Методическая разработка открытого занятия по учебной

Минобрнауки России
Университет машиностроения
филиал Университета машиностроения в г. Ивантеевке
образовательное подразделение среднего профессионального образования
«Ивантеевский промышленно-экономический колледж»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ
по учебной дисциплине: Прикладная математика
по теме:
«Инвариантность форм записи комплексного числа»
Преподаватель:
Леженникова Елена Сергеевна
Специальность: 261103
Группа: 24
Москва
2015
1
Содержание открытого занятия по теме:
«Инвариантность форм записи комплексного числа»
Раздел 4. «Теория комплексных чисел»
Место и роль урока в изучаемом разделе: завершающий урок по теме «Инвариантность
форм записи комплексного числа»
Цели урока:



Образовательные: познакомить студентов с тригонометрической и показательной
формами комплексного числа, учить переходу от алгебраической формы
комплексного числа к тригонометрической форме, показательной форме и обратно.
Расширить и обобщить знания о числе.
Воспитательные: способствовать формированию познавательного интереса к
обучению, научного мировоззрения; способствовать формированию навыков
самостоятельной работы, вырабатывать чувство ответственности.
Развивающие: привитие навыка применять теоретические знания при решении
заданий, умения видеть проблему, анализировать ситуацию, находить пути
решения проблемы; способствовать развитию коммуникативных способностей,
навыков взаимодействия; способствовать развитию активности, инициативности.
Методическая цель: Использование информационно-коммуникационных технологий
при изучении учебной дисциплины «Математика»
Метапредметная связи: способность работать с понятиями, систематизирующую
способность работать с системами знаний
Тип урока: Формирование умений и навыков с помощью метода коллективного
обучения.
Вид урока: комбинированный
Межпредметные связи:
-Обеспечивающие:
История, Литература, Русский язык и культура речи, Инженерная графика;
-Обеспечиваемые:
Информатика и ИКТ, Электротехника и электроника, МДК 01.04 Оборудование
производства.
Используемые методы обучения:
словесный: объяснения, диалог
наглядный: презентация
практический: работа с раздаточным материалом
исследовательский: формулировка понятий, обобщений, выводов
рефлексивный: текущая рефлексия, итоговая рефлексия
Приемы: опрос, демонстрация презентаций, тест, рефлексия
2
Принципы:
коммуникативной направленности
индивидуального и дифференцированного подхода
деятельностного подхода в обучении
прочности усвоения знаний, умений
наглядности и доступности
Учебно-методическое обеспечение урока:
- дидактические средства: таблицы, электронная презентация
-методические средства:
Учебное пособие для самостоятельной работы по теме: «Комплексные числа» , учебная
дисциплина ЕН.01 Математика, для студентов дневного отделения, обучающихся по
специальности 261103 «Технология текстильных изделий» (по отраслям);
Наглядное пособие для студентов «Таблицы значений тригонометрических углов» - 3
листа.
Учебно-материальное оснащение:
-технические средства: мультимедийный проектор, компьютер, экран, интерактивная
доска, учебная доска;
-чертежные принадлежности
Прогнозируемый результат:
Формирование элементов общих компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
 ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за
них ответственность.
 ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития.
 ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в
профессиональной деятельности.
 ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами,
руководством, потребителями.
 ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за
результат выполнения заданий.
3
Эпиграф к уроку (на доске):
«Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует
свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели»
А. Маркушевич.
План урока:
I. Организационный момент. – 5 мин
II. Проверка домашнего задания (фронтальный опрос). - 10 мин
III. Актуализация знаний. – 25 мин
IV. Изучение нового материала. – 20 мин
V. Закрепление. -20 мин
VI. Домашнее задание – 5 мин
VII. Итог. – 5 мин
Ход занятия.
I. Организационный момент.
Преподаватель: Здравствуйте.
Перед уроком группа была разделена на 3 равноценные команды. Каждый ответ может
принести команде 1 балл. В конце занятия мы подведем итоги, подсчитаем количество
баллов каждой команды и соответственно критериям, каждый получит оценку за урок.
Связь с историей.
Наш урок мы начнем с исторической справки. (Приложение 1)
(Индивидуальное задание студентам)
Подведем итог:
- Где мы используем знания о комплексных числах? (В жизни и нашей профессии)
-То есть комплексные числа, мы будим применять на практике, в частности они
использоваться в профессиональной деятельности, а именно в организациях на японских
машинах автоматах (платы).
А эпиграфом нашего урока будут слова советского
математика, педагога А.
Маркушевича, сфера научных трудов которого – теория функций комплексного
переменного: «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание,
тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении
цели».
Но для начала, необходимо проверить сплоченность команд. На прошлых уроках мы
познакомились с понятием комплексного числа, алгебраической формой записи
комплексного числа, научились выполнять различные действиями над комплексными
числами, научились находить модуль и аргумент комплексного числа.
4
II. Проверка домашнего задания.
Итак, первое испытание для наших команд. Необходимо ответить на следующие вопросы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Какие числа называются комплексными?
Как записывается комплексное число в алгебраической форме?
Какие комплексные числа называются равными?
Какие комплексные числа называются сопряженными?
Какое свойство сопряженных чисел вы знаете?
Как выполняется сложение комплексных чисел?
Как выполняется вычитание комплексных чисел?
Как выполняется умножение комплексных чисел?
Как выполняется деление комплексных чисел?
III. Актуализация знаний.
На прошлом уроке мы говорили, что комплексные числа имеют 3 формы, одну мы уже
изучили - алгебраическую. Но в электротехнике, электрооборудовании, электронике,
автоматике и в других дисциплинах комплексное число записывается в
тригонометрической форме. И сегодня на уроке мы познакомимся с еще двумя формами
комплексных чисел, тригонометрической формой и показательной. Будем учиться
переходу от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме,
показательной форме и обратно. Так же мы обобщим знания по комплексным числам.
Такова цель нашего урока.
Чтобы приступить к изучению нового материала, нам необходимо вспомнить материал
прошлого урока. И я задаю вопросы нашим командам:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Как геометрически изображается комплексное число?
Что называется модулем комплексного числа?
Как обозначается и вычисляется модуль комплексного числа?
Что называется аргументом комплексного числа? Как он обозначается?
По каким формулам можно найти аргумент комплексного числа?
Всякое ли комплексное число имеет аргумент?
Найти модуль и аргумент следующего комплексного числа:
Решение.
,
, так как радиус-вектор
находится в IV четверти, то значение аргумента находим удобным способом (по таблице)
. (Рис.1)
- В какой системе изображаем комплексное число? (Прямоугольной, Декартовой)
5
- Где ещё вы сталкивались с прямоугольной Декартовой системой координат?
(Инженерная графика, начертательная геометрия)
Рис. 1.
IV. Изучение нового материала.
Записываем в тетрадях тему урока.
1) Итак, дано комплексное число z = a + bi (1) в алгебраической форме.
Наша задача представить это число в тригонометрической форме.
Для этого из формул
, выразим a и b
,
,
(2).
Если в формулу (1) вместо а и b, подставим равенства (2), то получим
(3).
Таким образом, любое комплексное число
где r - модуль, а
можно записать по формуле (3),
– аргумент этого числа.
Верно и обратное утверждение:
если комплексное число
где
, то
представлено в виде (3),
,
Формула (3) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Итак, алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к
тригонометрической:
1)
Находим модуль комплексного числа по формуле
2)
Для нахождения определяем геометрически, в какой четверти находится
радиус - вектор z.
3)
Составляем уравнения
4)
5)
Находим угол .
Записываем комплексное число в тригонометрической форме.
,
.
.
6
2) Рассмотрим примеры.
Пример 1. (Преподаватель)
Записать число z =
в тригонометрической форме.
Решение.
2
2

z

(

2
)

(

2
3
)

4

4

3

4

12

16

4
1) Так как a=-2, b=  2 3 , то r
.
Видно, что комплексному числу z соответствует радиус-вектор z, лежащий в III четверти
Рис. 2
2) Составим соотношения
,
2 
1

23 3
cos
  , sin



4 2
4
2

Этим соотношениям соответствует в III четверти угол   240 или  

3) Так как r  4 ,   240 или  
4
.
3
4
то тригонометрическая форма заданного
3
комплексного числа имеет вид
 
4
4




2

2
3
i

4
(cos

i

sin
)
z


2

2
3
i

4
(cos
240

i

sin
240
)
или z
.
3
3
7
Пример 2. (Студент)
Записать в тригонометрической форме чисто мнимое число
.
Решение.
1) Запишем данное число в виде
. Значит,
, откуда
.
2) Составим соотношения
,
0
3
cos
 0, sin
 1
3
3
Радиус-вектор, соответствующий геометрическому числу
3

То есть угол   270 или  
.
2
Рис.3

3) Так как r  3 ,   270 или  
, лежит на мнимой оси.
3
то тригонометрическая форма заданного
2 ,
комплексного числа имеет вид


3
3




3
i

3
(cos

i

sin
)
z


3
i

3
(cos
270

i

sin
270
)или z
.
2
2
Пример 3. (Студент)
Представить в алгебраической форме число
.
Решение.
Подставив значения
,
в данное равенство, получим
.
Итак, алгебраическая форма данного числа имеет вид
.
8
3) Далее мы с вами разбираем показательную форму комплексного числа.
Если комплексному числу
, модуль которого равен 1, поставить в
соответствие показательное выражение
=
, то получим соотношение
(5), оно называется формулой Эйлера.
Любое комплексное число z можно записать в виде
комплексного числа называется показательной формой.
Эта форма записи
Рассмотрим примеры.
Пример 4.(Преподаватель)
Записать число
в показательной форме.
Решение.
Так как
, то
.
Геометрически определяем, что комплексному числу z соответствует радиус вектор Z,
лежащая в IV четверти. (Рис.4)
Рис. 4.
Составим соотношения
=
.
Отсюда следует, что
9
.
Значит,
, тогда
– показательная форма данного числа.
Пример 5. (Студент)
Записать число
в показательной форме.
Решение.
Чтобы представить число в показательной форме, необходимо найти модуль и аргумент
числа z.
Здесь
; тогда
, так как модуль-вектор z
=
лежит на мнимой оси комплексной плоскости. Зная
, получим
.
Пример 6. (Студент)
Записать число
в показательной форме.
Решение.
Здесь
.
Следовательно, показательная форма числа имеет вид
.
V. Первичное закрепление.
1. В том примере, которые мы уже решали (III. 7) (Преподаватель)
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.
Решение.
,
находится в IV четверти, то аргумент
, так как радиус-вектор
.
- тригонометрическая форма,
10
- показательная форма данного числа.
Преподаватель:
Снова нашим командам предоставляется возможность показать себя и заработать 2 балла.
Самостоятельная работа носит обучающий характер, поэтому сначала каждый член
команды решает ее самостоятельно, а затем, если у кого – то возникли трудности по
решению, то капитан команды или тот, кто решил и во всем разобрался, объясняет
решение своему товарищу.
После того как закончится время, отведенное на решение, к доске выйдут представители
команд и продемонстрируют, прокомментирую и обоснуют свое решение.
2. Выполнение самостоятельной работы.
Для этого открываем Учебное пособие для самостоятельной работы по теме:
«Комплексные числа» на стр. 9 и выполняем задания № 1.9.1 и №1.9.2. Каждая команда
выполняет по одному примеру из задания, соответственно своему номеру команды.
№ 1.9.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах:
1)
Решение.
,
тогда
. (Рис.5)
–тригонометрическая форма,
- показательная форма.
Рис. 5.
11
2)
Решение.
,
тогда
. (Рис.6)
–тригонометрическая форма,
- показательная форма.
Рис. 6.
3)
Решение.
,
тогда
. (Рис.7)
–тригонометрическая форма,
- показательная форма.
12
Рис. 7.
№ 1.9.2. Записать комплексные числа в алгебраической и показательной формах:
1)
Решение.
- алгебраическая форма,
- показательная форма.
2)
Решение.
- алгебраическая форма,
)
- показательная форма.
3)
Решение.
- алгебраическая форма,
показательная форма.
13
3. Выполнение теста. (Приложение 3)
Вам предлагается тест для решения, из четырех вариантов ответов вам нужно выбрать
верный ответ. (Работа строго индивидуальная, по окончанию отведенного времени,
студенты обмениваются работами и с помощью «ключа» и карандаша проверяют и
выставляют оценку и соответствующее количество баллов.)
«Ключ»
1
2
3
4
5
6
7
8
в
б
а
б
б
а
б
в
14
Приложение 3
Ф.И.___________________________________ группа ____________
Тест
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
Вопросы
Сколько форм записи имеет комплексное число?
а) 1
6)2
в) 3
г) 4
Что представляет собой число i ?
а) число, квадратный корень из которого равен -1
б) число, квадрат которого равен -1
в) число, квадратный корень из которого равен 1
г) число, квадрат которого равен 1
Формулу Эйлера можно применять, если комплексное число записано:
а) в показательной форме
б) наглядной форме
в) тригонометрической форме
г) алгебраической форме
Как на координатной плоскости изображается комплексное число?
а) в виде отрезка
б) точкой или радиус-вектором
в) плоской геометрической фигурой
г) в виде круга
Выберите из предложенных чисел чисто мнимое:
a) z = 5 - 3i
б) z = 75i
в) z = 32
r) z = 0
Вычислите сумму чисел = 7 + 2i и = 3 + 7i:
a) 10 + 9i
б) 4- 5i
в) 10 — 5i
r)4 + 5i
Для какого комплексного числа аргумент не определен?
а) z = 100i
б) z = 0
в) z = 3-4i
г) такого числа нет.
В какое множество входят все указанные числа 5; 3 - 6i; 2, 7; 2i ?
а) действительные числа
б) рациональные числа
в) комплексные числа
г) иррациональные числа
15
4. Резервный материал: Ответить на вопросы кроссворда. (Приложение 4)
VI. Домашнее задание.
Учебное пособие для самостоятельной работы по теме: «Комплексные числа» стр.14, №7.
VII. Итог.
Подсчитываем количество баллов, набранных каждой командой.
Максимальное количество баллов – 6 баллов.
Выставление оценок каждому члену команды.
Спасибо за урок.
Литература:
1. Методическое пособие «Комплексные числа».
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2010.
3. Дадаян А.А. Математика . М.: Форум-Инфра, 2011.
4. Валуцэ И.И. и др. Математика для техникумов на базе средней школы: учеб.
пособие. – М.: Наука, 2008.
5. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: Мастерство, 2008.
Приложения к занятию:
1. Презентация «Комплексные числа».
2. Тест.
3. Ответы на самостоятельную работу.
4. Оценочный лист преподавателя и команд.
5. Презентация «Кроссворд».
6. Раздаточный материал к кроссворду.

Разгадывание кроссворда. (Приложение 4)
16
1
2
3
5
4
6
8
7
9
10
11
17
ВОПРОСЫ:
По горизонтали:
3.
Кто впервые упомянул о мнимых числах, назвав их «софически
отрицательными»?
4.
Одна из форм задания комплексного числа.
6.
Чье имя носит формула
7.
9.
10.
11.
=
?
arg z.
Длина вектора соответствующего комплексного числа.
bi - …… часть числа.
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
По вертикали:
1.
2.
Кто ввел название "мнимые числа"?
Французский математик, предложивший изображать комплексные числа на
координатной плоскости.
3.
Число вида
5.
Числа
8.
?
Сколько форм записи комплексных чисел Вы знаете?
18