Задача 229. Измерение физический свойств воды

1
Задача 229. Измерение физический свойств воды
ультразвуковым методом.
Принадлежности:
две акустические ультразвуковые головки;
акустический
волновод
с
жидкостью;
генератор
переменного
напряжения
в
диапазоне частот 20 - 200 кГц; осциллограф;
электронный частотомер; термостат.
1. Теория.
1. В силу специфических особенностей жидкого
состояния теория жидкостей отстаёт в своём развитии от
теории газов и теории твёрдых тел. Это объясняется,
главным образом, тем, что в случае газов и правильных
кристаллов в качестве нулевого приближения можно
рассматривать простые предельные случаи: c одной
стороны бесконечное разрежение частиц при полной их
неупорядоченности
(газы),
с
другой
полную
упорядоченность частиц при большой их плотности
(кристаллы). Для жидкости не существует никакой простой
модели, которая могла быть принята за некоторое
нулевое приближение при построении молекулярной
теории. Жидкость занимает промежуточное положение
между газом и твёрдым телом как по своей структуре, так
и по характеру теплового движения. В идеальном газе
молекулы движутся хаотически и могут обмениваться
энергиями только в момент соударения. В кристалле
молекулы
совершают
колебания
около
строго
определённых положений равновесия. В жидкости
тепловое движение складывается из колебаний около
временных положений равновесия. В настоящее время
удовлетворительной теории жидкого состояния нет. Для
развития
такой
теории
используются
различные
экспериментальные методы, среди которых видное место
занимают ультраакустические методы, позволяющие
определить скорость звука в жидкости, зависимость
скорости звука от температуры и от частоты звуковой
2
волны. Основным фактором, определяющим скорость
звука, является сжимаемость жидкости, которая зависит
от межмолекулярных сил и от структуры молекул.
Зависимость скорости звука от температуры (как
следствие зависимости сжимаемости от температуры)
широко используется в физико-химических исследованиях
для изучения структуры жидкостей.
Сжимаемость жидкости  связана с внутренней
энергией, которая, в основном, является потенциальной
энергией взаимодействия молекул с их ближайшими
соседями.
Между
молекулами
действуют
силы
отталкивания, уравновешивающиеся на определённом
расстоянии силами притяжения (сцепления). Молекулы
находятся в минимуме потенциальной энергии, который
соответствует наибольшей энергии сцепления (рис.1) 1 .
Уравнение,
описывающее
потенциальную
энергию
взаимодействия, зависит от вида уравнения состояния
жидкости, т. е. уравнения, связывающего давление P и
плотность  (или удельный объём
v
1
)

жидкости. В
настоящее время для жидкости нет строго обоснованного
уравнения состояния. Для связи величин P и 
пользуются
эмпирическими
и
полуэмпирическими
уравнениями состояния, из которых наиболее известным
является уравнение Ван-дер-Ваальса:
(P 
a m 2
m
m
) )( V  b )  RT
2 (


V 
Здесь V - объём вещества, T -абсолютная температура,
a и b -постоянные Ван-дер-Ваальса, R -газовая
постоянная, m -масса вещества,  -его молекулярный вес.
Введём величину удельного объёма v 
V
.
m
Тогда
уравнение Ван-дер-Ваальса можно переписать в виде
(P 
1
a
b
)  RT
2 )( v 


v 
2
(1)
Расстояние r0 , соответствующее минимальному
значению потенциальной энергии, имеет порядок 101 нм.
1
3
Необходимо отметить, что уравнение Ван-дерВаальса не вполне точно отражает поведение жидкостей,
особенно таких как вода и спирт.
Из теории гидродинамики сжимаемой жидкости
следует, что при малых амплитудах давления скорость
звука C в такой жидкости определяется формулой.
C2  (
P
)
 ag
(2)
где  , P -плотность и давление. Так как процесс
распространения звука адиабатический, то C можно
выразить через адиабатическую сжимаемость  ag :
1 v
 ag   ( ) ag
v 
(3)
где v -удельный объём.
Тогда
C2 
1
 ag 
(4)
Между адиабатической и изотермической сжимаемостями
существует связь:
 u3
T 2 v
  ag 
CP
(5)
где  -коэффициент объёмного теплового расширения; C p
- теплоёмкость при постоянном давлении; T - абсолютная
температура (по шкале Кельвина). С другой стороны, из
термодинамики известно, что

C P  u3

C V  ag
(6)
Из (4), (5), (6) получаем:
T 2 C 2
  1
CP
(7)
В уравнении (7) каждая из величин может быть
определена экспериментально. С помощью этих величин,
часть из которых определяется экспериментально, а часть
берётся из таблиц, можно определить постоянные a , b в
уравнении Ван-дер-Ваальса.
Распространение звукового давления в среде
является адиабатным процессом. Учитывая (1), запишем
уравнение адиабатного процесса в виде:
4
b 
a 1
)  const
2
2 )( v 

v 
a
Pi  2 2
называют
v 
(P 
Величину
(8)
"внутренним"
давлением. Оно обусловлено силами сцепления молекул.
Внешнее давление P выражается формулой
const
 Pi
b 
(v  )

P
(9)
Дифференцируя (9) по  , в соответствии с формулой (2),
найдём скорость звука C
C2 
P  Pi 2
v
b
v

(10)
При этом изменением Pi и b пренебрегается.
Для идеального газа
b
 v

и Pi  P . Тогда из (10)
получается формула Лапласа
C2  
P

Для большинства жидкостей Pi ~ 10 3 атм. те. Pi  P . Тогда,
учитывая Pi 
a
v 2
, получаем из (10)
2
a
)
2
2
C 
b
v

(
(11)
Исключая  с помощью уравнения (7) найдем
v
a
2
b

1 T 2
 
C Cp
(12)
Продифференцируем выражение (12) по T и учтём, что
v
1
.

Тогда
1
2
a
1
C3
d
 2
dT
dC  2

dT C P
(13)
5
По формуле (13) можно рассчитать величину a , если
измерить C и
dC
dT
экспериментально, а значения  , C P ,

взять из таблиц.
I. Описание установки
Блок - схема установки дана на рисунке 2. Исследуемая
жидкость (дистиллированная вода) помещается в
акустическом
волноводе,
выполненном
в
виде
вертикальной стеклянной трубы с двойными стенками
("рубашкой"). Нижний торец трубы затянут резиновой
мембраной, верхний - открыт. По "рубашке" через
резиновые шланги, соединенные с термостатом,
циркулирует вода, нагревающая или охлаждающая
жидкость в трубе. Излучающая головка плотно
прижимается к мембране. Для улучшения акустического
согласования на головку наносится тонкий слой
контактной смазки. Принимающая головка погружается в
жидкость, находящуюся в трубе, так, чтобы контакта
головки со стенками трубы не было. Излучающая головка
с помощью кабеля подсоединяется к выходу генератора
переменного
напряжения,
приёмная
к
входу
осциллографа ("вход Y"). Одновременно напряжение с
выхода генератора подаётся на "вход X" осциллографа.
Частотомер подключён к выходу генератора и
используется для точного отсчёта частоты.
2. Подготовка установки к измерениям.
Включить циркуляцию воды по змеевику термостата, для
чего открыть наружный кран, включить насос термостата,
довести температуру, регистрируемую по термометру
термостата, до 8 - 10 С. За время охлаждения привести
приборы в рабочее состояние. Для этого необходимо:
Установить приёмную и передающую (излучающую)
головки так, чтобы излучающая головка была легко
прижата к середине мембраны (без продавливания
мембраны) через слой контактной смазки, а приёмная опущена в воду на глубину ~ 5 мм без соприкосновения со
стенками трубы.
Включить генератор переменного напряжения в сеть
220в. Установить ручку на передней панели в положение:
"множитель частоты" - 103 . Включить осциллограф в сеть
6
220в. Включить частотомер в сеть 220в: ручка "род
работы" - FA ; ручка время измерений - 100ms, "вход А" через кабель к выходу генератора.
Приборы прогреваются 5-10 мин. Напряжение,
подаваемое на головку, преобразуется в волну давления,
распространяющуюся по столбу жидкости. Приёмная
головка
преобразует
переменное
давление
в
электрическое напряжение, и на экране осциллографа
должно появиться изображение эллипса. Одновременно
на табло частотомера появляются цифры, показывающие
точные значения частоты генератора переменного
напряжения. Изменяя величину напряжения, можно
установить удобную для измерений величину эллипса, а
изменяя частоту генератора - наблюдать вращение
эллипса. После подготовки установки к измерениям можно
приступать к выполнению измерений, предварительно
ознакомившись с методикой измерений.
3. Методика измерений.
Пьезоэлектрическая
излучающая
головка
преобразует электрическое напряжение, подаваемое на
неё от генератора переменного напряжения, в
акустическую волну. Пусть переменная составляющая
давления в жидкости (акустическое давление P ) вблизи
излучающей головки изменяется по закону:
( P) изл= A cos( wt )
(16)
где A - амплитуда звукового давления, w - круговая
частота, t - время. Вдоль столба жидкости побежит
звуковая
волна
давления
и
вблизи
приёмной
пьезоэлектрической головки акустическое давление будет
меняться по закону:
( P) пр= A cos( wt 
где

2
l)

- длина волны ( 
(17)
C
2 ) ;
w
излучающей и приёмной головками;
l
расстояние между
2
w
l  l  

C
- разность
фаз между колебаниями давления вблизи акустических
головок; C - скорость акустической волны. Существенно,
что при фиксированном l разность фаз можно изменять
как за счёт фаз изменения частоты, так за счёт изменения
7
скорости распространения волны. Приёмная головка
преобразует акустический сигнал в электрический U пр,
который подаётся на вертикальные отклоняющиеся
пластины осциллографа. На горизонтальные пластины
подаётся
напряжение
с
генератора,
равное
электрическому напряжению на излучающей головке U изл.
В первом приближении будем считать, что разность фаз
между U пр и U изл равна разности фаз между ( P) пр и ( P) изл
.Под действием поданных на пластины напряжений луч
будет двигаться вдоль вертикальной оси Y и
горизонтальной X по закону:
x  x 0 cos( wt )
(18)
исключая из уравнения (18) параметр t , получим:
y  y 0 cos( wt   )
(
y 2
x
xy
)  ( )2  2
cos( )  sin 2 ( )
y0
x0
x0y0
(19)
Уравнение (19) есть уравнение эллипса. Рассмотрим
следующие случаи (Рис. 3).
1.
   2  n , где n  0 ,1, 2 , 3 , . . . . .
Уравнение (19) описывает прямую, проходящую через
начало координат и лежащую в I и III квадрантах (Pис.3а).
2.
   2 n 

2
Уравнение (19) описывает эллипс, расположенный
симметрично относительно начало координат (Рис.3б).
  2n  
3.
Уравнение (19) описывает прямую, проходящую через
начало координат и лежащую в II и IV квадрантах (Рис.3в).
В дальнейшем переход эллипса из положения (а) в
положение (в) будем называть одним полуоборотом
эллипса. Одному полуобороту соответствует изменение
разности фаз на  .
В данной установке расстояние l между акустическими
головками зафиксировано и в процессе измерений не
меняется. Если температура жидкости поддерживается
постоянной, то скорость звука C можно также считать
фиксированной. Тогда разность фаз  может изменяться
только за счёт изменения частоты. Предположим, что при
частоте w 1 эллипс занимает на экране осциллографа
положение
(a )
и
при
этом
разность
фаз
8
(a ) 
w1
l .Изменяем
C
частоту так, чтобы эллипс совершил
один полуоборот, т.е. Занял на экране осциллографа
w2
l.
C
w1
w
l  2 l.
C
C
положение () . Тогда разность фаз: ()  (a )   
Подставляя значение (a ) 
w1
l,
C
получим:
Отсюда для скорости звука C имеем:
C 
l( w
2
 w

1)

2  l( f 2  f1 )

(20)
где f2 , f1 - частота генератора.
Формула (20) была получена в предположении, что между
электрическими напряжениями U пр и U изл разность фаз та
же, что и между акустическими давлениями (P) пр и ( P) изл
.В
условиях
конкретного
эксперимента
система
излучатель - акустический волновод - приёмник обладает
резонансными свойствами в рабочем интервале частот,
что приводит к появлению дополнительного сдвига фаз
 . Расчёт, проведённый в рамках теории установившихся
вынужденных колебаний в линейной системе с
резонансной частотой f P и Q добротностью, даёт для  :
   a r c tg
f p f1
2 Q (f
2
P
 f )
2
1
 a rc tg
fP f2
2  Q ( f P2  f 22 )
. (21)
Тогда формула (20) приобретает вид:
C 
2  l( f 2  f1 )
  
(22)
где  рассчитывается по (21). Если выполняется условие
f 2  f1  f P и добротность Q излучателя велика, то поправка
 может быть выражена формулой:    f 2  f1 где 
постоянный коэффициент, не зависящий от f .
Описание
методики
измерений
предполагает
постоянство температуры T жидкости. Если жидкость
нагревать, то скорость распространения звуковой волны C
изменяется вследствие изменения сжимаемости и
плотности жидкости, как видно из (4). Зависимость C от T
характеризуется
температурным
коэффициентом
скорости звука  
dC
.
dT
Для большинства жидкостей   0 .
Для воды в силу особенностей её молекулярной
структуры, зависимость C от T аномальна:   0 до  74 0 C и
9
выше  74 0 C . В данной задаче измерения ограничены
температурным интервалом от  10 0 C до  40 0 C , в котором
  2,0 м.сек.град. Таким образом, при нагревании воды
разность фаз  в уравнении (19) будет изменяться и
эллипс на экране осциллографа будет поворачиваться.
Пусть эллипс последовательно занимает положение
a    a   и т. д. (рис.3) при температуре T1  T2  T3  T4
и т. д. Соответственно. Тогда при изменении температуры
от T нач. до T нач + T эллипс совершит N полуоборотов, а
разность фаз  изменится при этом на N . Запишем это
условие так:
0
 (a )  N   ()
или
(23)
wl
dC
T
C
dt
 C  60 м/с
w
l  N 
C
Так как в воде C  1500 м/с, а
в интервале T  30 0 ,
т.е. C  C , то (23) можно преобразовать к виду:

dC C 2 N
C2 N


dt
wlT 2 flT
(24)
где T - интервал температур, в котором происходит N
полуоборотов эллипса; C - скорость звука при начальной
температуре; l - расстояние между излучающей и
приёмной головками; f - частота генератора.
Измерения.
Измерения рекомендуется вести в определённом
интервале частот, где минимальны погрешности,
вызванные резонансными явлениями.
Упражнение 1.
Измерение
скорости
звука
при
начальной
фиксированной (комнатной) температуре.
Включить мотор термостата (нагреватель выключен).
Записать температуру воды в системе.
Подстраивая частоту генератора добиться положения
эллипса, соответствующего рис. 3а. Записать частоту с
точностью до четырёх знаков.
Плавно изменяя частоту добиться перехода эллипса
в положение, соответствующее рис. 3в. Вновь записать
частоту. Продолжая опыт провести 10 - 12 полуоборота
10
эллипса. Провести опыт в обратном направлении. Из
полученных данных взять среднее значение
Если при монотонном изменении частоты от f1 до f2
эллипс сделал N полуоборотов, то скорость звука
рассчитывается по формуле:
C 
2  l( f 2  f1 )
N   
(25)
где   ( f 2  f1 ) .
Упражнение 2.
Измерение температурного коэффициента скорости
звука.
При комнатной температуре устанавливается частота в
указанном диапазоне. Подстраивается частота так, чтобы
на
экране
осциллографа
наблюдалась
картина,
соответствующая рис. 3а. Записать исходное значение
частоты f0 с точностью до четырёх знаков.
Включить нагреватель термостата. При нагреве воды
скорость звука будет меняться - фаза волны, прошедшей
по трубе, тоже изменится.
Изображение на экране будет переходить от прямой (рис
3а) к эллипсу. После нагрева на 1 - 2 град. ручкой
изменения частоты вновь вернуть картину на экране к
виду на рис.3а. Записать частоту f1 , соответствующую
новой температуре t 1 . Таким образом вести измерения до
t  40 0 C . В процессе измерения фаза волны, прошедшей по
трубе поддерживается постоянной и равной
2  fi L
  ( f i  f1 )
C
трубы, а C - скорость
 
Здесь l - длина
звука при
температуре t i . Продифференцируем это соотношение по
температуре. Учтём, что  постоянная величина. Тогда
получим
2l  C 
df
dC

C
2  fL
dt
dt
Если
2 L  C 
dC C df

dt
f dt
труба
.
Тогда
имеет
достаточную
выражение
. При расчётах
dC
dt
(26)
для
dC
dt
величины f ,
длину,
то
упрощается:
df
dt
берутся
11
средними в исследованном интервале температур.
Величина C берется для комнатной температуры.
Обработка результатов.
1. Рассчитать скорость звуковой волны в жидкости по
формуле (25).
2. Построить график f i ( t i ) . Рассчитать среднее значение
производной
df
dt
.
3. Рассчитать величину
dC
dt
по формуле (26).
4. Рассчитать следующие параметры: адиабатическую
сжимаемость,
изотермическую
сжимаемость
и
коэффициент теплового расширения  воды по
формулам (4), (5), (7).
5. Константа
Ван-дер-Ваальса
рассчитывается
по
формуле (13).
Рис.1
U( r ) 
A B

r 12 r 6
- потенциал Леннарда - Джонса
12
Рис. 2
1 - Акустический волновод
2 - Термостат
3 - Генератор
4 - Осциллограф
5 - Частотомер
13
(a)
  2n
(б)
  2n 
(в)
  2n  

2
Рис.3
Приложение.
Удельная теплоёмкость воды:
Дж
кг  K
Дж
Cp  4,22  10
кг  K
Cp  4,23  10
- при 10 0 C
- при 20 0 C
Отношение удельных теплоёмкостей воды:

Cp
 1,01
Cv
Удельная газовая постоянная водяного пара:
R  461
Дж
кг  К
Плотность дистиллированной воды:
14
кг
м3
кг
  0,9982  10 3 3
м
кг
  0,9922  10 3 3
м
  0,9997  10 3
- при 10 0 C
- при 20 0 C
- при 40 0 C
Коэффициент теплового расширения воды:
  1,8  10 4 K 1 - при 20 0 C
Сжимаемость воды:
1
Па
  0,47  10  9
- при 20 0 C
Максимальная скорость ультразвука в воде:
C MAX  1557
м
,
с
при  74 0 C
Температурный коэффициент скорости звука в воде:
м
г рад
с
м
W   (2,1  1,6) г рад
с
   (2,5  2,1)
- в интервале от  8 0 C до  40 0 C
- в интервале от  8 0 C до  40 0 C
Скорость ультразвука в различных жидкостях:
557
м

с
 3000
C ЖИДК.
гексадекафторгептан
м
с
0
( t  271,5 C)
C MIN  231,4
м
с
гидразин
для жидкого гелия
Температурный коэффициент скорости звука в различных
жидкостях:
 6,2
м
г рад
с
диоксан



 0,236
м
г рад
с
жидкое олово
Постоянные Ван-дер-Ваальса для некоторых веществ:
15
Вещество
Па м6 

2 `
 моль 
 м 3 
b

моль 
углекислота
аргон
водород
водяной пар при
3,64  10 1
1,42 `10 1
1,64  10 2
5,54  10 1
4,28  10 5
4,10  10 5
2,2  10 5
3,1  10 5
20 0 C
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Литература
Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М. Высшая школа,
1981, гл.4, § 29,32,36
Кикоин И.А., Кикоин А.К.Молекулярная физика. М. Изд.
Физ. Мат. Лит., 1963, гл.V, § 6, 10-12; гл.VII, I
Михайлов И.Г. Соловьёв В.А., Сырников Ю.П. Основы
молекулярной акустики. М. Наука, 1964, гл.I, § 4,5; гл.III,
§ 14
Зацепина Г.Н. Физические свойства и структура воды.
М. Изд. Московского университета, 1987. Гл.I, § 1-4; гл.II
§ 1-3
Кудрявцев
Б.Б.
Применение
ультраакустических
методов в практике физико-химических исследований.
М. Гос. Изд. Технико-теоретической литературы, 1952,
гл.II c.70-73; гл.II с. 149-164.
Специальный физический практикум. М. Гос.Изд.
Технико-теоретической литературы, 1945, т.I,с.254-256.