628 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå X. Ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð è ïðåäëîæåíèå òðóäà Íàïîìíèì ÷èòàòåëþ îñíîâíóþ çàäà÷ó ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà, êîòîðóþ ìû ðàññìàòðèâàåì â ÷àñòè II. Ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò íàáîð q = (q1, q2, K , qn ) èç n ðàçëè÷íûõ áëàã. Êàæäîå (i-òîå) áëàãî õàðàêòåðèçóåòñÿ öåíîé pi, ïðè÷åì âñå öåíû ïîëîæèòåëüíû (íå ðàâíû íóëþ). Ïîòðåáèòåëü, èìåþùèé ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè U(q) è îáëàäàþùèé äîõîäîì I, ðåøàåò çàäà÷ó U(q) → max ïðè âûïîëíåíèè áþäæåòíîãî îãðàíè÷åíèÿ n pi qi ∑ i =1 = I. (1) Çäåñü ìû ðàññìîòðèì ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ ïîâåäåíèå èíäèâèäà, ðåøàþùåãî ñîâìåñòíî çàäà÷ó ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà è îáúåìà ïðåäëîæåíèÿ òðóäà. Äëÿ ýòîãî â íàáîð q = (q1, q2, K , qn ) ïîòðåáëÿåìûõ èíäèâèäîì áëàã íàðÿäó ñ òåìè áëàãàìè, êîòîðûå ïîêóïàþòñÿ íà ðûíêå, âêëþ÷èì òàêèå, êàê ñîí, ïðîãóëêè è ò. ï., íå òðåáóþùèå äåíåæíûõ çàòðàò, íî òðåáóþùèå çàòðàò âðåìåíè. Êàæäîå áëàãî òåïåðü õàðàêòåðèçóåòñÿ öåíîé pi è çàòðàòàìè âðåìåíè ti íà ïîòðåáëåíèå åäèíèöû áëàãà. Íåêîòîðûå èç öåí òåïåðü ìîãóò ðàâíÿòüñÿ íóëþ, êàê è íåêîòîðûå èç óäåëüíûõ çàòðàò âðåìåíè; íî íè äëÿ êàêîãî èç áëàã pi è ti íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ íóëþ îäíîâðåìåííî. Òåïåðü ìû áóäåì ñ÷èòàòü äîõîä íå çàäàííûì, à çàâèñÿùèì îò îáúåìà ïðåäëîæåíèÿ èíäèâèäîì òðóäà L. Îáîçíà÷èì F äîëþ âðåìåíè (ñêàæåì, ÷èñëî ÷àñîâ â ñóòêè), îòâîäèìóþ íà ïîòðåáëåíèå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàçëè÷íûå áëàãà íå ìîãóò ïîòðåáëÿòüñÿ â îäíî è òî æå âðåìÿ è ïîýòîìó âåëè÷èíà F ñêëàäûâàåòñÿ èç çàòðàò âðåìåíè íà ïîòðåáëåíèå ðàçëè÷íûõ áëàã: n ∑ ti qi = F. i =1 (2) Îáùàÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ñóòîê T (24 ÷) ðàçëàãàåòñÿ íà âðåìÿ òðóäà è âðåìÿ ïîòðåáëåíèÿ: T = L + F , à ñóòî÷íûé äîõîä îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåíåì òðóäà L è ÷àñîâîé ñòàâêîé çàðàáîòíîé ïëàòû w: I = wL . Îòñþäà I + wF = wT . Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (1) è (2), ïîëó÷àåì îãðàíè÷åíèå, êîòîðîìó äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðåøåíèå êîìïëåêñíîé çàäà÷è ïîòðåáèòåëÿ: n n pi qi + ∑ wti qi ∑ i =1 i =1 = wT , X. Ïîòðåáèòåëüñêèé âûáîð è ïðåäëîæåíèå òðóäà 629 èëè n ∑ ( pi + wti )qi = wT . i =1 (3) Ðàâåíñòâî (3) íàçîâåì îáîáùåííûì áþäæåòíûì îãðàíè÷åíèåì, à ìíîæèòåëü â ñêîáêàõ ïîä çíàêîì ñóììû îáîáùåííîé öåíîé ( gi = pi + wti ). Åå ïåðâàÿ êîìïîíåíòà (pi) öåíà â îáû÷íîì ñìûñëå, âòîðàÿ (wti) àëüòåðíàòèâíûå çàòðàòû, ñâÿçàííûå ñ òåì, ÷òî ïîòðåáëåíèå åäèíèöû i-òîãî áëàãà ñîïðÿæåíî ñ çàòðàòàìè âðåìåíè ti è òåì ñàìûì ñ îòêàçîì îò çàðàáîòíîé ïëàòû â êîëè÷åñòâå wti. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà èìååò âèä U(q) → max ïðè îãðàíè÷åíèè n gi qi ∑ i =1 = wT . Åñëè ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è íàáîð q ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå (2), ïîëó÷èì âåëè÷èíó âðåìåíè, îòâîäèìîãî íà ïîòðåáëåíèå; îñòàëüíàÿ ÷àñòü ñóòîê îáúåì ïðåäëîæåíèÿ òðóäà. Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòðàìè çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ öåíû, ñòàâêà çàðàáîòíîé ïëàòû è óäåëüíûå çàòðàòû âðåìåíè. Îò ýòèõ ïàðàìåòðîâ çàâèñÿò ðåøåíèå çàäà÷è è, ñëåäîâàòåëüíî, îáúåì ïðåäëîæåíèÿ òðóäà. Óìåñòíî ñîïîñòàâèòü òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííóþ çàäà÷ó ñ çàäà÷åé, îïèñàííîé â Ìàòåìàòè÷åñêîì ïðèëîæåíèè V. Òàì îãðàíè÷åíèÿ âèäà (1) ïî äåíåæíîìó áþäæåòó è âèäà (2) ïî áþäæåòó âðåìåíè ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçàâèñèìûå, à âåëè÷èíû äåíåæíîãî äîõîäà I è âðåìåíè íà ïîòðåáëåíèå F áûëè çàäàííûìè. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà ïîòðåáèòåëü âûáèðàåò òîëüêî îáúåìû ïîòðåáëåíèÿ ðàçëè÷íûõ áëàã, íî íå âûáèðàåò ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáî÷åãî äíÿ. Äâóì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóþò äâà ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà: l äëÿ «äåíåæíîãî» îãðàíè÷åíèÿ è m äëÿ «âðåìåííîãî». Âåëè÷èíà l õàðàêòåðèçóåò äîïîëíèòåëüíóþ ïîëåçíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ðóáëÿ, âåëè÷èíà m äîïîëíèòåëüíîé ìèíóòû: λ= äU ; äI µ = äU . äF  ðàìêàõ îðäèíàëèñòñêîé êîíöåïöèè ïîëåçíîñòè ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ l è m íå èìåþò ñìûñëà. Âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ îáðàùàëîñü íà îòíîøåíèå m/l, èìåþùåå ðàçìåðíîñòü ñòàâêè çàðàáîòíîé ïëàòû, è ïðåäëàãàëîñü ïîäóìàòü íàä ýêîíîìè÷åñêèì ñìûñëîì ýòîãî îòíîøåíèÿ. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî µ λ = MRSFI ïðåäåëüíàÿ íîðìà çàìåùåíèÿ 630 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå äîñóãà äåíåæíûì äîõîäîì. Åñëè îòíîøåíèå íå ñîâïàäàåò ñ ðûíî÷íîé ñòàâêîé çàðàáîòíîé ïëàòû, èíäèâèä íå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè íà ðûíêå òðóäà: ïðè µ λ > w äîïîëíèòåëüíàÿ åäèíèöà äîñóãà öåíèòñÿ ïîòðåáèòåëåì âûøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå äîõîäà, è èíäèâèä õîòåë áû ðàáîòàòü ìåíüøå, ÷åì åìó ïðèõîäèòñÿ (è ñîîòâåòñòâåííî ìåíüøå çàðàáàòûâàòü); ïðè µ λ > w îí õîòåë áû çàðàáàòûâàòü áîëüøå. Ïðèìåð. Ïóñòü ïîòðåáëåíèå èíäèâèäà îãðàíè÷èâàåòñÿ òðåìÿ áëàãàìè: 1) ïèùåé, 2) ñíîì, 3) êíèãàìè. Åãî ïðåäïî÷òåíèÿ îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè U(q) = q10.2 q20.3 q30.5 . Ñòàâêó çàðàáîòíîé ïëàòû ïðèìåì ðàâíîé 5. Öåíû è óäåëüíûå çàòðàòû âðåìåíè íà ïîòðåáëåíèå ïðèâåäåíû â òàáëèöå.  ïîñëåäíåì ñòîëáöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ îáîáùåííîé öåíû ïðè w = 5 . i Áëàãî pi ti gi 1 Ïèùà 10 10 2 Ñîí 1 5 3 Kíèãè 15 5 40 Äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé çàìåíèì ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè ýêâèâàëåíòíîé ôóíêöèåé: ln U (q ) = 0.2 ln q1 + 0.3 ln q2 + 0.5 ln q3 . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà: L ( q, λ ) = 0.2 ln q1 + 0.3 ln q 2 + 0.5 ln q 3 − λ (10 q 1 + 5 q 2 + 40 q 3 ) . Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè: 0.2 äL = − 10λ = 0; äq1 q1 0.3 äL = − 5λ = 0; äq2 q2 0.5 äL = − 40λ = 0 . äq3 q3 Îòñþäà q1 = 0.2 ; 10λ q2 = 0.3 ; 5λ q3 = 0.5 . 40λ Èç óñëîâèÿ 10q1 + 5q2 + 40q3 = 5 ⋅ 24 íàõîäèì λ = 1 120, òàê ÷òî q1 = 2.4 ; q2 = 7.2 ; q3 = 1.5 . Çàòðàòû âðåìåíè íà ïîòðåáëåíèå: F = 0 ⋅ 2.4 + 1 ⋅ 7.2 + 5 ⋅ 1.5 = 14.7, è îáúåì ïðåäëîæåíèÿ òðóäà 9.3 ÷/ñóò. Åñëè öåíà êíèã âîçðàñòåò ñ 15 äî 25 åä., òî q1 è q2 îñòàíóòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, q3 ïðèìåò íîâîå çíà÷åíèå: q3 = 1.2 ; F = 0 ⋅ 2.4 + 1 ⋅ 7.2 + 5 ⋅ 1.2 = 13.2 , òàê ÷òî òåïåðü îáúåì ïðåäëîæåíèÿ òðóäà L = 24 − 13.2 = 10.8.