Теорема об изменении момента количества движения точки.

Предмет динамики.
Динамика- раздел теоретической механики, изучающий движение материальных объектов с учетом
сил, вызывающих это движение. В динамике изучаются механические движения материальных объектов под
действием сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка.
Материальная точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь
и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. Более сложные материальные объекты –
механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.
Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы
отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не
зависят от движущихся в нем материальных объектов.
Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех
системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.
Две основные задачи динамики:
1.по заданному движению точки определить силы, вызывающие это движение.
2. по заданным силам определить движение точки.
В динамике рассматриваются различные модели материальных объектов. Простейшая модель - материальная
точка (тело, формами и размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи).
Более сложные материальные объекты – система материальных точек и твердое тело.
Аксиомы классической механики
Первая аксиома или закон инерции. Существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых
материальная точка, не испытывающая действия или находящаяся под действием уравновешенной системы
сил, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Вторая аксиома. Ускорение точки прямо пропорционально силе и направленно в сторону этой силы.
Масса- мера инертности точки.
Третья аксиома. Всякому действию есть противодействие, равное по величине и противоположное по
направлению.
Четвертая аксиома. Закон независимости действия сил.
Если к точке приложена система сил, то ускорение точки равно векторной сумме ускорений,
получаемых от каждой силы в отдельности.
n 




W  W1  W2    Wn   Wk
k 1
Аксиомы классической механики хорошо согласуются с результатами опытов.
Две основные задачи динамики.
Первая задача динамики.
По заданному движению точки определить силу.
xt 

y t  - уравнения движения точки
z t  
mx  Fx
my  Fy
my  Fz
F  Fx2  Fy2  Fz2
Решается методом дифференцирования.
Вторая задача динамики.
Решение второй задачи динамики составляет основное содержание всех разделов динамики.
По заданным силам определить движение точки. Задача решается методом интегрирования.
Если сила зависит только от t или только от x или V, то можно пользоваться следующими указаниями:
1) составить диф.уравнение движения точки:
а) начало координат совмещать с началом движения точки (или с её равновесным положением);
б) если движение по прямой, то одну из осей направить в сторону движения точки;
в) точку изобразить с приложенными силами в произвольном положении;
г) составить диф.уравнение в проекции на ось.
2) интегрирование диф.уравнения.
Замена переменных.
dV x
,
F (t ), F (V )
dt если
VdV
, если F (x )
dx
Диф.уравнение решать методом разделения переменных(кроме задач на колебания).
3) интегралы брать неопределёнными, учитывая постоянные интегрирования, найденные из начальных
условий.
4) анализ движения точки.
Диф.уравнения движения материальной точки.
 d 2r
  W  2  r
mw  F ;
dt

 
F (const ; t ; r ;V )

 
mr  F (c; t ; r ;V )
В проекциях на декартовы оси кординат :
mx  Fx (c; t ; x; y; z; x; y ; z )
my  Fy (c; t ; x; y; z; x; y ; z )
mz  Fz (c; t ; x; y; z; x; y ; z )
При плоском движении точки:
mx  Fx (c; t ; x; y; z; x; y ; z)
my  Fy (c; t ; x; y; z; x; y ; z)
mx  Fx (c; t; x; y; z; x; y ; z)
Если тело движется прямолинейно, то
В проекциях на естественные оси координат:

mW  F


mWn  Fn


mWb  Fb
W 
dV 
 S , где S- закон движения точки по траектории.
dt
Wn 
V2

Wb  0
mS  F

m
V
2

 Fn
0  Fb
Принцип Даламбера для материальной точки
Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием
приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид:
m a  F  R ,
F - равнодействующая активных сил, R - равнодействующая сил реакции связей.
Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с
обратным знаком, т.е. Φ  m  a .
Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики принимает вид: F  R  Φ  0
Принцип Даламбера. При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с
силой инерции точки образуют равновесную систему сил.
Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода
сводятся к задачам статики.
Относительное движение материальной точки
Во многих задачах динамики движение материальной точки рассматривается относительно системы
отсчета, движущейся относительно инерциальной системы отсчета.
Получим дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно подвижной системы
отсчета.
O1 x1 y1 z1 - инерциальная система отсчета.
Oxyz - подвижная система отсчета.
m a  F  R ,
где F - сумма активных сил, R - сумма сил реакции связи.
Согласно теореме Кориолиса a  ae  ar  ak
Перепишем дифференциальное уравнение следующим образом
m  a r  F  R  m  ae  m  a k
Введем обозначения
Фe  m  ae - переносная сила инерции,
Фk  m  ak - кориолисова сила инерции.
С учетом этих обозначений мы получаем
относительного движения).
динамическую теорему Кориолиса (уравнения
Материальная точка движется относительно неинерциальной системы отсчета так же как и
относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и силам реакции связей следует
добавить кориолисову и переносную силу инерции.
m  ar  F  R  Фe  Фk
Силы Фe и Фk являются поправками на неинерционность системы.
В проекциях на подвижные оси
m  x  Fx  Rx  Фex  Фkx
m  y  Fy  R y  Фey  Фky
m  z  Fz  Rz  Фez  Фkz
Количество движения точки
Количеством движения материальной точки q называется вектор, равный произведению массы точки m на
q  mv
ее скорость v .
Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.
Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны:
q x  m  v x  m  x , q y  m  v y  m  y , q z  m  v z  m  z
Единицей измерения количества движения в СИ является – 1кг  м / с  1Н  с
Теорема об изменении количества движения точки.
Теорема. Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.
Запишем основной закон динамики m  a  F в виде
m
dv
 F . Так как масса постоянна, то
dt
внесем ее под знак производной.
d( m  v )
F,
dt
Тогда
(*)
что и требовалось доказать.
В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:
d
(m  v x )  F x
dt
d
(m  v y )  F y
dt
d
(m  v z )  F z
dt
Момент количества движения точки.
В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого
количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты
определяются также как и моменты силы.
Моментом количеством движения материальной точки k 0
относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый
равенством k 0  M 0 ( m  v )  r  m  v
Момент количества движения точки называют также кинетическим
моментом.
Момент количества движения относительно какой-либо оси Oz ,
проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения
k 0 на эту ось k z  M z ( m  v )  k 0  cos(  ) .
Теорема об изменении момента количества движения точки.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения
точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно
того же центра.
d
( M 0 (m  v))  M 0 ( F )
dt
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно
какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.
Следствия из теорем:
1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно
этой точки величина постоянная.
M 0 (F )  0 , 
k 0  M 0 (m  v)  (r  m  v)  const
2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно
этой оси величина постоянная.
M z (F )  0 , 
k z  M z (m  v)  const
Кинетическая энергия точки
Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину
произведения массы точки на квадрат ее скорости.
m  v2
T
2
Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей
на точку.
m  v2
)  dA
2
Теорема. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к
этой точке.
d(
d m  v2
(
)W
dt
2
Теорема. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы,
действующей на точку на этом же перемещении.
m  v 2 m  v02

A
2
2
Классификация сил, действующих на систему мат. точек
Силы, действующие на любую точку механической системы, делятся на внутренние и внешние.
Fi – внутренняя сила
Fe – внешняя сила
Внутренними называются силы, с которыми точки, входящие в систему, действуют друг на друга.
Внешними называются силы, которые прикладываются к точкам извне, то есть от других точек или тел, не
входящих в систему. Разделение сил на внутренние и внешние условное.
mg – внешняя сила
T2'
'
1
T
Fтр – внутренняя
T1сила
V
T2
Fтр
Дифференциальные уравнения системы в векторной форме:
mi 
(e)
(i )
d 2 ri
 Fi  Fi ,
2
dt
i  1,..., n
Центр масс системы
r
Центр масс системы – геометрическая точка, положение которой определяется радиус-вектором c .
n
r
c
m r

k
k 1
M
k
n
M   mk
, где
k 1
M ac  F
(4)
- теорема о движении центра масс системы: центр масс системы движется также, как точка, масса которой
равна массе всей системы под действием сил, приложенных к системе.
Для решения задач запишем теорему в проекциях на оси координат:
e
e
e
 Fy


 Fx
 Fz
y




x
z
c
c
c
M
; M
; M
.
e
Теорема об изменении количества движения точки и системы : производная
по времени от количества движения точки равна приложенной силе.
d ( mv )  Fdt
(6)
Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы.
v
t
v0
0
 d (mv)  =  F dt
t
mv  mv0   F dt  S (полный импульс силы)
(7)
0
– теорема в интегральной форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток
времени равен импульсу силы за этот промежуток времени.
Элементарный и полный импульс силы.
Действие силы F на материальную точку в течении времени
элементарным импульсом силы d S  F  dt .
Полный импульс силы
F за время
t , или импульс силы
dt
можно охарактеризовать
S , определяется по формуле
t
S
 Fdt .
(Полный интеграл за время t от элементарного импульса).
0
В частном случае, если сила
S  F t .
постоянна и по величине , и по направлению ( F  const ),
F
Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:
t
t
t
S x   F x dt
S y   F y dt
S z   F z dt
0
0
0
Единицей измерения импульса в СИ является – 1Н  с
Теорема импульсов (в дифференциальной форме). Дифференциал от количества движения точки
равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.
Умножим левую и правую части уравнения (*) на dt и получим
d ( m  v )  d F  dt  d S
(**)
В проекциях на координатные оси получаем:
d (m  v x )  d F x  dt  d S x ,
d (m  v y )  d F y  dt  d S y ,
d (m  v z )  d F z  dt  d S z .
Теорема импульсов (в интегральной форме). Изменение количества движения точки за какой-либо
промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени.
Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до t получаем:
m  v  m  v0  S
В проекциях на координатные оси получаем:
m  v x  m  v0x  S x ,
m  v y  m  v0 y  S y ,
m  v z  m  v0z  S z
Кинетическая энергия точки
Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину
произведения массы точки на квадрат ее скорости.
T
m  v2
2
Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей
на точку.
m  v2
d(
)  dA
2
Доказательство: Основной закон динамики
m
dv
F.
dt
Умножим левую и правую части уравнения скалярно на d r справа, получаем m 
F  d r  dA - элементарная работа.
m
dv
 dr  F  dr .
dt
dv
dr
m  v2
 d r  m  (d v  )  m  (d v  v)  d (
) - дифференциал от кинетической энергии.
dt
dt
2
m  v2
)  dA ,
что и требовалось доказать.
2
Теорема. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к
этой точке.
d(
d m  v2
(
)W
dt
2
Теорема. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы,
действующей на точку на этом же перемещении.
m  v 2 m  v02

A
2
2
Теорема об изменении момента количества движения точки и
системы
(кинетического момента)
Кинетическим моментом точки относительно центра называется векторная
величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного в
точку из неподвижного центра на количество движения точки.

 
k0  r  mV (1) - кинетический момент точки относительно центра О или
момент количества движения относительно центра О.
Формулировка: производная по времени от момента количества движения
точки относительно неподвижного центра равна моменту силы относительно
этого центра.


dk 0
 M 0 ( F ) (2), где М - момент относительно т. О.
O
dt
Частные случаи теоремы:
1. M 0 ( F )  0  k 0  const  k 0 нач. - закон сохранения кинетического
момента.
2. M 0 ( F )  0  k x  const  k x нач. - закон сохранения кинетического
момента в проекции на ось Х.
Кинетический момент системы.
Для системы кинетический момент равен векторной сумме кинетических
моментов всех точек, входящих в систему.
K   M 0 (mi V i )
Формулировка: производная по времени от кинетического момента
системы относительно некоторого центра равна главному моменту внешних
сил относительно этого центра.

e
e
e
dK0
 M 0 , где M 0   M 0 ( F i )
dt
Частные случаи теоремы:
e
1. Если M 0  0, то K O  const  K Oнач.
e
2. Если M x  0, то K x  const  K Oнач.
В этих случаях выполняется закон сохранения кинетического момента
системы.
Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси
K zk  mkVk hk
 для точки
Для твердого тела :
K z   mkVk hk   mk hk2    mk hk2  J z



Jz
K z J z , где J z  момент инерции
Формулировка: при вращении тела вокруг оси кинетический момент равен
произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую
скорость.
Моменты инерции некоторых тел
1. Однородный круглый диск или цилиндр
mr 2
Jz 
2
2. Обод (кольцо)
J z  mr 2
3.
(6)
ml 2
J z1 
12
ml 2
J z2 
3
3. Любое тело
J z  m 2 , где   радиус инерции тела .
Кинетическая энергия системы.
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.
mi  vi2
T 
2
Вычисление кинетической энергии
Для системы:
1.
mk vk2
T 
2
2. Поступательное движение твердого тела.
v2
T
2
Mv 2 , где M 
 mk  2
m
k
3. Вращение тела вокруг неподвижной оси.
mk vk2
mk  2 hk2  2
T 


2
2
2
m h
J z 2
T
2
4.Тело движется плоско-параллельно.
T
J cv  2
2
J cv  J c  MR 2
k
2
k

2Jz
2
T
R  vc
J cv  2
2
MR 2 2

2
Mvc2 J c 2
T

2
2
При плоско-параллельном движении тела кинетическая энергия состоит из
суммы двух слагаемых: кинетическая энергия в поступательном движении вместе
с центром масс и кинетическая энергия тела при вращении вокруг центра масс.
1. Поступательное движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной
точки, у которой масса равна массе этого тела.
v2
, v - скорость любой точки твердого тела
2
2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.
Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине
произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
T M
2
T  Jz 
,  - угловая скорость вращения твердого тела.
2
3. Плоское движение тела.
Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела
вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и
перпендикулярной плоскости движения..
T M
vC2
2
 Jz 
, vC - скорость центра масс твердого тела,  - угловая скорость вращения твердого
2
2
тела.
Вычисление работы сил
c  a  b  ab cos  или c  a x bx  a y by  a z bz
Элементарная работа силы равна:
dA  F  d r  F  dr  cos( F ,d r )  F  dS  cos( F , d S )
dA  Fx dx  Fy dy  Fz dz
Полная работа силы вычисляется через интеграл
S
A   FdS cos( F , d S )
S0
или
(M )
A
Работа силы в некоторых случаях
1.
Сила постоянна по величине. Точка
или тело движется прямолинейно.
 ( Fx dx  Fy dy  Fz dz )
(M0 )
dA  F  dS  cos
S
S
S0
S0
A   dA  F cos   dS  F  cos   S
Знаки работы:
при α < 90°; A > 0
при α = 90°; A = 0
при 90° < α < 180°; A < 0
2.
Работа силы тяжести.
G  mg
dA  Gx dx  G y dy  Gz dz
dA   mgdz
(M )
A

z
dA  mg  dz  mg ( z  z0 )
(M0 )
z0
a   mgh
3.
Работа силы при вращательном движении тела вокруг неподвижной
оси.
dA  F  dS  F  R  d  Md

A   Md
0
Если М = const, то A  M
4.
Работа силы упругости пружины.
dAупр  Fx dx  Fy dy  Fz dz
dAупр  cxdx
(M )
A

(M0 )
x
dAупр
cx
 c  xdx 
2
x0
2
x1
x0
c
  ( x12  x02 )
2
cx
c2

Если x0 = 0, то A  
2
2
2
1
Единицей измерения работы в СИ является – 1Н  м  1 Дж
Установим зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых
проходит через центр масс.
Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. (Теорема Штейнера)
Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно
параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния
между этими осями. J Ol  J Cl  M  d 2
Доказательство: Пусть имеется две декартовы системы координат Oxyz и Cx y z  , оси которых
параллельны. Начало системы Cx y z  находится в центре масс системы. Докажем теорему для осей Oz и
Cz  .
J Oz   mi  ( xi2  yi2 )
J Cz   mi  ( xi 2  yi 2 )
Координаты связаны между собой соотношениями:
xi  xi  xC
,
yi  yi  yC
,
z i  z i  z C
Работа силы. Мощность.
Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его
перемещении.
Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению
элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.
dA  F  ds .
dA  F  ds  cos(  ) ,
 - угол между F и ds
Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на
элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки
приложения силы.
dA  F  ds  F  dr
Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на
скорость точки.
dA  F  dr  F  v  dt  dS  v
Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу
времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.
W 
dA
,
dt
W
F  v  dt
 F v
dt
Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.
Единицей измерения мощности в СИ является – 1 Дж / c  1Вт
В технике за единицу силы принимается 1л.с.  736 Вт  75
кГ  м
.
с
Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Эта теорема существует в двух формах.
Теорема. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех
внешних и внутренних сил, действующих на систему.
dT  dA 
(e)
F i
 d ri 
(i )
F i
 d ri
Теорема. Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в
другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих
перемещениях точек системы при том же перемещении системы..
T  T0   Ai( e )   Ai( i )
Теорема Кенига. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из
кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии
системы при ее движении относительно центра масс.
T M
vC2
 TC( r )
2
Вычисление обобщённых сил
Если система имеет n степеней свободы, то у неё n обобщённых координат,
независимых друг от друга (q1, q2, …, qn) и n возможных перемещений (δq1, δq2,
…, δqn). Сумма элементарных работ, приложенных к системе сил, на возможные
перемещения системы равна


A

F


r

 k
k
k Q1 q1  Q2 q2  ...  Qn qn .
Обобщёнными силами называются коэффициенты, стоящие перед
соответственными возможными перемещениями. Так как обобщённые
координаты не зависят друг от друга, то для определения обобщённой силы
системе необходимо сообщить возможные перемещения, соответствующие
координатам, а все остальные возможные перемещения принять за нуль, то есть
для определения Q1 необходимо, чтобы δq1 ≠ 0, δq2 = 0, δq3 = 0, …, δqn = 0, тогда
 Ak .
Ak Q1 q1, Q1 
q1
Размерность обобщённых сил зависит от размерности обобщённых
координат: если qj = x (м), то Qj – сила (Н); если qj = φ (рад), то Qj – момент
(Н∙м).
Уравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные
уравнения движения механической системы, составленные в обобщённых
координатах:


d  T

dt   q

j



 T

 q j


Qj,
где j – количество уравнений (j = 1, 2, …, n), n – число степеней свободы
механической системы, T – кинетическая энергия системы, qj – обобщённая

координата, q j – обобщённая скорость, Qj – обобщённая сила. Если qj = x (м), то




q j  x  v (м/с); если qj = φ (рад), то q j     (рад/с).