ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ Курганова М.В., Сарбитова И.Л

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ
Курганова М.В., Сарбитова И.Л., Корнилова К. А.
Самарского государственного экономического университета.
Самара, Россия
APPLICATION OF DERIVATIVE IN ECONOMY
Kurganova M. V., Sarbitova I. L., Kornilova K. A.
Samara State University Of Economics
Samara, Russia
А. И. Крылов говорил: «Рано или поздно всякая правильная математическая
идея находит применение в том или ином деле» и он оказался прав в своем
высказывании. Математика стала не только орудием количественного расчета, но и
методом точного исследования. Без нее с ее развитым логическим и вычислительным
аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой
деятельности. Подробнее рассмотрим именно экономическую деятельность.
Математика служит средством максимально четкой и понятной формулировки
экономических понятий и экономических проблем. Поэтому современный экономист
должен мастерски владеть количественными методами анализа. Экономическая
теория — особая дисциплина, которая изучает выбор потребителя в условиях
ограниченности ресурсов для максимального удовлетворения потребностей. В
задачах по экономической теории различных школ очень часто требуется найти
значение таких показателей, как производительность труда, максимальная прибыль,
максимальный выпуск, минимальные издержки. Каждый показатель представляет
собой функцию от одного или нескольких переменных, нахождение которых
сводится к вычислению производной
Подробнее остановимся на производительности труда. Как известно в основе
экономического процесса лежит прежде всего производство, сам процесс
производства по- разному трактовался в экономической теории в историческом
контексте. Классики экономической науки сделали вывод о том, что «производство
— это преобразования продуктов природы для удовлетворения потребностей
человека»[1,c.87], а с точки зрения неоклассиков, производство - это любое
производство товаров или услуг. С какой бы стороны не рассматривать производство
- это прежде всего сложный процесс, который включает в себя множество стадий.
Главная задача производства — это максимальное удовлетворение потребностей
человека, поэтому любое производство должно быть эффективным. А как раз
производительность труда является одним из самых широко применяемых методов
для нахождения эффективности труда.
Производительность труда измеряется количеством продукта, выпущенного
работником за единицу времени. Одним из методов нахождения производительности
труда является математическое нахождение производной.
Начнем
с
того,
что
в
математике:
«производная-основное
понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения
функции»[2,c.168]. Определяется как предел отношения приращения функции к
приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой
предел существует.
Теперь попытаемся дать определение понятию «производная» при помощи
математических символов и формул:
Пусть
в
некоторой окрестности точки
определена функция
Производной
функции
называется
такое
число
,
что
функцию
в
окрестности
можно представить в виде
если существует.
На основании вывода математического определения понятия «производная»
попробуем выявить экономический смысл данного понятия. Мы задались вопросом:
«Почему у экономиста возникает ассоциация «маржинализм» если спросить его о
понятии «производной»?». Начнем в истории происхождения этого слова:"Marginal" в
переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный",
"граничный". «К предельным величинам в экономике относятся: предельные
издержки,
предельный
доход,
предельная
полезность,
предельная
производительность и другие»[3,c.216]. Понятие предельных величин позволило
создать абсолютно неповторимый инструмент исследования и описания
экономических явлений, с помощью которого стало возможно решать экономические
проблемы, прежде не решённые или решённые не должным образом. Данные
величины тесным образом связаны с понятием производной, ибо они характеризуют
не состояние (как, например, суммарная или средняя величины), а процесс изменения
экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость
изменения некоторого экономического объекта (процесса) с учетом времени или
относительно другого исследуемого фактора. Теперь имея научно-теоретическую
подкрепленность отразим взаимоотношение «производной» и «производительности
труда» рассмотрев задачу и соответственно решив ее:
Объем продукции, произведенной цехом, может быть описан уравнением:
u= - t3+5t2+120t+10, где 1≤t≤8 — рабочее время (ч).
Вычислите производительность труда и скорость ее изменения в момент t=1 и
t=4.
Производительность труда найдем по формуле:
z(t)=lim
= u'(t) dt – 0
z(t) = u'(t)= -3t2+10t+120 (eд./ч).
Скорость изменения производительности труда вычислим как производную:
z'(t) = -6t+10 (ед./ч2)
Тогда в заданные моменты времени имеем:
z(1) =128 (ед./ч2), z'(1)= 4 (ед./ч2);
z(4) = 112 (ед./ч2), z'(4) = -14 (ед./ч2)
Из вычислений можно сделать вывод, что производительность труда к концу
рабочего дня снижается. При этом изменение знака в z'(t) свидетельствует о том, что
увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня смещаются ее
снижением в последующие часы.
Итак, мы дали математическое определение понятия «производная», раскрыли
экономический смысл данного понятия, на научно-теоретическом уровне показали
взаимосвязь таких понятий, как «производная» и «производительность труда»,на
практическом уровне(при помощи составления и последующего решения задачи)
отразили взаимоотношение «производной» и «производительности труда». На
основании всего этого можно с абсолютной уверенностью сказать, что:
1.Производная является преимущественным инструментом экономического
анализа, который позволяет расширить математический смысл экономических
понятий и выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
2. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то
есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная
выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и
т. д.).
3.Экономический смысл производной заключается в том, что производная
выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением
времени или относительно другого исследуемого фактора.
4. Производная находит широкое применение в экономической теории. Знание
производной позволяет решать многочисленные задачи разнообразного вида по
экономической теории.
Список литературы:
1. Иванов С.И. "Экономика. Основы экономической теории" - Вита-Пресс, 2011.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. "Высшая математика для
экономистов" - Юнити-М, 2009.
3. А.С. Булатов «Производственные возможности. Предельные величины» 3-е изд.,
перераб. и доп. - Юрист, 2010.
4. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие/ кол. авторов; под
ред. С.И. Макарова.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: КНОРУС, 2007. – 240с.