Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом

Методическая разработка учебного занятия
Предмет: Математика
Разработала преподаватель первой категории ГБОУ СПО (ССУЗ) «Южно-уральский
многопрофильный колледж»: Полоскова Наталья Анатольевна
Группа: ЗО-101, специальность Земельно - имущественные отношения, 1 курс
Тема урока: «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом».
Знать:

аксиомы стереометрии;

следствия из аксиом;
Уметь:

изображать основные объёмные тела, выполнять чертежи по условиям
задач;

применять аксиомы стереометрии и следствия из аксиом при решении
практических задач.
Цели урока:
Обучающие:

ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;

изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей
в пространстве;

ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;

научить применять аксиомы стереометрии при решении задач;

научить применять следствия из аксиом при решении задач;

организовать самостоятельную работу обучающихся по выполнению
самостоятельной работы по карточкам;
Развивающие:

способствовать развитию умения принимать самостоятельные решения;

способствовать развитию познавательной
активной деятельности
обучающихся;

развивать умение сравнивать, обобщать, анализировать;

развивать у учащихся пространственное мышление при решении задач;

развивать коммуникативный компонент у обучающихся;

объективность в оценке и самооценке результатов работы;
Воспитательные:

воспитывать чувство исполнительности и аккуратности;

воспитывать умение управлять эмоциями;

воспитывать у учащихся коммуникабельные качества;

уважительное отношение к мнению партнера.
Тип занятия: Урок изучения нового материала по теме, выработке умений и навыков
при решении практических задач.
Методическое оснащение и оборудование: Персональный компьютер, презентация
на съёмном носителе, проектор, доска, карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Общие компетенции:

ОК1- Понимать сущность и социальную значимость своей будущей
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес;

ОК2-Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и
способов ее достижения, определенных руководителем;

ОК3- Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и
итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести
ответственность за результаты своей работы;

ОК 5- Использовать информационно-коммуникативные технологии в
профессиональной деятельности;

ОК6- Работать в команде, эффективно общаться с коллегами,
руководством.
Структура занятия:
1.Организация начала занятия – 1 мин.
 Подготовка обучающихся к работе на занятии, полная готовность
группы и оборудования,
 Быстрое включение обучающихся в деловой ритм.
2. Подготовка к основному этапу занятия -3 мин.
 Обеспечение мотивации и принятия обучающимися цели учебно познавательной деятельности,
 Актуализация опорных знаний и умений.
3. Изложение нового материала -20 мин.

Формирование целостной системы ведущих знаний по теме, курсу.
4. Закрепление нового материала- 35мин.(21 мин+14мин)

Активная продуктивная деятельность обучающихся по включению
части в целое, классификации и систематизации.
5. Контроль и проверка знаний -25 мин.

Выявление качества
и уровня овладения знаниями и способами
действий.

Получение достоверной информации о достижении всеми обучающими
планируемых результатов обучения.
6. Информация о домашнем задании – 1 мин.
7. Подведение итогов занятия -5 мин.

Дать анализ и оценку успешности достижения цели.

Адекватность оценки обучающегося оценки преподавателя.

Получение обучающимися информации о реальных результатах
обучения.
Литература:
Основная:
1.
Алтынов П.И. Тесты. Геометрия 10-11 классы. Учебно-методическое
пособие - М.: Дрофа 2002г.
2.
Богомолов, Н. В. Математика для ссузов / .В. Богомолов, П.И.
Самойленко- 5-е изд., стереотип..-М.: Дрофа, 2008. – 395,[5] с.
3.
Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие
для средних спец. Учеб. заведений/ Н.В. Богомолов.- 5-е изд.стереотип. - М.:
Высш.шк., 2007.-495 с.
4.
Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения. М.:
МЦНМО, 2006.-160 с.
Дополнительная:
1.
Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках.-2- изд.-М.: Наука
1985
2.
Интернетресурс
«Открытая
математика.
Стереометрия».www.college.ru.
Методы: Словесный, объяснительно-иллюстративный, индивидуальная работа с
элементами взаимопроверки.
Ход урока.
Элементы
внешней
структуры урока
Цель этапа
Деятельность преподавателя
Деятельность
обучающегося
1.Организ
1.1

Приветствие учащихся.
Усаживаются за
ация
начала Организация
столы.
занятия
обучающихся
к
Ознакомление со структурой занятия
Слушают.
работе на занятии
Мы начинаем изучать новый раздел геометрии,
1.2 Целевая который называется «Стереометрия». Тема нашего
установка
сегодняшнего урока «Предмет стереометрии. Аксиомы
стереометрии. Следствия из аксиом». Включение слайда
1.3 Быстрое презентации
включение
(Слайд1).
Слушают
и
обучающихся
в
Мы познакомимся с новыми аксиомами и вспомним записывают
тему
деловой ритм
уже ранее изученные. В конце урока, чтобы проверить, как урока.
вы усвоили новый материал, проведем самостоятельную
работу.
Методы:
Словесный,
объяснительно-иллюстративный,
Форма: фронтальная
индивидуальная работа, самостоятельная работа.
Средства: АРМ, рабочие тетради
Методические приемы: Беседа, ЦОР
2.
1.1
Начиная с 7 класса, вы изучаете курс геометрии.
Слушают,
Подготовка
к Актуализация
Слайд 2. Вопросы учащимся:
отвечают
на
основному этапу опорных знаний и
- Что такое геометрия? (Геометрия – наука о поставленные
занятия
опыта
свойствах геометрических фигур)
преподавателем
обучающихся
- Что такое планиметрия? ( Планиметрия – раздел вопросы
1.2
геометрии, в котором изучаются свойства фигур на
Обеспечение
плоскости)
мотивации
и
- Какие основные понятия планиметрии вы знаете?
принятия
(точка, прямая)
обучающимися

Координация
деятельности
цели
учебно
обучающихся
познавательной
деятельности,
Результат,
формируемые
ОК
Готовность
группы и оборудования,
включение
обучающихся в деловой
ритм
ОК2
Мотивированы
на
учебнопознавательную
деятельность
и
актуализацию знаний и
умений.
ОК1
актуализация
опорных знаний и
умений.
Методы: Словесный, объяснительно-иллюстративный
Форма: фронтальная, индивидуальная
Методические приемы: Беседа, ЦОР
Средства: АРМ, рабочие тетради
3.
3.1Восприят
Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела
Учащиеся
Изложение
ие и первичное геометрии – стереометрии.
слушают
и
нового
осмысление
Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в записывают ,работают
материала
материала,
котором изучаются свойства фигур в пространстве.
в тетрадях
формирование
Слайд 4.
(систематизация)
Вы можете ознакомиться с историческими
новых знаний
сведениями, которые подготовили ваши одногруппники.
Слайд 5. Основные понятия пространства: точка,
прямая, плоскость.
Представление
о
плоскости
дает
гладкая
поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость,
как геометрическую фигуру, нужно представлять
простирающейся
во
все
стороны,
бесконечной.
Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.
Слайд 6. Геометрические понятия: грань, ребро,
вершина.
Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость)
мы имеем наглядное представление и определения им не
даются. Их свойства выражены в аксиомах.
Слайд 7.
Наряду с точкой, прямой, плоскостью в
стереометрии рассматривают геометрические тела (куб,
параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают
их свойства, вычисляют их площади и объемы.
Представление о геометрических телах дают окружающие
нас предметы.
Слайд 8. Вопросы учащимся:
- Какие геометрические тела вам напоминают
предметы, изображенные на этих рисунках.
Формирование
целостной
системы
ведущих знаний по
теме, курсу.
ОК 2,ОК3, ОК5,
ОК6
- Назовите предметы из окружающей вас
обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам
геометрические тела.
Слайд 9 Практическая работа ( в тетрадях)
1. Изобразите в тетради куб (видимые линии –
сплошной линией, невидимые – пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами
АВСДА1В1С1Д1
3. Выделите цветным карандашом:
вершины А, С, В1, Д1; отрезки АВ, СД, В1С, Д1С;
диагонали квадрата АА1В1В.
Обратить внимание учащихся на видимые и
невидимые линии на рисунке; изображение квадрата
АА1В1В в пространстве.
Слайд 10. Вопросы к учащимся:

Что такое аксиома?

Какие аксиомы планиметрии вы
Учащиеся
знаете?
делают
записи
и
В пространстве основные свойства точек, прямых и рисунки в тетрадях.
плоскостей, касающиеся их взаимного расположения,
выражены в аксиомах.
Слайд 11.
Аксиома 1. (А1)
Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой,
проходит плоскость и притом только одна.
Слайд 12.
Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные
точки, то через них может не проходить ни одна плоскость,
то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.
Пример: Если ножки стола не одинаковы по длине, то
стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три
«точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не
лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
Слайд 13.
Аксиома 2. (А2)
Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все
точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае
говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость
проходит через прямую.
Слайд 14. Вопрос учащимся:

- Сколько общих точек имеют прямая
и плоскость? (рис.1 – бесконечно много;
рис.2 – одну)
Слайд 15. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости
имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на
которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются
по прямой.
Слайд 16.Аксиомы стереометрии описывают:

Способ задания плоскости.

Взаимное расположение прямой и
плоскости

Взаимное расположение плоскостей
Слайд17.
Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.
Слайд18.
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней
точку проходит плоскость и притом только одна.
- Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней
точка)
- Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)
- Что можно использовать для доказательства?
(аксиомы стереометрии)
- Какая из аксиом позволяет построить плоскость?
(А1, через три точки проходит плоскость и притом только
одна)
- Что есть в данной теореме и чего не хватает для
использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две
точки)
- Где построим еще две точки? (на данной прямой)
Учащиеся
записывают
формулировку
в
тетради и, отвечая на
вопросы
учителя,
делают
соответствующие
записи и рисунки в
тетрадь.
- Какой вывод можем сделать? ( через три точки
строим плоскость)
- Принадлежит ли данной плоскости прямая? ( да)
- На основании чего можно сделать такой вывод?
( на основании А2: если две точки прямой
принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит
плоскости)
- Сколько плоскостей можно провести через данные
прямую и данную точку? (одну)
- Почему? (так как плоскость, проходящая через
прямую и плоскость, проходит через данную точку и две
точки на прямой, значит по А1 эта плоскость –
единственная)
Слайд19.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость и притом только одна.
Теорема 3. Через две параллельные прямые
проходит плоскость и притом только одна.
Слайд 20 .
Способы задания плоскости:

Плоскость можно провести через три точки.

Можно провести через прямую и не лежащую
на ней точку.

Можно провести через две пересекающиеся
прямые.
Слайд 21. Прочитайте правильно чертеж.
Слайд 22. Прочитайте правильно чертеж.
Слайд 23. Прочитайте правильно чертеж.
Методы: Словесный, объяснительно-иллюстративный
Форма: фронтальная
Методические приемы: Беседа, ЦОР
Средства: АРМ, рабочие тетради
4.
4.1
Слайд 24 -33.Решение задач на применение аксиом
Учащиеся
Активная
Закрепление
Применение стереометрии и их следствий.
Учитель проводит читают условие задач продуктивная
нового
(закрепление,
фронтальную работу с классом по вопросам задач.
и
по рисунку на деятельность
материала
развитие,
слайде дают ответ с обучающихся
по
углубление)
усвоенных знаний
включению части в
целое, классификации и
Работают
с систематизации.
раздаточным
ОК3, ОК5, ОК6
материалом
(на
листах чертежи куба и
пирамиды)
Методы: Словесный, объяснительно-иллюстративный
Форма: фронтальная
Методические приемы: Беседа, ЦОР
Средства: АРМ, рабочие тетради
5.
Дает
Письменная работа по решению задач
Учащиеся
Выявление
Контроль
и возможность
в
Приложение №1
работают
по качества
и уровня
проверка знаний наиболее короткий
карточкам
овладения знаниями и
срок
проверить
способами
действий.
усвоение учебного
Получение достоверной
материала
всей
информации
о
группой,
достижении
всеми
определить
обучающими
направление
для
планируемых
индивидуальной
результатов обучения.
работы с каждым
ОК2, ОК3, ОК5,
обучающимся
Методы: индивидуальная работа, самостоятельная работа.
Форма: индивидуальная работа, самостоятельная работа.
Методические приемы: Беседа, ЦОР
Средства: АРМ, рабочие тетради
6.
Выдача
Учащиеся
Слайд 34.
Постановка
домашнего задания
 Доказать теорему
№2 самостоятельно записывают задание в
домашнего
(Обратить внимание на то, что доказательство тетрадь
задания:
опирается не на аксиомы, а на следствие 1.)
 Выучить аксиомы А1 – А3;
 Выучить теоремы 1, 2 (с доказательством);
 Решить задачу №8 в учебнике
(с
объяснением ответов)
Методы: Словесный, объяснительно-иллюстративный.
Методические приемы: Беседа, ЦОР
объяснением.
Форма: фронтальная
Средства: АРМ, рабочие тетради
7.
Подведение
итогов занятия
Дать анализ и
оценку успешности
достижения
цели.
Адекватность
оценки
обучающегося
оценки
преподавателя.
Получение
обучающимися
информации
о
реальных
результатах
обучения.
Учащиеся
Слайд №35-36.
Подведение итогов урока.
отвечают
Вопросы учащимся:
поставленные
-Как называется раздел геометрии, который мы вопросы
будем изучать?
-Что такое стереометрия?
-Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы
стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.
-Сформулируйте следствия из аксиом.
-Цель урока достигнута. - Познакомились с
аксиомами стереометрии, со следствиями из аксиом и
применили их при решении задач.
Преподаватель благодарит учащихся за работу на
уроке, отмечает наиболее отличившихся и доводит до
сведения учащихся заработанные оценки.
Методы: Словесный, объяснительно-иллюстративный.
Методические приемы: Беседа, ЦОР
Форма: фронтальная
Средства: АРМ, рабочие тетради
на