Алгебра и геометрия (ГОС) - Владивостокский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ, ИННОВАЦИЙ И
БИЗНЕС-СИСТЕМ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Рабочая программа дисциплины
по специальностям
230201.65 Информационные системы и технологии
210303.65 Бытовая радиоэлектронная аппаратура
230101.65 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети
010502.65 Прикладная информатика в экономике
210305.65 Средства радиоэлектронной борьбы
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2014
1
ББК 22151.5
Рабочая программа по дисциплине «Алгебра и геометрия» составлена в соответствии с требованиями государственного стандарта России. Предназначена
для студентов специальностей 230201.65 «Информационные системы и технологии», 210303.65 «Бытовая радиоэлектронная аппаратура», 230101.65 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», 010502.65 «Прикладная информатика в экономике», 210305.65 «Средства радиоэлектронной борьбы».
Составитель: Аверкова Г.В., старший преподаватель кафедры Математики
и моделирования.
Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от
7.02.2011 г., протокол № 7, редакция 2014г., протокол №10 от
27.03.2014г.
Рекомендована к изданию учебно-методической комиссией Института информатики, инноваций и бизнес – систем от 29.04.2014г., протокол №7.
© Издательство Владивостокского
государственного университета
экономики и сервиса, 2014
2
ВВЕДЕНИЕ
В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено совершенствованием вычислительной техники, благодаря которой существенно
расширяется возможность успешного применения математики при решении
конкретных задач. Причины введения курса «Алгебра и геометрия» заключаются в необходимости подготовки студентов к изучению последующих математических и специальных дисциплин, большинство из которых связаны с основными понятиями алгебры и геометрии.
Дисциплина «Алгебра и геометрия» тесно связан и опирается на курс математики среднего (полного) общего образования. Знания и навыки, получаемые
студентами в результате изучения дисциплины, необходимы для успешного
освоения таких дисциплин, как «Вычислительная математика», «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы», «Эконометрика»,
«Математическая экономика», «Экономико-математические методы и модели».
Данная программа построена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта России к дисциплине «Алгебра и геометрия».
Учебная программа разработана на основе учебных планов специальностей
23020165 «Информационные системы и технологии», 210303.65 «Бытовая радиоэлектронная аппаратура», 230101.65 «Вычислительные машины, комплексы,
системы и сети», 010502.65 «Прикладная информатика в экономике», 210305.65
«Средства радиоэлектронной борьбы».
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.1. Цели и задачи изучения дисциплины
Целью изучения дисциплины «Алгебра и геометрия» является ознакомление с основными понятиями алгебры и геометрии, освоение методов и способов
решения алгебраических и геометрических задач.
Задачи дисциплины сводятся к изучению основ алгебры и геометрии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения алгебраических и геометрических задач.
1.2. Компетенции, которыми должен обладать студент в
результате изучения дисциплины
В результате изучения дисциплины «Алгебра и геометрия» студент должен
обладать следующими компетенциями:
- демонстрировать понимание основных терминов дисциплины;
3
- владеть знанием основных теорем и алгоритмами решения типовых задач;
- должен ясно и точно реализовывать знания в экономических
приложениях;
- владеть способностью к аналитическому мышлению.
1.3. Объем и сроки изучения курса
Курс «Алгебра и геометрия» общим объемом 140 час. изучается в течение
первого семестра.
1.4. Основные виды занятий и особенности их проведения при
изучении данного курса
1.4.1. Лекционные занятия
Построены как типичные лекционные занятия по алгебре и геометрии в соответствии с требованиями государственных стандартов для подготовки специалистов вышеперечисленных специальностей. Недельная аудиторная нагрузка
составляет 2 часа.
1.4.2. Практические занятия
Занятия по практике построены как типичные практические занятия по алгебре и геометрии в соответствии с требованиями государственных стандартов
для подготовки специалистов вышеперечисленных специальностей. Недельная
аудиторная нагрузка составляет 2 часа.
1.5. Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы
студентов при изучении курса
В ходе изучения данного курса студент слушает лекции по основным темам, посещает практические занятия, занимается индивидуально. Освоение курса предполагает, помимо посещения лекций и практических занятий, выполнение контрольных заданий. Особое место в овладении данным курсом отводится
самостоятельной работе по решению текущих и индивидуальных домашних
заданий. Учебным планом предусмотрены консультации, которые студент может посещать по желанию.
1.6. Виды контроля знаний студентов и их отчетности
Курс завершается экзаменом в первом семестре. Обязательным условием
допуска студента к экзамену является успешное выполнение индивидуальных
домашних заданий и аудиторных контрольных работ. Экзамен проводится
4
письменно, в экзаменационные билеты включаются теоретические и практические вопросы. Для успешной сдачи экзамена студент должен продемонстрировать знание основных теоретических положений изучаемой дисциплины и показать свои навыки применения теории при решении конкретных практических
задач. При спорности выставляемой оценки преподаватель может уточнить уровень знаний студентов в устной форме.
2. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. «Определители». Определители второго и третьего порядков. Правила вычисления определителя третьего порядка. Определители n-го порядка.
Понятие минора и алгебраического дополнения. Транспонирование определителя. Свойства определителей. Единичные, диагональные, треугольные определители.
Теорема Лапласа. Методы вычисления определителей (метод понижения
порядка, метод приведения к треугольному виду).
Тема 2. «Матрицы». Квадратная, единичная, диагональная, скалярная, вырожденная (невырожденная) матрицы. Транспонирование матрицы. Матрицастрока, матрица-столбец, нулевая матрица. Линейные операции: умножение
матрицы на число и сложение матриц. Свойства линейных операций.
Умножение матриц, свойства умножения матриц.
Тема 3. «Обратная матрица». Элементарные преобразования матрицы.
Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Теорема о единственности матрицы, обратной данной. Методы
нахождения обратной матрицы (метод присоединенной матрицы, метод элементарных преобразований).
Ранг матрицы. Понятие базисного минора матрицы. Различные способы
нахождение ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, приведение матрицы
к трапециевидной (ступенчатой) и диагональной форме с помощью элементарных преобразований.
Тема 4. «Система линейных алгебраических уравнений». Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные понятия. Решение СЛАУ.
Эквивалентные (равносильные) системы уравнений. Определенные и неопределенные, совместные и несовместные СЛАУ. Представление СЛАУ в матричной
форме. Матричный способ решения СЛАУ. Решение матричного уравнения.
Правило Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными
(теорема).
Тема 5. «Метод Гаусса. Однородная СЛАУ. Линейные операторы». Метод Гаусса для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Система m
линейных уравнений с n неизвестными; базисные и свободные неизвестные (переменные). Общее и частное решения СЛАУ.
5
Однородные системы линейных уравнений и их решения. Основные свойства однородной системы. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной СЛАУ.
Исследование СЛАУ на совместность. Теорема Кронекера – Капелли.
Линейные преобразования (линейные операторы). Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.
Тема 6. «Системы координат на плоскости и в пространстве». Прямоугольные и полярные координаты на плоскости. Прямоугольные, цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Преобразования координат на
плоскости и в пространстве.
Тема 7. «Элементы векторной алгебры». Скалярные и векторные величины. Векторы на плоскости и в пространстве. Радиус-вектор. Определение
длины (модуля) вектора; нулевой вектор; равные, противоположные, коллинеарные и компланарные векторы.
Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
Проекция вектора на ось, составляющая (компонента) вектора на ось, свойства проекций. Линейная зависимость векторов. Условие компланарности векторов.
Тема 8. «Координаты вектора». Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Разложение вектора по базису. Декартов прямоугольный базис. Линейные операции над векторами в координатной форме. Направляющие
косинусы вектора. Деление отрезка в данном отношении.
Тема 9. «Операции над векторами». Скалярное произведение векторов и
его свойства. Физический смысл скалярного произведения. Скалярное произведение векторов в координатной форме. Косинус угла между векторами. Условие
коллинеарности векторов.
Векторное произведение векторов и его свойства. Геометрический и физический смыслы векторного произведения.
Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл
смешанного произведения. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в пространстве.
Тема 10. «Прямая на плоскости». Элементы аналитической геометрии на
плоскости. Метод координат. Линия на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
Прямая на плоскости. Построение прямой. Понятия нормального и направляющего векторов прямой. Нормальное уравнение прямой и его геометрический
смысл. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
заданному направлению. Общее уравнение прямой и его частные случаи. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и его геометрический смысл. Уравнение прямой в отрезках и его геометрический смысл. Каноническое уравнение
прямой. Параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей
6
через две данные точки. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в
заданном направлении. Условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями. Расстояние от данной точки до прямой на плоскости.
Тема 11. «Кривые на плоскости». Параметрические уравнения кривой на
плоскости. Замечательные кривые. Построение кривых.
Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности. Эллипс, его
каноническое уравнение и свойства. Исследование формы эллипса по его уравнению. Окружность как частный случай эллипса. Параметрические уравнения
эллипса.
Гипербола, ее каноническое уравнение и свойства. Сопряженная гипербола. Исследование формы гиперболы. Параметрические уравнения гиперболы.
Парабола, ее каноническое уравнение и свойства. Исследование формы параболы.
Общее уравнение кривой второго порядка и его приведение к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка.
Тема 12. «Плоскость». Элементы аналитической геометрии в пространстве. Метод координат в пространстве.
Плоскость, нормальный вектор плоскости. Нормальное уравнение плоскости и его геометрический смысл. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному направлению. Общее уравнение
плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках и его геометрический смысл. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Угол между двумя плоскостями, взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве, связь с решением системы трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными. Построение плоскости.
Тема 13. «Прямая линия в пространстве». Векторное уравнение прямой.
Общие уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические
уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Необходимое и достаточное условие пересечения непараллельных прямых. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.
Проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости в пространстве. Принадлежность прямой плоскости.
Тема 14. «Поверхности». Поверхности второго порядка и их канонические
уравнения. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические
поверхности. Мнимые поверхности. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
Метод сечений для исследования и построения поверхностей второго порядка.
7
Общее уравнение поверхности второго порядка и его приведение к каноническому виду.
Тема 15. «Комплексные числа». Основные понятия. Операции над комплексными числами: сложение (вычитание), умножение, деление. Свойства операций. Модуль комплексного числа и его свойства. Сопряженное комплексное
число и его свойства.
Комплексная плоскость, геометрическое изображение комплексного числа
на комплексной плоскости. Формы записи комплексного числа: алгебраическая,
тригонометрическая, показательная (представление Эйлера). Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Определение комплексной
степени. Решение уравнений и систем уравнений с комплексными коэффициентами. Решение неравенств и систем неравенств с комплексными коэффициентами, построение областей на комплексной плоскости. Возведение комплексного
числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
Основная теорема алгебры.
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ
КУРСА
3.1. Перечень и тематика самостоятельных работ
студентов по курсу
Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении аудиторных
контрольных работ, текущих и индивидуальных домашних заданий.
Две аудиторные контрольные работы по 2 часа каждая проводятся по темам: «Решение СЛАУ. Действия над матрицами», «Прямая на плоскости. Плоскость. Прямая в пространстве».
Текущие домашние задания выдаются каждую неделю на практическом занятии. Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) выдаются на практических
занятиях в начале изучения соответствующих тем. Темы ИДЗ: «Элементы векторной алгебры», «Кривые и поверхности второго порядка. Полярные координаты», «Комплексные числа». ИДЗ выполняется на бумажных носителях информации и сдается преподавателю через одну неделю после изучения соответствующей темы.
3.2. Обзор рекомендуемой литературы
В процессе изучения дисциплины «Алгебра и геометрия» помимо теоретического материала, предоставленного преподавателем во время лекционных занятий, может возникнуть необходимость в использовании учебной литературы.
Наиболее подробно и просто теория большинства тем изложена в учебнике
«Вся высшая математика» Краснова М.Л. и др., однако примеров решения практических задач данное пособие содержит в небольшом объеме.
8
В качестве учебника для формирования практических навыков решения алгебраических и геометрических задач наилучшим образом подходит «Высшая
математика в упражнениях и задачах» Данко П.Е. и др. Это пособие содержит
практические задачи, часть из которых приведена с решениями, и краткую теорию, необходимую для их решения.
Тема «Комплексные числа» рассмотрена в учебнике Кудрявцева В.А., Демидовича Б.П. «Краткий курс высшей математики».
Кроме учебников студентам рекомендуется «Справочник по высшей математике» под ред. Выгодского М.Я., в котором кратко рассмотрены все темы,
указаны все необходимые формулы и приведены пояснительные примеры.
Остальные учебники, указанные в списке рекомендованной литературы,
характеризуются либо сложностью изложения, либо подробным освещением
некоторых тем.
3.3. Методические указания по самостоятельному выполнению
практических заданий
При решении индивидуальных домашних заданий необходимо использовать теоретический материал, делать ссылки на соответствующие теоремы,
свойства, формулы и пр. Решение ИДЗ излагается подробно и содержит необходимые пояснительные ссылки.
3.4. Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества
освоения дисциплины
1. Определители второго и третьего порядков.
2. Свойства определителей.
3. Методы вычислений определителей.
4. Понятие матрицы. Виды матриц.
5. Невырожденная матрица.
6. Линейные операции над матрицами.
7. Свойства линейных операций над матрицами.
8. Произведение матриц. Свойства.
9. Необходимое и достаточное условие существования матрицы, обратной
данной.
10. Алгоритм нахождения матрицы, обратной данной.
11. Определители взаимно – обратных матриц.
12. Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.
13. Система линейных алгебраических уравнений. Решение системы.
14. Матричная форма записи СЛАУ. Решение СЛАУ матричным способом.
15. Правило Крамера.
16. Метод Гаусса решения системы уравнений.
9
17. Однородные системы уравнений. Тривиальное решение. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.
18. Теорема Кронекера – Капелли.
19. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейного пребразования.
20. Прямоугольная и полярная системы координат на плоскости.
21. Прямоугольные, цилиндрические и сферические координаты в пространстве.
22. Преобразования координат на плоскости и в пространстве.
23. Векторные и скалярные величины.
24. Векторы. Основные определения.
25. Равенство векторов. Орт.
26. Линейные операции над векторами.
27. Линейно зависимые (независимые) векторы.
28. Базис на плоскости и в пространстве.
29. Разложение вектора по базису.
30. Линейные операции над векторами в координатной форме.
31. Деление отрезка в данном отношении.
32. Направляющие косинусы вектора.
33. Проекция вектора на ось.
34. Угол между вектором и осью.
35. Скалярное произведение векторов. Свойства.
36. Векторное произведение векторов.
37. Смешанное произведение векторов.
38. Компланарность векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности.
39. Различные способы задания прямой на плоскости.
40. Угол между двумя прямыми.
41. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
42. Каноническое уравнения окружности.
43. Каноническое уравнение эллипса. Определение эллипса.
44. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.
45. Определение параболы. Канонические уравнения параболы.
46. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
47. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.
48. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
49. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
50. Прямая в пространстве. Способы задания.
51. Взаимное расположение прямой и плоскости.
52. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.
53. Общее уравнение поверхности второго порядка и его приведение к каноническому виду.
10
54. Формы записи комплексного числа.
55. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.
56. Модуль и сопряженное комплексного числа и их свойства.
57. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.
58. Извлечение корня из комплексного числа.
59. Основная теорема алгебры.
60. Геометрическое изображение комплексного числа.
4. СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
4.1 Основная литература
1. Б. М. Рудык, Линейная алгебра. - М.: ИНФРА-М, 2013.
2. Г. С. Шевцов, Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. - М.: Магистр: ИНФРА-М, 2013.
3. Л. В. Крицков , Высшая математика в вопросах и ответах. - М.: Проспект,
2013.
4. А. Н. Канатников, А. П. Крищенко, Аналитическая геометрия. - М.: Академия, 2009.
5. Г. И. Просветов, Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Задачи и
решения. - М.: Альфа Пресс, 2009.
6. М. М. Постников, Линейная алгебра. Лекции по геометрии. - СПб.: Лань,
2009.
4.2 Дополнительная литература
1. В. И. Малыхин, Высшая математика. - М.: ИНФРА-М, 2012.
2. Н. Ш. Кремер, И. М. Тришин, Б. А. Путко и др., Высшая математика для
экономистов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. А. М. Попов, В. Н. Сотников , Высшая математика для экономистов. - М.:
Юрайт, 2012.
4. П. С. Геворкян, О. Ю. Ланцова, В. И. Малыхин и др., Высшая математика для экономистов. - М.: Экономика, 2010.
5. В. М. Вержбицкий, Вычислительная линейная алгебра.- М.: Высш. шк.,
2009.
6. Г. Б. Лурье, С. П. Фунтикова, Высшая математика. Практикум. - М.: Вузовский учебник : ИНФРА-М, 2013.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2010, ч.1
11