Алгебра в примерах и задачах. Комплексные числа

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Комплексные числа
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Комплексные числа
При изучении комплексных чисел, заданных в алгебраической форме,
необходимо уметь выделять действительную часть комплексного числа
z (Re z) и мнимую часть числа z (Im z) . При этом, если z  a  bi , то
Re z  a , Im z  b . Заметим, что Re z и Im z являются вещественными
числами.
Задача 4. Указать действительную и мнимую часть числа z .
a  z  1  2i
д  z  3
б  z  1  3i
е  z  1  2i
в  z  2i
ж  z  2  3i
г  z i
Решение. Если z  a  bi , то Re z  a , Im z  b .
а  Re z  1, Im z  2 ,
б  Re z  1, Im z  3 ,
в  Re z  0, Im z  2 ,
д  Re z  3, Im z  0 ,
е  Re z  1, Im z  2 ,
г  Re z  0, Im z  1 ,
ж  Re z  2, Im z  3 .
Задача 5. Вычислить:
а  1  2i   2  3i 
б 2 i   3  5i 
г 1  2i 3
д  i 1234
в
1 i
2  3i
Решение.
а) 1  2i   2  3i   1  2   2  3i  3  i
б) 2  i   3  5i   2  3   1  5  2  5   1  3i  11  7i
1  i 2  3i  1  2  1   3  1   3  1  2i 5  i 5 1
1 i
в)



  i
2  3i 2  3i 2  3i 
13
13 13 13
г) 1  2i 3  13  3  12  2i  3  1  2i 2  2i 3  1  6i  6  8i  5  2i
 
д) i 1234  i 4308  2  i 4
308
 i 2  1308  i 2  i 2  1 .
Задача 6. Используя бином Ньютона вычислить 2  3i 4 .
Решение.
2  3i 4  C40  24  3i 0  C41  23  3i 1  C42  22  3i 2  C43  21  3i 3 
4!
4!
4!
 C 44  2 0  3i 4 
 16 
 8  3i 
 4   9  
0 !4  0 !
1!4  1!
2 !4  2 !
4!
4!

 2   27i  
 81  16  96i  216  216i  81  119  120i
3!4  3!
4 !4  4 !
Задача 7. Найти
a  bi .
Решение. Корень квадратный из комплексного числа z есть такое
комплексное число t , что t 2  z .
Пусть a  bi  t , где t     i ,  ,   . Тогда    i 2  a  bi ,
 2   2  a
откуда следует, что 
(1). Возведем в квадрат обе части каждого
2


b

из уравнения системы (1) и сложим полученные результаты:

2
2

2

 4 2  2  a 2  b 2 , т. е.  2   2

2
 a 2  b 2 , т. е.  2   2 
  a2  b2 .

2  2 a
Имеем:  2
; отсюда
2
2
2





a

b

1
1
 2  a  a2  b2 и  2   a  a2  b2 .
2
2
Тогда




a  a2  b2
,
1  
2
a  a2  b2
,
2  
2
 a  a2  b2
 a  a2  b2
,
1  
.
2  
2
2
Полученные значения для  и  нельзя комбинировать между собой
произвольным образом при составлении числа t , так как ввиду условия
2  b из (1) знак произведения   должен совпадать со знаком b . Это
дает две возможные комбинации значений  и  , то есть два значения t :
t1   1   1i, t 2   2   2 i ,
при b  0
t1   1   2 i, t 2   2   1i .
при b  0
Задача 8. Найти a  1  2i , б  1  2i .
Решение:
а)
t1   1   1i, t 2   2   2 i ,
т. к.
1  
1 5
,
2
b  2  0 , где 1  
1 5
,
2
b  2  0,
где
1 5
. То есть:
2
1 5
1 5
1 5
1 5
t1  

i , t2  

i.
2
2
2
2
1  
б)
1  
t1   1   2 i, t 2   2   1i , т. к.
1 5
1 5
1 5
, 2  
, 2  
. То есть:
2
2
2
1 5
1 5
1 5
1 5

i , t2  

i.
2
2
2
2
Задача 9. Решить уравнение z  z  i  1  2i .
Решение. Пусть z  x  yi , x, y  . Тогда уравнение принимает вид:
t1  
x 2  y 2  x  yi  1  2i .
 x 2  y 2  x  1,
 y  3,
 y  3,
Откуда 
т. е.  2
 2
x

9

x

1
,
y

1

2
,

 x  9  1  x,

 y  3,
 y  3,
 y  3,
т. е. Z  4  3i .
 2


2
 x  9  1  2 x  x , 2 x  8,  x  4,
25  4  2i  1  2i , 5  4  2i 
Проверка:  4  3i   4  3i  i  1  2i ,
 1  2i , 1  2i  1  2i (И).
Ответ: z  4  3i .
Задача 10. Выразить sin 2 через sin  и cos .
Решение.
Рассмотрим cos  i sin  2 . Результат можно получить используя
формулу Муавра и бином Ньютона:
cos  i sin  2  cos 2  i sin 2 (по формуле Муавра).
cos  i sin  2  C20 cos 0  i sin  2  C21 cos 1  i sin  1 
 C 22 cos 2  i sin  0   sin 2   2i cos sin   cos2   cos2   sin 2   
 2i cos sin  .
Сравним действительные и мнимые части результатов:
cos 2  cos 2   sin 2  ,
sin 2  2 cos sin  .
Задача 11. Решить уравнение x 4  1  0 .
Решение.
2 k
2 k
k
k
, k  0, 1, 2, 3 .
x 4  1  x  4 1  cos
 i sin
 cos
 i sin
4
4
2
2
0 
0 
1
1
x0  cos
 i sin
 1,
x1  cos
 i sin
 i,
2
2
2
2
2 
2 
3
3
x 2  cos
 i sin
 1,
x3  cos
 i sin
 i .
2
2
2
2
Задача 12. 1) Найти все корни 6-ой степени из единицы. 2) Указать
порядок (показатель) каждого корня. 3) Выделить все первообразные корни.
4) Взяв один из первообразных корней, путем возведения его в степени от 1
до 6, получить все корни 6-ой степени из 1.
Решение.
2 k
2 k
k
k
, k  0, 1, 2, 3, 4, 5 .
 i sin
 cos
 i sin
6
6
3
3
0 
0 
1
1
,
x 0  cos
 i sin
 1,
x1  cos
 i sin
3
3
3
3
2 
2 
3
3
,
x 2  cos
 i sin
x3  cos
 i sin
 1 ,
3
3
3
3
4 
4 
5 
5 
,
.
x 4  cos
 i sin
x5  cos
 i sin
3
3
3
3
1) x k  cos
2) Порядок корня 6-ой степени из 1 обязан быть делителем числа 6, т. е.
порядки корней x k находятся среди чисел 1, 2, 3, 6 .
x0 1  1 , т. е. порядок корня x 0 равен 1,
x1 1  1, x1 2  1, x1 3  1, x1 6  1, т. е. порядок корня x1 равен 6.
x2 1  1, x2 2  1, x2 3  1, т. е. порядок корня x 2 равен 3.
x3 1  1, x3 2  1, т. е. порядок корня x3 равен 2.
x4 1  1, x4 2  1, x4 3  1 т. е. порядок корня x 4 равен 3.
x5 1  1, x5 2  1, x5 3  1, x5 6  1, т. е. порядок корня x1 равен 6.
3) Первообразными корнями 6-ой степени из 1 являются те корни,
порядок которых равен 6, т. е. корни x1 , x 5 .
С другой стороны, корень x k n -ой степени из 1 будет первообразным
тогда и только тогда, когда НОД k , n   1 , т. е. первообразными корнями 6-ой
степени из 1 будут действительно корни x1 , x 5 .
5 
5 
 i sin
4) Возьмем первообразный корень x5  cos
. Возведем
3
3
его в степени от 1 до 6 по формуле Муавра:
x5 1  x5 ,
x5 3  cos 15    i sin 15    x3 ,
3
3
x5 3  cos 15    i sin 15    x3 ,
x5 4  cos 20    i sin 20    x 2 ,
3
3
3
3
x5 5  cos 25    i sin 25    x1 ,
x5 6  cos 30    i sin 30    1  x0 .
3
3
3
3
В итоге получены все корни 6-ой степени из 1.
Задача 13. Найти множество точек плоскости, соответствующих
комплексным числам z , для которых
a z  1  i  2 .
б  0  Arg z 

.
4
Решение. Пусть z  x  yi . Тогда на плоскости в прямоугольной
декартовой системе координат ему взаимнооднозначно соответствует точка
M  x; y  , для которой длина радиуса-вектора равна r  x 2  y 2 , а угол
наклона этого радиуса-вектора равен Arg z .
а) Если z  x  yi , то
x  yi  1  i  x  1   y  1  i 
x  12   y  12 .
По условию x  12   y  12  2 т. е., x  12   y  12  4 – на плоскости
это множество внутренних точек круга с центром в точке C 1;  1 радиуса
R  2.
б) Если 0  Arg z 

4
, то нужно отметить на плоскости все точки,
радиус-вектор которых имеет угол наклона от 0 до

. Это точки I четверти,
4
расположенные выше оси OX , т. е. Arg z  0 , но не выше луча выходящего
из начало координат с углом наклона

. Начало координат в это множество
4
точек не входит, т. к. Arg 0 не существует.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. –
160 с.
4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре.
Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. –
144 с.
6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.:
Просвещение, 1969. – 276 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
10.Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
11.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
12.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во
МГУ, 1965. – 40 с.
13.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. –
183 с.
14.Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. –
302 с.
15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. –
332 с.
16.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
17.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1977. – 228 с.
18.Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш.
шк., 1982. – 223 с.