R7-1

1
Семинар 7. Линейная алгебра
Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:
Определители и их свойства.
Матрица. Виды матриц.
Действия над матрицами
Обратная матрица. Решение матричных уравнений.
Ранг матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений. Совместные и
несовместные системы.
7. Теорема Кронекера - Капелли.
8. Решение линейных систем по правилу Крамера.
9. Решение линейных систем по методу Гаусса.
10. Решение однородных линейных систем.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Литература:
1. Бугров Е.С., Никольский С.М. «Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии» Москва, Наука.
2. Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике «1 часть»
Москва, Айрис-пресс, 2003г.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в
упражнениях и задачах. Учебное пособие для студентов вузов ч.1.»
Москва, Высшая школа.
7.1. Определители
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое
𝑎11 𝑎12
символом
∆2 = |
| и определяемое равенством
𝑎21 𝑎22
𝑎11 𝑎12
|
| = 𝑎11 𝑎22 - 𝑎12 𝑎21
𝑎21 𝑎22
Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое
𝑎11 𝑎12 𝑎13
символом ∆3 = |𝑎21
𝑎22
𝑎23 | и определяемое равенством :
𝑎31
𝑎32
𝑎33
2
∆3 = 𝑎11
𝑎22
|
𝑎32
𝑎23
𝑎33
| - 𝑎12
𝑎21
|
𝑎31
𝑎23
𝑎21
| + 𝑎13 |
𝑎33
𝑎31
𝑎22
𝑎32
|
(7.1)
Все определители второго порядка, входящие в правую часть равенства
(7.1), получены из определителя третьего порядка вычеркиванием одной
строки и одного столбца. Они называются минорами и обозначаются 𝑀𝑖𝑗 ,
где i – номер вычеркиваемой строки, а j - номер вычеркиваемого столбца.
Формула (7.1) называется формулой разложения определителя ∆3 по
элементам первой строки. Назовем алгебраическим дополнением к
элементу 𝑎𝑖𝑗 произведение (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 =𝐴𝑖𝑗 . Тогда разложение (7.1) можно
записать в виде: ∆3 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + 𝑎13 𝐴13 . Так же, как мы ввели
понятие определителя третьего порядка через определитель второго
порядка, можно ввести понятие определителя четвертого порядка через
определители третьего порядка:
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎21 𝑎23 𝑎24
|𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 |
= 𝑎11 |𝑎32 𝑎33 𝑎34 | - 𝑎12 |𝑎31 𝑎33 𝑎34 | +
|𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 |
𝑎42 𝑎43 𝑎44
𝑎41 𝑎43 𝑎44
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
𝑎21
𝑎22
𝑎24
𝑎21
𝑎22
𝑎23
𝑎13 |𝑎31
𝑎32
𝑎34 | - 𝑎14 |𝑎31
𝑎32
𝑎33 |
𝑎41
𝑎42
𝑎44
𝑎41
𝑎42
𝑎43
Свойства определителей:
1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
2. Величина определителя при перестановке местами двух его строк
меняет знак на противоположный.
3. Определитель с двумя одинаковыми строчками равен нулю.
4. Общий множитель элементов строки можно вынести за знак
определителя.
5. Величина определителя не изменится, если к элементам какой – либо
строки, прибавить элементы другой строки, умноженные на
произвольное одинаковое число.
3
2
3
Пример1. Вычислить ∆3 = |5
−1 2|
1
Решение:
−1 2
5
∆3 =2 |
| − 3|
2 3
1
2
3
4
2
| + 4|
3
5 −1
1
2
| = 2(−3 − 4) – 3(15 – 2) + 4(10 + 1) = −9
7.2. Матрицы.
Назовем матрицей размера m×n таблицу вида
A=
𝑎11
𝑎12
…
𝑎1𝑛
𝑎21
𝑎22
…
𝑎2𝑛
…
…
…
…
(𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
,
… 𝑎𝑚𝑛 )
состоящую из m строк и n столбцов. Числа, из которых состоит таблица,
называются элементами матрицы.
Если m= n, то матрица квадратная. Если m ≠ n, то матрица прямоугольная.
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы.
Пусть заданы две матрицы одинакового размера:
𝑎11
…
А=( …
…
𝑎𝑚1
𝑎1𝑛
… )
и
𝑏11
…
В=( …
…
… 𝑎𝑚𝑛
Суммой двух матриц С=А+В называется матрица
𝑏𝑚1
𝑏1𝑛
… ) .
… 𝑏𝑚𝑛
4
𝑎11 + 𝑏11
…
𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
…
…
…
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1
…
𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛
(
) .
Умножить матрицу на число означает, что нужно умножить на это число
𝜆𝑎11
каждый элемент матрицы:
λА = ( …
𝜆𝑎𝑚1
…
…
…
𝜆𝑎1𝑛
… )
.
𝜆𝑎𝑚𝑛
Пусть задана матрица А размером m×n и матрица В размером n×k. Тогда
произведением матриц А и В называется такая матрица С размером m×k,
каждый элемент которой определяется равенство
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 +… 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑛𝑗
(i = 1,2,…m; j = 1,2…k),
т.е. элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-той строки и j-того
столбца есть сумма произведений элементов i-той строки матрицы А и
соответствующих элементов j-того столбца матрицы В. Это означает, что
число столбцов матрицы А должно быть равным числу строк матрицы В.
Матрица 𝐴𝑇 называется транспонированной, если столбцы матрицы А
заменить ее строками:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎11 𝑎21 𝑎31
А = (𝑎21
𝑎22
𝑎23 ) 𝐴𝑇 = (𝑎12
𝑎22
𝑎32 )
𝑎31
𝑎32
𝑎33
𝑎23
𝑎33
𝑎13
2 3
1 −1 4
Пример 2. Найти матрицу 𝐴 ∙В, если А = (4 −1) и В = (3 2 1).
3 −2
0 1 2
Решение:
𝑇
5
1 −1 4
2 4
3
𝐴 ∙В=(
) (3 2 1)=
3 −1 −2 0 1 2
2 ∙ 1 + 4 ∙ 3 + 3 ∙ 0 2 ∙ (−1) + 4 ∙ 2 + 3 ∙ 1
(
3 ∙ 1 − 1 ∙ 3 − 2 ∙ 0 3 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 − 2 ∙ 1
14 9 18
(
)
0 −7 7
𝑇
2∙4+4∙1+3∙2
3∙4−1∙1−2∙2
)=
7.3. Обратная матрица.
Пусть задана квадратная матрица n-го порядка. Краткости ради будем
считать, что n=3. Если, определитель Δ, составленный из элементов матрицы
А не равен нулю (∆А ≠0), то матрица А называется невырожденной.
Матрица 𝐴−1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие:
−1
А𝐴
−1
=𝐴
1 0 0
А = Е, где Е – единичная матрица, Е = (0 1 0).
0 0 1
𝑎11
𝑎12
𝑎13
Всякая невырожденная матрица А = (𝑎21
𝑎22
𝑎23 ) имеет себе
𝑎31
𝑎32
𝑎33
𝐴11
𝐴21
𝐴31
(𝐴12
𝐴22
𝐴32 )
𝐴13
𝐴23
𝐴33
обратную:
𝐴−1 =
1
𝛥
(7.2)
В формуле (7.2) 𝐴𝑖𝑗 - алгебраические дополнения к элементам 𝑎𝑖𝑗 матрицы
А и Δ – определитель матрицы А.
Отметим, что
1. ∆𝐴−1 =
1
∆А
−1
2. (А ∙ В) = В−1 𝐴−1
3. (𝐴−1 )Т = (𝐴Т )−1
6
3 −5
Пример 3. Найти 𝐴−1 , если А = (
)
4 2
3 −5
Решение: Вычислим определитель матрицы Δ = (
) = 6+20 = 26 ≠ 0
4 2
Так как определитель матрицы не равен нулю, то она имеет обратную
матрицу. Находим алгебраические дополнения 𝐴𝑖𝑗 :
𝐴11 = 2 𝐴12 = −4 𝐴21 = 5 𝐴22 = 3
1
2 5
𝐴−1 =
(
)
26 −4 3
Проверка: 𝐴−1 ∙ А =
1
2 5 3
(
)(
26 −4 3 4
1 26 0
1 0
−5
)=
(
)=(
)
0 1
2
26 0 26