На правах рукописи - Институт вычислительной математики и

На правах рукописи
Афанасьев Иван Владимирович
КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
САМООРГАНИЗАЦИИ ПОПУЛЯЦИЙ ОРГАНИЗМОВ В ОЗЕРЕ БАЙКАЛ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Новосибирск – 2014
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки
Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского
отделения Российской академии наук.
Научный руководитель:
Доктор технических наук, профессор. Федеральное государственное бюджетное
учреждение науки Институт вычислительной математики и математической
геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, главный научный
сотрудник.
Бандман Ольга Леонидовна
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук, профессор. Федеральное государственное
бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского
отделения Российской академии наук, главный научный сотрудник
Голубятников Владимир Петрович
Кандидат биологических наук. Федеральное государственное бюджетное
учреждение науки Институт цитологии и генетики Сибирского отделения
Российской академии наук, старший научный сотрудник
Лашин Сергей Александрович
Ведущая организация:
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт систем
энергетики им. Л. А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Защита состоится «7» октября 2014 г в 17.00 на заседании диссертационного совета
Д 003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения
науки Института вычислительной математики и математической геофизики
Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, г.
Новосибирск, пр. академика Лаврентьева, 6.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного
бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и
математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук.
Автореферат разослан «8» июля 2014 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д. 003.061.02
при ИВМиМГ СО РАН, д.ф.-м.н.
С. Б. Сорокин
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Байкал является крупнейшим резервуаром пресной воды. Для его
сохранения необходимо изучать экологические процессы, протекающие в
озере, а также оценивать уровень допустимого антропогенного влияния на
экосистему.
Поскольку влияние человека на экосистему, как правило, локально,
важно, чтобы модели популяций в экосистемах учитывали особенности
пространственного распределения организмов.
Пионерскими работами в исследовании динамики популяций принято
считать модели Мальтуса, Ферхюльста, Хатчинсона и Лесли, описывающие
динамику одной популяции. Исследования влияния загрязнений на
динамику популяции проводили Dubev, Hussian, Пичугина, Перцев. Начала
исследованиям экосистем хищник-жертва положены в работах ЛоткаВольтерра, которые были развиты Свирежевым и Базыкиным. Эти
исследования базируются на анализе моделей, являющихся системами
нелинейных дифференциальных уравнений и обладающих следующими
ограничениями:
1. В процессе участвуют не более трёх групп организмов
2. Параметры модели усреднены по области моделирования, т.е. не
учитывается пространственное распределение организмов.
Первое ограничение было снято с помощью численного моделирования
коллективом под руководством Зоркальцева В. И., предложившим модель
восьми групп организмов озера Байкал на базе систем дифференциальных
уравнений.
Альтернативой системам дифференциальных уравнений является
клеточно-автоматный (КА) подход, снимающий и второе ограничение.
Таким образом, проблема построения КА-модели экосистемы Байкала
актуальна, во-первых, для сохранения озера, и, во-вторых, для развития
методов моделирования систем хищник-жертва.
Цель
Целью диссертационной работы является разработка подхода к
построению
КА-моделей
динамики
численности
организмов,
позволяющего учитывать пространственное распределение организмов,
локальные особенности окружающей среды и влияние возможных
локальных загрязнений в области моделирования, и применение подхода к
экосистеме озера Байкал для получения оценок допустимого и критического
уровня загрязнений.
3
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
 Разработка математической КА-модели динамики численности восьми
групп организмов озера Байкал.
 Разработка алгоритмов моделирования, позволяющих эффективно
реализовать математическую модель в виде программного комплекса в
последовательном и параллельном виде.
 Верификация модели по известным данным о динамике популяций
организмов.
 Использование модели для исследования влияния загрязнений на
динамику численности организмов. Поиск критических значений
интенсивности загрязнений: наименьшего значения, при котором
происходит полное вымирание организмов и наибольшего, влияние
которого незаметно на фоне естественных процессов.
Научная новизна
Предложена новая КА-модель динамики численности основных видов
организмов озера Байкал, являющаяся параллельной композицией восьми
КА, впервые позволяющая одновременно учитывать сезонность,
пространственное распределение особей, влияние течений, возможные
локальные загрязнения области моделирования.
Предложен новый клеточно-автоматный алгоритм, позволяющий
учитывать перемещение организмов под действием водных течений.
Доказаны оценки временной сложности алгоритмов моделирования.
Достоверность
Достоверность полученных в диссертационной работе результатов
обеспечивается результатами верификации модели по известным данным.
Основные положения, выносимые на защиту
• Подход к КА-моделированию динамики численности популяций и
его применение для нескольких видов организмов озера Байкал для
получения оценок критического и допустимого уровня загрязнения.
• Оценки временной сложности алгоритмов моделирования
• Результаты верификации модели по экспериментальным данным.
Полученные оценки по критериям соотношения продукции к биомассе и
частоте встречаемости организмов отличаются от экспериментальных
оценок не более чем на 10%, что позволяет говорить о возможной
практической применимости модели.
4
• Оценки критических значений интенсивности загрязнения, при
которых влияние загрязнения не заметно на фоне естественных колебаний
популяций и при которых происходит вымирание вида.
• Программный комплекс для имитационного моделирования,
поддерживающий возможность параллельного вычисления.
Научная апробация результатов
Основные положения диссертационной работы докладывались и
обсуждались на 7 научных и научно-практических конференциях. В том
числе на российских конференциях:
1. Водные и экологические проблемы Сибири и Центральной Азии
(Барнаул, 2012),
2. Параллельные вычислительные технологии (Челябинск, 2013).
3. Методы создания, исследования и идентификации математических
моделей (Новосибирск, 2013)
4. Конференция молодых учёных ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск,
2014)
И международных конференциях:
5. Математическое моделирование и
высокопроизводительные
вычисления в биоинформатике, биомедицине и биотехнологии
(Новосибирск, 2014)
6. The 9th International Conference on Bioinformatics of Genome
Regulation and Structure\System Biology. (Novosibirsk, 2014)
7. Parallel Computing Technologies (Санкт-Петербург, 2013).
Научно-практическая значимость работы
Предложен подход к построению КА-моделей для систем хищникжертва, основанный на параллельной композиции нескольких КА, и
впервые позволяющий одновременно учитывать пространственное
распределение организмов, сезонность, влияние водных течений и
локальные загрязнения.
Реализован программный комплекс, позволяющий исследовать
динамику численности основных видов организмов озера Байкал и
предсказывать поведение популяции при появлении различных
локализованных загрязнений в озере. Параллельная реализация алгоритма
даёт возможность проводить вычисления за приемлемое время, а
проведённая
верификация
модели
предполагает
относительную
достоверность предсказаний.
Вклад автора
Работа проведена автором лично.
Публикации
5
По результатам диссертационной работы опубликовано 9 работ, из них 3
в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка
литературы. Работа изложена на 82 страницах, содержит 32 рисунка, 4
таблицы, библиографический список из 74 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении излагается краткий исторический обзор методов
моделирования процессов самоорганизации и динамики популяций.
Показана актуальность проблемы. Обозначены цели, задачи и научная
новизна работы. Сформулированы положения, выносимые на защиту.
Показана практическая полезность полученных результатов.
В первой главе в разделе 1.1 представлен подробный исторический
обзор моделей динамики популяций и приведены модели на системах
дифференциальных уравнений. Критический анализ показал, что
использование КА позволит расширить возможности моделирования систем
хищник-жертва, добавив возможность моделирования пространственного
распределения особей.
В разделе 1.2 дано общее понятие классического клеточного автомата и
композиционных клеточно-автоматных моделей, приведены примеры.
Формально, КА – четвёрка
  M , , f ,  ,
(1)
где M – конечное множество имён клеток,  - конечный алфавит
состояний клеток, f – локальный оператор перехода,  – режим
функционирования.
Клеткой называется элемент множества M × Σ. Локальной
конфигурацией S(c) называется конечный набор клеток, содержащий саму
клетку с именем c и соседние к ней клетки. Локальный оператор перехода f:
f : {S (c )}  {S (c )}
(2)
Локальный оператор f принимает на вход S(c). Его результат – локальная
конфигурация f(S(c)), в которой изменены состояния клеток (возможно, не
всех) из S(c). Итерация или применение глобального оператора F –
применение локального оператора f ко всем клеткам согласно режиму
функционирования.
Известны два основных режима применения глобального оператора:
синхронный и асинхронный. Синхронный режим предполагает, что сначала
6
вычисляются новые состояния клеток согласно локальному оператору
перехода, а затем все клетки одновременно изменяют свои старые состояния
на новые. В асинхронном режиме случайно выбирается клетка, вычисляется
её новое состояние и сразу заменяется старое состояние клетки на новое.
Параллельная композиция  нескольких КА 1, …, K заключается в
том, что несколько КА действуют одновременно каждый на своём
множестве клеток, но новые состояния клеток i могут зависеть не только
от состояний клеток из i, но и от состояний клеток остальных КА j.
Во второй главе в разделе 2.1 сформулирована задача построения
модели динамики численности организмов озера Байкал.
В модели участвуют три вида организмов: макрогектопус, малая и
большая голомянки. Каждый из видов разделен на возрастные группы.
Макрогектопус на неполовозрелых и половозрелых. Малая и большая
голомянки на однолеток, неполовозрелых и половозрелых. Виды
организмов обозначаются буквами {m, d, b}, а возрастные группы –
цифрами {1, 2, 3}. m1 – неполовозрелые особи макрогектопуса, m2 –
половозрелые особи макрогектопуса, d1 – однолетки малой голомянки, d2 –
неполовозрелые особи малой голомянки, d3 – половозрелые особи малой
голомянки, b1 – однолетки большой голомянки, b2 – неполовозрелые особи
большой голомянки, b3 – половозрелые особи большой голомянки.
Рис. 1. Отношения между группами организмов. Слева –
демографические отношения (старение и рождаемость), справа – отношения
хищник-жертва (внизу хищники, вверху – жертвы)
Между группами организмов определены демографические отношения
и отношения хищник-жертва. Особи младших групп вырастают в старших,
самые старшие порождают самых младших. Хищниками являются
неполовозрелые и половозрелые особи малых и больших голомянок.
Жертвами являются неполовозрелые и половозрелые особи макрогектопуса
и однолетки голомянок. Все хищники поедают всех жертв с разными
коэффициентами предпочтений.
В разделе 2.2 дано математическое описание модели.
7
Множество имён клеток M представлено в виде объединения восьми
попарно непересекающихся подмножеств Mi (  {m, d, b}, i  {1, 2, 3}).
Каждое Mi служит для описания динамики численности конкретной группы
организмов:
M  M 1m  M 2m  M 1d  M 2d  M 3d  M 1b  M 2b  M 3b
(3)
,
Каждое Mi биективно отобразимо на двумерную квадратную сетку Q,
покрывающую поверхность озера Байкал (рис 2).
Рис. 2. Квадратная сетка Q, покрывающая поверхность озера.
Состояниями n   клеток являются неотрицательные целые числа,
характеризующие модельную плотность организмов в клетке.
В предложенной модели оператор F является последовательной
композицией двух глобальных операторов:
F  F1  F2 ,
(4)
 Оператор F1 предназначен для моделирования перемещения организмов.
Он, в свою очередь, является последовательной композицией двух
операторов:
F1  Fd  Fs ,
(5)
Оператор Fd отвечает за собственное перемещение организмов
Оператор Fs отвечает за перемещение организмов под влиянием
водных течений
 Оператор F2 предназначен для моделирования процессов изменения
численности групп организмов: поедания, вымирания и роста.
Модель использует режим функционирования, комбинирующий
синхронный и асинхронный режимы: сначала асинхронно применяется F1,
затем синхронно применяется F2.
Оператор собственного перемещения организмов Fd реализуется
посредством применения оператора целочисленной диффузии. Чтобы
o
o
8
учесть различия в скоростях организмов, в рамках одной итерации оператор
целочисленной диффузии применяется разное число раз для разных групп
организмов.
Оператор Fs отвечает за перемещение организмов по направлению и со
скоростью водных течений. Алгоритм применения оператора Fs рекурсивен.
Для каждой клетки сначала просматривается сама клетка, и особи в этой
клетке перераспределяются на соседние клетки, куда ведёт течение. Затем
просматриваются соседние клетки, в которые движется течение, затем
соседи соседей и так далее. Рекурсия обрывается, когда просмотрены все
клетки, дальше которых течение не может унести организмы за одну
итерацию моделирования.
Оператор F2 моделирует процессы хищник-жертва. Его локальный
оператора f2 :
f 2 : {S 2 (c)}  {S 2 (c)} ,
(6)
где S2(c) – набор клеток-близнецов (рис. 3). Близнецами назовём клетки с
именами ci  Mi и c j  Mj, соответствующие одной и той же ячейке
квадратной сетки Q.
Рис. 3. S2(c) – набор клеток-близнецов.
Локальный оператор f2 применяется синхронно для всех клеток с
именами c  M. Новое состояние клетки вычисляется по формуле:
n   n  

i

i

i

nj  i ni   i ni t
(7)
где  - вид особей, для которых применяется оператор изменения
численности,   {m, d, b}, i – возрастная группа особей, для которых
применяется оператор изменения численности, i  {1, 2, 3}, j – возрастная
группа особей, порождающих особей возраста i. Если i > 0, то j = i-1, иначе j
– самая старая возрастная группа, t – физическое время, соответствующее
одной итерации КА, i – коэффициент рождаемости, i - коэффициент
смертности, i  nj – приток в группу за счёт рождаемости или старения
9
предыдущей возрастной группы, i  ni – отток из группы за счёт
смертности, i  ni – отток из группы за счёт старения.
Коэффициенты старения i , смертности d2, d3, b2, b3 и рождаемости
m1 постоянны.
Коэффициенты смертности m1, m2, d1, b1 имеют вид:
i  ai   i n2d  n3d    i n 2b  n3b  ,
ai,
i,
i
i
(8)
i
где
– постоянные величины,
и
характеризуют
смертность от выедания хищниками (малыми и большими голомянками) и
зависят от вкусовых предпочтений, ai характеризует смертность от
внешних причин,
Коэффициенты рождаемости d1, b1 имеют вид:
1    n1m  n2m     n1d  n1b 

,
(9)

где постоянные коэффициенты  и  зависят от рациона хищников.
Чтобы учесть зависимость рождаемости от сезонов, коэффициенты
рождаемости d1 и b1 умножаются на периодические функции от времени с
периодом, равным одному году.
Для исследования влияния возможных загрязнений введён функционал
poll(c): M  R+ - карта загрязнений, ставящая в соответствие имени клетки
положительное число, характеризующее интенсивность загрязнения.
Предполагается, что загрязнение влияет на смертность организмов.
1. Новые коэффициенты смертности для хищников (d2)’, (d3)’, (b2)’,
(b3)’ вычисляются по формуле:

(10)
i  i  i  poll (c).
 
2. Новые коэффициенты смертности для жертв (m1)’, (m2)’, (d1)’,
(b1)’ вычисляются по формуле:
   

i

i
 ai  poll(c) ,
ai
(11)
где
– постоянный коэффициент из формулы (8), обозначающий
смертность жертв от влияния внешней среды.
Карта загрязнений poll(c), используемая в вычислительных
экспериментах, показана на рисунке 4.
10
Рис. 4. Карта загрязнений. Южная часть озера Байкал.
Серый цвет – земля. Белый – вода без загрязняющих веществ.
Интенсивность серого на воде пропорциональна интенсивности
загрязнения.
В разделе 2.3. сформулированы и доказаны утверждения об оценке
временной сложности алгоритмов моделирования.
Теорема:
Оценка временной сложности алгоритма вычисления одной итерации:

O N  2 t
N
,
где N – размер квадратной сетки, покрывающей поверхность области
моделирования, t - время, соответствующее одной итерации.
Следствие:
Оценка временной сложности моделирования динамики численности
популяций за ограниченный период времени T составляет:
 N  2 t 
O T 

t

N

.


Третья глава содержит описание программной реализации модели.
В разделе 3.1 приведена архитектура программного комплекса на базе
шаблона Модель-Контроллер-Визуализатор.
В разделе 3.2 показан принцип построения модельной части
архитектуры программного комплекса на базе структуры клеточноавтоматной модели.
Математическая модель условно представляет собой 10 слоёв – 8 слоёв
для групп организмов, слой - карта водных течений и слой – карта
загрязнений. 10 слоёв математической модели однозначно сопоставляются
10 модулям программного комплекса. Под модулем понимаются данные и
операции над ними, объединённые семантически. В программный комплекс
дополнительно введены два модуля, задающие геометрию моделируемой
области: один отвечает за расположение клеток в области моделирования,
другой за отношение соседства между клетками.
11
В разделе 3.3 описан программный комплекс. Представлены структуры,
используемые для хранения данных в слоях-модулях, приведены
особенности реализации операторов перехода и методы представления
входных данных. Описан и обоснован стек используемых технологий.
Программный комплекс реализован на языке С++ с использованием
библиотек Qt для построения пользовательского интерфейса, OpenGL для
визуализации процесса моделирования, OpenMP для распараллеливания
вычислений на системах с общей памятью. Для постобработки результатов
моделирования использован язык Python.
В разделе 3.4 представлены результаты распараллеливания вычислений
на системах с общей памятью.
Вычисление оператора изменения численности F2 занимает лишь 5% от
времени выполнения одной итерации. Поэтому имеет смысл
распараллеливать только оператор F1. Поскольку вычисление собственного
перемещения и перемещения под действием водных течений можно
проводить
независимо между группами организмов,
то при
распараллеливании каждому потоку назначается группа организмов, для
которой он будет рассчитывать новые состояния клеток.
В результате время выполнения оператора F1 за одну итерацию
сократилось с 5,27 секунд для однопоточной программы до 1,53 секунд при
использовании 4-х потоков. А общее время, затрачиваемое на одну
итерацию, сократилось с 5,57 до 1,83 секунд. Эффективность
распараллеливания составила 75%.
В четвёртой главе приведены результаты верификации модели.
Следующие критерии были выбраны для верификации:
1. P / B - отношение годовой продукции к среднегодовой биомассе
организмов вида   {m, d, b}. Годовая продукция P положительный прирост биомассы организма вида  за год. B среднегодовая биомасса.
2. N / N - отношение числа организмов вида  к числу организмов
вида . N , N - усреднённые по пространству среднегодовые
численности.
3. L / P - отношение массы выедаемых голомянками организмов к
годовой продукции.
Сравнение модельных и предложенных в литературе оценок
представлено в таблице 1.
12
Модельные оценки отличаются от оценок, предложенных в литературе,
не более чем на 10%, что говорит о возможном соответствии моделируемых
процессов процессам, реально протекающим в экосистеме.
Таблица 1. Сравнение модельных оценок и оценок, предложенных в
литературе.
Pm / Bm
Pd / Bd
Pb / Bb
Nm / Nd Nm / Nb Ld / Pd
в лит.
3 – 7.7
1.2 – 1.97
0.5 – 1.45
6.05
21.52
0.52
модель
6.2
1.60
1.38
5.70
19.70
0.58
В
пятой
главе представлены
результаты
вычислительных
экспериментов.
В разделе 5.1 показано, как учёт различных факторов в модели влияет
на результат моделирования. Модель в результате колебаний численности
приходит к неравномерному распределению организмов по области
моделирования и устойчивым колебаниям с годовым периодом. Годовой
период колебаний обусловлен зависимостью рождаемости голомянок от
времени года. Неравномерность распределения организмов по области
моделирования является следствием перемещения организмов под
действием водных течений.
В разделе 5.2 представлен вычислительный эксперимент для случая
вымирания макрогектопуса в северной части озера с целью исследовать
поведение модели при начальных локальных возмущениях. Получено, что
модель спустя 20 лет в результате самоорганизующегося процесса и
колебаний численности также приходит к устойчивым годовым колебаниям
и неравномерному распределению организмов, как и в разделе 5.1
В разделе 5.3 исследовано влияние локальных постоянно действующих
загрязнений на динамику популяций.
Распределение
неполовозрелого
макрогектопуса
по
области
моделирования на нескольких итерациях представлено на рисунке 5.
По результатам численных экспериментов сделаны следующие выводы:
1. При poll(c) > 10 плотность макрогектопус на 200-й итерации падает
ниже 3% от средней плотности в незагрязнённой области и затем не
восстанавливается. Что позволяет говорить о практически полном
вымирании организмов в загрязненной области.
2. Если poll(c)  (0.15, 5) , то в этой области будет увеличено число
жертв и уменьшено число хищников. Степень различий зависит от
значения poll(m).
3. Если poll(c) < 0.03, то влияние загрязнения незаметно на фоне
среднегодовых колебаний численности организмов.
13
Рис. 5. Распределение неполовозрелого макрогектопуса по области
моделирования на итерациях t=50, 200, 2000. Чем темнее цвет, тем выше
численность организмов.
В заключении подводится итог проделанной работы: представлены
основные результаты работы и сформулированы выводы:
1. Предложен подход к построению КА-моделей самоорганизующихся
систем хищник-жертва, позволяющий учитывать пространственное
распределение особей по области моделирования, собственное
перемещение особей, перемещение особей под действием водных
течений, зависимость рождаемости организмов от времени года и
возможные локальные загрязнения области моделирования. Подход
опробован для восьми групп организмов озера Байкал.
2. Предложен новый КА-оператор, позволяющий моделировать
перемещение организмов под действием водных течений.
3. Доказаны теоремы об оценках временной сложности алгоритмов
моделирования от размера сетки и шага по времени.
4. Модель верифицирована по критериям отношения годовой
продукции к среднегодовой биомассе, отношения среднегодовых
численностей организмов и отношения массы выедаемых
хищниками жертв за год к годовой продукции. Получены оценки
верификационных критериев для модели и проведено их сравнение с
аналогичными оценками, взятыми из литературы.
5. Для проведения вычислительных экспериментов реализован
программный комплекс преимущественно на языке С++. Приведен
механизм отображения структуры математической модели на
архитектуру
программного
комплекса.
Реализовано
распараллеливание вычислений с помощью технологии OpenMP на
четыре потока. На тестовых экспериментах эффективность
распараллеливания составляет 75%.
14
6. Проведены вычислительные эксперименты для исследования
поведения модели. Получено, что моделируемый процесс приходит
к годовым колебаниям численности, а распределение организмов по
области моделирования неравномерно. Показано, что годовые
колебания являются следствием зависимости коэффициентов
рождаемости голомянок от сезона. Неравномерность распределения
особей по области моделирования обусловлена перемещением
организмов под действием течений.
7. Проведен
вычислительный
эксперимент
для
вымирания
макрогектопуса в 10 раз на севере озера. Показано, что в этом случае
динамика популяций в областях с начальным возмущением
численности организмов восстанавливается спустя 20 лет.
8. Исследована зависимость динамики численности организмов от
постоянно действующих локальных загрязнений. Показано, что при
превышении интенсивности загрязнения значения 10, происходит
полное вымирание организмов, а в случае, если интенсивность
загрязнения лежит между 0,03 и 5, то будет увеличено число
макрогектопуса и уменьшено число голомянок. Если интенсивность
загрязнения не превосходит 0,03, то его влияние не заметно на фоне
естественных процессов.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах
Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации
научных результатов диссертационных исследований:
1. Афанасьев, И. В. Клеточно-автоматная модель динамики численности
организмов озера Байкал / И. В. Афанасьев // Прикладная дискретная
математика. – 2012. – № 1. – С. 121–132.
2. Афанасьев, И. В. Применение КА-модели для исследования влияния
загрязнений на динамику популяций голомянок и макрогектопуса в
озере Байкал / И. В. Афанасьев // Прикладная дискретная математика. –
2014. – № 1. – С. 114–123.
3. Афанасьев, И. В. Клеточно-автоматная модель динамики популяций
трёх видов организмов озера Байкал / И. В. Афанасьев // Сибирский
журнал вычислительной математики. – 2014. – № 3. Т. 17 – С. 217–227.
в других журналах:
4. Afanasyev I. The CA-model of populations’ dynamics of organisms living in
Lake Baikal / I. Afanasyev // Bulletin of the Novosibirsk computer center.
Series: Computer science. – 2012. – № 30. – P. 1 – 12.
5. Afanasyev I. / I. Afanasyev // Bulletin of the Novosibirsk computer center. –
2014. – с.1-10
15
в сборниках трудов и тезисах конференций:
6. Афанасьев, И. В. Клеточно-автоматная модель динамики популяций
организмов озера Байкал. / И. В. Афанасьев // Материалы
всероссийской научной конференции с международным участием
«Водные и экологические проблемы Сибири и Центральной Азии». –
Барнаул, 2012. – Том II. – с. 31 – 38.
7. Афанасьев, И. В. Клеточно-автоматная модель динамики численности
трёх видов организмов озера Байкал. / И. В. Афанасьев // Сборник
трудов международной научной конференции «Параллельные
вычислительные технологии 2013». – Челябинск, 2013. – с. 261 – 267.
8. Афанасьев, И. В. Клеточно-автоматная модель динамики популяций
некоторых видов организмов озера Байкал. / И. В. Афанасьев // Тезисы
докладов международной научной конференции «Методы создания,
исследования и идентификации математических моделей». –
Новосибирск, 2013. – С. 17.
9. Afanasyev, I. Cellular Automata Model of Some Organisms Population in
Lake Baikal. / I. Afanasyev // V. Malyshkin (Ed.). Parallel Computing
Technologies – 12th International Conference, PaCT 2013. – St.-Petersburg,
Russia, 2013 – P. 273 – 277
16