Равновесия на рынке неделимых товаров

Равновесия на рынке неделимых товаров
Товар считается неделимым, если он встречается только в целых количествах.
Типа автомобиля, самолета, лошади и т.п. Обычно в экономической теории рассматриваются делимые товары, количество которых (измеренное в некоторых единицах)
представляется произвольным вещественным числом. Наличие неделимостей приводит к некоторым ‘неприятностям’, связанным в первую очередь с существованием
(конкурентного) равновесия. В самой постановке задачи практически ничего не меняется от присутствия неделимостей; просто пространство товаров Rn (где n - число
товаров) заменяется ‘решеткой’ Zn . Однако существование равновесных цен (то есть
цен, выравнивающих спрос и предложение всех товаров) вполне может нарушаться.
Собственно, в этом ничего удивительного нет. И с делимыми товарами равновесия может не быть, если не выполнены условия выпуклости. Поэтому нужно как-то
правильно перенести понятие выпуклости на случай неделимых товаров. Чтобы не
отвлекаться на детали, не связанные с неделимостью, сделаем три упрощающих
предположения. Первое – ограничиваемся рассмотрением экономик чистого обмена.
Второе – агрегируем все делимые товары в один, условно называемый деньгами.
Третье – ограничиваемся случаем трансферабельной полезности, пренебрегая тем
самым эффектом дохода. В каком-то смысле это означает, что неделимые товары
занимают только малую часть экономики.
При сделанных предположениях рынок описывается следующими данными: списком I видов неделимых товаров, множеством B потребителей, функцией полезности
ub : ZI+ → R каждого потребителя b ∈ B, и совокупным начальным запасом E ∈ ZI+ .
Интуитивно ub (x) выражает ценность для потребителя b товарного набора x в терминах денег. Сталкиваясь с рыночными ценами p (которые можно понимать как
линейный функционал p : RI → R), покупатель b старается максимизировать чистую полезность ub (x) − p(x). Равновесие понимается стандартным способом.
В такой постановке естественно искать условия на функции полезности ub , которые гарантировали бы (при любом начальном запасе E) существование равновесий.
До появления работы (Danilov, Koshevoy, Murota, 2001) были известны несколько
частных результатов такого типа (Henry, 1970; Gale, 1984; Bevia, Quinzzi, Silva, 1999;
Gul, Stacchetti, 1999), не не виден был общий принцип.
Истиные причины существования (или несуществования) равновесий были выявлены в работе (Danilov, Koshevoy, Murota, 2001). Связаны они с правильными
условиями выпуклости (точнее, вогнутости) функций ub , заданными не на привычном векторном пространстве, а на целочисленной решетке ZI в нем. Эквивалентно,
можно говорить в терминах ‘выпуклости’ подмножеств в решетке ZI . Класс D подмножеств в ZI называется классом дискретной выпуклости (ДВ), если выполнены
следующие два условия:
1) для любого X ∈ D имеет место равенство X = co(X) ∩ ZI (иначе говоря,
X состоит из всех целых точек своей выпуклой оболочки; включение ⊆ выполнено
всегда). Это условие было названо псевдо-выпуклостью.
2) для любых X и Y из D выполнено X ± Y ∈ D. (X + Y состоит из векторов
вида x + y, где x ∈ X, а y ∈ Y ; аналогично понимается X − Y .)
Легко понять, что если при любых ценах p спросы Db (p) (то есть множество
1
решений задачи ub − p → max) принадлежат некоторому (фиксированному) классу
дискретной выпуклости D, то равновесие существует.
Тем самым вопрос о существовании равновесий переносится в две плоскости.
Первая – чисто математическая – понять, как строить интересные классы дискретной выпуклости. Вторая – как интерпретировать экономически функции полезности,
связанные с тем или иным классом ДВ.
Скажем кратко про математическую часть. Классы дискетной выпуклости тесно
связаны с т. н. унимодулярными системами. Подмножество векторов R в Zn называется унимодулярным, если любая линейно независимая часть B ⊆ R является
частью базиса свободной абелевой группы Zn . Класс псевдо-выпуклых множеств D
является классом ДВ, если для любого X ∈ D направления любого ребра политопа
co(X) параллельно некоторому вектору r из унимодуляной системы R.
Наиболее простой является так называемая ‘графическая’ система An . Она состоит из векторов вида ±1i или 1i − 1j (где i, j от 1 до n, а 1i обозначает i-й базисный
вектор). Соответствующие полиэдры - это т.н. полиматроиды (или обобщенные полиматроиды). Связанные с ними выпуклые или вогнутые функции на Zn можно
назвать полиматроидными. Так что если функции полезности всех потребителей
полиматроидно-вогнуты, то равновесие существует. Оказалось, что во всех более
ранних работах существование равновесий в экономиках с неделимостями было связано именно с полиматроидной вогнутостью функций полезности.
С экономической стороны вогнуто-полиматроидные функции полезности дают
т.н. валово-заменимый спрос. (Более точно, полиматроидность - это несколько более
сильное свойство, чем валовая заменимость, но не будем останавливаться на таких
тонкостях.) Роль свойства валовой заменимости представлялась столь существенной,
что могло показаться, что это свойство чуть ли не необходимо для существования
равновесия с неделимостями. Приведем только одно высказывание (Azevedo, Weyl,
White, 2012): “... на рынках ... с неделимыми товарами ... Вальрасово равновесие
гарантированно существует тогда и только тогда, когда агенты воспринимают товары как заменители.” Одна из целей настоящей работы - показать, что это не совсем
так, что существуют другие ситуации (связанные со свойством дополнительности
товаров), где равновесие тоже существует.
Это было как бы введение, обзор состояния проблемы. Основное содержание
доклада посвящено нахождению двух классов ситуаций (типа дополнительности),
когда равновесия существуют. Представим себе, что потребитель заинтересован в
потреблении фиксированного комплекта A ⊆ I (неделимых) товаров. Например, он
приписывает некоторую положительную полезность (ценность) любому набору товаров x, если этот набор содержит все товары из пакета A, и нулевую полезность,
если хоть какой-то товар из группы A отсутствует. Грубо говоря, он хочет A или
ничего. Такую функцию полезности назовем примитивной A-комплектной функцией. Такой спрос явно проявляет свойство дополнительности; товары из комплекта
A ‘дополняют’ друг друга.
Чтобы еще более обогатить постановку, рассмотрим коллекцию T пакетов (так
что T ⊆ 2I ). И будем считать, что каждый потребитель заинтересован только в
пакетах (быть может, нескольких) из этого фиксированного набора T . Формально
это значит, что его функция полезности есть свертка нескольких примитивных A2
комплектных функций, где A ∈ T .
Конечно, при произвольной коллекции T равновесия на рынке (где все потребители имеют T -комплектные полезности) может не быть. Мы показываем, что достаточным (и фактически необходимым) условием существования равновесия в этой
ситуации является унимодулярность набора T .
Мы рассматриваем далее два более конкретных примера таких унимодулярных
коллекций T . В одном примере T состоит из интервалов (относительно некоторого
фиксированного линейного порядка на множестве товаров I). Во втором T образовано как объединение двух ламинарных коллекций. Напомним, что набор подмножеств
L называется ламинарным, если для любых пересекающихся множеств A и B из L
выполнено A ⊂ B или B ⊂ A.
3