Асимптотические разложения распределения времени

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282, с. 154–164
УДК 519.217.31
Асимптотические разложения распределения времени
пребывания случайного блуждания на полуоси1
В. И. Лотов2
Поступило в ноябре 2012 г.
Получено полное асимптотическое разложение при n → ∞ в локальной предельной теореме для
распределения времени пребывания случайного блуждания с нулевым сносом в множестве (b, ∞)
за n шагов. Здесь b = b(n) → ∞, b(n) = o(n), и на распределение скачков блуждания накладываются условия крамеровского типа.
DOI: 10.1134/S0371968513030138
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается последовательность независимых одинаково распределенных случайных
величин {Xn , n ≥ 1}, и пусть Sn = X1 + . . . + Xn , n ≥ 1. Для произвольного b ≥ 0 введем
Tn = Tn (b) =
n
I{Sk >b} ,
k=1
где IA — индикатор события A. Таким образом, Tn есть время пребывания случайного блуждания в множестве (b, ∞) на общем интервале времени [1, . . . , n], т.е. число точек k, 1 ≤ k ≤ n,
таких, что Sk > b.
Исследованию распределения времени пребывания случайного блуждания на отрезке или
полуоси посвящено большое число работ. Здесь существуют разные подходы. Для простейших
блужданий ряд результатов о времени пребывания может быть получен с помощью комбинаторных методов. Если рассматривать случайные блуждания общего вида, то наибольшее
число публикаций относится к случаю b = 0 и связанному с ним закону арксинуса (см., например, [1, 2]). Хорошо известны также предельные теоремы о времени пребывания, основанные
на использовании сходимости распределений функционалов от траекторий случайного блуждания к распределению соответствующих функционалов от предельных процессов. Весьма
подробная библиография и результаты этого направления исследований содержатся в [3, 4].
Как правило, три типа результатов можно наблюдать в предельных теоремах разного сорта: доказательства сходимости к предельному закону, оценки скорости сходимости и асимптотические разложения. В отношении времени пребывания лучше всего обстоит дело с предельными теоремами. Настоящая работа посвящена нахождению асимптотических разложений.
Изучение времени пребывания по своему типу относится к граничным задачам для случайных блужданий, т.е. к нахождению вероятностей, связанных с взаимным расположением
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект
11-01-00285).
2 Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия; Новосибирский государственный
университет, Новосибирск, Россия.
E-mail: lotov@math.nsc.ru
c В.И. Лотов, 2013
154
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ
155
траекторий случайного блуждания и границы некоторого множества. Для многих граничных задач существенные результаты, в том числе полные асимптотические разложения вероятностей, получаются с использованием аппарата факторизационных тождеств (см. [5–7] и
литературу там). По этой причине вполне естественным представляется желание применить
к изучению распределения времени пребывания технику факторизационных исследований,
достаточно хорошо разработанную к настоящему времени, и получить на этом пути новые
результаты. Определенные шаги в этом направлении уже предпринимались в работах [8–10].
Факторизационный метод обычно состоит из нескольких этапов. На первом из них находятся тождества, связывающие двойные или тройные преобразования над распределением исследуемого граничного функционала с компонентами факторизации. Как правило, в общем случае эти тождества не приводят к выражениям, пригодным для дальнейшего их обращения. Поэтому на втором этапе в рамках той или иной схемы асимптотического анализа (например, при
неограниченном удалении границы рассматриваемого множества) выделяется главная часть
полученных на первом этапе преобразований и оценивается погрешность такого приближения;
в широких условиях она оказывается пренебрежимо малой. Этот этап является достаточно
сложным. Здесь в полной мере требуется использовать весьма тонкие свойства компонент
факторизации. На третьем этапе производится обращение уже найденных главных частей преобразований, как правило асимптотическое. Это может осуществляться с помощью контурного
интегрирования с применением метода перевала [5, 7] или прямыми вычислениями [6].
Применительно к исследованию времени пребывания первый этап выполнен в [11], где найдены тождества для тройных преобразований над совместным распределением пары (Tn , Sn )
(в том числе для времени пребывания на конечном отрезке). Результаты формулируются в
терминах специального вида проекционных операторов над компонентами факторизации, вычисление которых нетрудно произвести, если распределение X1 обладает экспоненциальной
плотностью на одной из полуосей. Для случайных блужданий с произвольным распределением скачков полученные тождества не дают компактных выражений производящих функций,
пригодных для дальнейшего их обращения. Поэтому в [12] произведен асимптотический анализ полученных в [11] факторизационных представлений при условии, что b → ∞, с целью
выделения более просто устроенных главных частей. Тем самым реализован второй этап исследований.
Настоящая работа является продолжением [11, 12] и соответствует третьему этапу. Целью
работы является получение полных асимптотических разложений вероятностей P(Tn (b) = k)
при n → ∞, где b = b(n) → ∞, b(n) = o(n). Основной результат содержится в теореме 2.
Полученное в ней асимптотическое разложение требует большого количества обозначений,
вводимых по ходу доказательства, поэтому окончательная формулировка теоремы приведена
после доказательства.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Отправной точкой наших исследований служит полученная в [12] теорема об асимптотике
производящей функции распределения времени пребывания, поэтому мы приведем формулировку этого результата.
Приведем необходимые обозначения. Пусть ϕ(λ) = E eλX1 . Мы будем использовать факторизацию
1 − zϕ(λ) = R+ (z, λ)R− (z, λ)R0 (z),
в которой
∞
zn
P(Sn = 0) ,
R0 (z) = exp −
n
n=1
|z| < 1,
Re λ = 0,
(2.1)
∞
zn E exp{λSn }; Sn < 0 ,
R− (z, λ) = exp −
n
n=1
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
156
В.И. ЛОТОВ
∞
zn E exp{λSn }; Sn > 0 .
R+ (z, λ) = exp −
n
(2.2)
n=1
Известны и другие представления для компонент факторизации. Пусть
η− = inf{n ≥ 1 : Sn < 0},
тогда
η+ = inf{n ≥ 1 : Sn > 0},
R± (z, λ) = 1 − E z η± exp{λχ± }; η± < ∞ ,
χ± = Sη± ,
|z| ≤ 1.
(2.3)
Переменная λ здесь рассматривается как основная, z можно воспринимать как параметр.
Функции R± (z, λ) в явном виде могут быть выражены через нули и полюсы (по переменной λ) функции 1 − zϕ(λ) в том случае, если хотя бы одна из функций E(eλX1 ; X1 < 0) или
E(eλX1 ; X1 > 0) является рациональной [13].
С первого взгляда может показаться, что использование факторизационных компонент
при решении граничных задач для случайных блужданий является весьма искусственным
техническим приемом, причем довольно сложным. В то же время понятно, что достижение
границы случайным блужданием осуществляется независимыми скачками, распределенными
одинаково с известными лестничными величинами. По этой причине совместное распределение
момента первого достижения уровня и величины перескока неизбежно связано с совместным
распределением лестничной высоты и лестничного момента случайного блуждания. Этот эффект наблюдается также при изучении распределений других граничных функционалов, к
примеру таких, как число пересечений полосы или же время пребывания на полуоси либо на
отрезке. Если же мы интересуемся двойным преобразованием над распределением того или
иного граничного функционала, то результат будет, как правило, выражаться (в прямой или
завуалированной форме) через двойные преобразования соответствующих лестничных величин. Последние же мало чем отличаются от факторизационных компонент (см. (2.3)).
Везде в дальнейшем мы будем предполагать выполненными следующие условия крамеровского типа.
A1. Распределение X1 содержит абсолютно непрерывную компоненту.
A2. E X1 = 0 и |ϕ(λ)| < ∞ при |Re λ| ≤ β, β > 0.
В этих условия функция 1 − zϕ(λ) и компоненты факторизации R± (z, λ) обладают рядом
свойств, которые будут нами использоваться в дальнейшем и которые подробно изложены
в [5]. Приведем основные из них.
Как следует из условия A2, при некотором δ1 > 0 функция 1 − zϕ(λ) (по переменной λ)
имеет ровно два вещественных нуля λ± (z), z ∈ [1 − δ1 , 1], здесь λ− (z) ≤ 0 ≤ λ+ (z) и λ± (1) = 0.
Это легко понять, поскольку график выпуклой вниз функции ϕ(λ) дважды пересекает горизонтальную прямую на уровне 1/z ≥ 1. Функции λ± (z) являются ветвями двузначной функции
с точкой ветвления z = 1. В некоторой окрестности единицы, разрезанной по лучу z ≥ 1, имеют
место разложения
λ± (z) = ∓ψ1 i(z − 1)1/2 − ψ2 (z − 1) ∓ . . .
(см. [5]), где
ψ1 =
2
,
σ2
ψ2 =
μ3
,
3σ 4
μk = E X1k ,
(2.4)
σ 2 = μ2 − μ21 .
Здесь функция t = i(z − 1)1/2 переводит полуплоскость Im z > 0 в область π/2 < arg t < π.
Функции λ± (z) могут быть аналитически продолжены в некоторую δ-окрестность отрезка
[1 − δ1 , 1] с разрезом по лучу z ≥ 1. При этом λ± (z) по-прежнему остаются нулями функции
1 − zϕ(λ). Функции λ± (z) являются также нулями компонент факторизации: R± (z, λ± (z)) = 0.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ
157
При выполнении условия A2 факторизация (2.1) справедлива в области |Re λ| ≤ β. Функция R+ (z, λ) аналитична по совокупности переменных (z, λ) на множестве |z| < 1, Re λ < β и
является там преобразованием Лапласа–Стилтьеса (по переменной λ) зависящей от z функции ограниченной вариации, все изменение которой сосредоточено на [0, ∞). Аналогичными
свойствами при Re λ > −β обладает функция R− (z, λ).
Известно также (см. теорему 3 в [5] и ее следствия), что в окрестности точки z = 1 справедливо представление
λ − λ+ (z)
W+ (z, λ),
R+ (z, λ) =
λ−1
в котором функции W+±1 (z, λ) аналитичны по совокупности переменных в окрестности точки
z = 1 и при Re λ ≤ ε, ε > 0. Аналог этого свойства (с очевидными изменениями) имеет место
и для R− (z, λ). Это соотношение вместе с (2.4) позволяет определять поведение компоненты
факторизации R+ (z, λ) в окрестности точки z = 1.
Положим T0 = 0, и пусть
fb (s, v, λ) =
∞
s
n=0
n
n
k=0
∞
v
k
eλx P Tn (b) = k, Sn ∈ dx
−∞
— тройное преобразование над распределением пары (Tn (b), Sn ). Его нахождение в точном
виде сопряжено со значительными трудностями. Однако при условии, что b → ∞, можно
выделить сравнительно просто устроенную главную часть этого преобразования и оценить
остаток, который оказывается экспоненциально малым по сравнению с главной частью. Более
точно, введем обозначение
V (z, s, λ) =
R+ (s, λ)R+ (z, λ+ (s))
(s, λ (s))R (z, λ)
(λ − λ+ (s))R+
+
+
(производная берется по второму аргументу) и пусть
Lδ = s : |s| < 1, |s − 1| < δ .
Следующий результат содержится в [12, теорема 3].
Теорема 1. Пусть b ≥ 0 и выполнены условия A1, A2. Тогда существуют δ > 0 и ε > 0
такие, что при |sv| < 1, s ∈ Lδ , Re λ = 0 имеет место следующее представление:
⎧
⎫
⎨
⎬
1
(v − 1)R+ (s, λ)
1 − V (sv, s, λ)e(λ−λ+ (s))b −
eλy dϕsv,s (y) , (2.5)
fb (s, v, λ) =
⎭
1 − sϕ(λ) ⎩
R+ (sv, λ)
(b,∞)
где равномерно по множеству |z| < 1, s ∈ Lδ
|dϕz,s (y)| ≤ Ce−εb .
(b,∞)
Здесь и далее буквами C, C1 , C2 , . . . обозначаются константы; одна и та же буква может
соответствовать различным константам в разных выкладках.
Пусть далее для краткости Tn = Tn (b). Можно считать, что ϕz,s (∞) = 0. Полагая λ = 0
в (2.5), будем иметь
∞
1
(v − 1)R+ (s, 0)ϕsv,s (b)
n
Tn
−λ+ (s)b
1 − V (sv, s, 0)e
.
(2.6)
s Ev =
+
1−s
R+ (sv, 0)
n=0
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
158
В.И. ЛОТОВ
Отсюда выводим
∞
sn E v Tn −
n=0
∞
∞
k=0
n=k
∞
1
=
vk
sn P(Tn = k) −
sn =
1−s
=
∞
s P(Tn = 0) − 1 +
n
n=0
=
n=0
∞
v
k
k=1
∞
sn P(Tn = k) =
n=k
(v − 1)R+ (s, 0)ϕsv,s (b)
V (sv, s, 0)e−λ+ (s)b
+
.
s−1
(1 − s)R+ (sv, 0)
(2.7)
Правая часть (2.7) является аналитической функцией переменной z = sv в круге |z| < 1.
Это следует из упомянутых выше свойств компонент факторизации, задающих функцию
V (sv, s, 0), и определения функции ϕz,s , которая также известным образом выражается через компоненты факторизации (см. [12, лемма 2]). Поэтому правая часть (2.7) может быть
разложена в ряд по степеням sv и, следовательно, по степеням переменной v при |v| < |s|−1 ,
s ∈ Lδ . Пусть
V (sv, s, 0) =
∞
∞
uk (s)v k ,
k=0
Тогда
1
|γk (s)| = 2πi
|v|=1
(v − 1)R+ (s, 0)ϕsv,s (b)
=
γk (s)v k ,
(1 − s)R+ (sv, 0)
|v| < |s|−1 .
k=0
(v − 1)R+ (s, 0) (v − 1)R+ (s, 0)ϕsv,s (b) −εb
dv ≤ Ce
(1 − s)R+ (sv, 0) |dv|.
v k (1 − s)R+ (sv, 0)
|v|=1
Покажем, что интеграл в правой части этого неравенства имеет порядок O(|1 − s|−1/2 ), s → 1,
s ∈ Lδ . Как отмечалось выше, в окрестности точки z = 1 справедливо представление
R+ (z, λ) =
λ − λ+ (z)
W+ (z, λ),
λ−1
в котором функции W+±1 (z, λ) аналитичны по совокупности переменных в окрестности точки
z = 1 и при Re λ ≤ ε, ε > 0. Отсюда следует, что в наших условиях функция |R+ (s, 0)λ−1
+ (s)|,
а вместе с ней и функция |R+ (s, 0)(1 − s)−1/2 | (см. (2.4)) ограничены в окрестности единицы.
Кроме того, при |v| = 1 и s ∈ Lδ
v−1 v−1 |v − 1|
R+ (sv, 0) ≤ C1 λ+ (sv) ≤ C2 |v − 1/s|1/2 .
Последняя функция интегрируема по переменной v вдоль окружности |v| = 1 равномерно по
s ∈ Lδ . Следовательно,
C1 e−εb
Ce−εb
|R+ (s, 0)| |v − 1|
|dv|
≤
.
(2.8)
|γk (s)| ≤
|1 − s|1/2
|1 − s|1/2 |R+ (sv, 0)|
|1 − s|1/2
|v|=1
Таким образом, приходим к следующему утверждению.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 найдутся числа δ > 0 и ε > 0 такие, что при
s ∈ Lδ для k ≥ 1
∞
uk (s) −λ+ (s)b
e
sn P(Tn = k) =
+ γk (s),
(2.9)
s−1
n=k
где функции γk (s) удовлетворяют оценке (2.8).
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ
159
3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Асимптотическое обращение представления (2.9) по переменной s можно произвести с помощью модификации метода перевала так, как это делалось, например, в [5] или [7], что
приводит в конечном итоге к полным асимптотическим разложениям для P(Tn = k) при
b = b(n) → ∞.
Обозначим
∞
sn P(Tn = k).
hk (s) =
n=k
Тогда
1
P(Tn = k) =
2πi
|s|=1, |s−1|≥δ
1
hk (s)
ds +
n+1
s
2πi
hk (s)
ds = J1 + J2 ,
sn+1
Γ
где Γ — лежащий в Lδ контур, полученный из дуги {|s| = 1, |s − 1| < δ} искривлением вблизи
единицы внутрь круга |s| < 1.
Оценим сначала J1 . Для производящей функции fb (s, v, λ) в [11] установлено равенство
(здесь |s| < 1, |sv| < 1, Re λ = 0)
R+ (sv, λ) [0,b]
R+ (s, λ)
=
fb (s, v, λ) =
(1 − sϕ(λ))R+ (sv, λ) R+ (s, λ)
R+ (s, λ)
R+ (sv, λ) (b,∞)
1
−
,
=
1 − sϕ(λ)
(1 − sϕ(λ))R+ (sv, λ) R+ (s, λ)
(3.1)
в котором использовалось обозначение
⎡
⎣
⎤A
∞
λx
e
dG(x)⎦ =
−∞
∞
λx
e
dG(x),
|dG(x)| < ∞,
где
Re λ = 0.
−∞
A
−1
(s, λ) по переменной λ есть преобразование Лапласа–
Здесь в силу (2.2) функция R+ (sv, λ)R+
Стилтьеса функции ограниченной вариации, все изменение которой сосредоточено на [0, ∞).
Следовательно, применение к этой функции введенного выше оператора “проектирования”
является корректным.
Полагая λ = 0 в (3.1), приходим к равенству
∞
sn E v Tn =
n=0
где
∞
vk
k=0
∞
sn P(Tn = k) =
n=k
1
− H(s, v),
1−s
R+ (sv, λ) (b,∞)
R+ (s, 0)
.
H(s, v) =
(1 − s)R+ (sv, 0) R+ (s, λ) λ=0
Таким образом, при k ≥ 1
hk (s) =
∞
n=k
1
s P(Tn = k) =
2πi
n
|v|=1
H(s, v)
dv.
v k+1
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
160
В.И. ЛОТОВ
В [5] установлен ряд свойств компонент факторизации, имеющих место при выполнении условий A1 и A2. В частности, в условиях теоремы 1 при любом δ > 0 найдется число ε > 0 такое,
что при |s| = 1, |s − 1| ≥ δ имеет место представление вида
R+ (sv, λ)
=
eλy dGs,v (y),
Re λ ≤ ε,
eεy |dGs,v (y)| ≤ C < ∞
R+ (s, λ)
[0,∞)
[0,∞)
(здесь играет роль отсутствие в полосе 0 ≤ Re λ ≤ ε нулей функции 1 − sϕ(λ), а значит, и
нулей функции R+ (s, λ)). Отсюда сразу же получаем для |s| = 1, |s − 1| ≥ δ
sup
|H(s, v)| ≤ C2
|dGs,v (y)| ≤
|hk (s)| ≤ C1
|s|=1, |s−1|≥δ
−εb
(b,∞)
−εb
eεy |dGs,v (y)| ≤ C5 e−εb ,
e |dGs,v (y)| ≤ C4 e
≤ C3 e
εb
(b,∞)
(b,∞)
и, следовательно, J1 ≤ Ce−εb .
Займемся теперь исследованием J2 . В силу (2.9) имеем при n ≥ k
1
1
uk (s)e−λ+ (s)b ds
γk (s) ds
+
.
J2 =
2πi
(s − 1)sn+1
2πi
sn+1
Γ
(3.2)
Γ
Для оценивания последнего интеграла сделаем замену t = i(s − 1)1/2 и пусть Γ1 — образ
γk (t) уже не
контура Γ в плоскости переменной t, γ
k (t) = γk (s). Тогда в силу (2.8) функция t
имеет особенности в нуле и
1
1
1
γ
(s)
ds
2t
γ
(t)
dt
2t
γ
(t)
dt
k
k
k
=
=
≤ Ce−εb .
2πi
2πi
n+1 2 )n+1 2 )n+1 s
(1
−
t
2πi
(1
−
t
√
Γ
Γ1
|1−t2 |=1, |t|< δ
Таким образом, установлено, что
1
P(Tn = k) =
2πi
Γ
uk (s)e−λ+ (s)b ds
+ O(e−εb ).
(s − 1)sn+1
(3.3)
Рассмотрим более подробно функции uk (s). Пусть для краткости
A(s) = −
R+ (s, 0)
(s, λ (s))
λ+ (s)R+
+
(3.4)
(производная везде берется по второму аргументу), тогда
V (sv, s, 0) = A(s)
R+ (sv, λ+ (s))
.
R+ (sv, 0)
В окрестности единицы, разрезанной по лучу s ≥ 1, имеет место разложение вида
A(s) = 1 + c1 i(s − 1)1/2 + c2 (1 − s) + . . . ,
поскольку
(s, λ+ (s)) + . . .
R+ (s, 0) = R+ (s, λ+ (s)) − λ+ (s)R+
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ
161
и выполнено разложение (2.4) для функции λ+ (s). Функция R+ (sv, λ+ (s)) аналитична по v
при |v| < |s|−1 , s ∈ Lδ и обращается в нуль при v = 1. Отсюда следует, что функция V (sv, s, 0)
ограничена на множестве |v| ≤ 1 при каждом s ∈ Lδ , δ > 0, а значит, и функции
1
V (sv, s, 0) dv
uk (s) =
2πi
v k+1
|v|=1
ограничены равномерно по k. Исследуем эти функции более детально. Сначала заметим, что
факторизационное представление (2.1) справедливо не только на оси Re λ = 0, но и для
всякого λ из полосы |Re λ| < β, для которого выполняется |zϕ(λ)| < 1. В силу того, что
ϕ(λ+ (s)) = 1/s, мы можем использовать факторизацию (2.1) при z = sv, λ = λ+ (s), если
только |v| < 1. Поэтому имеем для таких v
∞
(sv)k R+ (sv, λ+ (s))
λ+ (s)Sk
= exp −
E (e
− 1); Sk > 0 .
R+ (sv, 0)
k
k=1
Введем обозначение
sk λ+ (s)Sk
E e
− 1; Sk > 0 = αk (s),
k
и пусть
s ∈ Lδ ,
∞
∞
R+ (sv, λ+ (s))
= exp −
v k αk (s) =
v k βk (s),
R+ (sv, 0)
k=1
|v| < 1,
(3.5)
k=0
т.е. uk (s) = A(s)βk (s), k ≥ 0. Здесь β0 (s) ≡ 1; коэффициенты αk (s) и βk (s) являются функциями от s и λ+ (s), по этой причине они могут быть разложены в сходящиеся ряды по степеням
переменной t = i(s − 1)1/2 в окрестности единицы, разрезанной по лучу s ≥ 1. Пусть
(k)
(k)
(k)
uk (s) = A(s)βk (s) = q0 + q1 i(s − 1)1/2 + q2 (1 − s) + . . . .
(3.6)
При s → 1 имеет место αk (s) → 0 для каждого k ≥ 1 по теореме о мажорируемой сходимости
в силу того, что λ+ (s) → 0 и выполнено условие Крамера о существовании экспоненциального
(k)
момента. Отсюда также следует, что βk (s) → 0 для каждого k ≥ 1, т.е. q0 = 0. Кроме того,
для s ∈ Lδ имеем
∞
R+ (s, λ+ (s))
= lim
v k βk (s) = 0.
v→1
R+ (s, 0)
k=0
Покажем, что
lim
v→1
∞
k=0
k
v βk (s) =
∞
βk (s).
k=0
В соответствии с теоремой 90 из [14] для этого достаточно установить, что для каждого
вещественного s ∈ Lδ имеет место βk (s) = Os (1/k) при k → ∞. Сначала покажем, что
αk (s) = Os (1/k). Действительно, для указанных s имеет место λ+ (s) > 0 и поэтому
E eλ+ (s)Sk − 1; Sk > 0 = E eλ+ (s)Sk − 1 − E eλ+ (s)Sk − 1; Sk ≤ 0 =
1
1
= ϕk (λ+ (s)) − 1 + E 1 − eλ+ (s)Sk ; Sk ≤ 0 ≤ k − 1 + P(Sk ≤ 0) ≤ k .
s
s
11
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
162
В.И. ЛОТОВ
С другой стороны,
E eλ+ (s)Sk − 1; Sk > 0 = ϕk (λ+ (s)) − P(Sk > 0) − E eλ+ (s)Sk ; Sk ≤ 0 ≥
≥ ϕk (λ+ (s)) − 1 =
1
− 1.
sk
Таким образом,
1
1
(1 − sk ) ≤ αk (s) ≤ .
k
k
Положим
где по-прежнему s < 1, s ∈ Lδ . Тогда при |u| ≤ 1 абсолютно сходится
k vk = us в (3.5),
k α (s) = O (sk /k) при k → ∞. Следовательно, для коэффициентов ряда
ряд
u
s
α
(s)
и
s
s
k
k
k k
u s βk (s) также выполняется sk βk (s) = Os (sk /k) (см. [15]), т.е. βk (s) = Os (1/k).
Вернемся к формуле (3.3) и перепишем участвующий в ней интеграл в виде
1
2πi
Γ
1
uk (s)e−λ+ (s)b ds
=
(s − 1)sn+1
2πi
Γ
uk (s)enh(s) ds
,
s(s − 1)
где h(s) = − nb λ+ (s) − ln s. Сделаем вновь замену t = i(s − 1)1/2 , тогда ds = −2t dt, и введем
обозначение
2tuk (s)
,
h(t) = h(s).
ak (t) = −
s(s − 1)
Здесь ak и h являются аналитическими функциями переменной t в некоторой окрестности
(k)
нуля, при этом ak (0) = 2q1 . Имеем после замены
1
ak (t)enh(t) dt + O(e−εb ),
(3.7)
P(Tn = k) =
2πi
Γ1
где, напомним, Γ1 — образ контура Γ в плоскости переменной t. Асимптотическое поведение
этого интеграла будет исследоваться методом перевала. Положим τ = b/n. Далее везде будет
предполагаться, что τ = τ (n) → 0 при n → ∞. Кроме того, будем считать, что b/ log n → ∞.
Отсюда следует, что O(e−εb ) = o(n−C ) для любого C > 0. Нетрудно видеть, что в окрестности
нуля имеет место разложение
t4
2
2
+ ... .
h(t) = τ (ψ1 t + ψ2 t + . . .) + t +
2
Точка перевала t0 является решением уравнения
h (t) = τ (ψ1 + 2ψ2 t + 3ψ3 t2 + . . .) + 2(t + t3 + . . .) = 0,
откуда получаем при τ → 0
t0 = −
h(t0 ) = −
3τ ψ3
τ ψ1
τ ψ1
−
t20 + . . . = −
(1 − τ ψ2 ) + O(τ 3 ),
2(1 + ψ2 τ )
2(1 + ψ2 τ )
2
3τ 3 ψ12 ψ2
τ 2 ψ12
+
+ O(τ 4 ),
4
4
ν=
h (t0 )
= 1 + ψ2 τ + O(τ 2 ).
2
Так как h (t0 ) = 0, то кривые Re h(t) = h(t0 ) делят окрестность точки t0 на четыре прямоугольных сектора, в которых поочередно Re h(t) < h(t0 ) и Re h(t) > h(t0 ). Концы сектора Γ1
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ
163
при достаточно малых значениях τ лежат внутри секторов Re h(t) < h(t0 ). Изменим контур Γ1
так, чтобы, оставаясь внутри секторов Re h(t) < h(t0 ), он проходил через точку t0 . Заметим,
что при τ → 0 точка перевала стремится к нулю. Тем самым мы приходим к оцениванию интеграла из (3.7) методом Лапласа. Ясно, что при некотором δ > 0 этот интеграл с точностью
до экспоненциально малого слагаемого равен
1
2πi
t
0 +iδ
t0 −iδ
1
ak (t)enh(t) dt =
2π
δ
ak (t0 + iu)enh(t0 +iu) du.
−δ
Пользуясь стандартной техникой метода перевала [16], расписываем
h(t0 + iu) = h(t0 ) −
u2 iu3 h (t0 ) −
h (t0 ) + . . . .
2
3!
Пусть при |u| < δn−1/3
∞
iu3 (k)
h (t0 ) + . . .
ak (t0 + iu) exp n −
=
clm ul (nu3 )m =
3!
l,m=0
=
(k)
clm ul (nu3 )m + ΔN (u, nu3 ),
l+m≤N
l≥0, m≥0
где ΔN (u, nu3 ) = O(|u|N +1 ) + O(|nu3 |N +1 ). Эта оценка справедлива для любого N ≥ 0
(k)
(см. [16]), она неравномерна по N . Разумеется, коэффициенты clm разлагаются в ряды по
степеням τ в достаточно малой окрестности нуля. В частности,
(k)
(k)
c00 = ak (t0 ) = 2q1 + Ok (τ ).
Теперь мы можем представить
1
2π
δ
nh(t0 +iu)
ak (t0 + iu)e
−δ
1 nh(t0 )
e
du =
2π
(k)
clm nm
l+m≤N
l≥0, m≥0
1 nh(t0 )
e
+
2π
δ
δ
ul+3m e−nu
2ν
du +
−δ
ΔN (u, nu3 )e−nu
2ν
du.
(3.8)
−δ
∞
δ
Ясно, что замена интегралов −δ в правой части (3.8) на интегралы вида −∞ добавит
погрешность порядка O(e−εn ) при некотором ε > 0. Если l + 3m четное, то
∞
l+3m −nu2 ν
u
e
−(l+3m+1)/2
du = (nν)
−∞
l + 3m + 1
.
Γ
2
Для нечетных l + 3m этот интеграл равен нулю. Таким образом, мы приходим к следующему
утверждению.
Теорема 2. Пусть выполнены условия A1 и A2. Тогда для любых целых N ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n
при b = b(n) → ∞, b(n) = o(n), b/ log n → ∞ имеет место разложение
P(Tn = k) =
N −1
−N − 1 1 nh(t0 ) (k) −j− 1
2 + O n
2 ,
e
dj n
2π
(3.9)
j=0
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282
11*
164
В.И. ЛОТОВ
где
(k)
dj
=ν
−j− 12
2j
m=0
(k)
c2j−m,m ν −m Γ
1
.
j+m+
2
Нетрудно видеть, что главный член разложения равен
(k)
ψ12 nτ 2 q1
1 nh(t0 ) (k) − 1
2
exp −
e
1 − 3ψ2 τ + O(τ ) .
d0 n 2 = √
2π
4
πn
(k)
Напомним, что q1 определено в (3.6), участвующие в разложении (3.6) функции A(s) и βk (s)
определены формулами (3.4) и (3.5).
(k)
Уточнение характера зависимости коэффициентов dj от k требует дополнительных исследований.
Благодарности. Автор благодарен рецензенту, внимательно прочитавшему работу и
сделавшему ряд полезных замечаний, учет которых способствовал улучшению данной статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2.
2. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969.
3. Скороход А.В., Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев: Наук. думка,
1970.
4. Бородин А.Н., Ибрагимов И.А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий. СПб.:
Наука, 1994. (Тр. МИАН; Т. 195).
5. Боровков А.А. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых //
Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 5. С. 645–694.
6. Лотов В.И. Предельные теоремы в одной граничной задаче для случайных блужданий // Сиб. мат. журн.
1999. Т. 40, № 5. С. 1095–1108.
7. Лотов В.И. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах. II // Теория вероятн. и ее
примен. 1979. Т. 24, № 4. С. 873–879.
8. Семенов А.Т. Асимптотические разложения для распределения времени пребывания случайного блуждания в отрезке // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, № 4. С. 918–930.
9. Лугавов В.С., Рогозин Б.А. Факторизационные представления для времен пребывания полумарковских
блужданий // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 389–406.
10. Лугавов В.С. О компонентах факторизационного представления для времени пребывания полунепрерывных случайных блужданий в полосе // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 800–809.
11. Лотов В.И. Факторизационные тождества для времени пребывания случайного блуждания в полосе //
Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 1. С. 146–155.
12. Лотов В.И. О времени пребывания случайного блуждания в полосе // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 4.
С. 785–804.
13. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.
14. Харди Г.Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностр. лит., 1951.
15. Рогозин Б.А. Асимптотика коэффициентов в теоремах Леви–Винера об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, № 6. С. 1304–1312.
16. Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2013, т. 282