10070001 Линейная алгебра с эл. м.ан
реклама
1. Цели и задачи дисциплины 1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра (с учетом требований ФГОС) Дисциплина «Линейная алгебра с элементами математического анализа» является базовой частью математического и естественнонаучного цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению «Торговое дело». Дисциплина является общим и теоретическим основанием для всех математических и естественнонаучных дисциплин, входящих в ООП бакалавра торгового дела. Цели: оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; дать студентам базовые математические знания по линейной алгебре, аналитической геометрии и математическому анализу, необходимые для понимания теории вероятностей и других математических дисциплин. Задачи: теоретическое освоение студентами современных концепций и моделей математики; приобретение практических навыков применения аппарата математики в экономике. 1.2. Требования к уровню усвоения дисциплины Обучающийся должен знать основы линейной алгебры, аналитической геометрии и элементы математического анализа, необходимые для решения экономических задач. Обучающийся должен уметь решать системы линейных уравнений; выполнять операции над матрицами и векторами; составлять уравнения прямой, плоскости, кривых второго порядка; применять методы линейной алгебры, аналитической геометрии и элементы математического анализа для решения экономических задач. Обучающийся должен иметь представление о методах математического анализа и моделирования, математическом аппарате при решении профессиональных проблем У обучающегося должны быть сформированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и профессиональные компетенции (ПК): ОК-1 - владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения; ПК-1 - способность применять основные законы социальных, гуманитарных, экономических и естественно-научных наук в профессиональной деятельности, а также методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; владением математическим аппаратом при решении профессиональных проблем. Связь с другими дисциплинами Учебного плана Перечень действующих и предшествующих Перечень последующих дисциплин, видов дисциплин работ Эконометрика Информатика Бухгалтерский учет Теория вероятностей и математическая статистика Выпускная квалификационная работа (бакалаврская работа) 1.3. 2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение содержания образования, развитие способностей обучающихся, овладение ими средствами самообразования и самообучения; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и обучающегося; направлены на приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль. Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога) Показательный (изложение материала с приемами показа) Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами) Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя обучающиеся рассуждают, решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и решают поставленную задачу) Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути ее решения) Исследовательский (обучающиеся самостоятельно добывают знания в процессе разрешения проблемы, сравнивая различные варианты ее решения) Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы обучающихся М П Д Э ПБ И ПГ осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств) Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п. 2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются составителем Рабочей программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы». 1,3,5, 7,9 1 10 4 2 - 3 2 - 5 2 - 7 2 2 Первый семестр Лекции Модуль 1 «Матрицы, определители и системы линейных уравнений» Тема «Элементы теории множеств и комплексные числа» Основные понятия и определения теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, их свойства. Декартово произведение множеств. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Тема «Матрицы и определители» Понятие матрицы. Различные виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц и его свойства. Операция транспонирования, ее свойства. Понятие следа матрицы. Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие миноров и алгебраических дополнений. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие определителя п-го порядка. Основные свойства определителей. Тема «Обратная матрица. Матричные уравнения. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений» Определение обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью траспонированной матрицы алгебраических дополнений. Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге ступенчатой матрицы. Понятие о матричных уравнениях и их решение. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения: решение системы, совместные и несовместные системы, определенные и неопределенные системы. Однородные системы уравнений и их совместность. Равносильные системы уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Тема «Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса. Модифицированные жордановы исключения» Матрица системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы. Базисные и свободные переменные. Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод полного исключения неизвестных). Понятие общего, частного и базисного решений системы М,Д,И,Э Реализуемые компетенции Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание Методы в том числе в интерактивной форме, час. Неделя Кол. час 2.1.Аудиторные занятия (лекции, практические) - очная форма обучения, срок обучения-4 года М,Д ОК-1 ПК-1 ОК-1 М, Д ОК-1 М,Д ОК-1 И, Э,Д ОК-1 9 2 2 11,13, 15,17 11 8 2 2 - 13 2 - 15 2 - 17 2 2 24,26 24 4 2 - 26 2 - линейных уравнений. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Модифицированные жордановы исключения (МЖИ). Применение МЖИ в исследовании систем линейных уравнений и нахождении их базисных решений. Решение системы однородных уравнений. Условие существования ненулевого решения системы однородных уравнений. Тема «Использование алгебры матриц в экономике» Решение задачи на нахождение объема продукции, стоимостного выражения выпущенной продукции, выручки предприятия от реализации ее продукции по разным регионам. Модуль 2 «Элементы математического анализа» Тема «Предел функции» Предел функции. Геометрическая интерпретация предела. Теорема о единственности предела. Односторонние пределы. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Связь между ними. Предел суммы, произведения и частного . Тема «Дифференцирование» Определения производной. Таблица производных. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные высших порядков. Экономический смысл производной (предельная эффективность производства). Дифференциал функции. Тема «Приложения производной» Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя. Понятие о монотонных функциях. Необходимое условие возрастания, убывания функции. Достаточное условие возрастания, убывания функции. Понятие экстремума функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Тема «Интегрирование» Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов. Интегрирование методом разложения. Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Формула НьютонаЛейбница. Несобственные интегралы. Понятие сходимости интегралов. Второй семестр Лекции Модуль 3 «Аналитическая геометрия» Тема «Гиперплоскость в Rn. Прямая в Rn» Гиперплоскость в Rn: общее уравнение гиперплоскости, вектор нормали; угол между гиперплоскостями. Взаимное расположение гиперплоскостей. Уравнение гиперплоскости в Rn , проходящей через п точек. Расстояние от точки до гиперплоскости. Параметрические, канонические уравнения прямой. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и гиперплоскостью. Уравнение отрезка, соединяющего две точки, и его середина. Прямая в R2: уравнение прямой с угловым коэффициентом. Тема «Кривые второго порядка» Гиперповерхности уровня линейных функций и квадратичных форм. Линии уровня квадратичных форм в R2. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, гиперболы и их построение. Фокус параболы с вершиной в Д, И,Э ОК-1 ПК-1 М,И,Д,Э М,Д ОК-1 ПК-1 ОК-1 М ОК-1 М,Д ОК-1 М,И,Д ОК-1 ПК-1 М,И,Д М,Д ОК-1 ОК-1 М,Д ОК-1 28,30, 32,34, 36,38, 40 28 14 4 2 - 30 2 2 32 2 - 34 2 - 36 2 -2 38 2 - 40 2 - 1,3,5, 7,9,11 12 2 начале координат и ее директриса. Модуль 4 «Линейное программирование» Тема «Выпуклые множества в Rn» Выпуклая линейная комбинация произвольных точек пространства Еп. Понятие выпуклого множества. Крайняя точка выпуклого множества. Теоремы о выпуклых множествах. Понятие полупространства. Системы линейных неравенств: решение, допустимое решение, область допустимых решений, совместность, несовместность. Многогранник решений. Эквивалентная система уравнений. Теорема о связи крайних точек области допустимых решений с опорными решениями эквивалентной системы уравнений. Тема «Основы линейного программирования» Математическая модель задачи линейного программирования. Общая задача линейного программирования. Основные определения: план, допустимый план, опорный план, оптимальный план. Основная и каноническая формы задачи линейного программирования. Переход от одной формы модели к другой. Примеры задач линейного программирования. Фундаментальная теорема линейного программирования. Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом. Тема «Симплексный метод решения задачи линейного программирования» Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая b>0. Теорема о выборе разрешающего элемента. Критерий оптимальности задачи на максимум. Алгоритм нахождения оптимального плана. Тема «Симплекс-метод решения задачи линейного программирования» Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая b<0. Понятие о вырождении и зацикливании. Случай неразрешимости задачи. Тема «Элементы теории двойственности» Постановка пары взаимно-двойственных задач. Теорема о допустимом решении взаимно-двойственных задач. Правила построения математической модели двойственной задачи. Двойственная симплекс-таблица. Основные теоремы двойственности. Экономическая интерпретация пары двойственных задач на примере задачи рационального использования ресурсов. Тема «Транспортная задача» Постановка транспортной задачи и ее математическая модель. Закрытая, открытая модели транспортной задачи. Теорема о разрешимости транспортной задачи. Теорема о ранге системы ограничений транспортной задачи. Методы построения первого опорного плана. Тема «Транспортная задача» Метод потенциалов. Понятие цикла. Теоремы об опорном плане транспортной задачи. Критерий оптимальности плана транспортной задачи. Перемещение по циклу. Теорема о переходе от одного опорного плана к другому. Вырождение в транспортной задаче. Открытая модель транспортной задачи. Первый семестр Практические занятия Модуль 1 «Матрицы, определители, системы линейных уравнений» М,И,Д,Э ОК-1 ПК-1 М ОК-1 М,И,Д ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 М,Д ОК-1 М,Д,Э ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 М,Д ОК-1 Э,И,Д ОК-1 ПК-1 1 2 - 3 2 - 5 2 - 7 2 - 9 2 2 Тема «Элементы теории множеств. Комплексные числа» Способы задания множеств: перечисление элементов, с помощью характеристического свойства, описательный. Операции объединения, пересечения множеств, их свойства. Нахождение разности множеств и декартова произведения множеств. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение комплексного числа в натуральную степень. Тема «Матрицы. Определители» Линейные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц и его свойства. Транспонирование матриц. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Свойства определителей. Вычисление определителей п-го порядка. Тема «Обратная матрица. Матричные уравнения. Ранг матрицы» Нахождение обратной матрицы с помощью транспонированной матрицы алгебраических дополнений. Решений простейших матричных уравнений. Нахождение ранга матрицы как наивысшего порядка отличных от нуля миноров этой матрицы. Свойства ранга матрицы. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и нахождение ее ранга. Тема «Системы линейных уравнений. Метод Жордана – Гаусса» Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом ЖорданаГаусса: определенные, неопределенные и несовместные системы. Нахождение общего и частного решений в случае неопределенной системы уравнений. Тема «Модифицированные жордановы исключения. Деловая игра по теме «Матрицы»» Применение модифицированных жордановых исключений к решению систем линейных уравнений: определенные, неопределенные, несовместные системы. Нахождение общего и базисных решений систем линейных уравнений с помощью модифицированных жордановых исключений (МЖИ). Число базисных решений. Э,И,Д ОК-1 Э,И,Д ОК-1 М,ПБ ОК-1 М,Д ОК-1 Э,И,Д ОК-1 ПК-1 Контрольная работа по модулю 1 по темам «Элементы теории множеств», «Матрицы», «Определители». Модуль 2 «Элементы математического анализа» Э,И ОК-1 М,Д,И,Э,ПБ Тема «Предел функции» Предел функции. Геометрическая интерпретация предела. Теорема о единственности предела. Односторонние пределы. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Связь между ними. Предел суммы, произведения и частного . Тема «Дифференцирование» Определения производной. Таблица производных. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные высших порядков. Экономический смысл производной (предельная эффективность производства). Дифференциал функции. М,Э,И, Д,ПБ ОК-1 ПК-1 ОК-1 УЧЕБНАЯ ДЕЛОВАЯ ИГРА ПО ТЕМЕ: «МАТРИЦЫ». Цель игры – обучение моделированию простейшего экономического процесса. Постановка задачи. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Необходимо определить общие затраты предприятия на производство определенного количества каждого вида продукции. Группа делится на три команды, каждая из которых получает индивидуальное задание. 11 2 - 13,15, 17, 13 6 - 2 - 15 2 - Э,И,Д ОК-1 17 2 - 24-30 24 14 2 - 25 2 - 26 2 - 27 2 - 28 2 - 29 2 - 30 2 - 31-41 22 6 31 2 2 32 2 - 33 2 - Тема «Интегрирование» Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов. Интегрирование методом разложения. Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Формула НьютонаЛейбница. Несобственные интегралы. Понятие сходимости интегралов. Второй семестр Практические занятия Модуль 3 «Аналитическая геометрия» Тема «Гиперплоскость в R3» Составление уравнения гиперплоскости, проходящей через точку параллельно данной гиперплоскости. Составление уравнения гиперплоскости, проходящей через две данные точки перпендикулярно данной гиперплоскости. Нахождение угла между двумя гиперплоскостями. Тема «Прямая в R3» Перевод общих уравнений прямой в R3 в параметрические, канонические уравнения, в уравнение прямой через две точки. Нахождение угла между прямыми. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Тема «Прямая в R2» Составление уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно и перпендикулярно данной прямой. Понятие деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка. Расстояние между двумя точками. Тема «Прямая в R2» Нахождение для треугольника, заданного своими вершинами, уравнений сторон треугольника, уравнения высоты треугольника, нахождение ее длины. Составлений уравнений медианы, средней линии треугольника. Нахождение углов треугольника. Тема «Кривые второго порядка» Составление уравнения окружности, проходящей через три точки не лежащие на одной прямой. Нахождение полуосей, координат фокуса и эксцентриситета эллипса, гиперболы и их построение. Тема «Кривые второго порядка» Нахождение фокуса, уравнения параболы с вершиной в начале координат и проходящей через данную точку симметрично относительно оси Ох. Самостоятельная работа по теме «Кривые второго порядка». Контрольная работа по модулю 3 по темам «Прямая и плоскость в R2 и R3». Модуль 4 «Линейное программирование» Э,И,Д, ОК-1 М,Э,И,Д,ПБ М,Э,Д ОК-1 ОК-1 М,Э,Д,И ОК-1 М,И,Д,Э ОК-1 М,И,Д,Э ОК-1 И,Д,Э ОК-1 И,Д,Э ОК-1 И,Э,ПБ ОК-1 И,Э,Д,ПБ ОК-1 ПК-1 Тема «Математические модели задач линейного программирования» Составление математических моделей задач линейного программирования. Тема «Графический метод решения задач линейного программирования» Решение задач линейного программирования графическим методом: задача об оптимальном планировании производства, задача о рационе. Тема «Графический метод решения задач линейного программирования графическим методом. Задачи линейного программирования с бесконечным множеством решений. Решение общей задачи линейного М,И,Д,Э ОК-1 ПК-1 М,И,Э,Д ОК-1 М,И,Д,Э ОК-1 34 2 - 35 2 - 36 2 - 37 2 2 38 2 2 39 2 - 40 2 2 41 2 - программирования графическим методом. О неразрешимости задач линейного программирования. Тема «Симплекс-метод решения задач линейного программирования» Решение задачи линейного программирования симплексметодом в случае неотрицательности свободных членов системы ограничений. Тема «Симплекс-метод решения задач линейного программирования» Решение задачи линейного программирования симплексметодом в случае, когда среди свободных членов системы ограничений есть отрицательные. Тема «Элементы теории двойственности» Составление математической модели двойственной задачи по правилам двойственности. Экономическая интерпретация пары симметричных двойственных задач. Тема «Решение двойственных задач с помощью двойственных симплекс-таблиц» Решение симметричных двойственных задач с помощью двойственных симплекс-таблиц и экономический анализ полученного решения. Тема «Теоремы двойственности» Решение двойственных задач по теоремам двойственности. Экономический смысл двойственных оценок. Тема «Транспортная задача» Решение транспортной задачи с закрытой моделью методом потенциалов. Тема «Транспортная задача» Решение транспортной задачи с открытой моделью методом потенциалов. Экономический анализ полученного решения. Контрольная работа по модулю 4 по темам «Симплекс-метод решения задач линейного программирования», « Элементы теории двойственности» М,ПБ,Д ОК-1 ПК-1 М,Д,ПБ ОК-1 ПК-1 М,Д,ПБ ОК-1 ПК-1 Д,И,ПБ ОК-1 ПК-1 М,И,ПБ,Д ОК-1 ПК-1 М,И,Д,ПБ ОК-1 ПК-1 М,И,Д,ПБ ОК-1 ПК-1 И,ПБ ПК-1 2 Лекции Тема «Матрицы, определители. Системы линейных уравнений Векторные и евклидовые пространства. Понятие собственных значений и собственных векторов матрицы»» Понятие матрицы. Линейные действия над матрицами. Умножение матриц. Операция транспонирования. Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие минора и алгебраического дополнения. Понятие системы линейных уравнений и ее решение Понятие п-мерного вектора. Линейные операции над п-мерными векторами. Линейная комбинация векторов. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Понятие базиса векторного пространства. Скалярное произведение п-мерных векторов, угол между п-мерными векторами. Ортонормированный базис. Понятие собственных значений и собственных векторов данной матрицы. Тема «Аналитическая геометрия на плоскости. Основы линейного программирования» Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, уравнение пучка прямых, уравнение прямой через две точки, общее уравнение, уравнение прямой в отрезках на осях. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости. Реализуемые компетенции 4 2 Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание Методы Кол. час 2.2.Аудиторные занятия (лекции, практические) - заочная форма обучения, срок обучения-5 лет М,Д ОК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 10 2 2 2 2 2 Математическая модель задачи линейного программирования. Основные определения: допустимый план, опорный план, оптимальный план. Основная и каноническая формы задачи линейного программирования. Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс-методом. Практические занятия Тема «Матрицы. Определители. Обратная матрица» Действия с матрицами. Транспонирование матрицы. Вычисление определителей 2го и 3-го порядков. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Нахождение обратной матрицы с помощью транспонированной матрицы алгебраических дополнений. Тема «Матричные уравнения. Системы линейных уравнений» Решение простейших матричных уравнений Решение системы линейных уравнений методом модифицированных жордановых исключений. Понятие общего и базисного решений системы линейных уравнений. Тема «Векторные пространства. Скалярное произведение п-мерных векторов» Линейные операции над п-мерными векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение пмерных векторов. Нахождение угла между векторами. Тема «Аналитическая геометрия на плоскости» Нахождение для треугольника, заданного своими вершинами, уравнений его сторон, уравнения высоты, уравнения медианы, уравнения средней линии треугольника. Нахождение углов треугольника, длин сторон треугольника. Тема «Основы линейного программирования. Транспортная задача» Составление математической модели задачи об оптимальном планировании производства и ее решение симплекс-методом. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Экономический анализ полученного решения. М,Д ОК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 М,Д,И ОК-1 2 2 Лекции Тема «Основы линейного программирования» Составление математической модели задачи об оптимальном планировании производства и ее решение симплекс-методом. Практические занятия Тема «Матрицы. Определители» Действия с матрицами. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Понятие обратной матрицы. Тема «Векторные пространства. Скалярное произведение п-мерных векторов» Линейные операции над п-мерными векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Понятие базиса векторного пространства. Нахождение скалярного произведения п-мерных векторов и угла между векторами. Тема «Аналитическая геометрия на плоскости» Нахождение для треугольника, заданного своими вершинами, уравнений его сторон, уравнения высоты, уравнения медианы, уравнения средней линии треугольника. Нахождение углов треугольника, длин сторон треугольника. Тема «Симплекс-метод решения задачи линейного программирования» Тема «Основы линейного программирования» Составление математической модели задачи об оптимальном планировании производства и ее решение симплекс-методом 8 2 2 2 2 Реализуемые компетенции Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание Методы Кол. час 2.3.Аудиторные занятия (лекции, практические)- заочная сокращенная форма обучения ( на базе СПО ), срок обучения-3 года 6 мес. М,Д,И ОК-1 М,Д ОК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 2.4.Аудиторные занятия (лекции, практические)- заочная сокращенная форма обучения ( на базе ВПО ), срок обучения-3 года 6 мес. Лекции Тема «Основы линейного программирования» Составление математической модели задачи об оптимальном планировании производства и ее решение симплекс-методом. Практические занятия Тема «Матрицы. Определители» Действия с матрицами. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Понятие обратной матрицы. Тема «Векторные пространства. Скалярное произведение п-мерных векторов» Линейные операции над п-мерными векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Понятие базиса векторного пространства. Нахождение скалярного произведения п-мерных векторов и угла между векторами. Тема «Аналитическая геометрия на плоскости» Нахождение для треугольника, заданного своими вершинами, уравнений его сторон, уравнения высоты, уравнения медианы, уравнения средней линии треугольника. Нахождение углов треугольника, длин сторон треугольника. Тема «Симплекс-метод решения задачи линейного программирования» Тема «Основы линейного программирования» Составление математической модели задачи об оптимальном планировании производства и ее решение симплекс-методом 8 2 2 2 2 Реализуемые компетенции 2 2 Методы Кол. час Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание М,Д,И ОК-1 М,Д ОК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 М,Д ОК-1 ПК-1 Неделя Кол. час Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы, контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др. 1-18 1 2 3 4 72 2 2 2 2 Очная форма обучения Первый семестр Выполнение индивидуального задания по теме «Элементы теории множеств» Действия с комплексными числами. Действия с матрицами. Вычисление определителей. 5 6 7 2 2 2 Решение матричных уравнений. Нахождение ранга матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. 8 9-10 11 2 4 6 Метод Жордана-Гаусса. Выполнение индивидуального задания по теме «Системы линейных уравнений». Подготовка к контрольной работе по модулю 1. 12 13 2 2 14,15 16 17,18 1-18 4 2 6 20 Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису. Выполнение индивидуального задания по темам «Действия над п-мерными векторами. Разложение вектора по базису». Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Квадратичные формы. Подготовка к контрольной работе по модулю 2. Усвоение текущего учебного материала. 1-18 10 24- 90 Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Линейные операторы». Второй семестр Реализуемые компетенции 2.5 Самостоятельная работа студента ОК-1 ОК-1 ОК-1 ОК-1 ПК-1 ОК-1 ОК-1 ОК-1 ПК-1 ОК-1 ПК-1 ОК-1 ПК-1 ОК-1 ПК-1 ПК-1 ПК-1 ОК-1 ОК-1 ПК-1 ОК-1 ПК-1 41 24 25 26 27 28,29 30 3133 3436 37,38 39 40 41 2441 2441 ОК-1 ОК-1 ОК-1 ПК-1 ПК-1 ПК-1 ПК-1 4 Гиперплоскость в R3. Прямая в R3. Прямая в R2. Выполнение индивидуального задания по теме «Аналитическая геометрия на плоскости» Кривые второго порядка. Подготовка к контрольной работе по теме «Прямая и плоскость в R2 и R3. Выполнение индивидуального задания по теме «Графический метод решения задач линейного программирования». Метод искусственного базиса. 4 6 6 4 20 Элементы теории двойственности. Транспортная задача. Подготовка к контрольной работе по модулю 4. Понятие о графах. Усвоение текущего учебного материала. 12 Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Элементы теории графов». ОК-1 ПК-1 ПК-1 ПК-1 ОК-1 ПК-1 ПК-1 4 4 4 6 4 6 6 ПК-1 2.5. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном процессе № Наименование основных форм Применение электронных мультимедийных учебников и учебных пособий Деловые и ролевые игры Разбор конкретных ситуаций Использование проблемно-ориентированного междисциплинарного подхода к изучению наук Ориентация содержания на лучшие отечественные аналоги образовательных программ Краткое описание и примеры, использования в модулях темах, место проведения Находятся в электронном читальном зале РГЭУ (РИНХ) Учебная деловая игра по теме «Матрицы» в модуле 1 первого семестра на практическом занятии Тема «Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса» в модуле 1 на лекции; тема «Модель Леонтьева межотраслевой экономики. Модель международной торговли» в модуле 2 на лекции; тема «Основы линейного программирования» в модуле 4 на лекции; тема «Элементы теории двойственности» в модуле 4 на лекции; тема «Математические модели задач линейного программирования» в модуле 4 на практическом занятии; тема «Транспортная задача» в модуле 4 на практическом занятии. Тема «Использование алгебры матриц в экономике» в модуле 1 на лекции. Содержание дисциплины ориентируется на образовательную программу Финансового университета при правительстве Российской Федерации Часы 2 14 2 3.Средства обучения 3.1.Информационно-методические № Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с указанием наличия в библиотеке Основная учебная литература: 1. Кремер Н. Ш. Путко Б. А. Высшая математика для экономических специальностей Москва* Высшее образование*2008, стр. 484. 40 2. Кремер Н. Ш. и др. Высшая математика для экономистов ЮНИТИ Москва 2008, стр. 523. 25 3. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании. Изд-во «Дело» Москва 2006, стр. 683. 35 4. Кундышева Е. С. Математика. Учебное пособие для экономистов Москва, 2005, стр. 440. 45 5. Методы и модели решения экономических задач: Учебное пособие / С.Р. Хачатрян, М.В. Пинегина , В.П.Буянов. – М.: Издательство «Экзамен», 2005. – 384 с. 20 6. Альсевич В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория: Учебное пособие. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 256 с. 10 7. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. . – СПб:6 Питер, 2002. – 176 с. 20 8. Солодовников А,С., Бабайцев В,А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник для вузов: Ч.1 – М.: Финансы и статистика, 2003. -256 с. 20 9. Калачев Н.В. Линейные и евклидовы пространства. Пособие для бакалавров экономики и менеджмента. Ч.1- М.: Финакадемия при Правительстве РФ, 2009.- 130 с. 50 10. Тищенко А.В. Линейная алгебра : Элементы аналитической геометрии: Учебное пособие для бакалавриата. Ч.3 М.: Финакадемия, 2009.= 125 с. 10 11. Солопова О.Г, Линейная алгебра: Уч.пособие/ РГЭУ (РИНХ)-Ростов н/Д,2005.-165 с. 85 12. Исследование операций в экономике: Уч.пособие для вузов /Н.Ш.Кремер и др. Под ред. проф. Н.Ш.Кремера.-М.:ЮНИТИ, 2004.-407 с. 10 Дополнительная литература 1. Бережная Е.В.,Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем.:Уч. Пос.-2-е изд.М.: Финансы и статистика,2006.-370 стр. 12 2. Костевич Л.С. Математическое программирование: Информ.технологии оптимальных решений: Уч.пос..-Мн.: Новое знание,2003.-424 с. 2 3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник.-М.: ИНФРАМ,1999- 579 с. 5 4. Кузнецов А.В,,Сакович В.А.,Холод Н.И. Математическое программирование. Уч. Пособие.-Минск:Высшая школа, 1994.- 352 с. 5 № ауд. 3.2. Материально-технические Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная техника, наглядные пособия и другие дидактические материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и практических занятий, научно-исследовательской Основное назначение (опытное, обучающее, контролирующее) и краткая характеристика использования при изучении явлений и процессов, работы студентов с указанием наличия 202214 Компьютерная техника. 602605 Телевизионная техника для презентаций. выполнении расчетов. ППП МS Excel, Eviews 6.0 4.Текущий, промежуточный контроль знаний студентов № Тесты, темы курсовых работ/проектов, вопросы для текущего контроля, для подготовки к зачету, экзамену 1. Тестовые задания 2. Задание 1. Решить систему уравнений а) по формуле Крамера; б) матричным способом: 2 x 1 4 x 2 3x 3 1 x 1 2x 2 4x 3 3 3x x 5x 2 2 3 1 Варианты ответов: 1) 1 1 x 2 ; 2) x 0 ; 1 1 3) 1 x 0 ; 1 4) 2 x 1 . 0 Задание 2. Решить систему уравнений а) методом Жордана-Гаусса; б) методом модифицированных жордановых исключений. Найти все базисные решения системы. 2 x 2 x 2 x 3 1 1 x 1 3x 2 x 3 0 Варианты ответов: а) 1) t / 8 3 / 8 x 3t / 8 1 / 8, t R t ; 2) t 1 x t 1, t R ; t 3) 2t 1 x t 1 , t R ; t 0 , t R . 4) x t t 1 3 / 8 0 1 / 3 1 2 1 б) 1) x 1 / 8 , x 1 , x 0 ; 2) x 1 , x 0 , x 0 ; 0 3 1 / 3 0 1 1 1 3 0 0 1 3 3) x 1 , x 0 , x 1 ; 4) x 0 , x 5 , x 0 . 0 1 2 1 0 2 Задание 3. Указать, в каком из приведенных примеров существует произведение матриц: 3 1 1 3 1 3 3 1 1 2 а) 4 2 4 0 2 , б) 1 3 1 4 1 3 , в) 3 1 , г) 1 3 1 3 3 4 2 1 1 5 1 3 1 2 Задание 4. Найти АВ, если А = , В = 0 1 3 2 1 0 1 2 3 4 1 2 4 4 а) б) в ) г) 1 2 1 0 1 0 1 1 Задание 5. Если главный определитель системы равен нулю , то: а)система является несовместной или неопределенной, б) система имеет единственное решение, в) система имеет ровно два различных решения, г) система имеет ровно три различных решения Задание 6. Вычислить скалярное произведение векторов ху, если х = (2, 1, 3), у = (1, 2, -1) а) 1 б) 0 в) (2, 2, -3) г) 7 Задание 7. Если главный определитель системы не равен нулю, то: а) система несовместна, б) система имеет единственное решение, в) система имеет бесконечно много решений, г) система имеет ровно два различных решения Задание 8. При каком значении параметра t данная система векторов а = (1, 2, 0), b = (5, t, 2), c =(t, 1, 3) линейно зависима: а) 7/32, б) 5/7, в) 32/7, г) 1/7, д) 0 Задание 9. При каком значении параметра t векторы a и b ортогональны, если a=(1, -5, t), b=(3, 4t,19) а) -6, б) 6, в) 3, г) -12, д) 12 2 2 2 Задание 10. Найти собственные значения линейного оператора с матрицей 2 2 2 . 2 2 2 а) 2,0 б) -2, 0 в) 2, -2 г) 0 Тестовые задания для подготовки к экзамену Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-4,0), B(-2,6), C(2,2). Найти: (а) уравнение стороны АС; (б) уравнение высоты АК; (в) длину средней линии MP/BC; ^ (г) угол MP MB ; (д) точку пересечения высот треугольника; Варинты ответа: а) 1) x 3y 4 0 ; 2) 3x y 4 0 ; 3) x 3y 4 0 ; 4) 3x 4 y 1 0 . в) 1) x y 4 0 ; 2) x y 4 0 ; 3) x y 4 0 ; 4) x y 4 0 . x y 0 ; 2) x y 0 ; 3) x y 1 0 ; 4) x y 1 0 . г) 1) / 4 ; 2) / 3 ; 3) arccos 5 / 5 ; 4) arccos 5 / 5 . б) 1) д) 1) ; ; 4) 1,3 . 31; , 2) 3,1 ; 3) 13 Задание 2. Найти: , проходящей через точки A(1,2,3),B(3,4,4). б) уравнение плоскости , проходящей через точки 0(0, 0, 0), С(0, -3, 1) параллельно прямой а) уравнение прямой в) пересечение прямой с плоскостью H: 3x y 2z 1 0 . Варианты ответа: а) 1) x 1 y 2 z 3 x 3 y4 z 4 x 1 y 2 ; 2) ; 3) z 3; 2 2 3 1 2 2 2 2 x 1 y 2 z 3 . 1 2 3 б) 1) 5x 2 y 6z 0 ; 2) 2x 3y 6z 0 ; 4) в) 1) , ,3 ; 2) 3,2,1 ; 3) 5,4,3 ; 12 5x 6y 2z 0 ; 4) 6x 5y 2z 0 . 4) 7 / 5;2 / 5;9 / 5 . 3) 3. Задание 3. Выбрать из предложенных уравнений уравнение прямой линии: а) х2 + у2 = а2, б) у = 2х2 + 3, в) у = 3/х, г) 2у + 3х = 0 Задание 4. Найти расстояние от точки А(5, -3,8) до плоскости 3х-5у+2z+4=0. Задание 5. Решить графически задачу линейного программирования: х+3у→max x y 2 2 x 3 y 3 x, y 0 Задание 6.Решить симплекс-методом задачу линейного программирования: x-4y+2z+t→min x 5 y 3z 6 2 x 7 y 5 z 8t 1 x, y , z , t 0 1. 4.2.Индивидуальные задания Тема «Элементы теории множеств», модуль 1 Даны множества: xa A x R : 0, B x R : ( x (b 1))( x (c 2)) 0, C x R :( x (b 1))( x (c 2 x (b 3) 2 Найти пересечение, объединение, разность и декартово произведение множеств А и В, А и С. Примечание. ab –порядковый номер в журнале, с – номер группы. Тема «Системы линейных уравнений», модуль 1 Задание 1. Дана система уравнений: 2 x 6 y 2 z 6a 2b 2c 2 x 5 y z 5a b 2c cx (3c 2) y ( a c ) z a (3c b 2) c( c a ) Решить систему уравнений: 1) по формулам Крамера, 2) методом Жордана-Гаусса, 3) методом обратной матрицы. Задание 2. Найти все базисные решения системы уравнений методом МЖИ: 2ax 3by cz 3abc ax by cz abc 3ax 4by 2cz 2abc 3 Тема «Разложение вектора по базису. Действия над п-мерными векторами», модуль 2 Задание 1. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах X=(a+1)m+(5-b)n, y=(b-5)m+cn, где m 2, n 1, угол между векторами m , n равен 120 4 Задание 2. Дана система векторов a=(b,1,c), b=(1,c,1), m=(c,b,a). а) Является ли эта система векторов базисом пространства R3? б) Разложить вектор х=(a+b, a+c, b+c) по этому базису. Тема «Аналитическая геометрия на плоскости», модуль 3 5 Дан треугольник с вершинами A(b-5,0), B(a-3,6), C(c+1,2). Найти: 1) угол А; 2) уравнение высоты АК; 3) уравнение медианы из вершины А; 4) длину высоты АК; 5) уравнение средней линии МР, параллельной ВС; 6) площадь треугольника. Тема «Графический метод решения задач линейного программирования», модуль 4 Каждому студенту выдается отдельная задача, выдаваемая лектором. Пример индивидуального задания № 5 Решить графическим методом задачу линейной оптимизации f ( x) x1 6 x 2 max 3x1 2 x 2 6 x x 4 1 2 x 6 1 x1 0, x 2 0 6 3 4 ( x ) x 1 6 x 2 m a x 6 4 0 Тема «Транспортная задача», модуль 4 Каждому студенту выдается лектором отдельная задача. Пример индивидуального задания №6 На складах А1, А2, А3 имеются запасы продукции в количествах 90, 400, 110 т соответственно. Потребители В1, В2, В3 должны получить эту продукцию в количествах 140, 300, 160 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления постравщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной при условии, что расходы 1т продукции заданы матрицей (у.е.) 1 2 f 3 x 2 x 1 2 x x 1 2 x 6 1 x 0 , x 1 2 2 5 2 4 1 5 . 3 6 8 4.3.Темы контрольных работ Модуль 1. Действия с матрицами. Вычисление определителя 4-го порядка. Матричные уравнения. Модуль 2. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Исследование на знакоопределенность квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Модуль 3. Прямая на плоскости и в пространстве. Гиперплоскость в R3. Модуль 4. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Элементы теории двойственности. 4.4.Вопросы к зачету за первый семестр 1. Понятие множества. Способы задания множеств. Подмножество. Операции над множествами. 2. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. 3. Понятие матрицы. Различные виды матриц. Равные матрицы. Линейные операции над матрицами. 4. Умножение матриц. Возведение в натуральную стпень. 5. Понятие определителей и их основные свойства. 6. Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие об определителях п-го порядка. 7. Понятие обратной матрицы.Теорема существования обратной матрицы. Формула нахождения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. 8. Матричные уравнения и их решения. 9. Ранг матрицы и его нахождение с помощью элементарных преобразований матриц. Теорема о ранге матрицы. 10. Системы линейных уравнений. Основные определения: решение, совместность, несовместность, определенность, неопределенность. 11 Теорема (формулы) Крамера. 12. Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений общего вида. Равносильные преобразования систем, алгоритм метода Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение; система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные неизвестные. 13. Модифицированные жордановы исключения, их применение к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений. 14.Матричная форма записи системы линейных уравнений. Матричный способ решения системы линейных уравнений. 15. Понятие п-мерного вектора.Линейные операции над п-мерными векторами. Пространство n R. 16. Понятие линейной комбинации п-мерных векторов. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. 17. Понятие базиса в пространстве Rn. Разложение вектора по базису. 18. Понятие скалярного произведения п-мерных векторов. Свойства скалярного произведения. Норма п-мерного вектора. Угол между векторами. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис в пространстве Rn. 19. Линейные операторы. Понятие матрицы линейного оператора. Действия над линейными операторами. Ядро, образ оператора. 20. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы), их нахождение. 21. Квадратичные формы и их матричная запись. Понятие о положительно и отрицательно определенных квадратичных формах. Критерий Сильвестра. 22. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 4.5.Вопросы к экзамену за второй семестр 1. Прямая линия на плоскости. 2. Общее уравнение прямой на плоскости. 3. Частные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, по двум точкам, уравнение пучка прямых. Геометрический смысл параметров, входящих в уравнения. 4. Угол между прямыми на плоскости; условие параллельности и перпендикулярности. 5. Прямая линия в пространстве. 6. Общие уравнения прямой в пространстве. 7. Частные виды уравнений прямой в пространстве: канонические уравнения, уравнения по двум точкам. 8. Плоскость в пространстве, общее уравнение, нормальный вектор и его свойства. 9. Частные виды уравнений плоскости. 10. Плоскость и прямая в пространстве: углы, условия параллельности и перпендикулярности прямых, плоскостей и друг с другом. 11. Кривые второго порядка, их канонические уравнения. 12. Понятие выпуклого множества. Крайняя точка . Теоремы о выпуклых множествах. 13. Математическая модель задачи линейного программирования. Основные определения: допустимый план, опорный план, оптимальный план. Общая задача линейного программирования. Основная и каноническая формы задач линейного программирования. 14. Фундаментальная теорема линейного программирования. Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом. 15. Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая с неотрицательными свободными членами системы ограничений. Теорема о выборе разрешающего элемента. Критерий оптимальности задачи на максимум. 16.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая b<0. Понятие о вырождении и зацикливании. 17. Постановка пары взаимно-двойственных задач. Теорема о допустимых решениях взаимнодвойственных задач. Правила построения математической модели двойственной задачи. 18. Двойственная симплекс-таблица. Решение двойственной задачи с помощью двойственных симплекс-таблиц. 19. Теоремы двойственности. Экономический смысл двойственных оценок. 20. Постановка транспортной задачи и ее математическая модель. 21. Виды моделей транспортной задачи . Теорема о разрешимости транспортно задачи. 22. Методы построения первого опорного плана. 23. Метод потенциалов. Критерий оптимальности транспортной задачи. 24. Понятие цикла. Основные виды циклов. Перемещение по циклу. 25. Оценки пустых клеток распределительной таблицы транспортной задачи, их экономический смысл. 26.Вырождение в транспортной задаче. Решение транспортной задачи с нарушенным балансом. Образец экзаменационного билета 1. Окружность, эллипс: их канонические уравнения и характеристики. 2. Виды моделей транспортной задачи. Теорема о разрешимости транспортной задачи . Методы построения первого опорного план транспортной задачи. 3. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. 4.5 .Задание для студентов заочной формы обучения. Домашнее задание представляет собой письменную работу, которая должна продемонстрировать степень усвоения знаний, приобретенных студентом в ходе самостоятельной подготовки. Задание состоит из 10 вариантов задач по основным темам дисциплины. Сдача контрольной работы производится в форме собеседования, в ходе которого студент сначала кратко излагает основные выводы т результаты работы и отвечает на замечания, отмеченные в рецензии. По результатам защиты выставляется окончательная оценка, которая учитывает и ответы студента на вопросы, заданные преподавателем. 5.Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______ Следующие записи относятся к п.п. Автор Зав. кафедрой Принято УМУ__________________________________ Дата:_____________________