министерство образования и науки российской федерации

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Воронежский государственный педагогический университет»
АННОТАЦИЯ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»
Уровень основной образовательной программы:
бакалавриат.
Направление подготовки:
050100 Педагогическое образование.
Профиль:
Информатика.
Форма обучения:
очная.
Кафедра:
алгебры и геометрии.
ФИО разработчиков:
Обуховский В.В., Гордиенко Н.А., Зачепа В.Р.,
Исаенко Ю.Я., Корнев С.В.
Трудоемкость дисциплины:
4 зачетных единицы.
Количество часов:
144.
В том числе аудиторных:
36;
внеаудиторных:
Форма отчетности:
72.
экзамен.
г. Воронеж – 2011 г.
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью освоения дисциплины является формирование систематизированных
знаний в области теории чисел.
В процессе освоения
данной дисциплины студент формирует следующие
специальные компетенции.
СК-1. Владеет основными положениями классических разделов математической
науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических
структур и аксиоматическим методом.
СК-2. Владеет
культурой
математического
мышления,
логической
и
алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического
знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать
основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного
исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком
математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания.
СК-3. Способен
понимать
универсальный
характер
законов
логики
математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой
деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки
для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение
математики.
СК-4. Владеет математикой как универсальным языком науки, средством
моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических
моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества
математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки
научных теорий.
СК-5. Владеет содержанием и методами элементарной математики, умеет
анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики.
СК-6. Способен ориентироваться в информационном потоке, использовать
рациональные способы получения, преобразования, систематизации и хранения
информации, актуализировать ее в необходимых ситуациях интеллектуальнопознавательной деятельности.
СК-7. Владеет основными положениями истории развития математики, эволюции
математических идей и концепциями современной математической науки.
2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
№
Название темы
ЗЕТ
Часы
Трудоемкость
Всего
ауд.
4
144
1,5
54
18
Лекции
Практические
занятия
СРС
Экз.
36
1,5
54
1
36
1
Теория делимости в
кольце целых чисел
22
10
2
8
12
2
Простые и составные
числа
14
8
2
6
6
3
Теория сравнений
18
8
2
6
10
4
Приложения теории
сравнений
30
20
4
16
10
5
6
7
8
Аксиоматическая теория
натуральных чисел
Аксиоматическая теория
целых и рациональных
чисел
Аксиоматическая теория
действительных чисел
Аксиоматическая теория
комплексных чисел
6
2
2
–
4
6
2
2
–
4
6
2
2
–
4
6
2
2
–
4
Содержание лекций
1. Теория делимости в кольце целых чисел
Отношение делимости в Z и его свойства. Теорема о делении с остатком. Алгоритм
Евклида. НОД и его свойства. Взаимно простые числа, критерий взаимной простоты.
2. Простые и составные числа
Простые числа и их основные свойства. Основная теорема арифметики и ее
следствия. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел. Функция π(х).
3. Теория сравнений
Отношение сравнений по модулю m. Свойства сравнений. Полные и приведенные
системы вычетов и их свойства. Функция Эйлера, теоремы Эйлера и Ферма.
4. Сравнения с неизвестной
Понятие решения сравнения с неизвестной. Степень сравнения и количество
решений. Сравнения по простому и составному модулю. Равносильные сравнения,
теоремы о равносильности.
5. Линейные сравнения и неопределенные уравнения
Различные методы решения линейных сравнений. Связь между решениями
неопределенного уравнения и решениями линейных сравнений.
6. Приложения теории сравнений
Нахождения остатков. Признаки делимости. Систематические дроби.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
Содержание практических занятий
Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида.
Числовые функции τ(х), σ(х), [ x ].
Функция Эйлера, числовые сравнения.
Решение линейных сравнений.
Решение неопределенных уравнений.
Приложения теории сравнений
Контрольная работа.
Содержание контрольной работы
Найти НОД (НОК) двух чисел.
Найти показатель α, с которым простое число р входит в разложение числа n!.
Найти остаток от деления числа а на число b.
Решить неопределенное уравнение.
Вопросы для СРС
1. Взаимно простые числа, критерий взаимной простоты. НОК и его свойства.
2. Основная теорема арифметики. Теорема о натуральных делителях натурального
числа.
3. Числовые функции τ(х), σ(х). Мультипликативные числовые функции и их
основные свойства.
4. Функция [ x ] и ее применение в теории чисел
5. Функция π(х).
6. Свойства классов вычетов по модулю m. Операции сложения и умножения
классов вычетов.
7. Функция Эйлера и Ферма. Нахождение остатков при делении на данное число.
8. Теоремы Эйлера и Ферма. Нахождение остатков при делении на данное число
9. Теория сравнений и признаки делимости.
10. Сведение сравнений по составному модулю к сравнениям по простому модулю.
11. Равносильность сравнений.
12. Линейные сравнения и неопределенные уравнения.
13. Периодические цепные дроби, критерий периодичности. Период и предпериод.
3. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Учебный материал преподносится лекционным методом (вводная и обзорные
лекции), а затем прорабатывается (усваивается, применяется) на практических занятиях.
Результаты усвоения проверяются в форме контрольных работ, коллоквиумов,
индивидуальных домашних заданий и экзамена.
4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Основная литература
1. Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник-практикум по теории чисел. – М.:
Учпедгиз, 1963.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966.
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1981.
4. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1970.
5. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1962.
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965.
7. Обуховский В.В., Корнев С.В., Удоденко Н.Н. Лекции и задачи по теории
чисел/ Учебное пособие, части 1, 2. – Воронеж: ВГУ, 2005.
4.2. Дополнительная литература
1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости. – М.: Физматгиз, 1963.
2. Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высш. Шк., 1967.
3. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.
4. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. – М.–Л.:
Физматгиз, 1963.
5. Серпинский В. Сто простых, но одновременно и трудных вопросов
арифметики. – М.: Учпедгиз, 1961.
6. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. – М.: Просвещение,
1968.
4.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. http://www.math.ru/lib/
2. http://www.edu.ru/modules/
3. http://www.exponenta.ru/educat/