применение метода анализа иерархий в групповых экспертизах

7929
УДК 303.72:519.8
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА
ИЕРАРХИЙ В ГРУППОВЫХ
ЭКСПЕРТИЗАХ
П.И. Падерно
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Россия, 197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5
E-mail: pipaderno@list.ru
Е.А. Бурков
ООО «ЭргоАйТи»
Россия, 198302, Санкт-Петербург, просп. Стачек, 101/1
E-mail: eaburkov@gmail.com
Ключевые слова: агрегирование экспертных оценок, метод анализа иерархий, критерий
согласованности парных сравнений
Аннотация: Разработана модификация метода анализа иерархий, ориентированная на
применение в групповых экспертизах. Предложен критерий согласованности парных
сравнений, позволяющий учесть различие в уровне компетентности экспертов. Приведены алгоритмы агрегирования матриц парных сравнений и выделения экспертных коалиций.
1. Введение
Существенным недостатком большинства методов экспертного оценивания является отсутствие формализованной процедуры получения обобщенного мнения группы
экспертов. Как правило, эксперты вырабатывают согласованное обобщенное мнение в
процессе дискуссии [1-3], для чего требуется, чтобы все они были собраны в одном
месте и в одно время, однако выполнить это условие не всегда представляется возможным. Кроме того, полученное в результате обсуждения обобщенное мнение может оказаться мнением лишь части экспертов, либо обладающих наибольшим авторитетом,
либо сумевших благодаря силе убеждения и напору навязать свое мнение остальным.
Отсюда возникает необходимость формализованного получения согласованного обобщенного мнения группы экспертов. Поэтому разработана модификация метода анализа
иерархий (МАИ), ориентированная на решение задач группового выбора. Данная модификация МАИ позволяет: учесть при агрегировании матриц парных сравнений экспертов не только общую компетентность каждого эксперта, но и дифференцированную
компетентность эксперта по различным показателям, используемым для оценивания
альтернатив; оценить возможность корректного агрегирования матриц парных сравнений с помощью предложенного критерия согласованности мнений сформировавших
данные матрицы экспертов.
На рис. 1. приведена простейшая двухуровневая иерархия (дерево), на совокупность которых может быть декомпозирована иерархия более сложного вида. Нижний
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7930
уровень иерархии составляют n элементов, которые должны быть попарно сравнены
между собой по степени важности их вклада или влияния на элемент верхнего уровня.
Рис. 1. Типовая двухуровневая иерархия, являющаяся базовым элементом более сложных иерархических структур.
В результате выполнения процедуры попарного сравнения n нижних элементов иерархии группой, состоящей из m экспертов, будет сформировано m матриц парных
сравнений вида (1), где k – индекс эксперта, R – шкала отношений, использованная при
выполнении попарных сравнений элементов иерархии.
(1)
B k   bij  , i, j  1, n : bij  R, bij  1 / b ji (k  1, m ).
Обобщенное мнение формируется путем агрегирования мнений всех экспертов в обобщенную матрицу парных сравнений вида (2), где символ «» после знака произведения
обозначает адамарово (поэлементное) произведение матриц, а этот же символ в показателе степени — обобщенную адамарову степень; Qk   qij  (i  1, n; j  1, n ) – матрица
компетентности k-го эксперта, элемент которой qij — коэффициент компетентности kго эксперта при сравнении i-го элемента иерархии с j-м, причем qij = qji и qij[0; 1].
m
(2)
B
k 1
m
Qk
B 
k
 qkij
  bij  (i  1, n; j  1, n ), bij  k 1
m
 bkij
qkij
.
k 1
Перед проведением агрегирования мнений экспертов необходимо определить степень их взаимной согласованности. Поэтому возникает необходимость в разработке и
применении критерия, который бы позволил оценить взаимную согласованность экспертных мнений, представленных в виде матриц парных сравнений.
2. Оценка согласованности парных сравнений
Был сформулирован ряд требований к критерию оценки взаимной согласованности
парных сравнений. Критерий должен: учитывать кардинальность предпочтений экспертов; учитывать информацию о различии в уровне компетентности экспертов; позволять
производить оценку согласованности не только отдельных результатов попарных сравнений, но и матриц парных сравнений.
Критерий согласованности может быть представлен как коэффициент противоречивости экспертных оценок (3), в котором b1ij – результат сравнения 1-м экспертом i-го
элемента иерархии с j-м; b2ij – результат сравнения 2-м экспертом i-го элемента иерархии с j-м; R – шкала отношений, используемая для попарного сравнения элементов иерархии по степени их важности.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7931
(3)
kijпр  f (b1ij , b2ij ), b1ij  R, b2ij  R (i  1, n; j  1, n ).
Потребуем, чтобы для  i, j  {1, … , n} и  b1ij, b2ij  R функция (3) удовлетворяла
следующим условиям:
f (b1ij , b2ij )  f (b2ij , b1ij ) ,
f (b1ij , b2ij )  f (b1 ji , b2 ji ) ,
f (b1ij , b2ij )  [0;1] ,
b1ij  b2ij  f (b1ij , b2ij )  0 .
В качестве функции, удовлетворяющей перечисленным выше условиям, был предложен коэффициент дезагрегации парных сравнений (4), в котором rmax – наибольшее
значение шкалы отношений R (для шкалы отношений, разработанной Т. Саати для

МАИ [4], rmax равно 9); qij  [0;0,5] – весовой коэффициент, задающий значимость
имеющегося противоречия между оценками экспертов [5].
b
q2ij 


 q1ij
(4)
kijд  qij log rmax 1ij , qij  min 
,
.
b2ij
 q1ij  q2ij q1ij  q2ij 
Коэффициент дезагрегации является мерой противоречивости экспертных оценок,
представленных в виде парных сравнений, и изменяется в диапазоне от нуля до единицы. Использование весовых коэффициентов, задающих значимость экспертов, приводит к тому, что при агрегировании их оценок с помощью выражения (2) имеющееся в
этих оценках противоречие разрешается в пользу более компетентного эксперта тем
надежнее, чем больше разница в уровне компетентности экспертов, и чем меньше это

противоречие. Максимума весовой коэффициент qij достигает тогда, когда выполняется условие q1ij = q2ji, т. к. разрешить имеющееся в этом случае серьезное противоречие
между оценками экспертов невозможно, потому что нет определенности в том, какой
из экспертов заслуживает большего доверия. В подобном случае агрегирование оценок
экспертов приведет к их взаимному «уничтожению» и, следовательно, будет потеряна
важная информация о сравниваемых элементах иерархии. Поэтому чем меньше различие в уровне компетентности экспертов, тем более важным является противоречие между их мнениями.
Каждым двум матрицам парных сравнений одного и того же набора элементов иерархии может быть поставлена в соответствие матрица вида (5), элементы которой
представляют собой коэффициенты дезагрегации.
(5)
K  kijд , i  1, n; j  1, n.
 
С помощью матрицы коэффициентов дезагрегации может быть проверена возможность корректного агрегирования двух матриц парных сравнений, на основе которых
она построена. Для этого на основе анализа свойств матриц парных сравнений и моделирования результатов их агрегирования было сформулировано условие (6) – условие
агрегируемости двух матриц парных сравнений, где β  [0;1] – верхнее пороговое значение коэффициента дезагрегации (через него задается мера требований к согласованности мнений экспертов – чем ниже взято пороговое значение, тем выше требования).
(6)
j  {1, 2, ... , n}:
n

i 1, i  j
kijд  ( n  1)β .
Если при каком-либо значении j условие (6) не выполняется, то это означает, что
между экспертами, чьи матрицы парных сравнений проверяются на возможность агрегирования, имеется существенное противоречие в оценке j-го элемента иерархии. В
этом случае их мнения агрегировать нельзя.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7932
3. Алгоритм агрегирования матриц парных сравнений
Пусть есть группа из m экспертов, каждый из которых построил матрицу парных
сравнений n элементов иерархии Bk, а также имеется матрица Qk, содержащая информацию о компетентности k-го эксперта по каждой паре сравниваемых элементов иерархии. Задача состоит в получении обобщенного мнения экспертов в виде обобщенной
матрицы парных сравнений B в соответствии с выражением (2), но с учетом выполнения условия агрегируемости матриц парных сравнений отдельных экспертов (6).
Для решения этой задачи был разработан алгоритм агрегирования экспертных мнений (рис. 2), представленных в виде матриц парных сравнений, с оценкой возможности
их агрегирования на основе коэффициента дезагрегации.
Рис. 2. Обобщенная схема алгоритма агрегирования экспертных мнений, представленных в виде матриц парных сравнений.
Шаг 1. Для каждой пары экспертов x и y вычисляются коэффициенты дезагрегации
результатов их попарных сравнений n элементов иерархии:
b

д
k xyij
 qxyij log rmax xij ( x  1, m; y  x  1, m; i  1, n; j  1, n ),
byij
а затем из этих коэффициентов формируется матрица вида (5). Всего будет сформировано m(m – 1)/2 матриц коэффициентов дезагрегации.
Шаг 2. На основе сформированных на предыдущем шаге матриц коэффициентов
дезагрегации парных сравнений строится граф агрегируемости экспертных мнений
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7933
G(E, Ω), где E  E1 , E2 ,..., Em  – множество вершин графа, каждая из которых соответ-
ствует определенному эксперту; Ω – множество дуг, связывающих вершины графа.
Пример графа G(E, Ω) приведен на рис. 3.
Рис. 3. Пример графа агрегируемости экспертных мнений, представленных в виде матриц парных сравнений.
Для каждой пары матриц парных сравнений Bx и By с помощью соответствующей
матрицы коэффициентов дезагрегации проверяется возможность их корректного агрегирования. Если матрицы Bx и By могут быть агрегированы, то между вершинами графа
G(E, Ω), соответствующими экспертам x и y, проводится дуга Ωxy. При этом указывается вес дуги, который вычисляется с помощью выражения (7) и представляет собой
среднюю агрегируемость мнений экспертов x и y.
n n
1
д
(7)
ω xy  1 
.
k xyij


n( n  1) i 1 j 1,
i j
Если в построенном в результате графе G(E, Ω) отсутствуют дуги, т. е. Ω = Ø, то
выполнение алгоритма прекращается, т. к. либо в данном случае продолжать агрегирование мнений экспертов нельзя по причине высокой степени их дезагрегации (несогласованности), либо мнения всех экспертов были успешно агрегированы, и граф свелся к
одной единственной вершине.
Шаг 3. В построенном на предыдущем шаге графе G(E, Ω) выделяются подграфы
( h1 )
G ( E ( h1 ) , ( h1 ) ) , G ( h2 ) ( E ( h2 ) , ( h2 ) ) , …, G ( hs ) ( E ( hs ) , ( hs ) ) , обладающие свойством полноты, которое заключается в том, что любая вершина подграфа связана дугой с каждой
из его вершин:
h  h1 , h s : Ek( h )  E ( h )  E1( h ) , E2( h ) ,..., Em( hh)  (kkh *)  ( h )  , k *  1, mh .


Каждый выделенный подграф, удовлетворяющий указанному условию, соответствует h-й коалиции экспертов, т. е. подгруппе экспертов, чьи мнения имеют высокую
степень согласованности и могут быть агрегированы.
Предполагается, что каждый эксперт может входить только в одну коалицию экспертов. Если вершина графа G(E, Ω), соответствующая k-му эксперту, принадлежит нескольким выделенным подграфам, то предпочтение отдается тому подграфу
G ( h*) ( E ( h*) , ( h*) ) , у которого выше средняя агрегируемость мнений экспертов, соответствующих вершинам подграфа. Таким образом, при использовании данного алгоритма
агрегирования приоритет отдается тем коалициям, у которых степень согласованности
мнений входящих в них экспертов более высокая.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7934
Шаг 4. Для каждой h-й коалиции экспертов, которой соответствует выделенный на
предыдущем шаге подграф G ( h ) ( E ( h ) , ( h ) ) , производится агрегирование матриц парных сравнений составляющих ее экспертов. В результате каждой h-й коалиции экспертов будут поставлены в соответствие обобщенная матрица парных сравнений B h , а
также матрица коллективной компетентности экспертов коалиции, получаемая путем
суммирования матриц компетентности всех mh экспертов, вошедших в h-ю коалицию:
mh
Qh   Qk ( h  h1 , hs ).
k 1
В дальнейшем каждая коалиция экспертов, выделенная на третьем шаге алгоритма,
рассматривается как единый эксперт, а соответствующий ей подграф заменяется одной
вершиной.
Шаг 5. Осуществляется переход к шагу 1.
4. Алгоритм выделения коалиций
Данный алгоритм является частью алгоритма агрегирования матриц парных сравнений и применяется на его 3-м шаге для решения задачи по выделению коалиций экспертов с согласованными мнениями.
Алгоритм выделения экспертных коалиций использует в своей работе матрицу
смежности W, которая позволяет полностью описать структуру графа агрегируемости
экспертных мнений G(E, Ω):
W   ω xy  , ω xy  ω yx ( x  1, m; y  1, m).
Строкам и столбцам матрицы смежности соответствуют вершины графа агрегируемости G(E, Ω), т. е. эксперты. Элемент ωxy, стоящий на пересечении строки x и
столбца y матрицы смежности, представляет собой вес дуги, соединяющей вершины Ex
и Ey графа G(E, Ω), соответствующие экспертам x и y, а его значение вычисляется с помощью выражения (7). Если в графе G(E, Ω) отсутствует дуга, соединяющая вершины
Ex и Ey, то в этом случае значение ωxy принимается равным нулю.
Сформулируем легко доказываемое утверждение: для того чтобы в графе G(E, Ω)
существовал хотя бы один подграф G ( h ) ( E ( h ) , ( h ) ) , который бы состоял из mh вершин
и обладал свойством полноты, необходимо, чтобы граф G(E, Ω) содержал, по крайней
мере, mh вершин, каждая из которых имела бы не меньше чем (mh – 1) исходящих дуг.
Данное условие может быть записано в виде (8), где E* – подмножество тех вершин
графа G(E, Ω), из каждой из которых исходит не меньше чем (mh – 1) дуг; dk – число
дуг, исходящих из k-й вершины подмножества вершин E*.
(8)
 E *  {Ek | ( d k  mh  1)  ( E *  mh )}  E.
Алгоритм выделения коалиций состоит из изображенной на рис. 4 и рассмотренной
далее последовательности шагов.
Шаг 1. Построение матрицы смежности W для графа G(E, Ω).
Шаг 2. На основе матрицы смежности определяется максимально возможный размер коалиции, которая может быть выявлена в графе G(E, Ω), т. е. определяется mmax –
верхняя граница числа вершин в выделяемых подграфах (первоначально mmax принимается равным единице.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7935
Рис. 4. Обобщенная схема алгоритма выделения согласованных экспертных коалиций.
Для каждой строки матрицы смежности вычисляется величина dk, которая представляет собой число дуг, исходящих из k-й вершины графа агрегируемости экспертных мнений G(E, Ω). Принцип вычисления величины dk приведен в выражении (9), где
m — число вершин в графе G(E, Ω); δ(ω xy ) – индикаторная функция, значение которой
равно единице, если существует дуга, связывающая вершины Ex и Ey графа G(E, Ω), и
нулю, если такая дуга отсутствует.
m
1, ω xy  0,
d k   δ(xy ), δ(ω xy )  
(9)
0, ω xy  0.
y 1
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7936
Поочередно с помощью выражения (9) для всех значений mh  {m, m – 1, …, 2}
проверяется выполнение условия (8). Первое значение mh из заданного множества, которое удовлетворяет условию (8), принимается как mmax – верхняя граница числа вершин в выделяемых с помощью данного алгоритма подграфах графа G(E, Ω). Из вершин
графа G(E, Ω), удовлетворяющих условию
d k  mmax  1 (k  1, m) ,
формируется приведенное в условии (8) множество E* тех вершин графа G(E, Ω), из
каждой из которых исходит не меньше чем (mmax – 1) дуг.
Если условие (8) не выполняется ни для одного значения mh, то выполнение алгоритма прекращается, т. к. это означает, что в рассматриваемом графе G(E, Ω) нет ни
одной дуги, и нельзя выделить ни одной коалиции экспертов.
Шаг 3. Генерируются все возможные варианты коалиций экспертов, в которые
входит mmax экспертов. Общее число возможных коалиций экспертов численностью
mmax равно числу сочетаний из m* по mmax:
m* !
Сmm*max 
,
mmax ! ( m*  mmax )!
где m* – число таких вершин в графе G(E, Ω), из каждой из которых исходит не меньше
чем (mmax – 1) дуг.
Шаг 4. Каждая из возможных коалиций экспертов h  {1, 2, ..., Сmm*max } численностью
mmax проверяется на существование: может ли в графе G(E, Ω) быть выделен подграф
G ( h ) ( E ( h ) , ( h ) ) , содержащий mmax вершин и обладающим свойством полноты. Если
число дуг, связывающих вершины, соответствующие экспертам возможной коалиции
между собой, не равно mmax (mmax – 1)/2, то данная коалиция не существует, т. к. в графе
G(E, Ω) не может быть выделен подграф G ( h ) ( E ( h ) , ( h ) ) , обладающий свойством полноты и содержащий mmax вершин. Таким образом, проверка существования коалиций
экспертов может быть осуществлена с помощью матрицы смежности: h-я коалиция
экспертов может быть выделена, если выполняется равенство (10).
(10)


x: E xE ( h ) y: E y E ( h ) ,
yx
δ(ω xy )  mmax ( mmax  1).
Если данное равенство не выполняется ни для одной из возможных h коалиций
экспертов, то осуществляется возврат к шагу 3 алгоритма выделения коалиций, но с
предварительным уменьшением значения mmax на единицу. Если в результате значение
mmax становится меньше двух, то выполнение алгоритма прекращается, т. к. больше
нельзя выделить ни одной коалиции.
Если равенство (10) выполняется для нескольких коалиций, и при этом множества
вершин, составляющих коалиции, пересекаются, то, при предположении, что каждый
эксперт может входить только в одну коалицию, окончательному выделению подлежит
та коалиция, для которой достигается следующий максимум:


1

max 
 ( h )  ( h ) xy  .
h
1

m
m


h
h
x: E xE
y: E y E


Шаг 5. Все найденные коалиции экспертов, существование которых подтвердилось
на предыдущем шаге, выделяются, информация о них сохраняется, а из матрицы смежности удаляются строки и столбцы, соответствующие экспертам, включенным в выделенные коалиции. Аналогично, из графа G(E, Ω) удаляются вершины, соответствующие
таким экспертам. Затем выполняется переход к шагу 2 алгоритма выделения коалиций.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7937
5. Заключение
При проведении групповых экспертиз возникает необходимость агрегирования
мнений разных экспертов и получения достоверного обобщенного мнения. Предложенная модификация МАИ дает возможность повысить эффективность проведения экспертизы и надежность получаемых результатов за счет: 1) введения критерия согласованности, позволяющего оценить корректность агрегирования экспертных мнений, представленных в виде матриц парных сравнений; 2) использования формализованной процедуры агрегирования экспертных мнений, позволяющей учесть различие в компетентности экспертов и согласованность их мнений; 3) разбиения экспертной группы на коалиции в соответствии с согласованностью экспертных мнений.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
Литвак Б.Г. Экспертные технологии в управлении. М.: Дело, 2006. 400 с.
Сидельников Ю.В. Системный анализ технологии экспертного прогнозирования. М.: Изд-во МАИ
«Доброе слово», 2007. 348 с.
Olson D.L. Decision aids for selection problems. New York: Springer, 1996. 194 p.
Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и Связь, 1993. 278 с.
Бурков Е.А., Евграфов В.Г., Падерно П.И. Критерий согласованности парных сравнений // Информационно-управляющие системы. 2011. № 3. С. 57-60.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.