МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЫХАНИЯ ЧЕЛОВЕКА

УДК 629.7.0
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДЫХАНИЯ ЧЕЛОВЕКА
В.А. Погонин1, П.М. Оневский1, А.М. Иванов1, Е.В. Шишов2
Кафедра «Информационные процессы и управление»,
ФГБОУ ВПО «ТГТУ» (1); onev1@mail.ru;
ОАО «Государственный научно-исследовательский
химико-аналитический институт», г. Санкт-Петербург (2)
Представлена членом редколлегии профессором Н.Ц. Гатаповой
Ключевые слова и фразы: искусственные легкие; модулирующие функции; пневмотахограмма дыхания; потребление кислорода.
Аннотация: Разработана математическая модель внешнего дыхания человека, описывающая динамические процессы в искусственных легких, имитирующая различные пневмотахограммы дыхания и уровни потребления кислорода.
Предложено при реализации пневмотахограмм дыхания использовать модулирующие функции.
Для имитации дыхания человека в комплексе «Искусственные легкие» режим испытания задается следующими параметрами: глубиной дыхания Vд, дм3;
частотой дыхания n, мин–1; легочной вентиляцией Wл = Vд n, дм3/мин [1].
Объемная подача диоксида углерода в ходе всего испытания WCO 2 (0),
дм3/мин, имитирует выделение человеком диоксида углерода. Эта величина определяет начальную объемную долю диоксида углерода в выдыхаемой газовой дыха( 0)
, которая зависит от величины подательной смеси (ГДС), обозначаемую как ССО
2
чи диоксида углерода в начальный момент испытания и легочной вентиляции [2]:
( 0)
СCO
2
=
( 0)
WCO
2
Wл
(1)
.
Начальная объемная доля диоксида углерода регистрируется на линии выдоха комплекса искусственные легкие (ИЛ), пока к нему не подключен индивидуальный дыхательный аппарат (ИДА), который необходимо испытать или протестировать.
Для составления баланса по диоксиду углерода учтем, что в блок имитации
(0)
дыхания поступают два потока CO 2 – с постоянной объемной скоростью WCO
2
из баллона и с переменной объемной скоростью в составе ГДС с линии вдоха, а
удаляется из имитатора один поток по линии выдоха.
Разделив эти потоки на величину легочной вентиляции, получаем
( 0)
вд
выд
СCO
+ ССO
= ССO
.
2
2
2
(2)
Важным значением для имитации дыхания является правильное воспроизводство дыхательного коэффициента Kд, который определяет уровень потребле980
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2012. Том 18. № 4. Transactions TSTU
ния кислорода человеком, а при испытаниях на установке ИЛ задается режимом
испытаний. В последнем случае
( 0)
K д = WCO
(3)
WO 2 ,
2
где WO 2 – объем кислорода, который следует удалить из установки ИЛ в единицу
времени, дм3/мин. Отсюда величина сброса кислорода WO 2 из ИЛ определяется
из соотношения подачи диоксида углерода в начальный момент и коэффициента
дыхания:
( 0)
WO 2 = WCO
Kд .
2
(4)
Обеспечение результатов адекватного испытаниям ИДА на людях потребления кислорода в ИЛ является очень важной задачей. Решение этой задачи позволяет имитировать различные уровни потребления кислорода человеком при различных психофизиологических состояниях, что не достигнуто в существующих
аналогичных комплексах ИЛ [2].
В процессе испытаний ИДА на установке ИЛ измеряются объемные доли
двух компонентов – кислорода и диоксида углерода, причем объемная доля кислорода СOвд измеряется во вдыхаемой ГДС после холодильника, а объемная до2
выд
ля диоксида углерода ССO
– в выдыхаемой ГДС после увлажнителя. Объемная
2
доля азота в ГДС рассчитывается исходя из допущения, что в контуре циркулирует трехкомпонентная смесь газов СО2, О2, N2. Следовательно, объемная доля азота во вдыхаемой ГДС
вд
вд
CN
= 1 − ССO
− СOвд .
(5)
выд
выд
CN
= 1 − ССO
− СOвыд .
2
2
2
(6)
2
2
2
Аналогично,
На основании принятых допущений рассчитывается количество ГДС, которое необходимо удалить на фазе вдоха, дм3/мин, для обеспечения удаления из
системы требуемого объема и массы кислорода
WГДС = WО 2 COвд .
2
(7)
Однако вместе с кислородом из системы удаляется также азот и диоксид углерода. Объемный расход азота и диоксида углерода, которые удаляются из установки вместе с расчетным количеством кислорода для обеспечения имитации потребления кислорода, определяется исходя из их объемных долей в сбрасываемой ГДС
вд
WГДС ( N 2 ) = C N
WГДС ,
2
(8)
где WГДС ( N 2 ) – сброс азота из ИЛ, дм3/мин;
вд
WГДС (CO 2 ) = CCO
WГДС ,
2
(9)
где WГДС (CO 2 ) – сброс диоксида углерода из ИЛ, дм3/мин.
Указанные объемы СО2 и N2 необходимо вернуть в систему для сохранения
материального баланса по этим газам, как это происходит при реальном использовании ИДА человеком. Расчет количества диоксида углерода и азота, которые
необходимо подать в систему ведется на основании уравнений материального
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2012. Том 18. № 4. Transactions TSTU
981
баланса – это позволяет рассчитать количества отбора ГДС из системы, количества СО2 и N2, которые необходимо вернуть в систему для различных режимов испытаний ИДА.
Таким образом, для полной имитации потребления кислорода из системы необходимо удалять ГДС с объемным расходом [2]
WГДС = WO
2
( 0)
COвд = WCO
2
2
(K дCOвд ).
2
(10)
Зависимости (2) – (10) позволяют разработать математическую модель дыхания, описывающую динамические процессы в ИЛ, имитирующие различные
пневмотахограммы дыхания, уровни потребления кислорода, что обусловлено
возможными психофизиологическими состояниями человека.
На рисунке 1 представлена структурная схема модели комплекса ИЛ, рассматриваемого как объект управления. Полагаем, что в контуре ИЛ циркулирует
трехкомпонентная смесь газов, состоящая из СО2, О2, N2.
Входными параметрами модели являются: X п – координата положения
штока поршневого дозатора сброса ГДС, дм; μ1 , μ 2 – степени открытия клапанов
подачи из баллонов СО2 и N2 соответственно; n – частота дыхания, мин–1; Vд –
глубина дыхания, дм3; вид ПТГ – вид пневмотахограммы (синусоида, треуголь(0)
ник, трапеция); K д – коэффициент дыхания; WCO
– поток подачи СО2, имити2
вд
вд
, СOвд , С N
–
рующего выделение человеком диоксида углерода, дм3/мин; ССO
2
2
2
концентрации вдыхаемых СО2, О2 и N2 соответственно.
Выходные параметры (сигналы): VГДС – объем ГДС, удаляемый из системы
на фазе вдоха, дм3; VCO 2 , VN 2 – объемы СО2 и N2, возвращаемых в систему на
ИЛ
ИЛ
фазе вдоха, соответственно, дм3; ССO
, СOИЛ , С N
– текущие концентрации
2
2
2
СО2, О2 и N2 в ИЛ соответственно, б/р.
Сигналы VГДС , VCO 2 , VN 2 в дальнейшем будут являться задающими сигналами, которые необходимо отслеживать системой управления комплексом ИЛ.
Газовые потоки в комплексе модулируются пневмотахограммами дыхания,
являющимися в данном случае модулирующими функциями. В качестве модулятора выступает привод имитатора дыхания, задающий всему комплексу частоту,
глубину и вид пневмотахограммы дыхания.
(0)
WCO
2
Рис. 1. Структурная схема модели компдекса ИЛ
982
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2012. Том 18. № 4. Transactions TSTU
Объем сброса ГДС VГДС , объемы подачи газов VCO 2 и VN 2 на каждом вдохе должны отрабатываться синхронно с приводом имитатора дыхания с помощью
соответственно управляемого поршневого дозатора и регулируемых клапанов
подачи газа.
На рисунке 2 изображены виды пневмотахограмм, используемых в модели.
Фигуры, ограничиваемые данными кривыми, являются равновеликими, поскольку
соответствуют одной и той же легочной вентиляции Wл. Треугольная и трапецеидальная пневмотахограммы в модели реализуются кусочно-линейными функциями.
dV
На рисунке 2 обозначено:
– объемная скорость вдыхаемых (выдыхаеdt
мых) газов, дм3/с; t нц – текущее время начала очередного цикла вдоха-выдоха, с;
t вд – продолжительность вдоха, с; t выд – продолжительность выдоха, с;
60 60
60
tвд + tвыд = tц – длительность цикла вдоха-выдоха; t1 =
, t2 =
, с, где
−
2n hn
hn
для t1 и t2: n – частота дыхания, мин–1; h ∈ (2, 4) – коэффициент, характеризующий
форму трапеции, при h = 4 трапеция превращается в треугольник.
Модулирующие функции для синусоидальной пневмотахограммы F sin ,
тр
тр
трапецеидальной (треугольной) для вдоха Fвд
и выдоха Fвыд
задаются соответственно выражениями:
F sin = π sin( 2πnt );
⎧h(t − tнц ) t1 при t ≤ tнц + t1;
⎪
= ⎨h при tнц + t1 < t < tнц + t 2 ;
⎪h(t − t )(t − (t + t ) ) t при t ≥ t + t ;
нц
2
1
нц
2
⎩ 1 нц
(12)
⎧− h(t − (tнц + tвд ) ) t1 при t ≤ tнц + tц − t 2 ;
⎪
= ⎨− h при tнц + tц − t 2 < t < tнц + tц − t1;
⎪h(t − t )(t − (t + t − t ) ) t при t ≥ t + t − t .
нц
ц
1
1
нц
ц
1
⎩ 1 нц
(13)
тр
Fвд
тр
Fвд
(11)
3
dV
dV дм
,
dt
сdt
11
22
33
t выд
t нц
t2
t1
tt, c
t вд
Рис. 2. Пневмотахограммы дыхания:
1 – синусоидальная; 2 – треугольная; 3 – трапецеидальная
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2012. Том 18. № 4. Transactions TSTU
983
Основные соотношения математической модели приведены ниже.
1. Изменение объемов газов на фазе вдоха, например, при реализации синусоидальной пневмотахограммы дыхания:
а) объемы вдыхаемых газов:
ИЛ
dVCO
2
dt
2
dVOИЛ
2
dt
= WOИЛ F sin ;
(14)
2
dVNИЛ
2
dt
б) объем сброса ГДС
ИЛ sin
= WCO
F ;
= WNИЛ F sin ;
2
VГДС = S п X п ,
(15)
где X П определяется из уравнений:
XП
1
=
WГДС F sin ;
dt
Sп
X пmin ≤ X п ≤ X пmax ,
(16)
X& п ≤ X& пmax ;
(17)
в) возврат сброшенных газов N2 и СО2 из баллона:
dVN 2
= WN 2 F sin ;
dt
dVCO 2
= WCO 2 F sin ,
dt
где WCO = μ1k ν
бал
− pИЛ
pCO
2
ρ
2
бал
− pИЛ
pN
2
; WN = μ 2 k ν
ρ
2
(18)
; μ min ≤ μ1,2 ≤ μ max ;
г) потребление О2
dVO 2
(0)
WCO
2
=
F sin .
(19)
dt
Kд
2. Изменение концентрации газов в ИЛ на вдохе при реализации синусоидальной пневмотахограммы:
((
− (VО
)(
)
d ИЛ
( 0)
ИЛ
вд
= WСО
+ WСО
−
С
VО 2 K д + VИЛ + VГДС
2
2
dt СО 2
2
)(
))
(0)
(0)
ИЛ
ИЛ
+ WСО
+ WОИЛ + WNИЛ ×
K д + CСО
VИЛ + VСО
WСО
2
2
2
2
2
2
(
d ИЛ
= (WОИЛ (VО
С
dt О
)2 ;
вд
)−
K д + VИЛ + VГДС
вд
× F sin VO 2 K д + VИЛ + VГДС
2
(
2
2
)(
(20)
))
( 0)
ИЛ
− CО(0)VИЛ + VОИЛ WСО
+ WСО
+ WОИЛ + WNИЛ ×
2
2
2
2
2
2
(
вд
× F sin VO 2 K д + VИЛ + VГДС
d ИЛ
d ИЛ
d
= − CCО
− CОИЛ .
С
2
2
dt N 2
dt
dt
984
)2 ;
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2012. Том 18. № 4. Transactions TSTU
3. Изменение объема ГДС на выдохе при реализации синусоидальной пневмотахограммы:
выд
dVГДС
dt
= Wд n F sin .
(21)
4. Потоки газов, поступающих в блок имитации дыхания ИЛ для схемы с
имитацией потребления кислорода по массе и объему, дм3/мин:
ИЛ
вд
WСО
= CСО
Vд n;
2
2
WOИЛ = CОвд Vд n − WO 2 ;
2
2
вд
WNИЛ = C N
Vд n.
2
2
(22)
Обозначения в формулах (14) – (22): S п – площадь поршня поршневого
(0)
дозатора отбора ГДС, дм2; WГДС = WCO
2
(K ДСОвд )
2
– поток сброса ГДС,
вд
WГДС – поток возврата N2 на вдохе из баллона, дм3/мин;
дм3/мин; WN 2 = C N
2
вд
WCO 2 = CСО
WГДС – поток возврата СО2 на вдохе из баллона, дм3/мин;
2
( 0)
WО 2 = WCO
K Д – поток потребления О2 легкими, дм3/мин; kν – пропускная спо2
бал
, PNбал – давление СО2 и N2 в баллонах, Па; p ИЛ – давлесобность клапана; PCO
2
2
ние ГДС в ИЛ, Па; ρ – плотность ГДС в ИЛ, кг/м3; VИЛ – объем системы ИЛ, дм3;
вд
ИЛ
VГДС
= VСО
+ VОИЛ + VNИЛ – объем вдоха с учетом потребленного кислорода, дм3;
2
2
2
( 0)
, CO(0) – концентрации соответVO 2 – объем потребленного кислорода, дм3; CCO
2
2
ственно диоксида углерода и кислорода в начале вдоха.
Работа выполнена в рамках соглашения № 14.В37.21.2083 Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.
Список литературы
1. ГОСТ Р 12.4.220–2001 ССБТ. Средства индивидуальной защиты органов
дыхания. Аппараты изолирующие автономные с химически связанным кислородом (самоспасатели). Общие технические требования. Методы испытаний. –
Введ. 2002–07–01. – М. : Изд-во стандартов, 2001. – 23 с.
2. Гудков, С.В. Совершенствование методики испытания изолирующих дыхательных аппаратов с химически связанным кислородом / С.В. Гудков, Д.С. Дворецкий, А.Ю. Хромов // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. – 2009. – Т. 15, № 3. –
С. 589–597.
Mathematical Modeling of Human Respiratory
V.A. Pogonin1, P.M. Onevsky1, A.M. Ivanov1, E.V. Shishov2
Department “Information Processes and Control”, TSTU (1); onev1@mail.ru;
State Research Institute of Chemical Analysis, St. Petersburg (2)
Key words and phrases: artificial lungs; modulating functions; oxygen
consumption; pneumotachogram.
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2012. Том 18. № 4. Transactions TSTU
985
Abstract: The paper presents the mathematical model of human external
respiration, describing the dynamic processes in artificial lungs imitating various
pneumotachograms and levels of oxygen consumption. It is proposed to use modulating
functions in pneumotachograms.
Mathematische Modellierung der Atmung des Menschen
Zusammenfassung: Es ist das mathematische Modell der äußerlichen Atmung
des Menschen, das die dynamischen Prozesse in den künstlichen Lungen beschreibt und
verschiedene Pneumotachogramme der Atmung und die Niveaus des Konsums des
Sauerstoffs imitiert, erarbeitet. Es wird bei der Realisierung der Pneumotachogramme
der Atmung vorgeschlagen, die modulierenden Funktion zu verwenden.
Modélage mathématique de la respiration de l’homme
Résumé: Est élaboré le modèle mathématique de la respiration extérieure de
l’homme qui décrit les processus dynamiques dans les poumons artificiels et qui imite
de différents pneumotachygrammes de la respiration et des niveaux de la consommation
de l’oxygène. Est proposé d’utiliser les fonctions du modélage lors de la réalisation des
pneumotachygrammes.
Авторы: Погонин Василий Александрович – доктор технических наук,
профессор кафедры «Информационные процессы и управление»; Оневский Павел
Михайлович – кандидат технических наук, доцент кафедры «Информационные
процессы и управление»; Иванов Андрей Михайлович – аспирант кафедры «Информационные процессы и управление», ФГБОУ ВПО «ТГТУ»; Шишов Евгений
Витальевич – инженер, ОАО «Государственный научно-исследовательский химико-аналитический институт», г. Санкт-Петербург.
Рецензент: Матвейкин Валерий Григорьевич – доктор технических наук,
профессор, заведующий кафедрой «Информационные процессы и управление»
ФГБОУ ВПО «ТГТУ», заместитель генерального директора ОАО «Корпорация
«Росхимзащита», г. Тамбов.
986
ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2012. Том 18. № 4. Transactions TSTU