9. Кривые с самопересечениями На прошлой лекции мы выяснили, что существуют негиперэллиптические римановы поверхности рода g > 3, если только g является треугольным числом. Сейчас мы установим, что тоже верно и для (по крайней мере некоторых) числе, не являющихся треугольными. По-прежнему построение негиперэллиптических римановых поверхностей будет не самоцелью, но поводом познакомиться с различными интересными и полезными конструкциями. Начнем с важного технического утверждения, являющегося частным случаем (одной из версий) леммы Морса. Предложение 9.1 (лемма Морса). Пусть f | голоморфная функция p∈ двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки C2 . Предположим, что @f @f (p) = (p) = 0; @z1 @z2 но при этом 2 @ f det (p) 6= 0: @zi @zj (9.1) U 3 p и голоморфные функции f | = g1 g2 , g1 (p) = g2 (p) = 0, а дифференциалы Тогда существует такая окрестность g1 ; g2 : U → C, что dg1 (p) и dg2 (p) линейно U независимы (в частности, отличны от нуля). Матрица в левой части формулы (9.1) (а также ее определитель) называется гессианом. На геометрическом языке предложение 9.1 означает, что если кривая, заданная уравнением f = 0, имеет особую точку (условие равенства нулю обеих частных производных), в которой гессиан невырожден, то в окрестности этой точки кривая представляется в виде объединения двух трансверсально пересекающихся гладких кривых (с уравнениями g1 = 0 и g2 = 0). Не ограничивая общности, можно считать, что p | начало координат. Далее, нетрудно что при невырожденной лиP видеть, нейной замене координат zi = aij zj0 гессиан преобразуется как квадратичная форма. Так как гессиан невырожден, линейной заменой можно привести его к виду ( 01 10 ); поскольку условие независимости dg1 (p) и dg2 (p) при линейной замене координат также сохраняется, будем считать, что он уже имеет такой вид. Тогда степенной ряд для f в начале Доказательство. 1 координат имеет вид f (z1 ; z2 ) = z1 z2 + F3 (z1 ; z2 ) + F4 (z1 ; z2 ) + : : : = ∞ X i;j =0 a z1 z2 ; i j ij (9.2) где Fj | однородный многочлен степени j . Покажем, что существуют степенные ряды z1 + A2 (z1 ; z2 ) + A3 (z1 ; z2 ) + : : : ; z2 + B2 (z1 ; z2 ) + B3 (z1 ; z2 ) + : : : (Aj и Bj | однородные многочлены степени j ), сходящиеся в некоторой окрестности точки p, что z1 z2 + F3 (z1 ; z2 ) + F4 (z1 ; z2 ) + : : : = (z1 + A2 (z1 ; z2 ) + A3 (z1 ; z2 ) + : : :) × × (z1 + B2 (z1 ; z2 ) + B3 (z1 ; z2 ) + : : :); это докажет предложение, если обозначить суммы этих рядов через g1 и g2 . Будем строить Aj и Bj индукцией по степени. Начнем со степени 2. Должно выполняться равенство z1 B2 + z2 A2 = F3 . Многочлен A3 можно единственным образом представить в виде z1 F~3 + z23 , где F~3 | однородный многочлен степени 2; положим B2 = F~3 , A2 = z22 . Пусть уже построены Aj и Bj при всех j ∈ [2; n − 1]. Должно выполняться равенство z1 B + A2 B −1 + : : : + A −1 B2 + z2 A = F +1 ; n n n n n или z1 B + z2 A = F +1 − (A2 B −1 + A3 B −2 + : : : + A −1 B2 ): n n n n n n (9.3) Правую часть этого равенства можно единственным образом представить в виде z1 F~n+1 + z2n+1 , где F~n+1 | однородный многочлен степени n; положим Bn = F~n+1 , An = z2nP Напомним, что степенной ряд ∞ aij z1i z2j сходится в некоторой i;j =0 окрестности начала координат тогда и только тогда, когда существуют P такое число M > 0, что i+j =k |aij | 6 M k для всех k . Выберем такое M , что эти неравенства выполнены для aij из формулы (9.2). Лемма 9.2. и B n Каждый коэффициент построенных нами многочленов не превосходит по модулю C ·M +1 , где числа C n n n A n удовлетворяют условиям C2 = 1; C = 1 + C2 C − 1 + C3 C − 2 + : : : + C − 1 C2 ; n n n n 2 при n > 2. (9.4) По построению. каждый коэффициент многочленов An и Bn является одним из коэффициентов многочлена из правой части (9.3). С учетом этого замечания, результат получается очевидной индукцией. Доказательство леммы. Лемма 9.3. всех n > 2. Существует такая константа Доказательство леммы. R > 0, что C 6R n n при Рассмотрим производящую функцию '(t) = C2 t2 + C3 t3 + : : : : Рекуррентное соотношение (9.4) равносильно тождеству '(t)2 = t'(t) − t3 1−t : Решая это квадратное уравнение на ', получаем, что p 1 − 1 − 4t(1 − t) : '(t) = t · 2(1 − t) Стало быть, ряд для '(t) имеет положительный радиус сходимости, откуда все и следует. Сопоставляя две леммы, получаем, что каждый коэффициент многоn+1 членов An и BP Rn ; следовательn не превосходит по модулю числа M P но, ряды z1 + j>1 Aj (z1 ; z2 ) и z2 + j>1 Bj (z1 ; z2 ) сходятся в некоторой окрестности начала координат. Обозначим их суммы через g1 и g2 соответственно. Это и есть две искомые функции. Пусть V | двумерное комплексное многообразие, f : V → C | голоморфная функция, X ⊂ V | множество нулей функции f и p ∈ X . Если в окрестности точки p существуют локальные координаты, в которых f удовлетворяет условиям предложения 9.1, то говорят, что p является точкой самопересечения для X (английский Определение 9.4. термин: node). Аналогично определяются точки самопересечения в случае, когда X ⊂ V задается одним уравнением локально, а не глобально.1 p ∈ C существуp, U ⊂ V и голоморфная функция f : U → C с тем свойством, что X ∩ U = {x ∈ U | f (x) = 0}; условия «df (q ) 6= 0 для всех q ∈ C » мы на сей раз не 1 Как и в предыдущей лекции, это означает, что для всякой точки ет окрестность U 3 накладываем. 3 Теперь мы готовы описать еще один способ построения компактных римановых поверхностей. Определение 9.5. менных, и пусть Пусть F | однородный многочлен от трех пере- X = V (F ) = {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 | F (z0 ; z1 ; z2 ) = 0}: Предположим, что для всякой точки p ∈ V (F ) выполнено одно из двух: либо существует локальное уравнение f для V (F ) в окрестности p, для которого df (p) 6= 0, либо p является точкой самопересечения для X . Тогда X ⊂ P2 называется плоской кривой с самопересечениями. Нетрудно проверить (и еще проще поверить), что точек самопересечения может быть лишь конечное число. Существует канонический способ построить, исходя из кривой с самопересечениями, компактную риманову поверхность. Сейчас мы его опишем. Пусть S ⊂ X | множество точек самопересечения. Множество X0 := X \ S является по построению одномерным комплексным подмногообразием в P2 \ S и тем самым римановой поверхностью (некомпактной). Мы превратим ее в компактную, добавив к ней конечное число точек следующим образом. Для всякой точки p ∈ S пусть f | локальное уравнение X в окрестности U 3 p; зафиксируем разложение f = g1 g2 , существование которого утверждается предложением 9.1; положим X 1 = {x ∈ U | g1 (x) = 0}; X 2 = {x ∈ U | g2 (x) = 0}; p p и каждой точке p ∈ S поставим в соответствие два новых символа p1 и p2 . Положим теперь [ X~ = X0 ∪ {p1 ; p2 }; p ∈S ~ , на котором мы сейчас введем топологию и локальные множество X координаты, и будет искомой компактной римановой поверхностью. ~ будет совпадать с топологией, индуцированТопология на X0 ⊂ X 2 ной с P ; остается описать базу окрестностей для всевозможных точек p1 и p2 , где p ∈ S . Для этого отождествим Xp1 с подмножеством в X~ , ~. отождествив p1 с точкой p ∈ Xp1 ; тогда получим вложение Xp1 ,→ X Имея в виду это отождествление, объявим базой окрестностей точки p1 базу окрестностей точки p ∈ X 1 (в топологии, индуцированной с 4 ~ возьмем P2 ); в качестве же координатной окрестности точки p1 ∈ X 1 ~. образ координатной окрестности точки p ∈ Xp при вложении Xp1 ,→ X ~ действиАналогично поступим и с точками p2 . Легко видеть, что X тельно удовлетворяет определению римановой поверхности и что эта поверхность компактна. ~ получается из X «расклеиванием» точек саНеформально говоря, X ~ → X , тождественное на X0 и перемопересечения. Отображение : X 1 2 водящее как p , так и p в p для всякой p ∈ S , называется отображением нормализации. ~ связной быть, вообще Построенная нами риманова поверхность X говоря, не обязана. Например, если X | объединение d прямых на P2 , ~ | несвязникакие три из которых не проходят через одну точку, то X ное объединение d экземпляров сферы Римана. Объясним теперь, как, слегка модифицировав конструкцию из предыдущей лекции, строить мероморфные, а то и голоморфные, формы ~ . Пусть ! | мероморфная форма на P2 , имеющая полюс первого на X порядка вдоль X . Ограничим ее на P2 \ S (это ограничение также будем обозначать ! ); тогда можно рассмотреть вычет Пуанкаре ResX0 (! ); это ~ . Выясним, как устроены особенности голоморфная форма на X0 ⊂ X ~ \ X0 . этой формы в точках из X p ∈ X | точка самопересечения, и пусть ! | мероморфная 2-форма на P2 с простым полюсом вдоль X . Пусть f | локальное уравнение X в окрестности p. Если форма f! не обращается в нуль в точке p, тогда форма Res 0 (! ), рассматриваемая как ~ , имеет простые полюсы в точках p1 и p2 , мероморфная форма на X причем вычеты в этих полюсах противоположны. Если же f! обращается в нуль в точке p, то Res 0 (! ) продолжается до голоморфной ~. формы на X Предложение 9.6. Пусть X X Из леммы Морса вытекает, что в окрестности точки p можно выбрать локальные координаты z1 ; z2 таким образом, чтобы выполнялось равенство f = z1 z2 = 0. Следовательно, в окрестности p можно записать равенство Доказательство предложения. dz1 ∧ dz2 ; z1 z2 где (p) = 0 тогда и только тогда, когда f! обращается в нуль в точке p. Из предложения 8.7 следует, что != ResX0 (! ) = dz = − dz1 ; z2 2 z1 5 причем первое из этих равенств выполнено там, где z2 не является тождественным нулем (т. е. на ветви, заданной уравнением z1 = 0), а второе | там, z1 не является тождественным нулем (т. е. на ветви, задан~ получается ной уравнением z2 = 0). Стало быть, если (p) 6= 0, то на X 1 мероморфная форма с простыми полюсами в p (с вычетом (p)) и p2 (с вычетом − (p)); если же (p) = 0, то форма будет голоморфной. Из доказанного локального результата сразу вытекает интересующий нас глобальный. ⊂ P2 | плоская кривая степени d > 3 с самопересечениями, заданная уравнением F = 0. Обозначим через S ~ → X | отображемножество точек самопересечения, а через : X Предложение 9.7. ПустьX ние нормализации. Тогда всякому однородному многочлену G степени d − 3, не обращающемуся в нуль ни в одной точке самопересечения кри~ , имеющая простой вой X , соответствует мероморфная форма на X полюс в каждой из точек множества −1 (S ) и не имеющая полюсов вне −1 (S ). Доказательство. Как и в предыдущей лекции, рассмотрим на P2 мероморфную форму ! = z03 G(d(z1 =z0 ) ∧ d(z2 =z0 ))=F . Она имеет простой полюс вдоль X ; в силу предложения 9.6 форма Res 0 (! ), рассматрива~ , обладает всем требуемыми свойемая как мероморфная форма на X X ствами. Следствие 9.8. Пусть ПустьX ⊂ P2 | плоская кривая степени d > 3 с самопересечениями, и пусть количество самопересечений равно ~ связна, то ее род равен Если риманова поверхность X . (d − 1)(d − 2) − : 2 Очевидно, что всегда можно найти однородный многочлен G степени d, не обращающийся в нуль в точках самопересече~ , соответствующая G согласно ния. Пусть | мероморфная форма на X предложению 9.7. Тогда у нее имеется 2 простых полюсов, а нули ее совпадают с нулями формы G на X (так что количество нулей с учетом кратности равно d(d − 3). Следовательно, Доказательство. g (X~ ) = 1 + d(d − 3) − 2 (d − 1)(d − 2) 1 + deg() = = − : 2 2 2 6 Предложение 9.9. Если, в условиях предложения 9.7, ный многочлен степени d − 3, G | однород- обращающийся в нуль во всех точках самопересечения, то форма ResX0 (z03 G(d(z1 =z0 ) ∧ d(z2 =z0 ))=F ) продолжается до голоморфной формы на G дают с нулями на X \ S. X ; вне −1 (S ) ее нули совпа- Полностью аналогично доказательству предложе- Доказательство. ния 9.7. Как и в случае гладкой кривой, на самом деле все голоморфные формы на X получаются конструкцией из этого предложения. Замечание 9.10. Теперь мы можем продвинуться на пути построения негиперэллиптических римановых поверхностей. Предложение 9.11. степени d > 4, Пусть X | плоская кривая с самопересечениями у которой точка самопересечения ровно одна. Тогда риманова поверхность верхностью рода X~ связна и является негиперэллиптической по- (d − 1)(d − 2)=2 − 1. Дадим сначала набросок доказательства связности ~ X . Пусть p | точка самопересечения и : X~ → X | отображение ~ = X1 t X2 , где X1 и X2 открыты, то X = нормализации. Если X (X1 ) ∪ (X2 ), и при этом один из элементов −1 (p) лежит в X1 , а другой | в X2 (в противном случае получилось бы, что (X1 ) ∩ (X2 ) = ∅ и несвязна уже кривая X , что, как известно, невозможно). Возьмем теперь однородный многочлен степени d − 3, не обращающийся в нуль в точке p, и построим по нему, как в предложении 9.7, мероморфную форму на X , имеющую простые полюсы в обеих точках из −1 (p) и голоморфную в остальных точках. Ограничивая ее на X1 , получаем на компактной римановой поверхности мероморфную форму с одним простым полюсом, что невозможно ввиду теоремы о вычетах. ~ , нам достаточно покаЧтобы установить негиперэллиптичность X зать, что линейная система |KX~ | разделяет точки. Достаточно даже более слабого утверждения. Доказательство. Лемма 9.12. Пусть Y | компактная и связная риманова поверх- Z⊂ x; y ∈ Y \ R и x 6= y , то существует x, но не y . Тогда Y негиперэллиптична. ность. Предположим, что существует конечное подмножество Y со следующим свойством: если дивизор из K Y , содержащий 7 Рассуждая от противного, пусть Y гиперэллиптична, Тогда, как мы знаем, отображение, задаваемое канонической линейной системой на гиперэллиптической римановой поверхно— ; пусть сти, является двулистным разветвленным накрытием : Y → C R ⊂ Y | множество точек ветвления. Для всякой x ∈ Y , в которой неразветвлено, имеется точка y 6= x, для которой (y ) = (x); это означает, что всякий дивизор из KY либо содержит и y , и x, либо не содержит ни y , ни x. Если x ∈ = −1 ( (Z )) ∪ R и y 6= x | такая точка, что (y ) = (x), получаем противоречие. Доказательство леммы. ~ и Z = −1 (p). Пусть x; y ∈ Применим эту лемму, полагая Y = X = Z; отождествим эти точки с соответствующими точками на X . Нам надо ~ , обращающуюся в нуль в точке построить голоморфную форму на X x, но не y . В свете предложения 9.9 для этого достаточно построить однородный многочлен степени d − 3, обращающийся в нуль в p и x, но не в y . Вместо самого многочлена будем строить множество его нулей. Случай 1. Точки p, x и y не лежат на одной прямой. Пусть `1 | прямая, соединяющая p и x (через y она по условию не проходит), и пусть S `2 ; : : : ; `d−3 | произвольные прямые, не проходящие через y . Тогда j `j | множество нулей искомого многочлена (более формально: если Q Lj | линейный однородный многочлен, задающий прямую `j , то G = j Lj ). Случай 2. Точки p, x и y лежат на одной прямой. Это | единственное место, где мы используем условие d > 3. Пусть `1 | прямая, проходящая через p, но не содержащая ни x, ни y , `2 | прямая, проходящая через x, но не содержащая y , и пусть S `3 ; : : : ; `d−3 | произвольные прямые, не проходящие через y . Тогда j `j | множество нулей искомого многочлена. Нам остается установить, что кривые, удовлетворяющие условиям предложения 9.11, действительно существуют. Зафиксируем точку p ∈ P2 и обозначим через L векторное пространство однородных многочленов F степени d от z0 , z1 и z2 , для которых F (p) = Предложение 9.13. F (обозначим его @F @F @F (p) = (p) = (p) = 0: @z0 @z1 @z2 Для общего V (F ))является F ∈L множество нулей многочлена кривой с самопересечениями, един- ственное самопересечение которой | точка 8 p. Достаточно установить следующие два факта. (1) Для общего F ∈ L гессиан в точке p невырожден. (2) Для общего F ∈ L множество V (F ) не имеет особых точек, отличных от p. Доказательство утверждения (1). Не ограничивая общности, можно считать, что p = (1 : 0 : 0), и заменить однородные многочлены от z0 , z1 и z2 на произвольные многочлены степени 6 d от x = z1 =z0 и y = z2 =z0 ; тогда имеем Доказательство. L = {F | det F 6 d; f (0; 0) = @F @F (0; 0) = (0; 0) = 0}: @x @y Пусть C3 | пространство симметрических 2 × 2-матриц и H : L → C3 | линейное отображение, ставящее в соответствие многочлену его гессиан в нуле. Множество симметрических 2 × 2-матриц с нулевым определителем является, очевидно, квадратичным конусом в K ⊂ C3 ; тем самым если линейное подпространство H (L) ⊂ C3 не содержится в K , то его общий элемент является невырожденной матрицей. Поэтому для доказательства утверждения (1) достаточно проверить, что L содержит хотя бы многочлен F с невырожденным гессианом, а это очевидно: достаточно взять в качестве множества нулей F пару различных прямых, проходящих через p, полюс d − 2 прямые, не проходящие через p. Доказательство утверждения (2). Введем следующую терминологию. Всякое векторное подпространство L в пространстве однородных многочленов степени d будем называть линейной системой на проективной плоскости.2 Точку p ∈ P2 называют базисной для линейной системы L, если F (p) = 0 для всякого F ∈ L. Предложение 9.14 (теорема Бертини). Пусть L | линейная систе- B | множество ее базисных точек. V (F ) не имеет особых точек вне B . ма на проективной плоскости и Тогда для общего F ∈L кривая Набросок доказательства теоремы Бертини. Положим T = {(p; F ) ∈ (P2 \ B ) × L | F (p) = 0}: Покажем, что T | комплексное подмногообразие в (P2 \ B ) × L. В самом деле, пусть F1 ; : : : ; Fr | базис в L. Тогда в окрестности точки (p; T ) 2 Вместе с известным нам понятием линейной системы на римановой поверхности, это частный случай общего понятия линейной системы на алгебраическом многообразии. 9 можно записать T = {(1 ; : : : ; ) | 1 F1 (p) + : : : + F (p) = 0}: r r r P Заметим, что у выражения j Fj уже все честные производные по j не могут одновременно обращаться в нуль в точке p: в противном случае было бы F1 (p) = : : : = Fr (p) = 0, но тогда p была бы базисной точкой, вопреки условию. Теперь рассмотрим проекцию : T → L. По теореме Сарда общий многочлен F ∈ L не является критическим значением для L, так что −1 (F ) | гладкое комплексное подмногообразие в T . Однако же −1 (F ) = V (F ) \ B . Для завершения доказательства утверждения (2) достаточно теперь заметить, что точка p является единственной базисной точкой линейной системы L из условия предложения; чтобы формально проверить это утверждение, для всякой точки q 6= p можно рассмотреть объединение d прямых, по крайней мере две из которых проходят через p и ни одна не проходит через q . Итак, мы установили существование негиперэллиптических римановых поверхностей еще и во всяком роде g > 2, на единицу меньшем треугольного числа. На тех же путях (без привлечения существенно новых идей, но технически более муторно) можно установить существование негиперэллиптических римановых поверхностей в любом роде g > 2. 10