Произведения векторов 1 Скалярное произведение • Скалярным произведение векторов a ⋅ b называется число, которое вычисляется по формуле a ⋅ b = a b cos ϕ . • Свойства скалярного произведения • 1. a ⋅ b = a прa b = b прb a 2. a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b . • 3. a = a ×a 4. a⋅b = b ⋅a • 5. (a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c • 6. (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b ) 2 Вычисление скалярного произведение • Теорема. Пусть a = a x i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k. • Тогда a ⋅ b = a x bx + a y by + a y bz . • Следствие. a = a x 2 + a y 2 + az 2 cosϕ = a x bx + a y b y + a y bz . a x 2 + a y 2 + a z 2 bx 2 + b y 2 + bz 2 . 3 Векторное произведение a, b, c • Тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если смотреть с конца вектора a и вращать вектор b к вектору c , то вращение будет происходить против часовой стрелки. • Векторным произведением векторов a × b называется вектор перпендикулярный векторам a и b , длина которого равна a × b = a b sin ϕ . Направление вектора a × b выбирается так, что векторы a × b , a , b образуют правую тройку. 4 a×b b S = a ×b a 5 Векторное и смешанное произведения 6 Свойства векторного произведения a × b = −[b × a ] • 1. • 2 .Если векторыa и b отличны от нулевого вектора, то a × b = 0 тогда и только тогда, когда векторы a и b коллинеарны. • 3. a × (b + c ) = a × b + a × c • 4. (λ a ) × b = a × (λ b ) = λ[a × b ] 7 Вычисление векторного произведения a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + by j + bz k • Если и векторы i , j , k образуют правую тройку, то справедлива формула i j k a × b = a x a y az bx by bz • где "обобщённый определитель" третьего порядка понимается по правилу разложения по первой строке. 8 Векторное произведение ортов • Из определения и свойств получаем i × j = k, i × i = 0, i × k = − j, j × k = i , j × j = 0, k × k = 0. z k i j y x 9 Пример. Вычисление площади треугольника. • Вычислить площадь треугольника ∆ABC , A(1;0;0), B (2;1;1), C (1, 0,1). B C C A 10 Смешанное (векторно-скалярное) произведение • Смешанным произведением a b c векторов называется число равное скалярному произведению векторного произведения a × b и вектора c , a b c = [a × b ] ⋅ c . 11 Геометрическое истолкование смешанного произведения • Теорема. Смешанное произведение трёх некомпланарных векторов по абсолютной величине равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. a×b ϕ c b a 12 Следствие. Знак смешанного произведения • Если векторы a , b , c образуют правую тройку, то смешанное произведение положительно, если – левую, то отрицательно. Если векторы компланарны, то смешанное произведение равно нулю. a ×b b a × b ϕ b a c c a 13 Вычисление смешанного произведения • Теорема. Если a = a x i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k , c = c x i + c y j + cz k • и векторы i , j , k образуют правую тройку, то справедлива формула ax a b c = bx cx ay az by cy bz cz 14 Следствия • Справедливы равенства [a × b ] ⋅ c = a b c = ca b = bca = [b × c ] ⋅ a = a ⋅ [b × c ] . • Смешанное произведение линейно относительно любого сомножителя. Например, для первого сомножителя справедливы равенства (a1 + a2 ) b c = a1 b c + a2 b c , (λ a ) b c = λ (a b c ). 15