УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦArИ То. XXJJ 1991 М6 УДК 929.7.0\5.3.036 : 533.697.4/.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОПТИМАЛЬНОГО ГАЗОВОГО ЭЖЕКТОРА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАМЕРОЙ СМЕШЕНИЯ. Ч. I В. А. Маланичев Смешение двух газов в эжекторе с цилиндрической камерой смешения рассматривалось в работах [\-3J. в данной работе исследуется случай произвольного количества газов с равными температурами торможеиия и оди­ иаковыми величинаМII ер, 11, :к. Определяются условия оптимальности газо­ вого эжектора с цилиндрической камерой смешения. Приводятся результаты расчета для одного частного случая, IJOДТверж­ дающие выводы теории. В частности, из результатов данной работы следует, что при смешении двух газов параметры каждого из газов на входе в цилинд­ рическую камеру смешения должны быть постоянными, что ранее другим способом было показано автором работы [3J. Смешение двух одинаковых газов с равными температурами торможе­ ния в эжекторе с цилиндрической камерой смешения рассматривалось в боль­ шом количестве работ, в том числе и в работах [1 -5J. ИЗ законов сохра­ нения между входным и выходным сечениями камеры смешения без учета потерь вытекает следующая система уравнений эжекции: (k+ \) <Jq( �) 8= ""7(а-+-:\)-:"7- л.... т)�, ..;; где k= !i. О ' 2 РО2 0=-, РОI РОт 8= --. РОI При заданных расходах и полных давлениях смешиваемых газов максимум степени сжатия Е достигается при условии л'1 = 1 , Р2= Рm, если РО2> РОI И л'm � 1. Если л'm � 1, то максимум степени сжатия достигается при условии Доказательство этих фактов уже при смешении двух газов довольно гро­ моздко. При увеличении же числа смешиваемых газов до n, во-первых, возрастает до (n + 1 ) число уравнений в системе и, во-вторых, возрастает до 2" число точек локального экстремума полного давления смеси. Это при­ водит к необходимос�и численного перебора всех точек экстремума с целью определения точки максимума, что, в свою очередь, затрудняет возможность 45 качественной интерпретации получаемых результатов и ставит проблему доста­ точной точности выполняемых расчетов. Задача смешения в эжекторе нескольких газов возникает из практики добычи и транспорта газа. При разработке скважин на газовом месторож­ дении имеет место' широкий разброс по давлению в различных скважинах (3-12 МПа), и весь этот газ из нескольких десятков скважин поступает на сборный пункт, после которого должен подаваться в транспортную ма­ гистраль, имеющую давление около 7 МПа. В этой связи и возникает задача оптимального смешения нескольких газов на сборном пункте. Аналогичная проблема возникает при процессе ступенчатой дегазации нефти с помощью эжектора. В настоящей работе при увеличении числа смешиваемых газов увели­ чения числа уравнений удалось избежать путем исключения из системы урав­ нений отношений площадей а. При этом с ростом числа газов до n увели­ чивается до n число независимых переменных в системе уравнений эжекщfИ, а число уравнений в этой системе остается равным двум. Это· .позволяет упростить процедуру нахождения точек локального экстремума полного дав­ ления смеси. При нахождении MaKc}fMYMa полного давления смеси газов независимо от числа смешиваемых газов все их количество разбивается иа бесконечно бол�шое число бесконечно малых частей. Скорость какой-либо одной части варьируется при неизменных условиях для других частей. В ре­ зультате таких вариаций находится, что при дозвуковой скорости смеси в конце камеры смешения максимуму полного давления смеси газов соот­ ветствует звуковая скорость частей газов с меньшим полным давлением и сверхзвуковая скорость частей газов с большим полным давлением. При этом для последних статические давления на входе в камеру смешения равны между собой и равны статическому давлению потока· смеси в конце камеры смешения, что в частном случае смешения двух газов совпадает с резуль­ татами работы [3J. Математическая формулировка такого вывода факти­ чески является критерием максимума полного давления смеси и позволяет построить простой алгоритм численного нахождения этого максимума. При сверхзвуковой скорости смеси в конце камеры смешения максимуму полного давления смеси соответствуют бесконечные скорости смешиваемых газов на входе в камеру смешения, и величина этого максимума определяется аналитическим выражением. Результаты численных расчетов подтверждают сделанные в работе выводы. 1. Постановка задачи. Рассмотрим процесс смешения в идеальном эжек­ торе с цилиндрической камерой смешения. Идеальным буде/" называть эжектор, в котором: . - смешиваемые части газа поступают в камеру смешения без потерь через полубесконечные параллельные каналы с равномерными потоками газов при Х= - 00 (рис. 1); - в камере смешения происходит полное перемешивание, то есть в конце камеры смешения (при Х= + 00 ) имеет место равномерный поток смеси; I = t= t= Рот f= f= f= F t= ItJn(YJ f=: Е::::: F= I� ;:::::: ЩУ"J I - ;;;;; km Е= Е I I I I § J/ ..... о Рис. 1 46 jl х - отсутствуют потери на трение, на акустическое излучение в камере смешения и потери при торможении смеси в дозвуковом или. сверхзвуковом диффузоре; - отсутствует теплообмен потока со стенками эжектора. Практически такой же эжектор при смешении двух объемов газа рас­ сматривался в работе [1 J. Orличительной особенностью введенного выше определения является задание пара метров смешиваемых частей газа не на сре­ зах сопел (при х= О), а при х= - 00. Такой подход делает одномерный метод расчета более строгим, особенно в случае дозвуковых скоростей неко­ торой части смешиваемого газа. Введение постоянного коэффициента потерь на восстаноВJiение QОЛНОГО давления смеси в диффузоре, сделанное в рабо­ те [IJ, не влияет на конечный результат. I1TaK, имеется некоторое количество газа Go. Полное давление газа задано как функция удельного расхода - ро(у), О � У � 1, где у= G/Go. Температура торможения То и YД�bHыe теплоемкости Си И Ср постоянны для всего газа. Без потери Qбщности можно считать, что функция ро(у) является неубывающеЙ. Пусть газ ·на входе в эжектор (при х= - (0 ) имеет распределение скорости и(у) и соответствующее распределение статического давления Р(у). Выберем контур интегрирования так, как это показано на рис. 1 . Тогда пара метры смеси определяются из законов сохранения пло­ щадей потоков, расходов, импульсов и энергий смешиваемых частей газа: 1 Fт= f dF(y) d'U. J dy О ( ( 1.1 ) ' ( 1.2) Pm Fт + 1 ) ( dF(Y) Отит= J( Gou(y) + р(у) dY dy, ( 1.3) о ( 1 .4) где F - площадь потока, а индексом т отмечены параметры смеси. Введем газодинамические функции ( [2J) : ( :�: ) q(л)= 1 1.2 1. где 1.= и I к-1 у2К+1 СРТО 1 ><- 1 , . z(л)=л+т, 1 приведенная скорость газа. Тогда _ ( 1 .5) -J+( 1 - :2). После подстановки разложений (1.5) и некоторых где К(х)= преобразований система уравнений (1.1) - (1.4) преобразуется к виду РОт= --..,-1--- d q(.Лт) r) ро(у )qyЩу)) ( 1.6) О 47 I z(лт} = �z (Л(у»dу. ( 1.7) о Согласно определению функции z(л) при ( 1.8) уравнение (1.7) имеет два решения. Корню Лт = Лпi/ < 1 соответствует до­ звуковое течение смеси в конце камеры смешения. Корню Лт = Лтr > 1 со­ ответствует сверхзвуковое течение смеси в конце камеры смешения. Первый корень характеризует работу эжектора с идеальным дозвуковым диффузо­ ром, второй корень характеризует работу эжекroра с идеальным регулируе­ мым сверхзвуковым диффузором. Соответственно двум корням далее, там где это необходимо, рассматриваются ДB� значения полного давления смеси РОт/ и pOmr. По Qпределению приведенная скорость ЛЕ [0, 1.*], где 1.* = -.J :�:. (1.9) Кроме того, при сверхзвуковом значении приведенной скорости Л множество значений функции z(л) ограничено сверху (1.8). Следовательно, на множество функций л(у) при Лm= ЛтТ накладывается огра• ничение ( 1.10) Условия (1.9) - (1.10) являются чисто математическими ограничениями и не учитывают физической возможности реализации течения с различными функ­ циями Л(У) . Таким образом, полное давление смеси РОт, определяемое системой урав­ нений (1.6)-(1.7), является фУНКЦИQналом на множестве функций Л(у), ограниченном условиями (1.9)-(1.10). Оптимизация эжектора сводится к на­ хождению функции л(у), обеспечивающей максимум полного давления сме­ си РОт. Эта задача разбивается на два этапа: 1) нахождение множеcrиа фvнкций I Лех(у)}, на котором величина РОт удовлетворяет условию экстремума (БРОт = О при произвольной вариации БЛ(у» , и определение значений РОт на границе множества функций lЛ(у)}; 2) выбор функции Лоьs(у) , при которой РОт достигает максимума. 2. Условия экстремума полного давлеиия смеси. Пусть БЛ(у) - вариа­ ция функции Л(у) Записав систему уравнений (1.6) - (1.7) в дифферен­ циальной форме, можно выразить БЛт и определить БРОт. После некоторых преобразований находим, что . БРОт= РОт I (Z'(л(у» I J dy о ( у р ) Jо о( )qЩу) ( I(л)- Р От 1t т ) ()lщ») БЛ(У)dУ, РО У 1t У х ( где n(л) = 1 - ::;: ) 1.2 х-I , а величины РОт и Лт определяются из уравнений (1.6) -(1.7). Любая функция множества функций {Лех(У)} летворять уравнению: 48 должна удов­ о. (2.1) Решая уравнение (2.1), получим, что множество {Лех('V)} состоит из следую­ щих основных функций: л(у) = л(у) = [ [ л*, ср(у) , О, 'Ф(У) , уе[ Yi +c'ly], y�[ Yi+c'ly], уе[ Yi+ c'ly], y�[ Yi+c'ly], л(у) = 1, л(у) = л-t(р:("''I')). (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) где Рт = РОтЛ (Л т), а значения Yi, Yi и функции ср(у) , 'ф (У) произвольны. Любая кусочно-непрерывная функция ЧУ). в каждой своей точке удовлет­ воряющая одному из условий (2.2)-(2.5), также принадлежит множеству функций {лех(у)}. Условие (2.3) имеет место только при лт = Лтl. так как такая функция л(у) не удовлетворяет ограничению (1.10). Вид функций л(у), определяемых уравнениями (2.2) и (2.3), обуслов­ лен равенством которое выполняется на множестве этих функций. При этом, если л(у) имеет вид (2.2). то РОт= О. Если Чу) имеет вид (2.3), то РОтl = РО (У/). Эти результаты получаются при предельном переходе к функциям (2.2) и (2.3) в системе уравнений (1.6)-(1.7). Уравнение (2.5) после подстановки значений РОт и лт и некоторых преобразований примет вид: При этом 49 Если ФУНКЦИЯ л (у) на всем множестве у Е [0,1] удовлетворяет условию (2.5), то уравнение (2.6) эквивалентdО уравненню I I О О � л(у) dY � ).��) = 1 . Его решением ()удет Функция л (у) = const, откуда согласно уравнению (2.5) следует, что л (у) = л,.. Так как множество функций л (у) ограничено, необходимо определить значения РОт на границах этого множества, задаваемых условиями (1.9)­ (1.10). Рассмотрим отдельно два случая. Пусть лт= Лтl. Тогда при А. (у) = ,л,. POml= О, что непосредственно вытекает из. уравнения (1.6). При л (у)-О имеем л(у) = l1л(у), ll1лl-О, z(л(у» l1Лт = = l �). (V) + О(Il1лl), 1 jrI �dy О ).( +- О(Il1лI2), y) Тогда из системы уравнений (1.6)- (1.7) следует, что в зависимости от вида Функции l1,Л ходе 1 м 1 -0 лежит между ро (О) и po(I) . Пусть лт= A.mr. Тогда при л (у)-л. имеем: Il1ЛI-О. Л(у)=Л*-l1л.(у), Z( л(у» = z(л*) + l1л(у) ().� 1) + О(Il1лI2), - I � l1Л m= l1л(у)dy + О(Il1лI2), о ( ��:y») q(л(у» = л* 2 I х-I + О(Il1лI2), I ( �:.. ) q(лm) = л* 2 50 х- I + О(Il1ЛI2)., Из системы уравнений (1.6)- (1.7) следует, что в этом случае РОт,= -----,1--.1 оо Ал (l') dl' dl' ) � • у) Ро(I')М( О 1 .-1 В зависимости от вида функции Лл(у) значение РОт, при предельном пере­ ходе IЛлl __ О принимает различные значения от нуля до максимума. Мак­ симум достигается при )( )(-1 ро(у)Лл(у) = const и равен РОт, = --=--1 ..- _ dl" О (� Ро(l') " 1 (2.8) ) Если л(у) такова, что выполняется строгое равенство (1.10), то РОт, = + 00 . 3. )'C.II08ИR максимума IIO.IIlЮro Аа"ИИR смеси. 3начеuие РОт мя функ­ ции л(у) вида (2.2) и (2.3) определены в предыдущем параграфе. Рас­ смотрим случай, когда функция л(у) удовлетворяет уравнениям (2.4) - (2.5). Пусть ЛI(У)= [ 1, 11: _1 Р .. YEJYI'Y �' (Ро(I'»). У� JYI' Yl , и Определим изменение полного давления БР От при переходе от функции ЛI(У) К функции Л2(У). Из уравнения (1.6) подучим Из уравнения (1.7) следует, что 51 6 (1 � dy , ро(v)qЩу)) .+ ) _ - 6ул(л,(у.)) р, 6р, p� ( . ( (У' 1) + � �2' х+ 2 I \ -d:т J z'(I",(уJ)Л(Л, (yJ) л'(л,(yJ) dy + '-с- I q(Л'(Уi)) ) ' поэтому Так как произведение перед квадратной скобкой положительно, то знак приращения 6РОт зависит от знака величины J Вид функции 1.0"1 (У;» дЛЯ нескольких значений отношения удельных теп­ ло�мкостей х изображен на,Р ИС. 2(1-:- х = 1,67, 2-х = 1,4, 3 -Х = 1,33). , Из выражен�я (3.1) видно, что п ри ЛI (У;) = 1 функция 1.(Л) равна нулю. , Х,. о �-""&"":_�_-=-'--�-...j -М -f,0 Рис. 2 При л < 1 она больше нуля, при л> 1 меньше нуля. Следовательно, при­ ращение 6у приводит к увеличеНИЮРОт, когда значение ЛI (У;) меньше единицы. Если же ЛI (У;) больше единицы, то приращение 6у приводит к уменьшению РОт. Так как РО(У) !ilВЛЯется неубывающей функцией, то ЛI(У;) � ЛI(Уj) при Yj> YI И Yj, У2 � ]')'1, у2/,. Значит, функция ЛаЬs(У) должна иметь вид - [ ЛаЬs(У) = 'п-I 52 1, У Е [О, Уо( (�), УЕ[ Уо, 1] , Ро(У) (3.2) где лаь.( 1'0) � 1 и значенне лаЬs(1') = п-1 (р:;») < 1 при 1' < 1'0 или не существует. Причем, A.obs(1'o) = 1 в случае непрерывной функции 1'0(1'). Если же функция РО(1') является кусочно-постоянной, что часто имеет место на практике, то Aabs(1'O) > 1. В работе [3] определился оптимальный режим работы эжектора с цилиндрической камерой смешения в случае Л'" = Л"" при смешении двух газов, то есть когда Ро (У) Уе[ О, 1'0] , Р ', - [ РО02' _ У е[ 1'0' 1] . Оптимальные величины скоростей смешиваемых газов лl = Aabs(1') , У е [О, 1'0] и Л2= А...(1'). У е [1'0. 1]. найденные в этой работе, совпадают с резуль­ т м (3.2). Оптимальной функции приведенной скорости Aabs\1') согласно разложеиию (1.5) соответствует оптимальиая функция площади Fabs (У) равная ато • 4. Резу....тат .. расчетов. Расчеты были выполнены для множества функ­ ций РО(1') вида Ро(1')= ехР(РУ) , 1 е [О, 1] . При такой фуикции полного давлеиия интегралы в уравнениях (1.6), (2.6) н (2.7) вычисляются в квадратурах, так как [1, О, 10] , 1е[ _1 v ':�: л(1')= (� ( I:X РУ) ) l-р " ехр и 1 �о 1 10' 1] . 1е[ 1 1 + + ( ).(1')d1 Z Л(1'»d,= 210 � � ).��) , 10 10 1 + 1 r dy dy ( J Po(y)q(l) р J ).(у) о 10 10 � )�� О Po(y , ).(y» - 1 ( л (У)d1 , р(х+ 1 ) J (x-I) 10 где Р = Ро(1')п().(1'». После вычислений находим, что уравнение (1.6) имеет вид (.;4.1) Х + I ) И=Т (1 - ехр ( - РУо» , где = Т ( -2ехр( I:x f}1'O) . Уравнение (2.6) принимает вид ко= -J1-P Е I Р ".,,1 А- т [ХХ-I '\'0 +X+I 2х E+-YXХ+-I1 (l� '\'0)'+' + f>(:�I)-У:�: Inll:�] = 1, (4.2) где А- т х 2X X+IX =хХ+1 '\'0 _ x2+IE '\'о! + f>(x-� х +-Ух-+1I(1 -\ I) х-I (4.3 ) в процессе расчетов задавалось значение ,\,0, заrем из трансцендеНТIЮГО уравнения (4.2) определялось значение Р и .находилась величина РОт., Как и следовало ожидать, в результате решения уравнения (4,2) определялись два значения р, соответСТВУЮLЦие дозвуковому и сверхзвуковому значениям приведениой скорости смеси А-m' и А-m, из уравнения (4.3). . На рис. 3 и 4 приведены результаты расчетов в случае ]с ,4 и � 5 при А-m Лm, И А-m А-m, соответственно. Штриховой линией изображены зави­ симости А-(,\,о) , сплошной линией изображены зависимости Рот(УО). При = = =1 = Лт= Лт/ существует отрезок значений 1'0, где функция (3.2) не существует, так как при 1'0 � 0 ,29 Л(Уо) = О. Величина РОт/ до(.'Тигает Л(Уо) = 1. При Лт = ЛтГ С увеличением значения 1'0 величина РОтг умень, шается. Максимум РОтг достигается при 1'0 = О, и при данной функции РО (v) согласно уравнению (2.8) он равен , Ротг= [ �(x�l) ( l - ехр( l-:Xp))] При 1'0 = 1 достигается равенство pOlllr = -х � РОт/, так как в этом случае Лт/ = Лтг = 1. Различие в значеlИfЯх. РОтг И РОт/ при одном и том же значении 1'0 соответствует потерям при прохождении потоком смеси прямого. скачка уплотнения. 5.• •изическая ре8.llизуемость течениii. В п. 1 было отмечено, 'что оп­ тимальный режим работы эжектора определялся математически без учета возможности физической реализации течения на всем множестве функций {л(у)}, у Е [О,1]. В результате было получено, что при л". = Лт/ макси­ мальная величина РОт достигается при Л(у) = ( > 0, уЕ [0,1], О, 1'- 1. и равна РОт/= ехр(р). При Лт= Лmг величина РОт может быть неограни­ ченно большой при стремлении функции л(у) к своей нижней границе (1.10). Поэтому наложение условий физич�ской реализуемости течения должно стать следующим этапом в исследовании работы эжектора. Причем, эти условия надо учитывать именно на последнем этапе по следующим причинам. Во-пер­ вых, УСЛОВИЯ физической реализуемости течения, учитывающие газодинаМИI\")': течения и процессы смешения, будут иметь сложный вид, что существенно затруднит исследование системы уравнений (1.6) - (1.7). Во-вторых, возможен целый класс конструктивных изменений схемы эжектора, при которых пол­ ное давление смеси определяется той же системой уравнений (1.6- (1.7) и теми же математическими ограничениями (1.9)- (1.10) (дифференциация и перфорация сопел, использование винтовых сопел [3-5]). Введение таких конструктивных изменений только расширяет класс функций л(у), которым может соответствовать реальное течение. В-третьих, можно не исследовать вопрос о реализуемости течения с такими функциями '" ("i) , которые соот­ ветствуют не интересующим нас, например, небольшим значениям РОт. Полный анализ условий физической реализуемости течения не является целы9 данной работы. Orметим лишь некоторые аспекты этой проблемы. Если лm= лm/ И часть смешиваемого газа имеет дозвуковую скорость л ( (у) < 1, у Е [О, 1'1]), то условие существования реального течении имеет вид ро(у)п(Л(у» = const. Поэтому при непрерывном уменьшении функции Л(у) только л(О) -+0, а зна­ чит, РОт/-+РО(О), чтО меньше вмичины РОт/ при л(у) = Лаьs(у). Функция л.,Ьs(у) В общем случае также нереализуема, так как статическое давление в сверхзвуковом потоке при у Е [1'0, 1] больше статического давления в зву­ ковом потоке при у Е. [О, )'01. Поэтому звуковой поток должен поджиматься сверхзвуковым потоком, но тогда он не может быть звуковым. При стрем­ лении функции Л(у) к функции ЛаЬs(УI) возникает так называемый крити­ ческий режим работы эжектора, когда весь поток в процессе смешения достигает сверхзвуковой скорости. Чем ближе функция Лег(у), соответствую­ щая критическому режиму рабо:гы эжектора, к функции ЛаЬs(У), тем больше 55 ПОЛlЮе давленне смеси рот. В связи С этим возникают проблемы расчета момента возникновения критического режима, его затягивания и оптимиза­ ции на множестве (Ас, (у)}, так как функция Ас, (у) не единственна. При лт = л"., В окрестности нижней границы множества (л(у)} сверх­ звуковое течение смесн реализуется лишь на множестве (Ас, (у)}. в этом случае чем ближе к нижней границе множества {л (у)} наступает критичес­ кий ре�им, тем БОльшую величину полного давления смеси РОт он обеспе­ чивает. iечение с функцией л(у) = л. также физически нереально, но в этом CJIучае оолее серьезная проблема состоит в реализации Эффективного тор­ можения высокоскоростного потока в сверхзвуковом диффузоре. Поэтому практическая перспектива использования высокоскоростных эжекторов пред­ ставляется пока'неясноЙ. ЛИТЕРАТУРА 1. Х Р и с т и а н о,в·и ч С. А. О расчете эжектора.- Промышленная а эро­ динамика, 1944. 2. К и с и л е в Б. М. Расчет одномерных течений газа.- ПММ, 1947, т. 11, N! 1 . . 3. У Р ю к о в Б. А. Теория дифференциального эжектора.- ПМТФ, 1963, N! 5. 4. А р к а Д о в Ю. К. Газовый эжектор с соплом, перфорированным продольными щелямн.- Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, Н! 2. 5. А р к а Д о в Ю. К. Исследование газового эжектора с винтовым соnлом.- Промышленная аэродинамика, 1973, Н! 30. Рукопись nостуnиАа 31/У 1990 г.