Задача №1 (20 баллов) Безумный физик решил облучить в тепловой колонне реактора серебряное кольцо своего прадедушки массой 10 г и состоящее из исключительно изотопа серебра-109. Облучал под тепловыми нейтронами он в течение 300 секунд. Определите, сколько накопил он изотопа серебра-110 за это время, сколько будет этого изотопа через 300 секунд после конца облечения. Данные: Сечение (n,γ), барн T1/2, c Ag-109 90,81 Ag-110 82,85 стабилен 24,56 1 Плотность потока в месте облучения: 1015 см2 ∙с Решение: Запишем уравнение для накопления изотопа серебра с учетом распада этого изотопа, а так же учитывающее «выгорание» ядер мишени и «выгорание» накапливающихся радионуклидов при облучении мишени: 𝑑𝑁 = 𝜎109 ∙ Ф ∙ 𝑛0 ∙ 𝑒 −𝜎109∙Ф∙𝑡 − 𝜆 ∙ 𝑁 − 𝜎110 ∙ Ф ∙ 𝑁 𝑑𝑡 n0 – начальное содержание ядер серебра-109, σ – сечения захвата нуклида, Ф – плотность потока, N – число накопленных ядер. Проинтегрировав данное уравнение получаем количество накопленных ядер за время облучения: 𝑁= 𝜎109 ∙ Ф ∙ 𝑛0 ∙ [𝑒 −𝜎109 ∙Ф∙𝑡обл − 𝑒 −(𝜆+𝜎110 )∙Ф∙𝑡обл ] 𝜆 − 𝜎109 ∙ Ф − 𝜎110 ∙ Ф 𝑚 𝑁 = ∙ 𝑁𝐴 𝑀 В результате расчета имеем на конец облучения массу 3,247 10-05 г изотопа серебра-110. А чтобы посчитать массу через 300 с после облучения нужно использовать формулу радиоактивного распада. В итоге имеем 6,82 10-09 г серебра-110. Задача №2 (30 баллов) Реактор ВВЭР имеет начальный запас реактивности 𝛥𝜌 = 0,049. Для компенсации этого запаса требуются подобрать число групп стержней, которые имеют вес 0,9βэфф. Реактор имеет следующие характеристики: высота активной зоны составляет 3 м, а радиус 1,5 м; коэффициент размножения на быстрых нейтронах μ = 1,044; разница в возрасте мгновенных и запаздывающих нейтронов составляет 𝛥𝜏 = 310 см2 ; доля запаздывающих нейтронов в реакторе β = 31,8∙10-4. Определите число групп стержней для компенсации реактивности. Решение Эффективная доля запаздывающих нейтронов в реакторе будет определятся формулой: βэфф = β 𝛼2 𝛥𝜏 e μ 𝜉0 2 𝜋 2 𝛼 = ( ) + ( ) − материальный параметр , 𝑅 𝐻 2 где 𝜉0 = 2,405 − первый корень функции Бесселя Подставив значения радиуса и высоты активной зоны получаем: 𝛼 2 = 3,67 ∙ 10−4 1 см2 Следовательно: βэфф = 3,41 ∙ 10−3 Запас реактивности в долях βэфф: 𝛥𝜌 = 0,049 = 14,36βэфф 3,41 ∙ 10−3 Так как вес одной группы составляет 0,9βэфф, то число необходимых групп стержней: 𝑁= 14,36βэфф 𝛥𝜌 = = 15,95 → 16 0,9βэфф 0,9βэфф Ответ: необходимо 16 групп стержней. Задача №3 (30 баллов) В космических ЯЭУ основной вклад в массу и габариты установки дает холодильник - излучатель: с ростом площади поверхности излучателя растет и масса установки. Оцените при каком к.п.д установки электрическая мощность в расчете на единицу поверхности холодильника излучателя будет максимальной. К.п.д. установки составляет от к.п.д. цикла Карно за счет необратимости преобразования энергии. Тепловая мощность установки QТ = 1 МВт. Произвести расчет при = 80%. Решение: 𝑄е Выразим 𝑛 = 𝑆х через термический КПД КЯЭУ η и ее тепловую мощность 𝑄Т , которая по условию задачи является фиксированной величиной: 𝑛= φη𝑄Т 𝑆х . Площадь поверхности ХИ, применяя закон Стефана-Больцмана: 𝑆х = 𝑄х 𝜎𝜀𝑇х4 , где 𝑄х - мощность ХИ, 𝑇х – средняя термодинамическая температура ХИ. Термический КПД выразим двумя способами: 𝜂=𝜑∙ 𝑄Т −𝑄х 𝑇н −𝑇х 𝑄Т = 𝑇н , где 𝑇н - средняя термодинамическая температура нагревателя. 𝑄 (1−𝜑𝜂) Т Тогда 𝑆х = 𝜎𝜀𝑇 4 (1−𝜂)4 , а значит н (1−𝜂)4 𝑛 = 𝜎𝜀𝑇н4 𝜑𝜂 (1−𝜑𝜂). Если 𝑄Т – const, то 𝑇н – const. Тогда КПД соответствующий наиболее компактной установке найдем из условия равенства нулю первой производной 𝑛(𝜂): 𝑑𝑛(𝜂) 𝑑𝜂 (1−𝜂)4 (1−𝜂)3 (1−𝜂)4 = 𝜎𝜀𝑇н4 𝜑 [(1−𝜑𝜂) − 𝜂 (4 (1−𝜑𝜂) − 𝜑 (1−𝜑𝜂)2 )]=0. 1 − 𝜂 − 4𝜂(1 − 𝜑𝜂) = 0 Т.к. 𝜂 ≤ 1, значит 𝜂 = 5−√25−16𝜑 8𝜑 . Ответ: наиболее компактной установке при = 80% соответствует КПД 𝜂 = 0.24. Задача № 4 (10 баллов) Определить массу радиоактивного изотопа 137 55𝐶𝑠 с которым может в течение недели находится рядом человек без специальных средств защиты. Считать, что за это время человек получает предельно допустимую годовую дозу (2 бэр/год = 50 мЗв/год). Расстояние от человека до радиоактивного вещества поддерживается на уровне 1 метра. Считать, что за это время вещество образца 137 55𝐶𝑠 распадается в стабильный изотоп 137 56𝐵𝑎 через β-распад. Период полураспада равен 30,17 лет, коэффициент качества излучения составляет К = 1, средняя энергия β-частиц составляет Е = 1,2 МэВ. Человек, массой 100 кг и площадью фронтальной поверхности 1 м2, находится около радиоактивного вещества круглосуточно. Решение: Находим количество частиц, образующих предельно допустимую дозу: 𝑁𝛽 = 𝐷ПДД ∙ 𝑚чел = 2,083 ∙ 1011 частиц 𝐸∙𝐾 Находим общее количество испущенных образцом частиц, учитывая, что только некоторая часть попадает в человека, обладающего ограниченной фронтальной площадью. Считаем, что образец сферический: 𝑁расп = 𝑁𝛽 2 4𝜋𝑟обр 𝑆чел = 2,618 ∙ 1012 Находим суммарное число ядер в образце, учитывая, что распадаются и испускают частицы не все ядра цезия: 𝑁0 − 𝑁расп = 𝑁0 ∙ 𝑒 − 𝑙𝑛2 𝑡 𝑇1/2 неделя 𝑁расп 𝑁0 = 1−𝑒 − 𝑙𝑛2 𝑡 𝑇1/2 неделя Тогда масса образца составит: 𝑚= (1 − 𝑒 𝑁расп 𝑙𝑛2 − 𝑡 𝑇1/2 неделя = 6,63 ∙ 10−8 кг ) ∙ 𝑁𝐴 ∙ 𝑀𝐶𝑠 Ответ: 6,63∙10-8 кг Задача №5 (10 баллов) На экспериментальной установке, схема которой представлена на рисунке 1, проводилось измерение теплопроводности неизвестного материала. Измеряемый образец был изготовлен в виде цилиндра, диаметром 10,0±0,1 мм и длиной 25,0±0,1 мм и помещался между двумя контактными пластинами. Нижняя пластина снабжена нагревателем, осуществляющим нагрев образца, верхняя пластина теплоизолирована. К образцу подведены две термопары, регистрирующие температуру образца в двух точках (Т1 и Т2). Образец, находится в вакуумированном и экранированном объеме (утечками тепла в окружающую среду можно пренебречь). В начале измерения образец термостатирован при определенной температуре с помощью внешней печи. Затем включается нагреватель и образец выходит на режим регулярного нагрева. Определите коэффициент теплопроводности, используя таблицу 1 и рисунок 2, содержащие экспериментальные данные, снятые во время измерений, и оцените погрешность. Считать погрешность измерения температуры равной ±0,04 °С. Термопарные вводы Вакуумный объем Теплоизолирующая пластина Печь Образец Нагреватель Контактная пластина к источнику тока Рисунок 1. Схема экспериментальной установки. 350 345 340 Температура, °С 335 330 325 320 315 310 305 300 295 0 10 20 30 40 50 60 70 Время, с T t11 T2 t1 Рисунок 2. Термограммы измерения. Таблица 1. Экспериментальные данные Сила тока на нагревателе, А 0,080±0,003 Напряжение 24±0,1 на нагревателе, В: Время, с 0 2 4 6 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 Показания Показания термопары термопары №1 (Т1), °С №2 (Т2), °С 300 307,82 311,05 313,52 315,60 316,54 317,43 319,08 320,59 322,00 323,33 324,58 325,78 326,92 300 300 300,00 300,00 300,04 300,07 300,12 300,27 300,50 300,79 301,15 301,57 302,05 302,58 Время, с 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 Показания Показания термопары термопары №1 (Т1), °С №2 (Т2), °С 330,10 331,10 332,07 333,03 333,96 334,88 335,79 336,68 337,57 338,44 339,31 340,17 341,02 341,87 304,39 305,05 305,74 306,45 307,18 307,92 308,68 309,44 310,22 311,01 311,80 312,60 313,40 314,21 26 28 328,02 329,07 303,15 303,75 58 60 342,72 343,56 315,02 315,84 Решение Для расчета коэффициента теплопроводности воспользуемся выражением: 𝑞𝐹 = −𝜆 𝑑𝑇 𝑑𝑥 которое можно привести к виду: 𝜆= 𝑞𝐹 ∙ 𝑙 𝐼∙𝑈∙𝑙 = 𝜋𝑑 2 ∆𝑇 4 ∙ ∆𝑇 После выхода на регулярный режим (после первых 30 с) можно для конкретного временного значения посчитать температурный перепад в образце и определить значение теплропроводности: Время, с Δt, °С λ, Вт/(м∙К) <λ>, Вт/(м∙К) 40 22,96 22,7 22,3 50 27,51 22,22 60 27,72 22,05 Рассчитать погрешность определения теплопроводности можно используя формулу с частными производными: ∆𝜆 = √( 2 2 2 2 2 2 𝜕𝜆 𝜕𝜆 𝜕𝜆 𝜕𝜆 𝜕𝜆 𝜕𝜆 𝛿𝐼) + ( 𝛿𝑈) + ( 𝛿𝑙) + ( 𝛿𝑑) + ( 𝛿𝐼) + ( 𝛿𝑇) 𝜕𝐼 𝜕𝑈 𝜕𝑙 𝜕𝑑 𝜕𝐼 𝜕𝑇 = 0,96 Вт/(м ∙ К)