Валовая заменимость и сравнительная статика многозначного

Валовая заменимость и сравнительная статика
многозначного спроса на рынках с трением: закон
Хикса, парадоксы налогообложения
Коковин С.Г.∗, Яворский С.В.
Препринт Института математики СО РАН
Новосибирск, 2001
Аннотация
Рассматривается модель общего равновесия системы рынков с “трением”
(налоги, таможенные барьеры, издержки сделок, запpеты покупок и пpодаж). Найдены достаточные условия, в терминах исходных параметров, выполнения свойств валовой заменимости, закона Вальраса. Найдены условия
на параметры модели и на область цен, при которых отображение спроса
подчиняется “закону Хикса”. В этом случае, при дополнительных условиях,
зависимость равновесной цены любого товара от налога на него, или от его
запаса, оказывается монотонно невозpастающим отображением. Существенность найденных условий подтверждена контpпpимеpами. Построены также
“парадоксальные” примеры роста объемов торговли и полезностей благодаря
увеличению налогов.
∗
Это исследование, продолжавшееся с 1994 г., было поддержано Московским научным фондом, а также (в составе обширного коллективного исследования) Российским Гуманитарным Научным Фондом - включая гранты 96-02-02096, 99-02-00141, Российским Фондом Фундаментальных Исследований - гр.96-15-98656, 98-01-00664, 00-15-98884 и 01-01-00896, ФЦП “Интеграция”
- 274. Авторы благодарны также А.В.Сидорову, А.И.Сотскову, В.М.Полтеровичу, В.А.Спиваку
и анонимному рецензенту журнала Экономика и Мат. Методы (где публикуется сокращенный
вариант статьи) за полезные обсуждения и замечания.
1
Введение
Работа посвящена анализу сравнительной статики общего равновесия
в модели рыночной системы с издержками сделок и ограничениями
торговли разной природы, именуемыми обобщенно “рыночным трением”. Эту модель можно назвать стандартной, в том смысле, что она
является минимальной модификацией модели Эрроу-Дебре, отличаясь
только “трением”,1 что позволяет особые свойства ее равновесий приписать именно “трению”. Конкретнее, рассматривается система рынков,
интерпретируемых как несколько стран или областей, или как институционально различные рынки (легальный и запрещенный, один магазин или другой, и т.д.). Полезность товара доставленного домой для
потребителя предполагается одинаковой, независимо от места покупки, но цены на разных рынках могут не совпадать из-за различий в
налогах, торговых надбавках, тарифах, потерях товаров при торговле
и транспортировке, квотах и других торговых барьерах – это и есть
“трение” или “фрикции” (“market frictions”), или, более узко, “издержки
сделок”, которые могут включать денежные издержки (типа налогов)
и натуральные затраты на торговлю (типа потерь при транспортировке).
Для предсказания последствий изменения исходных параметров (начальных запасов, налогов) в подобной системе рынков могут быть полезны различные теоремы сравнительной статики. Мы ограничимся
рассмотрением теорем, использующих понятия валовой заменимости и
“закона Хикса”, наиболее продуктивных для предсказания “значительных”, то есть не дифференциально-малых изменениях равновесий. “Закон Хикса” означает, грубо говоря, монотонное снижение равновесной
цены товара при возрастании его начального запаса;2 он при допол1
Кроме того, в теоремах использованы весьма частные гипотезы о производственных множествах и предпочтениях.
2
Часто говорят о “законах Хикса”, разделяя это свойство спроса на несколько, см. далее точ-
2
нительных гипотезах гарантирует важное свойство рынка: снижение
цены при росте налога (цены, получаемой продавцом, т.е. “tax-excluded
price”). Для классических (без трения) моделей рынков закон Хикса
был выведен в 1960-е годы из валовой заменимости спроса, в условиях
однозначного однородного спроса, удовлетворяющего закону Вальраса (см. [1]). Впоследствии введение понятия обобщенной валовой заменимости помогло В.М.Полтеровичу и В.А.Спиваку ([2] – [5]) найти
условия, необходимые и достаточные для выполнения закона Хикса,
в терминах свойств многозначных отображений спроса (среди них –
валовая заменимость!), а также близкие к необходимым достаточные
условия в терминах начальных параметров моделей равновесия: предпочтений и др. Рассматривались отображения, порожденные классической моделью обмена или моделью с фиксированными доходами; обе
эти модели не описывают рыночное трение, что обеспечивает выполнение закона Вальраса и других важных свойств “всюду”, то есть на
положительном ортанте цен. Цель настоящей работы состоит в получении подобных результатов для более сложного случая – для модели
с трением, которая включает обычную модель обмена как частный
случай, и гарантирует нужные свойства спроса лишь локально.
Специфичные модели с трением исследованы достаточно подробно. В частности, для изучения воздействия налогов, пошлин и других
“фрикций” на равновесия, исследователи налогообложения и международной торговли разработали такие специальные равновесные модели как модель Хекшера-Олина, (модель международной торговли,
ставшая основой для исследования воздействия изменения пошлин на
экономику торгующих стран), модель Харбергера (изучающая воздействие изменения налогообложения на экономику) и др. (см. [6], [7]).
Для выяснения теоретического вопроса, насколько трение изменяет
свойства равновесий, они непригодны, поскольку гипотезы о свойствах
ные определения.
3
равновесий в них внесены прямо в структуру модели, в отличие от общей модели Эрроу-Дебре, упрощенными вариантами которой они являются. Кроме того, условия этих моделей ограничительны.3 Для обеспечения однозначности спроса обычно предполагают строго выпуклые
предпочтения и исключают прямой доступ потребителей одного рынка
к другим рынкам, что не всегда реалистично. Мы же рассмотрим случай возможности доступа потребителя к нескольким рынкам, причем
этот доступ может быть затруднен издержками сделок, поэтому отсутствие доступа тоже включено в рассмотрение как частный случай.
В такой общей ситуации даже строгая выпуклость предпочтений не
гарантирует однозначность спроса. Дело в том, что для участника
торговли вполне может возникнуть равновыгодность покупок товара на одном или на другом рынке, а это и означает многозначность
спроса. Подрывается ли этим предсказуемость сравнительной статики
рынков с трением, в том числе — приложимость выводов известных
теорем о международной торговле и о последствиях налогообложения?
Это центральный вопрос ряда наших работ [11] – [15], и ответ на него
неоднозначен.
В данной работе мы стремились получить слабейшие (близкие к
необходимым) условия на предпочтения потребителей и на издержки сделок, достаточные для выполнения свойства валовой заменимости, законов Хикса и Вальраса, а также для монотонной реакции цен
на налоги, в “наиболее естественной” модели системы рынков с трением.4 По сравнению с ранним вариантом соответствующих теорем
3
Конкретнее, условия этих моделей порождают однозначный, причем дифференцируемый
и однородный, спрос. Более общие модели с фрикциями, но без исследования сравнительной
статики можно найти в [9], [10]).
4
Условий же на индивидуальные параметры, в строгом смысле необходимых и достаточных
для исследуемых свойств совокупного спроса, достичь в обсуждаемых теоремах невозможно. Дело в том, что суммирование индивидуальных отображений спроса благоприятно отражается на
всех исследуемых свойствах. Скажем, отсутствие валовой заменимости спроса одного участника
может быть компенсировано достаточно сильным эффектом заменимости у другого. Поэтому
4
из [11], [12], [15], мы ввели в модель производство, ослабили условие
однозначности спроса, нашли ключевые контрпримеры, в том числе
“парадоксальные”.
Теорема 2 выясняет условия “наследования” индивидуальным и совокупным спросом свойств типа валовой заменимости и нормальности
после появления рыночного трения. Подразумевается, что если предпочтения были таковы, что спрос экономики обладал обобщенной валовой заменимостью без трения,5 то заменимость сохранится и при
трении, сохранятся также нормальность спроса и другие естественные
свойства. Условия “наследования” включают транферабельность денег
между рынками (единое бюджетное ограничение) и диагональность
матрицы физических потерь товаров при торговле; то есть теряются сами обмениваемые товары, а не какие-то другие. Существенность
этих условий подтверждена контрпримерами.
Слабый закон Вальраса установлен при этих же и дополнительных
условиях в Теореме 3, но только локально, для специфической области
цен. Конкретнее, для случая наличия налогов мы вынуждены предполагать однозначность спроса хотя бы в одной точке на некоторой монотонной ломаной линии, связывающей два вектора сравниваемых цен.
Мы не надеемся ослабить это, довольно мягкое, условие, поскольку
было выяснено (см. пример ниже), что сочетание налогообложения и
многозначности спроса может приводить к нарушению закона Вальраса, а также свойств обобщенной валовой заменимости совокупного (но
не индивидуального) спроса и закона Хикса в изучаемой модели. Помы ограничились обсуждением аргументов (контрпримеров и др.) в пользу того, почему более
сильных теорем в терминах индивидуальных параметров участников получить невозможно, или
мало шансов.
5
Например, линейные и логарифмические функции полезности порождают заменимость, см.
Определение 2.1.5 ниже. Условие валовой заменимости жесткое, но без него не обойтись. Дело в
том, что теорема о законе Хикса из [5], на которую мы опираемся, утверждает, что обобщенная
валовая заменимость спроса является не только достаточным, но также необходимым условием
для изучаемого здесь варианта “закона Хикса”.
5
этому в Теореме 4, устанавливая локальный закон Хикса (опираясь на
локальный закон Вальраса), мы вынуждены предполагать для случая
наличия налогов локальную однозначность спроса, хотя бы в окрестности точки покомпонентных максимумов (минимумов), построенной
на паре сравниваемых цен. Напротив, при отсутствии налогов закон
Хикса выполнен “всюду” независимо от многозначности. Вероятно, Теорема 4 также может быть развита до утверждения о действии закона
Хикса “почти всюду”, для “почти всякой” экономики с валовой заменимостью и со всеми видами трения, включая налоги.
Далее, Теорема 5 устанавливает “естественную” (монотонно убывающую) реакцию равновесной цены товара (получаемой продавцом) на
повышение соответствующего налога, для начальной и конечной цен,
подпадающих под условия предыдущих теорем. Однако, она использует еще дополнительное неочевидное условие, называемое “сравнимостью состояний по минимуму (максимуму)”. Подразумевается невозpастание (неубывание), после изменения налога, по крайней мере одной цены среди цен товаров, спрос на которые в результате изменился.
Важность условия сравнимости подтверждена “ценовым парадоксом
налогов” в Примере 4.3.1: в нем дополнительный налог приводит к
росту цены обложенного товара, несмотря на валовую заменимость,
закон Хикса и однозначность спроса (см. Рис. 4.3). При гипотезах Теоремы 5 установлены также выпуклость и “эквивалентность” равновесий.
Построены также примеры других “парадоксальных”, неблагоприятных для предсказуемости рынка, реакций рассматриваемой рыночной системы с трением на возмущения исходных параметров. В Примере 4.3.1 мы видим отсутствие “полунепрерывности снизу” отображения равновесий по налогу, то есть большие скачки равновесия в ответ
на бесконечно малые возмущения параметра, множество равновесий
неэквивалентных для участников. Указан также пример, когда допол6
нительное налогообложение товара приносит увеличение объема торговли (“объемный парадокс налогов”), и пример, когда все участники
экономики, включая продавца облагаемого товара и его покупателя,
извлекают пользу из добавочного налогообложения (“полезностный парадокс налогов”) – хотя общественных благ в модели нет, налоги просто перераспределяются.
Важное для исключения парадоксов свойство “сравнимости состояний” не гарантируется какими-либо очевидными условиями. Но в
Предложении 4.2.1 выяснено, что это свойство выполнено, например,
когда бóльшие ставки налогов приносят бóльшие суммы налоговых
сборов и изменяют, к тому же, спрос на все товары. Таким образом,
неэффективные по Лафферу реформы налогообложения имеют больше шансов демонстрировать парадоксы.
Итак, в целом выяснено, что даже при сильном и благоприятном
для предсказуемой сравнительной статики условии на предпочтения
(порождающем валовую заменимость спроса в отсутствии трения),
экономика с трением может демонстрировать отсутствие валовой заменимости и другие неблагоприятные для ее предсказуемости свойства,
за исключением довольно специфичных условий Теорем 5, 6. Добавим,
что использованные нами гипотезы о производстве и о распределении
доходов также довольно специфичны, в частности требуется валовая
заменимость отображения спроса совокупного производителя, и существенность принятых условий аргументирована. В этом смысле настоящая работа особенно акцентирует отрицательные результаты: примеры непредсказуемой сравнительной статики и направления, в которых
нельзя усилить теоремы о выведении “закономерных” свойств рынка
из индивидуальных свойств участников.6
В Разделе 1 описана изучаемая модель равновесия. В Разделе 2 да6
Оговоримся, что есть направление возможного (?) обобщения теорем, которое нами не проверено: нелинейность налогов и непропорциональность распределения доходов.
7
ны определения и необходимые технические результаты.7 В Разделе 3
помещены теоремы о “наследовании” свойств спроса и о слабом законе
Вальраса, в Разделах 4–5 — теоремы о законе Хикса, о влиянии налогообложения на цены, замечания об эквивалентности равновесий,
контрпримеры, а в Приложении — доказательства и рисунки.
1
Модель рынков с “трением”, гипотезы
Вводимая нами МОДЕЛЬ является близким аналогом модели ЭрроуДебре, отличаясь только рыночным трением, с тем, чтобы свойства
модели с трением и без него могли быть сравнимы.
Каждый экономический агент или, иначе, участник (домашнее хозяйство или индивид) i ∈ I = {1, ..., n}, участвует в торговле (продаёт
и покупает) на µ ≥ 1 рынках с номерами m ∈ M = {1, ..., µ}. Читатель может считать эти рынки различными регионами или странами;
в то же время межвременные и другие интерпретации различий рынков также допустимы. Например, это могут быть институционально
различные рынки: легальный и запрещенный, один магазин и другой,
и т.д. В предельно дробной интерпретации модели любой участник
может думать о каждом своём торговом партнере как об отдельном
“рынке” со своим вектором цен, настолько отличным от других, насколько отличны его транзакционные издержки (обратим внимание
на концептуальную связь между рыночным трением и множественностью рынков). Имеются l товаров с номерами k ∈ K = {1, ..., l},
одинаковыми (без потери общности) для каждого рынка m.8
7
Это анализ разных вариантов понятий обобщенной валовой заменимости и нормальности
отображений спроса на областях, отличных от положительного ортанта, проверка справедливости лемм и теорем, нужных для вывода законов Хикса и Вальраса в “локальных” вариантах. Мы
обращаем внимание на эту технику, поскольку она приложима не только к исследуемой здесь
модели.
8
Верхние индексы k далее используются для товаров, нижние — i, m — для участников и
рынков. Заглавные буквы далее обозначают множества или отображения. Если J ⊂ K, v ∈ IRl ,
8
Агент i обладает денежным доходом βi ∈ IR+ (интерпретируемым,
например, как пенсия и/или другие трансфертные выплаты, вклюl
чая дивиденды) и вектором начальных запасов wim ∈ IR+
, разных
для различных рынков m (это не то же самое, при издержках сделок, что наличие всей собственности в одном месте). Доход βi будет
считаться фиксированным, хотя некоторые результаты остаются имеющими силу также и для некоторой “функции денежных трансфертов”
βi = Bi (p, z), зависящей непосредственно от состояния экономики, подобно трансфертам в модели Эрроу - Дебре. Можно отметить, что параметры (β, w) задают “среднесрочную” модель экономики, промежуточную между “долгосрочными” моделями, где есть только начальные
запасы wi , и “краткосрочными” моделями с фиксированными дохоµl
дами βi . Цены p = (p1 , ..., pµ ) ∈ IR++
предполагаются свободными,
и участники не могут сознательно на них влиять. Каждый участник
имеет потенциальный доступ к торговле на каждом рынке, хотя реальный доступ может быть затруднён или заблокирован “рыночным
трением” трёх видов (перераспределяемые издержки сделок типа налогов, неперераспределяемые издержки сделок, и запреты), описываемым следующим образом.
Во-первых, на каждом рынке m участник i может продавать по ценам продажи (то есть, “до-налоговым” ценам, обозначенным pm ∈
l
l
IR++
или qm ∈ IR++
), и может покупать по индивидуализированным
l
покупным ценам (“after-tax prices”) ĥim ∈ IR++
( ĥim ≥ pm ). Будем
считать, что эти цены покупки связаны с ценами продажи посредством
некоторой “функции денежных фрикций” или, более узко, “функции
µl
µl
налогообложения” hi (.) : IR+
→ IR+
причем ĥi = hi (p) ≥ p. Функk
ция будет предполагаться линейной: hkim (pkim ) = (1 + τim
)pkm , где “векµl
тор налогов” τi ∈ IR+
фиксирован. Эта “функция денежных фрикций”
как предполагается, включает, прежде всего налоги и пошлины (нато мы обозначаем v = (v 1 , ..., v l ) и v J = (v j )j∈J .
9
пример, 30% налогообложение “ad valorem” всех покупок индивида i
может быть выражено как ĥi = hi (p) = 1.3p), но также и денежные
издержки сделок (именно поэтому ĥi могут быть индивидуальными),
ценовые надбавки, то есть все косвенные издержки, что перераспределяются в ходе торговли между участниками. Далее, для краткости,
мы будем называть их просто “налогами”.
Во-вторых, имеются также “издержки сделок в натуральной форме”, то есть затраты товаров (потери, например, времени, бензина и
т.д.) в процессе торговли — описанные некоторой “функцией натуральных издержек сделок” gim : IRl → IRl , которая будет предполагаться
линейной.
В-третьих, если издержки, связанные с покупкой некоторого товара (m, k), запретительно высоки для участника i, то, вместо hkim (p) ≡
∞, мы будем писать ограничение, подобное (4)-2. Таким образом, мы
включаем в рассмотрение запрещение или неспособность участника
покупать товар k на рынке m и обозначаем Jˆi множество индексов
таких ограниченных сверху переменных спроса. Аналогично, неспособность или запрет продавать будет выражаться квотами на продажу bi ≤ wi , интерпретируемыми как ограничения физической или
институциональной природы. Таким образом, случай, когда жители
некоторой страны способны делать покупки всех или некоторых товаров только в этой стране, также описывается моделью; достаточно
установить запрещающие верхние и нижние барьеры на прочих рынках.
Участник максимизирует функцию полезности ui (·) : IRl → IR,
l
зависящую от неотрицательного вектора потребления xi ∈ IR+
, коP
торый является, в свою очередь, функцией xi (zi ) = m (zim −gim (zim −
wim )) от вектора поставок zi ∈ IRµl , отражающего получение i-м
участником всех товаров со всех рынков. Покупка товара k на рынке
k
k
m – это разность (zim
− wim
), эта разность выражает продажу, если
10
отрицательна. Итак, отображение спроса Zi (p, βi ) определено следующим образом:
Zi (p, βi ) := Ži (p, hi (p), βi ),
Ži (p, ĥi , βi ) := {z˜i |ui (xi (z̃i )) =
max
zi ∈Ai (p,ĥi ,βi )
Ai (p, ĥi , βi ) := {zi ∈ IRµl |0 ≤ xi (zi ) =
где
ui (xi (zi ))},
X
(1)
где
(2)
(zim − gim (zi − wi )), (3)
m∈M
1) bi ≤ zi ,
k
k
2) zim
≤ wim
, (m, k) ∈ Jˆi
ĥi [zi − wi ]+ ≤ p[zi − wi ]− + βi };
j
gim
(zi − wi ) :=
X
k∈K
(4)
(5)
⊕jk k
ªjk k
k +
k −
(θim
[zim − wim
] + θim
[zim − wim
] ), ∀(j, m).
(6)
В этой формулировке9 бюджетное ограничение (5) связывает, как
обычно, продажи и покупки. Используя единое бюджетное ограничение (5) для всех рынков, мы предполагаем тем самым существование для них единой валюты (противоположный случай практически
исключает валовую заменимость совокупного спроса, как поясняется
ниже в Замечании 3.3.1). Мы приняли также простейшее потребительl
ское множество Xi = IR+
и ввели квоты на продажу bi ∈ IRµl . Без их
введения в модель решение задачи потребителя может не существовать, и спрос в этом случае не определён. Ограничение (4)-2 выражает
запреты покупок (или, что то же самое, бесконечно большие издержки
9
Здесь символы [.]− , [.]+ обозначают векторные операторы определенные так: { v − = [v]− =
(a1 , ..., at ) : aj = max(−vj , 0) }, { v + = [v]+ = (a1 , ..., at ) : aj = max(vj , 0) }. Их не
нужно путать с символами “ª” и “⊕”, используемыми как два возможных значения 1-ого индекса
матрицы θ, здесь и далее. В векторных неравенствах > будет означать ≥6= в отличие от À (строго
больше) и ≥ (не меньше).
11
покупок) для некоторых товаров/рынков, а именно, для принадлежащих множеству Jˆi ⊂ J := M × K.
Издержки сделок в натуральной форме, согласно (6), пропорциональны объемам торговли. Каждый jk-ый элемент квадратной µl × µl
матрицы θ⊕ ≥ 0 описывает коэффициент потерь товара j при покупке
товара k. Аналогично, квадратная матрица θª ≥ 0 описывает потери при продаже. Таким образом, мы ограничиваемся в этой работе
линейными фрикциями. Кроме того, мы будем считать эти матрицы
диагональными. Тем самым, θ может описывать только потери товаров при торговле или/и различия вкусов или ожиданий среди рынков.
⊕kk
Например, коэффициент предпочтения (1 − θim
) = 0.5 может означать, что госпожа i станет покупать товар k в неприятном ей магазине
m, только если цена в нём будет в два раза меньше по сравнению с нор⊕kk
мальным магазином m0 , чей коэффициент предпочтения (1−θim
0 ) = 1.
Стоит упомянуть здесь более общий случай, недиагональную матрицу θ∗ только для того, чтобы указать: свойство валовой заменимости спроса, как правило, не может быть гарантировано на всём
ортанте цен, если матрицы θi⊕ , θiª недиагональны [15].
Для интуитивного понимания модели полезно нарисовать бюджетное множество Ai (ĥi , p, βi ) для случая одного рынка и 2 товаров: это
выпуклый многогранник ограниченный ломаной бюджетной линией,
в отличие от случая без рыночных фрикций (см. Рис. 4.3).
Производство в экономике опишем несколькими (π ≥ 1) “производителями” пронумерованными числами i = n + 1, n + 2, ..., n + π,
причем для каждого задано отображение спроса Zi (p, 0) : Zi (·) :
IRml+1
→ IRml . Будем считать, что спрос зависит только от цен p, а
++
последняя компонента βi ≡ 0 аргумента несущественна, она введена
для формального совпадения размерности аргумента ототбражения с
аргументом спроса потребителей. Среди “производителей” будем под-
12
разумевать и государство (более подробная интерпретация дана далее,
при обсуждении предположений теорем).
Далее, поясним интерпретацию величин βi , их связь с прибылями и налогами. Их можно понимать как номинальные денежные выплаты, получаемые потребителями от фирм и государства, финансируемые продажей прозведенного набора товаров (−zn+1 ) и налоP
гами. В случае несоответствия суммы выплат i∈I βi сумме прибылей и налогов, произойдет инфляция или дефляция, в равновесии же
установится соответствие. Эквивалентно, можно считать, что βi есть
коэфициенты, пропорционально которым распределяется сумма T =
P
+
i∈I (hi (p) − p)[z̄i − wi ] − pz̄n+1 (z̄i ∈ Zi (p)) всех налогов и прибылей; равновесие окажется таким же, в случае однородности спроса по
паре цена-доход, гарантируемой вводимой ниже гипотезой A2L о линейности функции налогообложения h(.). Сохранятся ли наши результаты при более сложном, непропорциональном, распределении доходов
и при нелинейных налогах — пока не выяснено.
Итак, модель E экономики задана следующими экзогенными параметрами
⊕
ª
E := h (ui (·), βi )I , (bim , wim , Jˆim , him (·), θim
, θim
)I×M , (Zn+1 , ..., Zn+π )i.
Определим отображение избыточного спроса E(·) : IRµl → 2IR
µl
как10
P
E(p) := n+π
i=1 (Zi (p, βi ) − wi ) .
Определение 1.0.1 Равновесие - набор векторов цен и объёмов по(n+1)µl
требления (p̄, z̄) ∈ IRµl
, таких что z̄i ∈ Zi (p̄, βi ), (i =
+ × IR
Pn+π
1, ..., n, n + 1, ..., n + π), i=1 (z̄i −wi ) = 0. Равновесной ценой назовем
вектор p̄ : E(p̄) 3 0.
10
Аргумент p совокупного спроса E имеет размерность на 1 меньше, чем аргумент (p, βi ) индивидуального спроса Zi , будет подразумеваться, что доходы βi фиксированы для всех сравниваемых состояний экономики. Для производителей (i = n + 1, ..., n + π) формально введенные для
совпадения размерностей аргументы βi , wi здесь и далее считаем нулевыми: βi = 0, wi = 0 (i > n).
13
Отметим, что введенное определение равновесия подразумевает, что
только деньги свободно перетекают между рынками, в то время как
на каждом рынке имеет место отдельный баланс спроса и предложения. Другими словами, товары разных рынков — разные товары в
торговле, но не в потреблении; в этом отличие введенной модели от
варианта модели Эрроу-Дебре, где одинаковые товары разных рынков
входят по отдельности в целевые функции, и где “родство” таких товаров скрыто. И в этом суть исследуемого вопроса. “Наследуются”
ли свойства совокупного спроса типа валовой заменимости
и закона Вальраса при появлении альтернативных рынков
с “трением” (скажем, при включении страны в международную торговлю), что происходит с другими свойствами спроса
и равновесий?
Мы не будем здесь доказывать существование равновесий; для подобных моделей вопрос достаточно изучен (смотри [14], ссылки в [9],
[10]); при стандартных гипотезах равновесие существует. Например,
достаточно принять положительность трансфертов и производства типа β À 0, Zn+1 (.) ≡ zn+1 ¿ 0, и некоторый вариант ненасыщаемости
спроса.
2
Локальные свойства отображений и их взаимосвязь
2.1
Определения
Пусть заданы два числа ν ≥ ` ≥ 1, две области определения (домены) IP 1 , IP 2 ⊂ IRν+ , два связанных перестановкой множества пар
аргументов: T = (IP 1 × IP 2 ), T 0 = (IP 2 × IP 1 ), и некоторое отображе`
ние Z : IP 1 ∪ IP 2 → 2IR . В частности, вводимые определения часто
используются далее для чисел ν = ` + 1, областей IP 1 = IP 2 = IP+
14
и T = (IP+ × IP+ ), где IP+ := IR`++ × IR+ . Мы будем подразумевать их
соответствие отображениям спроса введенной модели экономики таким образом: ` := µl, ν := `+1, j := (m, k) ∈ J := M ×K, Z(·) := Zi (·)
(мы опускаем в определениях индекс i) или Z(·) := E(·). Аргументами
отображений будут пары “цена, доход” вида p := (p, βi ), q = (q, βi0 ) ∈
IR`++ × IR+ , а в других случаях просто цены.
Определение 2.1.1 [5]Мы будем называть отображение Z регулярным на IP и записывать11 Z ∈ Reg(IP ), если Z непустозначно, выпуклозначно, компактнозначно и полунепрерывно сверху на IP .
Определение 2.1.2 [3] Отображение Z обладает нормальностью по
(ν − 1) аргументам на T (мы пишем Z ∈ N orν−1 (T ) или просто Z ∈
N or(T )), если для любой тройки p = (p, β) ∈ IP 1 ∪IP 2 , (где β – скаляр),
z ∈ Z(p), α ∈ IR++ , такой что (p, (αp, β)) ∈ T ∪ T 0 , мы имеем:
(1 − α)(z − Z(αp, β)) ∃≤ 0,12
то есть, существует вектор b ∈ Z(αp, β), такой что (1 − α)(z − b) ≤ 0.
Отображение Z обладает однородностью степени 0, и мы пишем Z ∈
Hom0ν (T ), если для любого (p, q) ∈ T из p = αq, α > 0 следует
Z(p) = Z(q).
Введенное определение есть локальная “нормальность по ценам”.
Теперь приведем несколько вариантов определения валовой заменимости для многозначного спроса, введя новое понятие заменимости
RGS, и переформулировав определения GGS, AGS из [3], так, чтобы
охватить случаи T 6= IR2l
++ и ν 6= `. Это позволяет свойство спроса
11
Таким образом, символ Reg(.) является именем класса отображения, обладающего указанным свойством на указанной области, далее мы также используем такое обозначение для классов
N or, AGS, GGS и т.д.
12
Здесь и далее символ множества в неравенстве типа ∃≤ означает: “для некоторого элемента
множества” выполнено указанное неравенство, тогда как ∀≤ или ≤ означает “для всех элементов
множества” выполнено указанное неравенство, то есть подстановка элементов согласно квантору
существования или общности подразумевается раньше остальных операций формулы.
15
“нормальности по доходу” считать следствием достаточно широко понимаемой валовой заменимости: заменимости на векторах цена-доход,
точнее, на парах подобных векторов. Это новшество, равно как и все
вводимые здесь варианты понятия валовой заменимости нужно в формулировке и доказательстве наших теорем.
Для любой сравниваемой пары аргументов p, q ∈ IP i мы обозначим
множество индексов их совпадающих компонент через J = = J = (p, q) :=
{j ∈ J|pj = qj }.
`
Определение 2.1.3 Отображение Z : IP1 , IP2 7→ 2IR обладает на
T = IP1 × IP2 левой относительной валовой заменимостью ( Z ∈
LRGSν` (T )), если
(p, q) ∈ T, p ≤ q, z ∈ Z(p) ⇒ [z j ≤ ∃ Z j (q) j ∈ J = (p, q)],
(7)
и если обратное неравенство ≥ ∃ выполняется, когда p ≥ q. Отображение Z обладает на T свойством правой относительной валовой
заменимости ( Z ∈ RRGSν` (T )), если Z ∈ LRGSν` (T 0 ), T 0 = IP2 × IP1 .
Класс отображений RGS с относительной валовой заменимостью на
T определен как RGS(T ) := LRGS(T ) ∩ RRGS(T ).
Определение 2.1.4 Отображение Z обладает обобщенной валовой заменимостью на T (т.е. называется GGS`ν -соответствием: Z ∈ GGSν` (T ))
если выполняется импликация:13
[(p, q) ∈ T ∪ T 0 , p ≤ q] ⇒
min
k∈J = (p,q)
13
(Z k (p) − Z k (q)) ∀≤ 0 .
(8)
Согласно введенным обозначениям, импликация подразумевает, что для любых ((p, q) ∈
T ∪ T 0 : p ≤ q) и любых элементов zp ∈ Z(p), zq ∈ Z(q) выполнено mink∈J = (p,q) (zpk − zqk ) ≤ 0 .
Отметим, что В.М.Полтерович и В.А.Спивак [3] везде используют термин “GS- соответствие”
для того, что мы называем “GGS`` -coответствие”. Определяемое же нами ниже GS`ν -coответствие
в случае однозначности оказывается (что выглядит естественным) GS`ν - функцией, в общепринятом смысле: Z j (.) (j ∈ J) не убывает по всем аргументам pi (i 6= j). Этого нельзя сказать о
GGS-соответствии, поэтому нами предпочтена последовательная терминология.
16
Если же верно
[(p, q) ∈ T ∪ T 0 : p ≤ q] ⇒
X
pk (Z k (p) − Z k (q)) ∀≤ 0 ,
(9)
k∈J = (p,q)
то будем говорить, что Z обладает агрегированной валовой заменимостью и называется AGS`ν -соответствием на T (Z ∈ AGSν` (T )).
Если для J = := J = (p, q) 6= ∅ такая же посылка влечет векторное
неравенство
=
=
(Z J (p) − Z J (q)) ∀≤ 0 (∀(p, q) ∈ T ∪ T 0 : p ≤ q),
(10)
то Z называется GS`ν -coответствием (Z ∈ GSν` (T )).
Если неравенство в определении (9) строгое при q 6= p, то агрегированную валовую заменимость называем строгой (Z считаем принадлежащим классу SAGS), аналогично строгое неравенство (10) задает
класс SGS. Для особых случаев, когда отношением AGS связаны не
первые ` компонент отображения с соответствующими компонентаим
аргумента, а множество J¯ ⊂ Jˆ компонент Z(.) с номерами Jˆ компо¯
(J)
нент аргумента, введём обозначение GGS(J)
ˆ (T ).
Для специального случая размерности ν = `+1 введём также упро`
`
щенные обозначения GGSN ` (T ) := GGS`+1
(T ), AGSN ` := AGS`+1
,
`
RGSN ` := RGS`+1
, опуская индекс `, когда размерность очевидна.
Символом “N” в названиях классов GGSN, AGSN выражено свойство чуть более сильное, чем обычная “нормальность по доходу”, поскольку оно выполняется и при несовпадающих ценах. Оно не всегда
сводится к “нормальности по ценам” из Определения 2.1.2. Содержательно, свойство AGSN , означает, что рост некоторых цен и/или доходов ведет к неубыванию стоимости спроса на товары с неизменной
ценой. Сходное свойство GGSN означает неубывание хотя бы одной
компоненты спроса на товары с неизменной ценой. Оно наиболее употребительно из введенных свойств заменимости, будучи, по сути, слабейшим (см. Лемму 2.2.3).
17
Известны достаточные условия, накладываемые на функцию полезности u(.), которые обеспечивают свойства однозначной валовой заменимости [17], свойства AGS и GGS (см. [3]), а также нормальности [5]
для отображения “мaршаллианского” спроса XuM (p, β), порожденного
следующей классической моделью:
XuM (p, β) := arg max
u(x); s.t. {x ∈ IRl+ |px ≤ β}.
x
(11)
Мы не станем формулировать здесь эти сложные и многовариантные условия. Вместо этого, чтобы применение наших теорем могло
опираться на упомянутые результаты о достаточных условиях валовой заменимости, мы будем предполагать, что функции полезности
принадлежат классу, определенному следующим образом:
Определение 2.1.5 Пусть задана область T ⊂ IRl++ × IR+ × IRl++ ×
IR+ ; мы будем говорить, что функция полезности u : IRl+ → IR приl
надлежит классу14 UGGSN
(T ) если соответствующее ей отображение
Маршаллианского спроса XuM = XuM (p, β) непустозначно и обладает
свойством GGSNl на всех парах ((p, β), (p0 , β 0 )) ∈ T × T 0 .
Поясним: среди достаточных условий, обеспечивающих свойство функции
2l+2
l
u ∈ UGGSN
(R++
), главную роль играет ограничение сверху на модуль квадратичной
формы матрицы ü(x) вторых производных: |x ∗ ü(x) ∗ x0 | ≤ x ∗ u̇(x), где u̇(x) есть гра2l+2
l
диент. В частности, классу UGGSN
(R++
) принадлежат широко используемые логариф-
мические функции (функции Кобба-Дугласа), линейные функции, и дpугие возрастающие сепаpабельные функции, удовлетворяющие этому простому условию на производные
(формулируемому также как неубывание xk ∗ u̇k (xk ), см. [3] ). Формулировка условий в
терминах производных естественна, поскольку непрерывная дифференцируемость полезности (с ней связана гладкость линий уровня) — есть, видимо, необходимое, в некотором
14
Аналогично можно определить класс u ∈ UAGSN ; это оказывается тот же самый класс [4] .
18
смысле, условие валовой заменимости спроса. По крайней мере, когда непрерывная вогнутая целевая функция от двух аргументов имеет линию уровня с изломом (точка, где
левая производная не равна правой), то спрос обладает в этой точке нулевым “эффектом замены” в разложении Слуцкого, поэтому валовая заменимость любого типа в ней
невозможна. Можно показать также, что и локальная насыщаемость спроса, приводящая к телесности множества уровня (аналог линии уровня), тоже противоречит валовой
заменимости.
0
Примем теперь T = (P1 × P2 ) ⊂ IR2`
++ , T = P2 × P1 , чтобы опреде`
лить свойства отображения избыточного спроса E : P1 ∪ P2 → 2IR .
Следующие определения задают многозначные свойства типа “слабого
закона Вальраса”, при этом второе свойство (WWL) вытекает из первого и означает, что при росте цен, допускающем неравновесие, спрос
хоть на один товар должен упасть (для нашей модели даже это свойство может нарушаться, когда присутствуют налоги, см. примеры).
Определение 2.1.6 Пусть заданы область T = (P1 × P2 ) ⊆ IR2`
++ и
`
отображение E : P1 ∪ P2 → 2IR , будем считать, что E ∈ W W L1(T ),
когда отображение вальрасовского излишка W (p) := pE(p) однозначно
и не возрастает на T , в смысле [(p, p0 ) ∈ T ∪ T 0 , p ≤ p0 ⇒ W (p) ≥
W (p0 )].
Если из (p, q) ∈ T , 0 ∈ E(p), 0 6= e ∈ E(q), q ≥ p следует
mink∈{1,...,l} ek < 0 и из q ≤ p следует maxk∈{1,...,l} ek > 0, то будем
считать, что выполнено свойство E ∈ W W L(T ).
2.2
Леммы о валовой заменимости и нормальности
Нам понадобится вариант леммы из [2], [5], устанавливающей, по существу, импликацию GGS ⇒ RGS. Лемма модифицирована здесь в
отношении локальности свойств отображения, сообразно нашим потребностям.
19
Лемма 2.2.1 Возьмем векторы p À q ∈ IRl++ , прямоугольник
V := {v ∈ IRl++ | q ≤ v ≤ p}, регулярное отображение H : V →
l
2IR , H ∈ Reg(V ).
1) Пусть для всех v ∈ V , таких что J = := J = (v, p) 6= ∅, выполняется
[minj∈J = hj ≤ 0 ∀h ∈ H(v)], тогда [∃h ∈ H(p) : h ≤ 0].
2) Пусть для всех v ∈ V , таких что J = := J = (v, q) 6= ∅, выполняется
[maxj∈J = hj ≥ 0 ∀h ∈ H(v)], тогда
[∃h ∈ H(q) : h ≥ 0].
Схема доказательства: Часть (1) Леммы (ч.2 аналогично) доказывается применением теоремы Какутани к отображению Fε (v, h) :=
(H(v) − ε̄)× Vε (h), где ε̄ = (ε, ε, ..., ε) ∈ IRl++ ,
Vε (h) := arg max{v|
p−ε̄≤v≤p} (v
· h), чтобы установить существование
неподвижной точки (hε , v) : hε ≤ 0, затем устремляем ε → 0 .
[[[]]]]
Несколько слов о применяемой далее “Лемме о комбинировании”.
Она, как и Лемма 2.2.1, доказана В.А.Спиваком и В.М.Полтеровичем
(см. [2], [3], [5]) в несколько иной формулировке, чем нам нужно: вопервых, в качестве областей определения отображений используется
ортант IRl++ , тогда как нам нужны и более узкие области, в частности решетки, во-вторых, нам нужны отдельно свойства комбинирования максимумов и минимумов. Все же, для расширенного варианта,
на который опираются нижеследующие теоремы, остается применима
примерно та же схема доказательства.
Для любого вектора a ∈ Rl и любого подмножества индексов K ⊂
J = {1, ..., l} будем обозначать K- проекции вектора дополненные нулями так:
a[K] := v ∈ IRl : [vj = aj , j ∈ K], [vj = 0, j 6∈ K] ,
и векторные минимумы/максимумы так:
min{p, q} := (aj )j∈J : [aj = min{pj , qj } j ∈ J].
20
Определение 2.2.1 (ср. [3] ) Пусть P1 ⊂ IRl++ , P2 ⊂ IRl++ , и
Q̂ := Q̂(P1 , P2 ) := {v ∈ IRl++ | ∃p ∈ P1 , ∃q ∈ P2 : v = min{p, q} },
Q̌ := Q̌(P1 , P2 ) := {v ∈ IRl++ | ∃p ∈ P1 , ∃q ∈ P2 : v = max{p, q}}.
Пусть на построенной решетке Q
Q := P1 ∪ P2 ∪ Q̂ ∪ Q̌ задано некоторое
l
отображение D : Q
Q → 2IR , оно обладает на области (P1 ×P2 ) свойством
комбинирования минимумов, (это записывается D ∈ Comb(P1 , P2 )),
если для любой четверки (p, q, d, f ) : (p, q) ∈ (P1 × P2 ), d ∈ D(p), f ∈
D(q), для минимума p̂ := min{p, q} выполнено
∃â ∈ D(p̂) : â ≤ d[J1 ] + f [J2 ],
(12)
где J1 := J < (p, q) := {j|pj < q j }, J2 := J ≥ (p, q) := {j|pj ≥ q j }.
Отображение D обладает свойством комбинирования максимумов
(то есть D ∈ Comb(P1 , P2 )), если для любой четверки (p, q, d, f ) :
(p, q) ∈ (P1 ×P2 ), d ∈ D(p), f ∈ D(q), для p̌ := max{p, q} выполняется
∃ǎ ∈ D(p̌) : ǎ ≥ d[J2 ] + f [J1 ] .
Отображение D обладает свойством комбинирования, (это записывается D ∈ Comb(P1 , P2 )), если D ∈ Comb(P1 , P2 ), D ∈ Comb(P1 , P2 ).
Лемма 2.2.2 ( Лемма о комбинировании, ср. [2] ) Пусть
P1 ⊂ IRl++ , P2 ⊂ IRl++ , и Q̂ := Q̂(P1 , P2 ), Q̌ := Q̌(P1 , P2 ), далее, V̂
есть некоторая окрестность Q̂, а V̌ — некоторая окрестность Q̌.
Пусть VV := P1 ∪ P2 ∪ V̂ ∪ V̌ — объединение всех этих множеств, и
l
дано отображение D : VV → 2IR , тогда
D ∈ GGS((P1 ∪ P2 ) × V̂ ) ∩ Reg(VV ) ⇒ D ∈ Comb(P1 , P2 ) ,
(13)
D ∈ GGS((P1 ∪ P2 ) × V̌ ) ∩ Reg(VV ) ⇒ D ∈ Comb(P1 , P2 ) .
(14)
Доказательство. Пусть p ∈ P1 , q ∈ P2 и сохраняются обозначения
Определения 2.2.1.
21
Докажем свойство D ∈ Comb(p, q), то есть (12) для произвольных
d ∈ D(p), f ∈ D(q). Обозначим a := d[J1 ] + f [J2 ], и введем отображение H(v) := D(v) − a определенное на V̂ . Возьмем малое δ > 0, такое,
чтоб область V := {v|p̂ − (δ, ..., δ) ≤ v ≤ p̂} принадлежала V̂ . Для
таких H, V достаточно применить Лемму 2.2.1-(1), основное условие
которой прямо вытекает из свойства D ∈ GGS((P1 ∪P2 )× V̂ )∩Reg(VV )
и получим (12).
Аналогично доказывается симметричное свойство Comb(.), применением Леммы 2.2.1-(2). Лемма доказана.
[[[]]]]
Лемма 2.2.1, Лемма о комбиниpовании, и результаты из [3], [5] позволяют свести в общую таблицу взаимосвязь определенных выше классов отображений, в том числе сопоставить нормальность по ценам и
по доходу (см. также Рис. 4.3, Рис. 4.3 ):
Лемма 2.2.3 (о классах валовой заменимости) Возьмем неко`
торое отображение Z : (IP1 ∪ IP2 ) → 2IR , аpгументы котоpого (p, β)
`
принадлежат следующим областям : [p ∈ Pi ⊂ IR++
, β ∈ IDi ⊂
IR+ , IPi = Pi × IDi (i = 1, 2)], T = IP1 × IP2 . Тогда свойства отображения взаимосвязаны так:
i: Если Z(.) ∈ Hom0`+1 (IP1 ∪ IP2 ), и указанные области удовлетворяют следующему условию:15 [α > 0, (p, β) ∈ IPi , (αp, β) ∈ IP−i ⇒
(p, β/α) ∈ IP−i ], тогда выполняются утверждения i-1). i-2):
i-1)[RGSN ` (T ) ⇒ N or` (T )]. i-2) Обратно: [RGS ` (T )&N or` (T )
⇒ RGSN ` (T )]
`
ii -1) AGSN ` (T ) ⇒ GGSN ` (T ). ii -2) [4] Обратно: [IPi = IR++
×
{β} (i = 1, 2)] & [ pz = pz 0 ∀p ∈ Pi ∀z 0 , z ∈ Z(p, β) ] влечет
[GGS ` (T )&Reg(IP1 ∪ IP2 ) ⇒ AGS ` (T )].
iii-1) [GS ` (T ) ⇒ AGS ` (T )&GGS ` (T )]. iii-2) [3] Обpатно: если
P1 , P2 открыты, IDi = {β} (i = 1, 2), и Z(.) однозначно на IP1 , IP2 ,
15
1
Условие выполняется, напpимеp , когда ID1 = ID2 = IR+
. Здесь и далее индекс −i означает
1, когда i = 2, и 2, когда i = 1.
22
тогда [GGS ` (T )&Reg(IP1 ∪ IP2 ) ⇒ GS ` (T )].
iv-1) Если Z(.) однозначно на IP2 или IP1 , тогда [RGSN ` (T ) ⇒
GGSN ` (T )&GSN ` (T )] и [RGS ` (T ) ⇒ GS ` (T )].
iv-2) Обpатно:
если P2 открыто, тогда [GGSN ` (T )&Reg(IP1 ∪ IP2 ) ⇒ LRGSN ` (T )];
если P1 открыто, тогда [GGSN ` (T )&Reg(IP1 ∪ IP2 ) ⇒ RRGSN ` (T )];
если P1 , P2 открыты, тогда [GGSN ` (T )&Reg(IP1 ∪ IP2 ) ⇒
RGSN ` (T )].
О доказательстве. Утверждения (i-1), (ii -1), (iii-1), (iv-1), (i-2)
могут быть проверены непосредственно, из определений. В случаях (i1), (i-2) мы пользуемся однородностью в форме Z(p, β/α) = Z(αp, β).
Утверждение (ii-2) взято из [4], (iii-2) - из [3], (iv-2) доказывается с
помощью Леммы 2.2.1.
[[[]]]]
2.3
Локальный закон Хикса в терминах отображений
Закон (или законы) Хикса, утверждает, грубо говоря, что после некоторого уменьшения предложения (запасов) товара, его относительная
цена в равновесии должна вырасти в некотором смысле. Точнее, в
отличие от данного ниже определения, стандартное [1] определение
закона Хикса имеет дело только со случаем однозначного однородного спроса, с единственным равновесием. Некоторая цена p и соответствующий спрос a = E(p) сравниваются с ценой равновесия q,
в ситуации отклонения спроса a от равновесия только по двум компонентам, скажем, с номерами j”, s”, в смысле {k|ak > 0} = {j”},
{k|ak < 0} = {s”}. Закон Хикса тогда означает, что, двигаясь к равновесию q, рынок относительно увеличит цену товара с избыточным
спросом, и обратно: [j” ∈ K > = {k|qk /pk = maxj qj /pj }, s” ∈ K < =
{k|qk /pk = minj qj /pj }]. Это слишком сильное свойство, и для нашей
модели оно редко выполняется. Однако, реалистичен его слабый ана23
лог введенный в [5] без названия и названный здесь NHicks (N указывает на нормальность спроса, она заменяет однородность). Дадим
одно из возможных его определений (сравните различные варианты
определений свойств типа “закона Хикса” в [5]).
Определим две функции и два множества (отображения), связанные с четверкой векторов16 q, f, p, d ∈ IRl
qj
qj
κ̄< (q, f, p, d) := min
, K < (q, f, p, d) := {k|qk /pk = min
≤ 1},
j|dj 6=fj pj
j|dj 6=fj pj
qj
qj
κ̄> (q, f, p, d) := max , K > (q, f, p, d) := {k|qk /pk = max
≥ 1}.
j|dj 6=fj pj
j|dj 6=fj pj
Мы назовем набор (q, f ) сравнимым по минимуму с набором (p, d),
когда не пусто множество K < (q, f, p, d) 6= ∅, то есть κ̄< (q, f, p, d) ≤ 1.
Мы назовем набор (q, f ) сравнимым по максимуму с набором (p, d),
когда не пусто множество K > (q, f, p, d) 6= ∅, то есть κ̄> (q, f, p, d) ≥ 1.
Определение 2.3.1 (ср. [5]) Рассмотрим пару аргумент/образ (q ∈
`
`
IR++
, f ∈ E(q)), пару (p ∈ IR++
, d ∈ E(p) ) : f 6= d, и свойства:
H1) Если K > := K > (q, f, p, d) 6= ∅, то [dj > f j для ∃ j ∈ K > ] .
H2) Если K < := K < (q, f, p, d) 6= ∅, то [dj < f j для ∃ j ∈ K < ] .
H3) Существует q̂ : f ∈ E(p̂), такой что [dj 6= f j ⇒ q̂ j = q j ],
i)
[j ∈ K > ⇒ q̂ j /pj = max q̂ k /pk ],
ii)
[s ∈ K < ⇒ q̂ s /ps = min q̂ k /pk ].
k
(15)
k
Если все свойства H1, H2, H3(i,ii) выполняются, то мы назовем отображение E(.) имеющим свойство закона Хикса типа NHicks в точке
(q, f, p, d), т.е. E ∈ N Hicks({(q, f, p, d)}). Закон Хикса выполняется
на некотором множестве, если выполняется в каждой его точке.
Как можно видеть из определения, свойство NHicks довольно слабое: оно ничего не утверждает о соотношениях новых и старых цен,
16
Очевидно, эти отображения могут быть пусто-значны для некоторых q, f, p, d.
24
если нет “сравнимости” исследуемых состояний в смысле непустоты
множеств K < , K > . Но более сильного свойства в нашей модели нет,
когда присутствуют налоги. Более того, в этом случае мы можем доказать свойство NHicks только для отдельных подмножеств цен, причем каждое из трех свойств (H1, H2, H3) при своих особых гипотезах.
Для этого оказывается нужен нижеследующий новый вариант теоремы
В.Спивака из [5]. Он выводит локальное свойство NHicks из локальных свойств GGS, Nor, WWL, а не “всюду” на положительном ортанте,
как прежний. Однако его неточно было бы назвать обобщением теоремы В.Спивака: он не касается необходимых условий свойства NHicks,
а теорема из [5] также утверждает, что свойства GGS, Nor, WWL, не
только достаточны, но и необходимы (по крайней мере, их выполнение
на некоторых множествах) для наличия свойства NHicks “всюду”.17
l
l
Теорема 1 (ср. [5]) : Пусть отображение E : R++
→ 2R , реl
гулярно. Сравним пару аргумент/образ (q, f ) ∈ R++
× E(q) с парой
l
(p, d) ∈ R++
× E(p) : d 6= f .
1) Возьмем18 α := κ̄< (q, f, p, d), p̂ := max{αp, q} и любую19 окрестность Vp̂ 3 p̂, предположим
E ∈ GGS(Vp̂ ×αp∪q), E ∈ N or(p×αp), [f 6= a ∈ E(p̂) ⇒ ∃i : ai < fi ].
Тогда на (q, f, p, d) выполнено свойство H1: [ α ≤ 1 ⇒ ∃s ∈ K < : ds <
fs ], и, для q̂ := p̂, свойство H3i: f ∈ E(q̂), [s ∈ K < ⇒ q̂s /ps =
mini (q̂i /pi )], [dj 6= f j ⇒ q̂ j = q j ].
17
Этот важный факт исключает попытки обойтись в глобальной сравнительной статике без
валовой заменимости — мало реалистичной, по мнению многих, гипотезы. Защищая ее, мы можем отметить, что для спроса “представительного потребителя” она более реалистична, чем для
индивидуального спроса: как показал М.Гранмо [18], гетерогенность предпочтений любых потребителей может сама по себе порождать валовую заменимость их совокупного спроса.
18
Как обычно, вектора min{p, q} и max{p, q} строим покомпонентно.
19
Традиционно, под окрестностью подразумевается множество, содержащее точку во внутренности. Но данная теорема останется также справедлива, если вместо окрестности взять любой
куб, содержащий точку p̂ в определенном углу, то есть куб {v|p̂ ≤ v ≤ p̂ + (ε, ..., ε)}, ∃ε > 0.
Аналогично мы можем кубом заменять открытость в пункте 2.
25
2) Возьмем β := κ̄> (q, f, p, d), p̄ := min{βp, q} и любую окрестность Vp̄ 3 p̄, предположим
E ∈ GGS(Vp̄ ×βp∪q), E ∈ N or(p×βp), [f 6= a ∈ E(p̄) ⇒ ∃i : ai > fi ].
Тогда на (q, f, p, d) выполнено свойство H2: [ β ≥ 1 ⇒ ∃r ∈ K < : dr >
fr ], и для q̂ := p̄ - свойство H3ii: f ∈ E(q̂), и [r ∈ K > ⇒ q̂r /pr =
maxi (q̂i /pi )], [dj 6= f j ⇒ q̂ j = q j ].
3) Возьмем q̂ := max{p̄, αp} и дополнительно к использованным
выше гипотезам новое условие
E ∈ GGS(Vq̂ ×αp∪p̄∪p̂∪βp), [f 6= a ∈ E(q̂) ⇒ ∃j : aj < fj , ∃i : ai > fi ],
(16)
где Vq̂ 3 q̂ — некоторая окрестность точки q. Тогда вектор q̂ :=
min{p̂, βp}, удовлетворяет обоим условиям H3i, H3ii, то есть E ∈
N Hicks(q, f, p, d).
Замечание. Когда эта теорема используется для равновесий, то
есть для f = 0, то для используемых в ней условий [∃i : Ei (p̂) < fi ],
[∃i : Ei (p̄) > fi ] достаточно выполнения слабого закона Вальраса
[E ∈ W W L].
Доказательство теоремы – в Приложении.
3
Cвойства спроса модели: наследование валовой
заменимости, закона Вальраса
В дальнейшем нам понадобятся следующие предположения о производителе и о потребителях:
A0. Для каждого производителя k ∈ {n + 1, ..., n + π} его отобраµl
жение спроса Zk (p, 0) : Zk (·) : IRµl+1
++ → 2 IR++ является аргмаксимумом функции прибыли (−pzk ) на некотором выпуклом
26
компакте, включающем ноль, и удовлетворяет условию валовой
заменимости типа Zk (·) ∈ AGS. Кроме того, для группы товаров Jk : [j 6∈ Jk ⇔ Zkj (.) ≡ 0] которые способен выпускать этот
производитель, выполнено следующее условие. Либо спрос этого
производителя на эти товары неположителен: ZkJk (p, 0) ≤ 0 ∀p ∈
µl
IR++
, либо он удовлетворяет условию строгой валовой заменимости типа SGGS в рамках этой группы товаров, в таком специаль>
ном смысле: при q ≥ p, непустых множествах Jqpk
:= {j|q j >
=
pj } ∩ Jk 6= ∅, и Jqpk
:= {j|q j = pj } ∩ Jk 6= ∅, для любого элемента
>
d ∈ (Zks (q) − Zks (p)) найдется s ∈ Jqpk
такой, что ds < 0.20
A1. Для каждого участника i ∈ I мы имеем Jˆi 6= J, bi ≤ wi , βi ≥
P
> 0 & wik > bki
(условие Слейтеpа)], функция полезности ui (·) непрерывна, воl
гнута, принадлежит классу UAGSN
и возpастает, по крайней мере
0, wi ≥ 0, и [либо βi > 0, либо ∃k :
k
m wim
по одному из неограниченных сверху аpгументов xk , то есть по
ˆ ∃m]. Матрицы θ⊕ , θª неотрицательные и диа[∃xk : (m, k) 6∈ J,
⊕kk
гональные, при этом θim
< 1 ∀(m, k).
A2. Для каждого i ∈ I функция налогов hi (·) покомпонентно определена как hkim (p) = hkim (pkm ) ≥ pkm (m ∈ M, k ∈ K), непрерывна и
строго монотонна (возpастает).
A2L. Для каждого i ∈ I функция налогов hi (·) линейна, задана в
k
k
виде hkim (pkm ) = (1 + τim
)pkm ∈ IR+ , где τim
≥ 0 (m ∈ M, k ∈ K)некоторые фиксированные паpаметpы.
20
Таким образом, товары из группы Jk строго взаимозаменяемы между собой при любых прочих компонентах аргумента (цен). Например, свойства, названные в предположении A0, выполнены, когда часть производителей имеет допустимое множество спроса типа фиксированного
неположительного вектора, а часть — шары в соответствующих им подпространствах Jk . ДейPl
ствительно, максимизация прибыли на l–мерном шаре {z| j=1 (aj − z j )2 ≤ b > 0} с центром
a ∈ IRl обеспечивает валовую заменимость, поскольку спросqпроизводителя i на k-й товар, как
Pl
j 2
легко вычислить, окажется равным Zik (p, 0) = ak − b1.5 ∗ pk /
j=1 (p ) ≤ 0.
27
Комментарии. Гипотезы A0–A2 нужны для выполнения свойств
типа валовой заменимости в модели с фрикциями. Для этого, в частности, в A1 мы предполагаем, что целевые функции участников порождали бы валовую заменимость без фрикций, и ненасыщаемы, причем желательность товаров согласована в гипотезе A1 с издержками
сделок. Кроме того, анализируя только строго положительные цены,
мы будем неявно предполагать, что для каждого товара существует
участник, котоpый считает этот товаp полезным для себя. Несмотря
на эту положительность, условие Слейтера нужно для обеспечения регулярности спроса, ибо иначе, благодаря множественности рынков и
ограничению (3) положительности потребления, не-телесное бюджетное множество могло бы оказаться (в отличие от классического случая)
гиперплоскостью, а не точкой, тогда оно не непрерывно по ценам.
О возможности ослабления гипотез следует сказать, что наши попытки обойтись квазивогнутостью функций полезности потеpпели неудачу, хотя контрпример пока не построен. Без диагональности матрицы θ
— приведенные ниже теоремы не выполняются: недиагональные фpикции могут подорвать свойство GGS, как показывают примеры [13].
⊕kk
Напротив, условие θim
< 1 ∀m, k легко ослабить, поскольку “запpети⊕kk
тельно высокие издеpжки” θim
≥ 1 , если они есть, можно заменить
ˆ сохраняя
дополнительными верхними ограничениями из множества J,
ту же функцию спроса (это не принципиальное ослабление).
Без предположения A2L линейности налогов (денежных издержек
сделок) доказательство нормальности спроса затруднительно (требует альтернативных, более громоздких, условий), а его однородность
по паре цены/доход невозможна, что подрывает нашу схему доказательств закона Вальраса и его следствий. Ту же роль играет и гипотеза
линейности физических издержек.
Принятая совокупность условий на производственное множество нереалистична для моделирования долгосрочных равновесий; для них в
28
модели Эрроу-Дебре обычно предполагают множества типа конусов с
центром в нуле и без “рога изобилия”, то есть без строго положительных компонент. Мы же вводим компактное множество (чтобы спрос
был определен при всех ценах), к тому же, возможно, с рогом изобилия, предполагая неотрицательное предложение товаров (−Zn+1 (p)).
Гипотеза неотрицательности (и фиксированности) вектора производства кажется приемлемой для “среднесрочных” равновесий, где торговля производственными ресурсами, в том числе трудом и капиталом,
происходит в основном за пределами моделируемого периода: они уже
проданы за деньги βi , и не включены в число товаров, экономика теперь выпустит неотрицательный вектор благ. Другое разумное приложение модели с неотрицательностью производства – считать потребителей крупными группами населения вместе с принадлежащим им производственным аппаратом. Государство продает им фиксированный
неотрицательный вектор природных ресурсов (−Zn+1 (p)) ≡ wn+1 > 0
и вырученную ренту вместе с собранными налогами распределяет соответственно величинам βi . Неотрицательность производства – условие, существенное (хотя не необходимое) для закона Вальраса в моделях, включающих фиксированные денежные доходы типа наших βi ,
см. Замечание 3.3.2.
Что касается конических производственных множеств размерности
более двух, то валовая заменимость для них невозможна, как легко проверить. Действительно, пусть в нетривиальном равновесии (где
прибыли нулевые) повышается цена одной из компонент затрат, тогда производитель выберет нулевой вектор производства, то есть все
компоненты его спроса обратятся в ноль, что противоречит валовой
заменимости по прочим компонентам затрат: спрос на них упал.
29
3.1
Наследование валовой заменимости и нормальности
Ключевым моментом для всего нашего анализа является “наследование” валовой заменимости и других свойств спроса, после появления
рыночных фрикций. В тех случаях, когда появление или увеличение
фрикций приводит к потере валовой заменимости, предсказуемость
реакций рынка на возмущения (изменения экзогенных параметров)
заметно снижается. Условия, исключающие это, описаны следующей
теоремой “наследования”. Эта теорема, введенная в [11] и развитая в
[13], [15], дополнена теперь случаем нетривиального производства (что
не меняет схемы доказательства) .
Теорема 2 (о наследовании валовой заменимости ) Пусть
выполнены условия 21 A0, A1, A2, и IP+ := IRµl
++ × IR+ , тогда:
(i) Индивидуальный спрос Zi (p, βi ) (i ∈ I) обладает свойствами
Zi ∈ Reg(IP+ ) ∩ GGSN µl (IP+ × IP+ ) ∩ RGSN µl (IP+ × IP+ ), и бюджетное ограничение потребителей (5) выполнено как равенство при всех
µl
µl
µl
(p, βi ) ∈ IP+ . Совокупный спрос E ∈ Reg(IRµl
++ ) ∩ RGS (IR++ × IR++ ).
(ii) Если ĥi (p) = p ∈ IRµl
++ (отсутствие налогов), то
Zi ∈ AGSN (IP+ × IP+ ), а когда налоги отсутствуют для всех i ∈ I,
µl
то E ∈ AGS(IRµl
++ × IR++ ).
(iii) Если Zi однозначно на некотором множестве IP1 = (P1 ×
IDi ) ⊂ IP+ , IDi ⊂ IR+ , то Zi ∈ GSN (IP1 × IP+ ) ∩ AGSN (IP1 × IP+ ), а
когда однозначность на области IP1 имеет место для всех потребителей i ∈ I и производителей i ∈ {n + 1, ..., n + π} , то при любых
фиксированных доходах βi ∈ IDi (i ∈ I) имеем E ∈ GS(P1 × IRµl
++ ) ∩
AGS(P1 × IRµl
++ ).
(iv) Если выполнено A2L, то Zi (i ∈ I) обладает однородностью степени 0 по (p, βi ) и нормальностью по p, то есть, Zi ∈
21
Очевидно, гипотезы о производителе не требуются в той части формулируемых ниже утверждений, что касается индивидуального спроса.
30
Hom0µl+1 (IP+ × IP+ ) ∩ N orµl (IP+ × IP+ ), а совокупный спрос обладает
µl
свойством E ∈ N orµl (IRµl
++ × IR++ ).
Доказательство. Для случая фиксированного производства оно
содержится в [13]. Проверим лишь корректность сделанного здесь впервые включения случая с нетривиальным производством Zn+1 (·) 6= const
в данную теорему. Утверждений об индивидуальном спросе это не затрагивает, а для совокупного спроса обобщение несложно. Действительно, постулированное свойство AGS спроса производителя влечет
(при регулярности спроса и открытости области определения), как отмечено в Лемме 2.2.3, свойство Zn+1 (·) ∈ RGS, а в однозначном случае
также Zn+1 (·) ∈ GS. Три эти свойства аддитивны, так что добавление
к модели производителя не нарушило выводов теоремы об об этих
свойствах отображения совокупного спроса E. Аналогично, однородность спроса Zn+1 ∈ Hom0, очевидная из постулата максимизации
прибыли производителя, влечет аддитивное свойство нормальности, и
вывод (iv).
[[[]]]]
Имеются контрпримеры (см. [11], [13], и раздел 3.3), показывающие невозможность обобщения теоремы в основных направлениях, в
частности, невозможность получения важных утверждений E ∈ GGS,
E ∈ AGS при одних только базовых условиях A0, A1, A2.
3.2
Наследование закона Вальраса
Чтобы можно было установить (в последующем разделе, путём применения Теоремы 1) свойство E ∈ N Hicks модели с трением E, спрос модели должен удовлетворять свойству слабого закона Вальраса (WWL),
которое мы теперь обсудим. Стремясь получить слабейшие условия,
обеспечивающие свойство E ∈ W W L(T ) на произвольном множестве
T , мы доказали нижеследующую Теорему 3. Оказалось, что это свойство в нашей модели имеет место либо при отсутствии налогов, либо
31
только локально (см. контрпример ниже ), в частности, при однозначности спроса в некоторой точке линии, которую мы теперь определим.
Определение 3.2.1 Назовем неубывающую ломаную линию связывающую две точки po < pκ̄ ∈ IR`+ последовательно спроектированной
возрастающей цепью, если некоторым точкам этой линии, пронумерованным последовательно: po ≤ p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pκ̄ ∈ IR`+ соответствует последовательность вложенных множеств J := {1, ..., `} ⊇ J1 ⊇
J2 ⊇ ... ⊇ Jκ̄ для индексов несовпадающих компонент соседних векторов, имеет место пропорциональность несовпадающей части векторов,
и совпадение остальных компонент, в смысле
J\J
J\Jt
t
t ∈ {1, ..., κ̄} ⇒ ∃νt > 1 : νt pJt−1
= pJt t , pt−1 t = pt
.
(17)
Аналогично определяется последовательно спроектированная убывающая цепь связывающая точки po ≥ pκ̄ , причем 0 < νt < 1 (t =
1, ..., κ̄).
Например, соединив отрезками прямых последовательность точек {(1, 2, 2, 4), (2, 4, 4, 8),
(4, 8, 8, 8), (8, 8, 8, 8)} получим последовательно спроектированную возрастающую цепь.
Упоминание “проектирования” указывает на суть конструкции: первый отрезок цепи при4 идущему из начала координат через первую точку (1,2,2,4), вектор
надлежит лучу в IR+
первых трех компонент второго отрезка принадлежит аналогичному лучу в пространстве
3 несовпадающих компонент соседних векторов, и далее аналогично.
IR+
Для оценки применимости следующей теоремы отметим, что две
точки пространства, из которых одна нестрого меньше другой (т.е.
сравнимых), очевидно, всегда могут быть связаны “последовательно
спроектированными цепями”, причем не более чем двумя: возрастающей и убывающей (цепи совпадают, если точки находятся на одном
луче).
Обозначим PS = PS (E) ⊂ IRµl
++ множество цен p, где избыточный
спрос E(p) однозначен.
32
Теорема 3 (о слабом законе Вальраса) Пусть A0, A1, A2L,
_
µl
сравнивается некоторое равновесие p ∈ IR++
и какая-либо цена p̃ ∈
_
_
µl
IR++
, такая, что p̃ ≥ p , либо p̃ ≤ p . Тогда
(a) При нулевых налогах τ = 0 и неотрицательности вектора
_
P
p , 0) ≥ 0), имеет
совокупного производства в равновесии ( n+π
Z
(
i=n+1 i
_
место E ∈ W W L1({ p } × {p̃}).22
_
(b) Альтернативно, пусть некоторая цепь C( p , p̃) соединяющая
_
p , p̃ пересекает область однозначности PS (E). Тогда выполняется:
_
_
E ∈ W W L({ p } × {p̃}); E ∈ GS({ p } × {p̃}).23
Следствие 3.2.1 Пусть A0, A1, A2L. Тогда имеет место слабый
_
закон Вальраса на зоне однозначности: E ∈ W W L({ p } × PS (E)),
_
а из однозначности спроса в равновесии p ∈ PS (E) следует этот
_
закон на всем ортанте цен: E ∈ W W L({ p } × IRµl
++ ).
Доказательство помещено в Приложении.
_
Заметим, что требование пересечения цепи C( p , p̃) с областью однозначности - весьма мягкое. Поскольку точки однозначности, как показывают некоторые примеры,24 обычно составляют “почти весь” ортант,
то кажется возможным доказать наличие свойств WWL и GS “почти
всюду” в изучаемой модели. Препятствия к ослаблению требований
теоремы следуют из контрпримеров, и обсуждаются ниже.
Любопытно заметить также, что, в противоречии с интуицией сформированной на моделях без трения, свойство слабого закона Вальраса
здесь не просто вытекает из ненасыщаемости, а зависит от валовой
заменимости.
22
Гипотеза: если неравновесна цена p̃ : E(p̃) 63 0, то, независимо от отрицательности или
_
положительности производства, имеет место E ∈ W W L({ p } × {p̃}) [[?]].
23
Утверждение о свойстве GS, получаемое здесь попутно с WWL, распространено на область
намного большую, чем утверждение о GS в Теореме 2. Для сопоставления случаев (a), (b) и
µl
(с) напомним, что свойство E ∈ AGS(IRµl
++ × IR++ ) для случая (a) установлено в Теореме 2 и
влечет GGS, а из WWL1 следует WWL.
24
В частности, спрос участника с линейной функцией полезности многозначен только на луче
цен, коллинеарных ее градиенту.
33
3.3
Контрпримеры: случаи нарушения наследования свойств
GGSN, WWL и NHicks
Отметим направления, в которых наши теоремы нельзя обобщить.
Опираясь на [12], [15], и приводимые ниже аргументы, можно утверждать, что: 1) избыточный спрос E описанной модели может не обладать свойством GGS, даже когда индивидуальный спрос им обладает
всюду; 2) диагональность матрицы потерь θ важна для наследования
свойства GGS, иначе это свойство может исчезать, и даже может появиться эффект Гиффена (противоречащий нормальности); 3) независимо от наличия “трения”, трансферабельность денег между рынками, выраженная единым бюджетным ограничением (5) практически (в
реалистичных случаях) необходима для наличия слабейшего свойства
валовой заменимости GGS, в следующем смысле.
µl
, задачу потребителя
Замечание 3.3.1 Рассмотрим область цен P ⊂ IR++
с несколькими бюджетными ограничениями:
Z(p) := arg max
u(
µl
z∈IR+ ;
µ
X
m=1
1
zm
, ...,
µ
X
l
zm
), s.t.
m=1
l
X
k
pkm zm
≤ βm > 0 (m ∈ {1, ..., µ}),
k=1
µl
решений этой задачи25 при аргументах p ∈ P , причем функи область Z ∗ ⊂ IR+
l
ция u : IR+
→ IR возрастает хотя бы по одной компоненте, непрерывна, вогнута,
дифференцируема. Тогда спрос Z(p) порожденный этой задачей обладает валовой
заменимостью типа Z ∈ GGS(P × P ), когда функция u(.) линейна на проекции
∗
l
области решений Z̄ := Z1∗ ∪ Z2∗ ∪ ... ∪ Zm
⊂ IR+
, и обратно: спрос Z(p) не обладает
свойством Z ∈ GGS(P × P ) когда функция u(.) нелинейна на суженной проекции
l
∗
⊂ Z̄, и неприводима к таковой
∩ IR++
области решений Z̃ := Z1∗ ∩ Z2∗ ∩ ... ∩Zm
строго монотонным преобразованием.
Доказательство в Приложении.
µl
Для P = IR++
и максимизации функции класса u ∈ UGGS , типичной областью решений Z ∗
является неотрицательный ортант. Условия дифференцируемости и др. на функцию u(.) введены
не только для облегчения доказательства, см. комментарий к определению класса UGGS .
25
34
Теперь обоснуем важность для Теоремы 2 предположения автономности (диагональности) натуральных затрат (гипотеза A1). Дело в
том, что неавтономность, т.е. прямые потери некоторых товаров в торговле другими товарами, могут иметь косвенные влияния на доход,
препятствуя GGS-свойству. Вторая причина эффекта потери валовой
заменимости в результате неавтономных фрикций такова: они усиливают взаимодополняемость реального спроса, несмотря на взаимозаменяемость товаров в потреблении. В частности, рассмотрим характерный
Пример 3.3.1 Один участник i решает задачу (1) оптимизации потребления, имеется один рынок, два товара, ресурсы wi = 0, βi > 0,
(⊕)1
= (0, 1),
а строки матрицы фрикций покупок заданы числами θi
(ª)
(⊕)2
= (1, 0), матрица фрикций продаж θi не важна.
θi
Тогда спрос участника i жестко взаимодополняем, в смысле Zi1 (p, βi )/
Zi2 (p, βi ) ≡ 1, при любой возрастающей целевой функции ui (.).
Предельно большие “перекрестные” затраты приняты здесь для демонстрации максимального эффекта взаимодополняемости, тогда как
в [15] есть примеры отсутствия наследования свойства GGS даже при
дифференциально- малых “перекрестных” затратах, а также примеры
порождения ими эффекта Гиффена.
Приведем характерный пример не-наследования свойства валовой
заменимости типа AGS и закона Хикса (забегая вперед, поскольку
это обсуждается в другом разделе), заодно демонстрируя множественность равновесий и совокупность нежелательных свойств спроса:
Z 6∈ AGSN (T ), E 6∈ W W L(T ) ∪ GGS(T ) ∪ N Hicks(T );
`
для T := ({p̂} × {p}), ∃p ∈ IR++
, p̂ : E(p̂) 3 0,
возникающих благодаря многозначности спроса.
35
(18)
Пример 3.3.2 Возьмём модель E с одним рынком µ = 1, тремя товарами и двумя участниками (A и B), имеющими параметры (здесь
индекс товара — верхний, это не возведение в степень): uA (xA ) =
x1A + 2x2A , (wA , βA ) = (2, 0, 0, 0.2), и uB (xB ) = 2x1B + x2B , (wB , βB ) =
(0, 2, 0, 0.2), θ = 0, Jˆ = ∅, с униформной функцией налогообложения
hki (pk ) = 2pk (i = A, B; k = 1, 2, 3) и с фиксированным производством
wo = (0.1, 0.1, 0).26
Сравним пару цен p = (1, 1, 1), p̂ = (1, 1, 2) (мы преднамеренно берем случай, когда
изменение третьей цены не имеет значения для участников), таким образом, J = (p, p̂) =
{1, 2}. Спрос любого участника при этих ценах – некоторый интервал: ZA (p, βA ) =
ZA (p̂, βA ) = [(0, 1.1, 0), (2.1, 0, 0)] и ZB (p, βB ) = ZB (p̂, βB ) = [(1.1, 0, 0), (0, 2.1, 0)] ⊂ IR3 .
Суммируя начальные точки этих двух интервалов и вычитая начальные запасы экономики (2.1,2.1,0)=(0.1,0.1,0)+ (2,0,0)+ (0,2,0), мы получаем точку избыточного спроса
e = (0, 1.1, 0) + (1.1, 0, 0) − (2.1, 2.1, 0) = (−1, −1, 0) ∈ E(p). Сравним эту точку с равновесием – суммой не-начальных точек интервалов спроса: ê = (2.0, 0.1, 0) + (0.1, 2.0, 0) −
(2.1, 2.1, 0) = (0, 0, 0) ∈ E(p̂) = E(p). Можно видеть, что свойства AGSN, GGS, WWL,
NHicks нарушены, то есть выполнено (18).
Заметим, что по переменным p1 , p2 равновесие однозначно, и исследуемые эффекты не связаны с множественностью цен равновесия. Они также не связаны с тем,
что обе сравниваемые цены – равновесные, как можно увидеть на следующем примере: рассматриваются один рынок, три товара и три участника (D, F, G), с параметрами
1 + 2x2 , (w , β ) = (2, 0, 0, 0), u (x ) = 2x1 + x2 , (w , β ) = (0, 2, 0, 0),
uD (xD ) = xD
D D
F
F
F
F
D
F
F
uG (xG ) =
p
(x1G ) +
p
(x2G ) +
p
(x3G ), (wG , βG ) = (0, 0, 0, 0.6), с функцией налогообложения
hki (pk ) = 2pk (i = D, F, G; k = 1, 2, 3) и c производством wo = (0, 0, 0.1). Сравнив цены
p = (1, 1, 1), и p̃ = (1.01, 1.01, 1), увидим, что нарушены свойства WWL, NHicks.
Гипотеза положительности производства (A0) весьма существенна
для закона Вальраса, независимо от наличия налогов и многозначности или однозначности спроса. Объясним это примером (Замечанием),
распространимым и на более широкий класс случаев.
26
Очевидно, функции полезности удовлетворяют условию (см. [3]) достаточному для свойства u ∈ UGGSN , т.е. они сепарабельны, вогнуты, возрастают, дифференцируемы, и функция
[xki ∂ui (x)/∂xki ] возрастает (∀i).
36
Замечание 3.3.2 Пусть при гипотезах A1-A2L и фиксированном
производстве (−Zo (p)) ≡ −zo ∈ IRµl с отрицательной компонентой −zo1 < 0 имеется равновесие p : E(p) 3 0. Свойства WWL1
и WWL окажутся нарушены на паре цен (p, q) для каждого вектора q ≥ p : q 1 > p1 , q j = pj (j 6= 1), при котором совокупный
спрос потребителей на первый товар такой же, как в равновесии:
P
P
1
1
1
i∈I Zi (q, βi ) = z = i∈I Zi (p, βi ) < 0.
Σ
Доказательство элементарно, содержательно его можно объяснить
так. Пусть совокупный потребитель в равновесии продавал производственному сектору L единиц товара 1 (скажем, труда) ежедневно (zo1 =
L > 0), и продолжает это делать после сегодняшнего повышения цен
на труд, а объемы производства не успели отреагировать на сдвиг цен.
Тогда бюджетное множество совокупного потребителя для всех прочих товаров расширилось: у него больше денег на их покупку. Поэтому,
благодаря ненасыщаемости и валовой заменимости типа RGS (см. Теорему 1), найдется элемент спроса ē, такой, что совокупный спрос на
все товары кроме труда превысил равновесный, причем по некоторым
компонентам превысил строго: (ē2 , ..., ē` ) > 0. Итак, экономика пришла
в неравновесие по некоторым или по всем товарам, кроме (неизменного) спроса на труд ē1 = 0, причем нарушен слабый закон Вальраса: ни
на что спрос не упал.
4
Сравнительная статика модели: закон Хикса и
последствия изменения налогов
4.1
Локальное выполнение закона Хикса
Опираясь на данное выше определение “закона Хикса” и соответствующие обозначения (K > , K < ) сформулируем Теорему 4 (усиливающую
аналог из [12]). Она описывет достаточные условия на параметры мо37
дели, приводящие к локальному (поточечному) или глобальному свойству “закона Хикса”. Используя прежнее обозначение PS = PS (E)
для зоны однозначности спроса E, мы обозначим теперь через PSS =
PSS (E) внутренность PS (E).
Теорема 4 (о законе Хикса для рынков с трением ) Пусть
выполнены условия A0, A1, A2L. Тогда:27
1) Сравним некоторое положительное равновесие q À 0 : 0 = f ∈
E(q) с некоторым вектором цен p À 0 и некоторым его образом d ∈
E(p). Обозначим числа α := κ̄< (q, f, p, d), α̂ := κ̄> (q, f, p, d), вектора
p̌ := max{q, αp}, p̄ := min{q, α̂p}, и их произвольные окрестности
Vp̌ 3 p̌, Vp̄ 3 p̄. Тогда:
1i) Условие [E ∈ GGS(Vp̌ × {αp, q}), E ∈ W W L(q, p̌)] влечет
свойство H1: [ α ≤ 1 ⇒ ∃s ∈ K < : ds < 0], и свойство H3i для q̂ = p̌.
1ii) Условие [E ∈ GGS(Vp̄ × {α̂p, q}), E ∈ W W L(q, p̄)] влечет
свойство H2: [ α̂ ≥ 1 ⇒ ∃r ∈ K > : dr > fr ], и свойство H3ii для
q̂ = p̄.
1iii) Обозначим q̂ := max{p̄, αp}. Кроме всех предположений из
1i), 1ii), примем, для какой-либо окрестности Vq̂ 3 q̂, новое условие
E ∈ GGS(Vq̂ × {αp, p̄, p̂, α̂p}) ∪ W W L(p̄, q̂) ∪ W W L(p̌, q̂).
Тогда все свойства H1– H3 имеют место, т.е. E ∈ N Hicks(q, f, p, d).
2) Условия GGS, WWL в 1i), 1ii), 1iii) можно заменить гипотезой однозначности избыточного спроса E в особых точках:
2i) Условие p̌ ∈ PSS (E) влечет свойства H1, H3i.
2ii) Условие p̄ ∈ PSS (E) влечет свойства H2, H3ii.
2iii) При 2i, 2ii, условие q̂ ∈ PSS (E) влечет все свойства H1–
H3, т.е. E ∈ N Hicks(q, f, p, d).
27
Теорема, аналогичная нашему утверждению “3)”, но для одного рынка и отсутствия всяких
фрикций доказана в [5].
38
3) Если нет налогов: τ = 0, тогда свойство NHicks глобально:
E ∈ N Hicks(q, 0, p, d) для всех q À 0 : 0 ∈ E(q), p À 0 : d ∈ E(p).
Доказательство. Чтобы установить “1)”, достаточно применить
Теорему 1 о законе Хикса к отображению E, условия его нормальности, регулярности и валовой заменимости для данного случая установлены в Теореме 2 (о “наследовании”).
Затем, применяя уже доказанное “1)” и Теоремы 2, 3 о “наследовании” (случай без налогов), мы имеем также “3)”. Аналогично, чтобы
доказать свойства H1, H2, H3 утверждения “2)”, применяем доказанное
“1)”, используя Следствие Теоремы 3 (о законе Вальраса), обеспечивающее свойства WWL, GGS в каждой точке однозначности.
[[[]]]]
Комментарии. Утверждение “1)” теоремы, с наиболее мягким условием (WWLGGS), носит скорее вспомогательный характер для получения двух других: неясно, как устанавливать выполнение этого условия
в конкретных случаях. Утверждение “3)” гарантирует глобальность
выполнения закона Хикса — но только для экономики без налогов
и прочих перераспределяемых издержек сделок (допуская из фрикций только квоты и потери). Утверждение “2)” допускает любые из
введенных нами фрикций, но зато сужает область, где гарантировано выполнение закона Хикса, до некоторого множества, на котором
выполняется особое условие однозначности спроса.
Последний результат является существенным обобщением по сравнению с требованием однозначности всюду, и кажется более или менее
удовлетворительным прогнозом наличия свойства NHicks. Дело в том,
что однозначность спроса в нашей модели имеет место “почти всюду”,
судя по известным нам примерам. Хотя в равновесии она редка,28 если только мы не предполагаем, что рынок единственный и функции ui
28
Чтобы понять причину этого, достаточно рассмотреть пример обычной модели обмена с
линейными предпочтениями и случайно выбранным распределением начальных запасов и ко-
39
– строго вогнуты (классические предположения, от которых хотелось
избавиться), но в произвольно взятой альтернативной точке цен p, и
в построенных по ней точках p̄, p̌, вместе с их окрестностями, вероятность встретить однозначность, видимо, равна единице, как обсуждалось выше.
В случаях неоднозначности неясно, когда выполняется условие (свойство спроса) WWLGGS. Примеры, в том числе – приведённые ниже,
показывают, что это условие (как и закон Хикса) при неоднозначности выполняется часто, но не всегда. Мы искали разумные дополнительные предположения на параметры, которые бы могли гарантировать его выполнение, но безрезультатно. Обсуждаемый результат “2)”
полезен также тем, что позволяет через однозначные аппроксимации
спроса получить для “большой гетерогенной экономики” аналогичную
теорему о выполнении закона Хикса всюду, при вполне приемлемых
условиях (этот результат мы готовим к печати).
В заключение обсуждения закона Хикса напомним, что он непосредственно применим к сравнению равновесий до и после возрастания начального запаса любого товара. Выполнение закона Хикса на
паре сравниваемых состояний гарантирует, что равновесная цена этого товара не возрастет в результате роста запасов.
4.2
Влияние налогообложения: “монотонность” изменения
равновесной цены
В каких случаях, в противоположность приведенному ниже Примеру 4.3.1, равновесная цена товара станет монотонно снижаться (относительно других цен и/или абсолютно) в результате увеличения налоэффициентами функций. У всех участников спрос однозначен только когда равновесие попало
в угол диаграммы Эджворта. Вероятность того, что в равновесии хотя бы один из участников
имеет многозначный спрос, возрастает, видимо, с числом участников и товаров, и близка к 1 при
наличии хотя бы двух одинаковых по предпочтениям участников.
40
га, наложенного на продажу этого товара?29
Теорема 5 Предположим, что экономика E удовлетворяющая условиям A0, A1, A2L, имела равновесие p̄ À 0. Затем, для некоторого товара s̄ ∈ K и рынка m̄ ∈ M , некоторые величины (νvi ) ∈
[−τis̄m̄ , +∞) были добавлены к налоговым коэффициентам τis̄m̄ ≥ 0 всех
n
участников i ∈ I; причем v ∈ IR+
, ν ∈ {−1, 1}.30 Пусть впоследствии установилось новое положительное равновесие p̃ 6= p̄, и новый
избыточный спрос Ẽ удовлетворяет условию Ẽ(p̄) 63 0. Тогда имеют
место:
1) Непарадоксальная первая (до начала движения цен от точки p̄) реакция спроса на налоги. Новый спрос Ẽ при старых ценах таков,
что:
∃ē ∈ Ẽ(p̄) : [νēs̄m̄ < 0,
ν ēkm ≥ 0 ∀(m, k) 6= (m̄, s̄)],
(19)
а при однозначности типа E(p̄) = {0} — неравенства (19) выполнены
и для всех ē ∈ Ẽ(p̄).
2) Непарадоксальная реакция равновесных цен на налоги.
i: Случай роста налогов (ν > 0). Предположим для некоторого
ē ∈ Ẽ(p̄), удовлетворяющего (19) четверка (p̃, ẽ, p̄, ē) сравнима по
минимуму, т.е. α := κ̄< (p̃, ẽ, p̄, ē) ≤ 1, K < 6= ∅,31 пусть спрос Ẽ
удовлетворяет условию
(WWLGGSi):
Ẽ ∈ W W L({p̃} × q̌) ∩ GGS(T ),
29
Прямые налоги также могут рассматриваться как налоги на продажи: а именно, на продажу
капитала и труда. Так что, мы имеем дело здесь с общей проблемой последствий налогообложения. Более того, нижеследующая теорема применима и к влиянию любых денежных издержек
сделок, а не только налогов.
30
Таким образом, налоги стали равны τ̃is̄m̄ = τis̄m̄ + νvi . Скаляр ν показывает направление —
n
увеличение или уменьшение — налогов, а вектор v ∈ IR+
делает возможными различия прироста
налогов между участниками; теорема охватывает все случаи – один ли участник облагается
налогом, группа или все.
31
Отображения K < (p̃, ẽ, p̄, ē), K > , κ̄< заданы в определении сравнимости. Условие K < 6= ∅,
K > 6= ∅ для данного ẽ эквивалентно предположению: [∃(m, k) : ν p̄km ≥ ν p̃km , ẽkm 6= 0].
41
где T := (V̌ ×{p̃})∪(V̌ ×{αp̄}), V̌ — некоторая окрестность точки
q̌ := max{p̃, αp̄} ∈ V̌ . Тогда цена с номером (s̄, m̄) не увеличилась ни
абсолютно, ни относительно, в следующем смысле:
1 ≥ p̃s̄m̄ /p̄s̄m̄ = min < (p̃km /p̄km ) =
(m,k)∈K
min
(p̃km /p̄km ).
{(m,k)|ēkm 6=0}
(20)
∃p̂ : Ẽ(p̂) 3 0, [p̂km = p̃km ∀(m, k) : ēkm 6= 0],
p̂s̄m̄ /p̄s̄m̄ = min (p̂km /p̄km ) < max (p̂km /p̄km ),
∀(m,k)
∀(m,k)
(21)
ii: Случай снижения налогов (ν < 0). Предположим, для некоторого ē ∈ Ẽ(p̄), удовлетворяющего (19) четверка (p̃, ẽ, p̄, ē) сравнима
по максимуму, т.е. α̂ := κ̄> (p̃, ẽ, p̄, ē) ≥ 1, K > 6= ∅, пусть спрос Ẽ
удовлетворяет предположению
(WWLGGSii):
Ẽ ∈ W W L({p̃} × q̂) ∩ GGS(T ),
где T := (V̂ ×{p̃})∪(V̂ ×{α̂p̄}), V̂ — некоторая окрестность точки
q̂ := min{p̃, α̂p̄} ∈ V̂ . Тогда цена с номером (s̄, m̄) не уменьшилась ни
абсолютно, ни относительно, в следующем смысле:
1 ≤ p̃s̄m̄ /p̄s̄m̄ = max > (p̃km /p̄km ) =
(m,k)∈K
maxk
(p̃km /p̄km ).
{(m,k)|ēm 6=0}
(22)
∃p̂ : Ẽ(p̂) 3 0, [p̂km = p̃km ∀(m, k) : ēkm 6= 0],
p̂s̄m̄ /p̄s̄m̄ = max (p̂km /p̄km ) > min (p̂km /p̄km ),
∀(m,k)
∀(m,k)
(23)
3) Условие (WWLGGSi) выполняется, когда спрос Ẽ однозначен на
какой-либо окрестности V̌ 3 q̌. Условие (WWLGGSii) выполняется,
когда спрос Ẽ однозначен на какой-либо окрестности V̂ 3 q̂.
Доказательство – в Приложении.
Комментарии. Из приведённых ниже “парадоксальных” примеров
можно видеть, насколько существенны использованные предположения, особенно “сравнимость” состояний до и после налогообложения.
Наши попытки ослабить их не привели к успеху. Мы считаем это отрицательным результатом: влияние налогообложения на цены вообще
говоря неоднозначно, даже при валовой заменимости.
42
Утверждение “3)” этой теоремы и приведенное ниже Предложение 4.2.1 показывают некоторые частные, но интуитивно значимые
случаи, когда выполняются более общие, но неочевидные условия пункта “2)”. Примеры показывают, что эти условия могут выполняться или
не выполняться. Что ближе к “типичному”?
Видимо, влекущая свойство WWLGGS однозначность спроса на
требуемом множестве V̌ (или V̂ ) вероятнее, чем многозначность, возможно, она выполняется “почти всюду”. Если это так, то и непарадоксальная реакция цен на налоги должна выполняться “почти всегда”
при валовой заменимости, если только выполняется второе условие.
Это второе условие — “сравнимость состояний”: [K < 6= ∅, K > 6= ∅].
Оно с очевидностью выполняется, например, когда хоть одна цена не
возросла после роста налога [∃(m, k) : ν p̄km ≥ ν p̃km ], и притом первичное воздействие нового налога на экономику достаточно сильно,
k
чтобы вывести весь спрос из равновесия: [Ẽm
(p̄) 6= 0, ∀m, k]. К сожалению, это свойство отклонения от нуля всего спроса не всегда имеет
место; например, оно невозможно для логарифмических или линейных
функций полезности. Его слабый аналог, приводимый ниже в Предложении 4.2.1 гораздо более правдоподобен, но все же интерпретируемые
условия его неясны. Напротив, для соотношения [∃(m, k) : ν p̄km ≥
ν p̃km ], мы теперь сформулируем интерпретируемое достаточное условие: “успех реформы налогообложения” (название предполагает, что
цель повышения налогов — увеличение их валового сбора).
Определим вектор-функцию x(.) “натурального эквивалента налогов”:
P
P
1
1 +
l
l
l +
x(τ, z) := i (τi ∗[zi −wi ]+ ) = i (τi11 [zi1
−wi1
] , ..., τiµ
[ziµ
−wiµ
] ) ∈ IRµl , и
функцию “дохода от налогообложения” T (.) : T (p, τ, z) := px(τ, z) =
P
p i (τi ∗ [zi − wi ]+ ) (знак “∗” означает вектор-значное умножение векторов).
Гипотеза (“Успех”): Предположим, что, при условиях сформули43
рованной выше теоремы, увеличение налогов (ν > 0), или их уменьшение (ν < 0), влечёт аналогичный сдвиг налоговых сборов измеренных в текущих ценах: νT (p̃, τ̃ , z̃) > νT (p̄, τ̄ , z̄), или в постоянных ценах (при нулевом производстве, то есть совокупных поставках zn+1 ):
[νT (p̄, τ̃ , z̃) > νT (p̄, τ̄ , z̄), zn+1 = 0].
Предложение 4.2.1 При фиксированном производстве (−zn+1 ) ≥
0, при условиях Теоремы 5 условие (“Успех”) влечёт изменение хоть
одной цены в сторону противоположную изменению налога: [ ∃(m, k) :
ν p̃km < ν p̄km ]. Пусть, кроме того, изменились цены именно тех товаров, на спрос которых первично повлияли налоги: [∃e ∈ Ẽ(p̄) :
[p̄km 6= p̃km ⇒ ekm 6= 0]], тогда имеет место “сравнимость состояний”:
[ν > 0 ⇒ K < 6= ∅], [ν < 0 ⇒ K > 6= ∅].
Доказательство – в Приложении.
Трудно сказать, при каких условиях имеет место свойство “успех”.
На первый взгляд, чем более в экономике проявляется эффект валовой
заменимости, тем менее вероятен “успех налогообложения” при манипулировании только одним налогом. Однако, как можно увидеть на
примерах (см. в т.ч. Пример 4.3.1), это не всегда так. В специфическом
случае, когда участники обложены одинаковым налогом на некоторый
товар, и этот налог повышается в одинаковой пропорции, тогда “успех”
в типичных примерах связан со степенью подавления обменов: чем более повышение налогов подавляет торговлю, тем меньше шансов, что
оно “успешно”. Впрочем, “успех” зависит, конечно, и от того исходного
уровня, с которого налоги повышались: выше или ниже “оптимальной точки Лаффера” находилось налогообложение. В этом смысле,
избыточно обложенная налогами экономика имеет больше шансов демонстрировать парадоксальные реакции на новые налоги, даже при
валовой заменимости спроса.
44
4.3
Контрпримеры: случаи нарушения закона Хикса и налоговые парадоксы
Покажем направления, в которых наши теоремы нельзя обобщить. Выше обсуждались общие условия и примеры нарушения валовой заменимости и закона Вальраса. В этих случаях, соответственно, нельзя
установить закон Хикса и монотонность цен по налогу тем же путем,
что мы установили выше. Но действительно ли закон Хикса и монотонность нарушаются?
Важно отметить, что Теорема 9 из [5] показывает, что закон Хикса
_
`
: E 6∈
не может выполняться глобально (то есть, что [∀ p ∈ P̄, ∃p ∈ IR++
_
N Hicks({ p } × {p}]) каждый раз, когда по крайней мере одно из трех
`
), поусловий Теоремы (GGS, Nor, WWL) не глобально (на всем IR++
этому нарушения этих свойств всегда приводят к нарушениям закона
Хикса. Однако, области нарушений того и другого могут, вероятно, не
совпадать, в отличие от приводимого выше Примера 3.3.2. Этот пример проясняет суть этого явления – нарушения закона Хикса. Оно
возникает благодаря многозначности спроса, когда наличие налогов
приводит и к неоднозначности стоимости спроса, и к присутствию в
множестве совокупного спроса сравнимых векторов, то есть таких, где
один больше другого.
Теперь приведем два парадоксальных примера роста цены товара
после увеличения налога на него. Первый связан не с многозначностью
спроса (в одном из вариантов примера спрос однозначен всюду) и/или
отсутствием свойства NHicks (это свойство в примере выполняется), а
с “несравнимостью по минимумам” состояний до и после налогообложения (с пустотой множества K < ), а второй пример связан именно с
многозначностью спроса (сравнимость состояний имеется).
Пример 4.3.1 Рост цены после роста налога на товар, благодаря
“несравнимости по минимумам” состояний. Разрывность отобра45
жения равновесий. Неэквивалентность равновесий.
Возьмём модель E с одним рынком µ = 1 (потребление “x” тогда совпадает со спросом “z”), с двумя товарами и двумя участниками (C,D), имеющими линейные предпочтения (альтернативно, можно
интерпретировать пример как экономику E с двумя рынками, с одним товаром и с различающимися “предпочтениями к рынкам”, где
это различие отражено не в матрицах θ, а в функциях полезности).
Участники имеют параметры
uC (xC ) = x1C + 1.2x2C , βC = 1.5, wC = (1, 1), τC = (0.5, 0.5),
uD (xD ) = x1D + x2D , βD = 4.5, wD = (1, 1), τD = (0.5, 0.5).
Функция налогообложения hki (pk ) = (1 + τik )pk (i = A, B; k = 1, 2), натуральные потери θ = 0, внешнее предложение, то есть производство
равно wo = (1, 1).
Сравним три равновесия p̂, p̄, p̃, возникающих в результате возрастания налогового коэффициента τC2 , наложенного на потребление второго товара участником C. Пусть в первый момент он был τ̂C2 = 0.5,
затем возрос до τ̄C2 = 0.799 и далее до τ̃C2 = 0.801; при этом другие параметры не изменялись. Соответствующие три равновесия, как можно
проверить прямым вычислением, таковы:
τC2 → τ̂C2 = 0.5 ⇒ p̂ = (2, 2), x̂C = ẑC = (1, 1.5), x̂D = ẑD = (2, 1.5) ∈
[(2.5, 1), (1, 2.5)] = ZD (p̂),
τC2 → τ̄C2 = 0.799 ⇒ p̄1 = p̄2 = 6897/3598 ≈ 1.917, x̄C = z̄C =
(1, 3299/2299), x̄D = z̄D = (2, 3598/2299) ≈ (2, 1.565)
τC2 → τ̃C2 = 0.801 ⇒ p̃ = (2, 2), x̃C = z̃C = (1.5, 1), x̃D = z̃D = (1.5, 2).
Как можно видеть на соответствующем Рис. 4.3, сначала цены p1 , p2
синхронно убывают с ростом налога, наложенного на второй товар,
вплоть до точки τC2 = 0.8. В ней, при росте τC2 , они “прыгают” от 1.917
до 2.0, и проявляется: 1) ценовой парадокс налогов; 2) разрывность
спроса (отсутствие полунепрерывности снизу); 3) неэквивалентность
отрезка равновесий (p1 , p2 ) ∈ [(1.917, 1.917), (2.0, 2.0)] по объемам и
46
полезностям (подразумевается, что разным равновесным ценам соответствуют разные равновесные объемы спроса и разные уровни полезности каждого учаcтника). Последующее увеличение τC2 не имеет
никакого воздействия на экономику.
Однозначный вариант примера. Можно показать, что найденный парадокс роста цены может появиться и при однозначном всюду
спросе, и что цены могут увеличиваться не только абсолютно, но и относительно к другой цене. Для первого вывода достаточно модифицировать условия, как в Примере 4.3.3. Для второго вывода достаточно
включить в обсуждаемый пример третий товар, обеспечив неизменность его цены (а неэквивалентность равновесий при однозначности
спроса, видимо, невозможна, как и разрывность отображения равновесий).
Пример 4.3.2 Рост цены после роста налога на товар, благодаря
многозначности спроса.
В Пример 4.3.1 с участниками C,D и товарами #1, #2 добавим
еще два товара с номерами 3,4, и еще двух участников, с именами
A,B : uA (xA ) = x3A + 2x4A , (wA , βA ) = (0, 0, 2, 0, 0), и uB (xB ) = 2x4B +
x4B , (wB , βB ) = (0, 0, 0, 2, 0), с функцией налогообложения hki (pk ) =
2pk (i = A, B; k = 3, 4). Внешнее предложение возьмем wo = (1, 1, 0, 0).
Образованная таким образом экономика “разложима”,32 поэтому спрос
участников C, D потребляющих товары №1, №2, а также цены и объемы торговли этими товарами — никак не связаны с множественными по ценам и по объемам спроса равновесиями подэкономики ((A,B),
(#3,#4)), имеющей множество равновесий [(∀p1 , ∀p2 , p3 = t, p4 = t) ∀t].
Поэтому та же, что в Примере 4.3.1, картина парадоксального роста
цены p2 по налогу τC2 остается в силе при всевозможных вариантах
множеств K > , K < , которые мы имеем возможность сконструировать в
32
Разложимость облегчает построение такого примера, но не является обязательной.
47
подэкономике (A,B) благодаря ее многозначности, а тем самым и в объединенной экономике, что допускает сравнимость состояний. В частности, возможен вариант ē = (0, −0.0001, 0.5, 0.5), p̃ = (2, 2, 0.5, 0.5),
K < 3 {3, 4} (здесь использованы обозначения равновесного спроса ē,
неравновесной цены ẽ и множества K < из Теоремы 4, Примера 4.3.1),
что и требовалось.
Пример 4.3.3 Слегка изменяя Пример 4.3.1, построим пример с однозначным спросом, где объем торговли вторым товаром увеличивается,
вместе с ростом налога, наложенного на этот товар(“парадокс объема”).
Есть три товара и три участника, имеющих параметры:
uC (xC ) = x1C + 0.000001 · ln(x1C ) + 1.2x2C + 0.000001 · ln(x2C ), (wC , βC ) =
(1, 1, 0, 1.5),
uD (xD ) = x1D + 0.000001 · ln(x1D ) + x2D + 0.000001 · ln(x2D ), (wD , βD ) =
(1, 1, 0, 4.5). uE (xE ) := 0.001 · ln(x2E ) + x3E , (wE , βE ) = (0, 0.000521676,
0, 1).
Функция налогообложения hki (pk ) = (1 + τik )pk (i = C, D, E; k =
1, 2), τC = (0.5, 0.799, 0), τD = (0.5, 0.5, 0), τE = (0, 0, 0), натуральные
потери θ = 0, производство wo = (1, 1, 1).
Итак, мы ввели малую заинтересованность во втором товаре для
третьего участника и небольшой соответствующий начальный запас,
компенсирующий этот спрос в точке p̄ = (1.917, 1.917, 1). Это новшество, согласно нашим расчетам, не будет иметь существенного воздействия на описанное в Примере 4.3.1 изменение цен, сопутствующее повышению налога τC2 от τ̄12 = 0.799 до 0.801 = τ̃12 . Цены также
мало изменятся от p̄ = (1.917, 1.917, 1) до p̃ ≈ (1.99998, 1.99998, 1),
но теперь третий участник потребит меньше, чем имеет, товара 2:
x̃2E = 0.000500027 < x̄2E = 0.000521676, когда столкнётся с возросшей
ценой p̃2 = 1.99998. Таким образом, объем торговли вторым товаром
v 2 :=
Σ
P
2
i |xi
− wi2 | увеличится от v̄ 2 = 1.0 до ṽ 2 := 1.000021649, в
Σ
48
Σ
результате повышения налога на него, а объем торговли прочими товарами не изменится.
В построенном примере спрос E однозначен, удовлетворяет свойству WWL, весьма сильному свойству GS (по Теореме 3) на всём ценовом пространстве, и закону Хикса (по Теореме 4), но, тем не менее,
благодаря “несравнимости состояний”, имеют место “налогово - ценовые” и “налогово- объемные” парадоксы!
Пример 4.3.4 Теперь рассмотрим “налогово - полезностный” парадокс: случай, когда и продавец, и покупатель товара обложенного дополнительным налогом, выигрывают от этого повышения, и при этом
никто не проигрывает — несмотря на однозначность спроса, свойства
WWL, GS, и закон Хикса.
Три участника имеют следующие начальные параметры:
u1 (x1 ) = 1.2x11 + 0.000004 · ln(x11 ) + 1.0x21 + 0x31 , β1 = 1.5, w1 =
(1, 1, 0), τ1 = (0.5, 0.24999, 0),
u2 (x2 ) = 1x12 + 0.000004 · ln(x12 ) + 1.0000026667x22 + 0x32 + 1/1000000 ·
ln(x32 ), β2 = 4.5, w2 = (1, 1, 0), τ2 = (0.5, 0.5, 0).
u3 (x3 ) = 0x13 + 0x23 + 1x33 , β3 = 0.6, w3 = (0, 0.2, 0), τ3 = (0, 0, 0).
Внешнее предложение wo = (1, 0.8, 1.0), таким образом, совокупное
предложение равно w Σ = (3, 3, 1).
Соответствующее равновесие, как можно проверить прямым вычислением, будет:
1). τ12 = τ̄12 = 0.24999 ⇒ p̄1 = 2.100003750038625,
p̄2 = 2.100005150108325, p̄3 = 1.02000418002099,
z̄1 = (1, 1.571431931982214, 0), z̄3 = (0, 0, 0.999996911778629),
z̄2 = (2, 1.428568068017785, 3.088221371132865 ∗ 10−6 ).
После повышения налога τ12 новое равновесие будет таким:
2). τ12 = τ̃12 = 0.2499973 ⇒ p̃1 = 2.001335563283715,
p̃2 = 2.001335559782993, p̃3 = 1.000270113951933,
z̃1 = (1.501002004008016, 1.0, 0), z̃3 = (0, 0, 0.999996998815328),
z̃2 = (1.498997995991984, 2.0, 3.001184672401189 ∗ 10−6 ).
49
В первой точке равновесия p̄, функции полезности принимают значения
ū1 = 2.771431931982215, ū2 = 3.428574650168975, ū3 = 0.999996911778629, тогда как
во второй:
ũ1 = 2.801204029341171, ũ2 = 3.499004948579512, ũ3 = 0.999996998815328, из чего
виден “налогово - полезностный” парадокс: все выиграли от налога. Комментируя
его, можно сказать, что этот “парадокс” вполне объясним, так как он вызван неуниформным (по товарам) начальным налогообложением. В сущности, когда второй
налог становится ближе к униформной ставке, мы приближаемся к Парето- эффективности, при этом соответствующая чистая выгода просто распределяется
среди участников: происходит перераспределение товаров туда, где они нужнее.
5
Выпуклость и эквивалентность равновесного множества, непрерывность отображения равновесий
Рассмотрим важные характеристики множества равновесий Q̄ 3 (p, z),
а также множества равновесных цен, обозначаемого P̄ := {p| E(p) 3
0}, и множества равновесных распределений, обозначаемого
P
Z̄ := {z| i (zi −wi ) = 0, ∃p : zi ∈ Zi (p, βi ) ∀i}. Выпуклость множества
P̄ благоприятна для глобальной устойчивости процесса корректировки цен (tatonnement), и влечет во многих случаях единственность равновесной цены. Эквивалентность возможных равновесий по объемам,
формулируемая в виде Q̄ = P̄ × Z̄ (прямоугольность равновесного
множества) означает, что все участники демонстрируют одинаковый
выбор, которая бы из равновесных цен ни реализовалась, следовательно все равновесия “эквивалентны и по полезностям”, то есть в терминах
достигаемых полезностей равновесие единственно. Чтобы установить
эти два полезных свойства, а также известное свойство “выявленного
предпочтения” (отрицательную монотонность относительно равнове50
сия) в нашей модели, мы можем использовать теоремы из [4], объединенные здесь вместе:
Предложение 5.0.1 ([4]) Пусть отображение избыточного спро`
са E(·) обладает свойствами Reg, GGS, и Nor на IR++
, и P̄ 6= ∅.
`
`
(i) Если E ∈ W W L1(IR++
× IR++
), то любая цена равновесия p̄ ∈
P̄ и любая другая цена p проявляют свойство “Слабого выявленного
предпочтения”, то есть имеет место неравенство (p̄ − p)E(p) ∀≥ 0,
и оно строгое для неравновесных p 6∈ P̄.
`
(ii), если E ∈ W W L(P̄ × IR++
), то равновесное множество Q̄,
имеет два свойства:
1) эквивалентность: Q̄ = P̄× Z̄,
2)выпуклость: P̄ и Z̄ выпуклы.
(24)
Свойство WWL1 редко выполнено в нашей модели если только налоги (τ ) не нулевые. Для более общего случая мы выведем из приведенного Предложения только эквивалентность и выпуклость равновесий,
и только для специальных случаев:
Следствие 5.0.2 ([12]) Пусть экономика E удовлетворяет предположениям A0, A1, A2L, и P̄ 6= ∅.
(i) Если нет налогов (τ = 0), и выполнены условия Теоремы 3-(a)
гарантирующие свойства WWL1, GGS, то избыточный спрос E удоµl
,
влетворяет свойству “Слабого выявленного предпочтения” на IR++
и свойствам эквивалентности и выпуклости равновесий.
_
(ii) Альтернативно, пусть либо 1) в каждом равновесии p ∈ P̄ ⊂
µl
`
IR++
спрос E(.) однозначен всюду на IR++
, либо
_
`
`
`
2) E ∈ W W L({ p } × IR++
) ∩ GGS(IR++
× IR++
).
51
Тогда имеют место свойства эквивалентности и выпуклости равновесий (24).
Доказательство очевидно, применяя Теорему 2, Теорему 3, Предложение 5.0.1.
Примененное в условиях случая с налогами требование однозначности либо неочевидное условие WWL& GGS вызывают неудовлетворение. Но отбросить их нельзя, и ослабить затруднительно. Действительно, эквивалентность равновесий может отсутствовать изза многозначности спроса (даже несмотря на сильную валовую
заменимость), см. Пример 4.3.1 и Рис. 4.3-5, демонстрирующие также
возможность отсутствия полунепрерывности снизу отображения равновесных цен.
Что касается полунепрерывности сверху отображения равновесных цен (по аргументам w, β, τ ), то она имеет место при гипотезах A0,
A1, A2 (важна регулярность спроса), что легко установить рассматривая предел последовательности равновесий.
Можно добавить, что строгая валовая заменимость типа SGGS привела бы к единственности равновесия, но свойство SGGS мало правдоподобно в модели E с рыночным трением; это свойство не наследуется
при возникновении трения.
6
Приложение: доказательства, рисунки
Доказательство Теоремы 1 о локальном законе Хикса для
отображений.
Нам будет удобно предположить f = 0 в доказательстве, противоположный случай может быть сведен к этому, подстановкой Ẽ(.) :=
E(.) − f вместо E(.).
Пункт ”1) ”: K < 6= ∅. По предположению о GGS и регулярности
52
соответствия E, можно применить Лемму о Комбинировании к p̂, в
частности, имея в виду множества J1 = {j|αpj < qj }, J2 = {j|αpj ≥
ˆ 2] +
qj }. Лемма гарантирует существование вектора â ∈ E(p̂) : â ≥ d[J
ˆ 2 ], где33 f [J1 ] = f = 0 ∈ E(q) и ∀dˆ ∈ E(αp). В частности мы
f [J1 ] = d[J
можем выбрать dˆ ≥ d, используя нормальность отображения E, αp ≤
p. Итак, имеется â ∈ E(p̂) : â ≥ d[J2 ]. По построению, J2 ⊃ K < , кроме
того, определив Jd6=0 := {j|dj 6= 0} мы имеем J2 ∩ Jd6=0 = K < ∩ Jd6=0 =
K < , следовательно â ≥ d[J2 ] = d[K < ].
Теперь предположим, что доказываемое утверждение неверно, то
есть неотрицательны все компоненты dj ≥ 0 : j ∈ K < (тогда вектор
отличен от нуля, а именно: dj > 0 - по построению K < ). Мы получаем â ≥ d[K < ] > 0. Но это противоречит предполагаемому свойству
[Ej (p̂) < fj ∃j]. Итак, доказываемое утверждение верно, и среди компонент dj : j ∈ K < имеется компонента j : dj < 0.
Проверим свойство (H3i): K < (q, f, p, d) 6= ∅, q̂ := p̂ = max{αp, q}.
По построению, мы имеем q̂i = qi для всех i : di 6= 0, и α =
mini (q̂i /pi ) = q̂s /ps для всех s ∈ K < . Теперь проверим, что вектор q̂ равновесие. Мы применяем снова Лемму о комбинировании к q̂, теперь
по-другому: мы берем J1 (q, αp) = {j|qj < αpj }, J2 (q, αp) = {j|qj ≥
ˆ 1 (q, αp)] =
αpj }. Мы получим существование â ∈ E(q̂) : â ≥ f [J2 ] + d[J
ˆ 1 (q, αp)] ≥ d[J1 (q, αp)] = 0. Последнее равенство верно, так как
d[J
J1 ∩ Jd6=0 = ∅, по построению, а dˆ ∈ E(αp), dˆ ≥ d выбрано, как и ранее, по нормальности. Если бы имелись положительные компоненты
âj > 0, то также имелись бы и отрицательные âi < 0, по предполагаемому свойству спроса [f 6= a ∈ E(p̂) ⇒ ∃i : ai < fi ]. Итак, из â ≥ 0
следует “равновесное” свойство â = 0 = f ∈ E(q̂).
Пункт ”2) ”: случай K > (q, f, p, d) 6= ∅ - доказывается аналогично,
применяя Лемму о Комбинировании к p̄, приняв J1 (q, βp) = {j|qj <
33
Оператор v[S], как и ранее, заменяет некоторые компоненты вектора v нулями, а именно
компоненты с номерами не в множестве S.
53
βpj }, J2 (q, βp) = {j|qj ≥ βpj }. Свойство (H3ii): K > (q, f, p, d) 6= ∅,
q̂ := p̄ - доказывается аналогично (Hi).
Пункт ”3)”: случай K < 6= ∅ и K > 6= ∅.
Для проверки равенства q̂ := max{p̄, αp} = min{p̂, βp}, рассмотрим
3 случая. Когда i : αpi ≤ qi ≤ βpi , то построение влечет max{p̄i , αpi } =
max{min{βpi , qi }, αpi }
=
max{qi , αpi }
=
qi
=
= min{p̂i , βpi } = min{max{αpi , qi }, βpi }. Аналогично, в случае i :
αpi ≤ βpi ≤ qi мы получаем max{p̄i , αpi } = βpi = min{p̂i , βpi }, и в случае i : qi ≤ αpi ≤ βpi мы получаем max{p̄i , αpi } = αpi = min{p̂i , βpi }.
Далее, заметим, что (p̂i /pi ) = (p̄i /pi ) = (qi /pi ) для всех i : di 6= 0,
и оба вектора p̂, p̄ - “равновесны”, в смысле E(p̂) 3 f ∈ E(p̄). Тогда, используя предположение (16), мы можем применить к паре (p, p̂)
те же самые выкладки, что применялись к (p, q) в доказательстве
“3i)”. Множества K < , K > окажутся непусты, если были непусты при
сравнении (p, q). Мы получим f ∈ E(q̂) и [ q̂s /ps = mini (q̂i /pi ) для
всех s ∈ K < ]. Аналогично, используя “3ii)”, мы получим f ∈ E(q̂) и
[ q̂s /ps = maxi (q̂i /pi ) для всех s ∈ K > ]. Это завершает доказательство.
[[[]]]]
Доказательство Замечания 3.3.1 (о влиянии множественности
бюджетных ограничений на валовую заменимость).
Рассмотрим прямое утверждение: случай, когда целевая функция линейна: u(z) = a1 z11 + a2 z12 + ... +a1 z21 + a2 z22 + ... + al zµl . Рассматривая оптимизационную задачу потребителя, можно заметить, что линейность целевой функции приводит к распадению оптимизационной
задачи потребителя на µ задач (одна для каждого рынка), так что
l
декартово произведение их независимых решений z̄1 , ..., z̄µ (z̄m ∈ IR+
)
µl
дает решение совокупной задачи z̄m ∈ IR+
). Дополним решение любой
из этих частичных задач нулями до нужной размерности (запишем
формулу лишь для первой), сконструировав соответствующее отоб54
µl
ражение Z̃1 (p) := (Z1 (p), 0, ..., 0) ⊂ IR+
. Каждое частное отображеP
k
ние Zm (p) := arg maxzm ≥0: pm zm ≤βm lk=1 ak zm
обладает свойством заменимости Zm (p) ∈ GGS l , поскольку линейная целевая функция (отрицательные компоненты ее можно заменить нулями без изменения
решений) удовлетворяет условию для сепарабельных функций достаточному для u ∈ UGGSN , (сформулированному вместе с определением класса UGGSN ). Следовательно, и дополненное нулями отображение обладает таким же свойством в соответствующем пространстве:
Z̃m (p) ∈ GGS µl , ведь дополнение константами не влияет на валовую
заменимость. Кроме того, согласно [5] и Лемме 2.2.3, свойства GGS и
AGS эквивалентны для регулярных (используем непрерывность и вогнутость u(.)) отображений с одинаковой стоимостью векторов в множестве спроса, в смысле pZ̃m (p) ∀ = βm = const, в терминах данной
задачи. Далее, свойство AGS аддитивно, следовательно сумма частных
P
отображений Z(p) = µm=1 Z̃m (p) также им обладает, откуда следует
Z(p) ∈ AGS ∪ GGS, что и требовалось.
Рассмотрим обратное утверждение, предположив противное:
Z(p) ∈ AGS ∪ GGS. Любая оптимальная точка z̃ полученная при
некоторых ценах p̃ и соответствующая суженной проекции области
решений (z̃m ∈ Z̃ (m = 1, ..., µ)) является также решением z̃m всех
µ частных задач вида (подразумеваются задачи для любого m, но мы
запишем только для m = 1)
Z(p) := arg
max
l
z1 ∈IR+ : p̃1 z1 ≤β1
u(z11 +
X
m6=1
1
z̃m
, ..., z1l +
X
m6=1
l
z̃m
),
,
(оптимизация по переменным некоторого рынка при фиксированных
переменных прочих рынков). Точка z̃ строго положительна, поэтому должна удовлетворять дифференциальным соотношениям опти1
∂u(z̃)
мума (сравним, например, рынки 1 и 2) вида: p̃p̃21 = ( ∂u(z̃)
∂z 1 )/( ∂z 2 ) =
∂u(z̃)
( ∂u(z̃)
∂z21 )/( ∂z22 )
1
p̃12
p̃22 .
1
1
=
Пользуясь открытостью области цен P , мы можем
рассмотреть какую-либо цену p̂ : p̂11 > p̃11 ; p̂km = p̃km ((m, k) 6= (1, 1))
55
большую по первой компоненте, чем p̃. При этой цене спрос на первом рынке не может сохраниться равным z̃1 , поскольку нарушились
бы дифференциальные соотношения оптимума. В частности, по валовой заменимости, новый спрос ẑ ∈ Z(p̂) на первом рынке на первый
товар должен быть меньше старого: ẑ11 < z̃11 , ведь стоимость прочих
компонент не убывает, по AGS, а первая цена возросла. Если бы при
этом спрос на одном из прочих рынков (например втором) не включал ту же компоненту z̃2 , что и ранее, то одна из компонент вектора
ẑ2 должна бы оказаться больше, чем z̃2 ), а другая меньше, согласно
неизменному бюджетному ограничению p̃2 z2 = β2 этого рынка, что
противоречит свойству RGS (вытекающему из AGS, по Лемме 2.2.3).
Единственная точка, соответствующая свойству RGS - точка ẑ2 = z̃2 .
Если она принадлежит множеству спроса Z2 (p̂) при новых ценах, зна∂u(ẑ)
p̃12
)/(
)
=
чит соотношение производных ( ∂u(ẑ)
1
2
∂z
∂z
p̃2 по переменным рын2
2
2
ка 2 не изменились от изменения (добавляемой к z̃21 при подстановке
P
в функцию u( m z̃m )) компоненты ẑ11 6= z̃11 . Пробуя всевозможные отклонения одной из цен/компонент, так же как для p11 , z11 , убедимся, что
предположение валовой заменимости спроса влечет неизменность соP
отношения любой пары производных функции u(.) в точке m z̃m при
k
отклонении любой переменной zm
вверх или вниз на конечный шаг,
задаваемый изучаемым отклонением цен. Тогда, согласно вогнутости
функции (влекущей монотонность производных), и дифференциальномалое отклонение этой переменной в том же направлении также сохраняет неизменным соотношение любой пары производных. Причем, это
нам известно про любую переменную, про оба направления: вверх и
P
вниз. А это и означает, что функция u(.) в точке m z̃m линейна, или
приводима к таковой монотонным преобразованием. Это мы можем
установить для каждой точки нужной области, что и требовалось. [[[]]]]
Доказательство Теоремы 3 (о законе Вальраса при трении)
Нам понадобится
56
Лемма 6.0.3 Пусть тройка (p, q, β) цен/доходов такова, что (p, β) ≥ (q, β) ∈
l+1
IR++
, K̂ := J = (p, q) = {j|pj = q j } 6= ∅, [∃α > 1 : Jˇ := J = (p, αq) 6= ∅], K = ∪ Jˇ =
{1, ..., l}, то есть часть компонент p совпадает с компонентами q, а остальная
l+1
часть - с αq. Пусть отображение спроса Z : IR++
7→ IRl обладает на множестве T := ({(p, β)} × {(q, β)}) ∪ ({(p, β)} × {(αq, αβ)}) свойством GGSN (T ) и
однородностью: Z(q, β) = Z(αq, αβ). Тогда выполняется двусторонний вариант
свойства GGS:
1)
∀z̃ ∈ Z(p, β), ∀a ∈ Z(q, β) ⇒ min(aj − z̃ j ) ≤ 0, max(aj − z̃ j ) ≥ 0.
j∈J
j∈K̂
(25)
2) Пусть дополнительно для некоторой окрестности Vp 3 p, для Vpβ := (Vp ×{β}),
и для множества пар аргументов T̄ := T ∪ (Vpβ × {(q, β)}) ∪ (Vpβ × {(αq, αβ)})
выполнено Z ∈ GGSN (T̄ ), Z ∈ Reg(Vpβ ), тогда образы аргументов (p, β) ≥ (q, β)
удовлетворяют следующему двустороннему варианту свойства RGS:
_
_
∀ z ∈ Z(q, β) ⇒
_Jˇt
_K̂t
− z̃ K̂t ) ≤ 0 & ( z
_K̂t
− z̃ K̂t ) ≤ 0 & ( z
∃ z ∈ Z(q, β) : ( z
∀z̃ ∈ Z(p, β) ⇒
∃z̃ ∈ Z(p, β) : ( z
ˇ
− z̃ Jt ) ≥ 0,
_Jˇt
ˇ
− z̃ Jt ) ≥ 0.
(26)
Доказательство. Часть “1)” следует из определения GGSN, примененного к
паре (p, β) ≥ (q, β), а затем к паре (p, β) ≤ (αq, αβ).
Доказывая (26), рассмотрим только второе из этих сходных соотношений. Возьмем малое ε > 0 : ε < minj∈Jˇ(pj − q j ), ε < minj∈K̂ (αq j − pj ) и δ = (ε, ..., ε) ∈ IR`++ .
Определим куб V := {v ∈ IR`++ | 0.5δ ≤ v ≤ δ} (если ε достаточно мало, то V ⊂ Vp ),
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
и функцию ρ(·) : V 7→ IR`++ так: ρK̂ (v) := pK̂ + |δ K̂t − v K̂ |, ρJ (v) = pJt − |δ J − v J |.
ˇ и ρj (v) ≥ pj = q j по
Тогда при всех v, ρj (v) ≤ pj = αq j по компонентам из J,
прочим компонентам (из K̂). Притом (αq, αβ) ≥ (ρ(v), β) ≥ (q, β), и ρ(δ) = p. Взяв
_
n`
∀ z ∈ Z(q, β), определим отображение H(·) : IR`++ 7→ 2IR++ так:
_K̂t
H K̂t (v) := z
_Jˇt
ˇ
− Z K̂t (ρ(v), β), H Jt (v) := − z
_K̂t
то есть h ∈ H(v) ⇔ ∃a ∈ Z(ρ(v), β) : hK̂t = z
_
ˇ
+ Z Jt (ρ(v), β),
ˇ
_Jˇt
− aK̂t , hJt = − z
(27)
ˇ
+ aJt . (28)
Можно видеть, что |H(δ)| = |Z(p, β) − z |, очевидна регулярность H. Далее, для
применимости к (H, V ) Леммы 2.2.1, заметим, что для каждого v ∈ V , и для
соответствующего множества J¯ := J = (v, δ) = {j|v j = δ j } совпадающих компонент,
окажется minj∈J¯ H j (v) ≤ 0. Действительно, для подмножества JK := J¯ ∩ K̂ таких компонент, по свойству GGS(q × ρ(v)), окажется minj∈JK H j (v) ≤ 0, так как
_j
[H j (v) = −Z j (ρ(v), β)+ z , ρj (v) = pj = q j (j ∈ JK )], [ρj (v) > q j (j 6∈ JK )].
Аналогично, для подмножества J2 := J¯ ∩ Jˇ по свойству GGS(αq × ρ(v)) окажется
57
_j
[∃j : H j (v) = Z(ρj (v), β)− z ≤ 0 (j ∈ J2 )]. Хоть одно из двух множеств JK , J2
непусто, когда J¯ непусто, следовательно Лемма 2.2.1 применима. По этой Лемме,
существует h̄ ∈ H(δ) : h̄ ≤ 0. Это и означает, что существует z̃ ∈ Z(p, β), удовлетворяющий (26).
[[[]]]]
Для доказательства варианта с однозначностью, понадобится определение ступенчато вложенной последовательности, связанной с постулированной условиями
“последовательно спроектированной цепью”, и утверждение о существовании такой последовательности.
Определение 6.0.1 Назовем конечную последовательность векторов po , p1 , p2 ,
|J|
..., pκ̄ ∈ IR+ ступенчато вложенной последовательностью, если существует вложенная последовательность соответствующих множеств индексов J = Jˇo ⊇ Jˇ1 ⊇
Jˇ2 ⊇ ... ⊇ Jˇκ̄ , такая что для любой пары соседних векторов мы имеем пропорциональность соответствующей части их компонент, и совпадение остальных компонент, в смысле
J\Jˇ
J\Jˇt
∃ν̌t > 0 : pt−1t = pt
ˇ
ˇ
t
; ν̌t pJt−1
= pJt t , t = 1, ..., κ̄,
(29)
и либо все ν̌t > 1 (t = 1, ..., κ̄), либо все ν̌t < 1 (t = 1, ..., κ̄).
Например, последовательность {(1, 2, 2, 4), (2, 4, 4, 8), (4, 8, 8, 8), (8, 8, 8, 8)} — ступенчато
вложенная, последовательности {(1, 2, 2, 4), (1.5, 3, 3, 6), (2, 4, 4, 8), (3, 6, 6, 8), (4, 8, 8, 8),
(8, 8, 8, 8)}, {(1, 2, 2, 4), (2, 4, 4, 4), (4, 4, 4, 4), (8, 8, 8, 8)} — тоже ступенчато вложенные, соединяющие те же точки.
Построение “ступенчато вложенной” последовательности цен. Для последующего доказательства случая с однозначностью мы должны гарантировать,
_
что ступенчато вложенная последовательность, соединяющая p и p̃, и включающая точку однозначности, существует для всех нетривиальных случаев свойства
_
_
WWL, то есть для p ≤ p̃, либо p ≥ p̃ (сравнимые точки). Можно проверить, что
взяв на последовательно спроектированной цепи (таких цепей две) соединяющей
две сравнимые точки любую монотонную последовательность точек, включающую точки изломов, получим ступенчато вложенную последовательность. Поэтому взяв некоторую последовательность, включающую постулированную условиями точку однозначности, мы получим искомое.
Все же, для ясности, покажем конкретно, как можно построить “простейшую”,
использующую только точки изломов, возрастающую ступенчато вложенную последовательность цен {tp} : p̄ ≤ (1)p ≤ (2)p ≤ ... ≤ (κ̄−1)p ≤ p̃ начиная с точки
p̄ ≤ (1)p, под которой будем подразумевать точку однозначности.
58
Сначала определим функцию ν(q, q̃) и два отображения (множества индексов),
зависящих от произвольной пары цен q̃ ≥ q ∈ IR`++ как
Jˇ := J < (q, q̃) := {j ∈ J|q j < q̃}, K̂ := J = (q, q̃) := {j ∈ J|q j = q̃} = J \ J < (q, q̃)
если Jˇ 6= ∅ ⇒ ν(q, q̃) := min(q̃ j /q j ) . (30)
j∈Jˇ
Теперь, принимая (0)p := p̄, мы рекурсивно определяем символы (t)p для каждого шага t следующим образом (точка “·” означает умножение):
– если Jˇt := J < ((t−1)p, tp) = ∅ (то есть K̂t := J = ((t−1)p, tp) = J), то процедура
K̂t
останавливается, в противном случае берем [tp
K̂t
Jˇt
Jˇ
:= (t−1)p , tp t := ν((t−1)p, tp)· (t−1)p ].
j
Здесь на каждом шаге мы заменяем некоторые компоненты (t−1)p текущей
j
цены большими компонентами tp , все время имея tp ≤ p̃. По построению процедура
конечна, она должна остановиться, когда tp = p̃. Этот заключительный шаг мы
обозначим t = κ̄, и, очевидно, κ̄ ≤ `.
Таким способом возрастающая ступенчато вложенная последовательность может быть построена для всех (p̄, p̃) : p̃ > p̄, аналогично – убывающая для всех
_
_
( p , p̃) : p < p̄. Начав с точки однозначности p̄, мы построим возрастающую последовательность цен до p̃, а в другую сторону – убывающую последовательность
_
до p , и соединив их вместе точкой p̄, имеем нужную последовательность цен с
_
точкой однозначности спроса, соединяющую p с p̃. Итак, ступенчато вложенная
последовательность цен (связанная с цепью из условий) существует и одна из ее
точек – точка однозначности спроса.
Основная часть доказательства Теоремы 3.
Начнем с доказательства свойств WWL, GS для случая (b), допускающего
налоги и однозначность спроса в некоторой точке.
0) Идея доказательства.
Для случая фиксированного спроса производстводителя zo ≤ 0, удобно будет
обозначать его, как и в общем случае, как спрос Zn+1 (p, 0) := zo , ∀p фиктивного (n + 1)-го потребителя, имеющего доход βn+1 = 0 и начальный запас равный
нулю. По Предположению A0 в сочетании с Леммой 2.2.3(ii,iV-2), новый потребитель удовлетворяет всем условиям на любого потребителя: GGS, RGS, Hom0
(однородность по вектору (p, βi )), которые понадобятся нам в доказательстве. В
более общем случае производства, свойства спроса производителей Reg, Hom на
всем ортанте легко выводятся из гипотез о максимизации прибыли на выпуклом
компакте, а свойство AGS постулировано, так что и их спрос удовлетворяет нужным свойствам.
59
_
Докажем свойство [E ∈ W W L(T )], взяв T = { p } × {p̃}, считая (см. выше),
что эти две точки соединены ступенчато вложенной последовательностью цен с
однозначностью спроса на одной из цен последовательности. Рассмотрим только
_
_
_
случай p̃ : p ≤ p̃, p̃ 6= p (доказательство для случая p̃ ≤ p симметрично, случай
_
p̃ = p тривиален благодаря однозначности). Для любого образа z̃ ∈ Z(p̃, β) больP
j
шей цены, такого что ẽ := n+π
i=1 (z̃i − wi ) 6= 0, мы должны доказать [∃j ∈ J : ẽ < 0]
(обозначим j := (m, k) ∈ J := M × K, ` := lµ).
Проведем доказательство по индукции, сравнивая соседние пары цен из за_
данной возрастающей, ступенчато вложенной последовательности цен {tp} : p ≤
(1)
p ≤ (2)p ≤ ... ≤ (κ̄−1)p ≤ p̃, имеющей точку однозначности, и обсужденной выше. Используя определение (29), мы можем следующим образом сформулировать
свойства последовательности для данного случая (вводя дополнительные обозначения):
j
j
K̂t := J = ((t−1)p, tp) := {J| (t−1)p = tp }; Jˇt = (J \ K̂t ) =
= J = (ν̌t · (t−1)p, tp) ⊂ Jˇt−1 6= ∅, ν̌t > 1, (∀ 1 ≤ t ≤ κ̄).
(31)
Эти соотношения - основная цель использования “ступенчато вложенной” последовательности цен; они делают возможным двустороннее использование свойств
GGSN, RGSN для каждой пары цен. Это позволит построить “ступенчато монотонную” последовательность спроса, заканчивающуюся в исследуемой точке ẽ. Затем
установим, что либо в группе товаров с наиболее возросшими ценами есть отрицательные компоненты в векторе ẽ, либо на последнем шаге спрос не изменился.
Затем, аналогично проверим предыдущий шаг, и т.д., по индукции.
1) “Ступенчато монотонная” последовательность спроса.
Сначала рассмотрим бюджетное ограничение каждого участника (5), которое,
если взять во внимание hji = hji (pj ) = (1 + τij )pj , может быть переписано как
p(zi − wi ) ≤ −
X j
τi pj [zij − wij ]+ + βi .
(32)
j∈J
Очевидно, это ограничение и, следовательно, решение Zi (p, βi ) являются однородными степени 0 по (p, βi ). То есть, Zi ((t−1)p, βi ) = Zi (p), когда p := ((t−1)p/ν̌t , βi /
ν̌t ), ν̌t > 0. Однородностью обладает и спрос производителя Zo (.), по свойству
максимизации прибыли.
Используя однородность и применяя Лемму 6.0.3 для любой пары соседних цен
(t−1)
p ≤ tp (2 ≤ t ≤ κ̄), мы можем вывести из (29) (31) и из свойства GGSN (выполняющегося здесь согласно Теореме 2) следующий двусторонний аналог свойств
60
GGS, RGS (мы используем J = ((tp, βi ), p) = Jˇt ):
∀z̃ ∈ Z(tp, β) := (Z1 (tp, β1 ), ..., Zn (tp, βn ), Zn+1 (tp, 0)), ∀a ∈ Z((t−1)p, β) ⇒
∀i ∈ {1, ..., n, n + 1} ⇒ min(aji − z̃ij ) ≤ 0, max(aji − z̃ij ) ≥ 0.
j∈K̂t
∀z̃ ∈ Z(tp, β) ⇒
_
_
_Jˇt
_K̂t
− z̃ K̂t ) ≤ 0 & ( z
_K̂t
− z̃ K̂t ) ≤ 0 & ( z
∃ z ∈ Z((t−1)p, β) : ( z
∀ z ∈ Z((t−1)p, β) ⇒
j∈Jˇt
∃z̃ ∈ Z(tp, β) : ( z
_Jˇt
ˇ
− z̃ Jt ) ≥ 0,
ˇ
− z̃ Jt ) ≥ 0.
(33)
Теперь, используя (33), начиная с любой точки нашей последовательности цен
и двигаясь по возрастанию или убыванию, мы можем создать “согласованную”
с этими ценами “ступенчато” (частично) монотонную последовательность точек
спроса {(t)z}κ̄t=0 соответствующих ценам, то есть такую, чтобы неравенства (33)
выполнялись для всех пар соседних цен. В частности, если начать с p̃, то для
шага 1 это следует непосредственно из Z ∈ N or(T ). Последовательность спроса
_
с теми же самыми свойствами мы может создать также, двигаясь из начала p
к концу p̃, или с концов последовательности к середине. Независимо от порядка
построения элементов спроса, мы будем нумеровать последовательность спроса
_
по последовательности цен; от p к p̃, и соответственно обозначим “согласованную”
с ценами последовательность избыточного спроса {e1 , e2 , ..., eκ̄ } : et = et ((t)z) :=
Pn+π (t)
t
i=1 ( zi − wi ) ∈ E( p).
_
Если однозначность имеет место в равновесии (случай 1 Следствия) p , то мы
начинаем строить “ступенчатую”, т.е. частично монотонную в смысле (33) (начальная часть вектора убывает, конечная часть возрастает) последовательность
векторов спроса {(zt , et )}κ̄t=0 элемент за элементом с конца p̃ = (t)p этой цепочки, принимая zκ̄ := z̃, и заканчиваем на eo = 0. В случае, когда однозначность
имеет место в точке p̃ (случай 2 Следствия), мы начинаем формировать после_
довательность из начала, принимая zo := z , eo = 0, и заканчиваем на заданном
z̃, ẽκ̄ 6= 0. В третьем возможном случае мы начинаем с обоих концов, принимая
_
zo := z , zκ̄ := z̃ и заканчиваем в точке однозначности p̄. Во всех трех случаях
мы можем сконструировать последовательность {z t } с необходимыми свойствами
“ступенчатой” монотонности (33), начинающуюся с точки с заданным равновес_
ным спросом zo := z , eo = 0, и заканчивающуюся в другой заданной точке спроса
z̃ ∈ Z(p̃).
Мы будем исследовать эту ступенчатую последовательность при помощи индукции. При этом используем, что последовательность имеет невозрастающие (по
ˇ
ˇ
t) компоненты спроса (t)z Jt , eJt t (компоненты из множеств Jˇ1 , ..., Jˇκ̄ , назовем эти
t
компоненты “верхними”), и неубывающие прочие компоненты (t)z K̂t , eK̂
t .
61
2) Индукционное утверждение. Предположим на шаге t ≤ κ̄ неизменность “верхних” компонент построенной ступенчато монотонной последовательности векторов спроса, при неотрицательности стоимости “верхних” компонент избыточного спроса:
(t) Jˇt
z
ˇ
= (t−1)z Jt ,
(t−1) Jˇt Jˇt
p et−1
Jˇt
ˇ
= (t−1)p eJt t ≥ 0,
(34)
ˇ
ˇ
тогда любой потребитель имел нулевое сальдо расходов на эти товары: (t−1)pJt ẑiJt =
ˇ ˇ
0 = (t)pJt z̃iJt (i ∈ I), и шаг t несущественный в том смысле, что все компоненты спроса также не изменяются на шаге t, то есть z̃ = ẑ, где обозначения
имеют смысл z̃ := (t)z ∈ Z((t)p), ẑ := (t−1)z ∈ Z((t−1)p).
Доказательство индукционного утверждения. Коэфициент роста цен “верх_
ней” группы ν̌t > 1, поскольку предположено p̃ > p .
ˇ
Для любого производителя i ∈ IP , согласно предположению, спрос ziJ на товары из “верхней” группы не изменился (при замене цен (t−1)p ценами tp), а на
прочие, “нижние”, товары – не уменьшился, согласно (33). Если бы хоть одна из
нижних компонент спроса обсуждаемого производителя строго возросла: ẑ K̂ =
(t−1) K̂
zi < tziK̂ , то это бы означало, что и оба сравнимых вектора спроса t−1zi < tzi
входят в множество допустимых векторов, при этом строго больший из них tzi являлся аргмаксимумом прибыли (−pzi ) этого производителя (предположение A0)
при некоторых ценах, что невозможно. Итак, индукционное утверждение верно
для производителей.
Докажем то же для любого потребителя. Взяв какое-либо множество B ⊂ J,
мы можем определить для каждого i функцию затрат на товары из B, подобную
“вальрасовскому излишку”:
ζiB (z B , pB ) :=
Xh
i
(1 + τij )pj [z j − wij ]+ − pj [z j − wij ]− .
(35)
j∈B
Перепишем в этих обозначениях бюджетное ограничение (32) участника i ∈ I:
ˇ
ˇ
ˇ
ζiK̂t (ziK̂t , pK̂t ) = −ζiJt (ziJt , pJt ) + βi .
(36)
Оно выполняется как равенство в каждой индивидуально рациональной точке z̃i
ˆ
из-за предположения ненасыщаемости (A1), наложенного на ui и J.
Случай 1: Предположим сначала, что в точке p = (t−1)p нет потребителей
i ∈ I, “выигравших или проигравших” от роста цен на “верхние” товары j ∈ Jˇt ;
в том смысле, что все участники имеют нулевое сальдо расходов на эти товары
Jˇt
ˇ
ˇ
ζ Jt (ẑiJt , (t−1)p ) = 0 .34 Следовательно, правые стороны их бюджетов (36) остаются
34
ˇ
ˇ
Этот случай имеет место, например, если ẑ Jt = wJt .
62
Jˇt
Jˇ
теми же самыми при ценах (t−1)p и ценах tp t = ν̌t (t−1)p , потому что множитель ν̌t
Jˇt
ˇ
ˇ
выносится из выражения ζ Jt (ẑiJt , ν̌t (t−1)p ) = 0 , а соответствующие переменные
ˇ
ˇ
z̃iJt = ẑ Jt остаются неизменными из-за предположения (34). Прочие компоненты
спроса ziK̂t не могут убывать по t (что означает z̃ K̂t ≥ ẑ K̂t ), по монотонности (33).
K̂t
K̂
Однако, соответствующие цены (t−1)p = tp t À 0 остаются постоянными, так
что, если любая из этих переменных возросла бы, то левая сторона бюджета (36)
увеличилась бы, нарушая равенство. Итак, z̃i = ẑi для потребителей i ∈ I, что и
требовалось.
Случай 2: Имеются “выигравшие или проигравшие” от роста цен участники.
Рассуждения случая 1 могут быть повторены относительно “проигравших”
участников, т.е. тех, которые имеют в точке (t−1)p отрицательное слагаемое
Jˇt
ˇ
ˇ
−ζ Jt (ẑiJt , (t−1)p ) < 0 в правой стороне бюджета (36) (вместо нулевого слагаемого, рассматривавшегося ранее); легко показать, что это является невозможным.
Jˇt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Jˇ
Действительно, из (34) и ν̌t > 1 следует −ζiJt (z̃iJt , tp t ) < −ζiJt (ẑiJt , (t−1)p ), таким
образом, правая cторона в (36) убывает при переходе от t − 1 к t, заставляя уменьшатся, по крайней мере, одну из компонент левой части: z̃iK̂t < ẑiK̂t , что противоречит (33). Поэтому нет “проигравших” участников.
Теперь предположим, что есть “выигравший” участник i, то есть имеющий положительное слагаемое в правой части бюджетного равенства (36), что означает
Jˇt
ˇ
ˇ
отрицательное значение ζiJt (ziJt , (t−1)p ) < 0. Чтобы оценить сумму всех таких значений по всем потребителям i h∈ I, из предположенного iнеравенства
Jˇt ˇt
Jˇt P
ˇ
Jˇt −
Jˇt +
Jˇt
Jˇt
− woJt (где wo = −z̃o ∈
0 ≤ (t−1)p eJt−1
= (t−1)p
i∈I [ẑ − wi ] − [ẑ − wi ]
−Zo (p̃) – вектор совокупного производства в точке z̃, и неравенство очевидно выполнено в точке равновесия) мы получим умножив цены на положительный вектор
на (1 + τi ) ≥ (1, ..., 1) неравенство
X
I
Jˇt
ˇ
ˇ
ζiJt (ẑiJt , (t−1)p )
=
XX·
(1 +
j
τij )(t−1)p [ẑ j
−
wij ]+
−
(t−1) j
¸
j
p [ẑ −
wij ]−
≥
Jˇt
ˇ
I j∈Jˇt
≥ (t−1)p woJt
(37)
.
Если прибыль по обсуждаемым компонентам производства положительна:
ˇ
p woJt ≥ 0, то неравенство (37) означает, что, кроме “выигравшего” участника
Jˇt
ˇ
ˇ
i, имеется также “проигравший” участник r со слагаемым ζrJt (ẑrJt , (t−1)p ) > 0, что
невозможно, как мы сейчас проверили. Тогда индукционное утверждение доказано.
Проверим противный случай; отрицательность прибыли по обсуждаемым тоJˇt ˇ
варам: (t−1)p woJt < 0. Разобьем вектор wo (производство в z̃) на группы товаров,
ˇ
(t−1) Jt
63
P
соответствующих гипотезе A0: wo = νk=n+1 [wk ]Jk , где [v]Jk означает вектор, составленный из компонент Jk вектора v и нулей, дополняющих до нужной размерности
на позициях не из Jk . Согласно отрицательности прибыли, среди (неважно, пересекающихся ли) групп товаров Jn+1 , ..., Jν есть группа, допустим, это последняя
группа Jν , с отрицательностью прибыли по компонентам из непустого пересечения
L := Jν ∩ Jˇt , то есть (t−1)p[wν ]L := (t−1)p[−z̃ν ]L < 0. Тогда группа Jν , согласно A0,
является одним из множеств компонент, строго взаимозаменяемых между собой.
Если бы все компоненты из Jν вошли в множество Jˇt , то сумма прибыли совокупного производителя по ним была бы неотрицательна (A0), значит это не так. Тогда,
(поскольку не все компоненты Jν вошли в множество возросших цен Jˇt 6⊃ Jν ), по
строгой валовой заменимости (A0) хотя бы одна из компонент j ∈ Jˇt ∪ Jν спроса производителя Zoj (.) должна уменьшиться при замене цен (t−1)p на цены (t)p,
что противоречит предположению индукционного утверждения о неизменности
всех компонент спроса в группе Jˇt (и неизменности этих компонент совокупного
спроса тоже проиворечит, учитывая невозрастание подобных компонент потребителей). Итак, ни “проигравших”, ни “выигравших” участников на шаге t быть не
могло, и индукционное утверждение верно.
ˇ
3) База индукции: Мы должны охарактеризовать конечную точку ẽJκ̄ последовательности спроса, чтобы начать индукцию с нее. Из eo = 0, из невозрастания на всех шагах верхних компонент ступенчато монотонной последовательности
спроса {((t)z, et )}κ̄t=0 и включений множеств таких компонент: Jˇκ̄ ⊂ Jˇκ̄−1 ⊂ . . . ⊂ J
ˇ
следует eJt κ̄ ≤ 0 (∀t ≤ κ̄). Если, в частности, оказалось, что для конца построенной
ˇ
последовательности {et }κ̄t=0 имеет место eJκ̄κ̄ < 0 (как всегда, < означает ≤6=), тогда
ˇ
мы доказали нужное свойство WWL. В противном случае eJκ̄κ̄ = 0, следовательˇ
но, равенство eJt κ̄ = 0 можно далее считать выполненным для всех членов t ≤ κ̄
в рассматриваемой последовательности {((t)z, et )}κ̄t=0 , откуда следует нужное нам
Jˇκ̄ ˇκ̄
0 ≤ (κ̄−1)p eJκ̄−1
, а также (запасы производителей wi (i ∈ IP ) в этой записи считаP
ˇ
ˇ
ем нулями) условие на верхние компоненты спроса вида i∈I∪IP ((κ̄−1)ziJκ̄ − wiJκ̄ ) =
P
ˇ
ˇ
ˇκ̄
ˇ
eJκ̄−1
= 0 = eJκ̄κ̄ = i∈I∪IP ((κ̄)ziJκ̄ − wiJκ̄ ). Если бы хоть одно из слагаемых правой
суммы было не равно аналогичному по номеру слагаемому левой суммы, то одно из правых слагаемых было бы больше своего аналога в левой сумме, а другое
меньше, и приходим к противоречию с монотонным невозрастанием верхних компонент (33). Итак, либо доказано WWL, либо на последнем номере (κ̄) ступенчатой
последовательности условия индукционного утерждения выполнены.
4) Индукция: Начнем рассмотрение с t = κ̄ и пойдем к началу последовательности по шагам t = κ̄ − 1, κ̄ − 2, . . . , 1. Согласно “Базе индукции”, на шаге (κ̄) либо
64
доказано свойство WWL, либо можно применить индукционное утверждение, следовательно шаг κ̄ несущественный: z̃ = (κ̄)z, и можно аналогично рассматривать
шаг с меньшим номером.
Аналогично и для шагов t < κ̄, мы или подтверждаем свойство WWL, находя
на некотором шаге s желаемую отрицательную компоненту: ∃η ∈ Jˇs : eηs < 0
(причем эта компонента, по индукционному утверждению, остается неизменной
на всех больших – несущественных – шагах t > s : eηt = . . . = eηκ̄ < 0, ведь далее
спрос не изменяется), или заканчиваем на начальной точке последовательности
равенством eκ̄ = eo = 0, что также удовлетворяет определению WWL. На любом
Jˇt ˇ
Jˇt ˇt
= (t−1)p eJt t , и неизменность верхних компонент
шаге (t) свойство 0 ≤ (t−1)p eJt−1
_
спроса, вытекают из сравнения вектора спроса (t−1) z с равновесием z аналогично “Базе индукции”, так что индукционное утверждение применимо. Тем самым
_
свойство W W L({ p } × {p̃}) доказано для ступенчатой последовательности с однозначностью.
5)
Свойство GS: Для проверки свойства GS, рассмотрим только cлучай
_j
p ≤ p̃, случай (≥) аналогичен. Обозначим Jo= := {j| p = p̃j }. Мы должны
_Jo=
= _
=
=
доказать E Jo ( p ) ∀ ≤ ∀ E Jo (p̃). Это означает, e
≤ ẽJo на любой данной паре
_
_
e ∈ E ( p ), ẽ ∈ E(p̃). Возьмем точку tp последовательности цен, где спрос однозна_
_
чен: ē = E(tp). Из p ≤ tp ≤ p̃ мы имеем J1 := J = ( p , tp) ⊇ Jo= , J2 := J = (p̃, tp) ⊇ Jo= .
_
Применяя двустороннее свойство RGS (33), мы построили согласованную после_J1
довательность ценовых образов {et }κ̄t=0 , такую что e ≤ ēJ1 , ēJ2 ≤ ẽJ2 , поэтому
_Jo=
=
=
e ≤ ēJo ≤ ẽJo , что завершает доказательство свойства GS для последовательности с однозначностью.
Проверим утверждение Теоремы (a) о свойствах спроса для случая без
налогов: τ = 0. Проверим свойство WWL1 (невозрастание вальрасовского излишка, то есть стоимости избыточного спроса) для случая неположительного спроса совокупного производителя (обозначим его i = o) Zo (p, βi ) ≤ 0 ∀p. Свойство
Wi (p) := p(Zi (p, βi ) − wi ) ≡ βi ∀p, (постоянство стоимости избыточного спроса)
легко проверяется для каждого потребителя i ∈ I, рассматривая его бюджетное
ограничение без налогов, и постулированное свойство ненасыщаемости. Аналогично для производителя, при гипотезе неотрицательности производства, оказывается, что любой рост цен (нестрого) повышает прибыль, даже если не менять выпуск,
то есть уменьшает убытки Wo (p) = pZo (p, βi ) = −pwo , (где через wo ≥ 0 обозначено производство в предыдущей точке). Возможное изменение выпуска повысит
прибыль еще более (по гипотезе ее максимизации), поэтому Wo (p) не возрастает, как и Wi (p) (i ∈ I). Это свойство аддитивно, поэтому совокупная стоимость
65
избыточного спроса также не возрастает, и свойство WWL1 установлено.
Доказательство завершено.
[[[]]]]
Доказательство Теоремы 5 (о влиянии налогообложения).
Мы докажем только случай ν > 0, доказательство для ν < 0 аналогично.
Для простоты обозначения мы будем использовать только один (верхний) индекс для рынков/товаров, обозначая j := ((m − 1)l + k) ∈ J := K × M , pj := pkm и
принимая, без потери общности, конкретные значения индексов обложенного товара s̄ = l, m̄ = µ, s := µl , обозначим τis̄m̄ = τis , и аргумент βi среди аргументов спроса будем опускать, когда он не нужен в рассуждениях. Сначала проведем рассуPn+π
ждения для случая фиксированного производства wo := (−zo ) := (− n+1
Zi (p) ).
Пункт “1”. Для доказательства (19) зафиксируем некоторое равновесное знаPn+π
чение прежнего спроса z̄ = (z̄1 , ..., z̄n ) ∈ Z(p̄) :
i=1 (z̄i − wi ) = 0 (прежние отображения спроса мы будем обозначать Z, E, и новые отображения — Z̃(.), Ẽ(.)).
Рассмотрим некоторого участника i, на поведение которого влияет (vi > 0) или не
влияет (vi = 0) изменение ставок налогов. Обозначая λi := (1 + τ̃is )/(1 + τis ) ≥ 1,
видим, что это изменение налога на i-го участника эквивалентно, относительно
i-ой задачи оптимизации (1), замене цены (т.е. вектора) p̄ индивидуальной ценой
p0i ≥ p̄, полученной по формуле: p0i s := λi p̄s , p0i j6=s := p̄j6=s , так чтобы Zi (p0i ) = Z̃i (p̄).
Чтобы доказать, что существует вектор спроса z̃i ∈ Z̃i (p̄) = Zi (p0 ), такой что
z̃is ≤ z̄is , и z̃ik ≥ z̄ik (k 6= s) достаточно применить Лемму 6.0.3 о двустороннем
свойстве RGS, пользуясь соотношениями p̄ ≤ p0i , p0i j = p̄j (j 6= s) и λi p̄ ≥ p0i , p0i s =
λi p̄s .
Суммируя полученные соотношения относительно найденных z̃i по всем i, мы
P
получаем нестрогие неравенства, подобные (19), где ē := i (z̃i − wi ) − wo .
Чтобы доказать строгость неравенства из (19), предположим противное: ēs = 0.
P
Привлекая z̃is ≤ z̄is (∀i), 0 = i (z̄is − wis ) − wos получим z̃is = z̄is (∀i). Случая ē = 0 исключен по условию, тогда, существует некоторая компонента нового избыточного
спроса ēj (j 6= s) больше чем старая: ∃ĵ : ēĵ > 0. Следовательно, существует участник i : z̃iĵ > z̄iĵ . Это противоречит тому, что бюджетное ограничение
(5) этого участника выполняется как равенство в обеих точках z̃i , z̄i (используя
z̃ij ≥ z̄ij (∀i, j 6= s), z̃is = z̄is и τ̃ ≥ τ ). Итак, неравенство в (19) строгое.
Чтобы доказать (19), мы использовали двустороннее свойство RGS из названной Леммы в виде ∀e = 0 ∈ E(p̄), ∃ē ∈ E(p0 ). Чтобы получить подобное утверждение относительно “всех” ē, мы должны использовать RGS в противоположной
комбинации: ∃e = 0 ∈ E(p̄), ∀ē ∈ E(p0 ), используя {0} = E(p̄). Пункт “1)” доказан.
Пункт “2)”. Доказывая (20), (22) применим Теорему 4–(1,2) о законе Хикса к
66
отображению Ẽ, рассматривая p̃ как “цену равновесия” (0 ∈ Ẽ(p̃)) и p̄ как “альтернативную цену”, порождающую спрос ē ∈ Ẽ(p̄). Теорема применима к сравниваемой четверке (p̃, 0), (p̄, ē) по условию (WWLGGS). Если множество K < (p̃, 0, p̄, ē) 6=
∅, то, по теореме, та номер компоненты, для которой ēj < 0 — принадлежит этому множеству, а она единственна, это s ∈ K < . Итак, получим (20), (22). Строгое
неравенство в (21) следует из p̃ 6= p̄. Случай ν < 0 доказывается аналогично.
Чтобы доказать “3)”, то есть, выполнение условия (WWLGGS) при однозначности спроса в указанной области V , нужно просто применить Теорему 3 о законе
Вальраса.
Обобщим доказательство на случай нетривиального производства. Достаточно
заметить, что спрос любого производителя, по условиям A0, обладает такими же
свойствами, как и спрос любого потребителя: Reg, GGSN, RGSN. Это позволяет
в доказательстве пункта 1 просто включить производителей в (допускаемую условиями теоремы) группу участников, не затронутых изменением налога, не меняя
хода рассуждений. Прочие же пункты доказаны на основе теорем, учитывавших
нетривиальное производство, и применимых здесь. Это и требовалось.
[[[]]]]
Доказательство Предложения 4.2.1.
Обозначим фиксированное производство wo := −zn+1 . Суммируя бюджетные
ограничения (5) задач потребителей (1), выполняемые как равенства из-за условий, наложенных на ui (Теорема 2), мы получаем в каждой точке спроса z ∈ Z(p, β)
P
P
равенство p i (τi ∗ [zi − wi ]+ + zi − wi ) = i βi . Здесь “ * ” означает, как прежде,
векторно-значное умножение. В равновесной точке это равносильно соотношению
p̃(x̃ + wo ) =
X
i
βi = p̄(x̄ + wo ), где x̄ := (
X
i
τ̄i ∗ [z̄i − wi ]+ ), x̃ := (
X
i
τ̃i ∗ [z̃i − wi ]+ ).
(38)
Возьмем сначала случай [ν > 0, p̃x̃ = T (p̃, τ̃ , z̃) > T (p̄, τ̄ , z̄) = p̄x̄]. Это, вместе с
(38), влечет за собой wo > 0. Предположим, что цена не убывает: p̃ ≥ p̄. Тогда
p̃wo ≥ p̄wo , что противоречит (38). Таким образом, p̃ 6≥ p̄, то есть существует
k : p̃k < p̄k . Объединяя это с предположением [∃e ∈ Ẽ(p̄) : [p̄km 6= p̃km ⇒ ekm 6= 0]],
мы имеем K < 6= ∅ для некоторого e, что и требовалось.
Теперь возьмем случай [ν > 0, p̄x̃ = T (p̄, τ̃ , z̃) > T (p̄, τ̄ , z̄) = p̄x̄, wo = 0].
Предположим p̃ ≥ p̄, тогда β Σ = p̄x̄ < p̄x̃ ≤ p̃x̃ = β Σ . Противоречие доказывает
снова, что [∃k : p̃k < p̄k ], и, следовательно (применяя опять [∃e ∈ Ẽ(p̄) : [p̄km 6=
p̃km ⇒ ekm 6= 0]]), имеем требуемое K < 6= ∅.
Доказательство случая ν < 0 аналогично. Q.E.D.
[[[]]]]
67
z3
Пусть q 1 > p00 1 > p0 1 > p1 ,
6
q i = p00 i = p0 i = pi (i = 2, 3) ⇒
Z(q) ∈ AGS(p, q) ∩ RGS ∩ GGS
Z(p00 )
L Z(q)
L
J
L
Z(p)
J
L
Q
J
L
Q
J
Z 00 Z 0 QQ Z(p0 )L
J
L
Q
@ @
Q · L
@ @
· Q L
@
@
·
QL
Z 000PP @ @ ·
LQ Q
PP
PP
L
PP
Z(p0 ) 6∈ (AGS(p, p0 ) ∪ GGS ∪ RGS)
Z(p00 ) ∈ GGS(p, p00 ), Z(p00 ) 6∈ AGS ∪ RGS
-
Пусть q 000 1 < q 00 1 < q 0 1 < p1 , q k2 = p2 = q k3 = p3
⇒ Z(q 0 ) = Z 0 ∈ RRGS(p, q 0 ) ∩ AGS, · 6∈ LRGS
Z(q 00 ) = Z 00 ∈ AGS(p, q 00 ) ∩ RGS ∩ GGS
Z(q 000 ) = Z 000 ∈ LRGS(p, q 000 ) ∩ AGS, · 6∈ RRGS
Ни один образ не удовлетворяет GS(p, ·)
z2
Рис. 1: Соотношение различных свойств типа валовой заменимости. Двумерная
проекция трехмерного образа Z(p) исходной цены p ∈ IR3 (жирная линия) сравнивается с проекциями образов различных цен: q, q 0 , ..., и демонстрируются возможные (исходя из определений) случаи сочетания выполнения или невыполнения различных свойств. Если пара образов Z(p), Z(pk ) удовлетворяет некоторому
свойству XX для оговоренного соотношения между аргументами p, pk , то это отражено условно знаком 00 Z(pk ) ∈ XX 00 .
68
z3
Пусть аргументы есть
p ≤ q ∈ R3 ,
p1 < q1 , p2 = q2 = p3 = q3 .
GGS
6 @
AGS @@
@s
@
@
AGS
@
@
@
@
LRGS
AGS
Z 2,3 (q)
@
@
@
LRGS
@
@
@s
@
GS ⇒ all
AGS
LRGS
@GGS
AGS@@
-
z2
Пусть образ “исходной”
цены есть Z 2,3 (q).
Если образ иной цены
Z 2,3 (p) есть точка,
то он принадлежит зоне “GS”
т.и т.т., когда Z ∈ GS(p, q), это
влечет все прочие свойства:
Z ∈ AGS ∩ GGS ∩ RGS(p, q).
Образ принадлежит зоне “AGS” т.
и т.т., когда Z ∈ AGS ∩ GGS(p, q).
Принадлежность зонам LRGS,
GGS влечет эти свойства.
Рис. 2: Диаграмма сопоставляющая определения различных свойств отображений
типа валовой заменимости, для случая p ≤ q ∈ R3 . Двумерная проекция трехмерного образа Z(q) исходной цены q ∈ IR3 (жирная линия) сравнивается с зонами,
где должны лежать проекции образов различных цен p (в случае однозначности
образа), чтобы определения этих свойств удовлетворялись. В случае многозначного образа Z(p), оба сравниваемых образа должны входить в подобные зоны друг
относительно друга (для свойств GS, AGS, GGS), или хотя бы пересекать соответствующие зоны (для свойств RGS, LRGS, RRGS).
69
Равновесная цена
6p2 (τ2 ) ≈ p2 (τ2 )/p3 = p1 (τ2 )/p3
2.0
1.907
1)
¾
0.5
0.8
C2
¾
6E2 (p̄(τ2 ))
Равновесный спрос E2 (p̄(τ )),
0
zC2
6
L
L
p2 /p3
L бюдж. мн. AD (τ, p)
L
e
e
p2
e
A
K
`
c
``
e
e
`
e
c
A
e
e
@
c
e
P̄
2
e ¢
e
c
@
e
e ¢®
e
@c
e
wC2
c
AC (τ, p) C hhhh
C
для τC2 < 0.8C
НАЛОГОВЫЙ ПАРАДОКС
C
2)
w
?
C1
zC1
wC1 +w01
τ
XXX
p p XX
p
p p XX
τC2 < p0.8 p p p p
p
p p p p p
p p p
Ã
ÃÃÃ
ÃÃÃ
p
p
p
τp C2 >
p 0.8
p
p
p
p
p
p
p
p
-
3)
0.5
0.8
τC2
4)
p2
zC2
6
L
L бюдж. мн. AD (τ, p)
L
L
c
c
hhhh c
c
PP
P
P
cc
AC (τ, p) A hhhh
для τC2 > 0.8 AA
A
? zC1
P
PP
6
PP
PP
AKA
PP
PP
PP
5)Непрямоуг. множ. равновесий
P̄
½
>
2
-P
½
P
PP
¢
PP
PP
¢®
PP
Q̄
P
Q̄: τD2 = 0.8
zD2
-
Рис. 3: Пример 4.3.1: 1) Парадоксальное воздействие налогов на цену,
несмотря на порождающие валовую заменимость предпочтения участников. При
росте налога цена продаж p2 абсолютно и относительно (естественно) снижается,
а затем (парадоксально) “подскакивает”. В точке разрыва τC2 = 0.8 наблюдается
множество неэквивалентных равновесий (P̄2 ). 2)-4) Соответствующая диаграмма
Эджворта с типичными при налогах многогранными бюджетными множествами AC , AD , поясняющая суть конструкции примера. 3) Множество равновесного
избыточного спроса на товар 2, в зависимости от параметра. 5) Непрямоугольное
(неэквивалентное) множество равновесий.
70
Список литературы
[1] Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. Многоотраслевой
анализ. Москва, Наука, 1972, 279 с.
[2] Полтерович В.М., Спивак В.А. (1978) Валовая заменимость и
бюджетный парадокс в модели обмена.- Экономика и Мат. Методы т. 14, вып. 3.
[3] Полтерович В.М., Спивак В.А. (1982) Отображения с валовой
заменимостью в теории экономического равновесия.- в кн.: “Итоги науки и техники; cовременные проблемы математики”. Москва,
ВИНИТИ, 1982, Т.19 стр.111–154.
[4] Спивак В.А. (1982) Равновесия при валовой заменимости
и нормальности многозначного спроса.- в кн.: Исследования
по математической экономике и теории управления, под ред.
В.Л.Макарова, ЦЭМИ АН СССР, с. 174–201.
[5] Спивак В.А. (1989) Соотношение между законами сравнительной статики и свойствами валовой заменимости и нормальности многозначных отображений.- в кн.: Исследования по математической экономике и теории управления, под ред. В.Л.Макарова
и В.М.Полтеровича, ЦЭМИ АН СССР, с.43–63.
[6] B.Sodersten, G.Reed (1994) International Economics (3rd edition).London: Macmillan, 714 pp.
[7] A.J.Auerbach and M. Feldstein (edts.) (1985) Handbook of Public
Economics in 2 vol.- Amsterdam: North-Holland.
[8] Полтерович, В.М. (1990) Экономическое Равновесие и Хозяйственный Механизм.- М.,Наука, 256 с.
71
[9] Kurz, M. (1987) Transaction costs.- In: The New Pallgrave (a Dictionary of Economics in 4 volumes), (1987), edts. J.Eatwell, M.Milgate,
P.Newman, London: Macmillan press, pp.400-420.
[10] Repullo R. (1989) On the efficiency of equilibrium with transaction
costs.- Economica, v.56, pp.49-59.
[11] Kokovin, S. (1994) Gross substitutability of demand and equilibria
properties under frictions (transaction costs).- Preprint No 10-1994
Novosibirsk: Institute of Math. SD RAS, 39 p.
[12] Kokovin, S. (1995) Hicks’ laws and tax incidence in general setting.In: Econometric Society 7-th World Congress, Tokyo 1995, Book of
abstracts, Keiyo University, Tokyo, p.201.
[13] Коковин С.Г.(1996) Валовая заменимость спроса при фрикциях
(издержках сделок) двух типов.- в кн.: “Тенденции и процессы в
экономических системах” (Труды Московского Научного Фонда и
Фонда Форда) т. 3-1996, Москва, стр. 54 - 72.
[14] Коковин, С.Г. (1996) Модель смешанной экономики: “мягкое” рационирование и pq-равновесие.- Экономика и Мат. Методы, N11996, с. 1-24.
[15] Коковин С.Г.(1996) Равновесие рынков с издержками транзакций
и рационированием (диссертация).- Москва, ЦЭМИ РАН, 1996,
114 стр.
[16] Коковин С.Г., Яворский С.В.
Валовая заменимость и сравни-
тельная статика многозначного спроса на рынках с трением:
закон Хикса, парадоксы налогообложения.- “Экономика и мат. методы” 2002, в печати.
[17] Христович Н. (1979) Об условиях устойчивости процессов регулирования цен.- Экономика и мат. методы, т.15, вып.2, с. 361–372.
72
[18] Grandmont, J.M. (1992) Transformations of the Commodity Space,
Behavioral Heterogeneity, and the Aggragation Problem.- J. of Economic Theory, 57, pp. 1-35.
73
КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ
Валовая заменимость и сравнительная статика многозначного спроса на рынках с трением: закон Хикса, парадоксы
налогообложения
Рассматривается модель общего равновесия с рыночным трением,
и с такими предпочтениями участников, которые гарантировали бы
обобщенную валовую заменимость и нормальность отображения спроса пpи отсутствии трения. Найдены достаточные, близкие к необходимым, условия обеспечивающие “законы Хикса” и монотонное невозрастание равновесной цены любого товара при росте налога на него.
Построены “парадоксальные” примеры роста цен, объемов торговли и
полезностей при дополнительном налогообложении.
——————————————————
Brief summary:
Gross Substitution and Comparative Statics of Multi-valued
Demand for Markets with Friction: Hicks Laws, Taxation Paradoxes
Considered is a multi-market general-equilibrium model with market
friction and such preferences, that would guarantee generalized gross substitutability and normality of the demand mapping without friction. The
sufficient conditions, close to be necessary, are found that guarantee “Hicks
laws”, and negative-monotone reaction of an equilibrium price to related
taxation. Paradoxical examples show that additional taxation may bring
increase in the price, in all trade volumes, and even Pareto improvement.
74
ABSTRACT (full summary)
Gross Substitution and Comparative Statics of Multi-valued
Demand for Markets with Friction: Hicks Laws, Taxation Paradoxes
Serguei G. Kokovin, Serguei V. Jaworsky
Considered is a multi-market economy distorted by friction (taxes, tariffs, transaction costs). Conditions on parameters are found that guarantee
generalized gross substitutability and Walras law of the demand mapping.
Under these assumptions and restrictions on price region, the mapping
shows “Hicks laws”. Consequently, with more assumptions, the equilibrium price of a commodity, depending upon its initial endowment or upon
its tariff, is a monotone non-increasing mapping. Conditions used are close
to be necessary as shown by counterexamples. Various “paradoxical” examples show that additional taxation may bring increase in price, in all
trade volumes, and even Pareto improvement.
Keywords: general equilibrium, comparative statics, tax incidence,
market friction, gross substitutability
75
Содержание
Введение
2
1
8
Модель рынков с “трением”, гипотезы
2 Локальные свойства отображений и их взаимосвязь
14
2.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Леммы о валовой заменимости и нормальности . . . . . . 19
2.3 Локальный закон Хикса в терминах отображений . . . . 23
3 Cвойства спроса модели: наследование валовой заменимости, закона Вальраса
26
3.1 Наследование валовой заменимости и нормальности . . . 30
3.2 Наследование закона Вальраса . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Контрпримеры: случаи нарушения наследования свойств
GGSN, WWL и NHicks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Сравнительная статика модели: закон Хикса и последствия изменения налогов
37
4.1 Локальное выполнение закона Хикса . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Влияние налогообложения: “монотонность” изменения равновесной цены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Контрпримеры: случаи нарушения закона Хикса и налоговые парадоксы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Выпуклость и эквивалентность равновесного множества,
непрерывность отображения равновесий
50
6 Приложение: доказательства, рисунки
Литература
52
71
76