Линейная алгебра - Тюменская государственная академия
реклама
Государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Тюменской области
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
2.5. Реализация образовательных программ
СМК – РОП - РУП - 2.5.20 - 2011
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
СОГЛАСОВАНО
Проректор по учебной работе
_______________ Т.А. Кольцова
"____" _______________ 2011 г.
УТВЕРЖДЕНО
Решением Учёного совета
(протокол № 9 от 23.03.2011 г.)
Е. Е. Гнатюк
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Рабочая учебная программа
Направление подготовки
080100 Экономика
Профили подготовки:
«Экономика предприятий и организаций»
«Мировая Экономика»
«Налоги и Налогообложение»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная, заочная
Тюмень
2011
ББК 22.143
Л59
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: ГАОУ
ВПО ТО «ТГАМЭУП». 2011. – 28 с.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Линейная алгебра» разработана в
соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом
высшего профессионального образования и учебным планом, рекомендациями и
ПрООП ВПО по направлению 080100 «Экономика» профилям «Экономика Предприятий и Организаций», «Мировая Экономика», «Налоги и Налогообложение».
Рабочая учебная программа включает цели освоения дисциплины; место дисциплины в структуре ООП бакалавриата; компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины; структуру и содержание дисциплины; образовательные технологии; учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы студентов; оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины; учебно-методическое и
информационное обеспечение дисциплины; материально-техническое обеспечение дисциплины.
Одобрено на заседании кафедры математики и информатики (протокол №6 от
22.02.2011 г.), печатается по решению Учебно-методического совета (протокол заседания УМС №7 от 16.03.2011 г.).
Рецензенты:
С. Д. Захаров, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий
кафедрой математики и информатики «ТГАМЭУП»;
А. Г. Хохлов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
МАиТФ ИМКН ТюмГУ.
Автор-составитель Е. Е. Гнатюк, ст. преподаватель кафедры математики и
информатики «ТГАМЭУП».
© «ТГАМЭУП», 2011
© Гнатюк Е.Е., 2011
2
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Линейная алгебра» является получение студентами теоретических знаний, а также приобретение необходимых практических
навыков по линейной алгебре.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Линейная алгебра является одной из дисциплин профиля базовой части математического цикла.
Для изучения дисциплины студент должен знать школьный курс аналитической геометрии; уметь работать с координатами на плоскости и в пространстве, а
также применять элементарные операции с векторами (модуль и направление вектора, сложение векторов, умножение вектора на число, разложение вектора по
двум неколлинеарным векторам, скалярное произведение векторов, разложение
вектора по координатным осям); владеть техникой построения прямых на плоскости, прямых и плоскостей в пространстве.
Дисциплина «Линейная алгебра» необходимый компонент в образовании
экономического профиля, расширяет кругозор будущих специалистов, позволяет
ориентироваться в современных проблемах такой области, как планирование деятельности, анализ и экспертиза проектов. Многие вопросы экономической деятельности решаются посредством математических расчетов, поэтому курс связан с
усвоением студентами различных экономических дисциплин.
3. Компетентности обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины «Линейная алгебра» у студента должны
быть сформированы элементы следующих общекультурных и профессиональных
компетенций:
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в
этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в
том числе защиты государственной тайны (ОК-12);
владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как средством
управления информацией, способность работать с информацией в глобальных
компьютерных сетях (ОК-13);
способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для
расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (расчетно-экономическая деятельность, ПК-1);
способность на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой
базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (расчетно-экономическая деятельность, ПК-2);
способность выполнять необходимые для составления экономических разделов
планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (расчетно-экономическая деятельность, ПК-3);
3
способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для
решения поставленных экономических задач (аналитическая, научно-исследовательская деятельность, ПК-4);
способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (аналитическая, научно-исследовательская деятельность, ПК-5);
способность на основе описания экономических процессов и явлений строить
стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (аналитическая, научно-исследовательская деятельность, ПК-6);
способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (аналитическая, научно-исследовательская деятельность, ПК-10);
способность использовать для решения коммуникативных задач современные
технические средства и информационные технологии (организационно-управленческая деятельность, ПК-12);
способность преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях различного уровня, используя существующие программы и учебнометодические материалы (педагогическая деятельность, ПК-14);
способность принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (педагогическая деятельность,
ПК-15).
В ходе изучения дисциплины «Линейная алгебра» в течение учебного семестра студент должен –
Знать:
элементы аналитической геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве;
матрицы, определители, системы линейных уравнений;
N-мерное линейное векторное пространство, системы векторов;
линейные операторы и матрицы;
собственные векторы линейных операторов;
комплексные числа и многочлены;
Евклидово пространство;
квадратичные формы.
Уметь:
применять методы экономического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования для решения экономических задач.
Владеть:
навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;
методикой построения, анализа и применения математических моделей для
оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Студент должен быть готов к получению теоретических знаний, а также приобретению необходимых практических навыков, чтобы в дальнейшем иметь возможность выявлять взаимосвязь математических и экономических дисциплин.
4
4. Структура и содержание дисциплины «Линейная алгебра»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц или 180 часов, в том числе
очная форма обучения
Лекции 18 ч.
Самостоятельная работа 126 ч.,
Семинарские (практ.) занятия 36 ч.
в том числе экзамен 36 ч.
заочная форма обучения
Лекции 8 ч.
Самостоятельная работа 164 ч.,
Семинарские (практ.) занятия 8 ч.
в том числе экзамен 36 ч.
Практические
занятия
СРС
Форма текущего контроля
успеваемости
(по неделям семестра)
Лекции
Виды учебной деятельности, включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость
(в часах)
Всего
Неделя семестра
Раздел дисциплины
(темы)
Семестр
Структура дисциплины
очная форма обучения
1-6
60
6
12
30
1,2
20
2
4
10
3
10
1
2
5
2
4
10
1
2
5
2
5
10
1
2
5
2
6
10
1
2
5
2 7-12
60
6
12
30
2 7-12
60
6
12
30
2 13-18 60
6
12
Тема 7. Системы векторов и урав2 13-14 20
нений
2
4
10
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
Тема 8. Матрицы и квадратичные
2 15-18 40
формы
4
8
20
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
ИТОГО
18
36
126 экзамен
Раздел 1. Векторная алгебра и
2
аналитическая геометрия
Тема 1. Элементы векторной ал2
гебры
Тема 2. Аналитическая геометрия
2
на плоскости
Тема 3. Кривые второго порядка
Тема 4. Аналитическая геометрия
в пространстве
Тема 5. Поверхности второго порядка
Раздел 2. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
Тема 6. Матрицы. Определители.
Системы линейных уравнений
Раздел 3. Элементы линейной
алгебры
2 1-18 180
5
Форма промежуточной
аттестации
(по семестрам)
аудиторная контрольная
работа
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
аудиторная контрольная
работа
Опрос, практические задания,
собеседование, тестирование
индивидуальная домашняя
30
работа
СРС
ИТОГО
Практические
занятия
Раздел 1. Векторная алгебра и аналитическая
геометрия
Тема 1. Элементы векторной алгебры
Тема 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Тема 3. Кривые второго порядка
Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве
Тема 5. Поверхности второго порядка
Раздел 2. Матрицы. Определители. Системы
линейных уравнений
Тема 6. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
Раздел 3. Элементы линейной алгебры
Тема 7. Системы векторов и уравнений
Тема 8. Матрицы и квадратичные формы
Лекции
Раздел дисциплины
(темы)
Виды учебной деятельности, включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость
(в часах)
Всего
Семестр
заочная форма обучения
2
66
3
3
48
2
2
2
2
2
22
11
11
11
11
1
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5
16
8
8
8
8
2
48
2
2
32
2
48
2
2
32
2
2
2
66
22
44
3
1
2
3
1
2
48
16
32
2
180
8
8
164
Форма
промежуточной
аттестации
контрольная работа, экзамен
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тема 1. Элементы векторной алгебры
Основные понятия и определения. Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на скаляр. Разложение вектора на составляющие,
координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора, их взаимосвязь. Расстояние между двумя точками пространства. Скалярное произведение:
определение, свойства. Выражение скалярного произведения через координаты
сомножителей. Вычисление угла между векторами, условие перпендикулярности
векторов. Определение векторного произведения, его свойства. Формула для вычисления через координаты сомножителей. Вычисление площадей параллелограмма, треугольника. Условие коллинеарности векторов. Смешанное произведение векторов: определение, формула для вычисления через координаты сомножителей, его приложение к вычислению объемов параллелепипеда и пирамиды,
условие компланарности трех векторов.
6
Тема 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Полярная система координат. Комплексные числа. Общее уравнение прямой.
Нормальный вектор. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение
прямой в «отрезках». Вычисление угла между прямыми. Точка пересечения двух
прямых. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой, проходящей через
точку с заданным угловым коэффициентом. Расстояние от точки до прямой.
Тема 3. Кривые второго порядка
Общее уравнение кривых второго порядка. Определения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Их канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Построение кривых в системе координат. Полярные уравнения.
Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному
вектору. Уравнение плоскости в «отрезках». Уравнение плоскости, проходящей
через три заданные точки. Угол между плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Общие уравнения прямой. Канонические и параметрические уравнения прямой. Направляющий вектор. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между
прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости.
Тема 5. Поверхности второго порядка
Эллипсоид. Гиперболоиды: однополостный и двуполостный. Параболоиды:
эллиптический и гиперболический. Конус. Цилиндры. Вырожденные случаи: пересекающиеся, параллельные плоскости. Прямая, точка, мнимая поверхность.
Классификация поверхностей второго порядка в пространстве на основе их канонических уравнений. Приведение к каноническому виду. Схематическое построение поверхностей.
Раздел 2. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Тема 6. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
Матрицы. Действия с ними. Определитель матрицы. Его вычисление и свойства. Обратная матрица, условия ее существования. Решение систем уравнений
методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Исследование системы m уравнений с n неизвестными.
Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема 7. Системы векторов и уравнений
Векторная форма системы линейных уравнений. Разложение вектора по системе векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Ортогональные системы векторов. Системы
7
линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений: их фундаментальные системы решений. Линейные преобразования.
Тема 8. Матрицы и квадратичные формы
Собственные значения и собственные векторы матрицы. Приведение квадратных матриц к диагональному виду. Приведение симметрических матриц к
диагональному виду ортогональным преобразованием. Квадратичные формы. Канонический вид. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа и
ортогональными преобразованиями.
5. Образовательные технологии
Учебный процесс происходит с использованием разнообразных методов организации и осуществления учебно-познавательной деятельности: словесные
(конференция, лекция, дискуссия, беседа), наглядные и практические методы передачи информации; стимулирование и мотивация учебно-познавательной деятельности (учебные дискуссии и др.); контроля и самоконтроля (устного и письменного опроса, тестирования, экзамена).
Широко (более 20% аудиторных занятий) используются активные и интерактивные формы проведения занятий: ситуационный анализ, ролевые игры, эвристические технологии, социально-психологические тренинги, тестирование.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов реализуется в разных видах. Она включает
подготовку студентов к семинарским (практическим) занятиям. Для этого студент
изучает лекции преподавателя; основную и дополнительную литературу; интернет-ресурсы, рекомендованные в разделе 8 «Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины». Самостоятельная работа предусматривает также
решение во внеучебное время практических заданий, приведённых в разделе 7
«Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины». К самостоятельной работе студента относится подготовка к экзамену. Экзаменационные вопросы приведены также в
разделе 7.
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Методические рекомендации по подготовке и проведению
практических занятий
Изучение математики требует систематической целенаправленной работы,
для успешной организации которой необходимо:
1. Получить в библиотечном фонде рекомендованную преподавателем учебно-методическую литературу.
8
2. Регулярно посещать лекции и конспектировать их, поскольку именно лекции являются одним из основных источников получения информации по изучению данного курса.
3. Своевременно готовиться к практическому занятию, т.е. нужно:
- внимательно перечитать свой конспект лекций по изучаемой на данный момент
теме;
- выполнить домашнее задание и выучить сопутствующие формулы;
- изучить дополнительную литературу.
Если в процессе подготовки к практическому занятию остаются какие-либо
вопросы, на которые не найдены ответы ни в учебной литературе, ни в конспекте
лекции, следует зафиксировать их в рабочей тетради и поставить перед преподавателем на практическом занятии.
4. Регулярно посещать практические занятия; проявлять активность в ходе
работы; предлагать нестандартные решения задач, если они имеются; стремиться
решать не только обязательные, но и дополнительные задания, предлагаемые преподавателем.
Следуя изложенным методическим советам и рекомендациям, каждый студент сможет овладеть тем объемом знаний, который предусмотрен учебной программой, успешно сдать все необходимые зачеты и экзамены, а впоследствии использовать полученные знания в своей практической и трудовой деятельности.
Планы практических занятий
Раздел 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тема 1. Элементы векторной алгебры
практическое занятие – 4 ч
1. Основные понятия и определения.
4. Скалярное произведение векторов.
2. Линейные операции над векторами.
5. Векторное произведение векторов.
3. Разложение вектора по базису.
6. Смешанное произведение векторов.
Задачи: [8, гл. 10, 1-100], [3, 21-60]
Тема 2. Аналитическая геометрия на плоскости
практическое занятие – 2 ч
1. Полярная система координат.
3. Прямая на плоскости.
2. Комплексные числа.
4. Взаимное расположение прямых.
Задачи: [8, гл. 3, 41-51, 68-125]
Тема 3. Кривые второго порядка
практическое занятие – 2 ч
1. Общее уравнение кривых второго порядка.
2. Окружность. Определение, нормальное уравнение, радиус.
3. Эллипс. Определение, каноническое уравнение, параметры.
4. Гипербола. Определение, каноническое уравнение, параметры.
5. Парабола. Определение, каноническое уравнение, параметры.
Задачи: [8, гл. 3, 126-160], [3, 81-90]
9
Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве
практическое занятие – 2 ч
1. Плоскость.
2. Прямая в пространстве.
3. Прямая и плоскость в пространстве.
Задачи: [8, гл. 10, 101-164], [3, 61-80]
Тема 5. Поверхности второго порядка
практическое занятие – 2 ч
1. Сфера.
2. Поверхности второго порядка (эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид).
3. Цилиндрические поверхности (цилиндры: эллиптический, параболический, гиперболический) и конус второго порядка.
Задачи: [8, гл. 10, 165-181], [3, 81-90]
Раздел 2. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Тема 6. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
практическое занятие – 12 ч
1. Матрицы, действия с ними.
2. Определитель матрицы, его вычисление и свойства.
3. Решение систем уравнений по формулам Крамера.
4. Обратная матрица, условия ее существования.
5. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы.
6. Ранг матрицы.
7. Исследование системы m уравнений с n неизвестными.
8. Решение систем уравнений методом Гаусса.
Задачи: [8, гл.7, 1-50], [3, 1-20]
Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема 7. Системы векторов и уравнений
практическое занятие – 4 ч
1. Векторная форма системы линейных уравнений.
2. Разложение вектора по системе векторов.
3. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
4. Базис и ранг системы векторов.
5. Ортогональные системы векторов.
6. Однородные системы линейных уравнений: их фундаментальные системы решений.
7. Линейные преобразования.
Задачи: [3, 1-20], [2, ч. 1, 482-484, 486, 501, 518-522, 576-582]
Тема 8. Матрицы и квадратичные формы
практическое занятие - 8 ч
1. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
10
2. Приведение квадратных матриц к диагональному виду.
3. Приведение симметрических матриц к диагональному виду ортогональным
преобразованием.
4. Квадратичные формы. Канонический вид. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
5. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа.
6. Приведение квадратичных форм к каноническому виду ортогональными преобразованиями.
Задачи: [2, ч. 1, 407-408, 418-419, 420-427]
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
3-ий
2-ой
модуль модуль
1-ый
модуль
Список контрольных мероприятий и сроки выполнения
для студентов очной формы обучения
Вид контрольного мероприятия и его тема
Аудиторная контрольная работа
“Векторная алгебра”
Срок выполнения
3 неделя
Аудиторная контрольная работа
“Аналитическая геометрия”
6 неделя
Аудиторная контрольная работа
“Системы линейных алгебраических уравнений”
12 неделя
Индивидуальная домашняя работа
“Элементы линейной алгебры”
18 неделя
Методические рекомендации по написанию и оформлению контрольных работ
для студентов заочной формы обучения
Общие рекомендации студенту-заочнику
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебнику, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. Во время сессии студенты слушают лекции, посещают практические
занятия, сдают экзамены и тестирование. При самостоятельном изучении учебного материала можно использовать следующие рекомендации: чтение учебников (в
т.ч. электронных), решение задач, самопроверка.
Чтение учебника
1. Каждый последующий вопрос должен изучаться только после правильного понимания предыдущего.
2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Их следует знать чётко, а также подробно разбирать примеры, которые поясняют такие
определения и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.
11
3. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и
т.д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, по которым необходимо получить устную или письменную консультацию преподавателя.
4. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется подчёркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании они выделялись и лучше запоминались.
Полезно составить лист, содержащий важнейшие и наиболее часто употребляемые
формулы курса. Такой лист поможет запомнить эти формулы, а также служит постоянным справочником.
Решение задач
1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
2. Решение задач и примеров следует излагать подробно, обосновывая каждый
этап решения теоретическими положениями курса. Чертежи можно выполнять от
руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.
3. В промежуточных вычислениях не следует вводить приближённые значения
корней, числа и т.п. Следует обратить внимание, соответствует ли полученный
ответ существу данной задачи. Полезно также решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.
Самопроверка
1. После изучения определённой темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы, формулировки и доказательства теорем. При недостаточном усвоении надо ещё раз внимательно разобраться в материале учебника.
2. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Тем не менее, благополучное решение задач нельзя считать достаточным признаком усвоения теории. Часто правильное решение получается в
результате механического применения формул, без понимания существа дела. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении
задач у студента возникают вопросы, найти ответ на которые самостоятельно не
удаётся, то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.
Правила выполнения и оформления контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в
клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия
студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы,
название дисциплины. Здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.
12
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по
положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания,
а также задачи не своего варианта, не засчитываются.
4. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том
случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта,
имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера своего варианта.
6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя
все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
7. После получения прорецензированной работы, студент должен: исправить все
отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, выполнить все рекомендации рецензента. При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и
исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить изменения в сам
текст работы после рецензирования запрещается.
Выбор варианта
Номер варианта выбирается студентом-заочником по последней цифре номера зачетной книжки.
Задания для контрольных работ
Задача 1-10. На плоскости Oxy заданы вершины треугольника ABC . Найти 1)
уравнение прямой AB ; 2) уравнение медианы CM ; 3) уравнение высоты CH и ее
длину; 4) точку пересечения высоты CH и стороны AB ; 5) длину высоты CH (двумя способами). Сделать чертеж.
1.
A( - 2 ; 4 ) ,
B ( 3;1) ,
C ( 10 ; 7 ) .
2.
A( - 3 ; - 2 ) ,
B (14 ; 4 ) ,
C( 6 ;8 ) .
3.
A(1; 7 ) ,
B ( - 3 ; - 1) ,
C (11; - 3 ) .
4.
A(1; - 2 ) ,
B( 7 ;1) ,
C( 3; 7 ) .
5.
A( - 4 ; 2 ) ,
B( - 6 ; 6 ) ,
C( 6 ; 2 ) .
6.
A( 4 ; - 3 ) ,
B( 7 ; 3 ) ,
C ( 1;10 ) .
7.
A( - 2 ; - 3 ) ,
B(1; 6 ) ,
C ( 6 ;1 ) .
8.
A( 4 ; - 4 ) ,
B( 8 ; 2 ) ,
C( 3; 8 ) .
9.
A(1; - 6 ) ,
B( 3; 4 ) ,
C ( - 3; 3 ) .
10.
A( - 4 ; 2 ) ,
B( 8 ; - 6 ) ,
C( 2 ; 6 ) .
13
Задача 11-20. Определить тип кривой, привести уравнение к каноническому
виду. Кривую построить.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
а)
4 x 2 9 y 2 16 x 54 y 61 0 ,
б)
x 2 4 y 2 2x 3 0 ,
в)
x 2 y 2 4x 4 0 ,
г)
y 2 2x 2 0 .
а)
9 x 2 4 y 2 54 x 16 y 61 0 ,
б)
4x 2 y 2 2 y 1 0 ,
в)
x 2 y 2 8x 0 ,
г)
x2 2 y 2 0 .
а)
4 x 2 9 y 2 16 x 54 y 61 0 ,
б)
x 2 4 y 2 2x 3 0 ,
в)
x2 y2 4y 0,
г)
y 2 2x 2 0 .
а)
9 x 2 4 y 2 54 x 16 y 61 0 ,
б)
4x 2 y 2 2 y 3 0 ,
в)
x 2 y 2 8 y 17 0 ,
г)
x2 2 y 2 0 .
а)
4 x 2 9 y 2 16 x 54 y 61 0 ,
б)
x 2 4 y 2 4x 0 ,
в)
x 2 y 2 2x 4 y 0 ,
г)
y 2 4x 2 y 1 0 .
а)
9 x 2 4 y 2 54 x 16 y 61 0 ,
б)
4 x 2 y 2 4 y 12 0 ,
в)
x 2 y 2 2x 4 y 0 ,
г)
x 2 2x 4 y 1 0 .
а)
4 x 2 9 y 2 16 x 54 y 61 0 ,
б)
x 2 4 y 2 4 x 12 0 ,
в)
x 2 y 2 6 x 8 y 25 0 ,
г)
y 2 4x 2 y 1 0 .
а)
9 x 2 4 y 2 54 x 16 y 61 0 ,
б)
4x 2 y 2 4 y 8 0 ,
в)
x 2 y 2 6x 0 ,
г)
x2 2x 4 y 1 0 .
а)
4 x 2 y 2 8x 4 y 4 0 ,
б)
x2 y 2 6x 9 0 ,
в)
x 2 4x 2 y 4 0 ,
г)
9 x 2 25 y 2 72 x 81 0 .
а)
4 x 2 9 y 2 24 x 36 y 36 0 ,
б)
y 2 4 y 4x 0 ,
в)
x2 y 2 2x 2 y 1 0 ,
г)
25 x 2 16 y 2 96 y 150 0 .
Задача 21-30. Построить по точкам график функции ( ) в полярной системе координат. Значения функции вычислять в точках k k 8 , k 0, 1, , 16 .
21. 6 cos .
22. 2(1 cos ) .
23. 2 sin .
24. 1 cos .
25. 4 cos .
26. 4(1 cos ) .
27. 4 sin .
28. 1 sin .
29. 2 cos .
30. 2(1 sin ) .
Задача 31-40. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , построенные по векторам а и
b?
14
31. a {1, - 2, 3} ,
32. a {1, 0, 1} ,
33. a {-2, 4, 1} ,
b {3, 0, - 1} ,
с2 3b a .
b {-2, 3, 5} ,
с1 2a 4b ,
с1 a 2b ,
b {1, - 2 ,7} ,
с1 5a 3b ,
с2 2a b .
34. a {1, 2, - 3} ,
b {2, - 1, - 1} ,
с1 4a 3b ,
с2 8a b .
35. a {3, 4, 5} ,
b {2, - 1, - 1} ,
с1 2a b ,
с2 3a 2b .
36. a {1, 4, - 2} ,
b {1, 1, - 1} ,
с1 a b ,
с2 4a 2b .
37. a {1, - 2, 5} ,
b {3, - 1, 0} ,
с1 4a 2b ,
с 2 b 2a .
38. a {3, 4, - 1} ,
b {2, - 1, 1} ,
с1 6a 3b ,
с2 b 2a .
39. a {-2, - 3, - 2} ,
b {1, 0, 5} ,
с1 3a 9b ,
с2 a 3b .
40. a {-1, 4, 2} ,
b {3, - 2, 6} ,
с1 2a b ,
с2 3b 6a .
с2 3a b .
Задача 41-50. Компланарны ли векторы a , b и c ?
c {2, 2, 2} .
b {-1, 0, - 1} ,
41. a {2, 3, 1} ,
42. a {3, 2, 1} ,
b {2, 3, 4} ,
c {3, 1, - 1} .
43. a {1, 5, 2} ,
b {-1,1, - 1} ,
c {1, 1, 1} .
44. a {1, - 1, - 3} ,
b {3, 2, 1} ,
c {2, 3, 4} .
45. a {3, 3, 1} ,
b {1, - 2, 1} ,
c {1, 1, 1} .
46. a {3, 1, - 1} ,
b {-2, - 1, 0} ,
c {5, 2, - 1} .
47. a {4, 3, 1} ,
b {1, - 2, 1} ,
c {2, 2, 2} .
48. a {4, 3, 1} ,
b {6, 7, 4} ,
c {2, 0, - 1} .
49. a {3, 2, 1} ,
b {1, - 3, - 7} ,
c {1, 2, 3} .
50. a {3, 7, 2} ,
b {-2, 0, - 1} ,
c {2, 2, 1} .
Задача 51-60. Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через
точки M 1 , M 2 , M 3 .
M3 ( - 5; - 2; 0 ) ,
M 0 ( - 12 ; 7 ; - 1 ) .
M 2 (1; 5 ; - 4 ) ,
51. M1 ( - 3 ; 4 ; - 7 ) ,
M 3 ( 2 ; 1; - 2 ) ,
M 0 ( 1; - 6 ; - 5 ) .
M 2 ( 4 ; - 1; 0 ) ,
52. M1 ( - 1; 2 ; - 3 ) ,
M 3 ( 3; - 5 ; 4 ) ,
M 0 ( - 7 ; 0 ; - 1) .
M 2 ( - 9 ;1; - 2 ) ,
53. M1 ( - 3 ; - 1;1) ,
54. M1 (1; - 1;1) ,
M2 ( - 2; 0;3) ,
M 3 ( 2 ; 1; - 1 ) ,
M0 ( - 2; 4; 2 ) .
55. M1 (1; 2 ; 0 ) ,
M 2 (1; - 1; 2 ) ,
M 3 ( 0 ; 1; - 1 ) ,
M 0 ( 2 ; - 1; 4 ) .
56. M1 (1; 0 ; 2 ) ,
M 2 (1; 2 ; - 1) ,
M 3 ( 2 ; - 2 ;1 ) ,
M 0 ( - 5 ; - 9 ;1 ) .
57. M1 (1; 2 ; - 3 ) ,
M 2 (1; 0 ;1) ,
M 3 ( - 2 ; - 1; 6 ) ,
M 0 ( 3; - 2 ; - 9 ) .
58. M1 ( 3 ;10 ; - 1) ,
59. M1 ( - 1; 2 ; 4 ) ,
60. M1 ( 0 ; - 3;1) ,
M 2 ( - 2 ; 3; - 5 ) ,
M3( - 6; 0; - 3) ,
M 0 ( - 6 ; 7 ; - 10 ) .
M 2 ( - 1; - 2 ; - 4 ) ,
M 3 ( 3 ; 0 ; - 1) ,
M 0 ( - 2 ; 3; 5 ) .
M 2 ( - 4 ;1; 2 ) ,
M 3 ( 2 ; - 1; 5 ) ,
M 0 ( - 3; 4 ; - 5 ) .
15
Задача 61-70. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A
перпендикулярно вектору BC .
61. A(1; 0 ; - 2 ) ,
B ( 2 ; - 1; 3 ) ,
C ( 0 ; - 3; 2 ) .
62. A( - 1; 3; 4 ) ,
B ( - 1; 5 ; 0 ) ,
C ( 2 ; 6 ;1) .
63. A( 4 ; - 2 ; 0 ) ,
B(1; - 1; - 5 ) ,
C ( - 2 ;1; - 3 ) .
64. A( - 8; 0 ; 7 ) ,
B( - 3; 2 ; 4 ) ,
C ( - 1; 4 ; 5 ) .
65. A( 7 ; - 5 ;1) ,
B( 5 ; - 1; - 3 ) ,
C ( 3; 0 ; - 4 ) .
66. A( - 3; 5 ; - 2 ) ,
B( - 4 ; 0 ; 3 ) ,
C ( - 3; 2 ; 5 ) .
67. A(1; - 1; 8 ) ,
B( - 4 ; - 3;10 ) ,
C ( - 1; - 1; 7 ) .
68. A( - 2 ; 0 ; - 5 ) ,
B( 2 ; 7 ; - 3 ) ,
C (1;10 ; - 1) .
69. A(1; 9 ; - 4 ) ,
B ( 5 ; 7 ;1) ,
C ( 3; 5 ; 0 ) .
70. A( - 7 ; 0 ; 3 ) ,
B (1; - 5 ; - 4 ) ,
C ( 2 ; - 3; 0 ) .
Задача 71-80. Найти угол между плоскостями.
71. x 3 y 5 0 , 2 x y 5 z 16 0 .
72. x 3 y z 1 0 , x z 1 0 .
73. 4 x 5 y 3z 1 0 , x 4 y z 9 0 .
74. 3x y 2 z 15 0 , 5 x 9 y 3z 1 0 .
75. 6 x 2 y 4 z 17 0 , 9 x 3 y 6 z 4 0 .
76. x y 2 z 1 0 , x y 2 z 3 0 .
77. 3 y z 0 , 2 y z 0 .
78. 6 x 3 y 2 z 0 , x 2 y 6 z 12 0 .
79. x 2 y 2 z 3 0 , 16 x 12 y 15 z 1 0 .
80. 2 x y 5 z 16 0 , x 2 y 3z 8 0 .
Задача 81-90. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
81.
x 2 y 3 z 1
, x 2 y 3z 14 0 . 82.
1
1
4
x 1 y 3 z 1
, x 2 y 5 z 20 0 .
3
4
5
83.
x 1 y 5 z 1
, x 3 y 7 z 24 0 . 84.
1
4
2
x 1 y z 3
, 2x y 4z 0 .
1
0
2
85.
x 5 y 3 z 2
, 3x y 5 z 12 0 . 86.
1
1
0
x 1 y 2 z 3
, x 3 y 5z 9 0 .
3
2
2
87.
x 1 y 2 z 1
, x 2 y 5 z 17 0 . 88.
2
1
1
x 1 y 2 z 4
, x 2 y 4 z 19 0 .
2
0
1
89.
x 2 y 1 z 4
, 2 x y 3z 23 0 . 90.
1
1
1
x2 y2 z 3
, 2 x 3 y 5z 7 0 .
1
0
0
Задача 91-100. Найти определитель и обратную матрицу для данной матрицы
A . Используя полученные результаты или другим способом, решить систему
уравнений A X B .
16
91. а)
6 8 2
28
A 0 6 8 , B 36 ;
0 1 4
14
б)
7 8
53
, B .
A
9 9
63
92. а)
9 9 3
69
A 0 1 8 , B 19 ;
7 6 9
64
б)
5 11
21
, B .
A
26
7 12
93. а)
2 4 7
21
A 4 2 9 , B 25 ;
4 6 6
30
б)
12 8
44
, B .
A
14 9
50
94. а)
8 8 8
0
A 7 4 3 , B 6 ;
9 0 1
6
б)
15 6
- 69
, B
.
A
- 79
17 7
95. а)
7 2 8
- 21
A 2 4 4 , B - 18 ;
8 9 2
- 16
б)
6 11
26
, B .
A
24
8 12
96. а)
2 10 1
-4
A 2 7 8 , B - 15 ;
4 3 4
5
б)
9 12
- 54
, B
.
A
11 13
- 61
97. а)
4 1 7
35
A 6 3 5 , B 29 ;
10 8 7
40
б)
7 7
7
, B .
A
9 8
12
98. а)
2 6 3
1
A 8 6 4 , B - 8 ;
3 0 0
- 3
б)
14 8
- 10
, B
.
A
16 9
- 12
99. а)
1 0 9
- 26
A 7 5 2 , B 11 ;
-6
8 8 10
б)
14 7
- 14
, B
.
A
- 16
16 8
100. а)
6 5 0
13
A 10 9 10 , B 61 ;
8 4 2
28
б)
13 4
44
, B .
A
50
15 5
17
Задача 101-110. Решить систему по формулам Крамера и матричным методом.
101.
6 х1 2 х2 2 х3 6
2 х1 5 х2 х3 2 .
2 х 2 х 3х 5
2
3
1
3х1 х 2 х3 6
.
102. х1 2 х2 3х3 4
2 х 5 х 2 х 8
1
2
3
103.
х1 3х 2 х3 1
х1 х 2 х3 0 .
2 х х х 1
2
3
1
3х1 4 х2 х3 7
104. 4 х1 х2 4 х3 14 .
х 4 х х 12
2
3
1
х1 х 2 х3 3
х1 х 2 х3 1 .
х х х 1
2
3
1
6
х
12
х
1
2 х3 14
.
х1 3х 2 х3 6
4 х 12 х 3х 10
1
2
3
3х1 х 2 5 х3 12
3х1 х2 х3 6 .
4 х 3х 4 х 5
1
2
3
3х1 2 х 2 2 х3 3
106. 2 х1 4 х2 х3 1 .
2 х 3х 2 х 10
2
3
1
6
х
х
х
17
1
2
3
108. 2 х1 5 х2 2 х3 7 .
х х 4 х 10
2
3
1
х1 2 х 2 х3 17
110. 9 х1 х2 2 х3 30 .
2 х х 3х 7
2
3
1
105.
107.
109.
Задача 111-120. Найти общее решение в векторной форме системы линейных
уравнений. Выполнить проверку.
111.
113.
115.
117.
119.
x1 2 x 2 7 x3 2 x 4 2 x5 8 ,
2 x 5 x 17 x 11x 6 x 22 ,
1
2
3
4
5
3x1 9 x 2 30 x3 27 x 4 12 x5 42 ,
5 x1 16 x 2 53x3 52 x 4 22 x5 76 .
x1 3x2 8 x3 2 x4 4 x5 6 ,
2 x 7 x 18 x 7 x 12 x 15 ,
1
2
3
4
5
3x1 13x2 32 x3 18 x4 28 x5 30 ,
6 x1 23x2 58 x3 27 x4 44 x5 51 .
x1 3x2 5 x3 4 x4 4 x5 4 ,
3x 10 x 19 x 14 x 21x 14 ,
1
2
3
4
5
4
x
17
x
40
x
26
x
61
x
2
3
4
5 26 ,
1
5 x1 19 x2 41x3 28 x4 56 x5 28 .
x1 4 x2 5 x3 4 x4 x5 8 ,
3x 13x 22 x 18 x 11x 27 ,
1
2
3
4
5
4 x1 22 x2 62 x3 52 x4 52 x5 50 ,
6 x1 27 x2 51x3 42 x4 30 x5 57 .
x1 4 x2 5 x3 7 x4 4 x5 6 ,
4 x 17 x 27 x 36 x 18 x 33 ,
1
2
3
4
5
5
x
27
x
74
x
91
x
34
x
2
3
4
5 93 ,
1
6 x1 26 x2 44 x3 58 x4 28 x5 54 .
112.
114.
116.
118.
120.
18
x1 2 x2 3x3 4 x4 3x5 3 ,
2 x 5 x 11x 12 x 10 x 10 ,
1
2
3
4
5
3x1 10 x2 30 x3 32 x4 26 x5 27 ,
5 x1 16 x2 51x3 68 x4 45 x5 51 .
x1 4 x2 5 x3 4 x4 3x5 2 ,
2 x 9 x 14 x 10 x 10 x 9 ,
1
2
3
4
5
3x1 16 x2 32 x3 22 x4 29 x5 27 ,
6 x1 29 x2 55 x3 44 x4 58 x5 42 .
x1 x2 2 x3 3x4 4 x5 3 ,
3x 4 x 7 x 13x 16 x 13 ,
1
2
3
4
5
4
x
6
x
11
x
23
x
26
x5 22 ,
2
3
4
1
5 x1 11x2 20 x3 51x4 52 x5 47 .
x1 2 x2 2 x3 2 x4 x5 3 ,
3x 7 x 10 x 11x 5 x 12 ,
1
2
3
4
5
4 x1 10 x2 17 x3 21x4 9 x5 22 ,
6 x1 17 x2 35 x3 46 x4 19 x5 45 .
x1 5 x 2 x3 5 x 4 5 x5 2 ,
4 x 21x 6 x 24 x 22 x 10 ,
1
2
3
4
5
5
x
27
x
10
x
37
x
33
x
2
3
4
5 16 ,
1
6 x1 33x 2 14 x3 50 x 4 44 x5 22 .
Задача 121-130. Дана система векторов 1 , 2 , 3 , 4 . Убедиться, что векторы 1 , 2 , 3 линейно независимы и образуют базис системы векторов 1 , 2 , 3 ,
4 . Вектор 4 , не вошедший в базис, разложить по базису. Выполнить проверку.
121 1 {1, 2 , - 6 } ,
2 {1, 3 , 2 } ,
3 { - 3 , - 7 , - 1} ,
4 { 2 , 9 , 6} .
.122
1 {1, 3 , - 4 } ,
3 { - 1, - 4 , 6 } ,
2 { 3 ,10 , 3} ,
4 {5 , 9 , 9} .
.123
3 { - 1, - 7 , 3} ,
1 {1, 4 , - 2 } ,
2 { 2 , 9 , 2} ,
4 { 5 , 6 ,1} .
.124
1 {1, 2 , - 3} ,
2 { 2 , 5, 7} ,
3 { - 4 , - 8 , - 1} ,
4 { 2 , 7 , 7}.
.125
1 {1, 3 , - 8 } ,
2 { 2 , 7 ,1} ,
3 { - 1, - 4 , 7 } ,
4 { 3 , 4 , 3} .
.126
1 {1, - 2 , 7 } ,
3 { 2 ,1,1} ,
2 { - 1, 3 , - 8 } ,
4 { 3 , 2 , 5} .
.127
1 {1, - 4 , 5} ,
2 { - 1, 5 , - 5 } ,
3 { 2 , - 4 , 6} ,
4 { 2 , 8 , 2} .
.128
1 {1, - 3 , 7 } ,
2 { - 1, 4 , - 8 } ,
3 { 2 , - 1, 5 } ,
4 {5 , 6 , 2} .
.129
1 {1, - 2 , 5} ,
2 { - 1, 3 , - 6 } ,
3 { 3 , 5 , - 5} ,
4 { 9 , 8 ,1} .
.130
1 {1, - 4 , 7 } ,
2 { - 1, 5 , - 8 } ,
3 { 6 , 4 , 5} ,
4 {7 , 5, 7} .
.
Задача 131-140. Даны два линейных преобразования X / AX и X // BX / .
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее X // через
X.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
x1/ x1 6 x2 x3 ,
/
x2 3x1 x2 5 x3 ,
/
x3 2 x1 2 x2 x3 ,
x1// x1/ 3x2/ 4 x3/ ,
//
/
/
/
x2 5 x1 3x2 2 x3 ,
//
/
/
/
x3 3x1 3x2 x3 .
x1/ 6 x1 5 x2 3x3 ,
/
x2 x1 5 x2 3x3 ,
/
x3 4 x1 x2 6 x3 ,
x1/ 5 x1 4 x2 4 x3 ,
/
x2 4 x1 x2 2 x3 ,
/
x3 4 x1 4 x2 6 x3 ,
x1//
//
x2
//
x3
x1//
//
x2
//
x3
4 x1/ 5 x2/ 3x3/ ,
x1/ 5 x1 3x2 5 x3 ,
/
x2 3x1 5 x2 6 x3 ,
/
x3 5 x1 4 x2 x3 ,
x1/ 2 x1 3x2 x3 ,
/
x2 2 x1 x2 2 x3 ,
/
x3 x1 2 x2 3x3 ,
x1//
//
x2
//
x3
x1//
//
x2
//
x3
2 x1/ 4 x2/ x3/ ,
x1/ x1 x2 5 x3 ,
/
x2 4 x1 x2 6 x3 ,
/
x3 6 x1 x2 6 x3 ,
x1// 6 x1/ 2 x2/ x3/ ,
//
/
/
/
x2 3x1 4 x2 2 x3 ,
//
/
/
/
x3 2 x1 4 x2 x3 .
19
2 x1/ 5 x2/ 3x3/ ,
x1/ 2 x2/ 2 x3/ .
4 x1/ 2 x2/ 2 x3/ ,
2 x1/ x2/ 4 x3/ ,
5 x1/ x2/ x3/ .
6 x1/ 2 x2/ 5 x3/ ,
3x1/ 2 x2/ x3/ .
x1/ x2/ 2 x3/ ,
5 x1/ x2/ 2 x3/ ,
3x1/ 6 x2/ 3x3/ .
137.
138.
139.
140.
x1/ x1 x2 x3 ,
/
x2 5 x1 4 x2 3x3 ,
/
x3 x1 x2 2 x3 ,
x1// x1/ 5 x2/ x3/ ,
//
/
/
/
x2 3x1 2 x2 x3 ,
//
/
/
/
x3 4 x1 3x2 2 x3 .
x1/ x1 4 x2 2 x3 ,
/
x2 x1 4 x2 4 x3 ,
/
x3 5 x1 4 x2 4 x3 ,
x1/ 2 x1 5 x2 3x3 ,
/
x2 2 x1 4 x2 4 x3 ,
/
x3 x1 3x2 3x3 ,
x1//
//
x2
//
x3
x1//
//
x2
//
x3
x1/ 2 x1 4 x2 x3 ,
/
x2 2 x1 5 x2 4 x3 ,
/
x3 x1 x2 x3 ,
x1// 6 x1/ 4 x2/ 5 x3/ ,
//
/
/
/
x2 5 x1 x2 6 x3 ,
//
/
/
/
x3 3x1 5 x2 3x3 .
2 x1/ 4 x2/ x3/ ,
5 x1/ 3x2/ x3/ ,
5 x1/ x2/ 2 x3/ .
5 x1/ 3x2/ x3/ ,
x1/ 6 x2/ 2 x3/ ,
5 x1/ x2/ 3x3/ .
Задача 141-150. Найти матрицу T , которая приводит матрицу A к диагональному виду. Выполнить проверку D T 1 AT .
141.
9 2 10
3 4 15 .
1 1
2
143.
7 2 6
3 2 9 .
1 1 2
145.
11 2 4
4 12
3
1 2
6
147.
9 1 3
5 3 15
1 1 5
149.
7 1 4
2 4 8 .
1 1 2
.
.
142.
8 2 8
3 3 12
1 1
2
144.
12 2 3
3 12
4
1 2
8
146.
10 2 3
3 9 .
3
1 2 6
148.
8 2 3
2 3 6 .
1 2 4
150.
6 1 3
2 3 6 .
1 1 2
.
.
Задача 151-160. С помощью ортогональной матрицы Q привести данную
симметрическую матрицу A к диагональному виду. Выполнить проверку
D Q 1 AQ .
20
151.
1,04 - 0,28 0
- 0,28 2,96 0 .
0
0
8
153.
4,2 1,6 0
1,6 1,8 0 .
0
0 8
155.
3,94 0,42 0
0,42 1,06 0 .
0
0
9
157.
1,8 1,6 0
1,6 4,2 0 .
0
0 9
159.
1,08 0,56 0
0,56 4,92 0 .
0
0 10
152.
1,72 - 0,96 0
- 0,96 2,28 0 .
0
0
13
154.
3,7 0,9 0
0,9 1,3 0 .
0
0 7
156.
2,92 1,44 0
1,44 2,08 0 .
0
0 14
158.
1,3 0,9 0
0,9 3,7 0 .
0
0 8
160.
2,8 2,4 0
2,4 4,2 0 .
0
0 11
Задача 161-170. Найти линейное преобразование неизвестных x1 , x 2 , x3 , приводящее квадратичную форму F ( x1 , x2 , x3 ) к каноническому виду. Результат проверить. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.
2
2
2
161. F ( x1 , x2 , x3 ) x1 7 x2 9x3 6x1x2 10x1x3 34x2 x3 .
162.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 9 x22 7 x32 6 x1x2 4 x1x3 24 x2 x3 .
163.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 3x22 7 x32 6 x1x2 2 x1x3 18x2 x3 .
164.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 5x22 7 x32 6 x1x2 20 x1x3 24 x2 x3 .
165.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 7 x22 5x32 6 x1x2 4 x1x3 20 x2 x3 .
166.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 9 x22 5x32 6 x1x2 16 x1x3 24 x2 x3 .
167.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 3x22 5x32 6 x1x2 10 x1x3 18x2 x3 .
168.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 5x22 3x32 6 x1x2 4 x1x3 16 x2 x3 .
169.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 7 x22 3x32 6 x1x2 22 x1x3 30 x2 x3 .
170.
F ( x1 , x2 , x3 ) x12 9 x22 3x32 6 x1x2 14 x1x3 30 x2 x3 .
21
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1. {выберите один вариант ответа}
1 -1 3
Ступенчатым видом матрицы A 2 4 1 , полученным с помощью элемен 3 3 4
тарных преобразований, является …
Варианты ответов:
1)
1 -1 3
A 0 6 - 5
0 6 - 5
2)
1 -1 3
A 0 6 - 5
3 0 13
3)
1 -1 3
A 0 6 - 5
0 0 0
1 -1
3
4) A
0 6 - 5
Задание 2. {введите ответ}
Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы C 2 A 3B , если
- 7 3 6
- 4 6 - 2
A 5 - 5 - 5 и B 6 - 8 6 .
-5 5 7
3 4 9
Задание 3. {введите ответ}
2 - 1
1 - 4 1
и B 1 2 . Сумма элементов матрицы B A ,
Даны матрицы A
3 0 1
0 3
расположенных на ее главной диагонали, равна …
Задание 4. {выберите варианты согласно тексту задания}
Установите соответствие между системой линейных уравнений и ее расширенной матрицей:
5 x1 2 x 2 3x3 1,
1) 5 x2 2 x3 3 ,
2 x x 4 0 .
1
2
5 x1 2 x2 3x3 0 ,
2) 5 x1 2 x3 3 0 ,
2 x x 4 .
2
3
5 x1 3x3 3 0 ,
3) 5 x1 2 x2 4 ,
2 x x 5 0 .
1
3
5 x 2 3 x 3 3 0 ,
4) 5 x1 x2 2 x3 4 ,
2 x x 5 0 .
1
2
Варианты ответов:
5 - 2 3 0
a) 0 5 - 2 0
- 2 1 0 0
5 2 - 3 0
b) 5 0 - 2 - 3
0 - 2 1 - 4
5 - 2 3 -1
c) 0 5 - 2 - 3
- 2 1 0 4
- 5 0 3 - 3
d) 5 - 2 0 4
- 2 0 1 5
22
Задание 5. {выберите один вариант ответа}
1
- 2
соответствует квадратичная форма …
Матрице A
- 2 3
Варианты ответов:
1) x 2 4 xy 3 y 2
2) x 2 2 xy 3 y 2
3) 3x 2 4 xy 3 y 2
4) x 2 4 xy 3 y 2
Задание 6. {выберите несколько вариантов ответа}
x y z
Формула вычисления определителя третьего порядка k l m содержит слеn o p
дующие произведения: …
Варианты ответов:
1) y k p
2) y m n
3) y k n
4) y z p
Задание 7. {выберите один вариант ответа}
3
2
.
Линейное отображение задано в стандартном базисе матрицей A
1 5
4
Тогда координатами образа вектора X являются …
3
Варианты ответов:
1) (19 ; 6)
2) (20 ; 12)
3) (15 ; 7)
4) (6 ; 19)
Задание 8. {выберите один вариант ответа}
1
1
2 0
и B
. Тогда определитель произведения
Даны матрицы A
2 3
1 1
матриц det( B T A) , где B T – транспонированная матрица, равен …
Варианты ответов:
1) 2
2) 2
3) 5
4) 5
Задание 9. {выберите один вариант ответа}
3 4
. Тогда алгебраическим дополнением элемента
Дана матрица A
5 1
a21 5 является …
Варианты ответов:
1) 4
2) 4
3) 5
4) 1
Задание 10. {в ответе укажите }
2
Обратная матрица к матрице A 1 5
4
6
…
23
2
2 не существует при , равном
4
Задание 11. {выберите один вариант ответа}
2 x 3z 0 ,
Определитель основной матрицы системы x 2 y 3 , равен …
2 y z 1,
Варианты ответов:
1) 13
2) 0
3) 14
4) 17
Задание 12. {выберите один вариант ответа}
Даны точки A(5 ; 8) и B(3 ; 4) . Тогда ордината середины отрезка AB равна
…
Варианты ответов:
1) 2
2) 1
3) 4
4) 2
Задание 13. {в ответе укажите k1 k 2 }
Произведение угловых коэффициентов прямых 2 x 3 y 9 0 и 3x y 5 0
равно …
Задание 14. {выберите один вариант ответа}
Уравнением прямой, параллельной y 2 x 1 , является …
Варианты ответов:
1) y 2 x 1
2) y 2 x 1
3) y x 3
4) y x 2
Задание 15. {выберите один вариант ответа}
Если a i 2 j 8k и b i 6 j 2k , то a b имеет вид …
Варианты ответов:
1) 2i 2 j 3k
2) 2i 4 j 3k
3) 2i 8 j 6k
4) 2i 4 j 6k
Задание 16. {выберите один вариант ответа}
Если a {1; 2 ; 2} перпендикулярен вектору b {4 ; 1; } , если ...
Варианты ответов:
1) 1
2) 1
3) 4
4) 2
Задание 17. {выберите один вариант ответа}
Если a {1; 0 ; 2} и b {2 ; 3; 1} , то скалярное произведение a b равно …
Варианты ответов:
1) 3
2) 5
3) 0
4) 7
Задание 18. {выберите один вариант ответа}
Длина вектора a 2i j 2k равна …
Варианты ответов:
1) 5
2) 3
3) 7
24
4) 2
Задание 19. {выберите один вариант ответа}
Модуль комплексного числа 3 4i равен …
Варианты ответов:
1) 3
2) 5
3) 4
4) 7
Задание 20. {выберите один вариант ответа}
Конец радиуса-вектора, задающего комплексное число z 5 2i , лежит …
Варианты ответов:
1) во второй четверти
2) в третьей четверти
3) в первой четверти
4) в четвертой четверти
Задание 21. {выберите один вариант ответа}
Если z 2 3i , то сопряженное ему комплексное число z равно …
Варианты ответов:
1) 3 2i
2) 2 3i
3) 3 2i
4) 2 3i
Задание 22. {выберите один вариант ответа}
Комплексные числа z1 и z2 заданы соответственно радиус-векторами OM 1 и
OM 2 :
Тогда сумма z1 z2 , записанная в алгебраической форме, имеет вид …
Варианты ответов:
1) 4 i
2) 2 3i
3) 2 3i
4) 4 i
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Векторы: основные понятия и определения.
2. Линейные операции над векторами.
3. Разложение вектора по базису.
4. Скалярное произведение векторов.
5. Векторное произведение векторов.
6. Смешанное произведение векторов.
7. Полярная система координат.
8. Комплексные числа.
9. Прямая на плоскости.
10. Эллипс. Определение, каноническое уравнение, параметры.
11. Гипербола. Определение, каноническое уравнение, параметры.
12. Парабола. Определение, каноническое уравнение, параметры.
25
13. Плоскость.
14. Прямая в пространстве.
15. Прямая и плоскость в пространстве.
16. Поверхности.
17. Матрицы. Действия с матрицами.
18. Определитель. Свойства определителя.
19. Обратная матрица.
20. Решение СЛУ методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы.
21. Ранг матрицы.
22. Исследование системы m уравнений с n неизвестными.
23. Векторная форма системы линейных уравнений.
24. Разложение вектора по системе векторов.
25. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
26. Базис и ранг системы векторов.
27. Ортогональные системы векторов.
28. Системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений: их
фундаментальные системы решений.
29. Линейные преобразования.
30. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
31. Приведение квадратных матриц к диагональному виду.
32. Приведение симметрических матриц к диагональному виду ортогональным
преобразованием.
33. Квадратичные формы. Канонический вид. Положительно и отрицательно
определенные квадратичные формы.
34. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
основная
1. Высшая математика для экономистов / под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ,
1997, 1999, 2002.
2. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова М.И. Высшая математика в примерах и
задачах. – М.: Высшая школа, 1998, ч. 1, 2.
3. Захаров С.Д. Математический практикум: учебное пособие. – Тюмень,
ТГИМЭУП, 2002.
4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М., 1998.
5. Малыхин А.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2000.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука,
1987.
7. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 1994.
8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2001.
26
дополнительная
9. Гусак А.А. Сборник задач и упражнений по высшей математике. – М.: Высшая
школа, 1981.
10. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в
экономике. – М.: Дис, 2001.
11. Исследование операций в экономике / под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ,
1997.
12. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М,
1997.
13. Т.Дж. Уотшем, К. Паррамоу. Количественные методы в финансах. – М.:
ЮНИТИ, 1999.
14. Энциклопедия математическая. – М., Советская энциклопедия, в 5 т.
1.
http://www.fepo.ru/
Сайты Internet
2. http://mathematics.ru/
27
Елена Евгеньевна Гнатюк
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Рабочая учебная программа
для студентов направления 080100 «Экономика»
профили: «Экономика Предприятий и Организаций»,
«Мировая Экономика», «Налоги и Налогообложение»
очной и заочной форм обучения
Ответственный за выпуск к.ф-м.н., зав. кафедрой С. Д. Захаров
Редактор Г. В. Долгих
Технический редактор И. С. Губанова
Формат 60х84/16. Гарнитура Times New Roman.
Тираж 15. Объем 1,63 у.-п.л.
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
625051, г. Тюмень, ул. 30 лет Победы, 102
Отпечатано в лаборатории множительной техники «ТГАМЭУП»
28