Модели оптимального распределения капитала страховой

На правах
рукописи
Журов Александр Николаевич
Модели оптимального распределения капитала
страховой компании
08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики
Автореферат
диссертации па соискание ученой степени
кандидата экономических наук
1 5 НОЯ 2012
Москва
2012
005054779
Работа
выполнена
на
кафедре
"Прикладная
математика"
ФГОБУВПО
"Финансовый университет при правительстве Российской Федерации"
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Шаповал Александр Борисович
Официальнь.е оппоненты
^
доктор физико-математических наук, профессор
Хохлов Юрии Степанович,
ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы
народов», заведующий кафедрой "Теория
вероятностей и математическая статистика"
доктор экономических наук, доцент
Коломак Евгения Анатольевна,
ФГБУН Институт экономики и организации
промьпплеиного производства СО РАН,
заведующая
сектором
межрегиональных
народнохозяйственных проблем
Ведущая организация
'
Защита
состоится
диссертационного
университет
при
совета
Ф^БОУ ВПО «Владимирский государственный
университет имени Александра Григорьевича и
Николая Григорьевича Столетовых»
«21»
Д
ноября
2012г.
505.001.03
Правительстве
на
в
базе
Российской
10-00
часов
на
заседании
ФГОБУВПО
«Финансовый
Федерации»
по
адресу:
Ленинградский проспект, д.55, ауд. 213, г. Москва, 125993.
С диссертацией можно ознакомиться в диссертационном зале Библиотечноинформационного
комплекса
ФГОБУВПО
«Финансовый
университет
при
Правительстве Российской Федерации» по адресу: Ленинградский проспект, д.49,
комн. 203, г. Москва, 125993.
Автореферат разослан «19» октября 2012 г. Объявление о защите диссертации и
автореферат диссертации «19» октября 2012 г. размещены на официальном сайте
Высшей
аттестационной
комиссии
при
Министерстве
образования
и
науки
Российской Федерации по адресу http://vak.ed.eov.ru и на официальном сайте
ФГОБУВПО «Финансовый у н и в е р с т е т при Правительстве Российской Федерации»:
http://vyww.fa.ru.
/
Ученый секретарь совета Д 505.001.03,
К.Э.Н., доцент
^—
О.Ю.Городецкая
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность
исследования.
Решающим
условием
успешного
функционирования страховых оргшшзаций является постоянное поддержание их
финансовой устойчивости,
что
предполагает
более жесткий котггроль за
изменением собственного капитала и разработку формализовагаых подходов к
управлению капиталом.
Финансовая устойчивость страховой компаши позволяет при наступлении
страхового случая в установленные сроки и в полном объёме вьпшатить
возмещение клиенту. Для обеспечения необходимой финансовой устойчивости
страховая организация заинтересована в получении максимальной прибыли,
которая является основным источником роста капитала. С этой целью времегао
свободные средства - часть страховых резервов и собственного капитала —
компания инвестирует (с определенными ограничениями),
безрисковые,
так
и
рисковые
финансовые
активы.
как в условно
Поэтому
страховые
органшации становятся активными з^частниками рьшка ценных бумаг.
Инвестирование капитала на финансовых рынках представляет одш! из
самых рискова1П1ьг)с видов деятельности страховой организации. Если условно
безрисковые
активы
характеризуются
(государственные цешшге бумаги,
минимальным
риском,
то
рисковые
банковские
счета)
активы
(акции,
корпоративные облигащш, производные ценные бумаги) сосредотачивают в себе
опасность значительного колебания их стоимости, что может привести к
существенным
потерям.
В
этих
условиях
актуальным
является
выбор
оптимальной инвестиционной стратегии, удовлетворяющей, с одной стороны,
целям страховой кo^шa^Iии, с другой стороны - ограничениям, накладываемым
конхролирующтга органами.
Страховая компания зашггересована в мотивации своих сотрудников к
более эффективному труду, в обновлешш основных средств, проведении
реклакшых акций и других расходах, прямо не связанных со страховой
деятельностью. Для этого часть средств вьщеляется на потребление, примером
которого может быть выплата бонусов сотрудникам кo^fflaнии. На эти цели
используется часть прибьши, а руководство к о л т а т и должно решить задачу
оптимального распределения прибьши между инвестированием в ценные бумаги
и расходами на текущую деятельность.
Поскольку страховая компания использует часть средств страхователей для
инвестирования в рисковые аетивы, ее инвестиционная стратегия должна
удовлетворять ограничениям по списку ценных бумаг, в которые разрешено
инвестирова1ше, и максимальной доли страховых резервов (прибылей и убытков)
инвестируемых в определенный вид активов. Эти ограничения периодически
меняются и имеют главной целью предупредить страховую компанию о
неблагоприятной котюнктуре на финансовом рьшке, обеспечив тем самым её
платежеспособность и финансовую устойчивость.
Оптимизация
инвестиционной
деятельности
позволяет
согласовать
интересы участников страхового процесса Владельцы и управляющие страховой
компании
ставят перед
собой
цель улучше1щя
финансовых
показателей
деятельности организащга. Прежде всего, это связано с максимизацией прибьши,
что (при некоторых условиях) позволяет обеспечить рост собственного капитала
страховой компании. Страхователи (а вместе с ними контролирующие органы)
заинтересованы
в
платежеспособности
и
устойчивом
функционировании
страховой компании, что математически означает стремление минимизировать
вероятность разорения на задашюм интервале времени.
Принимая
на
себя
риски,
страховая
компания
имеет
дело
с
неопределенностью, выраженной в количестве и размере возмещегаш по
страховым случаям. Одной из задач, решаемых страховой компанией, является
прогноз страховых выплат как в целом по компании, так и отдельно по страховым
группам. Основньш показателем, прогноз которого необходимо предоставлять,
является коэффициет: актуарной убыточности, характеризующий суммарные
убытки, нормированные на заработанную премию. Типичным допущением при
расчете
убыточности
(максимальная
в
целом
положительная
по
компании
зависимость)
является
актуарных
комонотонность
убыточностей
по
различным группам страхования. В диссертации рассматриваются случаи, при
которых зависимость между случайными вел1ии11ами задается эллиптическими и
архимедовыми
копула-функциями.
Копула-фупкиии
позволяют
учесть
как
линейные, так и нел1шеЙ11ые зависимости актуарных убыточностей и построить
адекватную модель диверсификащш страховых рисков. Аппарат копула-функций
в последнее время становится все более востребовапным, поэтому задачи,
рассматриваемые в диссертации, являются актуальными.
Степень
разработанности
темы
исследования.
Модели
выбора
оптимальных стратегий страховых компагай исследуются специалистами по
финансовой
и
актуарной
математике,
управлению.
В
основном,
указанной
стохастическому
задачей
оптимальному
занимались
зарубежные
специалисты. Среди отечественных ученьк следует выделить работы Ширяева А.,
исследовавшего
вероятностные
характеристики
случайных
процессов,
возникающих в страховатш. Теоретические основы исследуемой задачи описаны
в работах Бе.Ш]мана Р., Оксехщаля Б., Танкова П.
Классические модели выбора оптиматьных инвестиционных стратегий
страховых
компаний,
основьгеающиеся
на
модели
Крамера-Лундберга,
рассматривались в трудах Гербера X., Бульмана X., Брауна С. В данных работах
финансовый рынок представлен только рисковыми активами. Задача выбора
оптимальных инвестиционных стратепш развита в работах Хшша С., Плюма М.,
в которых наряду с рисковыми, был введен безрисковый актив. Янг X. и Занг Л.,
опираясь
на результаты
Брауна
С.,
получили
аналитическое
вьфажение
оптимальной ипвестиционной стратегаи в задаче максимизации ожидаемой
полезности капитала страховой компании. В перечисленпьтх работах задача
решается методами
оптимального
управления
в стохастических
условиях,
управляющим параметром является капитал, инвестируемый в рисковый актив.
Существенным развшгием задачи выбора оптималып-к стратегий стало
введение нового управляющего параметра -
расходов страховой компании.
Асмуссен е., Таксар М., Паулсен Дж. предложили варьировать дивидетщпую
политику
страховой
потребление -
компании.
Пример
других управляемых
расходов
-
было рассмотрено в классической работе Мертона Р. для
произвольного инвестора. Потребление страховой комнагага как управляющего
параметра бьио рассмотрено в статье Стамоса М. За последние годы было
достигнуто сущесгвешгое продвижение в задаче максимизации ожидаемой
полезности капитала и потока потребления. При достаточно естественных
ограничениях удалось получть
явный вид оптимальной
инвестиционной
стратегии.
Существехтую трудность в решении указашюй задачи представляет
уравнение
Якоби-Гамильтона-Беллмана,
дифференциальное
уравнение
с
в
частными
общем
случае
производными,
нелинейное
пол5^ение
(единственного) решения которого эквивалентно решению задачи управления.
Аналитическое решение этого уравнения для широкого класса задач пока
неизвестно. Одш1 из технических приемов, позволяющих, с одной стороны,
обойти указанную трудность, а с другой — получить информацию об оптимальной
стратегии потребле1шя, приведен в статье Сенневалд К., Валде К. Ученые
использовали уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана и формулу Ито для вывода
дифференциального уравнеши, которому удовлетворяет управляющий параметр.
В работах Оксендаля Б. рассматртается обобщенная задача Мертона, в
которой инвестор, вкладьшая капитал в рисковый и безрисковый активы,
заи1ггересовап в получении максимального дохода в определенный момент
времени в будущем. Обобщение модели Мертона заключается в рассмотрении
динамики цены рискового актива, содержащего скачкообразную компоненту.
Модели диверсификации рисков страховых компаний, создаваемые с
использованием аппарата копула-функций достаточно редко встречаются в
отечественной и зарубежной науч1юй лтературе.
Теоретические аспекты копула-функций ошканы у Шкляра А., Фреше М.,
Фршжа М. Обзор математических основ копула-функций и комопотошлк
(максимальных
положительных) зависимостей
представлен
в
монографиях
Нелсен Р., Вандуффел С. Теоретические аспекты моделирования случайных
векторов с нел1шейными взаимосвязями на примере архимедовых копул приведен
в работах Вальдса Е, Шериса М., Ву Ф. Поиск линейных зависимостей
убыточностей по различным группам страхованга Танг А, Вальдс Е. В работах
указа1П1ых исследователей построена модель диверсификации страховых рисков.
В работах Батеуп Р. и Рид И., Коллингс С. и Уайт Г. обсуждается возможность
применения
взаимосвязи
результатов
между
моделирования
убыточностями
к
по
страховой
сфере.
Нелинейтте
различным
видам
страхования
рассмотрены в работе Иссакс Д., в которой используется копула Гумбеля частный случай архимедовых копула-ф)шкций.
Таким образом, по данной проблемаипсе в научной литературе существует
ряд работ. Тем не менее, тематика диссертациогтой работы содержит несколько
нерешенных задач. Во-первых, до настоящего момента време1ш не получена
динамика отимального потребле1шя страховой компании даже в частных
случаях. Во-вторых, в задаче диверсификации страховых рисков исследователями
не рассматривались одновремето линейные и нелинейные степени зависимости
коэффициентов а!С1уарных убыточностей по различным видам страхования. В
диссертации, в частности, получены результаты, позволяющие существенно
продвинуться в решении указаш1ых задач.
Цели
и задачи
псследовання.
Целью диссертации является
построение
оптимальных стратегий инвестирования, потребления и диверсификации рисков
страховых
компаний
в
условиях
стохастической
неопределенности.
Поставленную цель позволяет достичь решения следующих задач:
1. Получшь динамику оптимального потребления для различных фущсций
полезности.
2. Получить точную формулу оптимальной доли капитала, инвестируемого в
рисковый актив, в обобщенной задаче Мертона.
3. Проанализировать влияние ограничений, накладываемых контролирующими
органами на формировшше инвестициошштх портфелей страховых компаний.
4. Сравнить согласовшпюсть критериев различных групп лиц -
владельцев
страховой компании и страхователей. Целью первых является максимизация
ожидаемого капитала в определенный момент времени, вторьк — минимизация
верояпюсти разорешм.
5. Построить модель, учитывающую взаимосвязи между убытошюстями по
различш.ш видам страхования и разработать методику оценки финансового
результата при объединении многопродуктовой с монопродукговой страховой
компанией
с
учетом:
диверсификации
1)
маргинальных
убыточностей
по
функций
различным
распределений
видам
и
страхования.
2)
Для
осуществления указанной задачи предприняты следующие этапы:
о Статистический
анализ
коэффициентов
актуарных
убьггоч1юстей
по
различным линиям бизнеса с целью определения параметров зависимости
указанных показателей,
о Расчет показателя Value-at-Risk -
минимальной
величины, которая
не
превысит с заданной вероятностью убыточность как по страховой компании
(рьгаку) в целом и переход к убыточностям по различным линиям страхования,
о Построение системы критериев, на основе которых принимается решение о
присоединении новой страховой группы. Показывается взаимосвязь критериев
и рассчитывается финансовый результат при различных сценариях.
Объектом исследования является страховая компания.
Предметом исследования являются стратегии распределигая кашггала страховой
компании.
Теоретико-методологической
основой
диссертации
стохастическому
оптимальному управлению,
математической
статистики
используемых
методов
российских
математической
и
являются
теории случайных
зарубежных
статистики
труды
процессов,
ученых.
основными
по
Среди
являются
проверка гипотез о согласии вероятностных распределегай признаков и аппарат
ко пула-функций.
Анализ статистических данных бьш осуществлен с помощью программ
Matlab R2007a, MS Excel 2002, R project. Easy Fit 5.5, StatAssist 5.5.
Информационная база диссертации. Единственным подходящим источником
дшшых является статистика убыточностей по различным группам страхования
Австралийского
страхового
рынка
Указашгая
статистика
была
взята
из
информационных ресурсов организаций AFRA [ww\v.apracom] и из статей,
посвященных анализу зависимостей актуарных убыточностей.
Область псследовапня. Содержание исачедования полностью соответствует
Паспорту специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы
экономики (экономические науки).
Научная
новизна
диссертации
заключается
в построении
совокушюстей
моделей, направлешхых на получение оптимальных стратегий инвестирования,
потребления страховой компании и диверсификации страховых рисков.
Основные результаты, полученные в рамках диссертации и вьшосимые на защиту:
1. Найдена динамика оптимального потребления в модели распределения
капитала страховой компании, инвестирующей свои средства в финансовый
рынок. Полученный результат для степенной функции полезности потребления
распространен на случай обобщенной функции полезности потребления.
2. Доказшю существование и получена монотонность по параметрам
модели
оптимального
управления
в
обобщенной
модели
Мертона
без
потребления для степешюй и логарифмической функщш полезности. В случае
логарифмической функции полезности получена точная формула оптимальной
доли капитала, инвестируемого в рисковый актив.
3. Установле1ю с помощью числешюго моделироваши, что согласованность
целей владельцев страховой компании и страхователей существенно зависит от
степени относительного неприятия риска. При высоком уровне относительного
неприятия
риска
указанные
цели
согласованны,
при
низком
уровне
относетельного неприятия риска согласованность целей нарушается.
4. Построена модель диверсификации рисков страховой компании на
реальных дшпшх. Частные распределения и часть параметров зависимости между
актуарньаш убыточ1Юстями оценивались по выборке, остальные параметры были
поставлены эксперпга.
5. Продемонстрирована зависимость двух способов оценки финансового
результата от объединения страховых компа1Шй, учитывающих
стохастические
латентные
взаимосвязи убыточностей по различным страховым группам.
Первым критерием является
величииа дополнительного
(высвобождаемого)
капитала в результате объедине1шя компаний, вторым - изменение прибьши
многопродуктовой страховой компании.
Теоретическая и практическая значимость
результатов.
Теоретичес1^о
значимость исследования можно сформулировать в следующем виде:
1. Получена динамика оптимального потребления страховой компании для
произвольных функций полезности потребления, удовлетворяющих естественным
ограничениям.
2.
Получена
аналитическая
формула
оптимальной
доли
капитала,
инвестируемого в рисковый актив в обобщегшой модели Мертона.
3. Построена модель диверсификации страховых рисков, учитывающая
латентные зависимости актуарных убыточностей по различ1п.1м
страховым
группам на реальных статистических данных.
Пракпиеская значимость работы заключается в следующем:
1. Полученное уравнение динамики оптимального потребления может быть
использовано
страховыми
компашмми
при
формировании
потока
дополнительных расходов.
2. Доказательство согласованности целей владельцев страховой компании и
страхователей позволяет по-новому оценить роль контролирующих органов.
Результаты числешюго моделирования могут бьп-ь использованы при расчете
верхних границ доли капитала, инвестируемого в рисковые активы.
3. Использование нового подхода принятия решения об открытии новой
страховой
линии, учитывающего зависимости убыточностей по различным
группам страхования позволот более точно оценить финансовый результат новой
компании.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертации
прошли
апробацию
в
экспертном
сообществе
в
рамках
следующих
международных и Всероссийских конференциях и круглых столах:
Первый
Российский Экономический Конгресс. (Москва, МГУ, ИЭ РАН, 2009 г.);
Международная конференция "Математика. Компьютер. Образовшше" (г. Дубна,
10
МГУ, 2010 г.); Всероссийская молодежная конференция "Экономический рост:
Математтеское моделирование". (Москва, РЭУ им. Г.В. Плеханова, 2011 г.);
Конференция лауреатов и стипендиатов 2011 г. Международного на}^10Г0 фонда
экономических исследований (МНФЭИ) академика Н.П. Федоренко
ЦЭМИ РАН,
2012
Г.); Всероссийская
конференция
(Москва,
"Прикладная
теория
вероятностей и теоретическая информатика" (г. Москва, РУДН, ИЛИ РАН,
2012г.).
Диссертация связана с исследованиями, проведенными в Финансовом
университете
в
экономического
математических
рамках
сектора
комплексной
России»
инструментов
по
темы:
«Пути развития
кафедральной
исследования
финансово-
подтеме
«Развитие
финансово-экономических
процессов».
Материалы
диссертации
используются
в практической
деятельности
Финансово-экономического отдела ЗАО «Капитал Перестрахование», в частности
используется методика оценки совокупного риска перестраховочной компании,
учитывающая латеотные линейные и нелинейные завистаюсти между а к т у а р т м и
убыточностями по различным линиям страхования. По материалам исследования
внедрена модель принят1м решения об открытии новой страховой группы,
основанная на статистических закономерностях в страховой сфере. Указа1шая
модель позволяет принимать научно обоснованные решения об открытии новой
группы страхования.
Выводы и основные результаты диссертации Журова А,Н. используются в
практической работе Финансово-экономического отдела и способствуют более
точному расчету финансового результата перестраховочной компании.
Материалы диссертации используются кафедрой «Прикладная математика»
Финансового университета в преподавании учебтгх дисциплин «Математические
методы ф1шансового аналта» и «Актуарная математика)).
Внедрите результатов подтверждено соответствующими документами.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей о б щ т ! объемом
3,8п.л. (в т.ч. авторский объем 3,58 п.л.). Все статьи опубликованы в журналах,
определенных ВАК Мипобрнауки России.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав,
заключения, библиографического
списка из 56 источников.
Исследование
приведено на 110 страницах, иллюстрировано 11 таблицами и 10 рисунками.
Во введении приводится краткое описание решаемой задачи, обзор
результатов исследователей указанной сферы.
Глава 1 посвящена полученным аналитическим результатам, относящимся к
оптимальным стратегиям потребления и щ1вестирования. Здесь обсуждаются
математические методы теории оптимального управления в стохастических
условиях, элементы стохастического аналша.
В главе 2 сравниваются оптималыше стратегии страховых компаний в
моделях с различными целевыми функционалами, отвечающими интересам двух
групп: страхователей и владельцев компаний.
В
главе
3
построена
модель
диверсификации
страховых
рисков,
учитывающая (линейные и нелштейные) завистюсти актуарных убыточностей по
различным ввдам страховшщя. Показана взагоюсвязь критериев, на основе
которых
пршшмается
решехше
об
объединении
одно продуктовой
и
многопродуктовой страховой компании.
В заключении обсуждаются полученные результаты и дальнейшее развитие
исследования.
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
2Л
Получено
дифференциальное
уравнепие
динамики
оптимального
потребления страховой компании в случае степенной функции полезности
Рассмотрена
модель
функционирования
страховой
компа1ши,
инвестирующей пошюстью свой капитал на финансовый рьшок и расходующей
часть средств на потребление.
12
в диссертации рассматривается (В, 5)-рынок, т.е. финансовьш рьшок с
одним рисковым и бсзрисковым активом. Предполагается, что цена безрискового
актива В, изменяется как банковский счет:
Р,
удовлетворяет
с1р1 =
+ а<П¥,),
а цена рискового актива
геометрическому
где
гд-доходность
доходность рискового актива; <т -
броуновскому
безрискового
движению:
актива;
волатильность цены рискового актива;
Ш, -винеровский процесс. Размер возмещения по одному страховому событию
задается неотрицательной непрерывной случай1юй велич1Шой 1\ количество
страховых случаев, произошедших за промежуток времени [О,?], моделируется
пуассоновским процессом {Л'/,Г>0} с постоянной иптенсивностью Я. Таким
образом, суммарные выплаты
по Л', страховым случаям задаются
<=1
сложным пуассоновским
процессом. Величина прем1ш
р
предполагается
постоянной в модели и рассчитывается по следующей формуле: р = (1 + 0)АЕ{Ь),
где 0 > О- рисковая надбавка.
Под
потреблением
с, > О
страховой
компании
подразумеваются
дополнительные расходы, не связанные с вьшлата.ми возмещений по страховым
случаям. Типичный пример потребления -
вьшлата бонусов сотрудникам
страховой компании. Управляющими параметрами являются и, - доля капитала,
инвестируемого в рисковый актив, и С/ - величина текущего потребления. При
сделашп.тх
допущениях
капитал
Х[
страховой
компашш
удовлетворяет
следующему уравнению:
с{Х, = и,Х, ^ + i\-u,)X,^
Р,
В,
+ pdt-dS,-c,.
(1)
Страховая компания оптимизирует будущее значение кагагтала и текущее
потребление по переменным и,,с, в соответствии с целевым функционалом:
тах
13
(2)
где
р>0-ставка
дискошггирования,
Г1=тт(г,Г),
где
Г-горшонт
планирования, т = тт(Г, X, < 0) -момент разорения страховой компании,
/1(с)=4-^.0<г<1,
1-Г
/ 2 (дг)-функции
полезности
потребления
удовлетворяющие ограничениям /¡>0,
и
(3)
капитала
соответственно,
/¡"<0. Оптимальная инвестиционная
стратегия сосгоиг в выборе значишй «,* и с*, максимизирующих целевой
функционал (2).
Поставленная задача отпосигся к классу задач оптимального управления в
стохастических условиях. Для решения подобных задач, как и принято,
используется фужция Беллмана, которая в данной модели имеет вид:
V(t,x)=
sup Е
(4)
Функция V{t,x) обозначает максимальное значение целевого функционала,
который достижим с начальным капиталом х в момент времени t.
Классическая теория оптимального управлешм в стохастических условиях
утверждает, что решеште задачи
оптимального
управления
решению уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB) -
эквивалентно
в общем случае
нелинейного дифференциального уравнения с частными производ1Шми. В
рассматриваемом случае уравнение HJB имеет вид:
u^ V
+ roxV^+pV^+
^
У
A£(K(i, x-L)~Vit,
с^го
х)).
В классической модели Мертона (без страхования) в случае бесконечного
горизонта Т време1щ оптимальная доля и* капитала, инвестируемого в рисковый
актив, задается формулой:
и* = ^
, в то время как точная формула
стУ
оптимального потребления с* до сих пор не найдена. Основная трудность
14
заключается в том, что для получения аналитической формулы оптимального
управления с*, необходилю (в отличие от и*)решать уравнение ШВ.
При достаточно общих условиях, накладываемых на функцию Беллмана
У{1, х), получено уравнение динамики оптимального потребления с*:
i+r
Л Го-Р +
2г
YУ
.с;
li-ro
ч2
-
-
с,(И +
(6)
ау
где d q t = \ , если в полуинтервале (0,í] произошел хотя бы один скачок w d q , = 0
в противном случае. Результат (6) получен с использованием формулы Ито и
уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана для процессов со сносом, диффузией и
скачками и свойств стохастического интеграла Ито.
2.2
Получено
лиффепенциальпое
уравнепие
динамики
оптимального
потпсблепия лля ппопзвольной функции полезности
Рассмотрена модель, эквивалентная задаче, поставленной п. 2.1, в которой
/l(c)
задается
произвольной
функцией,
удовлетворяющей
естественным
ограничениям /{(с) > О, / Д с ) < 0. С помощью формулы Ито для процессов со
сносом,
диффузией
и
скачками
показано,
что
дш1амика
оптимального
потребления задается формулой:
de",
+
(7)
где dqt - случайная велич1ша, принимающая значе1ше О, если за время Л не бьшо
ни одного скачка, и 1 в противном случае. В е л и ч т а df задается уравнением:
df = ((Р - Го)/' -
{t, X, -1)) - / ' ( с ' )))dt -
Í^LlW^dr,.
а
Уравнение (7) является обобщением результата, полученного в п 2.1, па
случай произвольной фушсции полезности, удовлетворяющей
ограничениям.
15
естественным
2.3
Получена
стратегаи
при
существование
аналитическая
фор^пла
логарифмической
оптимального
оптимальной
функции
управления
инвестиционной
полезности
при
п
доказано
степенной
фупкпии
полезности в обобщенной задаче Мертона
Указагшый результат не относится явным образом к выбору оптимальных
стратегий страховых компаний, но показывает, как скачкообразные процессы,
имеющие
нееграховую
природу,
управление.
Статистический
показывает,
что
влияют
анализ
существуют
на оптимальное
изменения
интервалы
цен
времени,
инвестиционное
финансовых
в
которые
активов
котировки
изменяются достаточно резко. Отрицательная асимметрия и тяжелые хвосты
являются статистическим доказательством наличия значительного числа резких
отрицательных изменений доходаюстей финансовых инструментов. Тем не менее,
в
научной
литературе
существует
недостаточно
аналитических
моделей,
учитывающих скачки в доходностях финансовых инструментов.
В диссертационном исследовании рассмотрена обобщенная задача Мертона,
в которой цена рискового актива
задается процессом со сносом, диффузией и
скачками:
ар, =
• Л + о- •
+ Л • ак,),
(8)
где А - неслучайный размер одного скачка, аИ, -количество скачков в интервале
времяш Л . Процесс Л^, предполагается пуассоновским с интенсивностью X.
В модели рассматривается инвестор, вкладьшающий доли к, и 1 - «, своего
капитала X, соответственно в рисковый актив, цена которого задана уравнением
(8), и безрисковый актив. Предполагается, что инвестор заинтересован в
максимизации
=
функционала
-1)/(}-у)
Е(/(Х
•[•)),
где
рассматриваются
степенная
и логарифмическая / ( л ) = 1п(л) функции полезности.
Указано, что в рассматриваемой задаче отрвдательные значения Х, невозможны,
т.е. разорение инвестора никогда не наступает, поэто^<у имеет смысл строить
модель на конечном неслучашюм горизонте времени Т.
16
При достаточно общих условиях получено уравнение на и*:
Га'^и - ц - ^ - Г о - Щ Х + и К У ^ = 0 .
(9)
Показано, что корень уравнения (9) при логарифмической функщ1и полезности,
т.е. в случае у = 1, определяется формулой:
(10)
где / ) = (а-2
Для степенной функции полезности, т . е . 0 < у < 1 , и случая Д > 0 доказано
существование оптимального управления на положительной числовой оси, т.е.
и е (0,+от) .Доказана
монотонность
к*
по
параметрам
модели
при
логарифмической и степенной функциях полезности. В случае у = 1 при Д > 0
и*(/11,Го,<т,А,Х) положительно зависет от параметров
и отрицательно от
гд и сг. в случае у = 1 при отрицательном размере скачка, т.е. Д < О, зависимость
от Я меняется на отрицательную. В случае О < / < 1 м* положительно зависит от
параметров
и отрщательно от г д . а , у- Отличительной особенностью
указанного результата является то, что при выводе уравнения (9), используемое
при
получении
и*,
применялись
только
формулы
Дьшкина
и
свойства
стохастических интегралов Ито и Пуассона.
2.4
Проведен
сравнительный
анализ
оптимальных
инвестиционных
стратегий в задачах с различными целевыми функциями
В целях обеспечения устойчивости и платежеспособности контролирующие
органы ограничили множество инвестиционных стратегий страховых компаний.
Как результат, страховая кокшания становится более устойчивой в смысле
исполпения принятых на себя рисков. Количественной мерой устойчивости
является вероятность разорешм, определяемая следующим образом
</0 = Р(г<Г),
где т = т т ( г > О: Х, < О)- момент разорения, Г -горизо1гт планирования.
17
(12)
в исследовании осуществлено сравнение оптимальных инвест1ЩИ01Шых
стратегий двух разлтных критериев: 1) максимизация ожидаемой полезности
капитала
где Гх =тт{Т,х)
и 2) минт1изация вероягности разорения,
заданной формулой (12). Сравнение инвестициош!ых стратегий проводилось с
использованием
метода Моте-Карло.
Из-за ограничения
вьиислительных
мощностей на управляющий параметр было сделано ограничение постоянства во
времени.
При большинстве значений параметров модели величины оптимальных
шшестиционных управлешга находились в непосредственной блгоости, что
подтверждает
согласовашюсгь
рассмотренных
критериев.
Первый
график
демонстрирует, что минимум критерия (/(") и максимум критерия
достигаются на широком интервале и* в (-0.25,0,25):
-1
.0.75
^15
Ряс.1 Зависимость
О
Q35
05
0.75
•1
t
ЛЛ
-0S
412
о
02
Рис.2 Зависимость
и у/(-) от М
05
С.б
1
) ) и !//(•) ст U
при относительно высоком
пря типичных значениях параметров
При олюсительно высоких значениях рисковой доходности JJ (рис.2)
увеличение доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, приводит к
возрасгашпо значения £(/(Х^^)), при этом вероятность разорения ограничен
сверху. С другой стороны, увеличение управляющего параметра и приводит к
уменьшению вероятности разорения
|;/(-).Таким образом, при увеличении
параметра и страховая компания максю»изирует ожидаемую полезность капитала
при ограниченной (невысокой) вероятности разорения.
18
Согласованность критериев нарушается при относительно малых значениях
параметра у , характерных для страховых компаний, с низким относительным
неприятием риска, что демонстрирует рис.3:
1000
ж ^^
тМ
т,Г1
МО
то
•бОО^
.08 ц).6
О
0-4 06 0,8
Рис.З. Зависимость Е У ^ Х , )) н
) от и
при относительно низ1:ом значении
Результат
0.25 05 0.75
Рнс.4 Зависимость
= 0.1.
одновременного
)) и
!//(•) от и
при относительно низком у и высоком ^ .
увеличения
рисковой
доходности
/л
и
уменьше1ше коэффициента относительного неприятия риска у показан па рис.4.
Рис.З показьшает, что максимум 1-ого критерия достигается при и* = 1 в то время
как точка минимума критерия 1//(и) находится на интервате и' е (-0.2,0.3).
2.5 На реальной страховой статистике построена модель диверсификации
страховых рисков, учитывающая линейные и нелинейные зависимости
между актуарными убьггочностями по различным группам страхования.
Рассматривается страховая компания, принимающая па себя риски по ЛГ = 5
линиям
страхования.
Пусть
/-ая
страховая линия характеризуется
показателям!: величгаюй полных убытков
двумя
и заработшшой премией ЕР^^ за
/ л - ы й период наступления страховых случаев, где т = 1,...,Т и Г - в р е м е н н о й
горизонт. Коэффициентом актуарной убыточности
т - о м у периоду равен:
=
по 1-ой группе по
/ Е Р ^ \ т е i = l,..,N и т = 1,..,7". Убьгточность
в целом по страховой компшши за т - ы й временной период обозначается через
19
Группировка актуарной убыточности на дату страхового события позволяет
выявить
статистические
закономерности
в
одновременном
насггуплении
страховых случаев по различным видам страхования. Например, при ДТП часто
наносится ущерб имуществу и здоровью, как виновника, так и потерпевшего.
Таким образом, одно страховое событие порождает появление страховых случаев
по трем различным линиям страхования: КЛСКО, ОСАГО, медицина. Учет
данных зависимостей позволяет страховой компании более точно оценить
собственные риски, сформировать адекватные страховые резервы и рассчитать
размер
необходимого
капитала.
Предполагается,
что
убьгг041юсти
представляют собой выборку из генеральной совокупности случайного вектора
=
Убыточность в целом по страховой компмши
допускает следующее представление:
К.)
где и», = ЕР^'^ / ЕР^^^ обозначает вес / - ой группы в общей заработашюй премии.
В качестве исходных д а ш а к использовалась статистика по актуарной
убыточности по 5 страховым группам австралийского страхового рынка:
1)страхование квартир/домов, 2)КАСК0, 3)0САГ0, 4)Страховапие коммерческих
рисков, 5)Страхование ответственности. Полученный объем выборки -
20
наблюдений по каждой страховой группе.
Задача,
поставленная
диверсифицированных
в
диссертации,
заключается
показателей рисков страховой
в
компании
расчете
с учетом
взаимосвязей убыточностями по различным страховым группам. В качестве меры
риска
используется
показатель
УаРд{Х) = Ы{х:Р{х)>д).
В
диссертации
сравниваются два различных подхода к расчету величины
1) в
случае комопотоипых (максимальных положительных) зависимостей
допущении, что зависимости убыточностей
20
, 2) в
описываются различными
копула-функциями. В первом случае совокуппый риск рассчитывается по
формуле:
1=1
Во втором случае показатель риска страховой компании с учетом
диверсификации, обозначаемый через
посредством
симуляции
компонент
рассчитывается численно
случайного
вектора
ЬК.
Сравнение
убыточностей, рассчитанных двумя способами, осуществляется через расчет
показателя
относительной
экономии
Расчет диверсифицированных
капитала
по
осуществляется по формуле:
(15)
Выбранные маргинальные распределе1шя приведены в следующей таблице:
Линия страхования
Случайная
величина
Квартиры
Наилучшее
распределение
Гамыа
р-уаЫе
Значение
параметров
а = 74
0.96
Р = 0,009
КАСКО
Логнормальное
0,69
¿=-0,192
ст =0,110
а =27.
Гамма
ОСАГО
1ЙР>
0,41
¿=0,033
¿л®
Коммерческое
страховааие
Гамма
Страхование
ответственности
Гамма
0,39
Р = 0,022
0,93
а=7
Д = 0,122
Таблица 1. Оценки параметров м^гидатьяых распределений случайных величин
.
Оцененные по выборке коэффициенты г ранговой корреляции Кендалла
убыточностей
приводятся в следующей таблице.
¿Я"»
1
-0,30
¿Я®
-0,13
-0,41
-0,36
-0,30
1
0
0,17
0,19
-0,13
0
1
-0.08
0,52
-0,41
0,17
•0,08
1
0,10
-0,36
0,19
0,52
0,10
1
Таблица 2. Оценки ранговых коэффициентов корреляции г Кендалла
21
Из таблицы 2 видно, что убыточности по некоторым страховым линиям
отрицательно коррелированны. Данный факт не соответсгвует ни здравому
смыслу, 1га актуарной практике,
статистики.
Поэтому
все
а объясняется отсутствием
отрицательные
коэффицценты
достаточной
были
заменены
нулевыми, а коэффициент Г14 в соответствии с экспертным мнением автора
настоящей диссертации и исследователей в данной области бьш принудительно
приравнен к 0,5.
Гистограммы
распределения
случайной
величины
в
случае
эллиптических и архимедовых копул показаны на следующих графиках.
1;
ЕЬ.
Рис.5. Гистогралшы частот распределения случайной величины
направо): Гаусса, Стьюдеггга, Копш.
Мтдгм^ИКв
»Мчгмпона
в а ^ а е эллиптических копул (слева
К-уп.»«»»«
11
[к.
Рис.6. Гистограммы частот распределения случайной величины
(слева направо): Франка, Гумбеля, Клейтона
в случае архимедовых ко11улам()ункций
Из рис. 5 следует, что при уменьшении числа степеней свободы ^ копулы
Стьюдента, распределение случайной величины
прирастает тяжелыми
хвоста^ш. На рис. 6 характерно отсутствие хвостовой зависимости у копулы
Франка, наличие тяжелого правого хвоста копулы Гумбеля и левого хвоста
22
копулы-функции Клейтона. Данная статистическая закономерность объясняется
нулевым коэффициентом нижней и верхней хвостовой зависимости конулы
Франка, положительного коэффициентом
копулы
Гумбеля
зависимости
и
копулы
положительного
Клейтона.
верхней хвостовой зависимости
коэффициента
Кроме
случая
нижней
копулы
рассматриваемые гистограммы случайной величины
правосторонней
асимметрией.
Указашшй
хвостовой
Клейтона,
все
характеризуются
статистический
факт
является
закономерным, так как в качестве маргинальных используются Гамма и
логнормальное распределешм, характеризующихся правосторонней асимметрией.
В
случае
копула-функщш
симметричным.
нижней
Клейтона распределение
Объясняется
хвостовой
это
наличием
зависимости
является
положительного
-0-14^
практически
коэффициента
нивелирующей
влияние
правосторонних маргинальных распределений.
Следующая таблица аккумулирует
полученные
результаты:
значения
Копула
Гаусса
Стьюдекта
Коши
Гумбеля
Клейтона
Франка
/ =1
73
75
76
78
71
72
12
10
8
5
14
13
100
103
т
107
98
99
ТаблицаЗ.Значешм
ВВ,,„а,
1^2
1=3
94
96
98
101
92
93
118
122
123
127
116
117
1=4
79
81
82
85
77
78
1=5
152
156
158
163
148
150
I в случае шести различных копулам.
2.6 Осуп1ествлено сравнение методов опенки финансового результата от
объединения монопродуктовой и миогопродуктовой страховых компаний
Достаточно
часто
страховые
компании
рассматривают
возможность
принятия на себя рисков по новым линиям страхования. Одним из способов
расширить бизнес заключается в том, что более крупные страховые компании
поглощают более мелкие.
Пусть
величши
обозначает
полный
страховой компании. Тогда, использовав обозначите
23
убыток
монопродукговой
суммарного убытка по
5 страховым группам первой страховой компании, велич1гаа суммарного убытка
по новому (объединенному) портфелю
определяется следующим образом:
¿(^.>=£(^.>+¿(6).
(16)
Предполагается, что зависимость убьгточ1ЮСтей в новом портфеле описывается
эллиптическими и архимедовыми копула-функщими, рассмотренными в модели
диверсификации страховых рисков. Пусть, как и в модели диверсификации
рисков, мерой риска является показатель Уа1ие-а1-Ш5к. Тогда основные задачи
настоящей
модели
формулируются
следующим
образом:
1)0пределение
величины Ха дополнительного капитала: Х^ =
требуемого для покрьппя новых обязательств. 2) Расчет абсолютной выгоды (или
убытка)отобъедш1ения Д1
3)
Расчет изменения прибыли после объединения двух страховых компаний
Предполагается, что новая линия бизнеса имеет Гамма-распределение с
параметрами ¿ = 0,11 и 0=8,03, соответствующими математическому ожиданию
/^ = 0,85 и стандартному отклонению сг = 0,1. В следующей таблице приводятся
сравнительные характеристики старого и нового страховых портфелей в случае
Гб, =0.1 где / = 1,...,5.
Копула
Гаусса
Стьюдента
Коши
Гумбеля
Франка
Клейтона
•/.
99,8
100.9
103,0
104,9
98,5
96,5
млн. у.е.
МЛН.
у.е.
1.8
-10,7
-34,3
-56,3
17,5
40,1
-7,1
-16,4
-38,2
-45,7
7,6
29,1
млн. у.е.
Аь
млн. у.е.
141.0
144.3
146,1
160,6
140,1
139,0
-27,2
-23,9
-22,1
-7,7
-28,1
-29,2
Таблица 4. Сравнительные характеристики старого и нового поргфе;гейпри Т ^ = 0,1, где I =
24
При значении т^, = 0.3, У = 1,...,5 результаты изменяются:
Копула
Ха.
(-ЬЛо,,!/:/!^).
•/.
100,6
Гаусса
Стьюдента
Коши
Гумбеля
Франка
Кле&тона
102,1
103.9
106,6
99,9
97,3
шпL у.е.
М.1Н. у.е.
млн у.е.
млн уе.
-6,7
-19,9
-30,6
-46,9
8,0
29,3
-7,2
-23,8
-45,1
-75.7
1,0
31,0
150,5
153,9
164,5
178,8
157,0
148,3
-17,8
-14,4
-3,7
10,5
-11,2
-20
ТаблицаЗ. Сравнительные хараетеристшси старого и нового портфелей при г^/ = 0 , 3 , г д е г = 1,,..,5.
Таблицы 4, 5 позволяют сделать следующие выводы:
1) Увеличение коэффициента хвостовой зависимости нивелирует эффект
диверсификации. Действительно, величина
увеличивается при уменьшении
степеней свободы эллиптических копул, что эквивалентно увеличению хвостовой
зависимости.
2) В случае Тц = 0,1 значение Д1 для всех копула-функций является
отрицательным. Поэтому с точки зрения экономш! капитала двум страховьпл
компаниям вьп-одно объединиться. В случае Тб,- =0,3 и использовании копулы
Гумбеля эффект диверсификации сводится на нет.
3) Для относительно невысокого г^,- при всех копула-функциях, кроме
Гумбеля,
добавле1ше
повой
линго! страхования
увеличивает
финансовый
результат объединенпого портфеля. Увеличение указашюго коэффициента до
Гб, = 0,3 приводит к тому, что прибьшь новой компшгаи становится меньше
прибьши многопродуктоБой ко\шании для всех типов зависимости, кроме копулы
Клейтона,
Приведенные вычисления демонстрируют, что критерии экономии капитала
за счет диверсификации и увеличения финансового результата не всегда
эквиваленты друг другу. В следующей теореме п р т е д е н ы условия, при которых
указанные критерии согласуются друг с другом.
Теорема 1, Пусть
и Д) обозначают соответственно
результат
старого портфеля, финансовый результат
портфеля
и абсолютную
неравенства являются
выгоду
от
эквивалентными:
25
нового
диверсификации.
финансовый
(объединенного)
Тогда
следующие
Д, <
о«
>
+
-
-
(17)
-КадД^С«)).
Вьшод,
относящийся
к
результатам
матемагико-статистических
всего
методов
исследования:
позволт
страховым
(18)
использование
компаниям
сформировать оптимальные стратегии инвестирования, потребления и более
точно
оценить
величину
страховых
вьшлат.
Использование
модели
диверсификации страховых рисков позволит сформировать адекватные страховые
резервы.
3.
ПУБЛИКАЩга п о ТЕМЕ ДИССЕРТАЩга
Статьи в журналах, определенных ВАКМтобрнауки
1.
России:
Журов А.Н. Оптимальные стратегии страховых компаний [текст] / Журов
А Н . , Шаповат А Б . // Социально-экономические явления и процессы. - 2011.
- № 5-6. - С. 105-109. (0,45/0,23 п.л.).
2.
Журов А.Н. Поиск оптимальных инвестиционных стратегий в случае
степенной и логарифмической функций полезности капитала [текст] / Журов А Н .
// Управление риском. - 2011. - № 4 (60). - С. 38-42. (0,56 п.л.).
3.
Журов А.Н. Сравнение оптимальных стратегий страховых компаний [текст]
/Журов А Н . // Страховое дело. - 2 0 1 2 . - №2. - С. 23-33. (0,93 п.л.).
4.
Журов А Н . Динамика оптимального потребления страховой компании в
случае произвольной функции полезности [текст] / Журов А Н . // Страховое дело.
- 2 O i 2 . - K 2 6 . - C . 44-48. (0,51 п.л).
5.
Журов А.Н. Анализ л а т и г т ы х зависимостей убыточностей по различным
страховым группам [текст] / Журов А Н . // Управление риском. - 2012. -№ 2 (62).
- С . 46-56. (1,35 П.Л.).
26
Подписано в печать:
Заказ № 7725
03.10.2012
Тираж - 120 экз.
Печать трафаретная.
Типография «11-й ФОРМАТ»
ИНН 7726330900
115230, Москва, Варшавское ш., 36
(499) 788-78-56
\vvvw.autoreferat.ru