Конспект ОиРС 1 семестр2015

Лекция 1.
Вопросы, обсуждаемые в дисциплине
Угрозы КПС:
Нарушение целостности,
достверности, конфиденциональности
сообщений
Анализ аддитивной смеси случайного
и детерминированного сигналов в
КПС. Стегоанализ.
Обнаружение
присутствия
детерминированно
го сигнала. Этапы:
определение
отношения
сигнал/помеха,
выбор критерия
обнаружения,
соответствующего
требованиям ТЗ
Фильтрация смеси,
выделение
детерминированн
ого сигнала путем
повышения
Виды атак, реализующих угрозы: Помехи,
перехват сообщений путем внедрения в КПС,
внесение дезинформации.
Анализ детерминированного сигнала
в канале без шумов. Стегоанализ
Статистическая оценка параметров
сигналов, подлежащих распознаванию
значения
сигнал/помеха
Распознавание сигнала. Этапы распознавания: сегментация признаков,
решение задачи классификации, идентификация сообщения,
стегоанализ
Структуры оптико-электронных, радиоэлектронных и акустоэлектронных подсистем
КПС
Анализ проводится на основе следующих основных положений:

КПС рассматривается, как линия связи, подверженный активным и пассивным
атакам, причем если даже он обеспечивает запись и хранение информации;
1

КПС рассматривается, как линия связи, подверженный активным и пассивным
атакам, причем если даже он входит в состав систем управления и передает управляющие
воздействия;

далее принимается, что запоминающие устройства, входящие в состав оптико-
электронных, радиоэлектронных и акустоэлектронных каналов можно представлять, как
бесконечную атакуемую линию связи с последовательным, либо прямым доступом;

модель поведения КПС понимается, как мысленный образ проектного решения,
обладающий заданной степенью адекватности реальному объекту;

модель КПС, как объекта проектирования – это модель поведения, избыточная по
множеству проектных решений, включающих проектные решения по защите передаваемой
информации;

модель КПС, как объекта проектирования имеет иерархическую структуру и с
точки зрения постановки задач настоящей диссертационной работы может быть формализована без
учета физической природы носителя сигнала, с помощью которого передается информация
(управляющее воздействие).
1 Радиоэлектронный КПС
В настоящей работе радиоэлектронный КПС рассматривается как обобщение следующих
систем:

радиолокационные системы управления и навигации;

радиолокационные станции;

радиоэлектронные средства связи.
Обобщенная структурная модель радиоэлектронного КПС отражена на рисунке 1.
2
Особенностью этой модели является то, что она ориентирована на поиск проектных решений,
связанных с защитой преобразуемой в КПС информации. Необходимо подчеркнуть, что, как
отмечалось выше, это модель объекта проектирования, то есть она избыточна по множеству
проектных решений.
На модели не показаны «точки» и «области» тракта, которые могут стать объектом атак.
Подробнее анализ средств и последствий атак рассматриваются далее.
В модели не отражены такие особенности проектных решений, как гетеродинный прием,
характерных для некоторых РЛС, а также корреляционная обработка принятого сигнала,
характерная для системы сотовой связи, систем «Bluetooth», систем сверхширокополосной связи,
построенных на основе псевдослучайных блоков несущей и поднесущих.
Отражены подмножества проектных решений:
1.
подмножество радиоэлектронных систем, ориентированных на передачу и прием
сигналов, которые обрабатываются человеком-оператором на основе визуальной информации. Речь
может идти о системах телевидения, РЛС с полуавтоматической обработкой сигналов. В этом
случае блок «вторичный источник излучения» интерпретируется либо как источник помех, либо
цель, идентифицируемая РЛС;
2.
подмножество радиоэлектронных систем, предназначенных для передачи и
преобразования временных сигналов, в частном случае аудиосигналов, обрабатываемых человекомоператором;
3
3.
подмножество радиоэлектронных систем управления и навигации, причем как
самонаводящихся так и дистанционно управляющих разными техническими объектами по
сигналам, обрабатываемыми человеком-оператором (см. 1 и 3). Следует отметить, что
представленная модель КПС может рассматриваться как модель объекта защиты так и модель
средства противодействия (атаки).
2 Оптико-электронный КПС
Далее оптико-электронный КПС рассматривается как обобщение следующих объектов,
подлежащих защите:

оптико-электронные локационные системы;

оптико-электронные средства регистрации и хранения информации;

оптико-электронные системы управления и навигации;

оптико-электронные средства связи.
Обобщенная структурная модель оптико-электронного КПС представлена на рисунке 2.
Как и в случае с моделью радиоэлектронного КПС, она ориентирована на поиск проектных
решений по защите информации по каналу. В структурной модели выделены четыре подмножества
проектных решений:
1.
подмножество телевизионных, тепловизионных систем, функционирующих только
совместно со зрительным анализатором человека-оператора;
4
2.
подмножество видео- и фотоаппаратуры;
3.
подмножество систем управления техническими объектами;
4.
подмножество измерительных систем, включающее в себя лидары, локаторы,
измерительные устройства.
Следует отметить, что слой пространства в данном случае может рассматриваться и как
свободный и как волоконная линия связи. Вторичный источник излучения может и присутствовать
и отсутствовать в рассматриваемом КПС.
3 Акустоэлектронный КПС
По аналогии с радиоэлектронным и оптико-электронным КПС далее рассматривается
акустоэлектронный КПС как обобщение следующих систем:

акустические локационные системы;

акустоэлектронные средства связи.
Последние системы в основном ориентированы на решение специфических задач установления
акустических контактов в целях несанкционированного получения информации. Обобщенная
структурная модель акустоэлектронного КПС представлена на рисунке 3.
Данная модель избыточна по множеству следующих проектных решений:

активные акустические локаторы;

пассивные акустические каналы.
5
Анализ обобщенной модели КПС (См. 1.4.1) позволяет утверждать, что любой КПС,
независимо от назначения и решаемых задач должен содержать канал обработки пространственного
сигнала, носителем которого является электромагнитное или акустическое излучение, элемент,
меняющий математическую размерность обрабатываемого сигнала (перевод пространственного
распределения интенсивности в поток, зависящий от времени и элемент, меняющий физическую
размерность обрабатываемого сигнала (приемник или детектор излучения). Функциональная
модель обобщенной приемной подсистемы КПС представлена на рисунке 1.
Основными допущениями, принятыми при построении модели, являются следующие:
все сигналы, носителями которых является электромагнитное или акустическое излучения,
аддитивны;
случайные сигналы, порождаемые источниками фонового излучения в пространстве предметов,
а также шумы приемника излучения и электронного тракта КПС тоже аддитивны.
Первый вид допущений является общепринятым и используется при всех видах моделирования
при проектировании КПС.
Можно утверждать, что разработка средств защиты КПС с использованием данной модели
возможна, поскольку на входе оптической системы антенных подсистем когерентное излучение
аддитивно относительно комплексной амплитуды поля, а при некогерентном – относительно
интенсивности. При этом можно считать, что разработка КПС должна проводиться с учетом
сохранения линейности трактов КПС. Нелинейности элементов КПС следует рассматривать
отдельно по следующим причинам:
6
Тракт преобразования пространственных сигналов по определению является аналоговым.
Электромагнитное и акустическое излучения невозможно подвергнуть дискретизации и тем более
квантованию.
Нелинейности временного тракта – своеобразная «плата» за несовершенство реальной
элементной базы.
Модель КПС рассматривается в трех модификациях в соответствии с результатами анализа,
проведенного на основе определения КПС, как объекта проектирования, состоящего из двух
основных компонент:

Неизменная подсистема, обеспечивающая предварительную обработку сигнала.

Подсистема, состав и назначение которой определяет функциональное назначение КПС в
целом.
Анализ показывает, что независимо от назначения КПС, в нем обязательно присутствует тракт
преобразования пространственного сигнала, обеспечивающий предварительную обработку сигнала.
На рисунке 1 выделен тракт преобразования временного сигнала, состав которого зависит от
назначения КПС. Это подсистема обозначена тремя видами оконченных каскадов.
В
первой
модификации
(сервопривод)
оконченных
каскадов
реализуется
модельное
представление структуры КПС измерительного типа с обратной связью (это, например, подсистемы
фотоаппарата или видеокамеры, обеспечивающие автоматическую фокусировку, стабилизацию
изображения, управление экспозицией, система самонаведения с радиолокационной или оптикоэлектронной головками, и т. д.)
Во второй модификации (регистратор) реализуется модельное представление структуры
подсистемы КПС регистрирующего типа (это, например, подсистемы фотоаппарата или
видеокамеры, обеспечивающие запись изображения на какой-либо носитель информации, приборы
ультразвуковой диагностики, эхолоты, системы воздушной или космической разведки и т. п.)
В
третьей
модификации,
содержащей
декодер,
рассматривается
модель
структуры
информационной подсистемы КПС, оконечным каскадом которой является зрительный анализатор
человека-оператора (это, например, ТВ-система, тепловизор, экран радио- акустического локаторов
и т. п.)
Под регистратором подразумевается
устройство,
выполняющее
функции
отображения
результатов измерений в виде изображений (это, например, дисплей)
7
Под сервоприводом подразумевается устройство отработки измеренного параметра (в случае
следящего пеленгатора, например, это механизм поворота объектива или антенной системы.
Под декодером понимается устройство, восстанавливающее пространственный сигнал по
закону сканирования, который передается от анализатора (кодера) по шине «синхросигнал».
Краткий анализ компонент схемы, как объекта проектирования, определяющих аппаратную
функцию тракта КПС, приведен ниже. Здесь необходимо отметить, что в модели, принятой к
рассмотрению в настоящем разделе, слой пространства рассматривается в некогерентном
приближении, турбулентные свойства, прямым образом определяющие аппаратную функцию ОЭС,
в целом, не учитываются. Это связано, прежде всего, с тем, что фильтрующие свойства слоя
пространства, в основном, определяются конкретной реализацией, конкретным типом ОЭС.
Принято считать, что излучение, проходящее слой пространства можно рассматривать в одном из 3х приближений: когерентное, некогерентное и частично когерентное. Однако, при прохождении
атмосферы, когерентное излучение, падающее на входной зрачок объектива ОЭС или на апертуру
приемной антенны и при больших расстояниях до излучателя, теряет когерентность. При
проектировании ОЭС частично-когерентные свойства излучения чаще всего учитываются во
втором приближении, когда технический облик ОЭС определен, и конструктивные параметры
только уточняются. Таким образом, на этапах эскизного и технического проектирования КПС во
многих случаях приемлемо учитывать только некогерентный случай. В случае разработки лазерных
ОЭС, в которых когерентные свойства излучения принципиальным образом определяют
функционирование
объекта
проектирования,
светоэнергетический
расчет
ОЭТ
допустимо
проводить в некогерентном приближении.
В настоящем разделе ПИ рассматривается в линейном приближении. Это допущение сделано в
предположении, что подавляющее число ОЭС всегда закладываются условия, исключающие
функционирование на нелинейном участке интегральной вольтовой чувствительности ПИ.
Модельное представление ПИ с учетом многообразия его фильтрующих свойств в спектральной,
пространственной и временной области основывается в настоящей работе, исходя из следующего.
Пространственные фильтрующие свойства ПИ можно учесть в модели кодера, а временные – в
модели электронного тракта.
В качестве передаточной функции ПИ принято рассматривать:
,
где
- функция, учитывающая пространственные фильтрующие свойства ПИ;
8
- функция, учитывающая временные фильтрующие свойства ПИ.
Тенденции в развитии микроэлектронике таковы, что чувствительные площадки ПИ обладают
достаточно малыми размерами, чтобы считать, что
. Кроме того, зависимость
чувствительности ПИ от фонового потока при правильном проектировании минимизируется.
Таким образом, модель ПИ в настоящей работе рассматривается, как совокупность
спектрального и временного фильтров.
При этом временные инерционные свойства ПИ приписываются последующему аналоговому
электронному тракту ОЭС.
Спектральные свойства ОЭС в целом учитываются моделью вида:
,
где
- амплитуда сигнала на выходе ПИ;
- спектральная плотность яркости источника;
- спектральный коэффициент пропускания тракта;
- спектральный диапазон, в котором функционирует ПИ.
Благодаря введению такой модели общая передаточная функция пространственно-временного
тракта КПС описывается как нормированная безразмерная функция.
Электронный (временной) тракт КПС моделируется той или иной совокупностью аналоговых,
аналогово-цифровых
(гибридных),
цифровых
электронных
подсистем
(звеньев).
На
системотехническом уровне проектирования модель представляется, как совокупность линейных
или
нелинейных
фильтров,
модуляторов,
аналогово-цифровых
и
цифроаналоговых
преобразователей, цифровых вычислителей. В качестве конструктивных параметров моделей
линейных фильтров на системотехническом уровне рассматривается совокупность коэффициентов,
с помощью которых образуются ряды, записывающие передаточные функции линейных, либо
линеаризованных компонент тракта.
С учетом выбранного в модели КПС уровня детализации, электронный тракт рассматривается в
линейном приближении. При этом считается допустимым пренебречь шумами квантования АЦП и
ЦАП. В этом случае в качестве математической модели электронного тракта рассматривается
выражение:
9
где
- выходной сигнал;
-входной сигнал;
- аппаратная функция.
К линейным (линеаризованным) временным звеньям в разделе отнесены также элементы
сервоприводов, проводные, волоконные и кабельные линии связи.
Лекции 2 и 3. Преобразование Фурье
Вещественный интеграл Фурье
Оптические и электрические сигналы большей частью имеют непериодический характер.
Непериодическая вещественная функция
не может быть разложена в ряд Фурье. Однако ее
всегда можно считать периодической с периодом
. Пусть она удовлетворяет условиям
Дирихле, т. е. определена на всей числовой оси, имеет конечное число точек разрыва на каждом
конечном промежутке и абсолютно интегрируема
на
практике.
разложение
Тогда
посредством
предельного
, что всегда выполняется
перехода
из
получается
в так называемый вещественный (тригонометрический) интеграл Фурье
где
– текущее значение пространственной (временной) частоты
Интеграл Фурье
представляет вещественную функцию
числа косинусоидальных гармоник с амплитудой
в виде суммы бесконечного
и синусоидальных гармоник
10
с
амплитудой
при
Функцию
непрерывно
изменяющейся
называют косинус-преобразованием
частоте
Фурье,
.
– синус-
a
преобразованием Фурьесигнала s(x). В зависимости от физического смысла переменной x говорят
о непрерывном
вещественном
косинусоидальных
и
спектре
амплитуд несмещенных
синусоидальных
гармоник
вещественном спектре амплитуд
или
по
фазе
о непрерывном
которые также называют вещественной
спектральной плотностью амплитуд соответственно косинусоидальных и синусоидальных
гармоник.
Для
углубления
смысла
вещественного
интеграла
Фурье
выражение
можно
преобразовать к виду
где
Тогда говорят о непрерывных вещественных спектрах амплитуд
о непрерывных вещественных ЧВС амплитуд
косинусоидальных
гармоник.
Эти
спектры
и фаз
часто
и фаз
или
, смещенных по фазе
называют вещественной
спектральной
плотностью амплитуд и фаз. При этом частоты непрерывно заполняют действительную
полуось
,
а
функции
и
задают
закон
распределения
начальных фаз в зависимости от частоты. В результате интеграл Фурье
вещественную
функцию
в
виде
суммы
бесконечного
косинусоидальных гармоник с амплитудой
числа
амплитуд
и
представляет
смещенных
по
фазе
при непрерывно изменяющейся
частоте.
Тригонометрический
интеграл
Фурье
обычно
применяют
для
разложения
в
вещественный спектр непериодических многомерных и электрических сигналов, описываемых
четными или нечетными функциями. Для четной функции
имеет вид косинус-интеграла
Фурье из несмещенных по фазе косинусоидальных гармоник:
11
где косинус-преобразование Фурье
В случае нечетной функции имеем синус-интеграл Фурье, задающий непрерывное разложение
по не смещенным по фазе синусоидальным гармоникам:
где синус-преобразование Фурье
Формулы
сигналов
–
обычно
используют
, так как последние заданы для
вместо
–
для
временных
и могут быть продолжены на всю
действительную ось четным или нечетным образом.
Комплексный интеграл Фурье
Переход к нему осуществляется в результате предельного перехода
ряде
Фурье
(П.2.10),
так
в комплексном
что
. В результате комплексный интеграл Фурье
имеет вид:
где
называют прямым преобразованием Фурье, или фурье-образом функции
сравнения
с
и
. При этом из
следует, что для четной и нечетной функции имеют место
соответствующие равенства
12
Обычно
называют непрерывным
комплексным
спектром, или комплексной спектральной плотностью, которую графически изображают в
виде спектральной
фаз
плотности
амплитуд
для
и спектральной
.
комплексном ЧВС
При
говорят
плотности
о непрерывном
, который удобно вычислять для всех частот.
Однако отрицательные временные частоты по-прежнему не имеют физического смысла.
Выражение, восстанавливающее исходный сигнал (прообраз) по комплексной спектральной
плотности
называют обратным преобразованием Фурье. Оно показывает, что функцию
можно
представить в виде суммы бесконечного числа комплексных экспоненциальных гармоник с
амплитудой
и
непрерывно изменяющейся частотой
. По
аналогии с комплексным рядом Фурье говорят о разложении сигнала на выходе транспаранта
в виде непрерывной суммы дифрагировавших вверх и вниз плоских волн. При этом переход к
комплексному интегралу Фурье является также естественным физическим обобщением разложения
по плоским волнам комплексного непериодического сигнала, учитывающего как амплитудную, так
и фазовую модуляцию объекта.
В
случае
вещественной
функции
интеграл
обобщением тригонометрического интеграла Фурье
Фурье
служит
. Действительно, из
комплексным
имеем
Так как для вещественной функции первый внутренний интеграл является чет-ной, а второй
внутренний интеграл – нечетной функцией от
второе равно нулю. Тогда с необходимостью
, то первое слагаемое в
переходит в
удваивается, а
.
13
С помощью прямого преобразование Фурье
комплексного
ряда
Фурье,
если
импульса
удобно вычислять коэффициенты
известен
фурье-образ
финитного
, порождающего периодическую функцию
Рассматривая его для определенности на промежутке
в оставшихся точках действительной оси, с учетом
Таким образом, коэффициенты
то
и доопределяя нулем
получим
с точностью до множителя
комплексной спектральной плотности
.
в точках
совпадают с ординатами
. При этом если
,
.
Многомерные интегралы и преобразования Фурье
По аналогии с многомерными рядами Фурье для упрощения математических выкладок
многомерные
интегралы
Фурье
также
удобнее
рассматривать
в
комплексной
форме.
Непериодическая функция двух переменных может быть представлена двумерным комплексным
интегралом Фурье:
Прямое двумерное преобразование Фурье имеет вид
или
где
На
практике
называют двумерным
двумерный
непрерывным
фурье-образ
комплексным
ПЧС,
или двумерной
комплексной
спектральной плотностью, которую графически изображают в виде двумерной спектральной
14
плотности
амплитуд и
.
фаз
,
пространстве
и двумерной
рассматриваемых
в
спектральной
двумерном
плотности
частотном
.
Для двумерного обратного преобразования Фурье получим
или
Прямое и обратное преобразование Фурье для функции трех переменных в общем виде можно
записать аналогичным образом:
Основные свойства преобразования Фурье
Фурье-образ
входного сигнала s(x, у) обладает рядом полезных
свойств, которые широко используют при решении практических задач.
1. Линейность является следствием линейности интеграла
2. Прямая теорема смещения (запаздывания)
3. Обратная теорема смещения
4. Теорема подобия (изменение масштаба)
т. е. растяжение
или сжатие
функции в координатной
области приводит соответственно к сжатию или растяжению ПЧС. В частности, при
.
15
Иначе говоря, центрально-симметричное преобразование входного сигнала обусловливает
соответствующее преобразование ПЧС, что естественным образом осуществляется в ОИзС.
5. Эрмитова симметрия. Фурье-образ комплексно-сопряженной функции
называют
если
функцией, эрмитово-сопряженной по
вещественна,
то
ее
отношению
к
комплексный
ПЧС
.
Откуда,
удовлетворяет
соотношению эрмитовой симметрии
или
т. е. комплексное сопряжение и отражение относительно начала координат не изменяют
ПЧС
вещественной функции. Иначе говоря, из
следует, что в силу эрмитовой симметрии вещественная часть ПЧС и амплитуда ПЧС
оказываются центрально-симметричными функциями
а мнимая часть и фаза – антисимметричными функциями
Для вещественной центрально-симметричной функции эрмитова симметрия означает
или
т. е. ПЧС также является вещественной центрально-симметричной функцией. Для
вещественной антисимметричной функции
или
т. e. спектр оказывается чисто мнимой антисимметричной функцией.
В случае одномерного преобразования Фурье центральная симметрия и антисимметрия
трансформируются соответственно в четность и нечетность функции одного переменного.
Преобразование Фурье от координатно разделяющихся сигналов
16
т. е. фурье-образ функции с разделяющимися переменными равен произведе-нию фурьеобразов.
Преобразование Фурье от осесимметричных сигналов. Функция s(r) с осевой симметрией
часто встречается на практике, так как большинство оптических ПЭ представляют собой фигуры
вращения. Так как в полярной системе координат
то скалярное произведение
примет вид
где
Тогда для двумерного преобразования Фурье
получим
Внутренний интеграл в фигурных скобках после замены
функцию
Бесселя
1-го
выражается через
рода нулевого порядка
Тогда окончательно двумерное преобразование Фурье для функции с осевой симметрией
можно представить в виде
Выражение
называют преобразованием
Фурье–Бесселя,
или преобразованием
Ганкеля нулевого порядка.
Обратное преобразование Фурье–Бесселя от оceсимметричной спектральной плотности
имеет вид
8. Свойство взаимности. Повторное применение прямого преобразования Фурье к фурьеобразу восстанавливает центрально-симметричный преобразованный исходный сигнал
17
9. Редукция преобразования Фурье к меньшему числу переменных. Пусть в пространстве
двух переменных
Используя
задана функция
, в явном виде не зависящая от
.
, найдем прямое преобразование Фурье такого одномерного сигнала
и обратное
Выражение
пространстве
показывает,
что
одномерный
сигнал
s(x)
имеет одномерный спектр в одномерном пространстве
в
двумерном
.
В общем случае фурье-образ функции меньшего числа переменных, которая рассматривается в
пространстве большего числа переменных, равен произведению фурье-образа исходной функции
на ?-функцию, соответствующую недостающим пространственным и временным частотам.
Например:
и обратно
10. Преобразование Фурье от производной входного сигнала. Для простоты рассмотрим
одномерный сигнал s(х). Тогда если существует производная s'(x), то
11. Преобразование Фурье от интеграла. Пусть существует интеграл с переменным верхним
пределом от входного сигнала. Тогда его фурье-образ имеет вид
12. Дельта - функция
В качестве канонического типового пространственного сигнала в РЭС, ОЭС, АЭС, допустимо
рассмотреть пространственный модулятор на выходе непрозрачного транспаранта с квадратным
отверстием при освещении его плоской, нормально падающей волной электромагнитного, либо
акустического излучения с единичной амплитудой. Такой сигнал задается амплитудным
коэффициентом пропускания
18
Графически эта функция имеет вид куба и представляет собой произведение двух одномерных
канонических типовых сигналов в виде квадратов
(рис. 2)
Рис. 2
Последовательность выходных сигналов с rect-образными коэффициентами пропускания и входной
амплитудой
имеет вид:
Выражение задает двумерную последовательность прямоугольных параллелепипедов с
уменьшающимся прямоугольным основанием размерами
и увеличивающейся высотой
.В
частности, одномерная последовательность соответствующих прямоугольных импульсов:
приведена на рис.3.
Рис. 3
19
Очевидно, что при
ширина прямоугольника
, а высота
, так что выполняется
первая часть определения
Так как объем двумерного прямоугольного параллелепипеда и площадь одномерного
прямоугольника равны единице
, то
Лекция 4 Интегральные операции и их Фурье – образы.
4.1. Свёртка
Интегральная операция взаимной свертки определяет способ построения новой функции
s( x, y)  Sv12 ( x, y) по двум исходным функциям s1 ( x, y) и s2 ( x, y) , так что
Sv12 ( x, y)  s1  s2 ( x, y) 

  s (u, v ) s ( x  u, y  v)du d v,

1
2
(П.4.1)
где u, v – переменные интегрирования; x , y – аргументы взаимной свертки, которые в
геометрическом
смысле
характеризуют
s2 ( x  u, y  v)  s2[(u  x),  (v  y)]
s2 (u, v )
некоторый
получается
из
сдвиг.
А
именно
функция
центрально-симметричной
функции
(отраженной относительно начала координат) в результате сдвига на x единиц вдоль
оси и и на y единиц вдоль оси v . Направление сдвига зависит от знака аргументов x и y .
Геометрически значение взаимной сверки
Sv12 ( x0 , y0 ) в точке ( x0 , y0 ) равно объему,
ограниченному поверхностью, которая получается в результате перемножения функций
s1 (u, v )
и
s2 ( x0  u, y0 v ) . В одномерном случае

Sv12 ( x)  s1  s2 ( x)   s1 (u)s2 ( x  u)du

взаимная свертка Sv12 ( x0 ) определяется площадью под графиком
(П.4.2)
s1 (u) s2 ( x0  u) .
В случае двух одинаковых функций говорят просто о свертке
20
SvS ( x, y)  s  s( x, y) 

s(u, v )s( x  u, y  v )du d v,


которую иногда называют автосверткой ASvs ( x, y) . Взаимная свертка является линейной
коммутативной
Sv12 ( x, y)  s1  s2  s2  s1  Sv12 ( x, y) 

 s (u, v) s ( x  u, y  v)du d v
2

1
(П.4.3)
и ассоциативной операцией
s1  s2  s3 ( x, y)  [(s1  s2 )  s3 ]( x, y)  [s1  (s2  s3 )]( x, y),
Sv123 ( x, y)  [Sv12  s]( x, y)  [ s1  Sv23 ] ( x, y).
или
В результате замены переменных u  x/2  u, v  y/2  v взаимную свертку (П.4.1) и (П.4.3)
можно представить в симметризованном виде
SV12 ( x, y) 

 s ( x/2  u, y/2  v ) s ( x/2  u, y/2  v )du d v 
1
1

  s ( x/2  u, y/2  v ) s ( x/2  u, y/2  v )du d v.
1

В частности, если

s1 ( x, y)
и
2
s2 ( x, y)
финитные функции, т.e. отличные от нуля только внутри
некоторых прямоугольников,
s1 ( x, y)  0, a1  x  b1, c1  y  d1,
s2 ( x, y)  0, a2  x  b2 , c2  y  d2 ,
то взаимная свертка также является финитной функцией с интервалами финитности
a1  a2  x  b1  b2 , c1  c2  y  d1  d2 , Sv12 ( x, y)  0.
Происхождение термина «свертка» можно объяснить с помощью дискретного аналога (П.4.2),
который для двух бесконечномерных векторов
s1  {..., s1K , ...} и s2  {..., s2к , ...} имеет вид


к 
к 
Sv12 (n)   s2к s2(nк )   s2к s1( nк )  Sv 21 (n) .
(П.4.4)
Если нанести на бумажную полоску числа 0, 1, 2, ..., к, ..., п – к, ..., n – 2, п – 1 и перегнуть
(свернуть) полоску посередине, то числа к и n – к наложатся друг на друга и определят
21
соответствующие сомножители в (П.4.4). Это совпадение при свертывании полости и лежит в
основе возникновения термина.
4.1.1. Преобразование Фурье от свёртки
Фурье-образ взаимной свертки
Sv12 (vx , v y )  F {Sv12 ( x, y )}  F {s1  s2 ( x, y )} 




 

   s1 (u, v ) s2 ( x  u, y  v ) du d v  
 

(П.4.5)
 exp[i 2π (vx x  v y y )] dx d y
найдем, если сделаем замену переменной
x  u  u , y  v  v и поменяем порядок
интегрирования. Тогда
Sv12 (vx , v y ) 


s (u, v )exp[i 2π (vxu  v yv )] du d v 


1

 s (u, v)exp[i2π (vxu  v yv)] du d v 

2
(П.4.5)
 s1 (vx , v y ) s2 (vx , v y ).
т.е. фурье-образ взаимной свертки равен произведению фурье-образов свертываемых функций.
Для свертки двух одинаковых функций (автосвертки) имеем
SvS (vx , v y )  ASv(vx , v y )  [ s (vx , v y )]2 .
4.1.2. Преобразование Фурье от произведения двух функций
Пусть s( x, y)  s1 ( x, y) s2 ( x, y) . Для нахождения фурье-образа подставим в (П.3.14) выражение
s1 ( x, y) в виде обратного преобразования Фурье (П.3.15), откуда
s (vx , v y )  F {s1 s2} 




 
 
 

s1 (vx , vy )exp[i 2π(xvx  yvy )]dvx dvy  

 s2 ( x, y )exp[i 2π(vx x  v y y )] dx dy.
Меняя порядок интегрирования, получим
22


s (vx , v y )   s1(vx , vy ){
 s ( x, y) 


2
 exp[i 2π((vx  vx ) x  (v y  vy ) y )]dx dy}dvx dvy 


(П.4.6)
 s (vx , vy ) s (vx  vx , v y  vy )dvx dvy 
2
1

 s1  s1 (vx , v y )  SV12 (vx , v y ).
Таким образом, фурье-образ произведения двух функций равен взаимной свертке их фурьеобразов.
4.2. Ковариация
Интегральная операция взаимной ковариации, так же как и взаимная свертка, определяет
способ построения новой функции
s2 ( x, y),
s( x, y)  Kv12 ( x, y)
по двум исходным функциям
s1 ( x, y)
и
которую называют взаимной ковариационной функцией, и имеет вид

Kv12 ( x, y)  s1 ä s2 ( x, y) 
 s (u, v)s

*
1
2
(u  x, v  y)du d v,
(П.4.7)
где u, v – переменные интегрирования. Аргументы x , y взаимной ковариационной функции
характеризуют сдвиг комплексно-сопряженной функции s2* (u, v ) , направление которого зависит от
их знака. В случае двух одинаковых функций говорят просто о ковариационной функции
Kvs ( x, y)  s ä s( x, y) 

 s(u, v)s

*
( x  u, y  v )du d v,
которую иногда называют автоковариационной функцией AKvS ( x, y).
Так как в результате замены u  x  u, v  y  v
Kv12 ( x, y) 

 s (u, v )s

*
2
1
(u  x, v  y)du d v 
*
 

*
   s1 (u, v ) s2* (u  x, v  y )du d v   Kv12
( x, v ),
 

то взаимная ковариация не является коммутативной операцией. При
этом
(П.4.8)
взаимная
ковариационная функция Kv12 обладает эрмитовой симметрией (см. П.3.23) относительно
перестановки индексов (коварьируемых функций). Иначе говоря, перестановка индексов
эквивалентна операции “эрмитовой симметрии”. Одновременно из (П.4.8) следует, что
23
ковариационная (автоковариационная) функция по определению является эрмитово симметричной
KvS ( x, y)  aкv exp[iкv ( x, y)] 
 aкv ( x,  y)exp[iкv ( x,  y)]  Kv*S ( x,  y)
(П. 4.9)
и обладает всеми свойствами такой функции. Ее фурье-образ KvS (vx , v y ) всегда является
вещественной функцией. Кроме того, вещественная часть и модуль являются центрально симметричными функциями
Re KvS ( x, y)  Re KvS ( x,  y) ,
aкv ( x, y)  KvS ( x, y)  Kv*S ( x,  y)  aKV ( x,  y),
а мнимая часть и фаза – антисимметричными функциями
Im KvS ( x, y)   Im KvS ( x,  y) ,
кv ( x, y)  arg KvS ( x, y)   arg KvS ( x,  y) 
 кv ( x,  y).


Для ковариационной функции одной переменной Re KvS ( x) и aKV ( x) оказываются четными,


a Im KvS ( x) и KV ( x) – нечетными функциями.
Вещественная ковариационная функция двух переменных KvS ( x, y )  Re KvS   KvS ( x,  y)
обладает центральной симметрией, а вещественная ковариационная функция одной переменной
KvS ( x)  Re KvS   KvS ( x) является четной функцией.
В результате замены u  u  x / 2, v  v  y / 2 взаимная ковариационная функция сводится к
симметризованному виду
KV12 ( x, y) 

 s (u  x / 2, v  y / 2)s

*
1
2
(u  x / 2, v  y / 2) du d v .
(П.4.10)
4.2.1. Преобразование Фурье от ковариации
Взаимную ковариационную функцию (П.4.7) можно свести к взаимной свертке (П.4.1), так что
24
Kv12 ( x, y)  s1 ä s2 ( x, y) 



 s (u, v) s
*
1
2
(u  x, v  y) du d v 
  s (u, v )s [( x  u),  ( y  v )] du d v 

*
1
(П.4.11)
2
 ( x, y).
 s1 ( x, y )  s2* ( x,  y )  s1  s2 ( x, y )  Sv12
В итоге Kv12 двух функций
s1
совпадает с исходной функцией
и
s2
 двух других функций
равна Sv12
s1 и s2 , из которых одна
s1( x, y)  s1 ( x, y), а в качестве второй s2 ( x, y)  s2* ( x,  y)
рассматривается функция, эрмитово сопряженная функции
s2 . Тогда (П.4.11) позволяет перенести
все свойства взаимной свертки на взаимную ковариационную функцию.
В частности, фурье-образ взаимной ковариационной функции с учетом (П.4.5), (П.3.21), и
(П.3.22) имеет вид
Kv12 (vx , vy )  F{s1 ( x, y)  s2* ( x,  y)} 
 s1 (vx , vy ) s2* (vx , vy ),
т. е. равен произведению фурье-образа первой функции на комплексно-сопряженный фурьеобраз второй функции. Откуда для фурье-образа ковариационной (автоковариационной) функции
получим
2
Kvs (vx , v y )  AKv(vx , v y )  s (vx , v y ) .
Кроме того, из (П.4.6) с учетом (П.4.11) найдем
F{s1 ( x, y) s2* ( x,  y)}  s1 (vx , vy )  s2* (vx , vy )  Kv12 (vx , vy ),
F { s1 ( x, y ) }  s (vx , v y )  s * (vx , v y )  Kvs (vx , v y ).
2
(П.4.12)
4.3. Корреляция
4.3.1. Детерминированные функции
В общем случае среднее значение детерминированной функции s(u ) определяется по теореме
о среднем в области финитности D, так что
sср  [1/ Ë ( D)]  s(u ) du
(u  D),
D
25
где
Ë (D) - площадь области финитности. Тогда для финитной функции математическое
ожидание является также финитной, определяемой с помощью характеристической функции
D
области, так что
ms  sсрD ( x, y);
D 
1 ( x, y)  D,
0 ( x, y)  D.
В частности для одномерной функции, отличной от нуля на (a,b)
 1 b



ab
ms  
s( x) dx  rect  x 
/(b  a) 


2 


ba a

(П.4.13)
Тогда, вводя в рассмотрение центрированные функции
so1
 s1  ms1
so2  s2  ms 2 ,
и
взаимную ковариацию (П.4.7) можно представить в виде
Kv12 ( x, y)  s1  s2 ( x, y)  s1 ä s2 ( x, y) 




  [s

o
1
  [s

o
1
(u, v )  ms1 ][ s1* (u  x, v  y)  ms 2 ] du d v =
o
(П.4.14)
(u, v ) s2* (u  x, v  y) du d v  ms1ms 2  Kr12  ms1ms 2
o
В случае двух одинаковых ценрированных функций говорят о корреляционной функции
Krs ( x, y)  s ä s( x, y) 

s


o
o
(u, v )s * ( x  u, y  v ) du d v = Kvs ( x, y)  sä s ,
o
o
o
которую часто называют автокорреляционной функцией
o
s ä s  AKrs ( x, y)  AKvs ( x, y)  ms2  AKvs ( x, y)  sä s .
o
o
(П.4.15)
Как следует из (П.4.15), корреляционная и ковариационная функции отличаются друг от друга
на постоянную величину. Поэтому все свойства ковариационной функции автоматически
переносятся на корреляционную функцию. В результате по двум центрированным функциям
строится новая функция, называемая взаимной корреляционной функцией
26
o
Kr12 ( x, y)  s1 * s2 ( x, y)  Kv12 ( x, y)  s1 ä s2 ( x, y)  \

 s


o
1
 Kv12 ( x, y )  [ s1
o
o
o
(u, v ) s2* (u  x, v  y) du d v =
o
(П.4.14)
ä ms 2 ( x, y)  ms1 ä so2 ( x, y)  ms1ms 2 ( x, y)]
Лекция 5 Выбор частоты дискретизации с помощью функций отсчетов.
Теорема Котельникова: произвольный сигнал, непрерывный спектр которого не содержит
частот выше vmax, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого
сигнала, взятые через равные интервалы
времени
Δt =1/(2vmax). Теорема Котельникова
устанавливает принципиальную возможность полного восстановления детерминированного сигнала
с ограниченным спектром и указывает предельное значение шага (интервала) дискретизации, при
котором такое восстановление возможно.
Доказательство теоремы. Пусть функция x(t ) , описывающая дискредитируемый сигнал,
имеет ограниченную спектральную плотность S(v), причем
S(v)=0 при |v| > vmax
где в  наибольшая частота спектра
(1)
x(t ) . Используя обратное преобразование Фурье с
учетом соотношения (1), запишем:
𝑣
x(t)=∫−𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑆(𝑣)𝑒 2𝜋𝑗𝑣𝑡 𝑑𝑡
(2)
𝑚𝑎𝑥
Для любых моментов времени, например t = kΔt = 1/(2vmax)., где k  любое целое число,
функция x(t ) принимает значения
𝑘𝜋𝑗𝑣
𝑣
𝑡
𝑥(𝑘𝛥𝑡) = ∫−𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑆(𝑣)𝑒 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑡
(3)
𝑚𝑎𝑥
Рассматривая спектральную плотность
S(v) как функцию частоты с периодом 4πvmax,
и
периодически продолжая ее с этим периодом, разложим S(v) в ряд Фурье на интервале частот
[- vmax, vmax]:
−𝑗𝑘𝑣/𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑆(𝑣) = ∑∞
𝑘=−∞ 𝐶𝑘 𝑒
(4)
где коэффициенты разложения равны:
1
𝐶𝑘 = 2𝜋𝑣
𝑚𝑎𝑥
𝑣𝑚𝑎𝑥
∫−𝑣
𝑚𝑎𝑥
𝑆(𝑣) 𝑒
−
𝑘𝜋𝑗𝑣
𝑡
𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑑𝑣
(5)
Сравнивая (3) и (5), видим, что Ck = x(- kΔt), откуда определяем:
27
Ck = (1/2vmax) x(- kΔt)
(6)
Выразим S ( j ) через отсчеты исходной функции:
𝑆(𝑣) =
1
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥
2𝜋𝑗𝑘∆𝑡
∑∞
𝑘=−∞ 𝑥(−𝑘∆𝑡)𝑒
(7)
Поскольку суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным числам k ,
знак перед k в выражении (7) можно изменить на обратный:
𝑆(𝑣) =
1
2𝜋𝑗𝑘∆𝑡
∑∞
𝑘=−∞ 𝑥(−𝑘∆𝑡)𝑒
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥
Подставив (8)
(8)
в выражение (2), определим значения исходной функции в любой момент
времени:
𝑥(𝑡) =
𝑣𝑚𝑎𝑥
1
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥
∫–𝑣
𝑚𝑎𝑥
2𝜋𝑗𝑘∆𝑡 2𝜋𝑗𝑡
{ ∑∞
}𝑒
𝑑𝑣
𝑘=−∞ 𝑥(−𝑘∆𝑡)𝑒
(9)
Учитывая суммирование по положительным и отрицательным номерам k? сходимость ряда
Фурье, изменим порядок суммирования и интегрирования:
1
𝑥(𝑡) =
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑣
𝑚𝑎𝑥
∑∞
𝑒 2𝜋𝑗(𝑡−𝑘∆𝑡) 𝑑𝑣
𝑘=−∞ 𝑥(𝑘∆𝑡) ∫−𝑣
(10)
𝑚𝑎𝑥
В полученном выражении вычислим интеграл:
𝑣𝑚𝑎𝑥
∫−𝑣
𝑚𝑎𝑥
𝑒 2𝜋𝑗(𝑡−𝑘∆𝑡) 𝑑𝑣 =
𝑒 2𝜋𝑗(𝑡−𝑘∆𝑡)
2(𝑡−𝑘∆𝑡)
−𝑣
| −𝑣𝑚𝑎𝑥
=
𝑚𝑎𝑥
2 sin(2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
(11)
Подставив результат вычисления интеграла в (10) окончательно получим:
𝑥(𝑡) =
1
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥
∑∞
𝑘=−∞ 𝑥(𝑘∆𝑡)
sin(2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
(12)
Итак, непрерывная функция с ограниченным спектром может быть представлена множеством
своих значений (отсчетов), взятыми в моменты времени 𝑡 = 𝑘∆𝑡 = 𝑘 2𝑣
1
𝑚𝑎𝑥
.
Выражение (12) представляет собой ряд Котельникова, в котором роль коэффициентов
выполняют отсчеты функции x(k t ) , а базисными являются функции вида:
𝜑𝑘 (𝑡) =
sin(2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
(13)
Базисные функции k (t ) называют функциями отсчетов.
Свойства функций отсчетов.
28
1. Так как при любых целых числах n и k справедливы соотношения 𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡 − 𝑘∆𝑡) =
(𝑛 − 𝑘)𝜋, то очевидно:
sin(2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥 (𝑡−𝑘∆𝑡)
1 при 𝑡=𝑘∆𝑡
={ 0 при 𝑡=𝑛∆𝑡
(14)
Каждая из функций k (t ) имеет неограниченную протяженность во времени и достигает своего
наибольшего значения, равного 1,
в моменты времени t  k t . Относительно этого момента
времени функция k (t ) симметрична. В любые другие моменты времени, кратные t , функция
k (t ) обращается в нуль. Общий вид функций отсчетов приведен на рис 2.1. Благодаря свойству
(14) сигналы x(t ) с ограниченным спектром могут быть представлены своими дискретными
отсчетами без потери информации.
2. Функции отсчетов ортогональны с весом 1 на бесконечно большом интервале времени:
1, k  l

  (t ) (t )dt  0, k  l
k
l
.
(15)

Каждую функцию отсчета можно рассматривать как реакцию (отклик) идеального фильтра
нижних частот с частотой среза f c  в 2  на дельта-импульс, приходящий в момент времени
t  k t и имеющий площадь, равную x(k t ) .
Практические аспекты использования теоремы Котельникова. Важная особенность теоремы
Котельникова состоит в ее конструктивном характере: она не только указывает на возможность
разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного
сигнала, заданного своими дискретными значениями (отсчетами). Очевидно, с ее помощью может
быть выбран оптимальный шаг дискретизации реального сигнала и оценена возникающая при этом
погрешность дискретизации. Однако использование теоремы как точного утверждения по
отношению к реальным сигналам наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Во-первых,
реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает неограниченным
спектром. Однако в силу реальных свойств источников сигналов и ограниченности полосы
пропускания реальных приборов и систем спектр сигнала с той или иной степенью точности можно
считать ограниченным некоторой предельной
значение частоты
f гр  гр 2
определяют
частотой.
Чаще всего предельное (граничное)
на основе энергетического критерия, согласно
которому практическую ширину спектра сигнала выбирают так, чтобы в ней была сосредоточена
подавляющая часть энергии сигнала. Для этого используют равенство Парсеваля, позволяющее
определить энергию сигнала Eс либо через функцию x(t ) , описывающую реальный сигнал
длительностью T , либо через модуль ее спектральной плотности S ( ) :
29

Eс 


Tп
x(t ) dt   x(t ) dt 
2
2
0
1

S ( )

2
d .
(16)
0
Практическая ширина спектра сигнала, сосредоточенная в диапазоне частот от 0 до некоторого
значения  гр , определяется из соотношения:
1

 гр

0

2
S ( ) d   S ( ) d .
 0
2
(17)
Здесь  гр – граничная частота, определяющая верхнее значение спектра сигнала;  –
коэффициент, достаточно близкий к 1 (на практике его значение выбирают в интервале от 0.9 до
0,998 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала). Значение   0, 99
означает, что в полосе частот от 0 до  гр содержится 99 % энергии сигнала. Значение граничной
частоты находят, решая трансцендентное уравнение (17).
Ограничение спектра реального сигнала, естественно, приводит к искажению сигнала. Таким
образом, восстановление ограниченного во времени сигнала по отсчетам в соответствии с теоремой
Котельникова при условии принудительного ограничения спектра сигнала возможно только
приближенно. Точность такого приближения может быть оценена как абсолютным значением
погрешности,
называемой
энергией
E 
погрешности:
1

 
S ( j ) d 
2
,
гр
(18)
E
1
так и относительной погрешностью:  
, где Eс 
Eс


 S ( j )
2
d .
(19)
0
Погрешность дискретизации возникает не только за счет принудительного ограничения
спектра, но и за счет конечного числа отсчетов на интервале длительности сигнала T  T2  T1 ,
которых в соответствии с теоремой Котельникова будет
2Tf гр .
Эта составляющая является
следствием пренебрежения вкладом бесконечного числа функций отсчетов, соответствующих
выборкам за пределами интервала T . Для реальных сигналов теорему Котельникова следует
рассматривать как приближенную:
x(t ) 
T2 t

k T1 t
x(k t )
sin гр (t  k t )
гр (t  k t )
.
(20)
30
Несмотря на вышеперечисленные трудности, теорема Котельникова ( в зарубежных источниках
– теорема Найквиста) широко используется в процессе преобразования аналоговых сигналов в
цифровую форму.
Лекция 6. Дискретное и быстрое преобразования Фурье.
1 Преобразование Фурье[
Одним из спектральных методов, используемых при описании преобразования, обнаружения и
распознавания сигналов, является преобразование Фурье, которое применяется в следующих
основных направлениях:

Вычисление свертки, взаимной ковариации и корреляции в частотной области.

Гармонический спектральный анализ.
В
основе
гармонического
спектрального
анализа
сигналов
лежит интегральное
преобразование и ряды Фурье.
Базис пространства может быть образован любой ортогональной системой функций.
Наибольшее
применение
в
спектральном
анализе
получила
система
комплексных
экспоненциальных функций. Проекции сигнала на данный базис определяются выражением:
где
При
а
известных
частотный аргумент векторов.
выражениях
совокупностью коэффициентов
базисных
функций
сигнал
однозначно
определяется
и может быть абсолютно точно восстановлен (реконструирован)
по этим коэффициентам:
Уравнения
Фурье сигнала
называют
соответственно прямым и обратным
преобразованием
Таким образом, любая функция гильбертова пространства может быть
представлена в виде комплексного ряда Фурье, который называют спектральным представлением
сигнала или его Фурье-образом.
На практике ряд Фурье ограничивается определенным количеством членов
числа членов ряда значением
означает аппроксимацию бесконечномерного сигнала
Ограничение
мерной
системой базисных функций спектра сигнала с определенной погрешностью в зависимости от
31
фактического спектра сигнала. Таким образом, ряд Фурье - это разложение сигнала
пространства
ортонормированных гармонических функций
частоты, кратным частоте первой гармоники
базис
пространства
по базису
с изменением
Отсюда следует, что ортонормированный
построен
функции
с
из
помощью
одной
масштабного
преобразования
независимой переменной так, что
Разложение
в
ряд
Фурье
произвольной
принадлежит этому же пространству
функции
корректно,
если
функция
т.е. квадратично интегрируема:
при этом она может быть периодически расширена и определена на всей временной оси
пространства
так, что
С позиций анализа произвольных сигналов и функций в частотной области и точного
восстановления после преобразований можно отметить ряд недостатков разложения сигналов в
ряды Фурье, которые привели к появлению оконного преобразования Фурье и стимулировали
развитие вейвлетного преобразования. Основные из них:

Ограниченная информативность анализа нестационарных сигналов и практически
полное отсутствие возможностей анализа их особенностей (сингулярностей), т.к. в частотной
области происходит «размазывание» особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) по
всему частотному диапазону спектра.

Гармонические базисные функции разложения не способны в принципе
отображать перепады сигналов с бесконечной крутизной типа прямоугольных импульсов, т.к. для
этого требуется бесконечно большое число членов ряда. При ограничении числа членов ряда Фурье
в окрестностях скачков и разрывов восстановленного сигнала возникают осцилляции (явление
Гиббса).

Преобразование Фурье отображает глобальные сведения о частотах исследуемого
сигнала и не дает представления о локальных свойствах сигнала при быстрых временных
изменения его спектрального состава. Так, например, преобразование Фурье не различает сигнал с
суммой двух синусоид (стационарный сигнал), от сигнала с двумя последовательно следующими
синусоидами с теми же частотами (нестационарный сигнал), т.к. спектральные коэффициенты
вычисляются интегрированием по всему интервалу задания сигнала. Преобразование Фурье в
32
принципе не имеет возможности анализировать частотные характеристики сигнала в произвольные
моменты времени.
1.1 Оконное преобразование Фурье
Частичным выходом из этой ситуации является оконное преобразование Фурье с движущейся
по сигналу оконной функцией, имеющей компактный носитель. Временной интервал сигнала
при большой его длительности разделяется на подынтервалы, и преобразование Фурье выполняется
последовательно для каждого подынтервала в отдельности. Тем самым осуществляется переход к
частотно-временному (частотно-координатному) представлению сигналов, при этом в пределах
каждого подынтервала сигнал "считается" стационарным. Результатом оконного преобразования
является семейство спектров, которым отображается изменение спектра сигнала по интервалам
сдвига окна преобразования. Это в какой-то мере позволяет выделять на координатной оси и
анализировать особенности нестационарных сигналов. Размер носителя оконной функции
обычно устанавливается соизмеримым с интервалом стационарности сигнала. По существу, таким
преобразованием один нелокализованный базис разбивается на определенное количество базисов,
локализованных в пределах функции
что позволяет представлять результат преобразования в
виде функции двух переменных - частоты и временного положения окна. При этом размер
стационарности сигнала необходимо знать априори.[2]
Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:
где
Функция
представляет
координате , где параметром
равномерным шагом значения
собой функцию [3] окна
сдвига
так
и
по
задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с
принимаются равными
В качестве окна преобразования
может использоваться как простейшее прямоугольное окно
границами ,
преобразования
специальные
весовые
окна
(Бартлетта,
в пределах окна и
Гаусса,
за его
Кайзера и
пр.),
обеспечивающие малые искажения спектра за счет граничных условий вырезки оконных отрезков
сигналов и нейтрализующие явление Гиббса. При этом для каждого положения окна на временной
оси сигнала вычисляется свой комплексный спектр. Эффективная ширина оконной функции
сохраняется постоянной по всему интервалу сигнала. Координатная разрешающая способность
оконного
преобразования определяется
шириной
оконной
функции
и
обратно
пропорциональна частотной разрешающей способности. При ширине оконной функции, равной
33
частотная разрешающая способность определяется значением
частотного разрешения
При требуемой величине
соответственно ширина оконной функции должна быть равна
Для оконного преобразования Фурье эти ограничения являютсяпринципиальными.
1.2 Частотно-временное оконное преобразование Фурье
Применяется для анализа нестационарных сигналов, если их частотный состав изменяется во
времени. Функция оконного преобразования может быть переведена в трехмерный вариант с
независимыми переменными и по времени, и по частоте:
Оконное преобразование позволяет получать информативные особенности сигнала и по
времени, и по частоте. Разрешающая способность локализации определяется принципом
неопределенности Гейзенберга, который гласит, что невозможно получить произвольно точное
частотно-временное представление сигнала, то есть нельзя определить для какого-то конкретного
момента времени, какие спектральные компоненты присутствуют в сигнале. Чем уже окно, тем
лучше временное разрешение, но хуже частотное, и наоборот. Кроме того, чем уже окно, тем более
справедливыми становятся наши предположения о стационарности сигнала в пределах окна.
1.3 Эффекты, возникающие при вычислении на ЭВМ дискретного преобразования Фурье
При обработке данных с помощью ЭВМ значения функции обычно заданы на дискретном
множестве равноотстоящих точек. Интервал дискретизации (квантования)
шагу разностной сетки, если значения функции
равен, например,
в точках
получены с помощью численного интегрирования уравнений, определяющих
ситуации
равно
характерному
времени
В другой
срабатыванияаналого-цифрового
преобразователя (АЦП) сигналов на входе системы сбора данных и т.д.
В дискретном случае интегралы в выражениях для коэффициентов рядов следует заменить
суммами.
Вычисления
сильно
упрощаются
тем
обстоятельством,
что
Фурье-гармоники
оказываются ортогональными и на дискретном множестве точек.
При вычислении дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с помощью ЭВМ всегда имеют
дело с массивом дискретных отсчётов (конечной выборкой) - так, в рассматриваемом случае
интервал определения
разбит на
частей. При этом вынужденно предполагают, что
этот массив содержит один или несколько периодов обрабатываемого сигнала
.
34
Конечность интервала выборки (временное ограничение) и дискретизация непрерывного
сигнала приводят к неожиданным эффектам, рассмотренным ниже.
1.3.1 Влияние конечности выборки. Эффект «близнецов»
Ограничение по времени, возникающее при обработке конечного массива отсчётов сигнала
длиной
эквивалентно умножению сигнала
на прямоугольный импульс:
Рис. 1.1 Фурье - гармоника
Поэтому вместо
исходной
функции
мы наблюдаем функцию
.
В
соответствии с теоремой о свёртке преобразование Фурье этой функции есть:
т.е. "обрезание" по времени сигнала эквивалентно свёртке его Фурье-преобразования с весовой
функцией
Это означает, что каждый резкий пик на какой-либо частоте
Фурье-спектре функции
"размывается" в функцию
Её "ширина" - расстояние до первого нуля – порядка
наблюдения сигнала
функций в функцию
(см.Рис.1) в спектре
в
.
. Таким образом, чем больше время
, тем выше разрешающая способность Фурье-обработки. Превращение
из-за конечности выборки означает также уменьшение "энергии" Фурье-
гармоник в центральном пике за счёт перетекания её в боковые максимумы функции (различные
английские обозначения этого эффекта - leakage, ripples, side lobes).
35
1.3.2 Дискретизация сигнала. Эффект «духов»
При цифровой обработке данных вместо непрерывного сигнала приходится иметь дело с
дискретизированной функцией, полученной квантованием сигнала с характерным шагом
.
Существует связь между разрешением по времени и величиной допустимого частотного диапазона:
при дискретизации с шагом
можно "разрешить" функции, на минимальном периоде которых
укладываются хотя бы два временных отсчёта (грубо говоря, необходимо определить значение
функции хотя бы в её минимуме и максимуме). Иными словами, при квантовании с шагом
предельная
есть
допустимая
частота
(частота
Конечный
размер
Найквиста
выборки
приводит,
Котельникова)
-
соответственно,
к
появлению минимально возможной частоты
Дискретизация по времени (и по пространственным координатам в случае двумерного ДПФ)
приводит к появлению паразитных гармоник (к так называемому "элайзингу" - от англ. "aliasing").
Действительно, пусть в частотном спектре непрерывного сигнала имеется максимум ("пик") на
частоте
Тогда из-за симметрии и периодичности тригонометрических функций он появится для
квантованных сигналов на частотах
При дискретизации с шагом
содержат частоты не превышающие
можно различить сигналы, гармоники разложения которых
Иначе говоря, гармоники с частотами
являются
нефизическими (или "духами" - от англ. "aliases"). Чтобы избежать неоднозначности в частотном
спектре, необходимо ограничить входной сигнал по частоте (пропустив, например, через
фильтр антиэлайзинга, подавляющий гармоники
).
1.3.3 Квантование по частоте. Эффект «частокола»
Запишем выражения для дискретного преобразования Фурье с помощью комплексных
экспонент:
где
Оно применимо к дискретным и периодическим сигналам предполагаем, что массив
отсчётов представляет собой период функции
). Соответственно частотный спектр должен
быть также периодическим и дискретным.
36
Квантование
по
частоте
приводит
к
новому
явлению:
так
называемому "эффекту
частокола" (иногда его называют «эффект окна»). Если в спектре непрерывного сигнала есть
острый "пик", то его положение, вообще говоря, может не совпасть с какой-либо из разрешённых
квантованных частот. Разрешённые частоты и образуют "частокол" (более строго: систему
дискретных
частотных
фильтров),
через
который
мы
наблюдаем
исходный
спектр.
"Негармонические" пики будут вносить вклад в значения амплитуд близких разрешённых Фурьегармоник. Величина погрешности при определении амплитуд пиков, не совпадающих с
разрешёнными, определяется степенью перекрытия соседних фильтров. При вычислении ДПФ мы
имеем дело с конечной выборкой длиной
приводит к размытию
. Для прямоугольного окна конечность выборки
в
; для окна Хэмминга характерный размер Фурье-
преобразования больше в два раза и, соответственно, больше величина перекрытия соседних
фильтров. Другими словами, использование окна Хэмминга при Фурье-обработке уменьшает
эффект частокола наряду с эффектами "пролезания энергии в боковые лепестки".
1.4 Быстрое преобразование Фурье
В основе алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) лежат следующие формулы:
Прямое преобразование:
Обратное преобразование:
Обозначения:

— количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество
компонент разложения;

— измеренные значения сигнала (в дискретных
временных точках с номерами
, которые являются входными данными для
прямого преобразования и выходными для обратного;

—
комплексных амплитуд синусоидальных
сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого
37
преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно
вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;
— обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

— фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

— индекс частоты. Частота k-го сигнала равна

, где
— период времени, в
течение которого брались входные данные.
где X{N} —
конечная
последовательность
чисел
,в
общем
случае
комплексных.
Рассмотрим
конкретную
последовательности
разделить
реализацию
БПФ.
Пусть
и надо получить последовательность
имеется
элементов
. Прежде всего, нам придется
на две последовательности: четные (even) и нечетные (odd) элементы. Затем точно
так же поступить с каждой последовательностью. Этот итерационный процесс закончится, когда
останутся последовательности длиной по 2 элемента. Пример процесса для
показан ниже:
Рис. 1.2. Процесс деления для N = 16
Итого выполняется
итераций.
Рассмотрим двоичное представление номеров элементов и занимаемых ими мест. Элемент с
номером
позицию
(двоичное
, элемент
) после всех перестановок занимает позицию
- позицию
, элемент
, элемент
- позицию
. И так
38
далее. Нетрудно заметить связь между двоичным представлением позиции до перестановок и после
всех перестановок: они зеркально симметричны. Двоичное представление конечной позиции
получается из двоичного представления начальной позиции перестановкой битов в обратном
порядке. И наоборот.
Этот факт не является случайностью для конкретного
первом шаге четные элементы с номером
позиции
в позицию
, а является закономерностью. На
переместились в позицию
, где
, а нечетные из
. Таким образом, новая позиция
вычисляется из старой позиции с помощью функции:
Здесь, как обычно,
означает целую часть числа, а
— дробную.
В ассемблере эта операция называется циклическим сдвигом вправо
, если
- это
степень двойки. Название операции происходит из того факта, что берется двоичное представление
числа
, затем все биты, кроме младшего (самого правого) перемещаются на 1 позицию вправо. А
младший бит перемещается на освободившееся место самого старшего (самого левого) бита.
Рис. 1.3. Циклический сдвиг вправо
Дальнейшие разбиения выполняются аналогично. На каждом следующем шаге количество
последовательностей удваивается, а число элементов в каждой из них уменьшается вдвое.
Операции
же
подвергаются уже не все биты, а только несколько младших (правых). Старшие
битов остаются нетронутыми (зафиксированными), где
— номер шага:
Рис. 1.4. Сдвиг вправо
Что происходит с номерами позиций при таких последовательных операциях? Давайте
проследим за произвольным битом номера позиции. Пусть этот бит находился в -м двоичном
разряде, если за -й разряд принять самый младший (самый правый). Бит будет последовательно
сдвигаться вправо на каждом шаге до тех пор, пока не окажется в самой правой позиции. Это
случится после -го шага. На следующем,
-м шаге будет зафиксировано
старших битов и
39
тот бит, за которым мы следим, переместится в разряд с номером
. После чего окажется
зафиксированным и останется на месте. Но именно такое перемещение - из разряда
разряд
в
и необходимо для зеркальной перестановки бит. Что и требовалось доказать.
Лекция 7. Классификация и общий подход к анализу линейных звеньев КПС.
На системотехническом уровне проектирования КПС возникает задача анализа и синтеза
одномерного тракта, содержащего электронные части и сервоприводы. Прежде чем рассмотреть эту
задачу на системотехническом уровне для одномерного тракта, включающего электронную часть
КПС и сервоприводы, проведем классификацию входящих в них звеньев.
Общее свойство звеньев электронной части и сервоприводов любого КПС заключается в том,
что они реализуют некоторую функциональную связь между одномерными входными и выходными
сигналами.
Эта
функциональная
связь
математически
описывается
дифференциальными,
интегродифференциальными или дифференциально-разностными уравнениями. Поэтому за основу
классификации звеньев естественно взять вид уравнений, применяемых для их математического
описания. Аналоговые звенья описываются дифференциальными уравнениями в полных
производных; цифровые звенья моделируются на основе z-преобразований (см. раздел ЦОС).
Аналоговые звенья подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, линейны или
нелинейны уравнения, применяемые для их описания. Как линейные, так и нелинейные звенья
могут относиться к одному из следующих четырех классов:

стационарные с сосредоточенными параметрами (первый класс),

стационарные с распределенными параметрами (второй класс),

нестационарные с сосредоточенными параметрами (третий класс),

нестационарные с распределенными параметрами (четвертый класс).
Непрерывные
динамические
элементы
первого
класса
описываются
линейными
дифференциальными уравнениями в полных производных с постоянными коэффициентами;
второго класса - дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными
коэффициентами; третьего класса - дифференциальными уравнениями в полных производных с
коэффициентами, являющимися функциями времени; четвертого класса - дифференциальными
уравнениями в частных производных с коэффициентами, являющимися функциями времени.
Все нестационарные звенья подразделяются на звенья с детерминированными и со случайными
параметрами в зависимости от того, описывается изменение параметров детерминированными или
случайными функциями времени.
В одномерной части тракта современных КПС, как правило, не встречаются звенья с
распределенньшш параметрами. Вопросы построения математических моделей звеньев и элементов
40
цифровой техники достаточно подробно освещены в литературе, поэтому в дальнейшем изложении
основное внимание уделено аналоговым системам и звеньям с сосредоточенными параметрами.
Рассмотрим звено, описываемое системой нелинейных дифференциальных уравнений в полных
производных с переменными во времени
где функция
Пусть
описывает сигнал на входе звена, a
действующее
на
входе
звена
- на выходе.
воздействие
представляет
собой -функцию,
приложенную в момент времени t
Введем понятие импульсного отклика звена
уравнений
, являющегося решением системы
при нулевых начальных условиях и при действии на входе сигнала в виде -функции.
Импульсный отклик в общем случае является функцией текущего времени времени
времени
и момента
приложения воздействия.
Поскольку любое входное воздействие можно представить как суперпозицию -функций (см.
раздел 2.2.1)
Для линейных стационарных и нестационарных звеньев, сигнал на выходе которых
определяется интегралом суперпозиции
понятие импульсного отклика получает смысл универсальной динамической характеристики.
Хотя для нелинейных звеньев принцип суперпозиции не справедлив, решение системы
уравнений
, определяющее сигнал на выходе нелинейного звена, как показано (в разделе 2.6.2.2),
также можно выразить через импульсный отклик
. Но в этом случае импульсный отклик сам
по себе не является столь определяющей характеристикой, как для линейных звеньев.
Другой весьма важной характеристикой линейных звеньев является передаточная функция,
которая определяется как некоторое интегральное преобразование от импульсного отклика:
где
- известная функция, называемая ядром интегрального преобразования.
41
Частным случаем преобразования
, которое используют для анализа линейных звеньев и
систем в радиотехнике и теории автоматического регулирования, является преобразование Лапласа.
В этом случае передаточная функция
где
- ядро преобразования;
p - комплексная переменная.
Преобразование Лапласа определено лишь для функций
, которые имеют конечное число
точек разрыва первого рода и равных нулю при значениях аргумента
выполняется условие ограниченности роста функции
существуют такие числа
и
, а также, если
, заключающееся в следующем:
(показатель роста), при которых для всех
справедливо
неравенство
Условие равенства нулю функции при значениях ее аргумента
выполняется далеко не
всегда. Примером таких функций являются многомерные моменты случайного процесса, которые
используются при статическом анализе систем. Поэтому наряду с преобразованием Лапласа для
анализа линейных систем применяют преобразование Фурье. Передаточная функция в этом случае
связана с импульсным откликом следующим соотношением:
Как известно, Фурье-образ
функции
является комплексной функцией, которая
может быть представлена как
где
- амплитудно-частотная характеристика;
- фазочастотная характеристика.
Как будет показано ниже, для вычисления преобразования Фурье на ЭВМ разработаны
алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые обусловливают предпочтительно
применение преобразования Фурье для анализа линейных звеньев при автоматизированном
проектировании. Если подходить формально, то преобразование Фурье может быть получено из
преобразования Лапласа заменой в формуле
переменной
на
. Но при этом следует
помнить, что, в отличие от преобразования Лапласа, преобразование Фурье существует для
42
функций, которые удовлетворяют условию ограниченности (см. формулу
роста функции
) лишь при показателе
. В связи с этим, преобразование Фурье для ряда функций, не
удовлетворяющих сформулированному условию ограниченности, может быть вычислено при
замене самой функции предельным соотношением вида
При вычислении преобразования Фурье для функций, не удовлетворяющих условию
ограниченности, следует
выбирать
таким, чтобы обеспечивалась
необходимая точность
вычисления.
Анализ стационарных линейных звеньев тракта. Рассмотрим линейные звенья, параметры
которых не меняются во времени. Если для проведения анализа достаточно получить решение
относительно одной функции
, то система уравнений
сводится к одному уравнению
В соответствии с общим определением импульсный отклик
является решением уравнения
рассматриваемой системы
при нулевых начальных условиях для случая воздействия в
виде -функций. Ввиду стационарности импульсный отклик не зависит от момента приложения
воздействия (
) и является функцией одной переменной. Кроме того,
импульсный отклик должен удовлетворять условию физической реализуемости, или условию
причинности
при
и условию устойчивости
Если система образована совокупностью последовательно подключенных один к другому
линейных звеньев, то нетрудно убедиться, что результирующая передаточная функция равна
произведению передаточных функций, составляющих систему звеньев, и по-прежнему может быть
представлена выражением
.
Как отмечалось выше, для линейных звеньев справедлив принцип суперпозиции, который для
стационарных звеньев описывается интегралом свертки
Выполнив преобразование Фурье для выражения
и учитывая, что преобразование Фурье от
свертки двух функций равно произведению Фурье-образов этих функций, получим
43
где передаточная функция рассматриваемого линейного стационарного звена
а
и
- Фурье-образы сигналов соответственно на выходе и входе звена.
Полученные результаты можно распространить и на двумерный случай для оптических систем,
линз Люнеберга и антенн акустоэлектронных и СВЧ радиоэлектронных систем.
Модель процесса двумерной линейной фильтрации представляется интегралом двумерной
свертки. Он представляет из себя двухмерное интегральное уравнение Фредгольма 1 рода
относительно w(k,n). Запишем его в стандартной форме:
.
Где
или
Данное уравнение есть двухмерное интегральное уравнение Фредгольма 1 рода типа свертки. В
нем g – интенсивность на дефокусированном изображении, которая может быть записана как
g(p(x,y)), где p(x,y) – характеристика чувствительности (ХЧ) регистрирующей поверхности, а g(p) –
ее обратная характеристика, причем p(x,y) – измеренное потемнение пленки с учетом ее ХЧ,
меньше, чем g(x,y).
Далее, k(x,y) есть ядро интегрального уравнения, причем в формуле определения p известны а и
f2, а d (или p) может быть определено путем подбора. Ядро интегрального уравнения k(x,y)
называется функцией рассеяния точки. В нашем эксперименте ядром является гауссоид.
Наконец w(k,n) есть искомая интенсивность, которая была бы на снимке при d =0
(неискаженное изображение в плоскости k”o”n”).
После решения основного уравнения можно восстановить исходное изображение в плоскости
объекта (обратная задача):
44
.
Рассмотрим процессы искажения и восстановления двумерных сигналов на примере
оптических систем.
Будем рассматривать только полутоновые черно-белые изображения в
предположении, что для обработки полноцветного изображения достаточно повторить все
необходимые шаги для каждого из цветовых каналов RGB. Введем следующие обозначения:
f(x, y) – исходное неискаженное изображение, h(x, y) – искажающая функция, n(x, y) – аддитивный
шум, g(x, y) – результат искажения, т.е. то, что мы наблюдаем в результате (смазанное или
расфокусированное изображение)
Сформулируем модель процесса искажения следующим
образом:
g(x, y) = h(x, y) * f(x, y) + n(x, y) (1)
Задача восстановления искаженного изображения заключается в нахождении наилучшего
приближения f'(x, y) исходного изображения. Рассмотрим каждую составляющую более подробно.
Сf(x, y) и g(x, y) все достаточно понятно. А вот про функцию h(x, y) нужно сказать пару слов – что
же она из себя представляет? В процессе искажения каждый пиксель исходного изображения
превращается в пятно для случая расфокусировки и в отрезок для случая простого смаза. Либо же
можно сказать наоборот, что каждый пиксель искаженного изображения «собирается» из пикселей
некоторой окрестности исходного изображения. Все это друг на друга накладывается и в результате
мы получаем искаженное изображение. То, по какому закону размазывается или собирается один
пиксель и называется функцией искажения. Другие синонимы – PSF (Point spread function, т.е.
функция распределения точки), ядро искажающего оператора, kernel и другие. Размерность этой
функции, как правило меньше размерности самого изображения – к примеру, в начальном
рассмотрении примера «на пальцах» размерность функции была 2, т.к. каждый пиксель
складывался из двух.
Искажающие функции. Итак, вернемся к импульсному отклику (или PSF, вот примеры их
вида:
45
PSF в случае размытия по функцией Гауссу
PSF в случае смаза
Операция применения искажающей функции к другой функции (к изображению, в данном случае)
называется сверткой (convolution), т.е. некоторая область исходного изображения сворачивается в
один пиксель искаженного изображения. Математически для изображения f с размерами M x N и
искажающей
функции h c
размерами
m
x
n
это
записывается
так:
(2)
Где a = (m — 1) / 2, b = (n – 1) / 2. Операция, обратная свертке, называется деконволюцией
46
(deconvolution)
и
решение
такой
задачи
весьма
нетривиально.
Теорема о свертке. Вернемся теперь к первоначальной постановке задачи восстановления – нам
необходимо каким-то образом обратить свертку, при этом не забывая про шум. Из формулы (2)
видно, что получить f(x, y) из g(x, y) не так-то просто – если решать, что называется, «в лоб», то
получится огромная система уравнений. Но на помощь к нам приходит преобразование Фурье, не
будем подробно на нем останавливаться, по этой теме уже было сказано немало. Так вот, есть такая
теорема о свертке, которая гласит, что операция свертки в пространственной области эквивалентна
обычному умножению в частотной области (причем умножение поэлементное, а не матричное).
соответственно, операция обратная свертке эквивалентна делению в частотной области, т.е это
можно записать как:
(3)
Где H(u, v), F(u, v) – Фурье-образы соответствующих функций. Значит процесс искажения из
формулы
(1)
можно
переписать
в
частотной
области
как:
(4)
Инверсная фильтрация. Тут же напрашивается поделить это равенство на H(u, v) и получить
следующую оценку F^(u, v)исходного изображения:
(5)
Это называется инверсной фильтрацией, но на практике практически никогда не работает. Почему
же? Чтобы ответить на этот вопрос посмотрим на последнее слагаемое в формуле (5) – если
функция H(u, v) принимает значение близкие к нулю или нулевые, то вклад этого слагаемого будет
доминирующим. Это практически всегда встречается в реальных примерах – для объяснения этого
вспомним
как
выглядит
спектр
после
преобразование
Фурье. Исходное
изображение:
47
преобразуем
его
в
полутоновое
и,
используя
MathCAD,
получаем
спектр:
В результате получаем две компоненты: амплитудный и фазовый спектры. Про фазу, кстати, многие
забывают. Обратите внимание, что амплитудный спектр показан в логарифмической шкале, т.к. его
значения варьируются очень сильно – на несколько порядков, в центре максимальные значения
(порядка миллионов) и быстро убывают практически до нулевых по мере удаления от центра.
Именно из-за этого инверсная фильтрация будет работать только при нулевых или практически
нулевых значениях шума.
48
noise_var = 0.0000001
noise_var = 0.000005
Хорошо видно, что добавление даже очень небольшого шума приводит к значительным
помехам, что сильно ограничивает практическое применение метода.
Существующие подходы для деконволюции. Но есть подходы, которые учитывают учитывают
наличие шума на изображении – один из самых известных и самых первых, это фильтр Винера
(Wiener). Он рассматривает изображение и шум как случайные процессы и находит такую
оценку f' для неискаженного изображения f, чтобы среднеквадратическое отклонение этих величин
было минимальным. Минимум этого отклонения достигается на функции в частотной области:
(6)
Этот результат был получине Винером в 1942 году. Подробный вывод здесь приводить не будем,
те, кто интересуется, могут посмотреть его здесь . Функцией S здесь обозначаются энергетические
спектры шума и исходного изображения соответственно – поскольку, эти величины редко бывают
известны, то дробь Sn / Sf заменяют на некоторую константу K, которую можно приблизительно
охарактеризовать как соотношение сигнал-шум.
Следующий метод, это «сглаживающая фильтрация методом наименьших квадратов со связью»,
другие названия: «фильтрация по Тихонову», «Тихоновская регуляризация». Его идея заключается
в формулировке задачи в матричном виде с дальнейшем решением соответствующей задачи
оптимизации. Это решение записывается в виде:
(7)
Где y – параметр регуляризации, а P(u, v) – Фурье-преобразование оператора Лапласа (матрицы 3 *
3).
Еще один интересный подход предложили независимо Ричардосн [Richardson, 1972] и Люси [Lucy,
1974]. Метод так и называется «метод Люси-Ричардсона». Его отличительная особенность в том,
что он является нелинейным, в отличие от первых трех – что потенциально может дать лучший
результат. Вторая особенность – метод является итерационным, соответственно возникают
трудности с критерием останова итераций. Основная идея состоит в использовании метода
максимального правдоподобия для которого предполагается, что изображение подчиняется
распределению Пуассона. Формулы для вычисления достаточно простые, без использования
49
преобразования Фурье – все делается в пространственной области:
(8)
Здесь символом «*», как и раньше, обозначается операция свертки. Этот метод широко
используется в программах для обработки астрономических фотографий – в них использование
деконволюции (вместо unsharp mask, как в фоторедакторах) является стандартом де-факто. В
качестве примера можно привести Astra Image, вот примеры деконволюции. Вычислительная
сложность метода очень большая – обработка средней фотографии, в зависимости от количества
итераций, может знанимать многие часы и даже дни.
Последний рассматриваемый метод, а вернее, целое семейство методов, которые сейчас активно
разрабатываются и развиваются – это слепая деконволюция (blind deconvolution). Во всех
предыдущих методах предполагалось, что искажающая функция PSF точно известна, в реальности
это не так, обычно PSF известна лишь приблизительно по характеру видимых искажений. Слепая
деконволюция как раз является попыткой учитывать это. Принцип достаточно простой, если не
углубляться в детали – выбирается первое приближение PSF, далее по одному из методов делается
деконволюция, после чего некоторым критерием определяется степень качества, на основе нее
уточняется функция PSF и итерация повторяется до достижения нужного результата.
Лекция
8
Импульсный
отклик
(PSF)
и
передаточная
функция
пространственных
фокусирующих элементов (фильтров). Волновая теория.
Уравнения Максвелла
Связь магнитного и электрического поля:

Электрический ток создаёт магнитную индукцию (закон Ампера) – первое уравнение

Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея) – второе
уравнение
50
Рис.1. Электрический ток создаёт магнитную индукцию (закон Ампера)
Максвелл впервые сформулировал понятие электромагнитного поля как физической
реальности, имеющей собственную энергию и конечное время распространения, определяющее
запаздывающий характер электромагнитного взаимодействия. Не только ток, но и изменяющееся
со временем электрическое поле (ток смещения) порождает магнитное поле. В свою очередь, в силу
закон Фарадея, изменяющееся магнитное поле снова порождает электрическое.
Второе уравнение Максвелла выражает закон электромагнитной индукции Фарадея: ЭДС в
любом замкнутом контуре равна скорости изменения (т. е. производной по времени) магнитного
потока.
Итак,получаем:
.
В результате, в пустом пространстве может распространяться электромагнитная волна. Из
уравнений Максвелла следовало, что её скорость равна скорости света, поэтому Максвелл сделал
вывод об электромагнитной природе света.
Третье и четвертое уравнения Максвелла
51
Рис.2.Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея)
Они основаны на теореме Гаусса, утверждающей, что поток вектора электрической индукции
через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности. Третье уравнение
Максвелла:
.
Четвертое уравнение утверждает, что магнитных зарядов в природе не существует, поэтому:
.
Распространение электромагнитных волн со скоростью света первоначально нтерпретировалось
как возмущения некоторой среды, так называемого эфира. Классическая электродинамика,
основанная на уравнениях Максвелла, лежит в основе многочисленных приложений электро- и
радиотехники, СВЧ и оптики. До настоящего времени не было обнаружено ни одного эффекта,
который
потребовал
бы
видоизменения
уравнений.
Дифференциальная форма уравнений Максвелла
Уравнения Максвелла представляют собой систему из восьми (два векторных с тремя
компонентами каждое и два скалярных) линейных дифференциальных уравнений в частных
производных
(
1-го
порядка
для
12
компонент
четырёх
векторных
функций
):
Название
Закон
Гаусса
СГС
СИ
Примерное словесное
выражение
Электрический заряд
является источником
электрической индукции.
Закон
Гаусса для
Не существует магнитных
магнитного
зарядов.
поля
Закон
Изменение магнитной
индукции
индукции порождает
52
Фарадея
вихревое электрическое
поле.
Электрический ток и
Закон
изменение электрической
Ампера-
индукции порождают
Максвелла
вихревое магнитное поле
Волновое уравнение электродинамики
В вакууме векторы поля удовлетворяют волновому уравнению. Напишем систему уравнений
Максвелла:
(1)
.
(2)
,
(3)
.
(4)
Продифференцировав уравнение (1) по времени и заменив в полученном уравнении
уравнения (2), получим:
.
(5)
Пользуясь формулой векторного анализа
внимание уравнение (3), получим:
и принимая во
.
Аналогичным образом, исключая
удовлетворяет волновому уравнению:
из
(6)
из уравнений (1) и (2), находим, что вектор
53
,
где
(7)
– скорость волны.
Анализ волновых уравнений
Уравнения (6) и (7) – это волновые уравнения для векторов
что векторы
и
и
соответственно. Из того,
удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле,
которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь
тогда, когда их возбуждают. Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но,
возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет.
Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих
его зарядов. Из уравнений (6) и (7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в
вакууме.
Лекция 9. Волновое уравнение акустики
Рассмотрим основные соотношения, характеризующие упругую среду.
Пусть в некоторый начальный момент объем упругой среды увеличился и занял объем V. Тогда
относительное изменение V,
 , называемое расширением, определится как:
  (V  V0 ) V0 
При изменении объема меняется плотность среды
V
V0
.
 . Относительное изменение плотности S,
называемое уплотнением, определяется как:
S
Основываясь на очевидном равенстве
(   0 )
0


0
V   0V0 , получим:
1  S    S  1.
При условии S  1;   1 , что обычно достаточно хорошо
соблюдается в акустике,
получим:
54
S   .
При малых изменениях объема относительное изменение плотности равно относительному
изменению объема с обратным знаком.
Относительное изменение объема в упругой среде сопровождается изменением давления
P  P  P0 . P - обозначается как p и носит название избыточного или звукового давления.
Очевидно, что P пропорционально расширению P  P     S ,
где
 - коэффициент объемной упругости, C  1  - коэффициент сжимаемости.
Вывод волнового уравнения акустики. Соотношение между давлением и линейной
деформацией.
Выделим
элементарный
объем
образованный
ограниченными
одинаковыми
участками
плоскостей, перпендикулярными оси Х.
При малых смещениях
где
V
V0
 

x ,
x

- линейная деформация, можно положить, что:
x

d
,
dx
тогда
55
p  

,
x
т.е. звуковое давление пропорционально линейной деформации.
Если на грани а1b1 существует давление р, то на грани а2b2 в этот же момент оно равно p  p ;
Давление р есть функция координат х, следовательно
p 
p
x
x
 2
Составим уравнение движения выделенного объема. Масса объема равна x , ускорение
,
t 2
результирующая сила равна p , получим уравнение:
 2
x 2  p ,
t
с учетом p получим:

и используя выражение p   
 2
t
t 2

Уравнение
p

1
c

p
x

, получим:
x
 2
где c 
2
 c
 2
x 2
,
.
называется
волновым
уравнением
и
является
основным,
описывающим
распространение звуковых волн.
Величина
c называется удельным акустическим или волновым сопротивлением и является
важной акустической характеристикой среды.
56
Лекция 10. Скалярная теория дифракции.
В областях, свободных от токов и зарядов (в частности, отсутствуют источники излучения),
вещественная функция
, которая описывает электромагнитное возмущение, удовлетворяет
скалярному однородному волновому уравнению:
где
– оператор Лапласа;
– скорость света в среде;
км/с – скорость света в вакууме;
– показатель преломления.
В
скалярной
теории
перпендикулярных
дифракции
декартовых
представляет
компонент
собой
одну
и
из
двух
взаимно
электрического
поля,
колеблющихся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Скалярная
теория не позволяет учесть явление поляризации и тонкие эффекты дифракции. Однако для
инженерных приложений, в частности при модельном представлении реальных КПС такое
допущение дает удовлетворительные результаты. Но даже при описанных допущениях решить
волновое уравнение удается для небольшого числа частных случаев. Одним из таких решений
является модель, которая строится на представлении суперпозиции плоских и сферических волн.
Такая модель с достаточной адекватностью позволяет описывать преобразование сигналов в
ультрафиолетовом,
оптическом
и
инфракрасном
диапазонах.
В
некоторых
диапазонах
электромагнитного излучения, используемых радиоэлектронными системами (РЭС), входящими в
состав КПС, ограничения скалярной теории дифракции недопустимы. Границы ее применимости
рассматриваются на основе соответствующих классификаций.
РЭС могут работать в диапазоне от 3 кГц до 300 ГГц. Несущая частота сигнала, передающего
(несущего) сообщение, существенно влияет на распространение, отражение и рассеяние радиоволн.
Поэтому весь радиодиапазон частот условно разделен на участки, каждый из которых имеет свои
особенности, в частности способ модельного представления (табл. 1).
57
Таблица 1.
Диапазон
Длина
Название
радиочастот
волны
радиочастот
3...30 кГц
10...100 км
30...300 кГц
1...10 км
0.3...3 МГц
100...1000
м
3...30 МГц
10...100 м
30...300 МГц
1...10 м
300...3000 МГц
0,1...1 м
3...30 ГГц
1...10 см
30...300 ГГц
0,1...10 см
диапазона
Название
диапазона
радиоволн
Сверхнизкие
частоты
(СНЧ)
Мириаметровые волны
Низкие частоты
Километровые волны
Средние частоты
Гектометровые волны
Высокие частоты
Декаметровые волны
Очень
высокие
частоты (ОВЧ)
Ультравысокие
частоты (УВЧ)
Сверхвысокие частоты
(СВЧ)
Крайне
частоты (КВЧ)
высокие
Метровые волны
Дециметровые волны
Сантиметровые волны
Миллиметровые волны
Дециметровые волны распространяются только в пределах прямой видимости, интенсивно
отражаются от объектов, благодаря наличию совершенной элементной базы в соответствующих
РЭС достигается направленность излучения и приема.
Сантиметровые волны также распространяются только в пределах прямой видимости,
интенсивно отражаются от различных объектов, что позволяет организовывать защищенные КПС
даже в условиях возникновения ретроотражений в замкнутых пространствах. Возможно
достижение высокой направленности излучения и приема. Элементная база позволяет реализовать
58
КПС с псевдослучайным сканированием несущей и псевдослучайным распределением поднесущих
частот.
Миллиметровые волны поглощаются в атмосфере в самой высокой степени.направленности.
РЭС, реализующие соответствующие КПС, обладают высокой направленностью излучения и
приема.
Как показывает анализ, наиболее часто в РЭС применяются диапазоны ОВЧ, УВЧ и СВЧ.
Излучение в этих диапазонах частот интенсивно отражаются от объектов, антенны компактны и
обеспечивают высокую направленность излучения и приема. Анализ РЭС связи показывает
перспективность применения этих диапазонов. Для этих диапазонов наиболее активно развивается
элементная база РЭС. Если в КПС с РЭС не используется эффект поляризации и вполняются
описанные ниже условия рассматриваемая модель приемлема.
Рис.1. Зоны свободного пространства, где наблюдается дифракция Зоммерфельда, Френеля и
Фраунгофера
59
Рис.2. Зоны пространства за фокусирующим элементом (объектив ОС, антенна РЛС), где
наблюдается дифракция Френеля и Фраунгофера
Радиотехнические системы извлечения информации в зависимости от информационного
параметра подразделяют на амплитудные, фазовые и частотные. К первым относятся, например,
системы определения направления прихода радиоволн с помощью направленных антенн; ко вторым
— фазовые радионавигационные системы; к третьим — доплеровские системы измерения
радиальной скорости.
В радиотехнических системах передачи информации сигналы формируются путем изменения
тех или иных параметров переносчика информации по закону передаваемых сообщений. Процесс
изменения параметров переносчика информации принято называть модуляцией, если передаваемые
сообщения непрерывные, и манипуляцией, если передаваемые сообщения цифровые. В случае,
когда переносчиком является гармоническое колебание, модулирующими параметрами могут быть
его амплитуда, частота и фаза. Различают непрерывные РТС передачи информации с амплитудной
(AM), частотной (ЧМ) и фазовой (ФМ) модуляциями.
В импульсных
РТС передачи
информации
модулируемыми
параметрами
могут
являться
амплитуда импульса, длительность, частота следования и фаза (положение относительно точки
отсчета), число импульсов, а также комбинация импульсов и пауз, определяющих код.
Соответственно, различают РТС передачи информации с амплитудно-импульсной (АИМ),
широтно-импульсной (ШИМ), частотно-импульсной (ЧИМ), фазоимпульсной (ФИМ), импульснокодовой (ИКМ) модуляциями. Возможны и другие виды систем.
В цифровых РТС передачи информации применяются относительная фазовая (ОФМ), частотная
(ЧМ), амплитудная (AM) манипуляции и другие более сложные виды.
Приведенная классификация позволяет выявить особенности РЭС и учесть их при проектировании
методов и средств защиты. Границы применимости рассматриваемой модели распространения
электромагнитного излучения для РЭС определяются нижеописанными условиями.
1.1. Скалярные монохроматические волны
В
волновой
теории
элементарным
сигналом
считают монохроматическую
распространяющуюся в пространстве и во времени. Если ее временная частота
приблизительно в интервале от
вакууме
до
волну,
лежит
Гц (соответственно длина волны в
изменяется от 0,75 мкмдо 0,4 мкм), то речь идет об оптическом диапазоне. Если длина
волны в вакууме
изменяется от 0,75 мкм до 30 мкм, то такой диапазон называется инфракрасным.
60
Для радиодиапазона длина волны изменяется от долей мм до десятков километров. Решение
волнового уравнения (1), определяющее вид монохроматической волны в точке
в
момент времени , можно представить в виде скалярной функции
Величину
, большую нуля, называют амплитудой, а аргумент косинуса
– полной фазой, зависящей как от времени
координат
так и от пространственных
Величину
.
называют временной,
илициклической,
частотой оптического излучения (представляет число колебаний в секунду, Гц), которая по порядку
величины равна
Гц, а величину
число колебаний в
поэтому
секунд. При замене
является временным
– угловой частотой. Последняя определяет
на
значение функции остается неизменным,
периодом колебаний.
Волновую
функцию
в
форме
(4)
называют временным гармоническим оптическим сигналом. Она определяет монохроматическую
волну.
В
случае
линейно
поляризованной
волны
характеризует
напряженность
электрического или магнитного поля как физическую величину.
Расчеты, связанные с преобразованием гармонических сигналов, значительно упрощаются, если
вместо косинусоидальной гармоники использовать комплексную экспоненциальную гармонику.
Нетрудно заметить, что
можно записать в виде действительной части
от комплексной
гармонической функции координат и времени
где
- комплексный пространственно-временной гармонический сигнал.
Комплексную функцию координат
называют комплексной амплитудой волны, или комплексным оптическим сигналом.
Так
как
амплитуды
зависимость
от
времени
известна
заранее,
то
задание
комплексной
достаточно для описания светового возмущения.
61
Поверхность постоянной фазы, в любой точке
одинакова,
называют
постоянной фазы в
которой в данный момент времени фаза волны
волновым
фронтом.
Вообще
говоря,
поверхность
не совпадает с поверхностью постоянной амплитуды. При этом говорят, что
такая волна неоднородна. Примером неоднородных волн служат эрмито-гауссовые и лагеррогауссовые волны на выходе лазера.
Если операции, производимые над
символ
в
опускается,
комплекснозначной
, линейны, то для удобства математических выкладок
а
в
вещественная
функция
заменяется
. Тогда вещественная часть окончательного выражения будет
представлять собой изучаемую физическую величину. Делая переход к комплексным оптическим
сигналам, следует помнить, что фактически физическая величина напряженности
электрического поля в электромагнитной волне всегда вещественна.
1.2. Интенсивность монохроматической волны
В основе взаимодействия электромагнитного излучения с фоточувствительной регистрирующей
средой лежит экспериментальный факт, состоящий в том, что отклик среды (величина
электрического заряда, плотность почернения единицы объема галогенидосеребряной среды,
степень отбеливания единицы объема фотохромной среды и т. п.) есть функция энергии,
поглощенной единичным объемом и усредненной за время, большее по сравнению с периодом
световых колебаний. Пусть
– вектор напряженности электрического поля в электромагнитной
волне, именуемый для краткости электрический вектор, В/м, a
смещение, Кл/м2. Здесь
– абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой
распространяется волна;
свободного
– электрическое
Ф/м – абсолютная диэлектрическая постоянная
пространства
(электрическая
постоянная);
–
безразмерная
относительная
диэлектрическая проницаемость среды. Из теории Максвелла известно, что объемная плотность
электрической энергии
, Дж/м3, т.е. энергии электрического поля волны, в системе СИ
описывается выражением
Тогда усредненное по времени значение
62
где угловые скобки означают усреднение во времени, а
– интервал времени, по которому
проводится усреднение.
В любой точке световой волны величина и направление потока электрической энергии за единицу
времени через единичную площадку, нормальную к потоку, определяется вектором УмоваПойнтинга
В классической электродинамике усредненную по времени величину
вектора называют интенсивностью
, Вт/м2, этого
, т.е. поверхностной плотностью лучистого потока в
точке
В системе СИ интенсивность
также выражается в
.
Кроме того, на практике для удобства используется сокращенное определение интенсивности
Так
как
интенсивность
,
где
,
то
всегда
можно
понять,
какая
интенсивность имеется в виду в данной ситуации.
Заметим, что в оптике на практике наряду с поверхностной плотностью лучистого потока
используется пространственно-угловая плотность, или сила излучения
она называется силой света
. В фотометрии
.
В то же время основной интерес представляет отношение интенсивностей в разных точках
волнового поля. Тогда благодаря пропорциональности между
и
и
отношение интенсивностей в
этих двух точках однозначно определяется любым из двух выражений
63
В общем случае электрический вектор монохроматической волны с учетом
описывается
выражением
где
– вектор амплитуды;
Гц.
Подставляя
в
, получим
Откуда при
имеем
Таким образом, преимущество определения интенсивности в виде
состоит в том, что она
определяется скалярным квадратом вектора амплитуды электрического поля, т. е. квадратом
амплитуды.
Используя
понятия
комплексных
амплитуд
и
,
выражение
для
интенсивности
монохроматической волны можно представить в виде
Тогда в комплексном представлении интенсивность равна квадрату модуля комплексной
амплитуды.
1.2.1. Случай акустической волны
В любой точке акустической волны величина и направление потока механической энергии за
единицу времени через единичную площадку, нормальную к потоку, можно определить вектором,
аналогичным вектору Умова-Пойнтинга
64
Усредненную
по
времени
называют интенсивностью
величину
Вт/м2,
этого
вектора
, т.е. поверхностной плотностью потока излученияв точке.
Лекция 10. Продолжение
1. Однородные плоские монохроматические волны
Любое решение волнового уравнения вида
представляет собой плоскую волну, так как в каждый момент времени
величина
постоянна во всех точках плоскости, задаваемой векторным уравнением в виде скалярного
произведения
где
– радиус-вектор точки;
– единичный
вектор
нормали
к
плоскости,
координаты
которого
определяются направляющими косинусами (рис. 1).
Рис.1.
Трехмерная
геометрическая
модель,
идентифицирующая
процесс
распространения
однородной плоской волны в пространстве
65
Иначе говоря, плоская волна, фаза которой постоянна во всех точках некоторой плоскости,
имеет плоский волновой фронт.
Общее решение волнового уравнения
в виде
распространяется в направлении вектора
Аргумент функции
и
, выражающее плоскую волну, которая
со скоростью , имеет вид
не меняется при замене величин
и
на величины
соответственно. Физически это означает, что возмущение , которое в момент времени
было в плоскости, находящейся на расстоянии
времени
от начала координат, в более поздний момент
оказывается в плоскости, расположенной уже на расстоянии
координат. Вводя в
в результате замены
нa
структуру плоского волнового
фронта и учитывая, что для однородной плоской волны
комплексное
выражение
для
электрического
от начала
, получим скалярное
(магнитного)
поля
однородной
плоской
монохроматической волны
где
– длина волны в среде с показателем преломления n.
Длину волны
называют приведенной
длиной
волны (соответствует
распространяющейся
в
вакууме
монохроматической волне той же частоты).
Вектор
или
для
вакуума
,
направленный
единичного вектора нормали (рис. 1), называютволновым вектором. Его длину
соответственно для вакуума
как
выражение
,
, называют волновым числом. Волновой вектор является
обобщенным пространственным аналогом временной угловой частоты
Так
вдоль
не
изменяется
при
замене
.
на
, то
является
пространственным периодом плоской волны. Для задания ориентации пространственных
гармонических осцилляции в плоской волне на практике очень удобно ввести векторы
пространственной частоты
66
направления которых совпадают с направлением распространения
, а длины соответственно
равны
Они задают число пространственных периодов (осцилляций) в волне, укладывающихся на единице
длины, 1/мм, соответственно в среде или в вакууме, и по аналогии с временной частотой
называются пространственными частотами. Это еще более углубляет аналогию между волновым
вектором и угловой частотой .
В
итоге комплексную
амплитуду
однородной
плоской
монохроматической
волны можно
представить в виде
В
в соответствии с
фаза
координат, а фаза
увеличивается с ростом расстояния
от начала
уменьшается с ростом времени . Выбор такого правила знаков в
плоской волне обусловлен описанием ее распространения в направлении вектора
. Он не имеет
существенного значения, так как практический интерес представляет не абсолютная величина фазы,
а разность фаз. В то же время в рамках выбранного правила знаков процесс распространения
плоской волны сводится к следующему. Для любой точки некоторой плоскости
согласно
полная
фаза
волны
равна
фаза
в
момент
времени
постоянна
. В более поздний момент времени
будет
иметь
то
же
значение
на
координат
расстоянии
большем
расстоянии
, так как
она уменьшается. В результате плоский
и
полная
от
начала
, в то время как на прежнем
волновой фронт перемещается в
пространстве в направлении, которое в зависимости от специфики задачи можно охарактеризовать
одним
из
трех
коллинеарных
пространственной частоты
векторов
–
единичным
или волновым вектором
вектором
нормали
,
вектором
(рис. 1).
67
Таким образом, однородная плоская монохроматическая волна
случаем комплексного временного гармонического сигнала
позиций
рассматривать
частотно-временные
и
является тем важным частным
, который позволяет с единых
пространственно-частотные
гармонические
осцилляции произвольной монохроматической электромагнитной волны, представляемой в виде
суммы плоских волн. Это в свою очередь служит первым шагом на пути создания общей частотной
МП ОЭС при описании множества S входных сигналов набором плоских волн. Для описания
плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении, надо во всех полученных
выражениях заменить векторы
Тогда на основании
Нетрудно
видеть,
на противоположные
.
комплексная амплитуда примет вид
что
противоположному
направлению
распространения
соответствует
комплексно-сопряженная амплитуда. В этом, в частности, проявляется одно из преимуществ
введения комплексного оптического сигнала. Другое преимущество использования комплексной
амплитуды выясняется при переходе к координатному представлению однородной плоской
монохроматической волны. Вектор пространственной частоты
трехмерной
плоскостной
периодической
решетке,
состоящей,
перпендикулярен
например,
из
максимумов
пространственно-частотной гармоники, которая соответствует комплексной амплитуде плоской
волны в фиксированный момент времени и тем самым задает ее ориентацию.
68
Рис.2.
Двумерная
геометрическая
модель,
идентифицирующая
пространственно-частотную
структуру плоской волны
На рис. 2 приведена решетка с вектором
, лежащим в плоскости , так что ее реберные грани
перпендикулярны этой плоскости (параллельны оси
). С учетом
координаты
называют координатными пространственными частотами соответственно вдоль осей
Если направление распространения
(или
.
) составляет с какой-либо осью угол меньше 90°, то
соответствующая координатная пространственная частота положительна. Если угол больше 90°, то
частота отрицательна. В оптике координатные пространственные частоты часто выражаются через
дополнительные
углы
(углы
падения)
так
что
.
Тогда, переходя в
к координатной форме записи скалярного произведения
В частности, плоская волна, распространяющаяся в направлении
плоскости
При
Наконец,
( = 90°, рис. 2), имеет в произвольной точке
, параллельном
комплексную амплитуду
получим выражение для комплексной амплитуды в точке
если
,
распространяющейся в направлении оси
то
комплексная
, в точке
, получим
амплитуда
плоскости
плоской
волны,
имеет вид
69
а в точке
она будет
Оптико-физический смысл координатных пространственных частот заключается в том, что их знаки
определяют направление распространения плоской волны, а численные значения обратно
пропорциональны пространственным периодам
трехмерной плоскостной решетки вдоль
соответствующих
координатных
осей
.
Для волны, распространяющейся в направлении
I
(рис. 2) с вектором
квадранте,
, лежащим в
частоты
что
так
.
В этом случае
и
получаются
сечениях
в
определяют пространственные периоды плоских решеток, которые
квадранта
трехмерной
решетки
, для III квадранта
На основании
и
плоскостями
и
.
Для
, а для IV
II
.
координатные пространственные частоты в плоской волне связаны
соотношением
откуда
, где знак определяется знаком
.
Тогда можно описать процесс распространения комплексной амплитуды плоской волны в
пространстве, если выразить
через
где
.
В результате комплексная амплитуда плоской волны
начала
координат
плоскости
оказывается
равной
произведению
на произвольном расстоянии
комплексной
амплитуды
от
в
на комплексную экспоненциальную функцию распространения.
70
описывающую фазовую пространственно-частотную дисперсию. В соответствии с выбранным
правилом знаков с ростом фаза волны увеличивается. Как показано в 2.2.2 (см. 2.18) это выражение
идентифицирует когерентную передаточную функцию когерентного слоя свободного пространства.
2. Однородные сферические монохроматические волны
Сферической волной называют любое решение волнового уравнения
где
.
Иначе говоря, в случае сферической волны величина
сфере
вида
. Общее решение
в каждый момент времени постоянна на
, выражающее сферическую волну, расходящуюся от
начала координат, имеет вид
.
Множитель выражает закон сохранения энергии при распространении сферической волны и
учитывает, что интенсивность сферической волны
остается постоянной в процессе распространения. Здесь
— площадь поверхности сферы, а
– символ пропорциональности.
Скалярное комплексное выражение для электрического поля сферической расходящейся
монохроматической волны получается из
учетом однородности
в результате замены
на
, так что с
имеем
.
Откуда комплексная амплитуда однородной сферической расходящейся монохроматической волны
71
Так как общее выражение для сферической волны, сходящейся к началу координат, имеет вид
то комплексно сопряженная амплитуда
соответствует однородной сферической сходящейся монохроматической волне.
Сравнение выражений
и
показывает, что плоская и сферическая волны локально
похожи друг на друга. В самом деле, на достаточно большом расстоянии от начала координат в
некоторой малой окрестности можно приближенно считать, что, например, векторы
коллинеарны, так что
амплитуд
и
. Это и означает локальное совпадение комплексных
.
В окрестности некоторой оси, например
, сферическую волну удобно рассматривать в
параксиальном приближении. В этом случае величину
заменить на
и
в знаменателе
можно приближенно
, а в фазовом множителе разложить по биному Ньютона
.Тогда для комплексной амплитуды имеем
Таким
образом,
в
параксиальном
(квадратичном)
приближении
сферическая
волна
аппроксимируется параболической волной.
Когерентное, частично-когерентное и некогерентные приближения
Когерентное приближение
При анализе поведения ОЭС, и в некоторых случаях, РЭС, прежде всего вводится предположение о
строгой
монохроматичности
используемого
излучения.
Монохроматические
волны,
по
определению, имеют бесконечную продолжительность во времени. Это очень жесткое ограничение,
так как в лучшем случае излучение реальных источников, включая лазеры, является
72
только квазимонохроматическим, т. е. состоящим из спектральных компонент, которые занимают
частотный
диапазон
,
Монохроматичность
малый
по
сравнению
излучения
со
средней
определяет
временной
частотой
.
его временную или продольную
когерентность (согласованность). При этом излучение считается когерентным во времени, если
разность
фаз
в
фиксированной
что
точке
.
В
не
этом
меняется
случае
с
течением
распределение
времени,
интенсивности
так
в
интерференционном поле (интерференционная структура) равно интенсивности суммарной волны с
учетом фазовых соотношений.Степень временной когерентности определяется путем измерения
времени или длины когерентности по видности (контрасту) интерференционной структуры в
интерферометрах с делением по амплитуде, когда весь волновой фронт участвует в формировании
каждой из интерферирующих волн.
Точечный монохроматический источник в интерферометрах с делением по волновому фронту, в
которых интерферирующие волны образуются из разных участков исходного фронта, формирует
интерференционную структуру с видностью, равной единице. В случае источника конечных
размеров,
состоящего
интерференционная
из
независимых
структура
пространственной или поперечной
имеет
точечных
меньшую
монохроматических
видность,
когерентности излучения.
которая
При
источников,
характеризует степень
этом
излучение
считается пространственно-когерентным, если разность фаз в любых двух точках
меняется с течением времени, так что
и
не
. К пространственно-
когерентному излучению близко излучение одномодовых лазеров.
В общем случае излучение называют абсолютно когерентным, если разность фаз в любых
точках
что
и
остается
постоянной
в
любые
моменты
времени
и
,
так
.
Примером абсолютно когерентных оптических сигналов являются идеализированные плоские и
сферические монохроматические волны (2.4.3.1). Абсолютно когерентного излучения в природе не
существует, но к этому пределу (видность интерференционной структуры очень близка к единице)
можно подойти вплотную в специальном случае одночастотной генерации в лазере. Хотя без
специальных излучателей этот случай представляется лишь идеализацией, но результаты, которые
получаются на основании идеализированного представления об абсолютной когерентности, могут
быть с достаточной степенью точности использованы на практике.
Поэтому при анализе пространственных преобразующих систем (ППС) в ОЭС И РЭС прежде всего
выделяют пространственные фильтры (ПФ) ОЭС И РЭС с когерентным поведением. Произвольный
ПФ в узком, широком или общем смысле, работающий при абсолютно когерентном освещении и
73
линейный относительно комплексной амплитуды поля, называется когерентным фильтром (КФ).
Одной
из
основных
внешних
связность
характеристик
КФ
интерференционного
регистрации в КФ интенсивность
является
поля
.
линейная
Тогда
при
его
в плоскости наблюдения определяется квадратом модуля
суммарной комплексной амплитуды и, в случае двух волн, имеет вид
где последнее слагаемое представляет собой интерференционный член, зависящий от разности фаз.
Если в плоскости наблюдения складываются
когерентных волн, то для суммарной амплитуды и
интенсивности получим
В общем случае для непрерывного распределения комплексной амплитуды сумма превращается в
интеграл суперпозиции для распределения комплексной амплитуды.
Частично когерентное приближение
Статистический характер изменения амплитуды и фазы оптического излучения в плоскости объекта
может сильно влиять на преобразующие свойства ОЭС И РЭС.
Если изменения амплитуды и фазы во времени носят случайный характер, то
поле
удовлетворительно описывается только при помощи осредненных характеристик. Поэтому в общем
случае говорят о ПФ ОЭС и РЭС с частично когерентным поведением. Такая ОЭС И РЭС или
произвольная ОС в узком, широком или общем смысле, работающая при частично когерентном
освещении
и
линейная
относительно
функции
взаимной
когерентности
или
взаимной
интенсивности, называется частично когерентным фильтром (ЧКФ).
В ЧКФ каждая точка объекта обусловливает определенное распределение комплексной амплитуды
поля в плоскости наблюдения. Когда амплитуда и фаза в точках
и
случайным образом, то также будет изменяться амплитуда и фаза в точке
Следовательно,
гармоническими
обусловливать
статистическая
сигналами
статистическую
связность
и
связность
между
между
объекта изменяются
плоскости наблюдения.
пространственно-временными
в
разных
их
образами
точках
и
объекта
в
будет
точке
74
плоскости наблюдения. Наличие такой статистической связности влияет главным образом на
интенсивность
где
и
точке
, которая получается в результате усреднения во времени имеет вид
- комплексные постоянные, обусловленные распространением волн от точек
;
-
время
задержки
первой;
второй
волны
и
к
относительно
- функция взаимной когерентности, которая
определяется по одной реализации как функция взаимной ковариации стационарных эргодических
полей;
Вводя в рассмотрение комплексную степень когерентности
получим общий закон интерференции для стационарных эргодических электромагнитных полей.
где в отличие от
При этом из
интерференционный член полностью определяется степенью когерентности.
следует, что ЧКФ линеен относительно функции взаимной когерентности. В
случае квазимонохроматического источника со средней оптической частотой
комплексную
степень когерентности можно представить в виде
где
Величину
, так что закон интерференции
называют степенью
когерентности колебаний
примет вид
в
точках
и
.
Она
определяет видность интерференционной структуры
75
Если
интенсивности
обеих
когерентности
волн
совпадают
. Когда
,
то
видность
равна
степени
достигает своего максимального значения,
равного единице, интенсивность
, которая получилась бы для монохроматических волн со
средней
фаз
частотой
с
выходящим
в
и
разностью
будет
совпадать
. Этот случай соответствует уже рассмотренным абсолютно когерентным волнам,
из
точек
Если
и
,
при
определенном
времени
задержки
между
ними.
, то и видность лежит в этом диапазоне, а сигналы оказываются частично
когерентными.
На практике, особенно это имеет место в случае лазерного излучения, время задержки
одной
интерферирующей волны относительно другой часто много меньше времени когерентности, так
что
, где
– ширина полосы излучения. В результате при
функции
нуле
и
незначительно
и
.
отличаются
Тогда
выражение
от
своих
значений
приближенно
в
можно
представить в виде
где
–
когерентности при нулевой задержке. Выражение
комплексная
степень
является основной формулой элементарной
(квазимонохроматической) теории частичной когерентности. Величину
характеризующую взаимную ковариацию между колебаниями в любых двух точках
и
волнового
поля, называют взаимной интенсивностью. Она зависит только от положения этих точек, но не
зависит от времени задержки
. Так как
то ЧКФ
приближённа линейна относительно взаимной интенсивности.
76
Некогерентное приближение
Если в выражении
видность
достигает своего минимального значения, равного нулю, то и
интерференционной структуры также равна нулю. Тогда не возникает никаких
интерференционных эффектов от наложения волн в плоскости наблюдения и излучение считается
некогерентным. Практически такое излечение формирует протяженный полихроматический
источник, который можно рассматривать как ансамбль статистически независимых точечных
источников.
В соответствии с этим выделяется ПФ с некогерентным поведением. Такой произвольный ПФ в
узком, широком или общем смысле, работающий при некогерентном освещении и линейный
относительно интенсивности, называют некогерентным (НКФ). Одним из основных внешних
свойств
НКФ
является линейная связность
структуры, которая вытекает из
интерференционной
. В самом деле, при нулевой степени когерентности в случае
двух волн в плоскости наблюдения имеем
Это следует также из общего закона интерференции
интерференционном члене, определяемая
в предположении, что разность фаз в
, для ансамбля статистически независимых
источников с равной вероятностью принимает все значения на
. Тогда с учетом
интерференционный член равен нулю.
Если в плоскости наблюдения складываются
некогерентных волн, то для суммарной
интенсивности получим
В общем случае для непрерывного распределения интенсивности сумма превращается в интеграл
суперпозиции для распределения интенсивности.
Лекция 11.
Дифракционный интеграл
Параксиальное
приближение
для
сферической
волны
имеет
место
в
том
случае,
когда
77
При
.
Поэтому
комплексная амплитуда сферической волны в параксиальном приближении
Проанализируем дифракцию световой волны на транспаранте
транспарант имеет амплитудное пропускание
При
непосредственно
за
транспарантом
Первый член данного выражения описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси
, как
и падающая волна, второй и третий члены - плоские волны, направления распространения которых
с осью
составляют углы
и
, причем
(рис.4). Таким образом, в
результате дифракции часть падающей на транспарант световой волны отклоняется от
первоначального направления распространения.
Рис. 3 Связь между координатами сферической и прямоугольной систем координат
78
Рис. 4 Дифракция плоской волны на синусоидальной дифракционной решетке
С помощью соотношения для плоской волны можно определить комплексную амплитуду света при
любом удалении от транспаранта, например при
Для первого члена выражения
следует, что если
при
этом
, для второго и третьего членов
. Из
, то возникают поверхностные волны. Они будут затухающими
, т.е. когда длина волны больше периода дифракционной решетки, поскольку при
становится
мнимой
величиной,
экспоненциальным множителем, убывающим с увеличением
а
-
.
Амплитудное пропускание двумерной дифракционной решетки в общем случае описывается
комплексной периодической функцией двух переменных
и . Однако его также легко
представить в виде суммы простейших синусоидальных функций путем разложения в ряд Фурье
[2]:
79
Дифрагированная на таком транспаранте световая волна представляет собой суперпозицию
бесконечного числа плоских волн с амплитудами, пропорциональными соответствующим
коэффициентам
разложения
определяемыми
и
и
направлениями
Следовательно,
распространения,
суммарная
амплитуда
дифрагированных волн в плоскости
Рис.5. К решению задачи дифракции с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа
В общем случае амплитудное пропускание дифрагирующего объекта является комплексной
непериодической функцией двух переменных x и y, поэтому t (x, у)
заменяют интегралом Фурье. Комплексную амплитуду дифрагированной волны в плоскости z = d
при этом также выражают с помощью интеграла
( 5’)
где
- преобразование Фурье от
удовлетворяющей неравенству
, причем интегрирование производят в области,
(вне этой области волны быстро затухают при
удалении от транспаранта). Следовательно, можно сделать следующее заключение: если плоская
80
волна амплитудой
плоскости
, распространяющаяся в направлении оси
транспарант
с
амплитудной
комплексной амплитуды в плоскости
Для
функцией
волн
приближением
и
пропускания
то
,
,
, выражение
,
спектр
имеет вид
параксиальных
значениях
, падает на помещенный в
пользуясь
справедливым
при
малых
можно представить следующим образом:
Ввиду того, что фаза
в выражении
является параболической функцией
пространственных частот, это приближение называют параболическим. Согласно правилу Рэлея
искажение фазы волны не должно превышать
, т.е. устанавливаются границы применимости
параболического приближения:
Решение задачи дифракции можно представить также с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа :
где
(рис 5);
и
Угол
- координаты точек, принадлежащих плоскостям
между
положительным
направлением
называют коэффициентом наклона. Формулы
оси
5’ и
дфракции дают один и тот же результат. Интеграл
и
и
отрезком
на расстоянии
.
прямой
от плоскости
является матматическим выражением
известного принципа Гюйгенса-Френеля.
1. Дифракционные формулы Френеля и Фраунгофера
Рассмотрим дифракцию света, падающего на непрозрачный экран с отверстием произвольной
формы. Отверстие в экране называют апертурой. В зависимости от удаленности источника света и
плоскости наблюдения от дифрагирующего экрана различают зоны дифракции Фраунгофера и
81
Френеля. Дифракция Фраунгофера наблюдается в дальней зоне, удаленной от дифрагирующего
экрана на расстояние, во много раз превышающее размеры апертуры. Дифракция Френеля имеет
место в ближней зоне, распространяющейся до зоны дифракции Фраунгофера, как это показано на
рис.6. Дифракция Фраунгофера по существу является предельным случаем дифракции Френеля при
больших расстояниях от экрана. Заметим, что зона дифракции Френеля также начинается на
некотором расстоянии от экрана. Непосредственно за апертурой вблизи экрана находится область
тени (рис.6). Здесь и далее будем предполагать, что размеры отсверстия на экране велики по
сравнению с длиной волны падающего света, а источник света находится на таком расстоянии от
экрана, что свет, падающий на экран, имеет практически плоский волновой фронт и постоянную
амплитуду. В общем случае апертура представляет собой транспарант с двумерной амплитудной
функцией пропускания
. В частном случае апертура является отверстием с амплитудной
функцией пропускания
Данный случай важен, поскольку часто встречается при анализе оптических систем хранения и
обработки информации [3,4]. В любом из рассмотренных случаев непосредственно за экраном
при
световое поле описывается распределением амплитуд
Рис.6. Зоны дифракции Фраунгофера и Френеля
Свет, падающий на экран, также имеет произвольную комплексную амплитуду
Тогда
световое поле имеет за экраном комплексную амплитуду:
82
В дальнейшем будем считать, что непосредственно за экраном световое поле имеек комплексную
амплитуду
. Поэтому интеграл Френеля-Кирхгофа
для рис.6 можно записать в виде
где
1.1. Приближение Френеля
Для дифракционного поля в области, удаленной от экрана на расстояние, значительно
превышающее максимальный размер апертуры, интеграл Френеля-Кирхгофа
значительно
упростится. Действительно, если
то можно полагать, что
с ошибкой менее
в знаменателе подынтегрального выражения
и
, если угол
можно заменить координатой
согласно
неприемлемо для замены
изменение
.
Для
. Расстояние
.
Однако
, поскольку
выражение
в экспоненциальном члене, так как на экспоненту влияет даже малое
получения
более
точного
разложением
приближения
воспользуемся
. Учитывая первые два члена данного
разложения для аппроксимации квадратного корня, примем
С учетом
интеграл Френеля-Кирхгофа можно записать в следующем упрощенном
виде:
Данное
выражение
называют приближением
Фреленя,
а
соответствующее
ему
поле
-
дифракционным полем Френея. Интегральное преобразование вида
83
где
называют преобразованием Френеля. Следовательно, приближение Френеля
представляет
собой двумерное преобразование Френеля дифрагировавшего на экране светового поля.
Приближение Френеля справедливо в зоне [3]
где
- максимальный радиус апертуры;
- максимальный радиус области наблюдения в плоскости
(см. рис. 6);
- наименьшая неоднородность распределения светового поля
максимальной пространственной частотой поля
, связанная с
.
1.2. Приближение Фраунгофера
Ранее отмечалось, что дифракция Фраунгофера является предельным случаем дифракции Френеля
при больших значениях
нежели чем
, т.е. в дальней зоне. При этом можно принять более жесткое допущение,
, а именно
Рассмотрим приближение Френеля, записанное в виде
принять
Полученное
. С учетом допущения
Тогда дифракционная формула
приближение
преобразованием
Фурье
имеет
основной
распределения
множитель
в
комплексных
виде
можно
еще более упроститься:
интеграла,
амплитуд
являющегося
света,
дифрагировавшего на экране, и его называют приближением Фраунгофера. Такоим образом,
84
дифракция Фраунгофера представляет собой фурье-образ светового поля, дифрагировавшего на
экране,
умноженный
на
квадратичный
фазовый
множитель
.
Если
интересующая область в плоскости наблюдения дифракции Фраунгофералежит вблизи оси , так
что выполняется условие
или
то
В последнем случае приближение Фраунгофера упрощается:
Зона дифракции Фраунгофера определяется из условия [3]
Если
условие
мкм;
мкм,
то
зоне
дифракции
Фраунгофера
соответствует
см.
1.3 Приближение тени
Если требуется определить поле вблизи экрана, то используют приближение тени:
справедливое при [3]
85
Лекция 12. Оптические системы, выполняющие преобразование Фурье
С помощью сферической линзы можно создавать картину, являющуюся фурье-образом входного
изображения. Благодаря этому устройству, а также возможности применения линз для формирования
пучков излучения требуемой конфигурации они находят широкое применение в оптических системах
хранения и обработки информации.
Рассмотрим простейшую оптическую систему (рис. 1), состоящую из одной тонкой сферической
линзы с фокусным расстоянием f помещенной в плоскости z = 0, и расположенного вплотную к ней
транспаранта с комплексным амплитудным пропусканием
t (х0, у0).
Линзу называют тонкой, если луч, входящий в точку с координатами (x0, y0) выходит из нее на
противоположной поверхности в точке примерно с теми же координатами. Это означает, что
смещением луча внутри линзы можно пренебречь: линза задерживает фронт падающей волны на
значение, пропорциональное толщине линзы в каждой точке. Следовательно, тонкую линзу можно
рассматривать как транспарант, осуществляющий фазовую модуляцию и имеющий функцию
пропускания вида
, где функция Δφ(х, у) пропорциональна толщине линзы в
точке с координатами (х, у). Нетрудно показать, что
(1)
{Таким образом, свет в тонкой линзе проходит оптический путь, пропорциональный толщине
линзы в данной точке. Обратимся к рис. а. Проведем две параллельные плоскости, прижатые к
линзе с обеих сторон. Луч А проходит через линзу оптический путь n
0
(где п —- показатель
86
преломления материала линзы;
0
— ее максимальная толщина), а луч В часть пути между
плоскостями проходит в воздухе, а часть — в стекле, поэтому пройденный им оптический путь
равен п (х, у) - (
0
-
(х, у)), где
(х, у) — толщина стеклянной части линзы в соответствующей
точке.
Рис. а. Линза как фазовая задержка
Этому оптическому пути соответствует изменение фазы световой волны, равное
Тогда коэффициент пропускания линзы как объекта, сформированного двумя параллельными
плоскостями,
(1.1)
При этом мы учли, что линза абсолютно прозрачна, поэтому коэффициент амплитудного
пропускания равен единице, а все изменения содержатся в показателе экспоненты.
Необходимо определить значение
(х, у). При этом мы будем учитывать правило знаков: радиус
кривизны поверхности считается положительным, если эта поверхность выпуклая для луча,
идущего слева направо. Разделим линзу на две части (см. рис. а) и проанализируем их по
отдельности.
Представим толщину линзы как сумму толщин двух ее половинок
(x,y)=
1(x,y)+
2(x,y).
Каждая
из этих величин может быть выражена через соответствующий радиус кривизны, как это видно из
рис. а:
87
В уравнениях учитывался знак радиусов кривизны.
Складываем полученные величины и получаем толщину линзы в произвольной точке
(1.2)
Будем рассматривать только лучи, идущие под небольшими углами к оси линзы (параксиальное
приближение), поэтому в (1.2) корни можно разложить в ряд, оставив только нулевой и первый
члены ряда
Подставляя это разложение в (1.2), получаем
(1.3)
Теперь преобразуем к явному виду (1.4)
Воспользовавшись формулой линзы, окончательно получим
}
Таким образом, соответствующее тонкой сферической линзе комплексное пропускание
(2)
Допустим, что на рассматриваемую оптическую систему (рис. 1) падает плоская волна амплитудой
A0, распространяющаяся в положительном направлении оси z. Комплексная амплитуда света
непосредственно вблизй линзы справа от нее равна произведению функции пропускания
транспаранта и линзы:
(3)
88
Далее волна распространяется в свободном пространстве, поэтому комплексная амплитуда света
на любом расстоянии от линзы может быть рассчитана с помощью интеграла Френеля —
Кирхгофа.
Для расчета распределения комплексных амплитуд света на расстоянии z = d от линзы
воспользуемся приближением Френеля. Тогда:
(4)
Интегрирование производят по всей поверхности линзы. Подставим в (4) выражение (3),
опустив несущественный для дальнейшего анализа постоянный фазовый множитель
ехр (— ikd),
(5)
В результате упрощения данного интеграла путем разложения квадратов (х — х0)2 и (у — y0)2 ,
получим:
(6)
Если d = f т. е. рассматривается распределение комплексных амплитуд света в задней фокальной
плоскости линзы, то выражение (6) еще более упрощается и принимает следующий вид:
(7)
где
.
Интеграл в данном выражении представляет собой двумерное преобразование Фурье функции t (х,
у) при условии, что функция t (х, у) тождественно равна нулю за пределами поверхности линзы. Это
89
условие позволяет расширить пределы интегрирования до бесконечности, что и требуется для
преобразования Фурье.
Таким образом, если на тонкую сферическую линзу с примыкающим к ней транспарантом падает
плоская световая волна,то в задней фокальной плоскости линзы образуется поле с распределением
комплексных амплитуд, пропорциональным произведению квадратичного фазового множителя и
фурье-образа функции пропускания транспаранта.
В тех случаях, когда важна только интенсивность света, квадратичный фазовый множитель в
выражении (6) не учитывают.
Эффект, обусловленный этим множителем, эквивалентен действию тонкой рассеивающей
(вогнутой) линзы с фокусным расстоянием - f, помещенной в плоскости z =f. Если в плоскость z=f
поместить тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием f то этот фазовый множитель будет
компенсирован. В результате получают оптическую систему (рис. 1.8), выполняющую точное преобразование Фурье:
Предполагается, что за пределами поверхности транспаранта t (х, у) == 0. Если линза имеет
неограниченные размеры, а транспарант совершенно прозрачен, т. е. t (х, у) =1, то
Следовательно, падающая на линзу плоская световая волна фокусируется в точку на задней фокальной
плоскости линзы. Линза конечных размеров образует световое пятно малых, но все же конечных размеров, что и наблюдается на практике.
Лекции 12, 13. Выбор метода моделирования обобщённой изображающей оптической
системы (ООС)
Анализ показал, что модель можно полагать адекватной в линейном приближении.
90
Структурная модель
Принято, что обобщённая оптическая система (рис. 1) преобразует входные сигналы s (P) в
выходные (преобразованные) сигналы σ(Q),
Рисунок 1
где точка
Р (х,у) принадлежит пространству входных сигналов, Q(х',у') – пространству
преобразованных сигналов. Модель определяется формально заданным оператором линейного
преобразования
(интегралом суперпозиции, или свертки)
σ(Q) = PООС {s(P)}.
(2.2)
определяется последовательностью трех формально заданных преобразующих
операторов
.
(2.3)
Иначе говоря, преобразующие свойства ОС определяются поведенческими свойствами
преобразующего двумерного элемента (например, оптического)
пространства входных
и преобразованных
, а также слоёв
сигналов. Явный вид результирующего
оператора поведения PООС(s | Q,G) существенно зависит от выбранных моделей преобразования
и от соответствующих значений их внешних Q и внутренних G параметров. Приведенная модель
формально описывает
радиотехническую,
оптическую и акустическую системы. В оптике
основным преобразующим элементом на практике является объектив (Обв). В этом случае с
учётом преобразующих свойств объектива Pобв формула (2.3) принимает вид
.
(2.3')
При этом главными внутренними параметрами, определяющими поведение О ОС,
являются толщина – а СП входных сигналов и толщина анбл СП преобразованных сигналов.
91
2.1.2. Когерентная оптическая система
При анализе поведения когерентной ООС прежде всего вводится предположение о строгой
монохроматичности используемого излучения.
Поэтому при анализе преобразования сигналов в ООС прежде всего выделяют ООС с
когерентным поведением. Произвольная ОС, работающая при абсолютно когерентном освещении
и линейная относительно комплексной амплитуды поля, называется когерентной оптической
системой. Тогда при его регистрации интерференционного поля в когерентной ОС интенсивность
в плоскости наблюдения с учетом
определяется квадратом модуля суммарной
комплексной амплитуды и в случае двух волн имеет вид
(2.4)
где последнее слагаемое представляет собой интерференционный член, зависящий от
разности фаз. Если в плоскости наблюдения складываются N когерентных волн, то для суммарной
амплитуды и интенсивности получим
,
(2.5)
В общем случае для непрерывного распределения комплексной амплитуды сумма
превращается в интеграл суперпозиции для распределения комплексной амплитуды.
Некогерентная оптическая система
В проекте принимается модель ОС ТГС, как модель некогерентной оптической системы.
Практически такое излучение формирует протяженный полихроматический источник, который
можно рассматривать как ансамбль статистически независимых точечных источников.
В соответствии с этим выделяется ОС с некогерентным поведением. Такую произвольную
ОС, работающую при некогерентном освещении и линейную относительно интенсивности,
называют некогерентной оптической системой. При нулевой степени когерентности в случае
двух волн в плоскости наблюдения имеем
Это следует также из общего закона интерференции (2.8) в предположении, что разность
фаз в интерференционном члене, определяемая Re [γ12(τ)], для ансамбля статистически
92
независимых источников с равной вероятностью принимает все значения на [ -π, π ]. Тогда
с учетом (2.7) интерференционный член равен нулю.
Если в плоскости наблюдения складываются N некогерентных волн, то для суммарной
интенсивности получим:
(2.12)
В общем случае для непрерывного распределения интенсивности сумма превращается в
интеграл суперпозиции для распределения интенсивности.
Так как некогерентная ОС линейна относительно интенсивности, то некогерентные
дифракционно-аберрационные изображения (1.46) точечного источника в ОС, называемые
некогерентными функциями рассеяния и рассматриваемые как усредненные во времени
распределения интенсивности в изображении точечного источника, изменяются по статистически
независимым законам.
Моделирование формирования изображения в оптических системах. Изображающие
приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры
предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и
форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых
есть оценка качества изображения. В проекте принято, что передача структуры предмета или
изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого
отображения будем использовать математическое описание предмета и изображения в виде функций
I ( x, y ) и
I ( x' , y ' ) . Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от
пространственных координат.
При освещении предмета пространственно-некогерентным светом или когда поверхность
предмета является рассеивающей в формировании изображения каждой точки предмета участвуют
лучи прошедшие различный оптический путь. Соответственно информация о фазе световой волны
теряется и при формировании изображения происходит суммирование интенсивности светового
поля. В случае пространственно-когерентных световых полей информация о фазе сохраняется и при
описании формирование изображения ее надо учитывать. В дальнейшем мы будем рассматривать
случай некогерентных полей, который наиболее часто встречается в реальных приложениях. Для
того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих
точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности
к сдвигу.
93
Свойство линейности
Изображение суммы объектов I(x, y) равно сумме изображений каждого объекта I′ (x ′ , y ′ ).
Излучение пространства предметов I(x, y) модельно представляется суперпозиций взвешенных
дельта-функций δ(x − x ′ , y − y ′ ):
∞
I(x, y) = ∬ I′ (x ′ , y ′ )δ(x − x ′ , y − y ′ )dx ′ dy ′
−∞
Свойство линейности формулируется следующим образом:
∞
Iвых (x, y) = L{Iвх (x, y)} = L{∬ I′ (x ′ , y ′ )δ(x − x ′ , y − y ′ )dx ′ dy ′ }
−∞
Где L{*} – оператор линейного преобразования.
Учитывая линейные свойства интеграла, меняем последовательность выполнения этих операций:
∞
Iвых (x, y) = ∬ I′ (x ′ , y ′ )L{δ(x − x ′ , y − y ′ )}dx ′ dy ′
−∞
Функция, описывающая реакцию системы на точечный источник - импульсный отклик:
h(x,y) = L{δ(x − x ′ , y − y ′ )}
Окончательно для выходного сигнала:
∞
Iвых (x, y) = ∬ I′ (x ′ , y ′ )h(x − x ′ , y − y ′ )}dx ′ dy ′
−∞
Распределение интенсивности в изображении есть свертка функции предмета с функцией
рассеяния точки:
I ' ( x ' , y ' )  I ( x, y )  h ( x ' , y ' )
И изображающие оптические системы полностью линейны.
Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)
94
При смещении точки ее изображение тоже смещается на пропорциональную величину y’:
y ′ = βy
Где β – увеличение.
Как известно, отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах
соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется.
Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только
при небольших смещениях, что точно выполняется для ТГС.
Импульсный отклик (Функция рассеяния точки). Как известно, идеальной оптической
системе свободной от дифракции, точка изображается в виде точки. В случае более точного
приближения скалярной теории дифракции в реальной оптической системе точка изображается в
виде пятна рассеяния (диска Эйри, для систем с круглой апертурой). Принимается, что основной
характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является
функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) h( x' , y ' ) – это функция, описывающая
зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет –
это светящаяся точка в центре изопланатической зоны. Для модели ОС на дальности захвата цели это
допустимо, т.к. дальность превышает 100 фокусных расстояний. Конструктивные параметры и
характеристики ОС ТГС допустимо и удобно для адекватного модельного представления оценивать
при оценке реакции на гармонический периодический тест-объект. Поскольку предмет кроме
разложения на отдельные точки можно представить разложением на другие элементарные части –
периодические решетки, в частном и наиболее употребительном случае гармонические (рис.1), далее
в качестве тест-объкта рассматривается именно такая модель.
а) распределение интенсивности
б) сечение распределения интенсивности
Рис.1. Гармоническая периодическая решетка.
95
Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:
I ( x )  a cos(2
x  b
)
T
(1.4)
где a – вещественная амплитуда, b – сдвиг, T – период,  – угол ориентации.
Вместо периода можно использовать пространственную частоту v  1/ T , а вместо
вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду:
u  a exp( i 2vb)
(1.5)
Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:
I ( x )  u exp( i 2vx )
(1.6)
Величину x можно выразить как x  x cos( )  y sin(  ) , тогда интенсивность гармонической
решетки будет зависеть от двух координат ( x, y ) :
~
I ( x )  u exp[ i 2 ( xv cos  yv sin  )  u exp[ i 2 (v x x  v y y)]  I ( x, y)
(1.7)
где v x – частота в направлении x , v y – частота в направлении y .
Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические
решетки, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных решеток. В реальных
оптических системах эти изображения всегда передаются с изменением амплитуды и фазы.
Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (1.2) подставить в
~
качестве распределения интенсивности на предмете функцию I ( x, y ) (1.7):
 
~
I ' ( x' , y ' ) 
~
  I ( x, y)h( x'Vx, y'Vy)dxdy
(1.8)

Где все обозначения раскрыты выше, а V – масштаб, в частности можно считать V = β
Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V  1 , следовательно:
~
I ' ( x' , y ' ) 
 
  u exp[ i2 (v
x
x  v y y)h( x' x, y' y)dxdy

96
После замены переменных
x ' x  v dx  dv x  x 'v
,
,
, получим:
y ' y  w dy  dw y  y ' w
~
I ' ( x' , y ' ) 
 
  u exp[ i2 (v
x
( x'v)  v y ( y'w))]h(v, w)dvdw

Вынесем члены, не зависящие от перемены интегрирования, за знак интеграла получим:
 
~
I ' ( x' , y ' )  u exp[ i 2 (v x x'v y y ' )]   u exp[ i 2 (v x v  v y w)]h(v, w)dvdw 
  
(1.9)
 u exp[ i 2 (v x x'v y y ' )]D(v x , v y )
Двойной интеграл в выражении (1.9) – это некоторая функция D(v x , v y ) , зависящая от
пространственных частот. Обозначим u '  uD(v x , v y ) , и запишем распределение интенсивности на
изображении гармонического объекта в следующем виде:
~
I ' ( x' , y' )  u ' exp[ i 2 (v x x'v y y' )]
(1.10)
Как показывают соотношения (1.7) и (1.10), изображение от предмета отличается только
комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы
есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно
использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Собственно действие
оптической системы и заключается в изменении комплексной амплитуды гармонической решеток.
Оптическая передаточная функция (ОПФ)
Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF) D(v x , v y ) характеризует
передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:
u '  uD(v x , v y )
(1.11)
ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье:
 
  exp[ i2 (v v  v
x
D (v x , v y ) 
y
w)]h(v, w)dvdw
  
 
(1.12)
  h(v, w)dvdw
  
97
или ОПФ=F[ФРТ], где F– обозначение Фурье преобразования:
 
F[ f ( x, y)] 
  f ( x, y) exp[ i2 (v
x
x  v y y)]dxdy
(1.13)

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая
система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в
зависимости от частоты.
Оптическая передаточная функция – это комплексная функция:
D(v x , v y )  T (v x , v y ) exp[ i (v x , v y )]
(1.15)
Модуль ОПФ T (v x , v y )  D (v x , v y ) называется модуляционной передаточной функцией
(МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ
 (v x , v y )  arg[ D(v x , v y )] называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотнофазовой характеристикой (ЧФК).
Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды
(интенсивности) гармонического объекта: ЧКХ=а’/а, где а– амплитуда на предмете, а’– амплитуда на
изображении.
Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения
гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный. Для
идеальной оптической системы (без дифракции) ЧКХ – прямая, параллельная оси x (Рис. 4 ).
При учете дифракции, ЧКХ спадает в области высоких пространственных частот. В важном
частном случае круглой апертуры и пространственно-некогерентного освещения объекта ЧКХ
центрально симметрична и определяется следующим выражением:
2 
 
 2 arccos v r  v r 1   v r  , при 0  v r  1
 2  
 
2 0 2 0
2 0
 0


T (v r )  

v
0
, при r  1
2 0

98
1.0
идеальная о.с.
a'
0.5
реальная о.с.
0.0
0.0
0.5
r /2a0 1.0
Рис4. Пример частотно-контрастной характеристики.
где  0 
2d
- граничная пространственная частота. При этом ФРТ имеет характерную
f
кольцевую структуру. Центральный максимум такой структуры, в котором сосредоточена основная
энергия излучения, известен как диск Эйри.
Различают передаточную функцию оптической системы в пространстве изображений и в
пространстве предметов. Для изображений предметов расположенных на финитном расстоянии от
изображающей системы пространственная частота v измеряется в [лин./мм]. Для изображений
предметов, расположенных в бесконечности пространственная частота измеряется в [лин./рад.].
Передаточная функция оптической системы при дефокусировке. При дефокусировке
изображения изображение объекта смещено из плоскости регистрации. Если рассматривать систему
в приближении геометрической оптики, то ФРТ при дефокусировки будет представлять собой
цилиндр, диаметр основания которого зависит от величины смещения из плоскости точной
фокусировки (Рис. 5).
 B, v 2  w 2  R
h(v, w)  
.
0, v 2  v' 2  R
Заметим, что в приближении геометрической оптики размер ФРТ в плоскости точной
фокусировки равен нулю. В реальности размер ФРТ ограничен дифракционными эффектами,
поэтому аппроксимация ФРТ при дефокусировке цилиндром применима когда геометро-оптический
размер ФРТ в несколько раз больше диска Эйри.
99
h
x
y
Рис. 5 ФРТ при дефокусировке
Пусть радиус основания ФРТ равен R , тогда передаточную функцию нетрудно найти используя
выражение (12).
В силу центральной симметричности ФРТ для вычислений целесообразно перейти к полярным
координатам. Тогда используя известное интегральное соотношение для Бесселевых функций:
i n
2
2
 exp[ ix cos ] exp[ in ]d  J
n
( x)
0
нетрудно получить следующее выражение для ОПФ:
R
D (v ) 
 BJ
0
(vr)rdr
0
R
 Brdr
0
Принимая во внимание известное соотношение для функций Бесселя:
окончательно получаем: D(v)  2
J 1 (vR)
vR
d n
[ x J n ( x)]  x n J n 1 ( x) ,
dx
(1.16)
Если наблюдаемый объект имеет вид синусоидальной миры, например, такой как изображен на
рис 6а, то при отношении диаметра ФРТ к периоду миры, равном 1.22 контраст изображения станет
равным нулю. При дальнейшем увеличении дефокусировки контраст на изображении будет
периодически появляться с уменьшающейся амплитудой. Причем после каждого перехода
передаточной функции через ноль происходит инверсия контраста в изображении.
100
Рис.6 а)
1.0
0.8
D()
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0
5
10
15
20
R
Рис.6 б) Передаточная функция при дефокусировке
На рисунке 6 показан типичный график передаточной функции оптической системы при
дефокусировке.
101
Полученные результаты можно распространить на случаи акустики и радиотехники.
Лекция 14. Пространственно-временное преобразование регулярных пространственных
сигналов кодером.
Предварительные замечания. Кодирование пространственных сигналов понимается здесь,
как и кодирование сигналов временных, с той разницей, что в случае сигнала пространственного не
может идти речи о цифровых кодах, применяемых во временной области. Для пространственных
сигналов – кодирование означает пространственную модуляцию, даже если это модуляция
дискретная. В реальных КПС, включающих, например, радиолокационные станции, эхолоты или
активные оптико-электронные системы, можно считать, что при облучении пространства предметов
пучком зондирующего излучения с одной стороны, происходит пространственная модуляция
сигналом, описывающим пространственное распределение коэффициента отражения зондируемым
пространством (поверхностью). С другой стороны если система предазначена для обнаружения,
распознавания и определения координат объекта, то можно говорить о кодировании координат
этого объекта.
Пространственная модуляция двумерного носителя сообщения понимается, как способ
кодирования для последующеий передачи или анализа сообщения с помощью электромагнитного
или акустического излучения. При этом может осуществляться управляемое изменение
пространственного распределения амплитулы и фазы волны.
102
Временная модуляция двумерного носителя сообщения понимается, как способ кодирования
для последующеий передачи или анализа сообщения с помощью электромагнитного или
акустического излучения, с помощью управляемого изменения амплитулы волны во времени. Фаза
волны при этом не управляется. Примером может служить случай модуляции излучения
оптического и инфракрасного диапазона электромагнитных волн в волоконных линиях связи.
Пространственно-временная модуляция двумерного носителя сообщения понимается, как
способ кодирования для последующеий передачи или анализа сообщения с помощью
электромагнитного или акустического излучения при управлении изменением пространственного
распределения амплитуды и фазы волны во времени.
Пространственная фильтрация понимается, как частный случай пространственной модуляции,
осуществляемой для задач обнаружения и распознавания пространственных сигналов.
2 Особенности КПС с различными типами подсистем пространственно-временного
преобразования регулярных пространственных сигналов.
2.1 Оптико-электронные системы (ОЭС)
Для анализа сообщений об излучающем объекте в ОЭС используют сканирующее устройство,
называемое анализатор изображения (АИ). В общем случае подвижным АИ называют устройство,
состоящее:
1.
из площадки приемника излучения (ПИ) с известным законом распределения
чувствительности по пространственным координатам;
2.
модулирующе-развертывающих элементов, преобразующих пространственное
распределение освещенности в плоскости изображения во временной поток излучения, в
параметрах которого содержится информация о параметрах и характеристиках освещенности
излучающего объекта.
При анализе помехозащищенности ОЭС основным структурным звеном АИ является
модулирующе-развертывающее устройство, которое в дальнейшем будем называть модулятором
анализатора
изображения
(МАИ) и
характеризовать
функцией
пропускания
.
В
качестве модулятора-анализатора изображения (МАИ) используют:
1.
движущуюся диафрагму сложного рисунка (растровый МАИ);
2.
движущуюся площадку ПИ;
3.
электронный луч в передающей телевизионной трубке (в этом случае он является
одновременно и МАИ, и ПИ) и т. д.
103
Характеристики любых реальных элементов, входящих в АИ и расположенных в различных
плоскостях, могут быть пересчитаны в эквивалентную функцию пропускания МАИ, совмещенную
с плоскостью изображения объекта. Пересчет характеристик осуществляют по законам
геометрической оптики и в соответствии с соотношениями фотометрии. Поэтому МАИ можно
представить в виде тонкого транспаранта, имеющего заданную функцию пропускания по его
площади.
Модуляторами в ОЭС называют устройства, преобразующие пространственное распределение
яркости источника излучения во временной поток, в параметрах которого содержится информация
о распределении яркости. Для некогерентных излучателей – это, в основном растровые, либо
электрооптические модуляторы, для лазеров – интерференционные модуляторы, модуляторы на
управляемом оптическом контакте, акустооптические модуляторы, а также магнитооптические и
электрооптические модуляторы и дефлекторы.
Функции, выполняемые АИ и модуляторами, зависят от типа ОЭС, в которых их используют.
В ОЭС следящего и пеленгационного типа МАИ выполняет следующие основные функции:
1.
преобразует изменение потока излучения по различным участкам изображения в
пространстве в функцию времени;
2.
формирует сигнал от объекта и выделяет его из фоновых шумов;
3.
вносит в сигнал от объекта излучения, как функцию времени, неявно выраженную
информацию о положении объекта в поле зрения ОЭС.
Перечисленные выше функции не требуют детального анализа всей структуры поля
излучения, так как задачей, решаемой ОЭС, является измерение координат малоразмерного объекта
или слежение за ним.
К МАИ ОЭС следящего и пеленгационного типа предъявляются следующие основные
требования:
1.
статическая
характеристика,
определяющая
зависимость
модулирующего
параметра потока излучения от координат х, у точечного источника излучения (модуляционная
характеристика
МАИ),
должна
иметь
большую
крутизну,
что
обеспечивает
высокую
чувствительность системы к изменению координат;
2.
модуляционная характеристика МАИ, в малой зоне в центре углового поля в ОЭС
следящего типа и по всему полю в ОЭС пеленгационного типа, должна обладать высокой
линейностью;
104
3.
МАИ
должен
осуществлять
эффективную
пространственную
фильтрацию
точечного объекта из случайных фоновых образований.
В ОЭС информационного типа, предназначенных для анализа структуры яркости объекта или
его изображения, основными функциями МАИ являются:
1.
последовательный просмотр малым мгновенным угловым полем всего поля обзора;
2.
формирование временного потока излучения, который пропорционален яркости
излучения в каждой точке пространства предметов или освещенности в каждой точке пространства
изображений.
В результате последовательного просмотра поток излучения как функция времени
привязывается к координатам каждой просматриваемой точки.
Основные требования к МАИ информационного типа – формирование потока излучения как
функции времени, в котором были бы минимальные потери информации о структуре яркости поля
излучения или его изображения.
В некоторых лазерных электронных системах, например, локаторах, дальномерах, приборах
ночного видения с лазерной подсветкой, линиях связи и т. д., оптическое излучение модулируется
на выходе излучателя. В этом случае функция модулятора заключается в создании такого
временного потока излучения, который обеспечивает наиболее точное выполнение задачи,
возлагаемой на систему.
К модуляторам лазерных электронных систем предъявляют следующие основные требования:
1.
максимальная глубина модуляции потока излучения при минимальных его потерях
в модуляторе;
2.
большое
быстродействие,
обеспечивающее
высокую
плотность
передачи
информации;
3.
постоянство модулирующих свойств в пределах полного сечения потока
излучения.
2.2 Радиолектронные системы (РЭС)
Подавляющее большинство информационных РЭС – активные, в них сканирование
осуществляется как для подсветки, так и для приема излучения.
Для анализа принятых сообщений об объекте в РЭС с фазированными антенными решетками
(ФАР) (см. разделы Энциклопедии кафедры: Обобщенная математическая модель ОЭС, Модель
формирования двумерного сигнала в РЭС с фазированными антенными решетками и Теория
Антенн) используют сканирующее устройство, формально моделируемое, как анализатор
105
изображения в ОЭС. В общем случае, в случае с РЭС с ФАР будем модельно представлять
устройство, состоящее из компонент:
1.
Приемная или излучающая апертура с известным законом распределения
чувствительности (излучения) по пространственным координатам;
2.
Развертывающие элементы, преобразующих пространственное распределение
интенсивности в плоскости апертуры во временной поток излучения, в параметрах которого
содержится информация о параметрах и характеристиках освещенности облучаемрго объекта.
При анализе помехозащищенности РЭС основными структурными звеньями является
формирователь диаграммы направленности (ФДН) и развертывающее устройство, которое в
дальнейшем будем называть сканером илисканирующим устройством (СУ) и характеризовать
функцией пропускания, аналогичной
В
качестве
ФДН
будем
.
рассматривать
фокусирующее
устройство,
выполняющее
пространственную фильтрацию за счет конечности размеров диаграммы направленности.
Описанный процесс обработки как в принципе, так и по математической формулировке очень
похож на обычный процесс воспроизведения изображений в оптическом диапазоне волн; однако их
реализации существенно отличаются друг от друга, хотя есть все основания полагать, что такого
отличия может и не быть.Поэтому принятые в модели тракта РЭС аналогии с ОЭС можно считать
допустимыми.При этом модель антенной системы для решения задач, обусловленных дисциплиной
(ОИРС) формально можно представить моделью сканирующего устройства (в ОЭС – это МАИ,
кодер). Тогда структура пространственно-временного тракта РЭС может быть представлена так, как
показано на рис. 1.
Рис. 1. Структура пространственно-временного тракта РЭС
106
Для направленных антенн с классической конструкцией характерно наличие фокусирующего
устройства в виде линзы (например, Люнеберга), фокусирующего зеркала и.т.п. (см раздел 2.4.8).
Поскольку ДН таких антенн имеет конечные размеры, антенны можно рассматривать, как
пространственный фильтр с импульсным откликом, определяемым раскрывом.
Для фазированных антенных решеток, диаграмма направленности которых образуется
когерентной суммой диаграмм направленности отдельных элементов, также характерно свойство
формировать изображение пространства предметов, которое является продуктом сканирования.
Несмотря на это, вполне допустимо представлять математическую модель, как совокупность
пространственного фильтра и сканирующего устройства.
Характеристики элементов, входящих в фазированную решетку и расположенных в
различных плоскостях, могут быть пересчитаны в эквивалентную функцию пропускания,
совмещенную
с виртуальной плоскостью изображения объекта. Пересчет характеристик
осуществляют по законам геометрической оптики и в соответствии с соотношениями фотометрии.
Поэтому ФДН можно представить в виде тонкого транспаранта, имеющего заданную функцию
пропускания по его площади.
Модуляторами
излучения
в
РЭС
будем
называть
устройства,
преобразующие
пространственное распределение интенсивности излучения во временной поток, в параметрах
которого содержится информация о распределении интенсивности отраженного от объекта
излучения. Функции, выполняемые АИ в ОЭС и модуляторами, зависят от типа РЭС, в которых их
используют.
В РЭС следящего и пеленгационного типа сканирующее устройство выполняет следующие
основные функции:
1.
преобразует изменение потока излучения по различным участкам изображения в
пространстве в функцию времени;
2.
формирует сигнал от объекта и выделяет его из фоновых шумов;
3.
вносит в сигнал от объекта излучения, как функцию времени, неявно выраженную
информацию о положении объекта в поле зрения РЭС.
Перечисленные выше функции не требуют детального анализа всей структуры поля
излучения, так как задачей, решаемой РЭС, является измерение координат малоразмерного объекта
или слежение за ним.
К сканирующему устройству РЭС следящего и пеленгационного типа предъявляются
следующие основные требования:
107
1.
статическая
характеристика,
определяющая
зависимость
модулирующего
параметра потока излучения от координат х, у точечного источника излучения, должна иметь
большую крутизну, что обеспечивает высокую чувствительность системы к изменению координат;
2.
модуляционная характеристика СУ, в малой зоне в центре углового поля в РЭС
следящего типа и по всему полю в РЭС пеленгационного типа, должна обладать высокой
линейностью;
3.
СУ должно осуществлять эффективную пространственную фильтрацию точечного
объекта из случайных фоновых образований.
В РЭС информационного типа, предназначенных для анализа структуры объекта или его
изображения, основными функциями СУ являются:
1.
последовательный просмотр малым мгновенным угловым полем всего поля обзора;
2.
формирование
временного
потока
излучения,
который
пропорционален
интнсивности излучения в каждой точке пространства предметов или освещенности в каждой точке
пространства изображений.
В результате последовательного просмотра поток излучения как функция времени
привязывается к координатам каждой просматриваемой точки.
Основные требования к СУ в РЭС информационного типа – формирование потока излучения
как функции времени, в котором были бы минимальные потери информации о структуре яркости
поля излучения или его изображения.
В коммуникационных РЭС, например линиях связи и т. д., электромагнитное излучение
модулируется на выходе излучателя. В этом случае функция модулятора заключается в создании
такого временного потока излучения, который обеспечивает наиболее точное выполнение задачи,
возлагаемой на систему.
К модуляторам коммуникационных РЭС предъявляют следующие основные требования:
1.
максимальная глубина модуляции потока излучения при минимальных его потерях
в модуляторе;
2.
большое
быстродействие,
обеспечивающее
высокую
плотность
передачи
информации;
3.
постоянство модулирующих свойств в пределах полного сечения потока
излучения.
108
Лекция 15.
Пространственная передаточная функция сканирующего устройства (СУ),
модулятора-анализатора изображения (МАИ), кодера.
1. Ковариационная модель (KvM) СУ
Описание процесса преобразования двумерного пространственного сигнала во
временной электрический сигнал сводится к следующему. Любые пространственные
образования на поверхности предметов представляются в виде функции яркости
.
Это распределение яркости преобразуется оптической системой в распределение
освещенности
в
плоскости
изображения.
Функция
пропускания
СУ
учитывает ограничения, накладываемые на пропускаемый поток излучения.
Этот поток интегрируется по области
приемником излучения, который преобразует
его в электрический сигнал. Если СУ перемещается, то координаты хм и ум могут быть
выражены в функции координат
и времени t и в этом случае сигнал с ПИ будет
функцией времени.
Для математического описания процесса анализа изображения используют систему
координат, показанную на рис. 3.1, где изображены плоскости изображения с
координатами х', у', СУ с координатами хм , ум и потока излучения; р' – расстояние от
выходного зрачка до плоскости изображения.
109
Все три плоскости расположены друг за другом на расстояниях
модельном
представлении
СУ
рассматривается
как
плоский
. При таком
транспарант
с
коэффициентом пропускания по интенсивности (функция пропускания СУ). Функцию
пропускания
СУ в широком смысле можно представить в виде произведения двух
независимых функций, одна из которых учитывает спектральное пропускание материала
СУ, а вторая – рисунок СУ. С учетом изложенного
(1)
где
– коэффициент пропускания материала СУ на заданной длине волны;
– функция пропускания растровой структуры СУ в узком смысле, или
просто функция пропускания СУ.
Если известно распределение квазимонохроматической облученности в изображении
объекта
и функция пропускания СУ
, то при смещении СУ на
110
величину
и повороте на угол
(рис. 3.2) функцию пропускания СУ
можно записать в следующем виде:
Точка
плоскости изображения с облученностью
имеет координаты
. В этом
случае поток на выходе СУ определяется зависимостью
(2)
2. Модель СУ и определение пространственной передаточной функции (ППФ)
СУ
Распространим частотный метод описания линейных систем на преобразование
сигналов с помощью
СУ. Зависимость
(2) представляет собой функцию взаимной
ковариации. Тогда, взяв преобразование Фурье от (2), получим выражение для ПЧС
потока излучения
(3)
111
где
–
ПЧС
освещённости
изображения;
, так как
– действительная
функция;
–
функция,
комплексно-сопряженная с пространственной передаточной функцией СУ.
Поток излучения на выходе смещенного
СУ может быть найден как обратное
преобразование Фурье от зависимости (3):
(4)
По определению фурье-образ нормированной функции пропускания
определенном неподвижном положении (обычно
)
СУ при его
называют
пространственной передаточной функцией (ППФ) СУ. Саму функцию пропускания СУ
называют импульсной (весовой) функцией
ОИзС.
Если
пространственный
спектр
СУ. Она эквивалентна НКФР
освещенности
пространственный спектр яркости объекта
выразить
через
, то с учетом (2.160) получим
(3')
где
.
Выражение (3') определяет амплитуды пространственно-частотных гармоник в спектре
выходного
потока
излучения,
которые
определяются
пространственно-частотной
структурой СУ. Однако физически эти гармоники реализуются в виде временных частот
в электронном тракте, так как смещение СУ представляет собой функцию времени.
3. Определение ППФ СУ с плоскостной симметрией в декартовой системе
координат
112
Очень часто СУ состоят из простых или повторяющихся элементов. Это характерно
для СУ с электронным сканированием (например, ПЗС, антенны с фазированными
решетками) поэтому при нахождении их ППФ используют теоремы линейности и
смещения преобразования Фурье. Предположение о линейности пространственных
фильтров СУ основано на том, что реакция на сумму входных сигналов равна сумме
реакции на каждый сигнал в отдельности.
На рисунке ниже показана часть
СУ, состоящего из однотипных пропускающих
элементов. Функция пропускания нулевого элемента равна
может быть выражена через
, а к-го элемента
как
, где
— координаты центра пропускающего элемента. Функция пропускания всего СУ
может быть записана в виде
(5)
где N — число прозрачных элементов.
Преобразование Фурье нулевого элемента
Соответственно преобразование Фурье от к-го элемента с использованием теоремы
смещения
(6)
Взяв преобразование Фурье от (5) с учетом зависимости (6), получим ППФ СУ
(7)
113
Для некоторых конкретных видов СУ, например для СУ, показанном на рис. 3.3,
можно получить более удобную формулу для определения ППФ, чем
(7). Функцию
пропускания СУ, показанную на рис. 3.3, можно записать в следующем виде:
Если
, то
114
Взяв от
преобразование Фурье, получим
(7')
Лекция 16. Частотно-временной спектр потока излучения на выходе СУ
1 Временной поток излучения на выходе СУ
При смещении и повороте СУ поток излучения на его выходе определяется зависимостью (2).
Если
СУ непрерывно движется по закону
и
. В этом случае поток
излучения на выходе СУ будет функцией времени
.
(20)
В общем случае освещённость в изображении объекта также может изменяться во времени, т.е.
. Однако в подавляющем большинстве практических случаев время анализа
изображения достаточно мало, поэтому изменением освещенности в течение времени анализа можно
пренебречь. В дальнейшем будем считать, что распределение освещённости в изображении объекта от
времени не зависит.
Зависимости
и
в (20) описывает закон анализа изображения. Выражение
(20) позволяет в общем виде найти поток излучения на выходе СУ при его произвольном законе
движения. Если СУ движется поступательно, то
, так что
.
При вращательном движении СУ
(21)
, тогда
115
,
(22)
Откуда, переходя к полярным координатам r¢ и y¢, получим
.
Поток излучения на выходе
СУ как функция смещения
(22¢)
и поворота
определяется зависимостью (4). Если СУ движется, то (4) принимает следующий вид:
(4¢)
Рассмотрим методику определения частотно-временного спектра (ЧВС) потока излучения на
выходе СУ для поступательного и вращательного движения.
2. Поступательное движение СУ
В случае поступательного движения СУ (
) центр СУ может двигаться по прямолинейной,
круговой, циклоидальной, эллиптической, спиральной и т.д. траектории.
2.1. Поступательное движение вдоль прямолинейной траектории
Для СУ в перспективных РЭС, АЭС и ОЭС характерно преобладание линейного сканирования.
Если
СУ движется с постоянной скоростью
вдоль некоторой прямой линии, то
. Подставляя
и
в (4¢), получим
.
(23)
Частотно-временной спектр (ЧВС) потока излучения на выходе СУ имеет вид
.
(24)
Подставляя (23) в (24) с учетом спектрального представления d-функции (
),
(+)
получим
116
(*)
2.2. Линейное сканирование СУ вдоль оси О¢x¢
При сканировании вдоль оси
со скоростью
(рис.3.8).
Тогда на основании фильтрующего свойства d-функции
.
(25)
С учетом (3¢) получим окончательно
.
Таким образом, для определения ЧВС
оси
1)
(25¢)
при линейном сканировании изображения вдоль
необходимо знать:
ПЧС объекта;
117
2)
ОПФ изображающей системы;
3)
ППФ СУ.
Кроме частотного метода определения ЧВС потока излучения на выходе
СУ может
использоваться так называемый получастотный метод. Этот метод удобен тогда, когда известна не
передаточная функция оптической системы, а ее функция рассеяния.
Пусть
СУ движется с постоянной скоростью
и
вдоль оси
поток
на
. В этом случае
выходе
СУ
равен
. Тогда частотно-временного спектра (ЧВС)
потока излучения имеет вид
.
Переходя от переменной t к хм по формуле
, получим
(26)
Введя обозначения
(26) можно представить в виде
,
где
, так как
(26¢)
– действительная функция.
В случае пространственно-инвариантной оптической системы освещенность изображения
пропорциональна свертке распределения яркости предмета с нормированной некогерентной функцией
рассеяния:
118
.
ЧВС освещенности
Проведя замену переменной
(27)
с учетом (27) принимает вид
и вводя обозначения
найдем
.
(28)
Подставляя (28) в (26¢), получим окончательное выражение для временного спектра
монохроматического потока излучения на выходе СУ
(29)
Лекция 17.
Преобразование оптического сигнала приемником (детектором) излучения
Приемник излучения (ПИ) осуществляет преобразование энергии электромагнитного (для ОЭС
и РЭС) и акустического (для АЭС) излучения в какую-либо форму: электрическую, тепловую,
энергию химических процессов и т.д. ПИ делятся на несколько классов:

Детекторы в РЭС.

Микрофоны в АЭС.

Приемники лучистой энергии, фотоэлементы в ОЭС.
Далее кратко рассмотрены лишь те характеристики и параметры, которые позволяют найти
связь между сигналами на входе и выходе ПИ независимо от физической природы входного
119
сигнала, снимаемого со СУ. Термин «спектральный» (для ОЭС) далее следует понимать, как
«частотный» для (РЭС и АЭС)
Свойства ПИ наиболее полно можно описать системой характеристик и параметров,
выражающих зависимость сигнала и шума, вырабатываемых приемником, от следующих основных
факторов:
1)
диапазона спектрального состава;
2)
частоты модуляции потока излучения;
3)
полосы пропускания частот
4)
температуры чувствительного слоя;
5)
напряжения питания и т.д.
измерительной аппаратуры;
Наиболее распространенными характеристиками ПИ как преобразователя оптических сигналов
являются:
1)
энергетическая или световая (амплитудная) характеристика, выражающая зависимость
выходного сигнала от потока излучения, падающего на ПИ;
2)
спектральная характеристика, выражающая зависимость выходного сигнала ПИ от длины
волны падающего излучения;
3)
частотная характеристика, определяющая инерционные свойства приемника;
4)
шумовая характеристика, представляющая собой зависимость спектральной плотности
шума ПИ от временной частоты.
1. Энергетические характеристики чувствительности ПИ
Понятие чувствительности охватывает ряд свойств ПИ применительно к различным условиям
их работы. Они характеризуются чувствительностями:
1)
интегральной;
2)
спектральной;
3)
спектральной вольтовой;
4)
интегральной вольтовой (токовой);
5)
квантовой (квантовой эффективностью)
6)
пороговым потоком излучения.
Интегральная чувствительность равна отношению изменения одного из параметров ПИ к
вызвавшему это изменение полихроматическому (интегральному) потоку излучения. На практике
вместо интегральной чувствительности используют понятие интегральной вольтовой (токовой)
чувствительности, которое характеризует чувствительность ПИ в реальной схеме его включения.
Отношение амплитуды напряжения
, снимаемого с ПИ, к амплитуде синусоидального
120
модулированного потока излучения
равно вольтовой чувствительности. Она выражается в
В/Вт (А/Вт) и описывается формулой
.
(1)
Спектральная чувствительность равна отношению изменения одного из параметров ПИ к
вызвавшему это изменение монохроматическому потоку излучения. Отношение амплитуды
выходного
напряжения
монохроматического
потока
к
амплитуде
падающего
синусоидального
излучения
равно
модулированного
спектральной
вольтовой
чувствительности. Она выражается в В/Вт (А/Вт) и описывается формулой
.
(2)
Спектральная чувствительность ПИ однозначно связана с его квантовой эффективностью
(квантовым выходом).
Квантовая чувствительность (квантовая эффективность) может быть определена делением
тока на заряд электрона и потока излучения на энергию кванта. Если
измеряется в мА/Вт, а
длина волны l в нм, то
.
Относительная спектральная чувствительность ПИ
чувствительности к ее максимальному значению
(2¢)
есть отношение спектральной
:
(3)
При освещении ПИ синусоидальным модулированным полихроматическим потоком излучения
амплитуда напряжения на выходе ПИ
,
где
(4)
– амплитуда спектральной плотности потока излучения.
С учетом (4) интегральная вольтовая чувствительность (1) определяется по формуле
,
где
(5)
(5¢)
121
– коэффициент использования ПИ, а
и
.
Пороговым потоком ПИ является тот минимальный поток излучения, который вызывает на
выходе ПИ сигнал, равный уровню собственных шумов. Заменяя в (1) реакцию ПИ
среднеквадратическим значением шумов
, получим
.
(6)
По аналогии с (6) можно ввести понятие монохроматического порогового потока
.
Так как пороговый поток зависит от площади
пропускания частот электронного тракта
(6¢)
чувствительной площадки ПИ и полосы
, то для оценки порогового потока ПИ вводится понятие
обнаружительной способности [38]
.
(7)
Соответственно для монохроматической обнаружительной способности имеем следующую
запись:
.
(7¢)
Из (7) и (7¢) следует, что при заданных размерах чувствительной площадки ПИ и ширине
полосы пропускания электронного тракта пороговая чувствительность ПИ зависит от уровня
шумов.
2. Частотно-временные характеристики ПИ
Инерционные свойства ПИ характеризуются его постоянной времени
характеристикой
или частотной
, которую по аналогии с терминологией, принятой при описании
частотных свойств оптической системы и МАИ, будем называть временной передаточной функцией
ПИ.
Под постоянной времени
обычно понимают отрезок времени, в течение которого
напряжение на выходе ПИ достигает
своего максимального значения при
освещении ПИ потоком излучения в виде единичного скачка. При этом принимают, что
не
зависит от спектрального состава излучения.
122
Модуляционная передаточная функция (МПФ) ПИ показывает зависимость интегральной
чувствительности от временной частоты при синусоидальном законе модуляции облучающего
потока. Обычно МПФ выражается в относительных единицах:
,
где
и
соответственно
чувствительности на частотах
и
значения
интегральной
. При этом также принимают, что
(8)
вольтовой
не зависит
от спектрального состава падающего излучения.
При анализе частотных свойств ПИ его рассматривают как апериодическое звено с постоянной
времени
. В этом случае его временную ПФ определяют по формуле
,
где
(9)
— ФЧХ
;
ПИ.
Шумы ПИ разделяются на:
1)
внутренние, зависящие от собственных свойств приемника;
2)
внешние, возникающие от флуктуаций излучения объектов и фона, а также от излучения
элементов конструкции ОЭП, попадающих в его поле зрения.
Внутренние шумы характеризуются или энергетической спектральной плотностью
или среднеквадратическим значением их амплитуды
. Спектральная плотность
шума и его среднеквадратичное значение связаны соотношением
.
(*)
Уровень шума от фона на выходе ПИ определяется реакцией ПИ на случайный фоновый поток
излучения.
3 Неоднородность чувствительности ПИ
Рассмотренные характеристики чувствительности соответствуют идеализированному ПИ, когда
каждый элемент
чувствительного слоя имеет одинаковую чувствительность,
независимо от падающего на него потока. На самом деле любая площадка ПИ обладает
123
неодинаковой чувствительностью в разных точках и зависимостью чувствительности от
освещенности в данной точке. В этом случае каждая элементарная площадка
координатами центра
с
будет характеризоваться соответствующей спектральной или
интегральной вольтовой чувствительностью
,
где
и
– соответственно монохроматический и полихроматический потоки, падающие
на элементарную площадку ПИ. Тогда для определения сигнала на выходе ПИ необходимо знать
зависимость его спектральной или интегральной чувствительности от координат площадки с
учетом потока излучения, приходящегося на каждую элементарную площадку
. При
измерениях характеристик ПИ указанные зависимости получить достаточно сложно. Поэтому
принимают следующее допущение. Закон изменения чувствительности по координатам
ПИ остается постоянным при различной освещенности. Это дает возможность характеризовать
чувствительность по площадке ПИ двумя параметрами:
1)
зависимостью чувствительности от потока излучения, падающего на площадку ПИ, т.е. от
средней освещенности;
2)
относительной чувствительностью по площадке.
В этом случае
,
где
(10)
– зависимость спектральной вольтовой чувствительности от монохроматического
потока излучения, падающего на чувствительную площадку ПИ;
– относительное
распределение чувствительности по площадке ПИ.
На рисунке показана типичная кривая зависимости амплитуды напряжения, вырабатываемого
ПИ, от падающего на ПИ потока излучения, которая имеет нелинейный характер.
124
Участок
равна
кривой может считаться приближенно линейным. Соответствующая абсцисса
. Однако, не смотря на нелинейный характер зависимости
, где
– редуцированный поток излучения ( числитель
см. (5)), в
большинстве случаев работы ОЭП указанную кривую можно линеаризировать.
Линеаризация возможна, так как в пеленгационных, тепловизионных, телевизионных и других
ОЭП поток излучения от объекта во много раз меньше фонового потока, попадающего на ПИ.
Поэтому приближенно можно считать, что поток от объекта
не меняет интегральную
чувствительности ПИ и она может выбираться равной значению, определяемому величиной
фонового потока
засветке фоновым потоком
. Тогда интегральная вольтовая чувствительность при
имеет вид
125
.
(11)
.4. Полная передаточная функция ПИ
Чувствительную
площадку
чувствительных площадок
ПИ
можно
представить
в
виде
набора
элементарных
, обладающих определенной чувствительностью и определяющих
общий аддитивный сигнал. Чувствительность каждой элементарной площадки зависит от:
1)
координат ее центра
2)
длины волны;
3)
постоянной времени
4)
величины фоновой засветки.
;
или частоты модуляции
;
Следовательно, спектральная вольтовая чувствительность элементарной площадки в общем
виде может быть записана как
. Обычно при расчетах принимают
следующие допущения:
1)
зависимость чувствительности от длины волны;
2)
и постоянная времени каждой площадки считаются одинаковыми;
3)
спектральная чувствительность линеаризуется и зависит от уровня фоновой засветки:
(12)
Величину
можно
представить
как
,
максимальное значение чувствительности ПИ при потоках, близких к
где
–
пороговым; –
коэффициент, учитывающий падение чувствительности от редуцированного фонового потока (
).
При засветке ПИ фоновым потоком интегральная вольтовая чувствительность определяется как
(по аналогии с (5), стр. 197)
,
(13)
Сравнивая выражения (5) и (13), получим
.
(14)
В соответствии с (12) ПИ можно представить в виде линеаризованной модели, показанной
ниже:
126
Она состоит из:
1) Просранственного частотного фильтра ПЧФ 1, описываемого зависимостью
или
2)
;
оптического спектрального фильтра 2 по длинам волн, задаваемого зависимостью
(ЧВФ для
Гц);
преобразовательного
3)
безынерционного
звена
3,
характеризуемого
выражением
;
4)
Частотно – временного фильтра ЧВФ 4 в виде апериодического звена, описываемого
зависимостью
5)
или
;
генератора шума 5 со спектральной плотностью шума
, который воспроизводит
частотно-временной спектр мощности реального ПИ.
Следует отметить, что шум аддитивен по отношению к полезному сигналу. Представленную
линеаризованную модель можно описать соответственно передаточной и полной передаточной
функциями:
ПФ по
и по
:
(15)
Полная ПФ по
,
,
,
:
127
(16)
Зависимость (12) равна модулю (15).
В настоящее время в различных классах ОЭП широко используют линейки и матрицы ПИ:
1) без накопления;
2) с накоплением зарядов.
1°) К приемникам излучения без накопления зарядов относятся:
1)
структуры с полной электрической развязкой отдельных чувствительных элементов (ЧЭ);
2)
устройства с внутренними электрическими связями ЧЭ.
1) Структуры первого типа формируются путем набора из отдельных фоточувствительных
элементов или выделения отдельных ЧЭ на подложке методами фотолитографии или резки
монокристалла. Между чувствительными элементами существует полная электрическая развязка,
каждый ЧЭ ПИ имеет свой канал обработки сигнала и регулируемым коэффициентом усиления.
При применении наборной матрицы из отдельных элементов не может быть обеспечена высокая
плотность размещения ЧЭ в матрице.
Общим недостатком структур такого типа является наличие большого числа выводов (2n, где n
– число ЧЭ), что накладывает существенные ограничения на число элементов в структуре.
Реализация такого принципа построения ПИ для большого числа элементов при малом шаге между
ними сопряжена со значительными технологическими и схемотехническими трудностями.
2) Более перспективными являются линейные и матричные структуры. Простейшими из этой
группы являются структуры, у которых от каждого элемента имеется лишь по одному выводу, а
вторые выводы запараллелены. Общее число выводов такой структуры n + 1, где n – число ЧЭ.
Наиболее распространенными являются структуры с взаимно ортогональными шинами,
позволяющие резко сократить число внешних коммутационных соединений [10]. Такой матричный
ПИ включает два электрода, состоящих из изолированных друг от друга токопроводящих полосок и
расположенного между ними однородного токопроводящего слоя. Полоски одного электрода
перпендикулярны полоскам другого и в процессе сканирования выполняют функции адресных шин.
128
Переход от одного из электродов к фотослою осуществляется через блокирующие диоды,
расположенные в местах пересечения полосок. К горизонтальным и вертикальным шинам подаются
от специальных сдвигающих регистров строчные и кадровые коммутирующие импульсы, при
совпадении которых соответствующие блокирующие диоды открываются и через нагрузочный
регистр протекает ток сигнала.
В настоящее время среди твердотельных фотопреобразователей с накоплением заряда основное
место занимают приборы с зарядовой связью (ПЗС). ПЗС представляет собой регулярную МДП
(или МОП) структуру, состоящую из отдельных близко расположенных ячеек. Каждая ячейка
образует накопительный конденсатор, одной из обкладок которого служит металлическая пленка, а
второй обкладкой является подложка из полупроводника с p- (или n-) типом проводимости. Между
подложкой и металлическим электродом наносят диэлектрик. Толщина пленки диэлектрика равна ~
0,1 мкм. Принцип действия ПЗС основывается на принципе накопления и хранения зарядов в
потенциальных ямах и переносе этих зарядов в выходное устройство с образованием сигнала.
Потенциальная яма – это обедненная для основных носителей область в полупроводниковой
подложке под металлическим электродом, возникающая при подаче на него напряжения
соответствующей полярности. Для полупроводника дырочного типа напряжение должно быть
положительным, для электронного типа – отрицательным. Заполнение потенциальных ям
неосновными носителями зарядов происходит под действием падающего на подложку потока
излучения, при этом заряд оказывается в широких пределах пропорционален потоку излучения.
129
Кроме того, в потенциальную яму будут попадать также неосновные носители, образующиеся в
результате термогенерации. Эти носители создают паразитный фоновый заряд. Время хранения
зарядов в потенциальных ямах определяется временем подачи напряжения на металлический диод.
Процесс переноса зарядов рассмотрим на примере ПЗС трехфазного типа, каждый элемент
которого образован тремя независимыми ячейками. Все одноименные электроды объединены
шинами, на которые подается трехфазное импульсное напряжение U :
130
Электроды 1-3 в каждом элементе необходимы для того, чтобы осуществить направленный
перенос зарядов. Пусть в момент времени
высокий потенциал подан на фазу 2, а на фазах 1,3
потенциал низкий (рис. 3.22а). После накопления зарядов под электродами фазы 2 высокий
потенциал с нее снимается и подается на фазу 3, при этом под электродами фазы 3 образуются
потенциальные ямы, в которые начнут перемещаться накопленные ранее заряды (рис. 3.22б,в). Под
электроды фазы 1 заряды попадать не будут, так как под ними по-прежнему остается низкий
потенциал. Вслед за этим высокий потенциал подается на электроды фазы 1 и заряды
перемещаются.
Таким
образом,
изменяя
уровни
потенциалов
на
электродах,
можно
последовательно осуществлять направленное перемещение зарядов в матрице ПЗС. Направленность
переноса зарядов дополнительно обеспечивается так называемыми стоп-каналами, которые не
дают растекаться зарядам в стороны, т.е. в поперечном направлении. Стоп-каналы представляют
собой высоколегированные области полупроводника, в которых не образуются потенциальные ямы.
В матричных ПЗС может осуществляться либо последовательный перенос зарядов, либо
координатная выборка – в приборах с инжекцией заряда (ПЗИ). Матричные ПЗС с
последовательным переносом зарядов могут иметь как разделенные, так и неразделенные области
накопления и переноса. Разделение областей осуществляется двумя основными способами: с
переносом кадра в область хранения и со строчно-кадровым межстрочным переносом. В матрицах
с переносом кадра половина фоточувствительных элементов защищена от оптического излучения и
образует область хранения (памяти). В фоточувствительной области 1 происходит накопление
оптической информации обычно в течение полукадра. По окончании периода накопления происходит
параллельный сдвиг накопленных зарядов в область памяти 2, в течение следующего полукадра в
освободившейся фоточувствительной области идет накопление, а в области хранения происходит
построчный перенос зарядовых пакетов в регистр и затем последовательный вывод строки через
выходное устройство 3.
В матрицах с строчно-кадровым переносом область накопления состоит из вертикальных
столбцов, между которыми вставлены защищенные от излучения вертикальные сдвиговые
регистры.
131
Заряды в фоточувствительных элементах 4 накапливаются в течение кадра и затем параллельно
переносятся в соседние ячейки сдвиговых регистров. В период накопления зарядов следующего
кадра в фоточувствительных элементах зарядовые пакеты из сдвиговых регистров выносятся в
выходной регистр и в выходное устройство 3.
В ПЗИ в отличие от ПЗС перенос заряда происходит лишь между электродами в каждой
отдельной их паре без сдвига всех зарядовых пакетов к одному общему выходу:
132
Основу ПЗИ составляет матрица с координатной выборкой, в каждой ячейке которой имеются
два смежных МОП конденсатора. Один из них подсоединен к горизонтальной шине 1, другой – к
вертикальной 2. на горизонтальные шины подаются импульсы частоты строк, а на вертикальные –
частоты опроса элементов. Все ЧЭ окружены стоп-канальной областью, что надежно предохраняет
накапливаемые заряды от растекания.
На емкости горизонтальных шин ПЗИ подается высокий потенциал, в результате чего на них
происходит накопление зарядов. Емкости вертикальных шин заряжены до напряжения опорного
источника и после отклонения от него находятся под плавающим потенциалом. Считывание
информации начинается после снятия с помощью элемента регистра II смещения с коммутируемой
строки, в результате чего происходит переход зарядов во всех ячейках строки в емкости
вертикальных шин. При этом потенциалы указанных емкостей изменяются в зависимости от
величины перешедших зарядов. Результирующие изменения потенциалов считаются поочередно с
помощью регистра I, образуя выходной сигнал
.
Подготовка к новому циклу работы заключается в снятии потенциалов с емкостей
вертикальных шин с помощью ключей опорного напряжения, в результате чего заряды
инжектируются в подложку. Технология изготовления таких матриц намного сложнее, чем матриц
ПЗС, вследствие чего они не получили широкого распространения.
Рассмотрим основные параметры и характеристики ПЗС. Спектральная характеристика
определяется используемыми материалами. Имеются ПЗС, работающие в видимой и ИК-области
133
спектра. Разрешающая способность составляет 20 – 30 лин/мм, динамический диапазон,
ограничиваемый насыщением потенциальной ямы, – 1000:1.
Дифференциальное уравнение для напряжения накопления заряда элементом матрицы имеет
вид:
,
(17)
где С – емкость элемента матрицы.
Для типовых параметров ПЗС зарядовый ток
,
где е – заряд электрона;
(18)
– число квантов с длинами волн в пределах спектральной
чувствительности ПЗС, упавших на единицу фоточувствительной площадки за одну секунду; h –
квантовый выход (эффективность) э/квант;
– площадь элемента.
Характеристика накопления ПЗС, отсчитываемая от уровня незаряженных элементов, при
условии
.
При
(19)
из (19) получим характеристику излучение – сигнал
,
где
(20)
– выходная мощность ПЗС.
В случае
и без учета потерь зарядов при переносе
.
(21)
Полагая квантовый выход h приблизительно постоянным в пределах спектральной
чувствительности ПЗС от
до
, зависимость (21) можно представить в виде
,
где
– энергетический поток излучения; h – постоянная Планка;
– скорость света;
(21¢)
–
относительная спектральная плотность потока излучения.
Из полученных соотношений следует, что характеристика поток – сигнал ПЗС вплоть до
насыщения потенциальной ямы строго линейна.
134
Пример
1.
Определим
величину
выходного
сигнала
при
,
. Согласно (21) имеем
,
. Собственные
шумы ПЗС складываются из нескольких составляющих: шумы, связанные с процессом
формирования оптического изображения (фотонные, темнового тока, переноса заряда); шумы
предварительного усилителя.
Природу фотонного шума составляют флуктуации квантов в потоке излучения. За фотонный
шум можно принять среднеквадратическое значение числа фотоэлектронов
элементе за полное время накопления
, накопленных на
. Тогда в расчете на один зарядный пакет
.
Темновой
ток,
являющийся
результатом
термической
(22)
генерации
носителей
заряда,
заполняющих обедненную область, сопровождается дополнительными дробовыми шумами,
уровень которых в расчете на зарядный пакет можно определить как
,
где
– темновой ток;
(23)
– токовая частота.
Источниками шумов переноса являются флуктуации зарядов, захватываемых ловушками.
Уровень шумов переноса определяется как
,
(24)
где n – число p-фазовых переносов зарядного пакета. Очевидно, что величина
будет
максимальной для пакетов, наиболее удаленных от выходного регистра.
Тепловой шум входной цепи предварительного усилителя зависит от ее емкости, являющейся
одновременно выходной емкостью ПЗС
. Тогда
,
где
(25)
– постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура ПЗС.
Суммарное среднеквадратическое шумовое напряжение с учетом перечисленных явлений на
основании формул (22) – (25)
.
(26)
Шумы входного каскада усилителя, выполненного на МОП-транзисторе, складываются из
тепловых шумов канала и поверхностного шума, спектральная плотность которых
135
,
где
– шумовое сопротивление транзистора;
(27)
.
Соответственно дисперсия шума
.
Пример 2. Определим шумы ПЗС при следующих параметрах:
,
,
,
. Далее получим
,
,
,
,
,
,
,
,
,
и
, откуда следует, что шумами входного каскада можно пренебречь, а основную
роль
играют
шумы
переноса.
В
рассматриваемом
примере
отношение
сигнал/шум
.
136