финансовая математика - Северный (Арктический)

Министерство образования и науки Российской Федерации
Северный (Арктический) Федеральный Университет
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
(детерминированные модели)
Конспект
лекций
Архангельск
2011
У Д К 519.644.2
ББК 65.9(2)267
Ш59
Рассмотрен и рекомендован к изданию
методической комиссией
института информационных и космических технологий
Северного (Арктического) федерального университета
23 марта 2011 г.
Рецензент
А.Г. Тутыгин, канд. физ.-мат. наук, доц.
Шиловская, Н.А.
Ш 59 Финансовая математика (детерминированные модели): конспект
лекций / Н.А. Шиловская. - Архангельск: Сев. (Аркт.) фед. ун-т, 2011.
- 104 с.
I S B N 978-5-261-00600-8
Конспект лекций по финансовой математике содержит провероч­
ные тесты и список литературы.
В конспекте лекций рассмотрены базовые детерминированные мо­
дели и схемы, используемые в финансово-кредитных расчетах. Приве­
дены практические задания, тесты, справочный материал для самостоя­
тельной работы студентов.
Предназначено для студентов очной формы обучения по програм­
мам подготовки бакалавров и магистров института информационных и
космических технологий.
У Д К 519.644.2
ББК 65.9(2)267
I S B N 978-5-261-00600-8
© Северный (Арктический)
федеральный университет, 2011
ВВЕДЕНИЕ
Конкурентоспособность и платёжеспособность любого современно­
го хозяйствующего субъекта определяется рациональной
организацией
финансов, поэтому умение проводить финансово-коммерческие расчёты
является необходимой составной частью подготовки специалиста в об­
ласти управления. Финансовые расчёты лежат в основе инвестиционного
и управленческого анализа. Перед инвестором стоит, например, проблема
выбора наиболее рациональных решений с позиций их доходности и
уровня риска. От специалиста, работающего с финансами, требуется уме­
ние правильно оценивать возможные варианты финансовых последствий
при совершении любой сделки и реализации любого проекта и устранять
нежелательные последствия на конкретный период деятельности.
В классическом курсе финансовой математики рассматриваются де­
терминированные модели финансовых операций и процессов, в которых
будущие значения временных и финансовых характеристик операций и
процессов полностью определены.
В пособии представлены основные задачи, рассматриваемые в клас­
сическом курсе финансовой математики:
- определение конечных финансовых результатов операций для ка­
ждой из участвующих в ней сторон,
- определение взаимосвязи параметров операции или сделки и их
влияния на конечный результат,
- разработку бизнес-планов,
- нахождение параметров эквивалентного изменения условий сделки.
Лекция 1: П Р О С Т Ы Е П Р О Ц Е Н Т Ы
При анализе финансовых операций очень важно учитывать фактор
изменения стоимости денег во времени. Наращенной суммой (долга, де­
позита, других видов инвестированных денег) называют первоначальную
величину капитала с начисленными на неё процентами к концу срока на­
числения. Процентами называется абсолютная величина дохода от пре­
доставления
капитала в долг в любой ее форме (выдача ссуды, покупка
облигаций, учёт векселя, продажа товаров в кредит и т.д.). Величина полу­
ченного дохода определяется величиной вкладываемого капитала Р, сро­
ком п, на который вкладывается капитал, размером и видом применяемой
процентной ставки, условиями наращения.
Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсиеном способе проценты начисляются в конце
каждого интервала начисления (их величина определяется исходя из пре­
доставляемого капитала Р, а процентная ставка представляет собой отно­
шение суммы начисленного за определенный интервал дохода (процентов)
к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала). При анти-
сипатиеном (предварительном) способе проценты начисляются в начале
каждого интервала (при этом сумма процентных денег определяется исхо­
дя из наращенной суммы, а процентная ставка, называемая учётной, пред­
ставляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемой за определенный
интервал, к величине наращенной).
При обоих способах начисления проценты могут быть либо просты­
ми, либо сложными.
К наращению
по простым
процентам
обычно прибегают при выдаче
краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случаях, когда процен­
ты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для
записи формулы наращения простых процентов имеет следующий вид:
S =P +I
(1.1)
где I - проценты за весь срок ссуды;
Р - первоначальная сумма долга;
S - наращенная сумма, то есть сумма в конце срока.
Если срок ссуды п измеряется в годах, то i означает годовую про­
центную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме
Pi. Начисленные за весь срок проценты составят / = Pni. Наращенная сум­
ма, таким образом, находится как:
(1.2)
S = p + i = p + Pni = P{l + ni)
Данное выражение называют формулой наращения по простым
процентам или кратко (l + ni) - множитель
формулой простых процентов, а множитель
наращения
простых
процентов.
График роста по простым процентам представлен на рис.1:
S
s
P
ni
р
0
1
;:
п
Рис.1. График роста по простым процентам
Пример 1.1. Определить проценты и сумму накопления долга, если
размер ссуды, выданной на 4 года, составляет 700 тыс. руб., проценты про­
стые по ставке 20% годовых (1=0,2):
I = 700 • 4 • 0,2 = 560 тыс. руб.
S = 700 + 560 = 1260 тыс. руб.
Пусть ставка увеличивается в 2 раза. Сумма процентов при этом уд1 + 2-4-02
воится. Однако наращенная сумма увеличится в ——- - ^ = 1,444 раза.
Срок ссуды не всегда равен целому числу лет. Чтобы перейти от
промежутка, измеряемого в днях, к промежутку измеряемого в годах, вво­
дят годовой дивизор Y (число дней в году, или временная база начисления
процентов, обычно 360, 365, 366), тогда срок
где
1
11
будет иметь вид:
П
— */Y
- число дней ссуды.
При расчете процентов применяют две временные базы: Y = 360 дней (12
месяцев по 30 дней) или Y = 365 (366) дней. Если Y = 360, то получают обыкно­
венные или коммерческие
проценты, а при использовании действительной про­
должительности года 365 (366) дней рассчитывают точные проценты.
Чтобы определить точное число дней ссуды t используют таблицы (прил.
1 и 2) в которых указаны порядковые номера даты в стандартном году. Число
дней между датами определяется как разность между номерами этих дат.
Пример 1.2. Определить точное число дней между двумя датами:
14.02.1998 и 27.08.1998. Год невисокосный, поэтому дата 14.02.1998 имеет
номер 45, а у 27.08.1998 порядковый номер 239. Следовательно, между да­
тами содержится ровно 239-45=194 дня.
Если рассмотреть даты 14.02.1996 и 27.08.1996 високосного года, то
получим число дней между ними, равное 240-45=195.
Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев
продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближённое
число дней рассчитывается следующим образом:
t = 360-(g
2
-gJ+30-(w -m )+(d
2
l
2
-d )
(1.3)
{
где g - номер года;
т - номер месяца в году;
d - номер дня в месяце.
Пример
1.3.
Определить
приближённое
число
дней
между
12.02.1996 и 27.08.1998.
t = 360 • (1998 -1996) + 30 • (8 - 2) + (27 - 12) = 720 + 180 + 15 = 915 .
Между датами содержится приближённо 915 дней.
Чаще всего на практике применяются три варианта расчета простых
процентов:
- точные проценты с точным числом дней ссуды (английская
практика). Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Дан­
ный способ применяется центральными банками многих стран и крупными
коммерческими банками, например, в Великобритании, С Ш А . В коммер­
ческих документах он обозначается как 365/365 или АТС/АТС.
- обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней
ссуды (французская практика). Этот метод, иногда называемый банков­
ским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих
банков, во внутристрановых - во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обо­
значается, как 365/360 или АТС/360. Этот вариант дает несколько больший
результат, чем применение точных процентов.
- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды
(германская практика). Такой метод применяется тогда, когда не требуется
большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в
практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно
обозначается как 360/360.
Пример 1.4. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10
включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник
в конце срока при начислении простых процентов? При решении приме­
нить три метода расчёта срока ссуды.
Предварительно (используя таблицы) определим число дней ссуды:
точное - 258, приближенное - 255.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
'
258
S = 1000 000 • 1 +
0,18
V
365
1127 233 руб.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
(
258
S = 1000 000 • 1 +
•0,18
V
1129 000 руб.
360
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):
255
S = 1 ооо ооо • 1+•0,18
360
1127 500 руб.
Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и
есть необходимость в делении суммы процентов между ними (например,
при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных
простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:
I = I +I =Pn i
x
где П] и п 2
2
+ Pn i
x
(1.4)
2
части срока ссуды, приходящиеся на каждый календар­
ный год.
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющие­
ся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная
на конец срока сумма определяется следующим образом:
S = Р{\ + пл\ + n i +... + n i ) = Р 1 + £
2
2
m m
V
где i - ставка простых процентов в периоде t;
/
пл\
J
(1.5)
t
n - продолжительность периода с постоянной ставкой, а п
1>/ •
Принципиально ничего не меняется, если сумма, на которую
начис­
t
ляются
проценты,
изменяет
свою величину
во времени
(размер вклада на
сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении
или снятии денег и т.п.).
В этом случае:
n
z
I = X ^j j
(1-6)
./
где R; - остаток средств на счете в момент / после очередного посту­
пления или списания средств;
П/ - срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка
средств на счете.
В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий
способ, основанный на преобразовании формулы (1.6). Для этого измеряют
интервалы между моментами изменений величины остатка на счете в днях,
а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях как
выше). После чего получают:
/ = У R,n,i = У > А — =
У
j
Y 100
3
где Y
t,
100
3
*~
к
i
(1-7)
}
число дней в году;
срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.
Величину / = 2 Л / П | / 1 0 0
number), a Y/i
называют процентным числом (interest
процентным (или постоянным) делителем (interest divi­
sor).
Пример 1.5. Движение средств на счете характеризуется следующи­
ми данными: 05.02 поступило 12 млн. руб., 10.07 снято 4 млн. руб. и 20.10
поступило 8 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная
ставка 18% годовых.
Процентный делитель составит 365:18 = 20,27778. Расчет суммы
процентных чисел приведен в табл. 1.
Таблица 1
Дата
05.02
10.07
20.10
31.12
Итого
р
Движение средств ( )
12
-4
8
г
Остаток С^/)
12
8
16
16
Срок
155
102
72
Сумма процентов за весь срок составит:
Процентное число М00 J
18,6
8,16
11,52
38,28
то 28
/ =
'•
= 1,888 млн.руб.
20,27778
На практике при инвестировании средств, в краткосрочные депозиты,
иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению нара­
щении по простым процентам в пределах заданного общего срока. Физиче­
ски это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе
наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная
сумма для всего срока составит в этом случае:
S = P{\+n i \\
x x
+ n i )...{\+n i )
2 2
t t
(1.8)
где i - размер ставок, по которым производится реинвестирования.
t
Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во
времени, то формула для расчёта S принимает вид:
n
S = P(\ + ni)
(1.9)
где т - количество повторений реинвестирования.
Пример 1.6. 100 млн. руб. размещены 01.01 на месячном депозите под
20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза?
Если начислять точные проценты (365/365), то
5 = 100 1 + ^ 0 , 2 1 +
V
365
А
28
31
0,2 1 +
365
1
0,2 = 105,013 млн.руб.
365
)
Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинвестирова­
нии дает:
5 = 100 1 +
V
30
360
0,2
,
105,084 млн.руб.
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной на­
ращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через
некоторое время п, необходимо определить, сумму полученной ссуды Р. Та­
кая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий кон­
тракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удер­
живаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих
случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам про­
цесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные
проценты - дисконтом (discount) или скидкой. Необходимость дисконти­
рования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств,
оплата которых должником произойдет в будущем.
Термин «дисконтирование» употребляется и в более широком смыс­
ле - как средство определения любой стоимостной величины, относящейся
к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называ­
ют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно началь­
ному, моменту времени. (Приведение может быть осуществлено на любой,
в том числе промежуточный, момент времени.)
Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют со­
временной стоимостью, или современной величиной (present value), буду­
щего платежа S, а иногда - текущей, или капитализированной, стоимо­
стью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших
понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве
случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учи­
тывать такой фактор, как время.
В зависимости от вида процентной
ставки
применяют два метода
дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (ком­
мерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во вто­
ром - учетная ставка.
Математическое дисконтирование представляет собой решение за­
дачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача, в этом
случае, формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать
в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг на­
числяются проценты по ставке /. Выражая Р из формулы (1.2), получаем:
Р = ^—
(1.10)
v
1 + in
'
Установленная таким путем величина Р является современной вели­
чиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь
зывают дисконтным,
или дисконтирующим
множителем.
+
. \ на­
Этот множи­
тель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в
окончательной его сумме.
Пример 1.7. Через 180 дней после подписания договора должник упла­
тит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная
сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
310000
Находим современную стоимость Р: Р = — —
1+
365
0,16
г
= 287328,59 руб.
Разность (S - Р) можно рассматривать не только как проценты, на­
численные на Р, но и как дисконт с суммы S.
Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансо­
вое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) по векселю
или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по це­
не, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитыва­
ет) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк
реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец
векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и
не в полном объеме, однако, ранее указанного на нём срока.
При учете векселя применяется банковский, или коммерческий
учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дис­
конта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity
value). При этом применяется учетная ставка d.
Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен D = Snd, таким
образом:
р = S - Snd = S • (l - nd)
(1.11)
где п - срок от момента учета до даты погашения векселя (в годах);
d - годовая учетная ставка.
Дисконтный
множитель
следует, что при n>y
d
здесь равен (1 — nd). Из полученной формулы
величина дисконтного множителя и, следовательно,
суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом
сроке векселя учет может принести к нулевой или даже отрицательной сумме
Р, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок достато­
чен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.
Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при
временной базе Y = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным,
ACT/360.
Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращен­
ной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определе­
нии суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сум­
ма долга. Наращенная сумма в этом случае равна:
s
p
1 - nd
(1.12)
ционально ни сроку, ни ставке. При п >
расчет лишен смысла, так как
наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуа­
ция не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке
современная величина платежа больше нуля.
П р и м е р 1.8. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн.
руб. с уплатой 17.11.2000. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2000
по учетной ставке 20% (АСТ/360). Оставшийся до конца срока период ра­
вен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных)
равна:
Дисконт составит 30555,6 руб.
Р" = р(\ + „ф. - nd)
Изменим условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начис­
ляются проценты по ставке простых процентов i = 20,5% годовых. В этом
случае, очевидно, надо решить две задачи: определить наращенную сумму
долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия
можно представить в одной формуле, где п - общий срок обязательства, п'
- срок от момента учета до погашения.
Пусть в данном примере п = 120/360, тогда
Дисконт, как скидка с конечной суммы долга, необязательно опреде­
ляется через ту или иную процентную ставку, он может быть установлен
по соглашению сторон и в виде фиксированной величины для всего срока.
Однако, размер ставки неявно всегда имеется ввиду.
Оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для
решения сходных задач, только для ставки наращения прямой задачей яв­
ляется определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование, а
для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дискон­
тировании, обратная - в наращении (табл.2).
Таблица 2
Ставки
Прямая задача
Обратная задача
i
S = P(l+ni)
P = S/(l+ni)
d
P = (l-nd)
S = P/(l-nd)
Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дисконтирования
- по ставке наращения /' и учетной ставке d - приводят к разным результатам
даже тогда, когда i = d. Учетная ставка отражает фактор времени более жестко.
Влияние этого фактора усиливается при увеличении величины ставки.
дм'
1
Рис.2. Изменение величины дисконтных множителей
Для иллюстрации сказанного на рис.2 и в табл.3 приведены дисконт­
ные множители (ДМ) для случая, когда i = d = 20%. %
Таблица 3
Вид,
Срок в годах
ставки
1/12
1/4
1/2
1
2
10
i
0,9836
0,9524
0,9091
0,8333
0,7143
0,3333
d
0,9833
0,9500
0,9000
0,8000
0,6000
-
Сравнивая формулы S = P(l + ni) и S = P/(l-nd),
легко понять, что
учетная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой
же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух ви­
дов ставок при условии, что i = d = 2 показаны на рис.3 и в табл.4.
мн
1
n
Рис.3. Изменение величины множителей наращения
Таблица 4
Вид
Срок в годах
ставки
1/12
1/4
1/2
1
2
10
i
1,0167
1,0500
1,1000
1,2000
1,4000
3
d
1,0169
1,0526
1,1111
1,2500
1,6667
ОС
Итак, выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на
финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ста­
вок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут оди­
наковыми. Такие ставки называются
эквивалентными.
Ломбардный кредит
Особенности ломбардного кредита:
- заемщик обеспечивает получаемый кредит ценными бумагами или
материальными ценностями;
- размер кредита обычно составляет 70 % или 80 % номинала залога;
- срок ломбардного кредита не более 3-х месяцев;
- А Т С = 360 - при расчетах используется французская практика;
- долг можно погасить полностью вовремя, а можно продлить еще
на 3 месяца; можно часть долга погасить вовремя, а остаток погасить в
следующие три месяца;
- если кредит не погашен вовремя, заемщик расплачивается с креди­
тором по увеличенной ставке за все время.
Пример 1.9. 18 апреля предприниматель обратился в ломбард, за креди­
том по залог ценностей 100 тыс. руб. Размер кредита - 80% от номинальной
стоимости ценностей (простая процентная ставка 12% годовых). Кредит был
выдан до 18 июля. Сколько предприниматель получит на руки?
с
Решение: С 18 апреля по 18 июля - 91 день ( —
Годовой диви­
зор составит 360 (У = 360). Размер кредита - ЮО00О • 0,8 = 80000 руб. То(
гда на руки предприниматель получит:
91
^
N = 80000 • 1
0,12 =
\
360
)
11,бтыс.руб.
В некоторых задачах величина процентов ' оказывается заранее не
известной, тогда при расчетах пользуются формулой (1.13):
Р _ 360
I ~ ^
(1.13)
Если современная стоимость Р в задаче не оговаривается, а дана
только увеличенная или уменьшенная на процент величина, то пользуются
формулами:
P-I
360 -it
I
если расчет
it
P +I
I
360 + it
it
меньше 100;
,еслы расчет выше 100.
(1-14)
(1.15)
Пример 1.10. Заемщику был предложен кредит 80 тыс. руб. (под
12% годовых) 18 июля по 18 октября. 18 июля заемщик перечислил 25 тыс.
руб. которые распределялись на выплату основного долга и проценты.
Найти остаток долга.
Решение: 18 июля - 25тыс. руб. (частично на проценты и частично
на основной долг).
Остаток долга на 18 июля составит 80 - 25 = 55тыс. руб., следова­
тельно платеж находят по схеме - меньше 100.
. (P-l)it
55-0,12-92
I=
—=
= 1,74 тыс. руб.
360 -it
360-0,12-92
Тогда остаток долга составит:
55 тыс.руб. + 1,74 тыс.руб. = 56,74 тыс .руб.
Лекция 2: С Л О Ж Н Ы Е П Р О Ц Е Н Т Ы
Сложная процентная ставка наращения - это ставка, при которой
база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на
проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:
(2.1)
S = P(\ + i)\
где
s
- наращенная сумма;
z
- годовая ставка сложных процентов;
" - срок ссуды;
(1 + 0 _ множитель наращения.
Формулу наращения для сложных процентов используют и в том
случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом.
Однако существует и специальная формула для этого случая: если срок
вклада состоит из целого числа годов а = [л] и части года Ъ = {п\,
т.е.
п = а + Ь, то наращенная сумма определяется по формуле:
a
b
S = P(l + i) (l + i) ,
.
Если разложить в ряд сомножитель (1 + 0
^
=
1
+
b
^
z H
b(b-l)
z
^— '
2
+
п 0
—> ~
лучим приближённую формулу:
a
S = P(l + i) (l + bi).
Так
как
при
Ь<\
третий
член
(
разложения
меньше
нуля,
2
2
)
то
й
(1 + Ы) > (1 + /) - Поэтому расчет наращенной суммы по приближённой фор­
муле дает больший результат, чем по исходной формуле.
При 6 е [ 0 ; 1 ] величина (l + i)
b
+
поэтому при малых значениях
i коммерческие банки при наличии полных периодов начисления про­
центов обычно п р и н и м а ю т сомножитель
(1 + 0
6
b
(l + i)
р а в н ы м единице, т.е.
«1.
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как
A C T / A C T , т.е. точные проценты с точным числом дней ссуды.
Проценты за этот же срок в целом составляют I = S-Р
n
= p[(l + i)
-l]
Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она со­
ставляет: /
=Р[(1 + /)" -(l + ni)}
Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой
процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член кото­
рой равен Р, а знаменатель - (1 + /'). Последний член прогрессии равен на­
ращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация нараще­
ния по сложным процентам представлена на рис. 4.
S
S
1
I
р
л.
п
0
Рис.4. Наращение по сложным процентам
Пример 2.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб.,
через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?
n
5
S = P(l + i) =1000000-(1 + 0,155) =2055464,22 руб.
Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процент­
ным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения.
Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок
соотношения этих множителей существенно зависят от срока.
В самом деле, при условии, что временная база для начисления процен­
тов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже
формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):
- для срока меньше года простые проценты больше сложных:
(1 + ш , ) > ( 1 + 0"
- для срока больше года сложные проценты больше простых:
(1 + ш , ) < ( 1 + 0"
- для срока равного году множители наращения равны друг другу.
Заметим также, что при п>1 с увеличением срока различие в последствиях
применения простых и сложных процентов усиливается. Графическая иллюстра­
ция соотношения множителей наращения представлена на рис.5.
1
О
n
Рис.5. Соотношение множителей наращения
Формулы, приведённые выше, предполагают, что проценты на про­
центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную
сумму долга. Усложним условия начисления процентов. Пусть проценты
на основной долг начисляются по ставке i, а проценты на проценты - по
ставке г Ф I'. В этом случае:
S = P + Pi[l + (l + r) + (l + r) + ... + (1 + г Г ]
2
1
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую про­
грессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + г ) . В итоге имеем:
(
S =P
v
/1 , „Л и
+
1
Л
l + i-
(2.3)
Если на каждом этапе t (t=l, 2, ..., к) срока вклада процентная ставка
i меняется, то величина наращенной суммы может быть определена по
t
формуле:
S = Р(\ +
1
О" (1 + /)"
2
...(1 + 0
"*
= pf\
(1 + ij ',
(2.4)
1
t=\
где i j ,...j
x 2
k
- последовательные значения ставок процентов, дейст­
вующих в соответствующие периоды п , п п
у
2
к
и п = п + п +... + п .
х
2
к
Пример 2.2. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных
процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два
года, 8%> - в третий год 5% - в четвертый год. Вычислить величину мно­
жителя наращения за 4 года.
Искомый множитель наращения равен (1 + 0,3) (1 + 0,28)(1 + 0,25) = 2,704.
2
В ранее полученных формулах при начислении процентов не прини­
малось во внимание расположение срока начисления процентов относи­
тельно календарных периодов. Очевидно, что часто даты начала и оконча­
ния ссуды находят в разных периодах, но начисленные за весь срок про­
центы не могут быть отнесены только к последнему периоду. В бухгалтер­
ском учете, при налогообложении, в анализе финансовой деятельности
предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по
периодам. Алгоритм деления общей массы процентов легко сформулиро­
вать на основе графика, построенного для двух смежных календарных пе­
риодов (рис. 6).
S
h
h
р
п
П
1
2
п
0
Рис.6. Наращение по сложным процентам в смежных периодах
п
п?
Общий срок ссуды делится на два периода * и - . Соответственно:
/
=
/
i
+
/
(2.5)
2
где / , = Р[(1 + i)n -1]; / = Р{\ + i)n [(1 + i)n -1] = p\(l + г)" - (1 + i)n
x
2
x
2
x
.
Пример 2.3. Ссуда была выдана на два года - с 1 мая 1998 года по 1
мая 2000 года. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распределить на­
численные проценты (ставка 14% A C T / A C T ) по календарным годам.
244
За период с 1 мая до конца года (244 дня): 10000-(1,14
365
-1) = 915,4
244
тыс. рублей. За 1999 г.: 1 0 0 0 0 - Ц 4
365
-0,14 = 1528,2 тыс. рублей. Наконец, с 1
244
121
января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10000-1,14^ -(1Д4
365
-1) = 552,4тыс. руб­
лей. Итого за весь срок - 2996 тыс. рублей. Такой же результат получается
2
для всего срока в целом: 10000-(1Д4 -1) = 2996 тыс. рублей.
Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов ис­
пользуется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае го­
ворят, что проценты начисляются
т раз в году. В контрактах обычно фиксируется
не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номиналь­
ной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номиналь­
ной при начислении процентов раз в году. Если номинальную ставку обозначить
через j , то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а количество начис­
лений равно тп. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной
ставки наращения определяется по формуле:
S = P 1+
J
(2.6)
т
Пример 2.4. Изменим одно условие в примере 2.1. Какой величины дос­
тигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке
15,5% годовых, если проценты начисляются не раз в году, а поквартально?
5 = 1000000 1+
0,155
4
.4-5
= 2139049,01 руб.
Заметим, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет
процесс наращения (цепной процесс).
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов
дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со став­
кой j / m , то, по определению, можно записать следующее равенство для со­
ответствующих множителей наращения:
/
. \
тп
(2.7)
аН*)" =
где 1 - эффективная ставка;
эф
j - номинальная ставка.
Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной
ставками выражается соотношением:
1 +J
•1.
(2.8)
т
Обратная зависимость имеет вид:
т
(2.9)
Пример 2.5. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисля­
ет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
Решение: По формуле, связывающей номинальную и эффективную
п
1Л
о.Г
1+-1 = 0.1038, т.е. 10,38%.
4
4
Г
ставки, находим г
эф
В математическом учете решается задача, обратная наращению
по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения
сложных процентов S = P(l + i)" и решим ее относительно Р:
P = S—-— = Sv\
(1 + 0"
где У" = -
(2.10)
= (1 + 0 " - учетный или дисконтный множитель.
Если проценты начисляются m раз в году, то получим:
P =S
m
— = Sv ",
(1 + у )
(2.11)
т п
I / / \-тп
„
где
(1 + -V
7 7 )'
— - (1 + / j
- дисконтный множитель.
т
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современ­
тп _
—И
~
v
7
ной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы Р и S
эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен
сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.
Пример 2.6. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1 млн.
руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется
ставка сложных процентов - 10% годовых.
5
Р = 1000000- (1 + 0,10)" = 620921 руб.
В случае банковского учета предполагается использование сложной
учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществля­
ется по формуле
P = S{\-d
)",
(2.12)
где d - сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае равен:
D
=
S
- P = S- S(l -d
)" = S[\ -(l-d
)" ].
(2.13)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирова­
ния происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка
каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на
величину дисконта.
Если дисконтирование производится m раз в году, то оно осуществ­
ляется по формуле:
Р =
--)"",
(2.14)
т
где / - номинальная годовая учетная ставка.
Эффективная учетная ставка й характеризует степень дисконтирования
эф
за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:
С
/ Л тп
(l-d)"=
,
откуда получим:
d = \-
В свою очередь:
/ = т(\-rf\-~d).
V
(2.15)
(2.16)
т)
(2.17)
Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда т > 1 , меньше
номинальной.
Пример 2.7. Вексель на сумму 20000 руб., срок платежа по которому
наступает через 1,8 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годо­
вых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, и дис­
конт при ежегодном и ежемесячном дисконтировании.
n
р = S(l - d )
CJl
D
= 20000 • (1 - 0,18)
18
= 13992,49 руб.
S-P = 20000-13992,49 = 6007,51 руб.
=
d
р = S(\ - ^-)'
т
0,18
= 20000 • 1 - - - —
т
\
\2
12-0,18
= 14429,52
р у
б
)
D = S-P = 20000-14429,52 = 5570,48 руб.
Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной
ставки. Из формул (2.12) и (2.14) легко получить формулы наращения:
Р
Р
(l-d)
n
И
_f
n
а--у
т
Множитель наращения при использовании сложной ставки d
равен
Если сравнивать различные ставки для наращения и дисконтирова­
ния, можно заметить, что даже в одинаковых исходных условиях примене­
ние этих ставок приводит к различным результатам. В связи с этим пред­
ставляет практический интерес сравнение результатов наращения и дис­
контирования по различным ставкам. Для этого достаточно сопоставить
соответствующие
множители наращения. Аналогичный анализ
можно
провести и с дисконтными множителями. Опустив формальные доказа­
тельства, можно записать необходимые соотношения при условии, что
размеры ставок одинаковые. Варианты со ставками j и f не рассматривают­
ся, так как для них результат зависит и от значения т .
Множители наращения по сложной ставке соотносятся между собой
следующим образом (рис. 7):
(1 +
0" <—-—
•
(l-dy
S
1
1
(1-d)
X
/
/
У
/
/
У
(1+i)
n
0
Рис.7. Соотношение множителей наращения
Аналогичным образом получается соотношение для
множителей:
(l-d)"
<—!—
дисконтных
/
. \ тп
Если в формуле S = Р
, определяющей наращенную сумму при
V
)
использовании номинальной процентной ставки наращения, периоды начис­
т
ления процентов постоянно уменьшать, то количество этих периодов в году
будет увеличиваться. В пределе при стремлении длительности периодов к
нулю их число стремится к бесконечности т
тов называется непрерывным,
оо. Такое начисление процен­
а процентная ставка при непрерывном начис­
лении называется силой роста.
Сила роста называется постоянной, если она
не изменяется во времени. Если сила роста изменяется во времени, то она на­
зывается переменной. Формула для наращенной суммы при непрерывном
начислении процентов для постоянной силы роста 8 имеет вид:
S = lim Р
jn
= Pe
т—>со
(2.18)
J
3
где e " - множитель наращения, которые обозначают е ", чтобы от­
личить непрерывное начисление процентов от дискретного. Тогда формула
наращенной суммы при непрерывном начислении процентов по постоян­
ной силе роста 8 будет иметь вид:
s
S = Pe "
(2.19)
Таким образом, сила роста 8 представляет собой номинальную про­
центную ставку j при т -> оо.
Большое значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных
финансовых проблем, например, при анализе характеристик ценных бумаг.
Пусть переменная сила роста изменяется во времени, то есть
&t
=
/ ( О - В этом случае наращенная сумма и современная стоимость опреи
деляются соотношениями:
п
S = Pe°
,
P = Se°
.
(2.20)
Рассмотрим случаи изменения силы роста по линейному закону и по
экспоненте.
При линейном изменении силы роста от времени множитель нара«
п
\ ,d,
l(S )dt
S
щения имеет вид:
е°
0+at
=е°
где 8 - начальное значение силы роста;
0
а - прирост силы роста.
=е
2
,
(2.21)
При экспоненциальном изменении силы роста от времени множип
п
\d dt
\S edt
t
0
тель наращения имеет вид: е°
(с
=е°
(
=е °
.
(2.22)
Таким образом, формулы для наращенной суммы при непрерывном
начислении процентов для переменной силы роста 8 можно переписать в
N
Г ,О N
N
виде:
S = Pe
S = Pe °
p =s
Р = Se^
.
аП
аП
2
{d
{e
2
?
e
e
?
Пример 2.8. Определить современную стоимость суммы 25000 руб,
выплачиваемой через 2,8 года, при линейном изменении силы роста, когда
начальное значение силы роста S = 0.12, а прирост силы роста а = 0.1.
0
(-№"+—))
р = 5-
2
е
(-(0.12-2.8+^))
2
= 25000-е
= 12071.84 руб.
Доходность финансовой операции определяется в виде процентной
ставки. Например, доходность ссудной операции с использованием про1
(S
\
стой процентной ставки выражается в виде: S = P(\ + ni)=> i = — — 1
п{Р
. До)
ходность ссудной операции с использованием сложной процентной ставки:
(s V
S = p(i + if => / =
- 1 . Доходность ссудной операции
с использованием
1, fs~
п
уР J
непрерывной
ставки: Sc(t)
= Ре-" =
> 8 = — Inсоставляющий в момент
Введём процентной
новые обозначения:
капитал,
3
t, Р(к)
Р{у)— -->S(v)
J
5(^)ден. ед.; если t >t , то C(t ) - инвестиция, а
2
C(t ) - результат финансовой операции;
у
2
г
x
x
- коэффициент увеличения
капитала; (С -С ) - номинальный доход финансовой операции.
2
г
Формулы для вычисления доходности финансовых операций примут вид:
„
1
1
'
(2.23)
U-u
'1
доходность ссудной операции с использованием простой процентной ставки.
d
2
1
(2.24)
доходность ссудной операции с использованием сложной процентной ставки.
(2.25)
In
d,
t
t
2
x
-доходность ссудной операции с использованием непрерывной процентной ставки.
Доходности d ,d ,d
x
2
3
можно рассчитывать не только для всего от­
резка продолжительности финансовой операции
, t ], но и д л я любого
2
другого отрезка, входящего в него. Если длина отрезка [t , t ] уменьша­
{
2
ется до 0, можно получить мгновенную доходность финансовой опера­
ции.
Рассмотрим интервал [t, t + At] и сделаем предельный переход At - » о :
1
d, = limd, = lim
С(0
дг^о Д /
"™
r(/W
C(/)Af
гМ
C(f)
1
^
+
l j J
(2.26)
логарифмическая производная с(/).
At
J
= lim J
7
7
= lim
Лг->0
[
l = lim
C
^
+
C
°
(
A
^
1=
Af->0
At
= lim
Д/->0
c
.
c(t)
1 In
af = l i m d = l i m —
3
1
3
C(t) _
£ ^
П
^ » А /
= lim — In 1 +
Л?->0 Д /
c(,)
l = e « - l
=
C(/J
c «
И
Т
(2.27)
±
1
П
Й ) ± ^ ^ ? И
C\t)
АГ-Х>А/
= lim —
д/->0 Д / ;
=
C'(t) o(At))_C'{t)
At+
C{t)
C(t))
C{t)
(2.28)
Итак, для доходностей d и d мгновенные доходности в момент
x
3
времени t равны логарифмической производной от капитала C{t). В случае
доходности d мгновенная доходность в момент времени
2
1
равна экспо­
ненте логарифмической производной от капитала C{t) за вычетом 1.
Лекция 3: Э К В И В А Л Е Н Т Н О С Т Ь П Р О Ц Е Н Т Н Ы Х С Т А В О К .
Для операций наращения и дисконтирования могут применяться
разные виды процентных ставок и можно подобрать такие их значения,
при которых можно получить одинаковые финансовые результаты. В соот­
ветствии с принципом эквивалентности: замена одного вида ставки на
другой не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной опера­
ции. Такие ставки называются эквивалентными.
Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок
стороны, и сложных ставок
1
1s
и ^ , с одной
и J, с другой. Попарно приравняв друг к другу, со­
ответствующие множители наращения, получим набор искомых соотношений.
+
Эквивалентность i и /": i = - -—-,
s
i = "Jl + ni - 1 .
s
(3.1)
s
п
mn
(\ + j/) -\
Эквивалентность z. и / : z' =
—
n
s
m
, j = m{ d\ + ni -Г).
s
(3.2)
s
l-O+y )
Эквивалентность d и j: d =
s
= m
—
s
m
, j ( ^y^_ j^~^)n(
0-3)
Далее рассмотрим соотношения эквивалентности сложных ставок /, /' и d.
Имеем:
Эквивалентность i и d:
J
m
i = (l + / )
m
-1, j =
i = -^—
l-d
да(^Г+7-1).
d = ^—.
l+i
(3.4)
(3.5)
'
v
Приведем еще несколько полезных соотношений, которые нетрудно по­
1
лучить на основе приведенных выше формул с учетом того, что v = (1 + i) :
d = iv, v = l-d, i-d = id.
(3.6)
В последних зависимостях срок не оказывает влияния на величину
процентной ставки.
Также можно найти соотношение эквивалентности между силой рос­
та и любой дискретной процентной ставкой.
5
Эквивалентность 5 и i: 8 = ln(l + / ) , / = е -1.
/т
Эквивалентность 8 и j: j = т(е
(3.7)
- 1 ) , 8 = т- 1п(1 + у
1
д
Эквивалентность 8 и d: из равенства (1-ЙГ)" =е
S = -ln(l-d),
s
d = \-e~ .
).
(3.8)
следует:
(3.9)
Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок позволяют
расширить применение непрерывных процентов. Как уже говорилось выше, не­
прерывные проценты во многих сложных расчетах позволяют существенно уп­
ростить выкладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэто­
му используя формулы эквивалентности, нетрудно представить полученные ре­
зультаты в виде общепринятых характеристик.
Пример 3.1. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в кон­
тракте простую ставку 18%, не изменяя финансовых последствий? Срок
операции 580 дней.
• 0 . 1 8 - 1 = 0.17153 или 17,153%.
Инфляция - это процесс, характеризуемый обесценением нацио­
нальной валюты, то есть снижением её покупательной способности и об­
щ и м повышением цен. Без учета инфляции конечные результаты расчетов
денежных потоков являются весьма условными.
Уровнем (темпом) инфляции называется величина
а,
определяе-
S -S
——,
S
AS
a
мая как: а = — =
S
где S - сумма денег, покупательная способность которой рассматри­
вается при отсутствии инфляции;
S - сумма денег, покупательная способность которой с учётом
a
инфляции равна покупательной способности суммы S при отсутствии ин­
фляции, причём S > S.
a
Это индекс прироста, который показывает, на сколько процентов в
среднем выросли цены за рассматриваемый период (относительный при­
рост цен за период). Легко получить формулу для вычисления
S:
a
S = S + AS = S + aS = S{l + a).
a
Величина
I =\ + a
p
(3.10)
называется индексом инфляции (индексом цен). Это индекс роста, пока­
зывающий во сколько раз, в среднем, выросли цены за рассматриваемый
период.
Индекс инфляции может быть рассчитан, например, по формуле Пааше:
(3.11)
где Pi) - Vij - цена j - r o товара в исследуемом и базисном периодах
соответственно; количество проданных товаров J в исследуемом периоде;
г
—
общее количество исследуемых товаров.
Поскольку индекс цен это цепной индекс, то для периодов, следую­
щих друг за другом, он рассчитывается следующим образом
п
п
7
ь = П
г
»
t = 1
=
(
П
1
+
t = 1
(3.12)
где t - - номер периода;
l
- индекс цен в периоде t;
pt
а
т — - темп инфляции в периоде t.
Если ожидаемый темп инфляции величина постоянная в течение
периодов, то формула (3.12) приобретет вид:
/ = (1 + « г ) .
п
п
(3.13)
р
Средние за период, например, среднегодовые индексы цен *РЛ И
а
темп инфляции : - находятся по формулам:
т
РЛ
где
7 7 —
=
П
Л
и
7^ - 1 =
щ. =
Т
рх
-
1,
количество периодов (лет). Отсюда следует выражение:
I . = l + a.
a t
(3.15)
t
Итак, стоимость суммы S, обесцененной во времени за счет инфля­
S
ции, рассчитывается следующим образом: S = y(
, где 1 индекс цен (инр
/
р
деке инфляции).
Для простых процентов обесцененная инфляцией сумма
определя­
ется по формуле:
„ 1 + ni
s
«
=
p
- r
р
=
„
1 + ni
P
T-=Y
v
+
ЗЛ6
a
t)
( >
Из формулы (3.16) следует, что увеличение наращённой суммы име­
ет место при выполнении соотношения:
l +ni>V
(3.17)
Ставка
г
, при которой наращение равно потерям из-за инфляции,
определяется из равенства С = Р .
Сопоставив это с формулой (3.16), находим:
1
~ п •
(3.18)
Пример 3.2. Месячный темп инфляции составляет:
а) постоянную величину, равную 4%;
б) «1 = 4%, а2 = 3%, а = 2%.
3
Найти индекс цен и темп инфляции за 12 месяцев. А также опреде­
лить обесцененную наращенную сумму, если на сумму 10000 руб. в тече­
ние указанных сроков начислялась простая процентная ставка 50% годо­
вых (Y=360), и определить ставку, при которой наращение равно потерям
из-за инфляции.
a) 1 = (1 + 0,04)
р
12
= 1,601;
а = (1,601 - 1)100% = 60,1%;
1 + 0,5
С = 10000
= 9369,14;
1,601
1,601 - 1
С =
1
b) / = 1,04 * 1,03 * 1,02 = 1,0926;
р
= 0,601 или 60,1%.
а = (1,0926 - 1)100% = 9,26%;
3
1 + т^0,5
С = 10000
—
= 10296,54;
1,0926
1,0926 - 1
i" =
= 0,3704 или 37,04%.
3/12
В варианте а) произошла эрозия капитала, а для его увеличения про­
центная ставка должна превышать 60,1%.
В варианте б) капитал вырос в 10294,54/10000 = 1,029454 р
а з а
и
л
и
приблизительно на 2,94%.
Для сложных процентов обесцененная инфляцией сумма определя.(1+0"
ется как: S„=P-——
= Р l + i . Зависимость обесцененной
\\ + а j
I
р
суммы от времени представлена на рис.8
инфляцией
с
i > a - реальный рост
t
1 = {ц - наращение
поглощается инфляцией
Р
j < а - эрозия капитала
О
п
Рис.8. Зависимость обесцененной инфляцией суммы от времени
Ставка Г , при которой наращение компенсируется инфляцией, опре­
деляется из соотношения С = Р:
1
=
Не­
полученная ранее формула наращения по простым процентам S = Р(\ + ni)
не учитывает инфляцию. Если уровень инфляции а известен, то эта формула
может быть записана в виде: S = P(l + ni\l + a). Если обозначить за /„простую
a
ставку ссудных процентов с учётом инфляции, получим: S = P(l + ni ).
a
a
Уравнение эквивалентности имеет вид: P(l + m)(l + a) = P(l + ni ). Из
a
уравнения легко выразить простую ставку ссудных процентов, под кото­
рую нужно положить первоначальную сумму р на срок п, чтобы получить
,
.
сумму S , учитывающую инфляцию: г =
a
ni + a + nia
а
,~
.
ЛЧ
(3.19)
Итоговая ставка i называется брутто-стаекой.
a
Если п = 1, получим формулу
Фишера:
i =i + a + ia .
a
Величина а + /« называется инфляционной
премией
(3.20)
(исходную став­
ку увеличивают на величину инфляционной премии, чтобы компенсиро­
вать обесценивание денег).
Из уравнения эквивалентности ni + а + nia = ni можно получить
a
мулу реальной
доходности
фор­
в виде годовой простой ставки ссудных процен­
тов для случая, когда первоначальная сумма р была инвестирована под
простую ставку ссудных процентов i на срок п при уровне инфляции а за
a
рассматриваемый период:
(3.21)
п + па
Если использовать обозначение I = 1 + а, то формулы примут вид:
р
1 + пг
1 + па.
(l + na)l - 1
1 С-1 •+--пг ^^
а
п
(3.22)
(3.23)
п
Аналогичные формулы можно получить, поместив первоначальную
сумму р под сложные проценты и учтя инфляцию. Уравнение эквивалент­
ности примет вид: P(l + i)"(l + a) = P(l + i )". Сложная ставка ссудных процен­
a
тов, под которую нужно положить первоначальную сумму р на срок п,
чтобы при уровне инфляции а за рассматриваемый период получить сум­
му S рассчитывается по формуле: i = (l + iyjl + a -1.
a
(3.24)
a
Для вычисления реальной доходности операции в виде сложной го­
довой ставки ссудных процентов выразим /: i = l l ^ , - 1 .
(3.25)
yi + a
Если использовать обозначение I = 1 + а, то формулы примут вид:
p
fi±0l
(i ) -
=
+ e
г = {\ + а)пТ -\,
>
р
l
a= ^L-\
1
(3.26)
ill
1
Если темп инфляции является постоянным, то: (l + г)" = [(l + a\l + а)]
Следовательно:
г = а + а + аа, а а = ^ - ^ - - 1
1+а
(3.27)
При небольших значениях доходности операции и темпа инфляции
\а\ « 1 и \а\ « 1 получим: г = а + а .
Пример 3.3. Найти реальную простую процентную ставку (доход­
ность) при номинальных ставках 60% и 30% годовых и месячных темпах
5
а
2
а
4
ИНфлЯЦИИ «1 = % ' 2 = %> 3 = % Индекс цен за три месяца находится следующим образом:
/
в
= (1 + 0,05) (1 + 0,02) (1 + 0,04) = 1,11384.
При п = 3/12 = 0,25 определяем для двух случаев:
1
/1 + 0,25 * 0,6
а =
0,25 V 1,11384
1 /1 + 0,25 * 0,3
а =
0,25 V 1,11384
\
1 = 0,1299 или 12,99%,
/
\
1 = -0,1395 или 13,95%.
/
Во втором случае произошла эрозия капитала на 13,95%.
Конверсия (обмен) валюты и наращение процентов могут привести
к различным финансовым результатам (как к прибыли, так и к потерям).
Факторы, от которых зависит этот результат: курс обмена валюты в начале
и в конце операции, инфляция.
Рассмотрим два варианта наращения процентов на денежные средст­
ва:
а. P(V)
Р(к)—S(R)
S(v)
(упрощённый вариант без конверсии:
P(V)^>S(V));
J
б. Р(к) -> Р(у)— —> S(v)
S(R) (упрощённый вариант без конверсии:
P(R)-L+S(R)y
t
Анализ доходности такой финансовой операции как покупки валюты
без наращения процентов проводят на основе соотношения:
Р
К
С = — ---,
где
(3.28)
Р - сумма в рублях в начале операции;
С - сумма в рублях в конце операции;
К , К - курс обмена в начале и в конце операции (имеет размер­
0
г
ность руб./долл., например);
1 - индекс цен за время операции п.
р
К
I
Обозначив за I = —, получим: С = Р—.
k
К
'
о
!
Р
Для определения доходности в виде сложной эффективной процент­
ной ставки операции используем принцип эквивалентности финансовых
обязательств:
Р{\ + а)" =Р-- => а = „1-^-1
1' р
\1
(3.29)
р
Доходность равна 0, если l = I ; выше 0, при I > I ; ниже 0, в слу­
k
р
k
р
чае I < I .
k
p
Определим доходность конверсии валюты с наращением процентов
на валютном счёте. Уравнение эквивалентности имеет вид:
C =P ^(l
R
R
+
j)"=P (l
R
+ ay,
р
где j - сложная годовая ставка наращения С К В .
(3.30)
Следовательно:
Рис.9. График зависимости доходности операции
от величины коэффициента 1 .
к
C =P -±-(l
v
v
i)"=P (l
+
v
+ a)",
(3.31)
где i - рублёвая годовая сложная ставка наращения.
Доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов:
1.
Рис.10. График зависимости доходности операции
от величины коэффициента 1 .
к
Средние значения ставок также можно находить, решая уравнения
эквивалентности. Пусть за периоды п ,п ,...,п
1
2
т
начисляются простые про­
центы по ставкам г / ,...,/',„ на один и тот же капитал Р, тогда, приравни­
1з
2
вая коэффициенты наращения, получим: l + ni = l +
^n i
t t
(3.32)
п
где л = ^ и, - общий срок наращения.
Аналогично находят среднюю учетную ставку:
d=-
.
(3.33)
п
Приравняем коэффициенты наращения в формулах наращения по
ставке сложных процентов:
2
(1+/Т=(1+/ Г-(1+'- )" •...•(! +О"™
1
2
1
=4Ш
+ Ч)
-
1
•
(3.34)
Рассмотрим случай, когда одновременно производятся несколько
однородных операций с разными ставками i и разными начальными сум­
t
мами P (все суммы выданы на один и тот же срок п под простые процен­
t
ты). Чтобы найти под какую ставку надо поместить объединенную сумму
^ Р , чтобы получить тот же результат наращения, составим уравнение эк­
г
вивалентности:
т
£ > Д 1 + ™) = 2 > Д 1 + ш Д
'Z t(
p
l
+
ni
r)
) i
=
Z j ^ L ^ i l z £ A
=
ZJjIi
пз51
Искомая ставка равна взвешенной средней арифметической, а в ка­
честве весов берутся размеры ссуд. Если проценты сложные, то уравнение
эквивалентности будет иметь вид: Q^P \l + J)" = ^P (l + i )", а средняя став­
t
t
t
ка сложных процентов будет равна:
I = и Ц™±-1.
(3.36)
За открытие кредита, учет векселей и другие операции часто взима­
ются комиссионные, которые повышают доходность операции. Пусть
ссуда в размере Р выдана на срок л . При её выдаче удерживаются комис­
сионные.
Величину комиссионных определяется формулой Pg,
где g - доля комиссионных в относительных единицах.
Сделка предусматривает начисление простых процентов по с т а в к е ' .
При определении доходности этой операции в виде годовой ставки слож­
ных процентов i , исходят из того, что наращение величины P-Pg по этой
ставке должно дать тот же результат, что и наращение Р по ставке i :
n
(P-Pg)(\ + i )
=Р(\ + ш) ,
3
Следовательно
i = |
3
1
+
н
ш
-l.
(3.37)
Если требуется охарактеризовать доходность в виде ставки простых
процентов, тогда:
(P-Pg)(\
+
ni ) = P(\ ni),
3
i+„i =I±™,
1- g
+
К = ^ \ - (3-38)
л(1 - g)
s
Пусть ссуда выдается под сложные проценты и доходность операции
определяют в виде ставки сложных процентов. Тогда исходное уравнение
для определения i
3 сл
. имеет вид:
(P-P )(i
g
+ i .y=P(i
+ iy;
3C]l
3CJl
=^===-1.
(3.39)
Если доход извлекается из операции учета по простой учетной став­
ке, а доходность определяется в виде ставки сложных процентов, то ба­
лансовое уравнение имеет вид:
(Р-Sg)(l + i
3cn
у = S;S(l-nd-g)(l
+1
зсл
у = SJ,
=
1
- 1 . (3.40)
ф-nd-g
Полученные проценты могут облагаться налогом, и это уменьшает
реальную наращенную сумму. Обозначим наращенную сумму до выплаты
налогов через S, а с учетом выплаты S®, ставка налога на проценты равна
g. В случае простых процентов налог равен Ig = Pnig.
Найдем наращенную сумму S® после выплаты налогов:
S° = S-(S-P)g = S(l-g) + Pg = P(l+ni)(l-g) + Pg = P + Pni(l-g) = P(l+ni(l-g)).
Окончательно получим:
S° = (l+ni(l-g)).
(3.41)
Таким образом, учет налога сводится к сокращению процентной
ставки: вместо ставки i фактически применяется ставка (l-g)i.
В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные про­
центы возможны следующие варианты:
1) налог начисляется за весь срок сразу, то есть на всю сумму про­
центов;
2) сумма налога определяется за каждый истекший год (тогда еже­
годная сумма налога будет величиной переменной, так как сумма процен­
тов увеличивается во времени).
В первом случае сумма налога равна P((l + i)" -\)g,
а наращенная
сумма после выплаты налога:
S' = S-(S-P)g
= S(l-g)
= S(l-g)
+ Pg = P((l + iy(l-g)
+ g).
Рассмотрим второй случай. Обозначим налог за год t как G .
t
Тогда
G = (S t
t
1
1
)g = (P(l + i)' - (P(l + i)' )g = P(l + i)' ig
за первый год налог составит G, = Pig;
1
за второй год - - — — ;
F
{l + ij
1
за п -ый год - G„= P(l + i)"" ig.
Тогда за п лет налог будет выплачен и его величина составит:
G = ZG =
r
Pi8
l)
f+^
= 8«
p
l
+
0" " 1) •
Сумма налогов за весь срок не зависит от метода начисления.
3
( -
4 2
)
Лекция 4: П О Т О К И П Л А Т Е Ж Е Й : П О С Т О Я Н Н Ы Е Р Е Н Т Ы
В современной финансовой практике часто применяются не отдель­
ные или разовые платежи, а некоторая их последовательность во времени денежный поток. Это, например, погашение задолженности в рассрочку,
арендная плата, выплата процентов, дивидендов, пенсий, страховых вы­
плат и т.п. Если выплаты ежегодные, то такой поток платежей называются
аннуитетом, если платежи производятся несколько раз в году-рентой.
Поток платежей характеризуется следующими параметрами:
1)
член ренты R - размер отдельного платежа;
2)
период ренты - временной интервал между двумя последова­
тельными платежами;
3)
срок ренты п - время от начала первого периода ренты до
конца последнего периода;
4)
5)
6)
процентная ставка i;
число р платежей в году;
частота т начисления процентов.
Ренты классифицируют по разным критериям, выделяют:
1)
ренты немедленные (начало срока ренты, и начало действия
контракта совпадают) и ренты отсроченные,
2)
ренты с ежегодным начислением процентов ( т = 1 ) , начисле­
нием процентов т раз в году и непрерывным начислением процентов;
3)
ренты с постоянными и переменными членами;
4)
ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет,
рента считается вечной.
5)
рента обычная или постнумерандо, если платежи производят­
ся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в на­
чале периода.
Анализ потока платежей предполагает расчет или наращенной сум­
мы или современной стоимости. Наращенная сумма потока платежей S сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока
сложными процентами.
к
(4.1)
где R - ряд платежей, имеющих знак «плюс» или «минус»;
R
n - время выплаты с номером t = 1 , 2 , к ;
t
к - количество выплат; п -общий срок выплат;
к
i - сложная процентная ставка наращения (начисляется один раз
в году, выплаты производятся в конце периода).
Современная стоимость потока платежей
А - это сумма всех вы­
плат, дисконтированных на начало срока этого потока. Современная стои­
мость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам,
которые охватывает поток.
к
A=
^R,v
В связи с этим данный показатель находит широкое применение в
разнообразных финансовых расчетах: планирование погашения долго­
срочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффек­
тивности производственных инвестиций и т.п.
Несложно убедиться в том, что современную стоимость потока пла­
тежей можно получить дисконтированием наращённой суммы:
Sv"
k
=А.
(4.3)
Простая рента обладает двумя важными свойствами:
1) все его n-элементов равны между собой:
R =R =...
L
2
=R
N
=R;
2) отрезки времени между выплатой/по лучением сумм R одинаковы.
Рассмотрим р-срочную простую ренту постнумерандо с начисле­
нием процентов т раз в году, причём выплаты не совпадают со временем
начисления процентов (характеристики ренты R, п, /, т Ф
p^l).
В этом случае ежегодно р раз производятся платежи через равные
промежутки времени. Каждый платеж равен R/p, где R- годовая выплата.
Проценты начисляются т раз в году по ставке j , т.е. процент за один пе­
риод времени равен — %, срок ренты равен п лет (рис. 11).
т
1
m - 1 m
0
R
1
l
R
2
p- 1 p
R„
2
1 2
n
Рис.11. Расположение моментов выплат
и начисления процентов на временной оси.
Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту п сумму
этой ренты. Наращённая сумма на все выплаты года к концу одного года
определяется следующим образом:
lp
R
R R(. jT
1 =
- + - 1 + ^P P
mj
. 2m/p
R
J
+- 1+ ^
p\
m
_
+ . . .
R
+
s
. ч mi
* I + A
p\
n-—
[
P
mj
На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в на­
ращенную сумму без изменения, т.е. в размере R/p.
На предпоследний
платеж начисляются проценты по ставке j за период равный
1/р части гоup
R'
да, и наращенная к моменту п на этот платеж сумма равна
Ру
т
. На
второй с конца платеж проценты начисляются по ставке j за период, рав­
ный 2/р части года и наращенная к моменту п на этот платеж сумма равна
\2т/р
. Последний платеж делается за и - - лет до момента п, т.е. на
-(•+
Р\
Р
mj
R
ращенная в момент п на этот платеж сумма, равна
Л''
1+
Р
После несложных преобразований получим:
s
R
Р
. \ тп
тIр+тIр
\+А
-1
'
т
V
с
1+ ^
R {
т
(4.4)
njp
т
• \ /р
Р
1
1+
1+
т
Вся наращенная на ренту сумма равна:
ч (и—l)m
S = R, 1 + ]_
т
/
. \
+ R- 1 + —
v
)
т
{п-Т)т
+... + R, 1 + т
+ R,
Количество начислений до конца ренты на наращённую сумму пер­
вого года равно (п-\)т,
на наращённую сумму второго года (п-2)т,
... ,
на наращённую сумму предпоследнего года т, на наращённую сумму по­
следнего года проценты не начисляются и она составит R . После упроще­
l
ния получим:
/
1+
R _
Р f
. \ тп
1
/
т
1
i U Y ' - i
т)
1+
Л
1 + ^-
тJ
с
. \ тп
Л
1 + ^-
т
R
J
Р
(4.5)
/
p
iU\
т)
-i
При вычислениях использовалась формула возрастающей геометри­
ческой прогрессии:
а а-а.
S =—
, где
первый член прогрессии а = 1,
х
q-l
т р
знаменатель прогрессии q = (1 + j I
т) ' ,
т(
11
р)
п - й член прогрессии а = (1 + j I т) "~
.
п
Чтобы определить современную стоимость ренты А, вычислим со­
временную стоимость
за каждый
отдельный
этого
года:
R
R
R
1
R год в начале
1
1
1
R
т+ —
[р—\)ту
—^ + ... + —
Р
R
Р '
1+
v
f
ч
т
/
i u Y '
v
т)
1+
"
/ 1
т
V
1+
1
1
1 Р
Р
]
1
±
+
т
т
V,
R
т
Р г
1
, где
(4.6)
1+ ^
\
1+-
т
тJ
т
Современная стоимость всей ренты будет равна:
m
m
A =R +Rv
i
+Ry
1
+... + R
R
(n-\)n
1
v
f
1+
R
P
in
1+
^
Получив формулы
. \ —mn
1V
m
S = R- s,00
уm
^
mJ
Rp
(4.7)
1 Д Г - 1
m
1/ •>
(4.8)
где
у
s
да
коэффициент наращения ренты;
Р
и
(
J
1+
т
v
где а (р)
Р
(4.9)
А = К-а (р)
',
коэффициент наращения ренты (значе-
1 + ^V
т
)
ния коэффициентов определяют по таблицам), можно рассмотреть частные
случаи постоянной ренты.
Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются дат раз в
году, число выплат в году р равно числу начислений процентов m (Харак­
теристики ренты R, п, j , т = р Ф 1)
+
Наращенная сумма ренты имеет вид:
-1
да
S =R
(4.10)
j
Современная величина ренты вычисляется по формуле:
/
. \
V
да;
-тп
1-
A =R
(4.11)
7
Пример 4.1. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту постнуме­
рандо с платежами по 300 рублей. Найти наращенную сумму и современ­
ную стоимость ренты, если годовая процентная ставка равна 10%. Процен­
ты начисляются ежемесячно, выплаты осуществляются поквартально.
Для данной задачи R = 300, п = 5 , да = 12 , р = 4, i = 0,1.
/
. \ тп
1
Согласно формуле наращенная сумма равна: S
R V
Т
р
В нашем случае:
5
300
V
12.
од
12
.12/4
да;
1919,88.
\1
р
Современная стоимость для р-срочной ренты с начислением процен-
(i+O"-1
тов m раз в год составит: sr
Р (1 + i)
P
-1
-12-5
Или в нашем случае:
А = 300 -
К
.
1166,88.
fl + - 7 - l
I 12 J
Итак, наращенная сумма равна 1919,88 рублей, современная стои­
мость ренты - 1166,88 рублей.
Годовая рента постнумерандо определяется характеристиками;
г
член ренты R, срок р е н т ы " , с т а в к а , число выплат в году Р
= 1
, число на­
числении процентов в году т = 1
Построим схему наращения членов ренты на временной оси (рис. 12).
R
1
о
1
1
R
R
R
1
1
1
•
1
Rfl+iV
Rfl+if
~*
Rfl+iV
Рис.12. Расположение моментов выплат и
начисления процентов на временной оси.
Общая формула наращенной суммы ренты (легко получаемая из об­
щей формулы при заданных условиях Р
1+
S
ni
mlр
1+
Г
т
,
т
=i
= 1, •> )
будет иметь вид:
тп
R
Р
где s
]_
= 1
R
(1 + 0 " - 1
j
+0"-1
i i
= (-1—
. - коэффициент
наращения ренты.
(4.12)
Современная ценность ренты равна современной ценности её нара­
щенной суммы, т.е.
•(! + ,•)- = д f c ± J l ± ( i ,-)- = - (
l
A = S.(l + i)" =R-s
ni
+
"> "
l + i
R
=
д.
Д | г |
,
(4.13)
где а„.. =—-—-— - коэффициент приведения ренты, показываюi
щий, сколько рентных платежей (R) содержится в современной величине;
А - современная ценность денег в момент 0.
Годовая рента, постнумерандо, начисление процентов т раз в го­
ду, выплаты р один раз в году определяется характеристиками: член рен­
ты R, срок ренты п, ставка j, число выплат в году р = 1, число начислений
процентов в году т Ф 1.
В этом случае платеж R делается один раз в конце каждого года, а
проценты начисляются m раз в год. Это означает, что применяется каждый
раз ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов.
Общая формула наращенной суммы ренты (получаемая из общей
формулы при заданных условиях р = \, тФ\) будет иметь вид:
1+ ^
(4.14)
м
. n
(
тп
-1
1+
Или S - R$
I/,
где
(
1+
V
коэффициент нараще-
j \"'
1
т
)
ния ренты.
Современная величина ренты вычисляется по формуле:
1-
1+ ^
A =R
(4.15)
V
т
/
. \ —тп
1 - 1 + ^Или A = Ra
.//•, где а mnj// т
коэффициент приве-
{
1+
V
J
M
-1
J
дения ренты.
Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются один
раз в году, выплаты р раз в году определяется характеристиками: член
ренты R, срок ренты п, ставка i, число выплат в году р Ф 1, число начис­
лений процентов в году т = 1.
Так называется рента, при которой р раз ежегодно через равные
промежутки времени производятся платежи, равные R/p. На накоплен­
ную сумму начисляются сложные проценты по годовой ставке /. Нара­
щенная за п лет сумма всей ренты равна:
(4.16)
Р
(\
+
г)- -\
р
(1-й)"-1
коэффициент наращения р-срочной ренты
где
р
(1+0'-1
при т = 1.
Современная ценность ренты равна современной ценности её нара­
щенной суммы, т.е.
А = S(\ + / ) - = R
ы
где
a
n,i••
_
-
( 1+
/ )
1
" ~ = (1 + iY = R
= ^»"
<;,(4.i7)
Р (1 + Ф - 1
Р (1 + /)7-1
+
{р)
г
+ /Г
1-(1
г
-| - коэффициент приведения ренты.
Р (1 + Ф - 1
л
В табл.5 обобщены результаты, полученные для расчета наращенной
суммы и современной стоимости для рент постнумерандо.
Таблица 5
Количество
Количество
платежей
начислений
А
т=1
R
1-(1+./Г
R
J
/
р =\
/
. чти
1+
R
т>1
R1 + ^-
V
±
+
тJ
V
1+
т)
+
R
т=1
. \ —им
1
J-
т
R— 1-(1 + У Г
-1
(1 +
/
. \ тп
1-1
т=р
р>1
j)p~l
+
R
j
. \ тп
/
i-i+
R
т Фр
\m/p
P
1+
v
Если
J
m
™J
проценты начисляются непрерывно,
характеристиками
ренты являются R, и , J , /? = 1. Сумма R выплачивается один раз в конце
года и на в ы п л а ч е н н у ю сумму начисляются непрерывные проценты по
ставке (силе роста) 8. Н а й д е м н а р а щ е н н у ю в момент п сумму этой рен­
ты.
Формулы для вычисления наращённой суммы и современной стои­
мости ренты с непрерывным начислением процентов получают как пре­
дельные случаи:
. \ тп
/
1+;
lim s
(р)
lim
-1
•1
jn
e -l
= lim
( V Л
Р
1 + ^т
v
Р
lim 1 + ^
тJ
Л
Р е
V
/ р
-\
)
(4.18)
Заменив номинальную ставку j на силу роста 8, получим:
(4.19)
ОП
е
С
р е
ЛР)
где -У г
1
-1
5/
коэффициент наращения ренты.
\
/ р
-1
p
Современная стоимость ренты равна
А = Ra[ \,
1+
a[ l = l i m ,00
где
p
т >«:
lim
v
1-е'
т
(4.20)
коэффициент
т^оо
тп, V
/и J
приведения ренты.
-1
Если р = 1, то
и, 5
(4.21)
1 '
A = Ra„ ,=R
1 - е -дп
(4.22)
5
е ' - -1
Связь между 8 и j можно найти, составив уравнение эквивалентно­
1
V
сти:
р
+
'
е*-1
« У
1UY'-1
d е
/ р
. Равенство обращается в тождество при:
-1
/и J
1 + ^V
« У
Отсюда следует:
(4.23)
8 = т In 1 + ^ -
(4.24)
Если проценты начисляются непрерывно и платежи ренты произво­
дятся непрерывно, то, переходя к пределу, получим:
_8п
"У<?
Sn
л
1
—
8/
^
l i m /? е
V
/ р
е
\
-1 " ~ Т ~
J
1-е-*
с/ и;
(5
л
-1
8
4
25
(- )
(4.26)
Годовая рента пренумерандо, проценты начисляются один раз в
году (Характеристики ренты R, i, п, m = l, р = 1) (рис. 13)
R
1
Б
1
I
I1
W
1
0
2
3
'
'
'
4
•
Ra+n
•
Rfl+iV
•
Rfl+iV
•
Rfl+iV
Рис.13. Расположение моментов выплат
и начисления процентов на временной оси.
Пусть R - ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в
начале каждого года по сложной процентной ставке i, п- срок ренты.
Платеж, сделанный в момент п, даёт наращенную сумму R(l + i).
Сумма, наращенная к моменту п на платеж, сделанный в момент
п
1
~ , рав­
на R(l + i) . Сумма, наращенная к моменту п на платеж, сделанный в момент
2
п-2,
равна R(l + i) и т.д. Сумма, наращенная к моменту п на платеж, сде­
3
ланный в момент 2, равна R(l + if , а в момент 1 - R(l + /)".
1
Таким образом, наращенная сумма всей ренты в момент п будет равна:
S = R(l + i)+R(l + if + R(l + if +... + R(l + i)"- + R{\ + if = R(l + , - ) £ ± I L ^ i . (4.27)
1
Из сравнения рент постнумерандо и пренумерандо ясно, что все
формулы для ренты пренумерандо получаются из формул для ренты пост­
нумерандо подстановкой вместо R величины R(l + i).
Сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы рен­
ты постнумерандо в (l + /') раз, поэтому наращенная сумма ренты пренуме­
рандо равна:
S^S-il + i),
где S - наращенная сумма ренты постнумерандо.
(4.28)
Современные величины рент пренумерандо рассчитываются анало­
гично, т.е.:
A =A-(\ + i).
{А 29)
x
Если проценты начисляются по номинальной процентной ставке j, а
выплаты производятся р раз в году, современная и наращённая стоимость
ренты пренумерандо будет равна:
А =А
1
(4.30)
т)
1+Д
S S1=
.
"
(4.31)
т)
Если платежи ренты производятся в середине периода, то по анало­
гичной схеме можно получить формулы:
(4.32)
1 +^/2
S =S-
1+
V
/2
^
(4.33)
т)
Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто
вперед относительно некоторого момента времени. Например, погаше­
ние задолженности
планируется начать спустя обусловленный
срок
(льготный период). Сдвиг во времени не отражается на величине нара­
щенной суммы. Иначе обстоит дело с современной стоимостью ренты.
Пусть рента выплачивается спустя t л е т после некоторого началь­
ного момента времени. Современная стоимость р е н т ы на начало выплат
(современная стоимость немедленной ренты) равна А. Современная
стоимость на начало периода отсрочки в t лет равна дисконтированной
на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Д л я
годовой ренты имеем:
A = A-v'=Ra v'
r
(4.34)
iri
где Д ~ современная величина отложенной ренты;
А - современная величина немедленной ренты;
V - дисконтный множитель за t лет (v' = (l +
).
Вечной рентой называется финансовая рента с бесконечным числом
членов. Например, некоторое благотворительное общество положило в банк
определенную сумму денег и отчисляет ежегодно проценты от этой суммы в
пользу детского дома. Число платежей, которые получит детский дом, не ог­
раничено, эти платежи могут продолжаться как угодно долго, они образуют
«вечную» ренту. Наращенная сумма вечной ренты, каждый член которой ра­
вен положительному числу R, бесконечно велика, и говорить об её величине
не имеет смысла. Иначе обстоит дело с современной ценностью вечной рен­
ты. Современной ценностью А, вечной ренты является сумма, которую надо
г::
вложить в начальный момент под сложные проценты по данной ставке, что­
бы в дальнейшем каждый год (или каждый период начисления процентов)
можно было получать с этого вклада сумму R .
Современную ценность вечной ренты можно определить как предел
современной ценности конечной ренты при неограниченном увеличении
числа членов ренты.
Годовая рента с начислением процентов в конце каждого года по
ставке сложных процентов, равной i :
И м * ' - * ' * ' > " ' = * lim 1 - ( 1 + 0 "
I
и->оо
R
(4.35)
i
р-срочная рента:
1-1 +
Р
Если р = т, то
R
т
lim/?•
( 1 + ^ -Л
I
т)
Р
А,
(4.36)
т)
R
(4.37)
Лизинг - это один из способов ускоренного обновления основных
средств. Он позволяет предприятию получить в свое распоряжение средст­
ва производства, не покупая их и не становясь их собственником. Недоста­
ток лизинга - это его более высокая стоимость по сравнению с банковски­
ми кредитами, так как уплачиваемые лизинговые платежи предприятиялизингополучателя лизинговому учреждению покрывают
амортизацию
имущества, стоимость вложенных денег и вознаграждение за обслужива­
ние лизингополучателя.
В качестве альтернативного финансового приема лизинг заменяет
источники долгосрочного и среднесрочного
финансирования,
поэтому
преимущества и недостатки лизинга сравнивают с преимуществами и не­
достатками долгосрочных и среднесрочных кредитов.
Пусть п - срок реализации проекта, К - ставка налога на прибыль, Е
н
-
0
предоплата, г - процентная ставка по кредиту, Q - остаточная стоимость объ­
екта, Z, - периодический лизинговый платеж, S - периодический платеж по
t
погашению кредита, P - проценты по кредиту в соответствующем периоде, A
t
i
- амортизационные начисления в соответствующем периоде, 1=1,2, ...,п.
Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых платежей в
случае лизинга равна
L = Е + (1-К )^Ц
0
/(1 + г)'.
н
(4.38)
Если периодические лизинговые платежи постоянны {L =L
t
= const),
Q
то мы получаем простую ренту постнумерандо. Тогда чистая приведенная
стоимость посленалоговых лизинговых платежей равна:
l l/(l
+
L = E (l-K )L 0+
H
r T
0
.
(4.39)
г
В случае покупки за счет кредита чистая приведенная стоимость по­
сленалоговых платежей равна:
S = Е +±S,
0
1
/(1 + г) +(1 -К )^Р,
/(1 + г)' - К
Н
i=i
i=i
н
± А, /(1 + г)' -Q/(1 + г ) " . (4.40)
i=i
Если периодические платежи по погашению кредита постоянны
(S=S
0
= const), а амортизационные начисления равны {А= А = const), то
0
чистая приведенная стоимость посленалоговых платежей в случае покупки
за счет кредита равна S = Е + (S - К А ) \lllQ±Zl
0
Если L<S,
0
Н
0
то выгоднее лизинг. Если L>S,
+ (i _ к У£
н
- - ^ - ^ .
то выгоднее покупка за
счет кредита.
Пример 4.2.
Предприятие рассматривает вопрос о приобретении
оборудования. Первый варинт - лизинг за 600 тыс. руб. с рассрочкой пла­
тежа в течение четырех лет. Второй вариант -
покупка на заводе-
изготовителе за 480 тыс. руб. Ставка налога на прибыль равна К
н
Предоплата Е
0
= 40%.
и остаточная стоимость оборудования Q равны нулю.
Можно получить кредит в банке под г = 12% годовых. Используется рав­
номерное начисление износа. Сравним эти варианты.
В
случае
лизинга
ежегодный
лизинговый
платеж
равен
L = 600/4 = 150тыс. руб. Тогда чистая приведенная стоимость посленалого­
0
вых лизинговых платежей L равна
1
L = Е + (1 - К )L "
0
н
1 / ( 1 + Г)
0
г
1
1 /
1 +
0
2
" = 0 + (1 - 0,4) -150- ~ ( Д )
0,12
4
и
2
73,36 ТЫС.руб.
Определим график погашения кредита при покупке оборудования.
Заполним таблицу (табл.6).
Таблица 6
Показатели, тыс. руб.
ГодО
Год 1
Год 2
Год 3
Год 4
Возврат кредита S
-
120
120
120
120
Остаток долга
480
360
240
120
0
Проценты по к р е д и т у й
-
57,6
43,2
28,8
14,4
0
Таблица заполняется следующим образом: ежегодный возврат кре­
дита S =480/4 = 120тыс. руб., каждое число 2-й строки, начиная со 2-го
0
столбца, есть разность предыдущего числа второй строки и числа из этого
же столбца предыдущей строки, каждое число 2-й строки умножаем на
0,12 и результат пишем в следующем столбце 3-й строки.
Ежегодные амортизационные начисления равны А = (первоначаль­
0
ная стоимость - остаточная стоимость)/4=(480-0)/4=120 тыс. руб.
Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых платежей в
случае покупки за счет кредита равна:
1-1/(1 +г)"
S =
E (S -K A )(1-/Х )Х^/(1 + г)' -0/(1 + / Г
0+
0
H
0
н
12
4
5 7
6
+ O- ) — /,
Г •0 + (120 - 0.4 .onxi-i/O
• 120)
+ (1,-ч0.4)
0.12
{\А2
п
п л
Л
Так как 273,36<288 - выгоднее лизинг.
4 3
2
+1.12
2
2 8
8
+
1.12
3
1 4
4
-+ I „ ,] „- 0„ = 288 тыс.
1.12
4
Лекция 5: П О Т О К И П Л А Т Е Ж Е Й : П Е Р Е М Е Н Н Ы Е Р Е Н Т Ы
Ренты
с
постоянным
абсолютным
изменением
членов
во
времени. Пусть изменения размеров членов ренты происходят согласно
закону арифметической прогрессии с первым членом R и разностью а,
иначе говоря, они образуют последовательность:
R,R + a,R + 2a,...,R + (n-l)a.
Современная сумма годовой ренты постнумерандо определяется сумМОЙ:
2
3
А = Rv + (R + a)v +{R + 2a)v +... + [R + {n-l)a]v" =vJ^{R + tay
(5.1)
(=0
После преобразований эта сумма принимает вид:
—,
A = (R + -)a
i
ni
1
(5.2)
i
„
;
1
где v =
дисконтный множитель по ставке .
1+ г
Чтобы получить наращённую сумму ренты умножим (5.2) на (1 + 0",
и получим:
S = (* + - K , - - .
Пример
5.1.
Платежи
(5.3)
постнумерандо
образуют регулярный
во
времени поток, первый член которого равен 15 млн. руб. Последующие
платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн. руб. Начисление процентов
производится по 20% годовых. Срок выплат 10 лет.
Решение: П о условиям задачи R = 15, а = 2, i = 20%, п = 10.
Табличные значения коэффициентов а
[0
1 0 2 0
= 4,192472, v = 0,161505.
Применив формулу (5.2), получим:
А = (15 + А . 1 9 2 4 7 2 0.2
1
0
x
2
x
0
1
) 4
6
1
5
0
5
= 88.661 млн. руб.
r
0.2
J
Используя взаимозависимость А и S, находим:
S = 88.661 x l . 2
1 0
=548.965 млн. руб.
Влияние динамики платежей очевидно. Например, постоянная рента
с R = \5 дает накопление в сумме около 390 млн. руб., "вклад" прироста
платежей
в наращенную
примерно 20%).
сумму составил почти
160 млн. руб., или
Переменная р-срочная рента с постоянным абсолютным
приростом. Пусть R - базовая величина разовой выплаты, а - годовой
прирост выплат. В этом случае последовательные выплаты равны:
R,R + -,R
Р
По
определению
+ 2-,...,R
Р
для ренты
+
(pn-l)-.
Р
постнумерандо
при
начислении
п р о ц е н т о в р раз в году получим:
А = %(Я + 2у",
и
Р
(5.4)
рп
-(t-l) (1 • /)• ' \
R+
(5.5)
Р
Пример 5.2. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться в
течение двух лет - каждый квартал на 25 тыс. руб. Первоначальный объем
сбыта за квартал 500 тыс. руб., Определить наращенную сумму к концу
срока при условии, что деньги за продукцию поступают постнумерандо.
По условиям задачи R = 500, а/р =25, i = 20%, п= 2, рп = 8. Нара­
щенная сумма к концу двух лет составит:
8
2
4
S = 2] [500 + 25(t - 1)]х 1.2 "" = 4865 тыс. руб.
t=i
Пусть изменения размеров членов ренты происходят согласно гео­
метрической прогрессии с членами
2
n !
R, Rq,Rq
Rq '
(q - знаменатель
прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту по­
стнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей:
2
l
Rv,Rqv ,...,Rq"
v".
Получим геометрическую прогрессию с первым членом R v и знаме­
нателем q v. Сумма членов этой прогрессии равна:
A
=
R v £ ^ = R < a * L ± .
q v -1
Пусть теперь q=\+k,
(5.6)
q-(l + i)
где k - темп прироста платежей.
После простых преобразований получим:
'1 + АЛ"
1
A=R
U
+
.
(5.7)
i- k
Заметим, что прирост может быть как положительным (к > 0), так и
отрицательным {к < О).
Наращенная сумма ренты находится как:
S = 41
П р и м е р 5.3.
l
1
+
1
tr=R' "-<
'>'=R< +
q - (1 + i)
+
k )
l l
"к -i
+
l
>'.
(5.8)
П л а т е ж и постнумерандо образуют р е г у л я р н ы й
во
времени поток, первый член которого равен 15 тыс. руб. П о с л е д у ю щ и е
платежи
увеличиваются
каждый
год
на
12%
(£=0,12).
Начисление
процентов производится по 20% годовых. Срок выплат 10 лет.
По условиям задачи R = 15; &=0,12; /' = 0,2; п = 10.
1-Г—Т°
А = 15 х — k I ^ Z _
=
93.448 тыс. руб.
0.2-0.12
1 12
10
-1
S = 15 х
2
10
: — = 578.604 тыс.руб.
1.12-1.2
Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с темпом
прироста минус 10% в год (к = - 0,1), тогда
•-(-]"
I12
А = 15х
/
— — — = 47.184 тыс.руб.,
0.2-(-0.1)
S = 47.184 x l . 2 =292.151 Т Ы С . руб.
1 0
Рента р-срочная с постоянными относительными изменениями
членов: платежи производятся не один, а р раз в году постнумерандо,
проценты
начисляются
раз
в
последовательность
платежей
прогрессию R, Rq,
Rq ,
году
по
ставке
представляет
;.
собой
В
этом
случае
геометрическую
где q - темп роста за период. Начислим
npl
проценты и суммируем результат, получим:
4
(5.9)
S = R q" - ( 1 + Q" .
p
<7-(1 +
0'
Современная стоимость ренты составит:
p
q" v"
-1
1
я-С + О
Пример 5.4. Пусть 7? = 15 тыс. руб., п = 10, / = 20%. Положим, что
платежи
увеличиваются
с
каждым
полугодием
на
6%.
постнумерандо.
Решение: Наращенная сумма и современная стоимость ренты:
Рента
1 Об
S = 15 х
2 0
—1?
1 0
— = 1263.052 т ы с . руб.
1.06-1.2°
3
А = 15 х
1.06
20
F
J
1 0
xl.2
-1
:
= 203.990 т ы с . руб.
1.06 - 1 . 2
0 5
Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией R =f
(0, то общая сумма поступлений за время п равна j" f{t)dt. В
t
о
этом случае наращенная сумма (при начислении процентов используется
процентная ставка в виде силы роста 8) находится как
S = ]f{t)e "- dt.
3(
r)
(5.11)
о
Современная стоимость такого потока определяется как
п
Sxt
A = \f(t)e dt.
(5.12)
о
Для того, чтобы рассчитать величины А и S, необходимо определить
конкретный вид функции изменения платежей и значения ее параметров.
Рассмотрим методы расчета современных стоимостей д л я двух видов
функций - линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких
Sx
потоков легко определить, исходя из соотношения:
S = Ae ".
(513)
Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей.
Функция потока платежей:
R =R +
t
0
at,
(5.14)
где R - начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу
0
времени, в котором измеряется срок ренты.
Современная
стоимость
получена
с помощью
интегрирования
функции потока платежей:
п
п
Sxt
п
Sxt
Sxt
A = $(R + at) e dt = R J e dt + ajt e dt =
0
0
о
Sx
R^ ^{d -ne ")a
s+
nS
0
= k + |
(5.15)
—
а
&
-Sxn
ne
с
8
где a
wS
- коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.
Пример 5.5. Намечается в течение трех лет увеличивать выпуск
продукции на 1 млн. руб. ежегодно. Базовый уровень выпуска 10 млн. руб.
Необходимо
определить
процентами. Сила роста 8%.
суммарный
объем
выпуска
начисленными
Определим коэффициент приведения:
1 - е-
008
'
3
2.66715.
0.08
Современная стоимость ренты:
А
'
l
i
1
10 +
2.66715
Зе
0.08)
0 0 8 3
= 30.5 млн.руб.
0.08
Искомая наращенная сумма:
S = 30.5 х е
о т з
= 38.8 млн. руб.
Экспоненциальный рост платежей.
qt
Функции потока платежей:
R =Re ,
(5.16)
t
где q - непрерывный темп прироста платежей.
Современная величина такой ренты определяется по формуле:
qt
St
А = RJe e dt
(q
S)t
= R$e
dt = R
0
q- 8
1
R-
j-
(5-17)
q-О
1+ k
Разность q - 8 определим следующим как: q - 8 = In
,
(5.18)
1+/
где k - дискретный темп прироста.
Пример 5.6. Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год.
Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если
R= 100, / = 7%, и = З г о д а .
Из условий задачи следует: q-8
-0.01887x3 _
= In
1 +
0
0
5
= -0.01887.
1 + 0.07
2
Таким образом, ,4 = 100
= 291.5,
-0.01887
S = A(l + i) = 291.5 x l . 0 7
3
3
=357.1.
Конверсии рент. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда на
этапе разработки условий контракта или даже в ходе его выполнения
необходимо в силу каких-либо причин изменить условия выплаты ренты, то
есть сконвертировать условия, предусматриваемые при выплате финансовой
ренты. Простейшими случаями конверсии являются: замена ренты разовым
платежом (выкуп ренты), или, наоборот, замена разового платежа рентой
(рассрочка платежа). К более сложному случаю относится объединение
нескольких рент с разными характеристиками в одну - консолидация рент.
Общий случай конверсии - замена ренты с одними условиями на ренту с
другими условиями, например, немедленной ренты на отложенную, годовой -
на
ежеквартальную
и т.д. Перечисленные
изменения
не могут
быть
произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к
изменению финансовых последствий для каждой из участвующих сторон, до и
после заключения контракта, то конверсия должна основываться на принципе
финансовой эквивалентности. Расчёт платежей при этом основывается на урав­
нении эквивалентности, которое представляет собой равенство сумм заме­
няемых и заменяющих платежей, приведённых к одному моменту времени.
Выкуп ренты сводится к замене ренты единовременным платежом.
Искомый размер выкупа должен быть равен современной стоимости выкупае­
мой ренты. Для решения задачи в зависимости от условий
задолженности
выбирается
та или иная
формула
расчета
погашения
современной
стоимости потока платежей. Применяемая при расчете современной стоимости
процентная ставка должна удовлетворять обе участвующие стороны.
Пример 5.7. Рента постнумерандо с параметрами: величина годового
платежа 10 тыс.руб., срок 5 лет, процентная ставка 8%, заменяется разо­
вым платежом. Определить размер платежа.
Размер выкупа ренты должен быть равен современной стоимости
ренты, т.е.
A = Ra ,
in
A
=
l
Q
x
1-(1 + 0.08)
=
ш
з
9 9 2 ?
=
39 927
х
ы
с
р у
б
0.08
Рассрочка платежей. Рассмотрим теперь задачу, обратную выкупу
ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму и
стороны согласились, что задолженность будет погашена частями в рассрочку,
то последнюю удобно осуществить в виде выплаты постоянной ренты.
Для решения задачи приравниваем современную стоимость ренты, с
помощью которой производится рассрочка, сумме долга. Задача обычно
заключается в определении одного из параметров этой ренты - члена
ренты или ее срока - при условии, что остальные параметры заданы.
Пример 5.8. Есть долговое обязательство на сумму 20 тыс. рублей.
Кредитор и должник договорились об уплате долга в рассрочку: рента
постнумерандо со сроком 3 года под 10% годовых. Определить величину
отдельного платежа.
Величина долга приравнивается величине современной стоимости
ренты. Тогда величина годового платежа:
R = —,
R=
= 8.042
тыс.рублей в год.
2.4869
Объединение
^
J
(консолидация) рент
заключается
в
замене
нескольких рент одной, параметры которой необходимо определить. В
этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство
современных стоимостей заменяющей и заменяемых (консолидированных)
рент, что соответствует равенству:
9
где А - современная стоимость заменяющей ренты;
А - современная стоимость q-ой заменяемой ренты.
д
Объединяемые
ренты
могут
быть
любыми:
немедленными
и
отсроченными, годовыми и ^ - с р о ч н ы м и и т.д. Что касается заменяющей
ренты, то следует четко определить ее вид и все параметры, кроме одного.
Далее, для получения строгого баланса условий, необходимо рассчитать
размер неизвестного параметра, исходя из равенства (5.19). Обычно в ка­
честве неизвестного параметра принимается член ренты или ее срок.
Так, если заменяющая рента постнумерандо является немедленной и
У А
задан ее срок п , то: R = — -.
(5.20)
а.П,1
Срок для немедленной ренты постнумерандо определяется из соотношения: а . = -1-0 + 0
ТА
i
R
In 1 - 2 4 . ,
R
Тоестья =
-.
(5.21)
1п(1 + 0
v
Для того, чтобы задача имела решение, необходимо соблюдать условие:
(5-22)
Пример 5.9. Три ренты постнумерандо - немедленные, годовые
-
заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно
договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку.
Характеристики заменяемых рент: R = 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих
q
рент: 6; 11 и 8 лет. Сложная ставка 20%. Вычисления приведены в табл. 7.
Таблица 7
Рента (q)
I
n
q
a
R
n \20
a
q
n ,20
q
1
100
6
20
3.32551
332.551
2
120
11
20
4.32706
519.472
3
300
8
20
3.83716
1151.148
Итого
520
-
-
-
2002,946
Размер члена заменяющей ренты равен:
R
2002.946
a
7;20
v-
2002.946
- = 960.189 ТЫС. р у б .
3.60459x1.2
Если бы заменяющая рента была немедленной, то
R
2002.946
555.665 тыс. руб.
3.60459
Изменение хотя бы одного из параметров рент означает замену
одной ренты другой. Такая замена должна базироваться на принципе фи­
нансовой эквивалентности, то есть должно соблюдаться равенство совре­
менных стоимостей обеих рент. Процентная ставка при этом может быть
сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока
может потребовать некоторое увеличение ставки.
Рассмотрим несколько случаев замены рент.
Замена немедленной ренты на отсроченную.
Пусть имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами R , п ,
l
х
процентная ставка равна /. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. То есть не­
медленная рента заменяется на отсроченную с параметрами R , n ,t(t
2
2
не вхо­
дит в срок ренты). Если в задаче задан срок, то определяется R , и наоборот. В
2
общем случае, когда щ Ф п , справедливо равенство А =А ,
2
1
2
то есть
(5.23)
Откуда,
R =R ^L(l
2
1
+
(5.24)
y,
i
где t - продолжительность отсрочки.
Пример 5.10. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями
R =2 тыс. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока
x
самой ренты. Процентная ставка - 20% годовых. Определить R .
2
По условию
=п = 8 , Я = 2 , t =2, /=20%.
2
2
Применяя формулу (5.24) получим:
R = 2 х (l + 0.2) = 2.88 тыс. руб.
2
Таким образом, отказ от выплаты немедленной ренты увеличивает
ежегодные выплаты на 0,88 тыс. рублей.
Замена годовой ренты на р-срочную.
Пусть годовая немедленная рента с параметрами R , п заменяется на
{
{
^ - с р о ч н у ю с параметрами R , п , р . Если заданы срок заменяющей ренты,
2
2
R
ее периодичность и ставка, то
R = i —ттг .
(5.25)
2
р
а .
Если необходимо найти срок ренты при заданном размере члена рен­
(
ты, то из формулы (5.25) находим сначала а ^\, а затем п .
2
Пример 5.11. Годовая рента постнумерандо с параметрами R= 2
тыс. руб., п = 3 года заменяется на квартальную с » , = 4 года. Процентная
ставка 20%. Определить размер выплаты второй ренты. Пользуясь форму­
лой (5.25), получим R = 2 х — ^ - = 2 х
2
1 0 6 4 8
= 1.51791 тыс. рублей.
7
а\%
2.77552
^
J
Общий случай конверсии. Описанные выше методы эквивалентной
замены рассматривались применительно к постоянным дискретным рен­
там, но переход от одного вида к другому возможен для любых потоков
платежей. В каждом случае в основу замены должно быть положено ра­
венство соответствующих современных стоимостей потоков платежей.
Пример 5.12. Заменим нерегулярный поток денег постоянной годо­
вой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей R , выплачи­
t
ваемых спустя п лет после начала действия контракта. Параметры заме­
г
няющей немедленной ренты постнумерандо: R, п. Исходное уравнение эк­
вивалентности будет иметь вид:
i 4
:
l
= 5 > v - V
(5.26)
Данное равенство дает возможность определить один из параметров
ренты: R или п. Решение обратной задачи - определение членов нерегулярно­
го потока платежей - достигается только подбором величин платежей, удов­
летворяющих этому равенству.
Лекция 6: Ц Е Н Н Ы Е Б У М А Г И
Ценная бумага - это денежный документ, выражающий связанные с
ним имущественные и неимущественные права (удостоверяющий имуще­
ственное право или отношение займа владельца документа по отношению
к лицу, выпустившему такой документ), который может самостоятельно
обращаться на рынке и быть объектом купли-продажи и других сделок,
служит источником получения регулярного или разового дохода. Ценные
бумаги фактически представляют собой юридические документы, свиде­
тельствующие о праве их владельца на доход или часть имущества фирмы.
Приобретая ценную бумагу, инвестор может рассчитывать, как минимум,
на два вида доходов: инвестиционный и курсовой. Инвестиционный доход
- это доход от владения ценными бумагами (называемый также дивиден­
дом). Курсовой доход - это доход, полученный в результате покупки бума­
ги по одной цене с последующей перепродажей по другой, более высокой
цене.
Классификация ценных бумаг. Существующие в современной ми­
ровой практике ценные бумаги делятся на два больших класса: основные и
производные ценные бумаги.
Основные ценные бумаги - это ценные бумаги, в основе которых
лежат имущественные права на какой-либо актив, обычно на товар, день­
ги, капитал, имущество, различного рода ресурсы и др.
Основные ценные бумаги, в свою очередь, можно разбить на две под­
группы: первичные (бумаги основаны на активах, в число которых не вхо­
дят сами ценные бумаги. Это, например, акции, облигации, векселя, заклад­
ные и др.) и вторичные ценные бумаги (это ценные бумаги на сами ценные
бумаги: варранты на ценные бумаги, депозитарные расписки и др.).
В зависимости от критерия, лежащего в основе классификации, сущест­
вует несколько группировок российских государственных ценных бумаг.
1. По процедуре выпуска ценные бумаги делятся на эмиссионные и
неэмиссионные. Эмиссионные ценные бумаги (акции, облигации, депозит­
ные и сберегательные сертификаты) выпускаются единовременно в боль­
шом количестве и имеют в рамках одного выпуска одинаковые свойства.
Неэмиссионные ценные бумаги выпускаются отдельными экземплярами.
2. По способу реализации имущественных прав владельцев разли-
чают ценные бумаги на предъявителя, именные и ордерные. Для реализа­
ции имущественных прав, связанных с владением ценной бумагой на
предъявителя, достаточно ее предъявления. В случае именной ценной бу­
маги необходима регистрация имени владельца в реестре держателей цен­
ных бумаг и на бланке сертификата ценной бумаги. Передача именной
ценной бумаги другому владельцу отражается изменением соответствую­
щей записи в реестре. Ордерные ценные бумаги (например, веселя, депо­
зитные и сберегательные сертификаты КБ) - это долговые ценные бумаги,
которые выпускаются в виде отпечатанных на бумаге бланков и предпола­
гают возможность их передачи новому владельцу в соответствии с распо­
ряжением прежнего владельца.
3. По срокам обращения:
краткосрочные, выпускаемые на срок обычно до 1 года;
среднесрочные, срок обращения которых растягивается на пе­
риод обычно от 1 года до 5-10 лет;
долгосрочные, т.е. имеющие срок жизни обычно свыше 10-15 лет.
4. По типу выраженных прав и отношений ценные бумаги делятся
на долговые и долевые. Долговые ценные бумаги выражают отношение зай­
ма и представляют собой долговые обязательства, гарантирующие их вла­
дельцам возврат денежных средств в установленный срок с оговоренной
ставкой процентов. Долевые ценные бумаги выражают отношения совладе­
ния и предоставляют их владельцу право долевого участия как в собственно­
сти, так и в прибыли эмитента. Долевыми ценными бумагами являются ак­
ции. Акции выпускаются только акционерными обществами.
5. По статусу лица, выпустившего ценную бумагу, различают го­
сударственные, муниципальные и частные (корпоративные) ценные бума­
ги. Государственные ценные бумаги выпускаются от имени правительства,
несущего по ним ответственность всем имуществом государства. Муници­
пальные ценные бумаги выпускаются от имени местных органов управле­
ния и имеют конкретное залоговое обеспечение в виде объектов муници­
пальной собственности. Ценные бумаги, выпускаемые всеми прочими
субъектами хозяйствования (предприятиями, организациями, акционерны­
ми обществами), относятся к частным (или корпоративным) ценным бума­
гам.
6. По форме существования различают ценные бумаги в виде от­
печатанные на бумаге бланков и в виде записей на счетах. Преимущест­
венной формой на современных фондовых рынках является вторая. В виде
отпечатанных на бумаге бланков выпускаются, как правило, ценные бума­
ги, требующие указания на бланках специальных реквизитов, например
векселя и депозитные сертификаты. Ценные бумаги в виде записей на сче­
тах обычно «хранятся» на специальных счетах депо компьютерных систем,
открытых на имя владельцев в так называемых депозитариях (централизо­
ванных хранилищах) ценных бумаг, либо учитываются в специальных рее­
страх держателей ценных бумаг.
Акционерным обществом признается организация, уставный капи­
тал которой разделен на определенное число акций (ФЗ 208, ст. 2). Устав­
ный капитал общества составляется из номинальной стоимости акций об­
щества, приобретенных акционерами:
YK = P N,
N
(6.1)
где У К - уставный капитал, руб.;
PN
номинальная стоимость акции, руб.;
N— количество акций в уставном капитале, шт.
Номинальная стоимость всех обыкновенных акций общества должна
быть одинаковой (ФЗ 208, ст. 25).
Акция - эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права ее вла­
дельца (акционера) на получение части прибыли акционерного общества в
виде дивидендов, на участие в управлении акционерным обществом и на
часть имущества, остающегося после его ликвидации.
Акция как вид ценной бумаги может выпускаться только акционер­
ным обществом. Общество вправе размещать обыкновенные акции, а так­
же один или несколько типов привилегированных (ПА).
Различают следующие виды привилегированных акций:
1) кумулятивные. При выпуске П А эмитент обязан установить срок
аккумуляции дивидендов. Определяется максимальный период, в течение
которого дивиденды начисляются, но не выплачиваются, накапливаясь к
последующей выплате;
2) долевые (с экстра-дивидентом). Владельцы имеют право на диви­
денд в размере, не меньшем, чем владельцы обыкновенных акций;
3) с корректируемым (плавающим) дивидендом. Владельцы претен­
дуют на дивиденд не ниже безопасного уровня прибыльности (/б. )уп
Под безопасным уровнем прибыльности понимают уровень при­
быльности, отражающий величину дохода по альтернативному, макси­
мально надежному вложению капитала. Обычно это ставка дохода по го­
сударственным облигациям, или норма банковского процента по депозит­
ному вкладу в коммерческом банке высшей категории надежности, или
ставка рефинансирования ЦБ.
Дивиденд - это доля прибыли АО, приходящаяся на одну акцию. Ди­
виденд можно рассматривать как вознаграждение за риск, которому подвер­
гается инвестор, вкладывая деньги в бумаги акционерного общества.
Размер доли распределяемой прибыли и режим выплаты дивидендов ут­
верждается собранием акционеров в зависимости от итогов работы общества.
Дивиденды выражаются либо в абсолютных денежных единицах,
либо в процентах. Ставка дивиденда характеризует процент прибыли от
номинальной стоимости.
Сумма дивидендов за срок владения акцией, руб.,
ЕД
(6.2)
t=\
где ; - ставка дивиденда, %;
д
п - период начисления дивидендов, лет.
ЧПР
Размер дивиденда на одну акцию, руб.,
Д = ——,
(6.3)
где Ч П Р - чистая прибыль, направленная к распределению, руб.;
N-
количество акций, шт.
Ставка дивиденда по обыкновенным акциям устанавливается общим
собранием акционеров, а между собраниями - советом директоров; рас­
считывается по формуле:
/
д
= — ю о % .
(6.4)
I' \
Дивиденд по привилегированным акциям определяется при их вы­
пуске в эмиссионном проспекте. Он не выплачивается по акциям, находя­
щимся на балансе общества.
Наличие нескольких этапов в жизни акций, их длительное обраще­
ние на рынке обуславливают многообразие цен: номинальную, эмиссион­
ную, рыночную.
На акции указывается номинальная стоимость, которая определяется
УК
делением уставного капитала общества на количество акций:
P = ——.
N
Номинальная стоимость выступает как некоторый ориентир ценности
бумаги на первичном рынке капитала и является базой расчета ряда оценоч­
ных показателей. На основе номинальной стоимости определяется эмисси­
онная цена, по которой осуществляется первичное размещение акций.
Эмиссионная цена может совпадать с номинальной или отличаться.
При размещении бумаги по цене выше номинальной образуется премия
(ажио), которая является чистым эмиссионным доходом эмитента. Бумага мо­
жет продаваться и дешевле номинальной стоимости, т.е. с дисконтом.
На вторичном рынке акции реализуются по рыночной цене, определяе­
мой соотношением спроса и предложения. Цену предложения устанавливает
продавец, цену спроса - покупатель. Разница между двумя этими ценами обра­
зует маржу (от фр. marge - край). Термин "маржа" применяется на рынке цен­
ных бумаг для оценки возможного дохода участников сделки.
Внутри маржи находится цена исполнения сделки, т.е. продажи ак­
ции, называемая курсовой. Она рассчитывается по следующей формуле:
(6.5)
Р
б.у.п
где Р - курсовая стоимость акции, руб.;
к
/ - ставка дохода (дивиденда или процента) или коэффициент;
д
'б.у.п - безопасный уровень прибыльности или коэффициент.
Участники рынка ценных бумаг, используя различные источники
информации и имея неодинаковый опыт в инвестиционном бизнесе, поразному оценивают требуемый уровень прибыльности, предполагая раз­
ную степень инвестиционного риска.
Требуемый уровень прибыльности представляет собой минималь­
ную норму дохода, на которую может согласиться инвестор при покупке
финансовых активов. Он состоит из двух частей - безопасного уровня
прибыльности и платы за инвестиционный риск:
(6.6)
где I т.у.п
требуемый уровень прибыльности или коэффициент;
безопасный уровень прибыльности или коэффициент;
пл.р
плата за риск или коэффициент.
Плата за риск зависит от среднерьшочного уровня прибыльности, отсюда:
'т.у.п
'б.у.п
В(/р у
—
'б.у.п)?
(^-^)
где В - коэффициент;
z'p у - среднерыночный уровень прибыльности или коэффициент.
Показатель В характеризует зависимость между общерыночной при­
былью по совокупности всех акций на бирже и прибылью по конкретным
акциям, требуемый уровень прибыльности которых рассчитывается.
Действительная стоимость акции зависит от будущих доходов, на
которые может рассчитывать инвестор. При этом может использоваться
формула:
=
2Л(1
+ аг,)
-АГ '
т.у.п
V
'
д
где Рд.с.а - действительная курсовая стоимость, руб.;
X До _ сумма дивидендов за прошлый отчетный период, руб.;
АГ
Д
предполагаемый темп прироста дивидендов в будущем
или коэффициент.
Определенная таким образом стоимость акции сравнивается с ее те­
кущим курсом и делается вывод о целесообразности ее приобретения или
дальнейшего владения ею.
Если действительная стоимость акции выше ее текущей курсовой стоимо­
сти, то такие акции следует покупать, если ниже - избавляться (продавать).
На фондовой бирже акции оцениваются по уровню дохода к курсо­
вой стоимости - рендиту. Рендит характеризует процент прибыли от цены
приобретения при заданном абсолютном уровне дивиденда:
д =А ю о % ,
(6.9)
где R - рендит, %;
Д - абсолютный уровень дивиденда в денежных единицах;
Р - цена приобретения акции по курсу, руб.
к
Доходность акции определяется двумя факторами: получением части
распределенной прибыли А О в виде дивиденда и возможностью продать
бумагу на вторичном рынке по цене большей, чем цена приобретения.
Дополнительный доход при росте курса акции или убыток при паде­
нии курса можно определить по формуле:
АР = Р - P o ,
(6.10)
П
где АР - абсолютный размер дополнительно дохода (убытка), руб.;
Р - цена перепродажи, курс в будущем, руб.;
п
Ро
цена покупки акций (первичные инвестиции), руб.
Индекс курса акции:
Л =£юо%.
(6.11)
Зная размер дивиденда и дополнительный доход, можно определить
совокупный доход за весь период владения акцией:
сд = Х д ± л р ,
(6.12)
(=1
где СД - абсолютный размер совокупного дохода, руб.;
д - сумма дивидендов за весь период владения акцией, руб.;
(=i
АР - прирост (убыток) по курсовой стоимости, руб.
Если акция продана в середине финансового года, то сумма диви­
дендов делится между прежним и новым владельцами бумаги:
Д / V
(6-13)
где Д - доход (дивиденд) покупателя (продавца), руб.;
г - годовая ставка дивиденда, %, или коэффициент;
д
8 - период владения акцией, дн.;
К - количество дней в году.
Ед+ар
Среднегодовая доходность: /
сргод
г=1
=—
100 %.
рР п
(6.14)
0
Абсолютный размер годового дохода:
ЕД =Д
Г0Д
+—•
(6-15)
п
Факторы, определяющие доходность акции, представлены на рис. 14.
Пример 6.1. Акция номиналом 1 ООО руб. куплена по курсу 250 % и
по ней выплачивается дивиденд 50 % годовых. Определить текущую до­
ходность инвестированных средств.
Цена приобретения акции по курсу 250 % составляет:
1000-250
D
P =
0
c
n
-
n
= 2 500 руб.
K
100
^
J
Абсолютный размер дивиденда при ставке 50 %: Д = 0,5-1000 = 500 руб.
500
Текущая доходность бумаги: R
2500
0,2, или 20 %.
Факторы доходности акции
Ставка
дивиденда i„
Номинальная
СТОИМОСТЬ Pjf
Курсовая
цена Р
С о в о к у п н ы й доход
Дополнительный
доход (прирост
по капиталу)
АР = Ри-Ро
Доход
Д
Текущая
доходность
w
'хек = ^ Ю 0
1
0
С0В
= ЕД + АР
к
Совокупная
Дополнительная
доходность
ДОХОДНОСТЬ
.
СОВ
_ 1 Д + АР
р
1
0
/л = - Ю 0
Р
Рис.14. Виды доходности акции и методы расчёта.
Облигация - эмиссионная ценная бумага, закрепляющая право ее
держателя на получение от эмитента облигации в предусмотренный ею
срок ее номинальной стоимости и зафиксированного в ней процента от
этой стоимости или иного имущественного эквивалента.
Облигация может предусматривать иные имущественные права ее
держателя, если это не противоречит законодательству Российской Феде­
рации.
Таким образом облигация удостоверяет:
- факт предоставления владельцем бумаги денежных средств эми­
тенту в долг;
- обязательство эмитента вернуть долг через определенное время;
- право инвестора получать в виде вознаграждения за предоставлен­
ные денежные средства определенный процент от номинальной стоимости.
Облигация относится к категории эмиссионной ЦБ. Под ней понима­
ется любая ценная бумага, в том числе бездокументарная, которая харак­
теризуется одновременно следующими признаками:
- закрепляет совокупность имущественных и неимущественных прав,
подлежащих удостоверению, уступке и безусловному осуществлению;
- размещается выпусками;
- имеет равные объем и сроки осуществления прав внутри одного
выпуска вне зависимости от времени приобретения ценной бумаги.
Под выпуском понимается совокупность ценных бумаг одного эми­
тента, обеспечивающих одинаковый объем прав владельцам, имеющим
одинаковые условия эмиссии (первичного размещения). Все бумаги одного
выпуска должны иметь один государственный регистрационный номер.
Объем выпуска облигаций, руб.,
где P
N
Q = P N,
N
(6.16)
- номинальная стоимость, руб.;
N— количество облигаций в выпуске, шт.
Цены на облигации, как и на акции, различны, что обусловлено раз­
ными этапами цикла жизни ценных бумаг.
На бланке облигации напечатана номинальная (нарицательная) цена.
Она служит базой для дальнейших расчетов и определяется делением об­
щей суммы займа на число выпущенных облигаций:
А=—•
(6.17)
Как правило, номинальная стоимость облигаций устанавливается
кратной 10, т.е. 10; 100; 1000 руб. и т.д.
На первичном рынке облигации размещаются по эмиссионной цене,
которая может быть больше или меньше номинала, а также равна ему. Если
цена, по которой инвестор приобретает бумагу, меньше нарицательной
стоимости, говорят о дисконте, или скидке. При размещении облигации по
цене больше номинала, идет речь о премии, или переплате.
На вторичном рынке ценных бумаг облигации продаются и покупа­
ются по рыночной, или курсовой, цене. Величина курса облигации зависит
от условий займа и ситуации, сложившейся в данный момент на рынке об­
лигаций:
P =P [i a
K
N
k
l1J
+
{Y
+
i)-"\,
(6.18)
где Р - курсовая стоимость, руб.;
к
4 - купонная ставка, %, или коэффициент;
a
- коэффициент приведения рентных платежей,
ni
(6.19)
о.у.п
где п - время обращения ценной бумаги (от момента приобретения
до момента погашения или продажи), год;
'б.у.п - безопасный уровень прибыльности, коэффициент.
Индекс курса облигации определяется по формуле:
^ = k ^ + ( i + Wn)"Ji00-
(6-20)
Доходность облигации определяется двумя факторами:
- вознаграждением за предоставленный эмитенту займ (купонные
выплаты);
- приростом курсовой стоимости, который появляется в момент про­
дажи бумаги на вторичном рынке как разница между ценой погашения и
ценой приобретения или продажи и покупки бумаги.
Купонные выплаты производятся ежегодно (иногда раз в квартал
или в полгода) и выражаются абсолютной величиной:
к
/',/"-
(6-21)
где К - абсолютный размер купонных выплат за период п, руб.;
п - период начисления купонного дохода с момента покупки до
продажи (или погашения), год.
Купонная доходность - это норма процента, которая указана на ценной бумаге:
i = —^100 %.
k
(6.22)
Текущая доходность характеризует эффективность выплачиваемого
годового процента на вложенный капитал, т.е. инвестиций:
'•
т е к
= % ю о %,
Го
где г
тек
- текущая доходность, %;
P - номинальная стоимость, руб.;
N
(6.23)
Р - первоначальный капитал (цена приобретения), руб.
0
Полная совокупная доходность измеряется соотношением всех ис­
точников дохода за период займа к вложенному капиталу, %:
] ^ К + АР
/
с о в
=^-
юо %,
(6.24)
^о
п
где У^к - абсолютный размер купонного дохода за период п, руб.;
(=i
АР - прирост по капиталу, разница между ценой приобретения
и продажи или погашения, руб.;
Ро - цена приобретения (инвестируемый капитал), руб.
Ставка помещения (или среднегодовая доходность) определяется как
сумма источников дохода за год к цене вложения, %:
год
р
+
*™=
1
-Р
п
1
0
У^^
100 %
>
6 25
(- )
* 0
где А" - абсолютный размер годового купона, руб.;
год
Ро - цена приобретения, руб.;
Р - цена последующей продажи, руб.;
п
п - количество лет от момента покупки до продажи или погашения.
Доход по облигациям без выплаты процентов (дисконтные) опреде­
ляется как разница между ценой погашения
(номиналом) и ценой приобре­
1
юо
(6.26)
тения по формуле:
/ ср.год
п
^0
где Ро - курс облигации, Р < 100 в момент покупки;
0
п - срок от момента приобретения до момента выкупа.
Доход по облигациям с выплатой процентов в конце срока:
1
Too"
'ср.год
(1 + 0 - 1 .
(6.27)
^0
Оценивая облигацию, инвестор может определить ее будущую стои­
мость по формуле простых или сложных процентов без учета инфляции.
Наращенная стоимость облигации, проценты по которой начисляют­
ся и выплачиваются, может быть рассчитана по формулам:
S =P
N
+
^ K ,
(6.28)
t=i
S = P {\ + i n),
N
k
(6.29)
где S - наращенная стоимость облигации за период п, руб.
Наращенная стоимость облигации, проценты по которой начисляют­
ся и присоединяются к сумме долга и выплачиваются при погашении, оп­
ределяется по формуле:
S
/'.(1-/Г.
(6.30)
По приведенным формулам можно определить срок, через который
наращенная стоимость достигнет определенной величины, или размер ку­
понной ставки при заданном сроке погашения:
.,
s
/',
l^v
(6.31)
l u / \
W + h)
S Pv
L= :P.n
(6.32)
(6.33)
N
(6.34)
При инвестировании денежных средств в облигации важным момен­
том является размер выплат по облигациям. Здесь нужно руководствовать­
ся основным правилом: вложение денег в облигации должно обеспечивать
тот ж е доход, что и помещение капитала в банк.
Пример 6.2. Выпушена облигация с доходом 15 % годовых от номи­
нала, курсом 80 %, сроком до погашения 5 лет. Найти полную доходность,
если номинал и проценты выплачиваются в конце срока.
Решение:
1
i
=( +
р
0 Д 5
) - 1 = 0,202, или 20,2 %.
[so
V loo
Вексель - это составленное по установленной законом форме без­
условное письменное долговое денежное обязательство, выданное одной
стороной (векселедателем) другой стороне (векселедержателю), д а ю щ е е
бесспорное право требовать уплаты обозначенной в векселе с у м м ы по
истечении срока, на который он выписан.
Основные характеристики векселя:
1. А б с т р а к т н ы й характер обязательства, выраженного векселем, обязательства по векселю не зависят от тех событий, в результате кото­
рых вексель появился.
2. Безусловный характер обязательства, выраженного векселем, платеж по векселю не может быть обусловлен наступлением каких-либо
событий, т.е. платеж по нему должен быть совершен без соблюдения ка­
ких-либо условий.
3. Бесспорный характер обязательства, выраженного векселем, взыскание по векселю может быть наложено на всех обязанных по дан­
ному векселю без суда («без спора»), а только в результате публичного
акта.
4. Строго формальный документ - отсутствие любого из обяза­
тельных реквизитов делает его недействительным и подчиняет указан­
ные обязательства нормам общего гражданского права по долговым рас­
пискам.
5. Всегда п и с ь м е н н ы й документ - вексель составляется только на
б у м а ж н о м носителе.
6. Стороны, обязанные по векселю, несут солидарную ответствен­
ность. П р и неисполнении обязательства основным д о л ж н и к о м кредитор
(векселедержатель) может обратиться за взысканием к л ю б о м у из преж­
них держателей векселя.
Простой вексель содержит 7 реквизитов, а переводной 8.
Обязательные реквизиты простого векселя:
1) наименование «вексель», включенное в текст документа и вы­
раженное на том языке, на котором этот документ составлен;
2) простое и ничем не обусловленное предложение оплатить опре­
деленную сумму;
3) указание срока платежа;
4) указание места, в котором должен быть совершен платеж;
5) наименование того, к о м у или по приказу кого должен быть со­
вершен платеж (векселедержателя);
6) указание даты и места составления векселя;
7) подпись того, кто выдает документ (векселедателя).
Класс векселей достаточно многообразен. Они отличаются по эми­
тенту, о б с л у ж и в а е м ы м
сделкам
и субъекту,
производящему
оплату
(табл. 8).
В переводном векселе обязательно указывается 8-й реквизит - на­
именование того, кто должен платить (плательщика).
Документ, в котором отсутствует какой-либо из обозначенных пе­
речней, не имеет силы простого или переводного векселя, за исключени­
ем случаев, определенных ниже:
а) вексель, срок платежа по которому не указан, рассматривается
как п о д л е ж а щ и й оплате по предъявлении;
б) при отсутствии особого указания место составления документа
считается местом платежа и вместе с тем местом жительства векселеда­
теля (плательщика);
в) вексель, в котором не указано место его составления, признается
п о д п и с а н н ы м в месте, обозначенном рядом с наименованием векселеда­
теля.
П р и определении номинала векселя и цены обращения на вторич­
ном рынке необходимо учитывать следующие обстоятельства обраще­
ния документа:
Держатель долгового обязательства хранит его до срока погаше­
ния, а затем предъявляет к оплате и получает как долг, так и вознаграж­
дение за предоставленный кредит (в виде дисконта или процента к но­
минальной стоимости векселя).
Векселедержатель перепродает вексель на р ы н к е ц е н н ы х бумаг по
действующей р ы н о ч н о й цене, определяемой сложившейся на момент
продажи величиной учетной ставки банковского процента.
Таблица 8. Классификация векселей
Вид векселя
Признак классификации
Казначейские
Государство
Эмитент
Юридические,дееспособные
Частные
физические лица
Финансовые
Банковские
Коммерческие
Финансовые операции
Дружеские
Обслуживаемая
Бронзовые
сделка
Товарные
Залоговые
Товарные сделки
Бланковые
Векселедатель
Простой-соло
Субъект производя­
Трассат-акцептант
Переводной тратта
щий оплату
(третье лицо)
Владелец бумаги индоссирует вексель в распоряжение банка, не до­
жидаясь срока погашения, и получает вексельную сумму, уменьшенную на
доход в пользу банка.
Коммерческий банк, принявший долговое обязательство от векселе­
держателя, перепродает его центральному банку по цене, меньше означен­
ной в документе.
При определении вексельной суммы учитывается срок обращения
векселя. Если срок обращения менее одного года, то применяется формула
д
простых процентов:
S = P (l + i —),
0
B
(6.35)
К
где S - вексельная сумма при погашении, руб.;
PQ-
стоимость
товара, руб.;
/ - процент за кредит;
в
д - точное число дней обращения векселя с момента составления
до погашения;
К - количество дней в году.
Доход в этом случае будет измеряться размером процента, под кото­
рый совершена коммерческая операция (J = S
.1
/
,
/
Г
Ро):
.
(6.36)
365
где J- процентный доход, руб.
При размещении векселя с дисконтом (скидки с цены) или перепро­
даже цена размещения определяется по формуле учета:
P' =
S
—
(
6
.
3
7
)
360-100
где Р ' - цена размещения, руб.;
d- учетная ставка при покупке финансовых активов;
- количество дней с момента учета до дня погашения.
Финансовый вексель, как правило, размещается с дисконтом, а по­
гашается по номиналу, поэтому абсолютный размер дохода по векселю
определяется как разность между номинальной и дисконтной ценами (D =
S
Р) и по формуле, руб.:
D =
В в е к с е л е по п р е д ъ я в л е н и ю ,
S d d
360
'
100
.
(6.38)
и л и во с т о л ь к о - т о
времени
от
п р е д ъ я в л е н и я , в е к с е л е д а т е л ь м о ж е т о б у с л о в и т ь , ч т о на в е к с е л ь н у ю
с у м м у будут н а ч и с л я т ь с я п р о ц е н т ы . П р о ц е н т н а я с т а в к а
должна быть
у к а з а н а в векселе. П р и п е р е п р о д а ж е т а к о г о векселя ( и л и у ч е т е в бан­
ке) о п е р а ц и и н а ч и с л е н и я п р о ц е н т о в и к о м м е р ч е с к о г о у ч е т а с о в м е щ а ­
ются:
)(i — - A - ) ,
d
Р " = Р (1 +
0
365-100
(6.39)
360-100
где Р" - цена учета (деньги, которые получит векселедержатель на
руки), руб.;
z' - процент кредита по векселю;
B
d - ставка учета (перепродажи);
6
5
- время обращения векселя, дн.;
д ' - время с момента учета до погашения, дн.;
Ро - стоимость товара, размер ссуды или первоначальные инве­
стиции, руб.
Доходность векселя за срок займа определяется отношением абсо­
лютного дохода по векселю к цене приобретения векселя:
/„=-^-100%,
(6.40)
пр
Среднегодовая доходность по формуле обыкновенных процентов:
г
(6.41)
= ^ 1 0 0 .
ср. год
^
V
/
При продаже финансового векселя на рынке ценных бумаг до оконча­
ния срока долгового обязательства доход держателя делится между продавцом
и покупателем по формуле обыкновенных, или точных, процентов:
i Р 8'
J
где Лок
(
6
-
4
2
)
доход покупателя, руб.;
/,, - рыночная ставка на момент сделки по долговым обязательст­
вам той срочности, которая осталась до погашения векселя;
5' - число дней от даты сделки до даты погашения векселя.
С одной стороны, доход покупателя не должен быть меньше той
суммы, которую он получил бы при рыночной ставке по долговым обяза­
тельствам той срочности, которая осталась до погашения векселя. С другой
- его реальная прибыль определяется разностью цены погашения (номина­
ла) P
N
и цены покупки Р :
г
/ Р В'
/ \ - /• =
360
Р
откуда
д
Р = /', - »*^
г
,
(6.43)
J
.
(6.44)
Эффективность операции учета векселей обуславливается наличием
действенных механизмов снижения рисков операций. Ставка банковского
учета (d) должна быть не ниже процентной для аналогичных кредитов при
одинаковой временной базе и определяется по формуле эквивалентности
простой ставки процентов к учетной ставке:
d =^
i +
y
,
'-K
где d- учетная ставка по векселю;
^ - число дней обращения векселя;
/
в
процентная банковская ставка по кредитам;
К- число дней в году.
(6.45)
Пример 6.3. Простой 90-дневный вексель на сумму 10 ООО руб., да­
тированный 3 августа текущего года, учитывается коммерческим банком 4
сентября по ставке 8 %. Определить, какую сумму получит векселедержа­
тель при учете векселя в банке.
Срок с даты учета до даты погашения векселя:
90 - (28 дней августа + 4 дня сентября) = 58 дней.
Дисконт в пользу банка при ставке 8 %:
8-10000 -58
г
= 130 руб.
D =
100-360
Первый российский нормативный документ, в котором дано опреде­
ление производных ценных бумаг, это «Положение о выпуске и обраще­
нии ценных бумаг и фондовых биржах в РСФСР», утвержденное Поста­
новлением Правительства РСФСР от 28.12.91г. № 78. Согласно этому По­
ложению производные ценные бумаги - любые ценные бумаги, удостове­
ряющие право их владельца на покупку или продажу ценных бумаг: акций
акционерных
обществ,
облигаций,
государственных
долговых
обяза­
тельств и самих производных ценных бумаг.
Производные ценные бумаги - это срочные финансовые документы,
в них реализуются права со сроком исполнения на конкретную будущую
дату. Использование производных ценных бумаг ориентировано на новые
договорные отношения, преодолевающие ограничения, характерные для
отношений по поводу традиционных ценных бумаг. Особым свойством
производных ценных бумаг является то, что цены на них определяются на
основе цен товаров, валюты, ценных бумаг (т.е. на основе цен на базисный
актив).
Опцион - ценная бумага, представляющая собой контракт, покупа­
тель которого приобретает право купить или продать актив по фиксиро­
ванной цене в течение определенного срока, а продавец обязуется по тре­
бованию контрагента за денежную премию обеспечить реализацию этого
права.
Опцион как экономическое явление представляет собой оформляе­
мое договором право купить, продать (или отказаться от сделки) на протя­
жении договорного срока и по фиксированной договорной цене опреде­
ленный объем базисного актива либо получить определенный доход от
финансового вложения или денежного займа.
Цена, по которой исполняется опцион, называется ценой исполнения
или "страйковой" ценой.
В заключении опционной сделки участвуют две стороны - покупа­
тель и продавец опциона.
Покупатель опциона (держатель опциона) - сторона договора, при­
обретающая право на покупку, продажу либо на отказ от сделки.
Продавец опциона (надписатель опциона) - сторона договора, обя­
занная поставить или принять предмет сделки по требованию покупателя.
При покупке опциона покупатель уплачивает продавцу премию. Оп­
ционная премия - это цена приобретения опциона. Премия состоит из
двух компонентов - внутренней стоимости и временной стоимости. Внут­
ренняя стоимость - это разность между текущим курсом актива и ценой
исполнения опциона. Временная стоимость - это разность между сум­
мой премии и внутренней стоимостью опциона.
Для расчетов теоретической стоимости опционов применяются дос­
таточно сложные математические формулы. Наиболее часто используется
формула Блэка-Шоулза:
rT
С = SN(d,) - xe N(d ),
(6.46)
2
2
1 п - + (г + 0,5сг )Г
при
< * 1 = —
г=
>
(
6
-
4
7
)
1
d =d -oT*,
2
l
(6.48)
где С - цена (стоимость) европейского опциона колл, руб.;
S- текущая рыночная цена базисного актива, руб.;
N(d)
кумулятивное стандартное нормальное распределение;
х
цена исполнения опциона, руб.;
е - основание натурального логарифма;
г - ставка процента, свободная от риска;
Т— оставшийся срок до исполнения опциона, дн.;
2
а,а -
стандартное отклонение и дисперсия биржевого кассового
курса.
Существуют различные виды опционов. С точки зрения сроков ис­
полнения опционы подразделяются на два типа: американские и европей­
ские.
Американский
опцион - это опцион, при котором держатель опцио­
на может реализовать свое право в любое время в пределах опционного
срока.
Европейский
опцион - это опцион, при котором реализация заложен­
ного в нем права возможна только при наступлении указанного в опционе
срока исполнения обязательств.
В зависимости от того, какие права приобретает покупатель опциона,
выделяют два вида опционов - опцион на покупку и опцион на продажу.
Опцион на покупку - колл (call) - опцион, который предоставляет по­
купателю опциона право купить оговоренный в контракте актив в установ­
ленные сроки у продавца опциона по цене исполнения или отказаться от
этой покупки:
Ч Д = (Р
к
Е) Q
ПР,
(6.49)
где Ч Д - чистый доход покупателя, руб.;
Р
- курсовая стоимость базисного актива на бирже в момент
к
реализации опциона, руб.;
Е - контрактная цена базисного актива в опционе, руб.;
Q - объем сделки, шт.;
ПР - размер премии, уплачиваемой покупателем, против выписки
опциона, руб.
Опцион на продажу - пут (put) - опцион, который предоставляет по­
купателю опциона право продать продавцу опциона оговоренный в кон­
тракте актив в установленные сроки по цене исполнения или отказаться от
его продажи:
Ч Д = (Е
Р) Q
к
ПР.
(6.50)
Фьючерс - ценная бумага, представляющая собой биржевой кон­
тракт, одна сторона которого обязуется купить, а другая - продать опреде­
ленное количество базисного актива в установленный срок по фиксиро­
ванной цене.
Фьючерсные контракты появились как реакция финансового рынка
на недостатки форвардных контрактов. Форвардные контракты, не являясь
стандартизированными документами, не имели высокой ликвидности. Ор­
ганизованный рынок таких контрактов не существовал, а риски невыпол­
нения обязательств контрагентами по контракту были весьма высокими.
При наличии общих черт у этих двух видов контрактов есть ряд сущест-
венных отличий. Отличительные черты фьючерсных контрактов заключа­
ются в следующем:
- фьючерсный контракт является биржевым договором, разрабаты­
ваемым и обращающимся на данной бирже;
- фьючерсный контракт стандартизован по количеству базисного ак­
тива, лежащего в его основе, месту и срокам поставки (типичные сроки по­
ставки - март, июнь, сентябрь, декабрь), срокам и форме расчетов, приме­
няемым штрафным санкциям и т.д.;
- и с п о л н е н и е контракта, п о л н о т а и своевременность р а с ч е т о в по
ф ь ю ч е р с н о м у контракту г а р а н т и р у ю т с я биржей. В связи с этим расчет­
ная палата предъявляет р я д т р е б о в а н и й к у ч а с т н и к а м ф ь ю ч е р с н о й тор­
говли. П р и о т к р ы т и и п о з и ц и и инвестор обязан внести на счет брокер­
ской ф и р м ы н е к о т о р у ю д е н е ж н у ю с у м м у в качестве залога, м и н и м а л ь ­
н ы й размер которой устанавливается расчетной палатой биржи. Эта
сумма называется первоначальной
м а р ж е й . Расчетная палата устанав­
ливает т а к ж е н и ж н и й уровень м а р ж и , ниже которого никогда не д о л ж ­
на у м е н ь ш а т ь с я с у м м а на счете клиента. Расчетная палата в конце каж­
дого торгового д н я п р о и з в о д и т перерасчет п о з и ц и й инвесторов, пере­
водя с у м м у в ы и г р ы ш а со счета п р о и г р а в ш е й с т о р о н ы на счет выиграв­
ш е й стороны. Д а н н а я с у м м а называется в а р и а ц и о н н о й
(переменной)
маржей;
- заключение фьючерсных контрактов производится главным обра­
зом не для купли-продажи базисного актива, а в целях получения прибыли
от разницы в ценах;
- каждая из сторон фьючерсной сделки может в любой момент до
истечения срока контракта ликвидировать свои обязательства по нему пу­
тем заключения сделки, противоположной ранее сделанной, иначе говоря,
офсетной
сделки.
Отражением ожиданий инвесторов относительно будущей цены ба­
зисного актива является фьючерсная цена.
В зависимости от вида базисного актива выделяют следующие виды
фьючерсных контрактов.
Фьючерсный
товарный
контракт
- это контракт на принятие или по­
ставку товара определенного количества и качества по зафиксированной в нем
цене на установленную дату. В качестве базисного товара могут выступать зер­
но, нефть, драгоценные металлы, продовольственные товары и т.д.
Фьючерсный
финансовый
контракт
- это контракт, представляю­
щий собой соглашение, обязывающее купить или продать определенный
финансовый инструмент в определенный срок по зафиксированной в нем
цене.
В зависимости от вида базисного актива, который лежит в основе
финансового фьючерса, выделяют три основных вида фьючерсов.
1. Процентные фьючерсы - это фьючерсные контракты, основан­
ные на долговых ценных бумагах. На американском рынке самыми рас­
пространенными процентными фьючерсами являются фьючерсы на вексе­
ля казначейства С Ш А , 30-дневные процентные ставки, 90-дневные евро­
долларовые депозитные сертификаты, средне- и долгосрочные облигации
казначейства С Ш А .
Цена на фьючерс, базис которого составляет краткосрочный про­
цент, определяется по правилу: 100 - это зафиксированная в контракте
процентная ставка; масштаб движения цены контракта - базовый пункт
(тик), равный 0,01 %; каждый базовый пункт по каждому типу контрактов
имеет одну и ту же абсолютную стоимостную величину:
Ц
б п
=БП^Н ,
к
(6.51)
где Ц б . - стоимостная оценка базового пункта, руб.;
п
БП
базовый пункт (тик), Б П = 0,0001;
С - стандартный срок исполнения контракта (в месяцах);
к
Н
к
стандартный номинал контракта, руб.
Например, Ц
б м
= 0,0001 -^-1 000 000 = 25 руб.
Цена на фьючерс, базис которого составляет долгосрочная процент­
ная ставка, определяется по правилу: 100 - это величина процента, сложив­
шегося на рынке наличных сделок, масштаб цен в этом случае - 1/32 от ка­
ждых 100 единиц номинала. Формула расчета имеет следующий вид:
Например, Ц
2.
б м
=
(0,01-5 000 000) = 1562,5 руб.
Валютные фьючерсы - это фьючерсные контракты, базисом ко­
торых является иностранная валюта. Валютные фьючерсы приобретаются
на основе валютного курса. Цена фьючерсного контракта выражается в ко­
личестве долларов на единицу валюты. Цена базового пункта определяется
следующим образом:
Ц =С Н ,
6 п
3
(6.52)
к
где Цб - стоимость базового пункта (тика) в долларах С Ш А на еди­
п
ницу национальной валюты;
С
3
-
стандартное значение базового пункта,
установленное
биржей в долларах на единицу валюты.
3. Фьючерсы на фондовые индексы - это фьючерсные контракты,
основанные на показателях всесторонней оценки фондового рынка, подоб­
ных индексу "Standart & Poor's 500". Наиболее часто используемые в С Ш А
в качестве основы для фьючерсов индексы - индекс "Standart & Poor's
500", составной индекс Нью-Йоркской фондовой биржи, составной индекс
"Value Line".
Пример 6.4. Текущая цена акций автомобильной компании 5 100
руб. Игрок, рассчитывающий на понижение курса этих акций, реализует
брокеру, играющему на повышение, европейский опцион на покупку у не­
го ста акций по фиксированной цене 5 200 руб. В день исполнения опцио­
на курс акций составил 6 500 руб. Определить финансовый результат от
сделки покупателя опциона.
Решение: Стоимость опциона составит 20 000 руб. (100-200 ). Плата
за акции равна 520 000 (5 200-100) руб.
Общие затраты игрока: 520 000 + + 20 000 = 540 000 руб.
Выручка от продажи по новому курсу: 6 500-100 = 650 000 руб.
Чистый доход равен 110 000 (650 000 - 540 000) руб.
Лекция 7: М Е Т О Д Ы П О Г А Ш Е Н И Я Д О Л Г О В
Существует два основных правила погашения задолженности по час­
тям. Первый, который применяется в основном в операциях со сроком более
года, называют актуарным методом (Actuarial method). Актуарный метод
предполагает последовательное начисление процентов на фактические сум­
мы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процен­
тов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сум­
му начисленных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основ­
ной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисле­
ния процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж
меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не дела­
ются. Поступление приплюсовывается к следующему платежу. Для случая,
показанного на рис.15, получим следующие расчетные формулы для опре­
деления остатка задолженности (R ):
3
S =P{l + t i\
}
l
S =(S -Rjl
2
}
+ t i)
2
(7.1)
Задолженность на конец срока должна быть полностью погашена.
Таким образом,
(S -R )(l + t i)-R
2
2
3
3
=0
(7.2)
Рис.15. Контур сбалансированной финансовой операции
Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур.
Второй метод назван правилом торговца (Merchant's Rule). Он использу­
ется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Если иное не
оговорено, то при начислении процентов в обоих методах используются обык-
говенные проценты с приближенным числом дней (360/360). Иной подход пре­
дусматривается правилом торговца. Здесь возможны два варианта. Если срок
ссуды не превышает год, то сумма долга с процентами остается неизменной до
полного погашения. В свою очередь накапливаются частичные платежи с на­
численными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть
равен разности этих сумм. В случае, когда срок превышает год, указанные выше
расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы
задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных плате­
жей. Остаток погашается в следующем году.
В общем случае можно воспользоваться следующей формулой:
т
Р(\ т)=^,Ып-п,))
(7.3)
+
Контур операции представлен на рис.16.
S
s
i
?
R
t
Рис.16. Контур финансовой операции
Заметим, что для одних и тех же данных актуарный метод и правило
торговца в общем случае дают разные результаты. Остаток задолженности
по первому методу немного выше, чем по второму.
Пример
7.1.
Имеется
обязательство
погасить
за
1,5
года
(с
12.03.1999 по 12.09.2000 г.) долг в сумме 15 млн. руб. Кредитор согласен
получать частичные платежи. Проценты начисляются по ставке 20% годо­
вых. Частичные поступления характеризуются следующими данными (в
тыс. руб.):
12.06 1999 г . - 5 0 0 ;
12.06.2000 г . - 5 0 0 0 ;
30.06.2000 г. - 8000;
12.09.2000 г . - ?
Решение представим в следующей последовательной записи:
12.03.1999
долг
15 000
12.06.1999
долг с процентами
15750
поступление
-500
(Поскольку поступившая сумма меньше начисленных
процентов
(750), то она присоединяется к следующему поступлению.)
12.06.2000
долг с процентами
18750
поступления 500+5000
-5 500
13 250
Остаток долга
30.06.2000
долг с процентами
13 382,5
поступление 8000
-8 000
5 382,5
Остаток долга
12.09.2000
5 597,8
долг с процентами
Контур данной операции представлен на рис.17.
18.75
5
5
? L^R, 13,3825
5.5978
12.03.99
12.09.2000
Рис.17. Контур финансовой операции
Пример 7.2. Обязательство (1,5 млн. руб.), датированное 10.08.1999
г., должно быть погашено 10.06.2000 г. Ссуда выдана под 20% годовых. В
счет погашения долга 10.12.1999 г. поступило 800 млн. руб. Остаток долга
на конец срока согласно (7.1) составит:
0 = 1,5
1+ Н , 2
12
0
•0,8 1 + —0,2
12
0,87 млн.руб.
В спою очередь, при применении актуарного метода получим:
Q=
^1,5 + ^-0,2^-0,8 [1 + ^0^
= 0^
млн.руб.
Л ю б о й вид долгосрочного долга будем называть займом или дол­
гом. Банковский кредит - это выдача денежных средств в собственность
на условиях срочности, возвратности, платности, обеспеченности, д и ф ­
ференцированное™ и целенаправленности.
Перечислим виды займов:
- займы без обязательного погашения.
Взятая в долг сумма не возвращается, но проценты по займу выпла­
чиваются неограниченное долгое время. Такой вид займа описывает меха­
низм вечной ренты. Величина годового платежа:
R = Ai
(7.4)
где А - с у м м а современных стоимостей члена потока плетежа,
г - процентная ставка.
- займы с обязательным погашением в один срок.
Основная сумма долга выплачивается разовым платежом. Проценты
кредитору могут выплачиваться разными способами.
- займы с погашением в несколько сроков.
Из п е р е ч и с л е н н ы х з а й м о в р а с с м о т р и м второй. Если по у с л о в и я м
з а й м а д о л ж н и к обязуется вернуть с у м м у D в конце срока в виде р а з о в о ­
го платежа, то он д о л ж е н п р е д п р и н я т ь м е р ы для о б е с п е ч е н и я этого.
П р и з н а ч и т е л ь н о м долге о б ы ч н о создается п о г а с и т е л ь н ы й фонд. Е ж е ­
годно в п о г а с и т е л ь н ы й фонд вносится с у м м а R, на к о т о р у ю н а ч и с л я ю т ­
ся п р о ц е н т ы по ставке i . О д н о в р е м е н н о п р о и с х о д и т выплата п р о ц е н т о в
за долг по ставке g (простые п р о ц е н т ы ) . В э т о м случае срочная уплата:
Y=Dg+R
(7.5)
Поскольку фонд должен быть накоплен за п лет, соответствующие
взносы образуют постоянную ренту с параметрами R, n, i . Допустим, что
речь идет о ренте постнумерандо. Тогда срочная уплата:
(7.6)
(l + i)" - 1
где коэффициент наращения аннуитета s
=
in
:
з
то есть в
D
фонд систематически вносится сумма, равная R
(7.7)
Если условия контракт предусматривают присоединение процентов к
сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:
Y=
D(l + g)"
(7.8)
Пример 73. Долг в сумме 600 тыс. руб. выдан на 4 года под 6 % годовых.
Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем сред­
ства начисляются проценты по ставке 8 %. Разработать план погашения долга.
Пусть фонд формируется п=4 года, взносы производятся в конце года
равными суммами: D=600 тыс. руб., g=6 %, i=8 %. Находим срочную уплату:
7 = 600-0 06 ^
= 600-0 06
+
6
+
0
0
4.506
169.1525.
4
=
(1 + 0 . 0 8 ) - 1
Л
'
8%,4
0.08
Годовой платеж (4) в погасительный фонд R= 133.1525 тыс.руб.
План погашения долга представлен в табл.9.
Таблица 9
год
накопления в п о ­
взнос в погаси­
гасительном
тельный фонд
п р о ц е н т ы по кре­
диту
фонде
срочная уплата
1
133,1524827
167,7337803
4
169,1524827
2
133,1524827
155,3090558
4
169,1524827
3
133,1524827
143,8046813
4
169,1524827
4
133,1524827
133,1524827
4
169,1524827
С у м м а фонда
600
Немного изменим условие. Пусть ежегодно в погасительный фонд
вносится сумма R, на которую начисляются проценты i . Одновременно
происходит выплата процентов за долг по ставке g (сложные проценты). В
этом случае срочная уплата:
l
Y =D(l + g} g
t
+ R,
t = \2,...,n
(7.9)
Величина
l
D(l + g)' g = It -
процентный платеж, вычисленный по
сложным процентам, R - ежегодные взносы в погасительный фонд.
Пример 7.4. Фирма получила кредит 1 млн. руб. на 5 лет под 13%
годовых (сложные проценты) в банке А. Кредитный контракт предусмат­
ривает погашение долга разовым платежом. Одновременно с получением
кредита фирма начала создавать погасительный фонд, для чего открыла
счет в банке Б. На размещенные средства банк начисляет 15% годовых.
Определить ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при усло­
вии, что в погасительный фонд ежегодно равные суммы.
Решение: Параметры финансовой операции: D=T000 тыс. руб., g=13
%, i=15 %, п=5 лет. Взносы (4) в погасительный фонд составят:
R =
1000
1000
6,742
(l + O , ^ )
= 148,32.
'15%,;
3
-1
6,742
ОД 5
Накопления на конец года в погасительном фонде на первый год S1=R1.
План погашения кредита представлен в табл.10.
Таблица 10
выплата про­
год
центных плате­
жей
взнос в погаси­
тельный фонд
накопления в п о ­
гасительном
срочная уплата
фонде
1
130,0000
148,3156
148,3156
278,3156
2
146,9000
148,3156
318,8784
295,2156
3
165,9970
148,3156
515,0258
314,3126
4
187,5766
148,3156
740,5952
335,8922
5
211,9616
148,3156
1000,0000
360,2771
В рассматриваемом примере фирма-заемщик с выгодой для себя реали­
зовала кредитную операцию, т.к. она на взносы в погасительный фонд полу­
чила более высокие проценты, чем платила по займу (i>g). В результате общая
сумма расходов по погашению долга составила 1584,0129 тыс. руб., что значи­
тельно меньше, чем если бы фирма погасила долг разовым платежом:
5
AD = 1000 • 1,13 -1584,0129 = 258,4222 ТЫС. руб.
Создание погасительного фонда выгодно даже в том случае, если
i<g. Предположим, что процентная ставка на взносы в погасительный фонд
i=9%, остальные параметры финансовой операции такие же, тогда расходы
по амортизации займа составят 1677,8975 тыс. руб., отсюда:
5
AD = 1000-1,13 -1677,8975 = 164,5377 ТЫС. руб.
Рассмотрим третий случай, когда долг погашается в несколько сроков.
В кредитном контракте может быть оговорено условие - произво­
дить погашение основного долга равными ежегодными платежами. В этом
случае размеры платежей по основному долгу будут равны.
Остаток основного долга D в начале к-го расчетного периода опре­
k
деляется как:
D =D-R(k-\).
(7.10)
k
Величина срочной уплаты в каждом расчетном периоде:
Y =~
k
п
+
D g.
(7.11)
k
Пример 7.5. Кредит размером 750 тыс. руб. выдан на 5 лет под 13 %
годовых. По условиям контракта погашение основного долга должно про­
изводиться равными платежами, начисление процентов - в конце года. Со­
ставить план погашения кредита.
R=750/5=T50 тыс. руб. - годовая уплата основного долга. Остаток
основного долга рассчитаем по формуле (7.10), годовые срочные уплаты
рассчитаем по формуле (7.11).
План погашения долга представлен в табл. 11.
Таблица 11
процентный пла­
годовые платежи
годовая срочная
теж
по долгу
уплата
750
97,5
150
247,5
2
600
78,0
150
228,0
3
450
58,5
150
208,5
4
300
39,0
150
189,0
5
150
19,5
150
169,5
292,5
750
1042,5
год
долг
1
Итого
Этот метод погашения займа называется методом прямолинейного
возвращения капитала.
Погашение долга равными срочными уплатами. Первый этап раз­
работки плана погашения - определение размера срочной уплаты. Далее
эта величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на по­
гашение долга. После этого легко найти остаток задолженности на любой
промежуток времени.
Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с
параметрами D, R=Y, g. Приравняв сумму долга к современной стоимости
этой ренты, находим размер срочной уплаты:
7 =— ,
a
,n
S
a
g п
(7.12)
- коэффициент приведения аннуитета, вычисляется как:
(7.13)
а,
g
Аннуитет Y содержит выплату основного долга и процентный пла­
теж на остаток займа. Остаток долга уменьшается с каждой выплатой. По­
этому можно сделать вывод, что процентные платежи уменьшаются, а вы­
платы основного долга увеличиваются из периода в период.
Рассмотрим взаимосвязь между двумя выплатами займа. Если взять
два следующих друг за другом расчетных периода, dk и dk+1 - выплаты кго и (к+1)-го периодов, то можно записать:
Y =D
k l g
+
d;
k
Y = (D -d )g
kl
+d -
k
k+l
откуда dk+l=dk(l+g). Следовательно, выплаты образуют геометри­
ческую прогрессию и (к+1)-я выплата равна
k
d =d {l + g)
(7.15)
Таким образом, если заем погашается одинаковыми аннуитетами,
k+l
x
выплаты растут в геометрической прогрессии.
Платежи
по погашению
долга
образуют
ряд: d l , dl(l+g),...,
dl(l+g)n-l.
Используя этот ряд, сумма погашенной задолженности на конец года t:
i
W = td (\
t
l
(7.16)
+ gf=d -a
l
ga
к=0
Пример 7.6. Кредит размером 300 тыс. руб. выдан на 5 лет под 10%
годовых. Погашение основного долга производится равными срочными
уплатами, т.е. рентой с параметрами: Y , n=5, g=10%.
1
Решение: a, , = ~ (
iW
1+
0
1
>)
= з 791.
По формуле (7.12) размер срочной выплаты: Y =
План погашения долга представлен в табл.12.
= 79,139.
Таблица 12
остаток долга
год
процентный пла­
теж
годовой расход
годовая срочная
по п о г а ш е н и ю
уплата
долга
1
300,00000
30,00000
49,13924
79,13924
2
250,86076
25,08608
54,05317
79,13924
3
196,80759
19,68076
59,45849
79,13924
4
137,34910
13,73491
65,40433
79,13924
5
71,94477
7,19448
71,94477
79,13924
Итого
956,96221
300,00000
395,69622
Ипотечные ссуды. Ссуды под залог недвижимости, или ипотеки, полу­
чили широкое распространение в странах с развитой экономикой. В такой
сделке владелец имущества получает ссуду у залогодержателя. В случае, если
владелец имущества отказывается от погашения ссуды или не полностью по­
гашает задолженность, то залогодержатель имеет право возместить ущерб из
стоимости заложенного имущества. Существует несколько ипотечных ссуд,
которые различаются методами погашения задолженности.
Рассмотрим стандартный вид ипотеки. Заемщик получает от залого­
держателя (кредитора) некоторую сумму под залог недвижимости. Далее
он погашает долг вместе с процентами равными, обычно ежемесячными,
взносам. Взносы могут быть постнумерандо или пренумерандо. В договоре
обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, редко - годовая
номинальная.
В осуществлении ипотеки при покупке (строительстве) объекта уча­
ствуют три агента: продавец, покупатель (должник), кредитор (рис.18):
Имущество 120
ПРОДАВЕЦ
Оплата
100 + 2 0
Ссуда 100
КРЕДИТОР
Залог 100
ПОКУПАТЕЛЬ
Погашение долга
Рис.18. Взаимодействие сторон при ипотеке.
Продавец получает от покупателя за некоторое имущество его стои­
мость, равную 120 ден. ед. Д л я того, чтобы расплатиться, покупатель п о ­
лучает ссуду 100 ден. ед. и добавляет собственные средства 20 ден. ед. За­
дача заключается в определении ежемесячных погасительных платежей R
и остатка задолженности на момент очередного ее погашения вплоть до
полного погашения долга.
Пусть D - общая сумма ипотечного кредита, п - срок ипотеки в го­
дах, погасительные платежи R вносятся ежемесячно, общее число плате­
жей N=12n, i - месячная процентная ставка.
Размер одной срочной уплаты для ренты постнумерандо:
R=—
(7.17)
В месяце с номером t сумма, идущая на погашение задолженности, составит:
d =d _fy + i) = dfy + i)
t
d R-Di
t
(7.18)
l=
Сумма погашения задолженности за t месяцев:
W =d, + d +... + d = d^(\ +
t
2
=d •s
t
l
(7.19)
jt
k=l
Остаток долга на начало (t+l)-ro месяца находится следующим образом:
D = D-W
t
t
=D-d -s
1
u
=D-(R-Di)•
s.
u
(
y
щ
Пример 7.7. Под залог недвижимости выдана на 10 лет ссуда в раз­
мере 3 млн. руб. Погашение ежемесячное, постнумерандо, на долг начис­
ляются проценты по номинальной ставке 13%.
N=120,1=0.010833. Для этих условий ежемесячные расходы должни­
ка:
„
D
3 000000
г
R=
=
= 44793,22 руб.
a
66,974
V
J
iN
Проценты за первый месяц: 3000000-0,010833=32500 руб. Н а пога­
шение долга (14) остается dl=44793.22-32500=12293.22 руб.
Результаты вычислений по формулам (7.17-7.20) приведен в табли­
цах приложения 1 (табл. 1-3).
Погашение потребительского кредита. Потребительский кредит
предоставляется населению для покупки предметов личного потребления.
Такой кредит может быть предоставлен с отсрочкой платежа и последова­
тельным разовым погашением. П р и погашения кредита в рассрочку, про-
центы начисляются на всю сумму кредита, а сумма задолженности равно­
мерно погашается на протяжении всего срока.
Рассмотрим погашение потребительского кредита равными выпла­
тами.
Наращенная сумма долга определяется по формуле:
S = P(l + in),
(7.21)
а сумма разового погасительного платежа q будет зависеть от числа по­
гасительных платежей в году т . Разовый погасительный платеж выглядит:
д=—
(7.22)
пт
Так как проценты начисляются на всю сумму первоначального долга
в течении всего срока погашения, то, несмотря на уменьшение величины
долга с каждым платежом, фактически процентная ставка оказывается зна­
чительно выше ставки, предусмотренной при заключении сделки.
Пример 7.8. Телевизор ценой 10 тыс. руб. продается в кредит на год
под 10% годовых. Погасительные платежи вносятся через каждые 3 меся­
ца. Определить размер разового погасительного платежа.
Сумма, подлежащая погашению (7.21):
S = 10(l +1 • ОД) = 11 тыс. руб.
Разовый погасительный платеж (7.22) следовательно:
а = — = 2,75тыс. руб.
F
1-4
Рассмотрим погашение потребительского
J
кредита
изменяющимися
суммами.
В таких видах кредитов возникает задача определения суммы на по­
гашение основного долга и суммы процентных платежей. Если сумма кре­
дита выдана на год, погашение производится ежемесячными платежами, то
можно воспользоваться «правилом 78». Это правило получила такое на­
звание
от
того,
что
сумма
порядковых
номеров
месяцев
78
(1+2+.. .+12=78). В соответствии с этим правилом, уплата процентов при
первом платеже составит ^
от общей начисленной суммы, а оставшаяся
часть пойдет на уплату основного долга. При втором платеже на оплату
11
-
„
процентов пойдет — общей начисленной суммы и т.д.
Пример 7.9. Кредит в сумме 30 тыс. руб. выдан на 6 месяцев под
простые проценты 15% годовых. Погашение производится ежемесячными
платежами. Составить план погашения задолженности.
Наращенная сумма в конце периода составит:
S = 30(1 + 0,15 • 0,5) = 32,25 тыс. руб.
Сумма начисленных процентов:
/ = Pi = 30 • 0,15 • 0,5 = 2,25
n
ТЫС.
руб.
Ежемесячные выплаты (7.22) составят:
32250
г
q = — - — = 5375 руб.
Сумма порядковых номеров месяцев 1+2+3+4+5+6=21. Следователь­
но, из первого платежа в счет уплаты процентов идет
= 285,71 руб. общей
суммы начисленных процентов. Сумма, идущая на погашение основного
долга, составляет: 5375-285,71=5089,29 руб.
Расчетные данные приведены в табл.13.
Таблица 13
доля пога­
остаток основного
сумма п о г а ш е н и я
сумма п о г а ш е н и я ос­
процентных платежей
новного долга
6/21
285,7142857
5089,285714
30000
5/21
238,10
5136,904762
24910,71429
4/21
190,4761905
5184,52381
19773,80952
3/21
142,8571429
5232,142857
14589,28571
2/21
95,23809524
5279,761905
9357,142857
1/21
47,61904762
5327,380952
4077,380952
итого
1000
31250
шаемых
процентов
долга на начало м е ­
сяца
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение
1
Таблица 1
месяц
1
остаток долга
3000000
взнос
44793,22
проценты
32499
погашение долга
12294,22199
2
2987705,778
44793,22
32365,81669
12427,4053
3
2975278,373
44793,22
32231,19061
12562,03138
4
5
2962716,341
2950018,225
44793,22
44793,22
32095,10613
31957,54744
12698,11587
12835,67456
6
2937182,551
44793,22
31818,49857
12974,72342
7
2924207,827
44793,22
31677,9434
13115,2786
8
9
2911092,549
2897835,192
44793,22
44793,22
31535,86558
31392,24864
13257,35641
13400,97335
10
2884434,219
44793,22
31247,0759
13546,1461
11
12
2870888,073
2857195,182
44793,22
44793,22
31100,3305
30951,9954
13692,8915
13841,22659
13
2843353,955
44793,22
30802,05339
13991,1686
14
2829362,786
44793,22
30650,48706
14142,73493
15
16
2815220,051
2800924,108
44793,22
44793,22
30497,27882
30342,41086
14295,94318
14450,81113
17
2786473,297
44793,22
30185,86523
14607,35677
18
19
2771865,94
2757100,342
44793,22
44793,22
30027,62373
29867,66801
14765,59826
14925,55399
20
2742174,788
44793,22
29705,97948
15087,24251
21
22
2727087,546
2711836,863
44793,22
44793,22
29542,53938
29377,32874
15250,68261
15415,89326
23
2696420,97
44793,22
29210,32836
15582,89363
24
2680838,076
44793,22
29041,51888
15751,70312
25
26
2665086,373
2649164,032
44793,22
44793,22
28870,88068
28698,39395
15922,34131
16094,82804
27
2633069,204
44793,22
28524,03868
16269,18331
28
29
2616800,02
2600354,593
44793,22
44793,22
28347,79462
28169,64131
16445,42737
16623,58069
30
2583731,012
44793,22
27989,55806
16803,66394
31
2566927,348
44793,22
27807,52396
16985,69803
32
33
2549941,65
2532771,946
44793,22
44793,22
27623,5179
27437,51849
17169,7041
17355,7035
34
2515416,243
44793,22
27249,50416
17543,71784
35
36
2497872,525
2480138,756
44793,22
44793,22
27059,45306
26867,34314
17733,76893
17925,87885
37
2462212,877
44793,22
26673,1521
18120,0699
38
2444092,807
44793,22
26476,85738
18316,36461
39
40
2425776,443
2407261,657
44793,22
44793,22
26278,4362
26077,86553
18514,78579
18715,35647
Таблица 2
41
2388546,3
44793,22
25875,12207
18918,09992
42
2369628,2
44793,22
25670,18229
19123,0397
43
2350505,161
44793,22
25463,02241
19330,19959
44
2331174,961
44793,22
25253,61835
19539,60364
45
2311635,357
44793,22
25041,94583
19751,27617
46
2291884,081
44793,22
24827,98025
19965,24174
47
2271918,84
44793,22
24611,69679
20181,5252
48
2251737,314
44793,22
24393,07033
20400,15167
49
2231337,163
44793,22
24172,07548
20621,14651
50
2210716,016
44793,22
23948,6866
20844,53539
51
2189871,481
44793,22
23722,87775
21070,34424
52
2168801,137
44793,22
23494,62271
21298,59928
53
2147502,537
44793,22
23263,89499
21529,32701
54
2125973,21
44793,22
23030,66779
21762,55421
55
2104210,656
44793,22
22794,91404
21998,30796
56
2082212,348
44793,22
22556,60637
22236,61563
57
2059975,732
44793,22
22315,71711
22477,50488
58
2037498,228
44793,22
22072,2183
22721,00369
59
2014777,224
44793,22
21826,08167
22967,14033
60
1991810,084
44793,22
21577,27863
23215,94336
61
1968594,14
44793,22
21325,78032
23467,44167
62
1945126,699
44793,22
21071,55752
23721,66447
63
1921405,034
44793,22
20814,58073
23978,64126
64
1897426,393
44793,22
20554,82011
24238,40188
65
1873187,991
44793,22
20292,24551
24500,97649
66
1848687,014
44793,22
20026,82643
24766,39557
67
1823920,619
44793,22
19758,53206
25034,68993
68
1798885,929
44793,22
19487,33127
25305,89073
69
1773580,038
44793,22
19213,19255
25580,02944
70
1748000,009
44793,22
18936,08409
25857,1379
71
1722142,871
44793,22
18655,97372
26137,24827
72
1696005,623
44793,22
18372,82891
26420,39308
73
1669585,229
44793,22
18086,61679
26706,6052
74
1642878,624
44793,22
17797,30414
26995,91786
75
1615882,706
44793,22
17504,85736
27288,36463
76
1588594,342
44793,22
17209,2425
27583,97949
77
1561010,362
44793,22
16910,42525
27882,79674
78
1533127,566
44793,22
16608,37092
28184,85108
79
1504942,714
44793,22
16303,04443
28490,17757
80
1476452,537
44793,22
15994,41033
28798,81166
Таблица 3
81
1447653,725
44793,22
15682,43281
29110,78919
82
1418542,936
44793,22
15367,07563
29426,14637
83
1389116,79
44793,22
15048,30218
29744,91981
84
1359371,87
44793,22
14726,07547
30067,14653
85
1329304,723
44793,22
14400,35807
30392,86392
86
1298911,859
44793,22
14071,11217
30722,10982
87
1268189,75
44793,22
13738,29956
31054,92244
88
1237134,827
44793,22
13401,88158
31391,34041
89
1205743,487
44793,22
13061,81919
31731,4028
90
1174012,084
44793,22
12718,07291
32075,14909
91
1141936,935
44793,22
12370,60282
32422,61918
92
1109514,316
44793,22
12019,36858
32773,85341
93
1076740,462
44793,22
11664,32943
33128,89256
94
1043611,57
44793,22
11305,44414
33487,77786
95
1010123,792
44793,22
10942,67104
33850,55096
96
976273,2409
44793,22
10575,96802
34217,25397
97
942055,987
44793,22
10205,29251
34587,92949
98
907468,0575
44793,22
9830,601467
34962,62053
99
872505,4369
44793,22
9451,851398
35341,37059
100
837164,0664
44793,22
9068,998331
35724,22366
101
801439,8427
44793,22
8681,997816
36111,22418
102
765328,6185
44793,22
8290,804924
36502,41707
103
728826,2014
44793,22
7895,37424
36897,84775
104
691928,3537
44793,22
7495,659856
37297,56214
105
654630,7916
44793,22
7091,615365
37701,60663
106
616929,1849
44793,22
6683,19386
38110,02813
107
578819,1568
44793,22
6270,347926
38522,87407
108
540296,2827
44793,22
5853,029631
38940,19236
109
501356,0904
44793,22
5431,190527
39362,03147
ПО
461994,0589
44793,22
5004,78164
39788,44035
111
422205,6185
44793,22
4573,753466
40219,46853
112
381986,15
44793,22
4138,055963
40655,16603
113
341330,984
44793,22
3697,638549
41095,58344
114
300235,4005
44793,22
3252,450094
41540,7719
115
258694,6286
44793,22
2802,438912
41990,78308
116
216703,8456
44793,22
2347,552759
42445,66923
117
174258,1763
44793,22
1887,738824
42905,48317
118
131352,6932
44793,22
1422,943725
43370,27827
119
87982,41489
44793,22
953,1135005
43840,10849
120
44142,30639
44793,22
478,1936052
44315,02839
5375187
2375013,917
3000172,722
Итого
Приложение
2
Порядковые номера дней в году (для определения количества дней пользо­
вания ссудой для невисокосного года)
День
Янв.
Февр.
Март
Апр.
Май
Июнь
Июль
Авг.
Сент.
Окт.
Нояб.
Дек.
1
1
32
60
91
121
152
182
213
244
274
305
335
2
2
33
61
92
122
153
183
214
245
275
306
336
3
3
34
62
93
123
154
184
215
246
276
307
337
4
4
35
63
94
124
155
185
216
247
277
308
338
5
5
36
64
95
125
156
186
217
248
278
309
339
6
6
37
65
96
126
157
187
218
249
279
310
340
7
7
38
66
97
127
158
188
219
250
280
311
341
8
8
39
67
98
128
159
189
220
251
281
312
342
9
9
40
68
99
129
160
190
221
252
282
313
343
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
20
20
51
79
ПО
140
171
201
232
263
293
324
354
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
26
26
57
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
27
27
58
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
28
28
59
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
29
29
88
119
149
180
210
241
272
302
333
363
30
30
89
120
150
181
211
242
273
303
334
364
31
31
-
90
-
151
-
212
243
-
304
-
365
месяца
Приложение
3
Порядковые номера дней в году (для определения количества дней пользо­
вания ссудой для високосного года)
День
Янв.
Февр.
Март
Апр.
Май
Июнь
Июль
Авг.
Сент.
Окт.
Нояб.
Дек.
1
1
32
61
92
122
153
183
214
245
275
306
336
2
2
33
62
93
123
154
184
215
246
276
307
337
3
3
34
63
94
124
155
185
216
247
277
308
338
4
4
35
64
95
125
156
186
217
248
278
309
339
5
5
36
65
96
126
157
187
218
249
279
310
340
6
6
37
66
97
127
158
188
219
250
280
311
341
7
7
38
67
98
128
159
189
220
251
281
312
342
8
8
39
68
99
129
160
190
221
252
282
313
343
9
9
40
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
10
10
41
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
11
11
42
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
12
12
43
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
13
13
44
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
14
14
45
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
15
15
46
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
16
16
47
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
17
17
48
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
18
18
49
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
19
19
50
79
ПО
140
171
201
232
263
293
324
354
20
20
51
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
21
21
52
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
22
22
53
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
23
23
54
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
24
24
55
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
25
25
56
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
26
26
57
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
27
27
58
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
28
28
59
88
119
149
180
210
241
272
302
333
363
29
29
60
89
120
150
181
211
242
273
303
334
364
30
30
90
121
151
182
212
243
274
304
335
365
31
31
-
91
-
152
-
213
244
-
305
-
366
месяца
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Е.М.Четыркин, Финансовая математика, М , Дело, 2005.
Четыркин, Е.М. Финансово-экономические расчеты: учеб. пособие
[Текст] / Васильева Н.Е. - М.: Финансы и статистика, 1990.-319с.
Б.Т.Кузнецов, Финансовая математика, М., Экзамен, 2005.
В.В.Ковалёв, Сборник задач по финансовому анализу, М., Финансы
и статистика, 1997.
Ковалев В.В. Финансовый анализ. М., Финансы и статистика, 1996.
Ковалев, В.В. Курс финансовых вычислений: учеб. пособие [Текст] /
Уланов В.А. - М.: Финансы и статистика, 1994 - 2 7 2 с .
В.Е.
Черкасов,
Практическое
руководство
по
финансово-
экономическим расчётам, М., Метаинформ, 1995.
Е. Кочович, Финансовая математика. Теория и практика финансовобанковских расчётов, М., Финансы и статистика, 1994.
В.И. Малыхин, Финансовая математика, М., Юнити, 2002.
П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов, Финансовая математика, М., Физматлит, 2005.
Н.И. Петрик, Н.Ю. Жидкова, Финансовая математика (методические
указания к выполнению контрольной работы), Архангельск, 2004.
К.Л. Самаров, Финансовая математика практический курс, М, Альфа-М, И Н Ф Р А - М , 2005.
Н.И. Петрик, Е.В. Ширшов, А.Г. Тутыгин, Г.В.Серова, Финансовая
математика, Архангельск, 2003.
Кочетыгов, А.А. Финансовая математика. - Ростов-на-Дону: Феникс,
2007. - 480 с.
Финансовая математика: Математическое моделирование финансо­
вых операций: Учебное пособие / Под общ. ред. В А . Половникова и
А.И.Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2009. - 360 с.
Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов
вузов / Под общ. Ред. И.Н. Дробыцкого. - М.: Экзамен, 2004. - 800с.
Мелкумов Я.С.
Финансовые вычисления. Теория и практика. М.,
И Н Ф Р А - М , 2002.
Сидорова О.Л. Финансово-экономические расчеты. Методические
указания. Тюмень, 1997.
Башарин,
Г.П. Начала
финансовой
математики:
учеб.
пособие
[Текст] - М.: И Н Ф Р А - М , 1997. - 352 с.
Ширяев, В.И. Финансовая математика: потоки платежей, производ­
ные финансовые инструменты. - М.: Л И Б Р О К О М , 2009. - 232 с.
Прыкин Б.В., Прыкин Т.Б., Эриашфили Н.Д., Захаров СВ. Микро­
экономика в таблицах и графиках /Учебник для вузов / Под ред. проф. Б.В.
Прыкина. М.: Финансы, Ю Н И Т И , 1999
Лазарова Л.Б. Развитие ипотечного жилищного кредитования в ре­
гионах // Финансы, 2005, № 6 - с 22-25.
Иванов
В.В. Ипотечное
кредитование.
-
М.:
Информационно-
внедренический центр "Маркетинг", 2001. - с. 273.
Вечканов Г.С., Вечканова Г.Р. Современная экономическая энцикло­
педия - СПб., Издательство "Лань", 2002. - 880 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
3
Лекция 1: Простые проценты
4
Лекция 2: Сложные проценты
16
Лекция 3: Эквивалентность процентных ставок
27
Лекция 4: Потоки платежей. Постоянные ренты
38
Лекция 5: Потоки платежей. Переменные ренты
53
Лекция 6: Ценные бумаги
62
Лекция 7: Методы погашения долгов
85
Приложения
97
Список литературы
Подписано в печать 16.05.2011. Формат 70x84/16.
Усл. печ. л. 7,09. Т и р а ж 500 экз. Заказ № 115.
Отпечатано в п о л н о м соответствии с
предоставленным оригинал-макетом
в Северном (Арктическом) федеральном университете
163002, г. Архангельск, наб. Северной Д в и н ы , 17
102