Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, îñåíü 2013 Ñåìèíàð 11: âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ hP; M, E, P i, ãäå P ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, M (x) îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé , E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè , P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y . Âûðàçèòå â ýòîé èíòåïðåòàöèè ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû (î çíà÷åíèè òåðìèíîâ ìîæíî ïðîêîíñóëüòèðîâàòüñÿ íà ñòðàíèöå http://ru.wikipedia.org/wiki/Ðîäñòâî): a) x îòåö y; b) x áàáóøêà y; c) x ïëåìÿííèê1 y; d) x ñâåêðîâü y; e) x äåâåðü y; f) x è y ñâîÿêè; g) x è y äâîþðîäíûå ñ¼ñòðû; h) x åäèíîóòðîáíûé áðàò y; i) x ñâîäíàÿ ñåñòðà y. Ïóñòü A íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, M = 2A ìíîæåñòâî âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ. Âûðàçèòå â èíòåðïðåòàöèè hM, ⊂i ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû: a) x = ∅; b) x = A; c) x = y; d) x åñòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî; e) x åñòü äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî; f) x ∩ y = ∅; g) x = y ∩ z; h) x = y ∪ z; i) x = A \ y; j) Ìíîæåñòâà x, y è z ïåðåñåêàþòñÿ ïîïàðíî, íî îáùåå ïåðåñå÷åíèå ïóñòî.  èíòåðïðåòàöèè hR2, Ci, ãäå C(x, y, z) âûïîëíåíî, åñëè ðàññòîÿíèå îò x äî y ðàâíÿåòñÿ ðàññòîÿíèþ îò x äî z (|xy| = |xz|), âûðàçèòå ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû: a) x = y; b) x, y è z ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; c) x 6= y, z 6= t è ïðÿìûå xy è zt ïàðàëëåëüíû; d) xyzt ïàðàëëåëîãðàìì; e) |xy| = |zt|; 1. 2. 3. Áóäüòå âíèìàòåëüíû: åñëè x ñûí y, òî âàø ïðåäèêàò äîëæåí áûòü íåâåðåí. Îáðàùàéòå âíèìàíèå íà ïîäîáíûå âåùè è â ïîñëåäóþùèõ ïóíêòàõ. 1 1 f) |xy| 6 |xz|; g) z ëåæèò íà îòðåçêå xy; h) z 6= t, à x è y ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé zt; i) 4xyz ïðÿìîóãîëüíûé; j) 4xyz îñòðîóãîëüíûé; k) ∠xyz = 30◦; l) ∠xyz = 36◦.  èíòåðïðåòàöèè hR2, Ei, ãäå E(x, y) âûïîëíåíî, |xy| = 1, âûðàçèòå ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû: a) x = y; b) |xy| = √ 2; c) |xy| = 3; d) |xy| = √21 ; e) |xy| = 2; Ãîâîðÿò, ÷òî f (N ) = O(g(N )), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c, ÷òî ïðè âñåõ N âåðíî f (N ) < cg(N ). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ c è M ïðè âñåõ N > M âåðíî f (N ) < cg(N ), òî f (N ) = O(g(N )). Âûðàçèòå ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû ôîðìóëàìè çàäàííîé äëèíû. Âñþäó N ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì, à íå ïåðåìåííîé. a) x = y + N â èíòåðïðåòàöèè hN, Si, ãäå S(x) = x + 1, äëèíà ôîðìóëû O(log N ). b) x |ïðàïðà{z. . . ïðà}áàáóøêà y â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i, äëèíà ôîðìóëû N ðàç O(log N ); c) x N -þðîäíûé áðàò y â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i, äëèíà ôîðìóëû O(log N ); d) x åñòü N -ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî â èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû O(log N ); e) Ìíîæåñòâà x1, x2, . . . , xN ðàçëè÷íû â èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû O(N ); f) Ëþáûå òðè ìíîæåñòâà èç x1, x2, . . . , xN èìåþò ïóñòîå îáùåå ïåðåñå÷åíèå â èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû O(N ); g) Òî÷êè x1, x2, . . . , xN ñóòü âåðøèíû âûïóêëîãî N -óãîëüíèêà â èíòåðïðåòàöèè hR2 , Ci, äëèíà ôîðìóëû O(N ); h) |xy| = N â èíòåðïðåòàöèè hR2, Ei, äëèíà ôîðìóëû O(log N ); Èñïîëüçóÿ ïðåäèêàòû 6, < è =, çàïèøèòå â âèäå çàìêíóòûõ ôîðìóë ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà: a) Ðåôëåêñèâíîñòü; b) Àíòèñèììåòðè÷íîñòü; c) Òðàíçèòèâíîñòü; d) Ëèíåéíîñòü; 4. 5. 6. 7. 2 e) f) g) h) i) j) k) l) m) Ïëîòíîñòü; Ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà; Ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà; Ñóùåñòâîâàíèå íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà; Ñóùåñòâîâàíèå íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà; Ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (âåðõíÿÿ ãðàíü äâóõ ýëåìåíòîâ ýëåìåíò, áîëüøèé ëèáî ðàâíûé êàæäîãî èç íèõ); Ñóùåñòâîâàíèå íèæíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (íèæíÿÿ ãðàíü äâóõ ýëåìåíòîâ ýëåìåíò, ìåíüøèé ëèáî ðàâíûé êàæäîãî èç íèõ); Ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü íàèìåíüøàÿ èç âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé); Ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü íàèáîëüøàÿ èç âñåõ íèæíèõ ãðàíåé). Îïèøèòå âñå àâòîìîðôèçìû ñëåäóþùèõ èíòåðïðåòàöèé: a) hN, <, =i; b) hZ, <, =i; c) hZ, +, =i; d) hQ, +, =i; e) hQ, +, <, =i; f) hR, <, =i; g) hV, Ei, ãäå V ìíîæåñòâî âåðøèí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, a E(x, y) âûïîëíåíî, åñëè x è y ñîåäèíåíû ðåáðîì; h) hV, Ei, ãäå V ìíîæåñòâî âåðøèí êóáà, a E(x, y) âûïîëíåíî, åñëè x è y ñîåäèíåíû ðåáðîì; i) hR, D1i, ãäå D1(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |x − y| = 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû íå âûðàçèìû â ñëåäóþùèõ èíòåðïðåòàöèÿõ: a) x = 0 â hZ, <, =i; b) x = 1 â hZ, +, =i; c) x = 1 â hQ, +, <, =i; d) x = 1/2 â hR, <, =, 0, 1i; e) x < y â hZ, ...i; f) x < y â hN, ...i; g) D1 â hR, D2i,◦ ãäå Dk2(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |x − y| = k; h) ∠xyz = 30 â hR , Li, ãäå L(x, y, z) âûïîëíåíî, åñëè x, y è z ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; i) Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (~x, ~y) ïîëîæèòåëüíî â hR2, Ei, ãäå E(~x, ~y, ~z) âûïîëíåíî, åñëè |~x − ~y| = |~x − ~z|. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåäèêàò x è y áðàòüÿ íå âûðàçèì â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i, ãäå P ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, M (x) îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé , E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè , P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y . Ïðèäóìàéòå èíòåðïðåòàöèþ è òðè ïðåäèêàòà â íåé, òàêèå ÷òî êàæäûé ïðåäèêàò âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äâà äðóãèõ, íî íè îäèí ïðåäèêàò íå âûðàæàåòñÿ íè ÷åðåç îäèí äðóãîé. 8. 9. 10. 11. 3