http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические методы в экономике Задание 1. Фирма минимизирует средние издержки, которые получаются в результате равными 30 руб./ед. Чему равны при этом предельные издержки? Решение. Пусть C (x) − функция издержек; тогда для значения объема производства x , при котором средние издержки минимизированы, имеем: ′ C ( x) xC ′( x) − C ( x) 1 C ( x) A′( x) = = C ′( x) − = = 0, 2 x x x x откуда C ′( x) = A( x) = 30 рублей за единицу – предельные издержки. http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические методы в экономике Задание 2. Считается, что увеличение реализации y от затрат на рекламу x (млн. руб.) определяется соотношением: y = 0,1 x . Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль. Решение. Если считать увеличение прибыли также в миллионах рублей, то разница между прибылью и затратами на рекламу составляет 0,02 y − x = 0,002 x − x = f ( x) . 0,001 Производная этой функции f ′( x) = − 1 равна нулю при x = 10 −6 ; как x нетрудно убедиться , это точка максимума функции прибыли f (x) . Задание 3. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции x определяется как D( x) = 100 x − 1000 x ( 400 ≤ x ≤ 900 ). Функция издержек на 4 этом промежутке имеет вид : C ( x) = 50 x + x x . Найти оптимальное для 5 монополии-производителя значение выпуска продукции. Решение. Требуется найти то значение x ∈ [400;900] , для которого разница 4 P( x) = D( x) − C ( x) = 50 x − 1000 x − x x максимальна. Имеем: 5 500 6 P′( x) = 50 − − x = 0; x 5 500 6 Обозначая x = t и решая уравнение 50 − − t = 0, откуда точка максимума t 5 2 P( x) : x = t ≈ 345 . 1 http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические методы в экономике Задание 4. Кривые Лоренца распределения дохода в некоторых странах могут быть заданы уравнениями : y а) y = 0,85 x + 0,15 ; б) y = 2 − 1 . 2 x x A 1 Определить меру неравномерности для y=x указанных распределений. B y = f (x) C 0 1 x Рис. 1 Решение. Рассмотрим функцию y = f (x) , характеризующую неравномерность распределения доходов среди населения, где y – доля совокупного дохода, получаемого долей x беднейшего населения. График этой функции называется кривой Лоренца (рис. 1). Очевидно, что 0 ≤ f ( x) ≤ x при x ∈ [0; 1] . и неравномерность распределения доходов тем больше, чем больше площадь фигуры OAB. Поэтому в качестве меры указанной неравномерности используют так называемый коэффициент Джини k, равный отношению площади фигуры OAB к площади треугольника OAC.Тогда по формуле вычисления площади плоской фигуры получим: а) 1 x2 1 0,85 x 3 0,15 x 1 = − 0,85 ⋅ + SOAB = ∫ (x − 0,85 x − 0,15 )dx = − 0,85 − = 0,052; 2 3 ln 0 , 15 2 3 ln 0 , 15 0 0 S 0,052 Тогда k = OAB = = 0,104. SOAC 0,5 б) 1 2 x 1 x2 2x 1 1 = + 1 − SOAB = ∫ (x − 2 + 1)dx = + x − = 0,057; 2 ln 2 2 ln 2 0 0 S 0,057 Тогда k = OAB = = 0,114. SOAC 0,5 1 x http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические методы в экономике 2 http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические методы в экономике Задание 5. Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид p = 134 − x 2 . Найти выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 70. Решение. Пусть p = f (x) - кривая спроса D на некоторый товар и p = g (x) кривая предложения S, где p –цена на товар, x – величина спроса (предложения). Обозначим через ( x0 , p0 ) точку рыночного равновесия (рис. 2). Доход от реализации количества товара x0 по равновесной цене p0 равен произведению x0 p0 . p p = f (x pD S C p0 P D p = g (x x0 0 x Рис. 2 Если предполагать непрерывное снижение цены от максимальной p D = f (0 ) x0 до равновесной p0 по мере удовлетворения спроса, то доход составит ∫ f (x )dx . 0 Величина денежных средств C = x0 ∫ f (x )dx − p0 x0 сберегается потребителями, если 0 предполагать продажу товара по равновесной цене p0 , поэтому C называется выигрышем потребителей. x0 Аналогично, величина P = p0 x0 − ∫ g ( x ) dx называется выигрышем 0 поставщиков. Величины C и P численно равны площадям соответствующих криволинейных треугольников (рис. 2). Если уравнение спроса на некоторый товар имеет вид , то в данном случае функция выигрыша потребителей C ( x0 ) = x0 ∫ 0 x0 x03 f ( x ) dx − p0 x0 = ∫ (134 − x ) dx − 70 x0 = 64 x0 − . 3 0 2 http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические методы в экономике 3