Статистика переноса заряда в мезоскопических проводниках (Full counting statistics) Дмитрий Иванов ETH Zürich & University of Zurich Научная школа по нанофизике и наноэлектронике Черноголовка, июнь 2012 Зачем изучать статистику тока? from Ferain, Colinge & Colinge, Nature 479, 310 (2011) Закон Мура ⇒ через 15 лет транзисторы достигнут атомных размеров? квантовые эффекты будут играть решающую роль в элетронике ● перенос сигналов будет осуществляться отдельными электронами ● Зачем изучать статистику тока? ● технологическая мотивация: миниатюризация электроники ● научная мотивация: изучение квантовых эффектов (фермионная статистика электронов, дробный заряд в краевых состояниях квантового эффекта Холла и т.д.) ● возможная реализация контролируемых квантовых операций (квантовые вычисления), связь с квантовой теорией информации Полезные обзоры по теме: ● ● ● ● L. S. Levitov, H.-W. Lee, and G. B. Lesovik, Electron counting statistics and coherent states of electric current, cond-mat/9607137 [J. Math. Phys. 37, 4845 (1996)] Ya. M. Blanter and M. Büttiker, Shot noise in mesoscopic conductors, cond-mat/9910158 [Phys. Rep. 336, 1 (2000)] Quantum noise in mesoscopic physics, ed. Yu. V. Nazarov, Kluwer (2003) Г. Б. Лесовик и И. А. Садовский, Описание квантового электронного транспорта с помощью матриц рассеяния, УФН 181, 1041 (2011) План лекции: полная статистика дискретной наблюдаемой: определения и основные свойства ● статистика переноса невзаимодействующих фермионов ○ детерминантная формула ○ примеры − одноканальная проволока в равновесном состоянии − одноканальная проволока при постоянном напряжении − лоренцевы импульсы − адиабатические насосы ○ разложение на одночастичные процессы ○ связь статистики с квантовой зацепленностью ● сингулярности производящей функции и “статистические фазовые переходы” ○ в задачах о переносе заряда ○ в других классических и квантовых системах ● − Определение полной статистики переноса заряда перенос n частиц L R производящая функция статистики переноса для независимых процессов: слева направо с вероятностью Pn Шум, моменты и кумулянты производящая функция полностью определяет статистику перенесенного заряда средний заряд: n-й момент: n-й кумулянт: Квантовомеханическое определение статистики переноса (не вполне очевидное, т.к. в квантовых системах измерение может влиять на поведение системы) статистика заряда в конечном объеме: перенос заряда за конечное время: где оператор эволюции системы: !!! “Хорошее” определение только если в исходном состоянии нет суперпозиции разного числа частиц !!! “Физическая” схема квантового измерителя статистики тока [Левитов, Лесовик 1994] спин-1/2 (или любая двухуровневая система) как измеритель тока перенос каждого кванта заряда поворачивает спин на λ: измерение прецессии спина дает производящую функцию χ(λ) Как измеряют статистику тока экспериментально? [Gershon, Bomze, Sukhorukov, Reznikov 2008] измерен третий момент тока, и результат согласуется с предсказанием теории невзаимодействующих фермионов Нетривиально: аккуратный учет влияния измеряющей цепи Какие задачи можно решать? интерференция индивидуальных волновых пакетов S V(t) импульс(ы) напряжения, приложенный к устройству S изменение во времени параметров устройства (“квантовый насос”) S(t) и т.д. Как решать (с учетом квантовых эффектов)? ● ● ● методы матриц рассеяния (наиболее удобны для модели невзаимодействующих фермионов: антисимметризация интерферирующих процессов рассеяния) [Левитов, Лесовик 1993] методы келдышевских функций Грина (“теория цепей” для многоконтактных систем) [Назаров 1994; Назаров, Багрец 2001] специальные методы для взаимодействующих систем (Бете-анзац, бозонизация, и т.д.) Статистика переноса невзаимодействующих фермионов: детерминантная формула Для невзаимодействующих фермионов статистика многочастичного процесса может быть выражена в терминах одночастичных величин [Левитов, Лесовик 1993] – фермионное число заполнения – одночастичная матрица рассеяния (унитарная) – одночастичный проектор на один из контактов Детерминантная формула Смысл: антисимметризация одночастичных процессов L R S44 S12 L R S14 S42 применима к широкому классу задач Примеры – примеры ... Одноканальный контакт: L R S Матрица рассеяния может быть: ● зависящей от энергии – характерное время рассеяния ● зависящей от времени – адиабатическое (мгновенное) рассеяние Пример 1: одноканальная проволока без электрического напряжения Измеряем шум за время t0 A и B – амплитуды прохождения и отражения, – оператор локальный во временном представлении – локален в частотном представлении Пример 1: одноканальная проволока без электрического напряжения Асимптотика таких детерминантов при больших t0 изучалась (и изучается) математиками [Wiener-Hopf operators, Toeplitz determinants, Szegö formula, Fisher-Hartwig conjecture] При нулевой температуре: Можно легко вычислить несколько первых моментов: Шум пропорционален логарифму времени измерения t0 Пример 1: одноканальная проволока без электрического напряжения Логарифмический вклад в шум связан с началом и концом наблюдения Эффекты аналогичного происхождения: ● ● логарифмические флуктуации числа свободных фермионов на отрезке одномерной прямой логарифмическая зависимость квантовой запутанности от размера подсистемы для одномерных систем с бесщелевыми возбуждениями В случае конечной температуры T > 0 – экстенсивный (тепловой) шум Пример 2: постоянное напряжение, биномиальная статистика Напряжение V(t) может быть включено в формализм “детерминантной формулы” как дополнительная фаза к амплитуде прохождения В случае постоянного напряжения и нулевой температуры вычисление дает (для экстенсивной части статистики): (биномиальная статистика) Пример 2: постоянное напряжение, биномиальная статистика Интерпретация: N – число электронов, которые пытаются пройти через контакт. Каждая попытка – независимый одночастичный процесс: Средний ток и шум: шум слабее, чем пуассоновский, множителем – из-за принципа Паули Пример 2: постоянное напряжение, биномиальная статистика [Kumar, Saminadayar, Glattli, Jin, Etienne, PRL 76, 2778 (1996)] Пример 2: постоянное напряжение, биномиальная статистика Третий кумулянт (асимметрия распределения): – согласуется с экспериментально измеренным Gershon, Bomze, Sukhorukov, Reznikov, PRL 101, 016803 (2008) эксперимент сравнивался с обобщением теории на конечные температуры (сравнимые с eV); предел eV >> T не был экспериментально достигнут. Пример 3: лоренцевы импульсы Для произвольного сигнала V(t) или (в еще более общей формулировке) для произвольной матрицы рассеяния S(t) вычисление полной статистики переноса заряда – сложная задача (функциональный = бесконечномерный детерминант) В некоторых специальных случаях она может быть решена точно. Например: лоренцевы импульсы V(t) или их любые суперпозиции [DI, Lee, Levitov 1995] t'' t t' Пример 3: лоренцевы импульсы Причина точной решаемости – хорошие аналитические свойства: Результат: ● ● ● один импульс: одноэлектронный процесс N импульсов одной полярности: биномиальное распределение импульсы разной полярности: полином по и (коэффициенты – нетривиальные функции от всех времен ti ) Пример 3: лоренцевы импульсы Хорошее объяснение [Keeling, Klich, Levitov 2006]: Такие импульсы создают всего лишь конечное число электрон-дырочных возбуждений, и задача о статистике сводится к конечному числу волновых пакетов (конечный детерминант) E EF Пример 3: лоренцевы импульсы Экспериментальная реализация: не лоренцевыми импульсами, а квантовой точкой, которая испускает электрон в краевое состояние квантового эффекта Холла [Fève et al., Science 316, 1169 (2007)] [Keeling, Shytov, Levitov, PRL 101, 196404 (2008)] Теория [Keeling, Shytov, Levitov (2008)]: в предельном случае медленного изменения параметра получается лоренцев одночастичный волновой пакет! Пример 4: квантовые насосы Квантовый насос: перенос заряда в результате адиабатического изменения параметров системы ● ● уже рассмотренный пример: изменение фазы амплитуды прохождения ⇒ перенос заряда общий случай мгновенной матрицы рассеяния [Büttiker, Thomas, Prêtre 1994; Brouwer 1998]: – “площадь”, заметаемая матрицей рассеяния (аналогичная фазе Берри) Минимизация шума: [Махлин, Мирлин 2001] Полная статистика не является “геометрической” и не имеет точного решения (см. вторую часть лекции) Перенос невзаимодействующих фермионов в терминах одночастичных процессов Если мы не можем посчитать полную статистику для конкретной задачи, то что можно о ней сказать? [DI, Abanov 2007, 2009; Hassler et al 2008]: В модели невзаимодействующих фермионов статистика всегда дается суперпозицией одночастичных процессов (“обобщенная биномиальная”): “Обобщенная биномиальная” статистика Дискретный (возможно, бесконечный) набор процессов: или непрерывный спектр “эффективных прозрачностей” – полностью детерминистичекий “фоновый” перенос заряда Вероятности или плотность их распределения зависят от полной эволюции системы : “Обобщенная биномиальная” статистика Утверждение верно при конечных температурах и для произвольного (квадратичного) оператора эволюции Условия (применимость детерминантной формулы): ● ● ● ● оператор “числа частиц” квадратичен: оператор эволюции – экспонента от квадратичного оператора (гамильтониана) = невзаимодействующие частицы начальная матрица плотности – экспонента от квадратичного оператора (необязательно того же самого, который определяет эволюцию системы) операторы и коммутируют (Вывод факторизации) где Аналитические свойства производящей функции и простой пример “Обобщенная биномиальная” статистика означает, что как функция может иметь сингулярности только при действительных (отрицательных) (“no-go theorem”) Пример: из невзаимодействующих фермионов нельзя создать устройство, которое переносит 0 электронов с вероятностью 1/3 ● 1 электрон с вероятностью 1/3 ● 2 электрона с вероятностью 1/3 ● Примеры распределений одночастичных вероятностей При нулевой температуре и в случае “квантового насоса” с непрерывной зависимостью – дискретный спектр стационарный контакт с постоянным напряжением ● лоренцевы импульсы одинаковой полярности ● При конечной температуре или для более сложных – непрерывный спектр стационарный контакт V=0, T>0 ● периодическое открывание-закрывание контакта ● – в этих двух задачах статистика оказывается одинаковой! [Klich, Levitov 2008] Пример непрерывного распределения одночастичных вероятностей стационарный контакт V=0, T>0 : ● периодическое открывание-закрывание контакта [Klich, Levitov 2008]: ● – доля времени, когда контакт открыт – прозрачность контакта (одноканального) Связь “обобщенной биномиальной” статистики с квантовой зацепленностью В процессе когерентного транспорта возникает квантовая зацепленность между контактами В случае невзаимодействующих фермионов статистика переноса заряда полностью определяет квантовую зацепленность! [Klich, Levitov 2008] Энтропия зацепленности (между левым и правым контактами) в терминах одночастичных процессов: (Энтропия зацепленности: определение) Система, поделенная на две подсистемы (A и B), при нулевой температуре. Матрица плотности: Тогда: Доказательство: разложим для любой степени n – а значит и для любой функции (Энтропия зацепленности: случай невзаимодействующих фермионов) Общее выражение для энтропии зацепленности: (2N слагаемых) в случае невзаимодействующих фермионов (с независимыми числами заполнения), ту же энтропию можно переписать: (N слагаемых) Классификация статистики переноса в терминах аналитических свойств производящей функции В случае невзаимодействующих фермионов нули (или сингулярности) производящей функции определяют спектр “эффективных прозрачностей” – полную характеристику переноса В более общем контексте (также для взаимодействующих систем) полезно изучать сингулярности в комплексной плоскости ⇒ новый способ классификации статистических процессов (“статистические фазовые переходы”) Статистика дискретных событий в термодинамическом пределе Изучаем перенос заряда в системе с трансляционной инвариатностью во времени (например: периодический сигнал, поданный на контакт, или квантовый насос с периодически изменяющимися параметрами) можно выделить “экстенсивную часть” статистики извлекая ее из асимптотики за N периодов: и характеризовать статистику аналитическими свойствами “экстенсивной части” “Статистические фазовые переходы” Ограничимся пока изучением сингулярностей действительных при при том, что аналитична по , экстенсивная часть может и не быть аналитичной: развитие сингулярности в пределе можно считать “фазовым переходом” во временнóм пространстве 1 0 χ(λ) π λ 2π “Статистические фазовые переходы” Для невзаимодействующих фермионов сингулярность может появиться только в точке . Такая сингулярность соответствует ненулевой плотности “одночастичной вероятности” при Im u Re u z = −∞ p=0 λ=π u = −1 p = 1/2 u=0 p=1 Для взаимодействующих систем возможны разные положения сингулярностей (см. последующие примеры) λ=0 u=1 “Статистические фазовые переходы” для невзаимодействующих фермионов Пример: напряжение, приложенное к одноканальному контакту с прозрачностью g при температуре T [DI, Abanov 2010] µ (a) T=0, V=const p g or (1-g) 0 1 µ (b) T=0, любое V(t) p g and (1-g) 0 “аналитическая” фаза 1 µ (c) T>0, V=0 p (1±√1-g)/2 0 1 µ (d) T>0, V=const g 0 (1+√1-g)/2 p “аналитическая” при g<1/2 и “неаналитическая” при g>1/2 “Статистические фазовые переходы” для невзаимодействующих фермионов Общий случай Т>0 и произвольная периодическая эволюция мгновенной матрицы рассеяния S(t) допускает переходы между аналитической и неаналитической фазами в зависимости от геометрии траектории S(t) [DI, Abanov 2010] Физическая разница между “аналитической” и “неаналитической” фазами (в случае сингулярности типа скачка при ): поведение “коррелятора четности” ● ● аналитическая фаза: экспоненциальное убывание неналитическая фаза: убывание с несоизмеримыми осцилляциями “Теорема об аналитической фазе” → [DI, Abanov 2010] Для одноканального контакта с произвольной адиабатической эволюцией S(t). Аналитичность или неаналитичность фазы зависит от геометрии траектории единичного вектора ez → M → N(t) 2g0 Система находится в аналитической фазе, если траекторию можно покрыть полусферой (включая северный полюс, если Т>0). Щель (вокруг p=1/2) не менее От статистики переноса заряда к статистическим методам описания корреляций Можно ли описывать термодинамические фазы в терминах статистики некоторой дискретной наблюдаемой? ● Будут ли “статистические фазовые переходы” соответствовать настоящим термодинамическим переходам? [DI, Abanov 2012] ● Пример 1: одномерная модель Изинга “статистический” фазовый переход не соответствует термодинамическому переходу, но отвечает сингулярности (бифуркации) в корреляционной длине наблюдаемой “Джордана-Вигнера” Пример 2: квантовая XY цепочка в перпендикулярном магнитном поле воспроизводится ранее известная фазовая диаграмма [Barouch, McCoy 1971] Заключение (содержание) полная статистика дискретной наблюдаемой: определения и основные свойства ● статистика переноса невзаимодействующих фермионов ○ детерминантная формула ○ примеры − одноканальная проволока в равновесном состоянии − одноканальная проволока при постоянном напряжении − лоренцевы импульсы − адиабатические насосы ○ разложение на одночастичные процессы ○ связь статистики с квантовой зацепленностью ● сингулярности производящей функции и “статистические фазовые переходы” ○ в задачах о переносе заряда ○ в других классических и квантовых системах ● −