Опорный конспект по НГ для ф

Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Кафедра начертательной геометрии и инженерной
графики
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Рабочая тетрадь для лекций
Для всех направлений подготовки
архитектурного факультета
Студент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .гр. . . . . . . . . . . . . .
Санкт-Петербург
2015 г.
2
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА
Обозначения
1. Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:
A, B, C, D, …. 1, 2, 3, 4, ….
2. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскости проекций, обозначают
строчными буквами латинского алфавита:
a, b, c, d, ….
Линии уровня обозначают: h - горизонталь, f - фронталь, p - профильная прямая.
Для прямых используют также следующие обозначения:
(АВ) - прямая, проходящая через точки А и В;
IABI - длина отрезка АВ (расстояние между точками А и В).
3. Поверхности (плоскости) обозначают строчными буквами греческого алфавита (кроме
буквы П): α, β, γ, δ,…
4. Углы обозначают строчными греческими буквами: φ, ψ,…
5. Прямой угол на эпюре отмечают дугой с точкой внутри сектора.
6. Плоскости проекций обозначают прописными буквами П (пи) греческого алфавита с добавлением подстрочного индекса:
Основные: П1 - горизонтальная плоскость проекций,
П2 - фронтальная плоскость проекций,
П3 - профильная плоскость проекций
Дополнительные: П4 , П5 , П6 , …
Для аксонометрических и перспективных проекций: П' .
7. Проекции точек, линий, произвольных поверхностей (плоскостей), поверхностей геометрических фигур обозначают теми же буквами (цифрами), что и оригинал, но с добавлением
подстрочного индекса соответствующей плоскости проекций, на которой они получены:
горизонтальные проекции: А1 ,В1 ,С1 ,…11 ,21 ,31 ,…a1 ,b1 ,c1 ,…α1 ,β1 ,…
фронтальные проекции:
А2 ,В2 ,С2 ,…12 ,22 ,32 ,…a2 ,b2 ,c2 ,…α2 ,β2 ,…
профильные проекции:
А3 ,В3 ,С3 ,…13 ,23 ,33 ,…a3 ,b3 ,c3 ,…α3 ,β3 ,…
Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами
Обозначение
Содержание
=
Равны, результат
действия
~
≡
Подобие
Тождественны,
совпадают

Конгруэнтны


–
Параллельны
Перпендикулярны
Скрещиваются
Пример символической записи
АВ = CD – длины отрезков АВ и CD равны.
К = m∩n – точка К является точкой пересечения прямых m и n
Ф1 ~ Ф – фигура Ф1 подобна фигуре Ф
А≡В – точка А тождественна (совпадает с) точке В
 ∆DEF – треугольники ABC и DEF подобны по
форме и равны по величине – конгруэнтны
m||n – прямая m параллельна прямой n
l Т – прямая l перпендикулярна плоскости Т
m–n – прямые m и n скрещиваются
∆ABC
3
Обозначения теоретико-множественные
Обозначение

Содержание
Принадлежит, является
элементом
Включает, содержит
∩
Пересечение множеств

Объединение множеств

Пример символической записи
Am – точка А принадлежит прямой m
l  Г – прямая l принадлежит плоскости Г.
К = m∩n – точка К является точкой пересечения прямых m и n
a Т – прямую a объединяем с плоскостью Т
(заключаем в плоскость)
Символы, обозначающие логические операции
Обозначение



Содержание
Конъюнкция предложений;
соответствует союзу «и»
Дизъюнкция предложений;
соответствует союзу «или»
Импликация – логическое
следствие
Пример символической записи
(А1l1) (А2l2) – если точка А1 принадлежит
линии l1 и точка А2 принадлежит линии l2
(m∩n)  (m–n) – если прямые m и n пересекаются или скрещиваются
((aс)  (bc))  ab – если две прямые a и b
параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия: учебник для строит. спец. вузов / Н. Н. Крылов [и др.]; под ред. Н. Н. Крылова . – 6-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1990.
2. Бударин О.С. Начертательная геометрия. Краткий курс: Учебное пособие.- СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 368 с.: ил.- (Учебники для вузов. Специальная литература).
3. Климухин А.Г. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. -2-е изд., перераб. И
доп. – М.: Стройиздат, 1978. – с. 334, ил.
4. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб, и
доп. – М.: Высш. школа. 1981. – 262 с., ил.
5. Тимрот Е.С. Начертательная геометрия. – М.: Гос. изд. Литературы по строительству,
архитектуре и строительным материалам, 1962. – 280 с., ил.
6. Тарасов Б. Ф. Начертательная геометрия / Б. Ф. Тарасов, Л. А. Дудкина, С. О. Немолотов. – 2-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2002.
7. Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс: Учеб. Пособие. –
М.:
ИНФРА-М, 2015. – 184 с. – (Высшее образование: Бакалавриат).
8. Сальков Н.А. Начертательная геометрия. Основной курс: Учеб. Пособие. –
М.:
ИНФРА-М, 2014. – 235 с. – (Высшее образование: Бакалавриат).
9. Тарасов Б.Ф. Методы изображения в транспортном строительстве. – Учеб. пособие
для вузов. – Л.:Стройиздат. Ленингр. Отд-ние, 1987. – 248 с., ил.
4
ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Чертеж – международный язык общения техников,
а начертательная геометрия – грамматика этого языка (чертежа).
Начертательная геометрия изучает
Создатель начертательной геометрии – Гаспар Монж – геометр, ученый и общественный
деятель времен Великой французской революции. Первый учебник по начертательной
геометрии вышел в 1798г. во Франции. В России курс начертательной геометрии начали
читать в 1810г. в С.-Петербурге в Корпусе инженеров путей сообщения (ныне СПбГУПС).
Первый учебник по начертательной геометрии на русском языке вышел в 1821 году.
БАЗОВЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Точка – нульмерный объект (абстрактное математическое понятие).
Линия – одномерное непрерывное множество точек; непрерывная последовательность
положений точки, перемещающейся в пространстве по определенному закону (траектории); линия имеет только длину.
Поверхность – двумерное непрерывное множество точек; непрерывная последовательность положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону; поверхность имеет длину, ширину и площадь.
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Для устранения неоднородности Евклидова пространства условно принято, что параллельные между собой прямые пересекаются в бесконечно удаленной (несобственной) точке пространства.
Если a  b  с …, то a ∩ b ∩ с ∩ … = F∞
Евклидово пространство, дополненное несобственными элементами (точками, прямыми,
плоскостями), называют проективным.
МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Все изображения, построенные на основе метода проецирования, называются проекционными
ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Проецирование
Центральное
Параллельное
Прямоугольное
Косоугольное
5
Центральное проецирование
Параллельное проецирование
ПОЛУЧЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Спроецируем точку А на плоскость проекций Пк по
направлению s.
Вывод: ______________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
Все дальнейшие построения будем выполнять на основе прямоугольного варианта
метода проецирования.
В качестве объекта используем точку, например «А».
«Привяжем» точку к пространственной системе координат Oxyz и определим ее координаты. Чтобы
полученные координаты точки А отобразились на
плоскости проекций в истинную величину, необходимо чтобы координатные плоскости были параллельны плоскостям проекций. Следовательно, необходимо ввести две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2, соответственно параллельные координатным плоскостям xOy и xOz. (xOy II
П1 и xOz II П2). Так как xOy  xOz, то и П1  П2
Ортогонально спроецируем точку А совместно с системой координат Oxyz на обе плоскости проекций.
Вывод: _____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
6
МЕТОД МОНЖА
Ортогональная система двух плоскостей проекций
П1 –
П2 –
x1,2
П2
П1
Ортогональная система трех плоскостей проекций
П3 –
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ
В ортогональной системе двух плоскостей проекций
Точка в I-ой четверти
7
Проецирование точки в ортогональной системе трех плоскостей проекций
Точка в первом октанте
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Способы задания прямой на эпюре
Положение прямой относительно плоскости проекций
_______________________
___________________________
_____________________ ______________________
_______________________
_______________________
_______________________
______________________ _____________________
______________________ _____________________
______________________ _____________________
8
Прямая общего положения
Это прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций
П2
В2
l2
В
l
А2
А
х 1,2
х 1,2
А1
П1
П2
П1
В1
l1
Прямые частного положения
Это прямые параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций.
Прямая уровня - это прямая параллельная одной из плоскостей проекций.
Горизонталь - это прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций l II П1  l
h
П2
A2
h2


х1,2
B2
A
h
A1
х1,2
B
h1
П2
П1
B1
П1
Фронталь - это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций l II П2  l  f
П2
B2
f2

х1,2
A2
B
f
A

х1,2
f1
П2
П1
B1 П 1
A1
Профильная прямая - это прямая параллельная профильной плоскости проекций l II
П3  l  p
z2,3
z2,3
П2
П3
B2
p2
А2
х1,2
A1
П1
p B
p3 B3
А
А3
p1
B1
х1,2
y1,3
y3
y1
9
Проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная одной из плоскостей проекций
Горизонтально-проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций m  П1
Фронтально-проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций m  П2
П2
A2
П2
m2
m
A
B2
B
х1,2
m2
х1,2
П2
П1
А2 B2
B
х1,2
B1
m1 А1B1
П1
П1
A
m
х1,2
П2
П1
A1
m1
Взаимное положение двух прямых
Пересекающиеся прямые Параллельные прямые
Скрещивающиеся прямые
x1,2 П 2
П1
x1,2 П 2
П1
x1,2 П 2
П1
ПОВЕРХНОСТИ
В качестве основного метода формирования поверхности принят кинематический.
g – образующая
d – направляющая
Если образующая является прямой, то поверхность называется линейчатой.
Если образующая является кривой, то поверхность называется нелинейчатой.
10
ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Данный раздел изучается студентом самостоятельно.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Определитель поверхности
Определитель поверхности – это совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.
Определитель состоит из двух частей: φ{(Г)(А)}
• Г (геометрическая) - геометрические фигуры (образующая и другие точки, линии,
поверхности), участвующие в образовании поверхности.
• А (алгоритмическая) – закон перемещения и изменения формы образующей.
Если поверхность линейчатая и образующая является прямой линией, которую можно однозначно задать двумя точками или точкой и направлением и графически не изображать, в
отличие от кривой линии, то ее обозначение выносят за пределы геометрической части
определителя φ {g(Г)(А)}
Пример. Построить поверхность φ{g(d1,d2, Σ)(g∩d1, g∩d2, gIIΣ)}
φ – прямой цилиндроид; Σ – направляющая плоскость (плоскость параллелизма)  φ –
поверхность Каталана
Σ⊥П1  gi1IIΣ1 i=1,2,3,…
d2
d2
1
2
1
d1
2
d1
1
11
Каркас поверхности
Каркас поверхности – это множество точек и
линий, определяющих поверхность
Пример. Ф{ ai, bj }
ai = Ф∩Гi, i =1,2,3,…,m, Гi II Гi+1
bj = Ф∩Tj, j =1,2,3,…,n, Tj II Tj+1
Пример. Ф{ aj, bk }
aj = Ф∩Гj, j =1,2,3,…,m, Гj  i
bk = Ф∩Tk, k =1,2,3,…,n, Tk  i
Очерк поверхности
Очерк поверхности – это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей поверхностью, касательной к заданной поверхности и ее охватывающей.
gΩi II s
Ω  Φ = n,
Ω ∩ Пk= nk,
12
ПЛОСКОСТЬ
Плоскость – плоская поверхность
Способы задания плоскости
ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
_______________________
___________________________
_____________________ ______________________
Плоскость общего положения – это плоскость
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
Проецирующие плоскости – это плоскости ______________________________________
_____________________________________________________________________________
13
Плоскости уровня – это плоскости ______________________________________________
_____________________________________________________________________________
Вывод: характерная особенность эпюра плоскости частного положения _____________
_____________________________________________________________________________
14
ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Прямая принадлежит плоскости, если: 1.__________________________________________
_____________________________________________________________________________
l (1,2)  α  1 l  2 l
2. ___________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
l (1,s)  α  1 l  l II s
В качестве примера плоскость α задаем треугольником АВС. Требуется построить произвольную прямую l, принадлежащую плоскости α.
Первый способ
Второй способ
Главные линии плоскости
К главным линиям плоскости относятся прямые уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая).
Горизонталь плоскости - __________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Фронталь плоскости - ____________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
15
ТОЧКА НА ПЛОСКОСТИ
Точка принадлежит плоскости, если ______________________________________________
_____________________________________________________________________________
А  α  А l, l  α
Построить проекции произвольной точки А, принадлежащей плоскости α (m, n)
Первый способ
Второй способ
m2
m2
A2
A2
n2
n1
n2
n1
m1
m1
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Параллельные плоскости
Две плоскости параллельны, если
две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
α(ab); β(mn);
если am и bn, то αβ
Через точку А провести плоскость Р параллельную плоскости Т.
Пересекающиеся плоскости
Частный случай: одна из двух пересекающихся плоскостей плоскость частного положения
– Т фронтально-проецирующая.
B2
A2
B1
C2
C1
A1
16
Общий случай: Заданы две плоскости Т и Р общего положения.
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ
Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения: ____________
_____________________________________________________________________________
Прямая параллельна плоскости, если _______________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Прямая пересекает плоскость, если _________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
Прямая принадлежит плоскости, если _______________________
_______________________________________________________
______________________
17
Последовательность действий при определении взаимного положения прямой линии
и плоскости:
1. Прямую заключают во вспомогательную секущую плоскость – проецирующую.
l  Т; Т  Пк  lк  Тк
В качестве примера выбираем Т П1.
 l1  Т1
2. Строят линию пересечения заданной плоскости α(АВС) и принятой
вспомогательной секущей плоскости Т.
Т α = m;  mT; mα
Если mT, то mк  Тк  m1  Т1 l1
Но mα.
Тогда m(1,2); 1=mAB; 2=mCB
 11=m1A1B1; 21=m1C1B1
Cтроят недостающую проекцию прямой m
(m2), как принадлежащей плоскости α(АВС).
3. Так как прямые l и m лежат в одной плоскости Т, то можно определить их взаимное
положение, которое, в свою очередь, определяет положение прямой l относительно плоскости α:
Если 12  m2 , то l  α.
Если 12  m2 , то l  α.
Если 12 II m2 , то l II α.
Пример 1.
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
Пример 2.
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
Пример 3.
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
18
ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит
линии, принадлежащей этой поверхности.
АФ  Аl ; l  Ф
Для повышения точности и упрощения решения задачи
линия, по возможности, должна иметь наиболее простую геометрическую форму – прямой или окружности.
Точка на линейчатой поверхности
Так как образующей линейчатой поверхности является прямая линия, то условие принадлежности точки линейчатой поверхности можно сформулировать как _________________
_____________________________________________________________________________
Фg(F,d)(Fg, gd)
F2
F2
C2
B2
d2
d1
A2
F1
A1
B1
F1
A1
B1
Точка на поверхности вращения
i2
g2
A2
i1
g1
19
На линейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка,
может иметь форму как прямой (образующей), так и окружности (параллели).
На нелинейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка,
должна иметь форму только окружности (параллель).
A2
A2
B2
C2
D2
B1
C1
ЛИНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
Линия принадлежит поверхности, если все множество ее точек принадлежит этой поверхности.
Следовательно, чтобы построить линию на поверхности,
необходимо представить эту линию, как множество точек, и
построить каждую из точек этого множества, используя условие принадлежности точки поверхности.
Задача на построение линии на поверхности сводится к
многократному решению задачи на построение точки на
поверхности.
a  φ  a{1,2,3,…, N}φ
N mn ; mn  φ ;
mn – линия, по возможности, наиболее простой геометрической формы.
20
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ
Ф – произвольная поверхность.  - секущая плоскость. Σ ∩ Ф = a – линия пересечения
a  Ф и a  Σ; a{1,2,3,....,N};
Ф{m1, m2,...,mN};
mn – линия, по возможности, наиболее простой геометрической формы.
1 = m1 ∩ Σ,
2 = m2 ∩ Σ,
……………
N = mN ∩ Σ;
Если Σ – проецирующая плоскость (ΣПк), то Σк – прямая линия и ак  Σк. Следовательно, одна из проекций линии пересечения уже есть (ак). Так как a{1,2,3,....,N}  Ф,
то далее решение задачи сводится к построению недостающей проекции линии, принадлежащей этой поверхности Ф.
Форма линии пересечения поверхности плоскостью определяется формой самой
поверхности и положением секущей плоскости относительно элементов этой поверхности.
Пересечение гранной поверхности плоскостью
При пересечении гранной поверхности плоскостью линия пересечения – ломаная линия,
точками излома, которой являются точки пересечения секущей плоскости с ребрами поверхности.
Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения гранной поверхности
плоскостью сводится ___________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
F2
Ф2
А2
P2
С2
С1
В2
F1
А1
В1
Ф1
21
Пересечение конической поверхности плоскостью
Форма линии пересечения прямой круговой конической поверхности плоскостью определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности.
Ф – прямая круговая коническая поверхность.
Т – секущая плоскость.
Ф ∩ Т = m – линия пересечения.
22
23
В общем случае решение задачи на построение линии пересечения конической поверхности плоскостью сводится к определению точек пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью.
Образующие поверхности можно условно рассматривать как ребра гранной поверхности
(пирамиды), вписанной в заданную кривую поверхность. Но, в отличие от рассмотренной
ранее задачи на построение линии пересечения гранной поверхности плоскостью, количество используемых образующих не фиксировано и определяется точностью, с которой
должна быть построена линия пересечения. Кроме этого, должны быть обязательно определены точки, определяющие габариты проекций фигуры сечения, а также видимость.
Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью
Форма линии пересечения прямой круговой цилиндрической поверхности плоскостью
определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности.
Ф – прямая круговая цилиндрическая поверхность;
Т – секущая плоскость;
Ф ∩ Т = m – линия пересечения.
24
P2
Ф2
Ф1
В общем случае решение задачи на построение линии пересечения цилиндрической поверхности плоскостью
сводится к определению точек пересечения образующих поверхности с принятой секущей плоскостью.
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________
25
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
Прямая пересекает поверхность, если она
пересекает какую-либо линию, принадлежащую этой поверхности
l ∩ Φ ═ {K1,K2,…};
{K1,K2,…}= l ∩ m; m  Φ
Так как плоскость является одной из разновидностей поверхности, последовательность
действий при построении точек пересечения
прямой с поверхностью аналогична действиям, выполняемым при построении точки пересечения прямой линии с плоскостью.
Последовательность действий при построении точек пересечения
прямой линии с поверхностью
1. Определить вид заданной поверхности для выявления возможных простых форм
сечений плоскостью (ломаная линия или окружность), и установить при каком положении секущей плоскости эти простые формы сечений могут быть получены.
2. Определить возможность заключения заданной прямой в одну из выбранных вспомогательных секущих плоскостей.
3. Прямую l заключить в выбранную секущую плоскость, например, Т.
lТ
Наиболее часто применяют проецирующие плоскости. Для этого на эпюре нужно
одну из проекций прямой l совместить с одноименной проекцией плоскости Т.
Т  Пк  lкТк
4. Построить линию пересечения, например, m, заданной поверхности Ф и принятой
вспомогательной плоскости Т. Так как рассматриваемая поверхность Ф является
кривой, то и линия пересечения в общем случае будет кривой.
Т ∩ Ф = m{1,2,3,…}
5. Определить точки пересечения {K1,K2,…} прямой l и линии m.
l ∩ m = {K1,K2,…}
6. Определить видимость участков прямой l.
Пересечение прямой с гранной поверхностью
F2
l2
A2
B2
D2
D1
C2
l1
C1
A1
F1
B1
FABCD – четырехгранная пирамида.
Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с поверхностью пирамиды.
l ∩ Φ (FABCD) = {К1, К2}
Заданная поверхность является гранной. При пересечении такой поверхности любой плоскостью фигурой
сечения всегда будет многоугольник (ломаная линия). Поэтому вспомогательная секущую плоскость проецирующая.
Заключаем ___________________________________
Строим _______________________________________
______________________________________________
______________________________________________
Определяем ___________________________________
26
Определяем видимость участков прямой l.
Пересечение прямой линии с конической поверхностью
F2
Ф2
l2
F1
l1
Ф1
Задан прямой круговой конус.
Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с поверхностью конуса.
l ∩ Φ = {К1, К2}
У круговой конической поверхности есть две простые формы сечения плоскостью – две прямые (образующие) и
окружность.
Заданная прямая – горизонталь. Следовательно, заключив
прямую l в горизонтальную секущую плоскость (перпендикулярна оси вращения конической поверхности), получим
сечение в форме окружности.
Кроме этого, в данном примере прямая пересекает ось вращения конуса. С осью вращения прямая задает плоскость,
проходящую через ось вращения и вершину конуса. Эта
плоскость при пересечении с конической поверхностью образует две прямые, являющиеся образующими этой поверхности.
Таким образом, данная задача может быть решена с использованием двух разных вспомогательных секущих плоско-
стей.
В данной задаче также требуется определить видимость участков прямой l.
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Линией пересечения двух кривых поверхностей является одна или две пространственные
(возможны и плоские) кривые при полном или неполном пересечении соотвественно.
Для получения таких линий должны быть введены вспомогательные секущие поверхности-посредники как плоские, так и кривые.
Обязательные требования, предъявляемые к секущим поверхностям-посредникам:
• каждая из секущих поверхностей-посредников должна пересекать обе заданные поверхности;
• линии, получаемые в результате пересечения должны иметь наиболее простую геометрическую форму и попарно пересекаться между собой.
Φ ∩ Ω = l {K1, K2, K3,… Ki}
i - секущая поверхностьпосредник
i ∩ Φ = mi ; i ∩ Ω = ni
mi ∩ ni = Кi
27
28
29
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕНЕЙ.
ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ.
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
Ортогональные проекции обладают сравнительно плохой наглядностью вследствие
того, что на каждой проекции отсутствует какое-то одно измерение (на плане – высота, на
фасаде – глубина). Чтобы придать плоскому чертежу большую выразительность и рельефность и наглядность, прибегают к построению контуров теней и окрашиванию поверхностей с выделением цветом освещенных и теневых участков.
В зависимости от используемого источника света освещение подразделяют на естественное (солнечное) и искусственное (факельное). Солнечное освещение используется
при построении теней на фасадах зданий и сооружений в дневное время. Факельное - для
построения теней на фасадах зданий и сооружений при разработке подсветки в ночное и
вечернее время или внутри помещений (в интерьерах).
При любом из выделенных видов освещения световые лучи распространяются
прямолинейно.
При естественном освещении солнце рассматривается как источник света удаленный в бесконечность и поэтому световые лучи принимаются как параллельные друг другу
прямые. На основании этого, естественное (солнечное) освещение следует рассматривать
как параллельное косоугольное проецирование, у которого центром дополнительного
проецирования является солнце (для нас бесконечно удаленная несобственная точка).
Любой физический объект, если на него падает поток света, имеет освещенную и
неосвещенную части своей поверхности.
30
Контур (mk) падающей тени (k) определяется контуром (m) собственной тени,
так как является его параллельной проекцией и является замкнутой линией.
Тени, отбрасываемые заданной поверхностью на другие поверхности (плоскости),
называются падающими.
Неосвещенная часть поверхности объекта называется собственной тенью. Линия,
разделяющая освещенную и неосвещенную части поверхности, называется границей или
контуром собственной тени.
За направление лучей света наиболее часто принимается одна из диагоналей куба,
две грани которого совмещены с плоскостями проекций.
Задачи на построение теней геометрических образов сводятся к решению основных
позиционных задач:
 определение точки пересечения прямой с поверхностью (при построении тени от
точки на плоскость или от точки на поверхность).
 определение линии пересечения двух поверхностей.
Из всего многообразия этих задач выделим следующие случаи линий пересечения:
 двух плоскостей (тень от прямой на плоскость);
 плоскости с гранной поверхностью (тень от прямой на гранную поверхность, тень
от ломаной линии на плоскость);
 плоскости с кривой поверхностью (тень от прямой на кривую поверхность, тень от
кривой линии на плоскость);
 гранной поверхности с кривой поверхностью (тень от ломаной линии на кривую
поверхность, тень от кривой линии на гранную поверхность, тень гранной поверхности на кривую поверхность, тень от кривой поверхности на гранную поверхность);
 двух кривых поверхностей (тень от кривой линии на кривую поверхность, тень от
кривой поверхности на кривую поверхность).
2. ТЕНЬ ОТ ТОЧКИ
Тенью точки на любую поверхность называется точка пересечения светового луча
(прямой линии), проходящего через заданную точку, с поверхностью.
В общем виде данное положение представлено на рис. 4.
A sA, sA  s ,
sA ∩ α = А′ – падающая тень точки А на плоскости α.
С геометрической точки зрения построение тени точки это
решение основной задачи начертательной геометрии ____________________________
31
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2.1. Тень от точки на плоскости проекций
П2
В2
В
А2
В 2
s2
s
А
(В 1 )
s1
А1
П1
В1
А 1
(А 2 )
В2
s2
А2
x
s2
x
s1
s1
В1
А1
Судя по соотношению расстояний от оси х до горизонтальной и фронтальной проекций точки, можно точно сказать на какой из плоскостей проекций окажется действительная тень точки, или действительная тень от точки будет на той плоскости проекций, к
которой она ближе.
32
2.2. Тень от точки на плоской фигуре
А2
s2
x
s1
А1
2.3. Тень от точки на поверхности
А2
s2
x
s1
А1
33
3. ТЕНЬ ОТ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Тень l' от прямой линии l на поверхности α есть линия пересечения лучевой плоскости ω с этой поверхностью.
Лучевой плоскостью ω называется
плоскость, проходящая через заданную
прямую линию l параллельно световому
лучу s (рис.8).
Так как пересечение лучевой
плоскости с любой другой плоскостью, в
том числе и плоскостью проекций, является прямая линия, то тень от прямой
линии на плоскости прямая линия.
3.1. Тень от прямой линии на плоскости проекций
3.1.1. Тень от прямой линии общего положения
Если тени от концевых точек отрезка лежат на разных плоскостях, то тень на ортогональных проекциях будет иметь излом в точке пересечения с осью х. В этом случае
необходимо использование ложной (мнимой) тени от одной из концевых точек отрезка.
Т.е. должна быть построена тень от отрезка только на одной плоскости.
В2
s2
А2
x
s1
А1
В1
34
3.1.1. Тень от прямой линии частного положения
а)
В2
б)
в)
А2
s2
А2  В 2
А2
В2
x
s1
В1
А1
В1
А1  В 1
А1
Тень от отрезка прямой параллельной плоскости проекций _________________________
_____________________________________________________________________________
Тень от отрезка прямой перпендикулярной плоскости проекций______________________
_____________________________________________________________________________
4. ТЕНЬ ОТ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Методика построения тени от плоской фигуры на плоскости зависит от ее положения относительно этой плоскости, т.е. необходимо рассмотреть, как частное, так и общее
положение.
4.1. Тень от плоской фигуры общего положения
Для построения тени от плоской фигуры необходимо построить тени от всех ее
вершин.
Судя по удаленности точек А, В и С относительно плоскостей проекций, действительные тени от точек А и В будут находиться на горизонтальной плоскости проекций, а
от точки С на фронтальной плоскости проекций.
Следовательно, действительная тень от треугольника АВС будет падать как на горизонтальную, так и на фронтальную плоскость проекций, т.е. тень, будет иметь излом при пересечении с осью х.
Последовательность построения:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________
35
С2
А2
s2
В2
x
s1
С1
А1
В1
4.2. Тень от плоской фигуры частного положения
При изображении архитектурных фрагментов (карнизов, балконов, ниш, колонн и
др.) фасадов зданий часто приходится строить падающие тени от плоских фигур, находящихся в частном положении относительно вертикальных плоскостей стен.
Построение теней от таких фигур выполняется на основе инвариантных свойств параллельного проецирования:
 тень от плоской линии (прямой или кривой) на плоскости ей параллельной параллельна и конгруэнтна самой линии;
 тень от прямой линии на плоскости ей перпендикулярной параллельна ортогональной проекции светового луча на эту плоскость;
 тень от плоской фигуры на плоскости ей параллельной параллельна и конгруэнтна
самой фигуре.
Следовательно, тень от круга, плоскость которого параллельна плоскости проекций, есть круг того же радиуса. Поэтому для построения тени круга на параллельную ему
плоскость проекций достаточно построить круг, центр которого совпадает с тенью от
центра заданного круга.
36
О2
s2
x
s1
О1
Тень круга, плоскость которого перпендикулярна плоскости проекций, представляет собой эллипс – лекальную кривую второго порядка, которая строится по нескольким
точкам.
Т2
12
22
32
42
52
s2
x12
s1
51
11
21
41
Т1
31
Контур тени от окружности может быть получен без использования горизонтальной проекции. Геометрические построения для такого случая показаны на следующих рисунках.
37
5. ТЕНИ ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Как было отмечено ранее, поверхность любого пространственного тела при его
освещении разделяется контуром собственной тени на освещенную и неосвещѐнную –
находящуюся в тени и тело отбрасывает падающую тень на другие поверхности. При
этом, контур падающей тени является параллельной проекцией контура собственной тени.
Следовательно, для построения контура падающей тени от любого пространственного тела необходимо сначала определить контур собственной тени, а затем построить
тень от этого контура.
5.1 Тень от параллелепипеда
А2 D 2
В 2С 2
s2
x
E 2H2
F 2 G2
s 1 D1H1
С 1G1
А1E 1
В 1F1
38
При заданном направлении освещения у параллелепипеда в собственной тени будут находиться две грани: _____________________.
Границей между освещенной и неосвещенной частями поверхности или контуром
собственной тени будут четыре ребра: ___________________.
5.2 Тень от прямого кругового цилиндра
Для определения контура собственной тени прямого кругового цилиндра проводятся две горизонтально-проецирующие лучевые плоскости касательные к поверхности цилиндра. Линиями касания этих плоскостей являются две образующие.
Если цилиндр расположен так, что тень от него падает на обе плоскости проекций
(рис. б), то тень от полуокружности на фронтальной плоскости проекций строится по произвольно выбранным точкам этой полуокружности.
a)
б)
s2
x
s1
5.1 Тень от прямого кругового конуса
Сначала строят контуры падающей тени, а затем получают и контуры собственной.
Строят падающую тень от вершины конуса на плоскости его основания, и через полученную точку проводят касательные к основанию конуса.
39
s2
x
s1
6. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ
6.1. Способ лучевых плоскостей
Через отрезок АВ параллельно световому лучу s проводится лучевая плоскость ω.
Так как отрезок АВ перпендикулярен горизонтальной плоскости проекций, то и лучевая
плоскость ω будет горизонтально-проецирующей.
Далее строится сечение заданной поверхности лучевой плоскостью ω. На рисунке
это фигура, выделенная красным цветом и ограниченная ломаной линией 12345678. Контур полученного сечения определяет форму тени. Для определения тени А' от точки А на
40
поверхности лестницы необходимо через точку А провести луч параллельно световому
лучу s до пересечения с контуром фигуры сечения 12345678. В итоге падающая тень от
всего отрезка АВ состоит из отрезка В1 (тень на горизонтальную плоскость проекций) и
ломаной линии 1234 А'.
А2
s2
В2
s1
А1 В1
6.2. Способ обратных лучей
Способ обратных лучей применяется при построении тени от одной геометрической фигуры на поверхности другой фигуры.
Строят тени от обеих фигур на одной из плоскостей проекций. Определяют точки пересечения контуров полученных теней. Через отмеченные точки проводят лучи в направлении
противоположном световому лучу. Каждый из обратных лучей пересекает данные геометрические фигуры, и определяют нужные для построения тени точки.
41
E2
В2
С2
D2
s2
А2
x
s1
А1
D1
В1
E1
С1
7. ТЕНИ НА ФАСАДАХ ЗДАНИЙ
Построение теней на фасадах зданий основано на построении точек пересечения
световых лучей с вертикальными плоскостями стен или с наклонными плоскостями скатов крыши. На фасадах обычно присутствуют различные архитектурные элементы, утопленные вглубь стены (ниши, проемы) или выступающие (балконы, навесы) за ее пределы.
Поэтому для построения тени от таких элементов целесообразно иметь либо план, либо
торцевой фасад (профильную проекцию). Но если знать глубину или длину выступающего от стены архитектурного элемента, то можно обойтись только фасадом.
7.1. Тени в нишах
Нишей называется углубление в стене. В нишах располагаются окна, двери, ворота
и скульптурные украшения.
42
Ниши могут иметь различную геометрическую форму: плоская, круглая, цилиндрическая полуциркульная с плоским верхом, сферическая, полуцилиндрическая, ограниченная сверху четвертью сферы.
а)
В2
б)
С2
А 2В 2
E 2F 2
С2D2
А 1E 1
D 1H 1
В 1F 1
С 1G 1
G 2H 2
s2
А2
s1
В 1А 1
D2
С 1D 1
В первом примере граница собственной тени проходит по двум ребрами
____________
Во втором примере над нишей расположен козырек. В этом случае происходит
наложение тени от карниза на тень в нише. Сначала строится тень от более удаленного от
наблюдателя объекта – тень в нише. Затем строится тень от козырька. Граница собственной тени проходит по ребрами ________________________________
43
Тень от трубы на плоскость крыши
B 2 C 2 D 2
s2

A1 B 1
s1
C1
D 1 E 1
AB и DE – горизонтально-проецирующие прямые, горизонтальные проекции теней от них
совпадают с направлением световых лучей, фронтальные проекции построены из условия
принадлежности теней плоскости крыши. Вертикальные прямые на фронтальной проекции образуют тени, параллельные скату крыши (т.е. направлены под углом α, но только в
том случае, когда углы наклонов ската одинаковые).