Факультет мировой экономики и мировой политики НИУ ВШЭ, 2011-2012 Ю.В. Автономов Общественные блага - 2 ¾Добровольное финансирование общественного блага ¾Равновесие по Нэшу при добровольном финансировании ОБ в квазилинейной экономике ¾Аналитический пример нахождения равновесия ¾Парето-оптимальный объем общественного блага: уравнение Самуэльсона, его смысл и варианты ¾Графическая иллюстрация ¾Пример аналитического вывода уравнения Самуэльсона Модель с добровольным финансированием общественного блага: предпосылки • N потребителей, i = 1…N • каждый потребитель i распределяет свой доход Ii между xi (потреблением частных благ), измеряемым в деньгах, и pGgi – расходами на финансирование общественного блага, которое стоит pG за единицу. Æ уравнение бюджетной линии: xi + pGgi = Ii • предпочтения каждого потребителя представимы функцией полезности Ui(xi, G) = xi + vi(G), где G = g1 + … + gN • NB: ради удобства, мы рассматриваем квазилинейную экономику • Решения о пожертвованиях принимаются всеми потребителями одновременно: то есть, каждый потребитель, решая, сколько ему пожертвовать на финансирование общественного блага, принимает размер пожертвований других как заданный Равновесие по Нэшу в модели с добровольным финансированием общественного блага Равновесие в модели с добровольным финансированием ОБ представляет собой равновесие по Нэшу в одновременной игре, где: • Игроки = потребители (i = 1…N) • Стратегии = количество ОБ, которое оплачивают потребители (g1, g2 …gN) • Платежи = значения функций полезности потребителей (U1(x1, G)…UN(xN,G)) Добровольное финансирование общественного блага: поиск равновесия Рассмотрим задачу потребителя i. Ради удобства, обозначим количество ОБ, финансируемое всеми остальными потребителями, кроме i-того, как g-i: max I i − pG g i + v( g i + g −i ) g i ≥0 ⎧⎪ max xi + v( g i + g −i ) xi , g i ≥ 0 ⎨ ⎪⎩ xi + pG g i = I i Å Удобно перейти к задаче безусловной максимизации Условия первого порядка. ВАЖНО помнить об угловых решениях! ⎧ pG = v' ( g i + g −i ), g i > 0 ⎨ ⎩ pG ≤ v' ( g −i ), g i = 0 g i = BRi ( g −i , pG ) Это – функция реакции потребителя i Добровольное финансирование общественного блага: поиск равновесия - 2 Решив задачу каждого из N потребителей, мы получили систему из N функций реакции. Каждая из этих функций показывает, какой размер пожертвования на финансирование ОБ (при фиксированных пожертвованиях остальных) максимизирует его полезность. ⎧ g1 = BR1 ( g −1 , pG ) ⎪ ⎨... ⎪ g = BR ( g , p ) N −N G ⎩ N (g1 * ( pG ),..., g N * ( pG ) ) Решив систему, мы найдем равновесные объемы пожертвований каждого потребителя. Равновесие в модели с добровольным финансированием ОБ: аналитический пример Давайте рассмотрим тот же пример, графический анализ которого мы представили на прошлой лекции: - два потребителя – A и B - максимальная готовность платить за общественное благо (обратные функции спроса): pA(G) = 10 – 2G pB(G) = 5 – G/2 Чтобы найти равновесие с добровольным финансированием аналитически, нам нужно реконструировать их функции полезности… Реконструкция квазилинейных функций полезности из функций спроса По предпосылкам нашей модели, функции полезности должны иметь вид Ui(xi, G) = xi + vi(G), где G = gA +gB В таком случае, предельная готовность платить за ОБ (предельная частная выгода) должна быть равна предельной полезности ОБ: v’A(G) = pA(G) = 10 – 2G v’B(G) = pB(G) = 5 – G/2 Отсюда, проинтегрировав v’A(G) и v’B(G), легко найти vA(G) и vB(G), а затем (с точностью до константы) и сами функции полезности: vA(G) = 10G – G2 vB(G) = 5G – G2/4 Æ Æ UA(xA,G) = xA + 10G – G2 UB(xB,G) = xB + 5G – G2/4 Поиск равновесия: Задача потребителя B: Задача потребителя А: ⎧ max x A + 10G − G ⎪ x A , g A ≥0 ⎪ ⎨ x A + pG g A = I A ⎪g + g = G B ⎪⎩ A → max I A − pG g A + 10( g A + g B ) − ( g A + g B ) 2 2 g A ≥0 ⎧− pG + 10 − 2( g A + g B ) = 0, ⎨ ⎩− pG + 10 − 2 g B ≤ 0, gA > 0 gA = 0 Функция реакции потребителя А: ⎧⎪5 − pG − g , g < 5 − pG B B 2 2 gA = ⎨ ⎪⎩0, иначе ⎧ max x + 5G − G 2 4 ⎪ xB , g B ≥ 0 B ⎪ ⎨ xB + pG g B = I B ⎪g + g = G B ⎪ A ⎩ ( g A + g B )2 → max I B − pG g B + 5( g A + g B ) − g B ≥0 4 g A + gB ⎧ p − + 5 − = 0, ⎪⎪ G 2 ⎨ ⎪− p + 5 − g A ≤ 0, ⎪⎩ G 2 gB > 0 gB = 0 Функция реакции потребителя B: ⎧10 − 2 pG − g A , g A < 10 − 2 pG gB = ⎨ ⎩0, иначе Равновесие при добровольном финансировании Итак, мы получили функции реакции. Теперь нас интересует, при каких условиях они будут безбилетничать? ⎧⎪5 − pG − g , g < 5 − pG B B 2 2 gA = ⎨ ⎪⎩0, иначе ⎧10 − 2 pG − g A , g A < 10 − 2 pG gB = ⎨ ⎩0, иначе Случай 1: За ОБ не платит никто. Подставив gA = gB=0 в функции реакции, получим, что такое возможно при pG ≥ 10 Случай 2: За ОБ платит только потребитель А. При gA > 0, gB = 0 из функций реакции вытекает, что 10 > pG ≥ 3,(3) Случай 3: За ОБ платит только потребитель B. При gA = 0, gB > 0 из функций реакции вытекает, что pG < 3,(3) Какой из трех типов равновесий реализуется? Это зависит от параметра pG - или любой иной связи между объемом ОБ и его ценой, которая может диктоваться технологией, функцией предложения ОБ, и т.п. «Рыночный спрос» на общественное благо при добровольном финансировании Теперь эта кривая уже не вызывает у нас сомнений – ведь мы аналитически вывели ее! Парето-оптимальный объем общественного блага: уравнение Самуэльсона Общественно оптимальный объем производства ОБ определяется равенством MSB(G) = MSC(G). Расшифруем это подробнее: MSB (G ) = = ∑ MPBi (G ) = i = ∑ pi (G ) = i = ∑ MRSGi $ (G ) = i = MSC (G ) Или, коротко: ∑ i MRSGi $ (G ) =MC (G ) (В нашем случае, MSC = MC) Уравнение Самуэльсона: смысл и варианты Это условие характеризует общественно-оптимальный объем производства общественного блага. i MRS ∑ G $ (G ) =MC (G ) i Применительно к разным постановкам задачи, это уравнение может принимать разные формы, например: ∑ i MRSGX (G ) = pG (G ) ∑ i MRSGX (G ) =MRTGX (G ) i i Независимо от формулировки, мы всегда сравниваем сумму предельных частных выгод от потребления общественного блага с предельными издержками его производства, покупки, и т.д…. Уравнение Самуэльсона: аналитический вывод До сих пор, рассказывая об уравнении Самуэльсона, мы опирались на графики, экономическую интуицию и аналогии. Однако, как и в случае с равновесием при добровольном финансировании ОБ, окончательную уверенность нам придаст аналитический вывод этого условия. Мы получим его для частного случая, рассмотрев задачу на поиск Парето-оптимального распределения в следующей экономике: • 2 потребителя: A и B • 2 блага: X (частное) и G (общественное) • функции полезности: uA(xA,G), uB(xB,G) – дифференцируемые до 2 порядка, возрастающие и вогнутые по обеим переменным • Благо G производится по технологии c функцией издержек c(G) – выпуклая, дифференцируемая до 2 порядка • первоначальная наделенность благом G = 0; первоначальная наделенность благом X: wA, wB Задача на поиск Парето-оптимальных распределений в рассматриваемой экономике: ⎧ max u A ( x A , G ) ⎪⎪ x A , xB ,G ≥0 ⎨u B ( xB , G ) ≥ u B ⎪ x + x + c(G ) ≤ w + w A B ⎪⎩ A B (Последнее условие означает, что общих запасов частного блага (денег) должно хватить и на производство общественного блага, и на частное потребление) Далее, мы применим метод Лагранжа (знак «-» перед множителями, вычитаем из меньшего большее): L = u A ( x A , G ) − λ ( u B − u B ( x B , G )) − μ ( x A + x B + c ( G ) − w A − w B ) Теперь рассмотрим систему условий первого порядка. Ввиду монотонного возрастания uA(.), uB(.) и с(.) по всем аргументам, все условия первого порядка будут выполняться как равенства, то есть, достаточно просто приравнять производные лагранжиана по xA, xB, G, λ и μ к нулю. ⎧ ∂L ∂u A ( x A , G ) Перепишем эту систему в более −μ =0 ⎪ ∂x = ∂x A компактных обозначениях: ⎪ A ∂u B ( xB , G ) ⎪ ∂L −μ =0 ⎪ ∂x = λ ∂xB ⎪ B ⎪ ∂L ∂u A ( x A , G ) ∂u B ( xB , G ) dc(G ) = +λ −μ =0 ⎨ ∂G ∂G dG ⎪ ∂G ⎪ ∂L ⎪ ∂λ = u B ( xB , G ) − u B = 0 ⎪ ⎪ ∂L = w + w − x − x − c(G ) = 0 A B A B ⎪ ∂μ ⎩ ⎧MU XA = μ ⎪ B λ MU ⎪ X = μ ⎪ A B λ MU + MU ⎨ G G = μMC (G ) ⎪u ( x , G ) = u B ⎪ B B ⎪wA + wB = x A + xB + c(G ) ⎩ ⎧MU XA = μ ⎪ B λ MU ⎪ X = μ ⎪ A B λ MU + MU ⎨ G G = μMC (G ) ⎪u ( x , G ) = u B ⎪ B B ⎪wA + wB = x A + xB + c(G ) ⎩ Разделив первое уравнение на MUXA, получим систему, характеризующую внутренние П.О. –распределения. A B ⎧ MRSGX + MRSGX = MC (G ) ⎪⎪ ⎨uB ( x B , G ) = uB ⎪ w + w = x + x + c (G ) B A B ⎪⎩ A Выразим λ и μ из первых двух уравнений системы, и подставим в третье: A ⎧ MU A B A X MU + MU = MU G G X * MC (G ) ⎪ B MU X ⎪⎪ ⎨u B ( xB , G ) = u B ⎪w + w = x + x + c(G ) B A B ⎪ A ⎪⎩ ⎧ MU GA MU GB + = MC (G ) ⎪ A B ⎪⎪ MU X MU X ⎨u B ( xB , G ) = u B ⎪w + w = x + x + c(G ) B A B ⎪ A ⎪⎩