Оптимизация жизненного цикла товара по критерию максимума

Оптимизация жизненного цикла товара по критерию
максимума совокупной дисконтированной
маржинальной прибыли.
Основной целью маркетинговых мероприятий по управлению жизненным
циклом товара является максимизация совокупной прибыли, получаемой на
всех его этапах. Выпуская новый товар на рынок, фирма рассчитывает покрыть
затраты на его разработку и убытки начальной стадии внедрения за счет
прибылей, получаемых на стадии роста, зрелости и даже спада продаж.
Поэтому стратегия управления жизненным циклом товара изначально должна
строиться на основе прогнозных расчетов, обеспечивающих получение данных
о совокупной прибыли за весь период присутствия товара на рынке. Такого
рода данные не могут быть получены только на основе качественного анализа
и требуют применения аппарата экономико-математического моделирования.
Пусть
T - продолжительность жизненного цикла товара;
p - цена товара;
D p ,t  - функция спроса на товар в период t при цене p;
R t  - выручка от реализации товара в период t;
V t  - переменные затраты фирмы период t;
v - переменные затраты фирмы на единицу производства и реализации
товара;
M t  - маржинальная прибыль фирмы в период t.
Если фирма точно "угадывает" спрос при установленной ей цене на
протяжении всего жизненного цикла товара, то в каждый период t выручка от
реализации товара составляет:
R t = pD  p , t 
(1)
При этом переменные затраты равны:
V t =vD  p , t 
(2)
А маржинальная прибыль составляет:
M t =R t −V t = p−v D p ,t 
(3)
Если предположить, что постоянные затраты фирмы на протяжении всего
жизненного цикла товара остаются неизменными, то основным критерием
управления жизненным циклом товара можно считать максимизацию
совокупной маржинальной прибыли, полученной от его реализации за все
периоды жизненного цикла. Иными словами, при данных предположениях
критерием управления жизненным циклом является:
T
∑ M t  max
(4)
t=1
Если предположить, что маржинальная прибыль в каждый период t в
точности совпадает с денежными поступлениями (фирма не имеет дебиторской
задолженности), то критерий (4) выражает максимизацию чистого денежного
потока по всем периодам жизненного цикла товара. Однако, поскольку доходы
1
более отдаленных периодов имеют меньшую ценность, чем ближайших, то в
критерий (4) следует ввести дисконтирование:
T
∑ M t 1h−t  max
(5)
t=1
Где h - коэффициент дисконтирования.
Таким образом, планирование жизненного цикла товара сводится к
решению задачи (5) при условии, что основные переменные связаны
зависимостями (1)-(3).
Решение задачи (1)-(3), (5) существенно зависит от двух параметров цены товара (p) и переменных затрат на единицу реализованного товара (v). В
общем случае их нельзя считать постоянными.
В частности, цена товара может существенно меняться на протяжении
жизненного цикла (снижаться или повышаться) в зависимости от рыночной
ситуации. Поскольку установление цен является прерогативой фирмы, то
переменную p следует рассматривать как управляемую. Варьируя ее значение
на протяжении жизненного цикла товара, можно добиваться более или менее
высоких показателей совокупной дисконтированной маржинальной прибыли.
Переменные затраты на единицу реализованного товара также нельзя
считать постоянными уже хотя бы потому, что по мере перехода от стадии в
стадие жизненного цикла технологический процесс производства товара
совершенствуется и переменные затраты на единицу произведенного товара
снижаются. Кроме того, на них влияет объем производства в каждый
конкретный период времени: чем больше объем производства - тем меньше
удельные переменные затраты (эффект масштаба производства). Однако, в
отличие от цены, переменные затраты на единицу реализованного товара не
являются управляемыми, поскольку зависят от:
а) используемой технологии;
а) накопленного фирмой опыта производства;
б) объема производства в каждом конкретном периоде.
При неизменности используемой технологии производства можно
считать, что переменная v является функцией времени и объема производства.
При этом будет логично предположить, что при равных объемах производства
различных периодов v является убывающей функцией времени (эффект
совершенствования производства по мере накопления опыта). Также вполне
естественным будет предположение о том, что функция v является убывающей
при росте объемов производства (эффект масштаба производства).
Основным ограничением рассмотренной модели является то, что в ней
предполагается точное "угадывание" спроса фирмой в каждый период времени,
что, конечно же, никак не может соответствовать действительности. Для
преодоления этого ограничения необходимо ввести в рассмотрение более
сложную модель.
Пусть
X t  - объем производства товара в период t;
2
Z t  - нераспроданный запас товара на начало периода t;
S t  - предложение фирмой товара на рынок в период t;
Q t  - объем продаж товара за период t.
Абстрагируясь от деталей, можно считать, что предложение фирмой
товара на рынок в период t является суммой имеющихся на его начало
нераспроданных ранее запасов и объема производства товара в данном
периоде. То есть:
S t = Z t  X t 
(6)
Если спрос на товар больше его предложения в период t, то объем продаж
равен его предложению. В противном случае объем продаж равен спросу.
Отсюда следует, что:
Q t =min  S t  , D p ,t 
(7)
Таким образом, на начало следующего периода объем нераспроданных
запасов составит:
Z t1=Z t  X t −Q t 
(8)
Сумма реализации товара в период t равна произведению цены на объем
продаж:
R t = pQ t 
(9)
Переменные затраты в период t равны произведению удельных
переменных затрат на объем выпуска продукции в данном периоде:
V t =vX t 
(10)
Маржинальная прибыль периода t составляет:
M t =R t −V t 
(11)
Варьируя объем выпуска и цену каждого периода, фирма может получать
различную совокупную маржинальную прибыль. Цель фирмы состоит в том,
чтобы найти такие значения X t  и pt  для каждого t =0,1 , ,T , при
которых достигается решение задачи (5). Таким образом, задача оптимизации
жизненного цикла товара по критерию максимизации совокупной
дисконтированной маржинальной прибыли может быть сформулирована в
следующем виде.
T
∑ M t 1h−t  max
(12)
t=1
S t = Z t  X t 
t =0,1 , ,T
(13)
Q t =min  S t  , D p ,t 
t =0,1 , ,T
(14)
(15)
Z t1=Z t  X t −Q t  t=0,1 , ,T −1
Z 0=Z 0
(16)
R t = pt Q t 
t =0,1 , ,T
(17)
V t =vX t 
t =0,1 , ,T
(18)
M t =R t −V t 
t =0,1 , ,T
(19)
 t 
X t ≤ X
t =0,1 , ,T
(20)
 t  Здесь Z 0 - заданное значение начального запаса товара, а X
заданный максимально возможный объем производства в период t=0,1 , ,T
3
В первом приближении, для описания зависимости переменных затрат на
единицу продукции от времени и объемов выпуска можно предложить
следующую функцию:
−b −b X t
(21)
v=v max −vmin  e
v min
Очевидно, что для выполнения указанных выше условий изменения
переменных затрат на единицу товара должны выполняться неравенства
b0 0 и b1 0 .
В определении функции (21) v min - это минимально возможная
(идеальная) величина переменных затрат на производство и реализацию
единицы товара, экономичнее которой произвести и реализовать товар при
данной технологии невозможно. Параметр v max , наоборот, характеризует
максимальный уровень переменных затрат на производство и реализацию
единицы товара.
При t=0 v=v max . Это означает, что на начальном этапе технология
производства еще не отлажена, нет устойчивой системы поставок сырья,
материалов и комплектующих, должным образом не налажен сбыт. Поэтому
удельные переменные затраты максимальны. При t ∞ v стремится к v min ,
сколь угодно близко приближаясь, но никогда не достигая "идеальной"
величины.
С другой стороны, чем больше объем выпуска (X), тем меньше первое
слагаемое и потому тем меньше v отклоняется от v min (эффект масштаба
производства).
Таким образом, свойства функции v таковы, что всегда выполняются
неравенства v max ≥vv min . Для практической идентификации функции (21)
параметры v max и v min целесообразно задать экспертно. Параметры b0 и
b1 также могут быть определены с помощью экспертных оценок или (при
наличии необходимой информации) методами статистического оценивания.
Например, эксперты могут задать две пары значений v 1 и v 2 для заданных
t 1 и t 2 и заданных объемах выпуска X 1 и X 2 . Тогда коэффициенты
b0 и b1 могут быть получены из системы уравнений:
−b −b X  t
v 1 =v max −v min e
v min
−b −b X  t
v 2 =v max −v min e
v min
При наличии большего числа значений пар { v , X } для оценки
b1 может быть использован метод наименьших
b0 и
параметров
квадратов.
Для практического использования предложенной модели должны быть
выполнены следующие действия.
1) Выбрать вид и определить параметры функции D p , t  спроса на
товар в различные периоды его жизненного цикла.
2) Определить параметры функции (21) зависимости переменных затрат
на единицу производства и реализации товара ( v max , v min , b0, b1 ).
0
1
0
1
1
1
0
1
2
2
4
3) Задать значение начального уровня товарного запаса Z 0 .
4) Задать значения максимальных возможных объемов выпуска товара (
 t  ) для каждого периода времени жизненного цикла товара t =0,1 , ,T
X
5) Решить задачу (12)-(20) с учетом зависимост и (21).
Из решения задачи (12)-(20) определяются такие объемы выпуска товара
и такие цены на него в каждый период времени, при которых достигается
максимум совокупной дисконтированной маржинальной прибыли за весь
период жизненного цикла товара.
Ввиду неопределенности в определении функции спроса на товар по
периодам его жизненного цикла, расчеты по модели (12)-(20) целесообразно
проводить для нескольких ее вариантов. Например, задавая реалистичный,
пессимистичный и оптимистичный прогнозы спроса. Полученные при
различных сценариях спроса решения задачи (12)-(20) позволят заранее
предусмотреть возможные варианты действий при различных вариантах
реакции рынка при выводе на него нового товара.
Кроме того, решение задачи (12)-(20) целесообразно повторять в
различные периоды жизненного цикла товара для возможной корректировки
программы выпуска и уровня цен по мере уточнения реакции рынка при
осуществлении фактических продаж товара.
5