НИУ ВШЭ, 2013/14, «Введение в теорию игр» Математический факультет НИУ ВШЭ, 2013/14 уч. год Введение в теорию игр Листок 1: равновесие Нэша и функция полезности (25 сентября 2013; deadline: 15.11.2013) Ю. Г. Кудряшов Может ли введение дополнительных штрафов в игре быть выгодным (в каком-нибудь разумном смысле) всем игрокам? Определение 1. Говорят, что набор стратегий является , если никому из игроков не выгодно менять свою стратегию при условии, что остальные не будут менять свои. Задача 2. Приведите пример игры, для которой не существует равновесия Нэша в чистых стратегиях. Определение 2. в игре в нормальной форме называется вероятностная мера на пространстве чистых стратегий. Задача 3. Дайте определение игры в развёрнутой форме с неполной информацией. Задача 4. Нарисуйте игры «битвы полов» и «дилеммы заключённого» в развёрнутой форме (с информационными множествами). Задача 5. Для игры в развёрнутой форме с неполной информацией можно рассмотреть два понятия смешанной стратегии: ∙ вероятностная мера на пространстве чистых стратегий; ∙ набор вероятностных мер — по одной на каждом информационном множестве. Приведите пример игры, для которой эти понятия приводят к разным результатам. Задача 6. Если никто из игроков не забывает информацию, то описанные в предыдущей задаче понятия эквивалентны. Сформулируйте точное утверждение, и докажите его. Задача 7. Пусть 𝑋 — симплекс лотерей с вершинами 𝐴1 , . . . , 𝐴𝑛 (формально — вероятностных мер на множестве вершин). Пусть на 𝑋 задано отношение ⪯, обладающее следующими свойствами: (a) ∀𝜇, 𝜈 ∈ 𝑋 𝜇 ⪯ 𝜈 ∨ 𝜈 ⪯ 𝜇; (b) ∀𝜇, 𝜈, 𝜂 ∈ 𝑋 (𝜇 ⪯ 𝜈) ∧ (𝜈 ⪯ 𝜂) ⇒ (𝜇 ⪯ 𝜂); (c) ∀𝜇, 𝜈, 𝜂 ∈ 𝑋∀𝛼 ∈ [0, 1] (𝜇 ⪯ 𝜈) ⇒ (𝛼𝜇 + (1 − 𝛼)𝜂 ⪯ 𝛼𝜈 + (1 − 𝛼)𝜂); (d) для каждого 𝜇 ∈ 𝑋 множества { 𝜈 ∈ 𝑋 | 𝜈 ⪯ 𝜇 } и { 𝜈 ∈ 𝑋 | 𝜇 ⪯ 𝜈 } замкнуто. Докажите, что существует функция 𝜙 : { 𝐴1 , . . . , 𝐴𝑛 } → R, такая что Задача 1. равновесием Нэша Смешанной стратегией ∫︁ 𝜇⪯𝜈⇔ ∫︁ 𝜙 𝑑𝜇 6 𝜙 𝑑𝜈. Для этого докажите последовательно утверждения: (a) Если 𝜇 𝜈 , то отношение ⪯ задаёт полный порядок на отрезке [𝜈, 𝜇]; (b) Если 𝜇 ⪯ 𝜈 ⪯ 𝜇, то все точки прямой1 , проходящей через 𝜇 и 𝜈 , эквивалентны друг другу. (c) Если 𝜇 ⪯ 𝜂 ⪯ 𝜈 𝜇, то на отрезке [𝜇, 𝜈] найдётся ровно одна точка 𝜂′ , такая что 𝜂 ⪯ 𝜂′ ⪯ 𝜂. 1 Точнее, точки пересечения этой прямой с симплексом Ю. Г. Кудряшов 𝑋 1