существует. Далее находим алгебраические дополнения
А 11
3 9
 2 5



 
1
3
1
3



 = -1; А 31 =
21
=
=0;А =
А 12
1 9

 
0
3

 = -3; А 22 =
=
А 13
 1 3
1 2



 
0
1
0
1
23



 = -1; А 33 =
=
= 1; А =
А
1
1  3
0


 3 3 4 
  1 1  1

=
 2 5


 3 9  = 3;
 1 5
1 5 



 
 0 3  = 3; А 32 = 1 9  = -4;
1 2 


1 3  = 1;